kunskapskrisen i matematik
TRANSCRIPT
![Page 1: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/1.jpg)
Kunskapskrisen i matematik - undersökning av lÀrande pÄ Youschool, ett webbaserat
matematikstöd
John Rödin
UMK900, Examensarbete (30 hp)
Institutionen för matematikÀmnets och naturvetenskapernas
didaktik vid Stockholms Universitet
Civilingenjör och LÀrare (300 hp)
Inriktning: Kemi och matematik
VĂ„rterminen 2015
Examinator: Carl-Johan Rundgren
Huvudhandledare: Tanja Pelz-Wall
Institutionen för matematikÀmnets och naturvetenskapernas
didaktik vid Stockholms Universitet
BitrÀdande handledare: Hans Thunberg
Institutionen för Matematik vid Kungliga Tekniska Högskola
English title: Alarmingly low proficiency in mathematics in Swedish
education â A study of learning by Youschool, a private tutor on the
web ! !
Stockholm, 2015
![Page 2: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/2.jpg)
!!
2!
Kunskapskrisen i Matematik
- undersökning av lÀrande pÄ Youschool, ett webbaserat matematikstöd
John Rödin
Abstract
There!are!a!growing!number!of!companies!in!Sweden!that!provide!private!tutoring!to!students!in!upper!secondary!school,!one!of!these!companies!is!Youschool.!They!distinguished!themselves!from!the!others!by!having!a!tutor!communicating!with!a!student!via!Internet!â!using!pencil!and!sound!in!real!time.!Youschool!provide!virtual!classes!with!two!to!four!students!at!each!time!lead!by!one!teacher!using!a!âdocument!cameraâ!as!the!main!communication!equipment.!The!students!put!their!notebooks!under!their!document!cameras!and!are!thereafter!able!to!demonstrate!their!solutions!and!follow!each!otherâs.!They!can!literally!follow!each!stroke!of!each!otherâs!pencils.!!!!!!!Matematik!2b!is!a!mathematics!unit!in!the!Swedish!upper!secondary!school!mainly!taken!by!students!in!the!Business!Management!and!Economics!Programme!and!the!Humanities!Programme,!both!theoretical!programmes!preparing!students!for!university!studies.!Statistics!based!upon!the!Swedish!national!examinations!each!year!shows!that!a!great!number!of!students!fail!the!tests!in!this!unit.!!!This!is!a!qualitative!study!based!on!semi!structured!telephone!interviews!of!students!taking!the!Matematik!2b!unit,!and!who!are!using!Youschool!as!private!tutoring,!as!well!as!observations!of!a!screen!filmed!class!where!students!practiced!solving!mathematic!problems.!The!purpose!of!the!study!is!to!research!whether!Youschool!is!supportive!in!studying!mathematics!or!not.!In!the!discussion!section!of!this!study,!both!the!curriculum!of!the!unit!and!the!van!HieleJlevels!are!referred!to!when!analysing!the!findings.!!!The!results!points!out!the!importance!of!a!supportive!and!challenging!tutor!to!help!students!to!keep!their!motivation!up!during!classes!in!Youschool.!Furthermore,!some!mathematics!skills!might!be!better!practiced!using!Youschool!than!others,!therefore!students!wish!to!exercise!further!mathematic!problems!to!stimulate!thinking!on!the!higher!van!HieleJlevels.!However,!the!technology!that!is!supposed!to!enable!learning!by!Youschool!might!sometimes!be!the!one!thing!to!hinder!a!student!from!learning.!Problems!with!the!technology!therefore!impose!Youschool!to!update!their!systems!to!affirm!effective!learning.!
Keywords
Youschool, mathematics education, private tutoring, virtual teaching, document camera, van Hiele, crisis of thinking
!
![Page 3: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/3.jpg)
!!
3!
Sammanfattning
En!rad!företag!som!erbjuder!lÀxhjÀlp!har!uppstÄtt!sedan!Rutavdraget!för!lÀxhjÀlp!utökades!till!att!gÀlla!för!gymnasieelever.!Youschool!Àr!ett!av!dessa!företag.!Det!som!utmÀrker!Youschool!Àr!att!de!erbjuder!lÀxhjÀlp!dÀr!elever!och!lÀrare!kan!kommunicera!med!varandra!bÄde!med!penna!och!ljud!i!realtid!via!nÀtet.!De!tillhandahÄller!virtuella!lektioner!med!en!lÀrare!pÄ!2!till!4!elever!Ät!gÄngen,!dÀr!en!dokumentkamera!Àr!det!verktyg!som!utgör!grunden!i!kommunikationstekniken.!Eleverna!lÀgger!exempelvis!sitt!skrivblock!under!sina!dokumentkameror!och!sÄ!kan!de!som!Àr!med!pÄ!lektionen!följa!varandras!resonemang,!eftersom!de!hela!tiden!kan!se!vad!alla!gör!med!sina!pennor.!!Matematik!2b!Àr!en!kurs!frÀmst!för!elever!som!lÀser!pÄ!SamhÀllsvetenskapsprogrammet!eller!pÄ!Ekonomiprogrammet,!tvÄ!högskoleförberedande!gymnasieprogram.!Statistik!för!resultaten!pÄ!de!nationella!proven!i!kursen,!frÄn!totalundersökningar!i!Sverige,!visar!att!en!hög!andel!elever!fÄr!underkÀnt!betyg!pÄ!provet.!!Denna!studie!Àr!kvalitativ!och!utgörs!av!semistrukturerade!telefonintervjuer!med!elever!som!lÀser!Matematik!2b!och!som!anvÀnder!Youschool!som!lÀxhjÀlp!samt!av!observationer!frÄn!en!skÀrminspelad!lektion!pÄ!Youschool!dÀr!eleverna!jobbar!med!ett!för!studien!tillrÀttalagt!material!som!testar!deras!kunskaper!om!funktionsbegreppet.!Syftet!Àr!att!undersöka!om!och!i!sÄ!fall!hur!lÀroverktyget!Youschool!kan!utgöra!ett!stöd!i!elevers!kunskapsutveckling!i!Matematik!2b.!Kursens!kunskapskrav!kopplade!till!matematiska!förmÄgor!hos!eleverna!och!van!Hieles!tankenivÄer!Àr!de!analysverktyg!som!anvÀnds!i!diskussionen!av!resultaten.!!LÀrarens!roll!som!stöttande!och!utmanande!framtrÀder!som!viktig!för!att!upprÀtthÄlla!elevernas!motivation!till!att!arbeta!under!lektionerna!pÄ!Youschool.!Vidare!kan!eventuellt!antydas!att!eleverna!trÀnas!i!vissa!matematiska!förmÄgor!mer!Àn!andra,!och!att!elever!önskar!fler!uppgifter!som!stimulerar!deras!tÀnkande!pÄ!de!högre!av!van!HieleJnivÄerna.!Tekniken!som!Ä!ena!sidan!möjliggör!undervisningen!pÄ!Youschool!kan!behöva!utvecklas!eftersom!den!Ä!andra!sidan!ofta!strular.!
