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University of Liège

Aerospace & Mechanical Engineering

La propagation des fissures : la quintessence de la mécanique des

matériaux expliquée simplement

Propagation des fissures

Ludovic Noels

Computational & Multiscale Mechanics of Materials – CM3

http://www.ltas-cm3.ulg.ac.be/

Allée de la découverte 9, B4000 Liège

[email protected]

http://www.ltas-cm3.ulg.ac.be/

Table des matières

• Tenseurs contraintes / déformations

• Critère de rupture sur base des contraintes

• Introduction à l’approche de durée de vie totale

• Limite de l’approche de durée de vie totale

• Origine de la mécanique de la rupture

• Rupture fragile/ductile

• Mécanique linéaire de la rupture

• Limites de la mécanique linéaire de la rupture

• Cuve de réacteur nucléaire

• Méthodologie d’analyse

• Propagation de fissures sous chargement cyclique

• Conception en résistance à la fatigue


Tenseurs Contraintes / Déformations

• Chargement uni-axial

– La force dépend de la section

– Le déplacement dépend de la longueur

– Définition de la contrainte

• Contrainte d’ingénieur

• Contrainte réelle (Cauchy)

• Unités : N/m2 or Pa

– Définition de la déformation

• Unités : -

• Propriétés matériaux

– Courbe contrainte-déformation

• Module de Young E

• Limite élastique sp0 : Déformation au delà

de laquelle le comportement est

irréversible

• Limite en tension sTS


X

L

l

F A0

A

s

e

E E

sTS

sp0

e p e e

Tenseurs Contraintes / Déformations

• Vecteurs de traction surfacique

– Tx, Ty, Tz

– 𝑻𝑖 = 𝑗 𝜎𝑖𝑗𝒆𝑗

– Unités : N/m2 ou Pa

• Tenseur des contraintes

– 𝝈 = 𝜎𝑖𝑗 𝒆𝑖⊗𝒆𝑗– 𝝈T = 𝝈

– Unités: N/m2 ou Pa


xy

z

syy

syx

syz

Ty

sxxsxy

sxz

Tx

szx szy

szz

Tz

Rupture Fragile / Ductile

• 2 types de comportement

– Fragile :

• (Presque) pas de déformation

avant la rupture (macroscopique)

– Ductile :

• Déformations plastiques avant la

rupture (macroscopique) True e

Tru

es

sTS

sp0

sTS

sp0


Avant la mécanique de la rupture

• Conception en limitant les contraintes

– Limite élastique (sp0) ou

– Limite de rupture (sTS)

• ~1860, Wöhler

– Technicien aux chemins de fer allemands

– A étudié la rupture des axes

• La rupture se produit

– Après différents temps de service

– Pour des charges plus faibles que prédites

• La rupture vient du chargement cyclique

– Approche de durée de vie totale

• Approche empirique de la fatigue

w/2 w/2

w/2 w/2

t

s

1 cycle =

2 reversals


Approche empirique de durée de vie totale

• Caractérisation du chargement

– Contraintes minimales & maximale : smin & smax

– Contrainte moyenne : sm=(smax + smin)/2

– Amplitude : sa = Ds/2 = (smax - smin)/2

– Rapport de chargement : R = smin / smax

– Pour certaines conditions environnementales particulières (humidité, hautes températures, …) :

• Fréquence des cycles

• Formes des cycles (sinus, rampes, …)

t

smax

smin

Ds = smax-smin

sa = Ds/2

sm

1 cycle =

2 reversals


Approche empirique de durée de vie totale

• Caractérisation du matériaux (faibles contraintes)

– Pour sm = 0 & Nf cycles identiques avant rupture

• Courbes de Wöhler

• se : limite d’endurance (vie >107 cycles)

• 1910, Loi de Basquin

– sf’ coefficient de fatigue

– b exposant de fatigue

– Paramètres venant de tests expérimentaux

• Très couteux en temps

Nf

se

sa = Ds/2

103 104 105 106 107


Conception par approche de durée de vie totale

• 1952, De Havilland 106 Comet 1, UK (1)