!Nyckelord Youschool,!lÀxhjÀlp!pÄ!nÀtet,!dokumentkamera,!Matematik!2b,!Ma2b,!nationella!prov,!van!Hiele,!förmÄgor,!centralt!innehÄll,!kunskapskrav!
!Tack Tack!Tanja!PelzJWall!för!att!du!har!velat!vara!ett!bollplank!genom!hela!den!lÄnga!process!som!det!har!inneburit!för!mig!att!skriva!ett!examensarbete.!Tack!Hans!Thunberg!för!matematisk!granskning.!Tack!till!er!bÄda!för!er!handledning!och!för!att!ni!har!pushat!pÄ!och!hjÀlpt!mig!genom!arbetet.!Tack!Fredrik!Jansson!som!har!öppnat!upp!mina!ögon!för!Youschool.!Tack!Björn!Olsson!för!anvÀndbara!kommentarer!som!opponent.!Tack!Jessika!Rödin!för!engelsk!översÀttning.!Sist!men!inte!minst!ett!stor!tack!till!familj!och!vÀnner!som!har!stÄtt!ut!med!mig!och!har!bidragit!med!vÀrdefullt!stöd!och!kommentarer!under!skrivprocessen. !
![Page 4: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/4.jpg)
!!
4!
!
InnehÄllsförteckning0!1! Inledning!och!bakgrund!...........................................................................................................................!5!1.1! Nationella!prov!i!gymnasieskolan!efter!reformen!2011!...................................................!6!1.2! LÀxlÀsning!..............................................................................................................................................!7!1.3! Youschool,!en!virtuell!skola!pÄ!nÀtet!.........................................................................................!8!1.4! Pilotstudie!pÄ!komvux!......................................................................................................................!9!1.5! Denna!studie!i!korthet!...................................................................................................................!10!
2! Teori!..............................................................................................................................................................!11!2.1! Centralt!innehÄll!och!bedömning!av!elevers!kunskaper!i!Ma2b!.................................!11!2.2! Funktionsbegreppet!.......................................................................................................................!15!2.3! Van!Hieles!tankenivÄer!.................................................................................................................!18!2.4! Kommunikativ!teori!om!lÀrande!..............................................................................................!20!
3! Syfte!och!frÄgestÀllningar!.....................................................................................................................!22!4! Metod!............................................................................................................................................................!23!4.1! Telefonintervjuer!............................................................................................................................!23!4.2! SkÀrminspelad!lektion!..................................................................................................................!24!
5! Resultat!........................................................................................................................................................!26!5.1! Telefonintervjuer,!resultat!..........................................................................................................!26!5.1.1! Vad!inspirerar!de!intervjuade!att!börja!anvÀnda!Youschool?!.............................!26!5.1.2! Vad!i!Youschool!utgör!ett!stöd!för!de!intervjuade!att!nÀrma!sig!sina!betygsmÄl?!................................................................................................................................................!26!5.1.3! Ser!de!intervjuade!nÄgot!som!kan!utvecklas!pÄ!Youschool?!................................!30!
5.2! SkÀrminspelad!lektion,!observationer!...................................................................................!31!6! Diskussion!...................................................................................................................................................!36!6.1! Hur!anvÀnder!elever!Youschool?!..............................................................................................!36!6.2! PÄ!vilket!sÀtt!kan!Youschool!utgöra!ett!stöd!för!elever!i!deras!lÀrande!i!Ma2b?!.!36!6.3! Vilka!förmÄgor!gÄr!att!trÀna!via!Youschool?!.......................................................................!37!6.4! En!vidare!reflektion!........................................................................................................................!39!6.5! Reliabilitet,!validitet!och!generaliserbarhet!........................................................................!39!
KÀllförteckning!.................................................................................................................................................!41!
!
00 0
![Page 5: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/5.jpg)
!!
5!
1 Inledning0och0bakgrund0!Idén!till!studien!grundar!sig!i!att!jag!under!höstterminen!2012!fÄr!i!uppdrag!att!starta!upp!och!genomföra!en!kvÀllskurs!i!matematik!för!komvuxstuderande.!Kursen!Àr!Matematik!2b,!Ma2b.!Tiden!för!detta!Àr!i!startgroparna!strax!efter!en!sjösÀttning!av!nya!lÀroplaner!med!nya!gymnasiekurser,!GY11!och!VUX12.!Politikers!retorik!Àr!att!det!ska!bli!en!mer!kunskapsorienterad!skola!Àn!tidigare,!vilket!Àr!en!av!tankarna!som!ligger!bakom!de!nya!lÀroplanerna.!!!Ma2b!Àr!den!lÀgsta!gymnasiekursen!i!matematik!som!av!flera!högskoleutbildningar!krÀver!som!sÀrskild!behörighet.!Kursen!ingÄr!Àven!som!obligatorium!i!det!högskoleförberedande!samhÀllsvetenskapligaJ!och!ekonomiprogrammet.!Initialt!ligger!i!dessa!faktorer!enda!motivationen!till!att!lÀsa!kursen,!för!mÄnga!elever!pÄ!sÄvÀl!gymnasiet!som!pÄ!komvux.!De!behöver!minst!det!lÀgsta!godkÀnda!betyget!i!kursen!för!att!kunna!fÄ!en!plats!pÄ!önskad!högskoleutbildning.!!Kursen!Ma2b!Àr!Àven!den!första!pÄbyggnadskursen!i!matematik!pÄ!gymnasiet!och!kursinnehÄllet!upplevs!i!stor!utstrÀckning!som!helt!nytt!för!elever!jÀmfört!med!till!exempel!övergÄngen!frÄn!grundskolematematik!till!kurs!1!pÄ!gymnasiet.!KvÀllskursen!som!nÀmndes!tidigare!bör!snarare!ses!som!att!den!tas!över,!mer!Àn!att!den!startas!upp,!dÄ!likheterna!med!den!tidigare!första!pÄbyggnadskursen!Matematik!B,!MaB,!Àr!stora.!JÀmfört!med!innehÄllet!i!MaB!Àr!innehÄllet!i!Ma2b,!i!linje!med!gymnasiereformen,!dock!nÄgot!utökat.!Redan!innan!denna!utökning!upplevdes!pÄbyggnadskursen!som!en!problemkurs!pÄ!skolor.!!!Det!nationella!provet!i!Ma2b!Àr!obligatoriskt!för!alla!elever!som!har!kursen!som!den!högsta!och!avslutande!matematikkursen!i!sin!utbildning,!det!vill!sÀga!de!elever!som!lÀser!samhÀllsvetenskapligt!eller!ekonomiskt!program.!Ett!undantag!Àr!de!elever!som!lÀser!ekonomiprogrammet!med!inriktning!ekonomi,!eftersom!Àven!den!efterföljande!matematikkursen!utgör!en!obligatorisk!kurs!för!dem.!MÄnga!elever!misslyckas!pÄ!det!nationella!provet!i!Ma2b,!vilket!genererar!en!stor!andel!underkÀnda!betyg!i!kursen.!För!att!lÀsa!mer!om!nationella!provresultat!för!Ma2b,!se!1.1.!!Problemet!med!underkÀnda!betyg!Àrvs!alltsÄ!av!den!nya!kursen!Ma2b!frÄn!den!gamla!MaB,!men!det!blir!nu,!mer!Àn!tidigare,!synligt!i!statistiken!eftersom!problemet!Àr!större!pÄ!komvux!och!pÄ!de!gymnasieprogram!som!inte!Àr!naturvetenskapligt!eller!tekniskt!inriktade.!PÄ!de!naturvetenskapliga!och!tekniska!programmen!kan!antas!att!elever!Àr!mycket!medvetna!om!hur!viktiga!matematikkunskaper!Àr!för!deras!egen!framtid.!Nu!nÀr!de!eleverna!har!fÄtt!egna!kurser,!Matematik!1c,!2c!och!3c,!som!statistikförs!för!sig,!kommer!den!stora!andelen!underkÀnda!betyg!pÄ!de!andra!programmen!som!lÀser!Ma2b!i!ljuset.!!!TIMSS%och!PISA!Àr!tvÄ!omtalade!internationella!jÀmförelseundersökningar!som!bÄda!sÀgs!visa!att!svenska!elevers!matematikkunskaper!blir!allt!sÀmre!och!sÀmre.!Dock!bör!nÀmnas!att!bÄda!studierna!enbart!Àr!inriktade!pÄ!grundskoleelever,!med!undantag!för!den!minde!utbredda!undersökningen!TIMSS%Advanced!som!för!svenska!elever!Àr!
![Page 6: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/6.jpg)
!!
6!
inriktad!pÄ!sistaÄrselever!pÄ!naturvetenskapligtJ!eller!tekniskt!program.1!Dessa!elever!lÀser!inte!Ma2b.!!!De!fallande!resultaten!i!grundskolan!kan!antas!utgöra!en!ytterligare!faktor!till!att!mÄnga!elever!har!svÄrigheter!att!ta!till!sig!av!den!matematik!som!de!möter!i!det!efterföljande!gymnasiet.!Dock!klarar!flertalet!av!eleverna!ÀndÄ!den!första!kursen!pÄ!gymnasiet.!!
1.1 Nationella0prov0i0gymnasieskolan0efter0reformen020110!FrÄn!och!med!hösten!2011!genomförs!totalinsamlingar!av!provresultaten!pÄ!de!nationella!proven!av!statistiska!centralbyrÄn.2!Skolorna!vÀljer!sjÀlva!om!proven!i!Ma2b!genomförs!pÄ!höstJ!eller!vÄrterminen!men!majoriteten!av!skolorna!vÀljer!att!genomföra!dem!under!vÄrterminen.!Statistik!som!redovisas!i!tabeller!nedan!Àr!endast!för!de!prov!dÀr!minst!18!000!elever!deltar!och!vars!provbetyg!rapporteras.!Betygsskalan!ska!lÀsas!sÄ!att!F!Àr!lÀgst,!det!vill!sÀga!underkÀnt!betyg,!E!nÀst!lÀgst!och!lÀgsta!godkÀnda!betyg!och!A!Àr!det!högsta!möjliga!betyget.!!!Statistiken!visar!att!42,!8!%!av!eleverna!som!skriver!nationellt!prov!i!kursen!Ma2b!vt!2014!fÄr!provbetyget!F.!Motsvarande!siffra!för!vt!2013!Àr!29,2!%.!En!detalj!som!kan!vara!av!vikt!att!tillÀgga!Àr!att!i!provet!vt!2013!ingick!en!muntlig!del!i!provet,!det!ingick!inte!i!provet!vt!2014.!!
Provbetyg*NP*Ma2b*(%)* F! E! D! C! B! A!vt*13* 29,2! 37,7! 18,7! 10,5! 3,1! 0,8!vt*14* 42,8! 30,4! 14,9! 9,5! 1,9! 0,4!
Tabell01.1.1.00Statistik!för!NP!Ma2b.!
I!sammanhanget!Àr!det!Àven!intressant!att!studera!motsvarande!siffror!frÄn!den!första!matematikkursen!dessa!elever!möter!pÄ!gymnasiet.!!!
Provbetyg*NP*Ma1b*(%)* F! E! D! C! B! A!vt*12* 30,2! 33,3! 20,9! 8,7! 5,2! 1,8!vt*13* 7,3! 40,1! 27,5! 16,1! 6,8! 2,2!vt*14* 16,7! 35,0! 23,9! 14,7! 6,4! 3,3!
Tabell01.1.2.00Statistik!för!NP!Ma1b.!
Av!resultaten!att!döma,!bara!utifrÄn!att!till!exempel!studera!andelen!F!i!de!tvÄ!olika!kurserna,!sÄ!har!fler!elever!lÀttare!att!ta!till!sig!kursinnehÄllet!i!kurs!1!jÀmfört!med!kurs!2.!Ett!undantag!Àr!den!höga!andelen!F!pÄ!det!nationella!provet!vt!12,!det!första!provet!i!kursen!som!gavs!efter!att!ett!lÀsÄr!gÄtt!sedan!införandet!av!GY11.!Elever!som!skrev!detta!prov!hade!gÄtt!i!grundskolan!enligt!den!gamla!skolformen,!och!var!kanske!bÀttre!förberedda!för!den!gamla!introduktionskursen!Matematik!A!dÄ!de!kom!till!gymnasiet!Àn!för!Ma!1b!som!hade!ett!annat!innehÄll.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1!Skolverket,!Internationella!studier,!2014,!tillgÀnglig:!http://www.skolverket.se/statistikJochJutvardering/internationellaJstudier!(hÀmtad!2014J10J22)!2!Skolverket,!SIRIS!J!Nationella!prov,!2014,!tillgÀnglig:!http://siris.skolverket.se/siris/f?p=SIRIS:114:0::NO!(hÀmtad!2014J11J20)!