– Premier avion de transport à réaction

– Cabine pressurisée (0.58 atm)

– Conception du fuselage par approche de

durée de vie totale

• 1952, un fuselage a été testé en fatigue

– Chargement statique à 1.12 atm, puis

– 10 000 cycles à 0.7 atm

– 1953-1954 : accidents par dépressurisation

brutale

• Avril 1954, tests sur un autre fuselage

– Simulation des cycles de pressurisation de la cabine

– Rupture après seulement 3057 cycles à partir d’un coin de hublot


• 1952, De Havilland 106 Comet 1, UK (2)– Août 1954, toit d’un Comet repêché

• Origine de fissure à la fenêtre de communication

• Fenêtres carrées rivetées concentration de

contraintes

• Rivets perforants Défauts initiaux

• Approche de durée de vie totale

– Prédit l’initiation de fissure par fatigue

– Ne tient pas compte des défauts initiaux

– Test initial du fuselage

• Ecrouissage du métal autour des défauts a cause du

test statique à 1.12 atm fermeture des défauts

• Fuselages de production sans ce pré-chargement

• 1958, Comet 3 et 4 – Fenêtres rondes et collées

Conception par approche de durée de vie totale


Origine de la mécanique de la rupture

• Limites de l’approche de durée de vie totale

– Ne prends pas en comptes les défauts

– Que se passe-t-il quand un défaut existe?

• Exemple : Le Comet

• Théorie de la concentration de contraintes

– Plaque infinie avec un trou ellipsoïdal (1913, Inglis)

– b→ 0 smax → ∞ rupture pour s∞ → 0

• En contradiction avec les expériences de Griffith et Irwin

– Eprouvette en verre avec une fissure de surface (griffe)

– La limite en tension dépend

» De la taille de la fissure a et

» De l’énergie de surface gs

– Soit

2a2b x

y

s∞

s∞

syysyy


a

W

L

t

P

P

Rupture fragile/ductile

• Mécanisme de la rupture fragile

– (Presque) Pas de déformation plastique

avant la rupture (macroscopique)

– Clivage: séparation selon les plans

cristallographiques

• En général a l’intérieur des grains

• Directions préférentielles (à faibles

énergies de liaison)

• Parfois entre les grains : corrosion, H2, …

– Critère de rupture

• 1920, Griffith:

True e

Tru

essTS

sp0



• Mécanisme de la rupture ductile

– Déformations plastiques avant la rupture

(macroscopique)

• Mouvement des dislocations

• Nucléation de vides autour des inclusions

• Coalescences de microcavités

• Initiation et croissance de fissures

– Critère de rupture

• Qu’en est-il du critère de Griffith?

• 1950, Irwin, le travail plastique en pointe de

fissure doit être ajouté

True e

Tru

es

sTS

sp0



• “WWII liberty ships”

– Acier à basse T° : fragile

•

• gs ~ 3400 J m-2

– Acier à T° ambiante : ductile

•

• 2gs + Wpl ~ 200 kJ m-2

– Température de transition :

• DBTT (Ductile-Brittle Transition

Temperature)

– Utilisation d’un acier de faible

qualité

• Hiver : DBTT~ température de l’eau

• Lors de la mise à l’eau, les défauts

existants sont devenus critiques

• 30% des « liberty ships » ont

souffert de rupture



• Développement de la mécanique de la rupture

– Comment prédire la ruine quand une fissure est présente?

– Comment prédire l’évolution d’une fissure sous chargement cyclique?