![Page 7: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/7.jpg)
!!
7!
!En!hypotes!Ă€r!att!elever!kan!uppleva!nationella!provet!i!kurs!1!som!lĂ€ttare!Ă€n!vad!innehĂ„llet!i!kursen!Ă€r!och!utifrĂ„n!detta!överskatta!sin!âförmĂ„ga!att!skriva!nationella!provâ.!I!slutet!av!kurs!2!kanske!dessa!elever!istĂ€llet!upplever!det!nationella!kursprovet!i!denna!kurs!som!svĂ„rare!Ă€n!vad!de!hade!förvĂ€ntat!sig.!Statistiken!visar!att!ett!glapp!skapats!mellan!de!tvĂ„!kurserna!dĂ„!det!till!exempel!under!de!senare!av!de!redovisade!Ă„ren!Ă€r!en!större!andel!elever!som!fĂ„r!F!i!kurs!2!Ă€n!i!kurs!1.!!Statistiken!bör!dock!inte!lĂ€sas!sĂ„!att!för!stor!vikt!lĂ€ggs!vid!att!vt!2012!skrev!en!större!andel!elever!F!i!kurs!1!jĂ€mfört!med!motsvarande!andel!F!i!kurs!2!vt!2013.!MĂ„nga!av!dessa!elever!kan!antas!vara!samma!elever,!men!det!var!bara!ca!18!000!elever!som!redovisades!ha!skrivit!NP!Ma2b!vt!2013!jĂ€mfört!med!ca!30!000!elever!för!NP!Ma1b!vt!2012.!!För!att!sĂ€tta!resultaten!i!relation!till!resultaten!pĂ„!kurserna!1c!och!2c,!för!naturvetare!och!tekniker,!bör!Ă€ven!motsvarande!siffror!för!dessa!kurser!presenteras.!Dessa!prov!skrivs!varje!gĂ„ng!av!fĂ€rre!elever!Ă€n!proven!ovan,!men!de!har!istĂ€llet!skrivits!fler!gĂ„nger!Ă€n!för!kurserna!1b!och!2b.!För!1c!ligger!andelen!F!pĂ„!de!hittills!skrivna!proven!mellan!2,7!%!och!5,4!%,!motsvarande!siffror!för!2c!Ă€r!att!andelen!F!ligger!mellan!10,9!%!och!15,4!%.!Det!gĂ„r!att!dra!slutsatsen!att!Ă€ven!för!naturvetarJ!och!teknikelever!Ă€r!kursinnehĂ„llet!lĂ€ttare!att!ta!till!sig!i!kurs!1!jĂ€mfört!med!kurs!2,!men!att!en!mindre!andel!över!lag!fĂ„r!underkĂ€nda!betyg!i!matematik!jĂ€mfört!med!samhĂ€llsvetarJ!och!ekonomielever.!!En!mycket!viktig!frĂ„ga!som!dyker!upp!och!behöver!undersökas!Ă€r:!Vad%Ă€r%det%som%gör%att%eleverna%har%sĂ„%svĂ„rt%med%just%denna%kurs?%%!
1.2 LÀxlÀsning0!LÀrarledd!undervisningstid!omtalas!inte!sÀllan!som!en!bristvara.!För!den!omnÀmnda!kvÀllskursen!pÄ!komvux!Àr!den!sammanlagda!tiden!54!timmar,!inkluderande!tvÄ!provskrivningar,!det!vill!sÀga!en!tre!timmar!lÄng!lektion!en!gÄng!i!veckan,!under!en!termin.!Gymnasieelever!har!ofta!mer!undervisningstid.!Skollagen!slÄr!fast!att!elever!pÄ!högskoleförberedande!program!har!rÀtt!till!minst!2!180!undervisningstimmar!om!60!minuter.3!Utslaget!i!lika!stora!andelar!för!varje!poÀng!av!de!2500!poÀng!som!högskoleförberedande!examen!innehÄller,!motsvarar!kursen!Ma2b,!som!Àr!pÄ!100!poÀng,!dÀrmed!87,2!undervisningstimmar.!Oavsett!Àr!troligen!i!bÄda!fallen!den!knappa!tiden!lÄngt!ifrÄn!tillrÀcklig!för!elever!att!ta!till!sig!kursinnehÄllet!pÄ!den!nivÄ!som!krÀvs!för!ett!godkÀnt!kursbetyg.!!!Elever!behöver!lÀgga!ner!tid!utöver!lektionstid!pÄ!lÀxlÀsning.!John!Hattie!presenterar!2009!en!sÄ!kallad!meta?meta?analys!av!en!stor!mÀngd!effektstudier!i!skolan!i!vilken!han!anvÀnder!effektstorlek!som!mÄttenhet!för!att!mÀta!hur!mycket!olika!faktorer!pÄverkar!elevers!studieresultat.4!Effektstorlek!Àr!en!term!som!Àr!hÀmtad!frÄn!medicinsk!forskning!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!3!SFS!2010:800,!Skollag,!16!kap.,!Utbildning%pÄ%nationella%program%i%gymnasiet,!18!§.!4!Hattie,!J.,!Synligt%lÀrande:%en%syntes%av%mer%Àn%800%metaanalyser%om%vad%som%pÄverkar%elevers%skolresultat,!Natur!&!Kultur,!Stockholm,!2014.!
![Page 8: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/8.jpg)
!!
8!
och!mÀts!huvudsakligen,!ibland!med!smÄ!modifieringar,!enligt!nÄgot!av!följande!tvÄ!sÀtt,!se!nedan:!!
d =”behandling â”kontroll
Ïeller d =
”efter behandling â” före behandling
Ï!
!En!faktor!som!Hattie!studerar!Àr!förekomst!av!hemlÀxor.!Studien!av!hemlÀxors!pÄverkan!omfattar!5!metaanalyser!av!totalt!sett!161!studier!och!dÀrmed!motsvarande!ett!elevunderlag!pÄ!över!100!000!elever.!Resultaten!visar!att!det!finns!markanta!skillnader!i!effekt!hos!grundskoleJ!jÀmfört!med!gymnasieelever.!MedelvÀrdet!av!effekterna!pÄ!studier!i!grundskolan!Àr!d=0,15,!medan!motsvarande!siffra!för!gymnasiet!Àr!d=0,64.!!!Effekterna!kan!bedömas!utifrÄn!en!skala!dÀr! d < 0 !motsvarar!motsatt!eller!negativ!effekt,!0 < d †0,15 !motsvarar!effekt!som!skulle!kunna!uppnÄs!utan!pÄverkan!eller!lÄg!effekt,!0,15< d †0, 4motsvarar!effekt!som!uppnÄs!med!undervisning!eller!medeleffekt!och! d > 0, 4motsvarar!önskad!effekt!eller!hög!effekt.!De!givna!grÀnserna!ska!inte!ses!som!orubbliga,!men!de!utgör!en!tumregel!sÄ!att!det!finns!nÄgot!att!följa.!!En!intressant!notering!som!Hattie!gör!Àr!att!effekterna!Àven!ser!ut!att!vara!större!för!högpresterande!elever!Àn!för!lÄgpresterande.!Han!varnar!Àven!för!att!i!de!fall!hemlÀxor!inte!följs!upp!av!lÀraren,!finns!risken!att!en!förstÀrkning!sker!av!elevers!kÀnsla!av!att!han!eller!hon!inte!kan!lÀra!sig!pÄ!egen!hand!och!dÀrmed!inte!kan!klara!av!skolarbetet.5!!VÀrt!att!ha!i!beaktande!Àr!att!tyngdpunkten!av!alla!studier!som!Hattie!har!analyserat!Àr!frÄn!engelsksprÄkiga!lÀnder.!Definitionen!av!hemlÀxor!verkar!Àven!vara!snÀvt!definierad!till!uppgifter!som!lÀrare!gett!till!eleverna!och!som!Àr!avsedda!att!utföras!utanför!lektionstid.6!!
1.3 Youschool,0en0virtuell0skola0pÄ0nÀtet0!Elever!kan!behöva!hjÀlp!med!lÀxlÀsningen,!dels!med!utformning!av,!och!innehÄll!i,!lÀxlÀsningen!och!dels!med!sjÀlva!genomförandet!av!den.!Youschool7!Àr!ett!lÀxhjÀlpsföretag!vars!affÀrsidé!gÄr!ut!pÄ!att,!till!ett!överkomligt!pris,!erbjuda!elever!stödundervisning!via!internet!i!frÀmst!grundskoleJ!och!gymnasiematematik.!LÀxhjÀlpen!utformas!av!virtuella!lektioner!dÀr!elever!i!grupper!om!cirka!tvÄ!till!fyra!elever!under!handledning!av!en!lÀrare!arbetar!med!matematikuppgifter.!En!begrÀnsning!i!tekniken!Àr!dock!att!det!maximalt!gÄr!att!följa!vad!fyra!personer!gör!samtidigt.!!Tekniskt!krÀvs,!för!att!lektionerna!pÄ!Youschool!ska!fungera!som!tÀnkt,!att!bÄde!lÀrare!och!elever!har!en!dokumentkamera!och!Àr!uppkopplade!till!internet.!I!grunden!utgör!Youschools!hemsida!en!lÀrplattform!dÀr!bÄde!lÀrare!och!elever!kan!kommunicera!med!varandra!muntligt!och!skriftligt.!För!att!det!ska!gÄ!att!se!varandras!skrifter!lÀggs!ett!vanligt!skrivhÀfte!under!dokumentkameran!som!Àr!kopplad!till!internet!via!en!dator.!Det!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!5!ibid.!s.!315.!6!ibid.!s.!314.!7!Youschool,!webbplats:!www.youschool.se!
d=effektstorlek ”=medelvĂ€rde Ï=standardavvikelse
![Page 9: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/9.jpg)
!!
9!
gÄr!dÄ!för!alla!nÀrvarande!att!följa!varandras!resonemang!i!skrift,!live,!Àven!om!alla!inte!befinner!sig!pÄ!samma!plats.!En!artikel!i!Aftonbladet!fÄngar!essensen!av!det!som!gör!att!Youschool!kan!vara!tilltalande!att!prova!som!ett!komplement!till!undervisningen.!!!!
âYouschool!ska!enligt!Fredrik8!kĂ€nnas!som!en!blandning!mellan!Facebook,!Youtube!och!Skype,!och!Ă€r!en!virtuell!skola!dĂ€r!man!som!elev!kan!vĂ€lja!ett!klassrum!med!lĂ€rare!eller!dĂ€r!man!kan!plugga!tillsammans!med!sina!kompisar.![âŠ]!!!Nyckeln!till!interaktiviteten!ligger!i!webbkameran[dokumentkameran],!men!att!bara!se!varandras!ansikten!hjĂ€lper!inte!mycket!nĂ€r!man!ska!visa!krĂ„ngliga!matteutrĂ€kningar.!DĂ€rför!sĂ€ljer!Youschool!en!egen!webbkamera![dokumentkamera]!som!istĂ€llet!filmar!anteckningsblocket!vid!sidan!av!datorn.!âJag!vet!att!det!Ă€r!vĂ€ldigt!âanalogtâ!att!anvĂ€nda!papper!och!penna,!men!rent!pedagogiskt!Ă€r!det!snabbt!enkelt!och!överlĂ€gset!mest!effektivt.!VĂ„r!kameralösning!Ă€r!ganska!unik,!och!vi!föredrar!förstĂ„s!att!vĂ„ra!elever!anvĂ€nder!den!förr!eller!senare.ââ%9%%
Ett!sidoprojekt!som!ocksÄ!bedrivs!pÄ!Youschool!Àr!inspelning!av!filmer!med!lösningförslag!till!flera!av!de!vanligaste!lÀroböckerna!i!matematik!i!svensk!gymnasieJ!och!grundskola.!Filmerna!kan!ses!gratis!för!alla!som!skapar!ett!konto!pÄ!Youschool.!
!