• Différentes analyses

– Rupture fragile Mécanique linéaire de la rupture

(Linear Elastic Fracture Mechanics-LEFM)

– Rupture avec plasticité confinée en front de fissure

Corrections à la théorie de la

mécanique linéaire de la rupture

– Rupture ductile avec zones plastiques non-confinées

Mécanique non-linéaire de la rupture

(Non Linear Fracture Mechanics NLFM)

– Chargements cycliques en deçà du chargement limite

Propagation de fissures (loi de Paris)


asp

x

rp

y

Mécanique linéaire de la rupture

• Singularité en pointe fissure pour un matériau élastique linéaire– 1957, Irwin, 3 modes de rupture

– Définis par les conditions limites

Mode I Mode II Mode III

(ouverture) (glissement) (Cisaillement)

y

x

rq


or or

y x

z

y x

z

y x

z


• Singularité en pointe fissure pour un matériau élastique linéaire (2)

– Solutions asymptotiques

– Introduction des facteurs d’ intensité de contraintes (Pa m1/2) - Stress

Intensity Factors – SIF

– Les Ki dépendent

• De la géométrie &

• Du chargement




• 1957, Irwin : Nouveau critère de rupture

– smax → ∞ s ne peut pas être utilisé

– Comparer le facteur d’intensité de contraintes Ki (dépendant du problème)

à une valeur propre au matériau : la ténacité KiC

• Si Ki ≥ KiC la fissure se propage

• Ténacité Kic (toughness)

– Métaux : voir figure

– Béton : 0.2 - 1.4 MPa m1/2



Yield s0Y [MPa]

Toughness KIC [MPa 𝑚]

0 500 1000 1500 2000

140

100

60

20

0

Pure Al

Mild

steel Low steel

alloys

Trip

steels

Al alloys

Ti alloys

Composites

Aisi 403 12 cr

Brittle

Ductile

Temperature T [C]


-200 -100 0 100 200

200

160

120

80

40

0

Ductile/brittle

transition regime

• Evaluation des facteurs d’intensité de contrainte (SIF)

– Analytique (fissure 2a dans un plan ∞)

– Numérique

• bi dépendent

– De la géométrie

– De la taille de fissure


s∞s∞

y

2a

x

s∞

s∞

y

2a

x

t∞

t∞

y

2a

x

t∞

t∞


• Mesure expérimentale de la ténacité KIc

– En suivant la norme ASTM E399

– Préparation

• Par exemple en considérant un Single Edge

Notch Bending (SENB) spécimen

• Usiné avec une encoche

pour initier la fissure

• Chargement cyclique pour initier la fissure

– Mesure de la ténacité

• Mesure la courbe P - d

• Crack Mouth Opening Displacement (CMOD=v)

mesuré en tête de fissure

• Pc obtenu par les courbes P-v

• KIc est déduit de Pc à partir de formules

de référence (éléments-finis)

• f(a/W) dépend du test (SENB, …)


P, d

v/2v/2

L=4W

WThickness t

CMOD, v

v

P

tg 0.95 tg

Pc

P

tg 0.95 tg

Pc


Limites de la mécanique linéaire de la rupture

• La contrainte prédite est singulière

– Il existe des non-linéarités

(plasticité en pointe de fissure)

– Solution asymptotique non-valide

loin de la pointe de fissure

• Hypothèse de plasticité confinée

– Valide si la zone de plasticité est petite par rapport à la fissure

– Zone cohésive rp en pointe de fissure

– 1960, Dugdale-Barenblatt

• Mode I

• Contrainte nominale est supérieure à la moitie de la limite élastique

– Hypothèse ne tient pas mécanique non linéaire de la rupture (NLFM)

syy

x

Asymptotic syy

True syy

Zone of asymptotic

solution (in terms of

1/r1/2) dominance

asp

x

rp

y

Méthode iterative


Reactor Pressure Vessels (RPV) ou cuve de réacteur

• Pressurized Water Reactor (PWR)

– Conditions d’utilisation typiques d’une cuve : 15 MPa, 300º C


Image from US. Nuclear Regulatory Commision,

Quadrennial Technology Review 2015, U.S. Department of EnergyImage from US. Nuclear Regulatory Commision,

http://www.eia.doe.gov/cneaf/nuclear/page/nuc_reactors/pwr.html

Ø ~ 3-5 m



• Matériaux de la cuve

– Matériau de base

• Alliage Manganèse–nickel–molybdène

• E.g. SA508 Cl. 3

– Revêtement

• Inox


tbase ~ 0.2 m tclad ~ 0.01 m

27

Image from US. Nuclear Regulatory Commision,


Ø ~ 3-5 m



• Matériaux de la cuve : présente une transition ductile/fragile

– Définition de T100 : Température de référence pour laquelle 50% des

spécimens normalisés rompent avec une ténacité de 100 [MPa 𝑚]