1.4 Pilotstudie0pÄ0komvux0!För!att!ÄtergÄ!till!komvuxeleverna!pÄ!kvÀllskursen!ht!2012,!sÄ!informeras!de!om!den!stora!vikten!av!att!utöver!lektionstid!kontinuerligt!plugga!i!kursen.!I!viss!utstrÀckning!följer!flera!av!eleverna!ocksÄ!instruktionerna.!Trots!ambitionerna!sÄ!lyckas!ett!flertal!av!kursdeltagarna!inte!nÄ,!alternativt!kan!inte!uppvisa,!den!kunskapsnivÄ!som!krÀvs!för!ett!godkÀnt!betyg!i!Ma2b.!!!Inför!kursstarten!av!kvÀllskursen!vt!2013!kommer!jag!i!kontakt!med!Youschool.!Med!en!ny!grupp!elever!i!samma!kurs!gör!jag!under!vt!2013!ett!pilotprojekt!för!att!undersöka!och!öka!förstÄelsen!kring!hur!YS!skulle!kunna!utvecklas!som!ett!stöd!i!Ma!2b,!komvuxeleverna.!!!I!projektet!tillkommer!tvÄ!timmars!undervisningstid!varje!vecka.!Eleverna!har!kvÀllen!innan!varje!lektion!möjlighet!att!gÄ!in!pÄ!Youschools!lÀrplattform!och!dÀr!besöka!mitt!klassrum!under!dessa!tvÄ!timmar!för!att!fÄ!lÀxhjÀlp.!DÄ!de!gÄr!in!i!klassrummet!under!angiven!tid!finns!jag!dÀr!för!att!hjÀlpa!dem!med!den!teori!och!uppgifter!som!de!har!svÄrt!med.!Varje!ordinarie!undervisningspass!i!kvÀllskursen!inleds!dÀrefter!med!ett!kort!skriftligt!lÀxförhör,!vilket!följs!av!en!genomgÄng!av!förhörsuppgifterna!sÄ!att!eleverna!fÄr!snabb!feedback!pÄ!sina!prestationer.!!Med!dessa!tillÀgg!gjorda!i!upplÀgget!för!kvÀllskursen!minskar!andelen!elever!som!fÄr!F!i!kursen!frÄn!75!%,!ht!2012,!till!45!%,!vt!2013.!Dessutom!ökar!antalet!elever!som!Àr!kvar!i!kursen!vid!kursslut,!frÄn!16!till!20!elever,!rÀknat!utifrÄn!att!det!vid!de!tvÄ!olika!kursstarterna!var!ungefÀr!lika!mÄnga!elever!vid!kursstart.!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!8!Fredrik!Jansson,!grundare!av!och!matematiklÀrare!pÄ!Youschool!9!von!Essen,!C.,!Din!skola!pÄ!nÀtet,!Aftonbladet,%Fokus:%Studera,!Mars!2013!
![Page 10: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/10.jpg)
!!
10!
Att!siffrorna!rimmar!dĂ„ligt!med!totalundersökningen!av!nationella!provresultat,!se!1.1,!bör!i!sammanhanget!försvaras!nĂ„got.!Dels!med!att!flertalet!av!eleverna!pĂ„!komvux!som!lĂ€ser!kursen!Ma2b!inte!gör!det!för!första!gĂ„ngen!utan!har!ett!okĂ€nt!antal!misslyckade!försök!bakom!sig.!Dels!med!att!det!nationella!provet!inte!Ă€r!obligatoriskt!för!komvuxelever!och!att!de!dĂ€rmed!inte!ingĂ„r!i!statistiken.!!Eftersom!pilotstudien!endast!omfattar!ett!litet!elevunderlag,!rör!det!sig!inte!om!nĂ„gon!statistisk!studie.!DĂ€rmed!Ă€r!det!svĂ„rt!att!kunna!avgöra!ifall!det!finns!nĂ„gra!avgörande!faktorer!i!och!med!de!nĂ€mnda!förĂ€ndringarna!av!kursen,!eller!om!det!bara!rĂ„kar!röra!sig!om!att!det!Ă€r!andra!elever!under!de!tvĂ„!olika!terminerna.!Vidare!gĂ„r!det!tyvĂ€rr!heller!inte!att!sĂ€ga!nĂ„got!om!i!vilken!utstrĂ€ckning!den!extra!lĂ€rarledda!lĂ€xlĂ€sningstiden!eller!de!Ă„terkommande!förhören!separat!frĂ„n!varandra!skulle!kunna!tĂ€nkas!bidra!till!en!eventuell!positiv!effekt.!Det!skulle!kunna!vara!sĂ„!att!det!positiva!utslaget!Ă€r!ett!resultat!av!de!bĂ„da!förĂ€ndringarna!i!kombination.!%Ăven!lĂ€sĂ„r!ht!14/vt!15!testar!jag!ett!liknande!kursupplĂ€gg,!men!denna!gĂ„ng!för!gymnasielever.!Gymnasieungdomarna!erbjuds!samma!kvĂ€llslĂ€xhjĂ€lp!och!ungefĂ€r!en!gĂ„ng!per!vecka!har!Ă€ven!de!lĂ€xförhör!som!Ă€r!utformade!pĂ„!ungefĂ€r!samma!sĂ€tt!som!för!komvuxeleverna.!DĂ€rvid!upphör!likheterna!med!pilotstudien.!Eleverna!lĂ€ser!pĂ„!en!annan!skola.!Undervisningen!strĂ€cker!sig!över!ett!lĂ€sĂ„r!istĂ€llet!för!under!en!termin.!De!har!tre!kortare!undervisningspass!i!veckan!istĂ€llet!för!ett!enda!lĂ€ngre!pass.!De!lĂ€ser!i!skolan!pĂ„!dagtid.!De!har!en!annan!lĂ€robok.!Dessa!elevers!studieresultat,!som!grupp!betraktat,!visar!vid!en!jĂ€mförelse!med!föregĂ„ende!Ă„rs!elevers!resultat,!dĂ„!Youschool!inte!tillĂ€mpades,!tyvĂ€rr!inga!förĂ€ndringar.!BerĂ€kningarna!som!gjordes!var!i!andelar!elever!som!fĂ„r!högre,!lĂ€gre!eller!oförĂ€ndrat!betyg!i!kurs!2!jĂ€mfört!med!i!kurs!1.!!
1.5 Denna0studie0i0korthet0*UtifrĂ„n!mitt!perspektiv,!ett!lĂ€rarperspektiv,!bidrar!de!framsteg!som!pilotstudien!pĂ„!komvux!eventuellt!visar!till!att!jag!blir!intresserad!av!att!göra!en!kvalitativ!studie!som!undersöker!vilka!möjligheter!till!stöd!som!gĂ„r!att!finna!i!Youschool,!för!elever!i!sitt!lĂ€rande.!En!annan!utgĂ„ngspunkt!för!denna!studie!Ă€r!min!utbildning,!Civilingenjör!och!lĂ€rare!med!inriktningen!kemi!och!matematik!vid!KTH.!I!utbildningen!lĂ€rde!jag!mig!att!anta!ett!âlösningsorienterat!perspektivâ,!kanske!Ă€r!det!dĂ€rför!som!jag!ofta!stimuleras!av!att!upptĂ€cka!problem!och!att!undersöka!om!jag!kan!hitta!lösningar!pĂ„!dem.!MĂ„let!med!denna!studie!Ă€r!att!undersöka!om!Youschool!kan!vara!ett!pedagogiskt!och!effektivt!redskap!i,!eller!ett!komplement!till,!undervisningen!i!problemkursen!Ma2b.!!I!kapitel!2!studeras!först!de!styrdokument!frĂ„n!skolverket!som!ligger!till!grund!för!Ma2b.!Studien!avgrĂ€nsas!sedan!till!att!behandla!de!delar!i!det!centrala!kursinnehĂ„llet!som!Ă€r!kopplat!till!funktionsbegreppet.!Vidare!redovisas!olika!tolkningar!av!kursens!styrdokument,!dels!av!de!ansvariga!för!de!nationella!proven,!dels!av!olika!lĂ€roboksförlag.!Kapitlet!avslutas!med!nĂ„gra!teorier!om!och!forskning!kring!lĂ€rande.!I!kapitel!3!beskrivs!studiens!syfte!och!de!frĂ„gestĂ€llningar!som!undersöks!i!studien.!I!kapitel!4!redogörs!för!de!metoder!för!kvalitativa!studier!som!anvĂ€nds,!intervjuer!och!lektionsobservation.!I!kapitel!5!redovisas!resultatet!av!de!undersökningar!som!görs!i!studien.!Studien!avslutas!i!kapitel!6!med!en!diskussion!om!resultatet,!kopplad!till!styrdokument!och!teori!om!lĂ€rande.!
![Page 11: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/11.jpg)
!!
11!
2 Teori0!
2.1 Centralt0innehÄll0och0bedömning0av0elevers0kunskaper0i0Ma2b0
Ămnesplanerna!i!lĂ€roplanen!Gy11!Ă€r!skrivna!med!rubrikerna!centralt%innehĂ„ll!och!kunskapskrav.%10!I!denna!studie!Ă€r!tolkningen!av!styrdokumenten!gjord!sĂ„!att!undervisningen!i!kursen!ska!handla!om!det!centrala!innehĂ„llet!i!kursen,!men!inte!att!eleverna!ska!bedömas!utifrĂ„n!vilka!kunskaper!inom!det!centrala!innehĂ„llet!som!de!visar!att!de!har!tillgodogjort!sig.!Elevernas!betyg!ska!bedömas!utifrĂ„n!vilka!kunskapskrav!som!de!har!uppfyllt.!!
NĂ„gon!vill!kanske!i!sammanhanget!passa!pĂ„!att!spetsfundigt!hĂ€vda!att!eleverna!kravlöst!kan!klara!kurserna!utan!att!de!egentligen!har!tillgodogjort!sig!nĂ„gra!kunskaper!om!det!centrala!innehĂ„llet.!För!att!undvika!att!detta!sker!anammas!dĂ€rför!hĂ€r!en!bedömningskultur!som!innebĂ€r!att!elevers!kunskaper!testas!genom!att!de!utsĂ€tts!för!vĂ€l!valda!uppgifter!som!Ă€r!avsedda!att!testa!kursinnehĂ„llet.!De!kunskapskrav!eller,!som!andra!kallar!dem,!de!förmĂ„gor%som!eleverna!har!tillgodogjort!sig!i!kursen!sĂ€tts!dĂ€rmed!âĂ€ndĂ„â!pĂ„!prov.!Beroende!pĂ„!hur!varierade!uppgifterna!Ă€r!och!med!exempelvis!lĂ€mpligt!valda!följdfrĂ„gor!gĂ„r!det!att!arrangera!sĂ„!att!eleverna!kan!behöva!tillĂ€mpa!de!flesta!eller!kanske!rentav!alla!matematiska!förmĂ„gor!i!en!sekvens!av!uppgifter.!Vilka!de!matematiska!förmĂ„gorna!Ă€r!och!hur!de!Ă€r!kopplade!till!kunskapskraven!utreds!nĂ€rmre!efter!att!det!centrala!innehĂ„llet!har!presenterats.!
Centralt%innehÄll%i%Ma2b%
Eftersom!det!i!studien!undersöks!hur!elever!pÄ!Youshool!arbetar!med!funktioner!sÄ!hÀnsyn!taget!till!detta!i!urvalet!ur!det!centrala!innehÄllet!i!Ma2b!nedan.!Utvalt!Àr!allt!i!det!centrala!innehÄllet!som!handlar!om!funktioner,!men!under!den!observerade!lektionen!i!studien!arbetar!eleverna!enbart!med!punkt!2!och!punkt!4.!
âUndervisningen!i!kursen!ska!behandla!följande!centrala!innehĂ„ll:**
⹠Begreppet!logaritm!i!samband!med!lösning!av!exponentialekvationer.!!⹠RÀta!linjens!ekvation!samt!hur!analytisk!geometri!binder!ihop!geometriska!och!algebraiska!begrepp.!
!âą Egenskaper!hos!andragradsfunktioner.!
âą Konstruktion!av!grafer!till!funktioner!samt!bestĂ€mning!av!funktionsvĂ€rde!och!nollstĂ€lle,!med!och!utan!digitala!verktyg.â!
% %
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!10!Skolverket,!Ămne!â!Matematik,!2014,!tillgĂ€nglig:!http://www.skolverket.se/laroplaner-amnen-och-kurser/gymnasieutbildning/gymnasieskola/mat?tos=gy&subjectCode=mat&lang=sv!(hĂ€mtad!2015J06J04)!
![Page 12: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/12.jpg)
!!
12!