Propagation des fissures 28

Integrity of reactor pressure vessels in nuclear power plants : assessment of irradiation embrittlement effects in reactor pressure vessel steels. International Atomic Energy Agency, 2009.

(IAEA nuclear energy series), ISSN 1995-7807, ISBN 978-92-0-101709-3

Conditions

d’utilisationNécessite

NLFM


• Pressurized Thermal Shock (PTS)

– Perte de liquide de refroidissement (LOCA)

– Injection d’eau froide

– Chute brutale de la température de paroi

– Chute de la ténacité

– N.B. chute de la pression, mais existence de

contraintes thermiques


Christopher Boyd, Interactions of Thermal-Hydraulics with Fuel Behavior,

Structural Mechanics, and Computational Fluid Dynamics

Office of Nuclear Regulatory Research Nuclear Regulatory Commission

Fictitious material

Aisi 403 12 cr

Brittle

Ductile

Temperature T [C]


-200 -100 0 100 200

200

160

120

80

40

0

Ductile/brittle

transition regime


• Fragilisation par irradiation

– Irradiation durant l’utilisation du RPV

– Fragilisation augmente avec

• La fluence (nombre de neutrons/unité de surface) décalage température

• L’énergie des neutron (>1MeV) de transition avec l'âge


Brittle

Ductile

Temperature T [C]


-200 -100 0 100 200

250

200

150

100

50

0

Ductile/brittle

transition regime

Shift

Loss

Un-irradiated

Irradiated

Fictitious material


• Fragilisation par irradiation

– Définie par un décalage de T100

• T0 = T100 + DT100

– Evaluée en termes de

• La composition chimique

• La fluence (Fn)

– Mesurée

• Spécimens de surveillance

• Proches de la paroi


Integrity of reactor pressure vessels in nuclear power plants : assessment

of irradiation embrittlement effects in reactor pressure vessel steels.

International Atomic Energy Agency, 2009. (IAEA nuclear energy series),

ISSN 1995-7807, ISBN 978-92-0-101709-3

PTS

DT100

Evaluation

• Méthodologie


Caractérisation des

défautsConditions de

chargementPropriétés matérielles

• Défauts supposés

(suivant la norme)

• Inspections non-

destructives en

service (Ultrasonique

…)

• Evaluation des facteurs d’intensité de contrainte

• Méthodes analytiques

• Méthodes numériques

• Conditions critiques

• Evaluation des

températures,

contraintes

• Conditions

environnementales

(fluence en fin de vie..)

• Ténacité en service

• Modèles

• Expériences

• Ténacité du matériau

de base (expériences)

Références

• Notes

– Lecture Notes on Fracture Mechanics, Alan T. Zehnder, Cornell University,

Ithaca, http://hdl.handle.net/1813/3075

– Fracture Mechanics Online Class, L. Noels, ULg, http://www.ltas-

cm3.ulg.ac.be/FractureMechanics

– Fracture Mechanics, Piet Schreurs, TUe,

http://www.mate.tue.nl/~piet/edu/frm/sht/bmsht.html

• Livres

– Fracture Mechanics: Fundamentals and applications, D. T. Anderson. CRC

press, 1991.

• RPV

– Documents

• Integrity of reactor pressure vessels in nuclear power plants : assessment of

irradiation embrittlement effects in reactor pressure vessel steels. International

Atomic Energy Agency, 2009. (IAEA nuclear energy series), ISSN 1995-7807,

ISBN 978-92-0-101709-3

• Pressurized thermal shock in nuclear power plants: good practices for

assessment, International Atomic Energy Agency, 2010 (iaea-tecdoc-1627), ISSN

1011-4289, ISBN 978-92-0-111109-8


http://hdl.handle.net/1813/3075

http://www.ltas-cm3.ulg.ac.be/FractureMechanics

Chargement cyclique

• Rupture par fatigue

– Tests pour différents DP = Pmax - Pmin

– Nucléation : fissure initiée pour K < Kc

• Surface : déformations résultant

de la propagation des dislocations

P

P

a

N cycles

PminPmax

Persistent slip

band (PSB)


Chargement cyclique

• Rupture par fatigue (2)

– Etape I de croissance de fissures

• Le long d’un plan cristallin

– Etape II de croissance de fissures

• A travers plusieurs grains

– Le long des plans cristallins

– Droit macroscopiquement

• Striation de la surface de rupture :

correspond aux cycles

Perfect crystal


Chargement cyclique

• Rupture par fatigue (3)

– Hypothèse de plasticité confinée

• Paramètres d’influence

– DP &

– Pmin / Pmax

• Fatigue décrite par

– DK = Kmax- Kmin &

– R = Kmin/Kmax

• Il existe DKth tel que si DK ~< DKth : la fissure est dormante

Intervalle de striation

P

P

a

a(c

m)

Nf (105)1 2 3 4 5 6 7

5

4

3

2

DP1

DP2 > DP1

Inspection structurelle

possible (pour DP1)Croissance

rapide

Rupture


Chargement cyclique

• Taux de croissance

– Zone I

• Etape I de croissance de fissure

• DKth dépend de R

– Zone II

• Etape II de croissance de fissure

• 1963, Paris-Erdogan

– Dépend de la géométrie, du chargement, de la fréquence

– Acier : DKth ~ 2-5 MPa m1/2 , C ~ 0.07-0.11 10-11 [m (MPa m1/2)-m], m ~ 4

– Acier en environnement salin : DKth ~ 1-1.5 MPa m1/2, C ~ 1.6 10-11 [idem],

m ~ 3.3

• Attention : K dépend de a intégration requise pour avoir a(Nf)

– Mode I :

– Zone III

• Croissance rapide jusque rupture

• Rupture statique (clivage) sous Kmax(a): il existe une taille critique af telle que

Kmax(af) = Kc

da

/ d

Nf

logDKDKth

Zone I Zone II Zone III

R

1

m


Conception

• « Infinite life design »

– sa < se : vie « infinie »

– Non économique

• « Safe life design »

– Pas de fissure avant un nombre défini de cycles

• Le composant est remplacé à la fin de la vie

prédite, même s’il n’y a pas de fissure apparue

• Emphase sur la prévention d’initiation

• Approche empirique par nature

– Suppose que la structure est vierge de

défauts

– Se base sur les courbes sa – Nf

• Ajouter un facteur de sécurité

– Application : aubes de rotors/stators

• Une fois qu’une fissure apparait, la durée de vie

en heures est très courte


Conception

• « Fail safe design »

– Même si un composant rompt, la structure doit garder assez d’intégrité pour être utilisée en toute sécurité

– Prédéfinition de chemins de fissuration et d’arrêt de fissure

– Nécessite des inspections périodiques

– Exemple: 1988, B737, Aloha Airlines 243

• 2 coques de fuselage non collées

• Environnement marin rouille et augmentation du volume

• Fatigue des rivets

• La fissure a suivi le chemin prédéfini


Conception

• « Damage tolerant design »

– Suppose l’existence de défauts au début des opérations

– Caractériser l’effet des défauts sur la vie de la structure

• Evaluation des défauts initiaux (A partir

du procédé de fabrication et

d’inspections non-destructives

• Estimation de la croissance &

élaboration des campagnes d’inspection

(e.g. en années, en nombre de vol…)

• Vérifier la croissance durant les

inspections

• Prédire la fin de vie (af)

• Retirer ou réparer la structure avant

– Inspections non-destructives

• Optique

• Rayons-X

• Ultrasonique (réflexion sur les surfaces de fissure)