Kunskapskrav%för%Ma2b%
Kunskapskraven!har!av!flera!styrdokumentstolkare!försökt!att!konkretiseras!genom!att!de!kategoriseras!i!7!förmÄgor!som!elever!ska!ges!möjlighet!att!utveckla!i!undervisningen.!Sedan!ska!elevernas!betyg!bedömas!i!utifrÄn!den!nivÄ!pÄ!varje!av!förmÄgorna!som!de!uppnÄtt!i!slutet!av!kursen.!FörmÄgorna!som!hÀr!skrivs!kursivt!har!sin!grund!i!skolverkets!sammanfattning!av!gymnasieÀmnet!matematiks!syfte11!och!Àr!formulerade!i!tabell!2.1.1.!
FörmĂ„ga! Förkortning! Skolverkets!definition!âUndervisningen!i!Ă€mnet!matematik!ska!ge!eleverna!förutsĂ€ttningar!att!utveckla!förmĂ„ga!att:!
Begrepp% B anvÀnda och beskriva innebörden av matematiska begrepp samt samband mellan begreppen.
Procedur% P hantera procedurer och lösa uppgifter av standardkaraktÀr utan och med verktyg.
Problemlösning% PL formulera, analysera och lösa matematiska problem samt vÀrdera valda strategier, metoder och resultat.
Modellering% M tolka en realistisk situation och utforma en matematisk modell samt anvÀnda och utvÀrdera en modells egenskaper och begrÀnsningar.
Resonemang% R följa, föra och bedöma matematiska resonemang.
Kommunikation K kommunicera matematiska tankegÄngar muntligt, skriftligt och i handling.
Relevans Rlv relatera matematiken till dess betydelse och anvĂ€ndning inom andra Ă€mnen, i ett yrkesmĂ€ssigt, samhĂ€lleligt och historiskt sammanhang.â
! Tabell02.1.1.0Skolverkets!definition!av!matematiska!förmÄgor!med!gÀngse!förkortningar.0
Som!har!setts!avsnitt!1.1!om!resultat!frÄn!nationella!proven,!betygssÀtts!elever!enligt!en!6Jgradig!skala,!dÀr!F!Àr!det!lÀgsta!betyget!och!underkÀnt,!E!det!nÀst!lÀgsta!och!första!godkÀnda!betyget!och!A!det!högsta!betyget.!Det!Àr!för!betygen!E,!C!och!A!som!det!finns!kunskapskrav.!Mellanbetygen!D!och!B,!ges!de!elever!som!inte!fullt!ut,!men!till!övervÀgande!del,!har!uppfyllt!kunskapskraven!för!ett!högre!betyg!i!betygsskalan.!I!Appendix!I!Äterfinns!de!fullstÀndiga!kunskapskraven!i!skolverkets!egen!matris.!
Ett!exempel!pĂ„!konkretisering!som!kan!göras!av!kunskapskraven!i!Ma2b!Ă€r!kopplat!till!förmĂ„gorna!i!tabell!2.1.1!ovan!kan!ses!i!tabell!2.1.2!pĂ„!nĂ€sta!sida.!Urvalet!av!kunskapskrav!som!presenteras!i!denna!tabell!Ă€r!gjort!sĂ„!att!det!Ă€r!kopplat!till!vilka!uppgifter!eleverna!fĂ„r!i!uppdrag!att!arbeta!med!pĂ„!den!lektion!pĂ„!Youschool!som!observeras!i!denna!studie.!Kunskapskrav!knutna!till!förmĂ„gan!relevans!Ă€r!dĂ€rför!inte!redovisade!i!tabellen.!Kunskapskrav!knutna!till!förmĂ„gan!kommunikation!Ă€r!samtidigt!knutna!till!andra!förmĂ„gor!som!till!exempel!förmĂ„gan!begrepp,!dĂ€rför!finns!heller!inte!kommunikation!med!i!tabellen.!Kunskapskrav!finns!som!nĂ€mnts!tidigare!endast!för!betygen!E,!C!och!A,!och!vid!en!nĂ€rmre!observation!kan!ses!att!kravformuleringarna!överensstĂ€mmer!för!alla!tre!betygen!i!allt!utom!de!fetmarkerade!orden.!Dessa!avvikande!ord!Ă€r!de!âvĂ€rdeordâ!som!ska!anvĂ€ndas!vid!bedömning,!i!exempelvis!kraven!som!kopplats!till!förmĂ„gan!begrepp!anvĂ€nds!bland!andra!orden!översiktligt!kontra!utförligt!för!att!skilja!mellan!tvĂ„!olika!betygsnivĂ„er.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!11!Skolverket,!Ămne!â!Matematik,!2014
![Page 13: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/13.jpg)
!!
13!
! E0 C0 A0Begrepp Eleven kan översiktligt
beskriva innebörden av centrala begrepp med hjÀlp av nÄgra representationer samt översiktligt beskriva sambanden mellan begreppen.
Eleven kan utförligt beskriva innebörden av centrala begrepp med hjÀlp av nÄgra representationer samt utförligt beskriva sambanden mellan begreppen.!
Eleven kan utförligt beskriva innebörden av centrala begrepp med hjÀlp av flera representationer samt utförligt beskriva sambanden mellan begreppen. !
Dessutom vÀxlar eleven med viss sÀkerhet mellan olika representationer.!
Dessutom vÀxlar eleven med viss sÀkerhet mellan olika representationer.
Dessutom vÀxlar eleven med sÀkerhet mellan olika representationer. !
Dessutom uttrycker sig eleven med viss sÀkerhet i tal, skrift och handling med inslag av matematiska symboler och andra representationer.
Dessutom uttrycker sig eleven med viss sÀkerhet i tal, skrift och handling samt anvÀnder matematiska symboler och andra representationer med viss anpassning till syfte och situation.
Dessutom uttrycker sig eleven med sÀkerhet i tal, skrift och i handling samt anvÀnder matematiska symboler och andra representationer med god anpassning till syfte och situation.
Procedur I arbetet hanterar eleven nÄgra enkla procedurer och löser uppgifter av standardkaraktÀr med viss sÀkerhet, bÄde utan och med digitala verktyg.
I arbetet hanterar eleven flera procedurer och löser uppgifter av standardkaraktÀr med sÀkerhet, bÄde utan och med digitala verktyg.
I arbetet hanterar eleven flera procedurer och löser uppgifter av standardkaraktÀr med sÀkerhet och pÄ ett effektivt sÀtt, bÄde utan och med digitala verktyg.
Problem-lösning
Eleven kan med viss sÀkerhet anvÀnda begrepp och samband mellan begrepp för att lösa matematiska problem och problemsituationer i karaktÀrsÀmnena i bekanta situationer.
Eleven kan med viss sÀkerhet anvÀnda begrepp och samband mellan begrepp för att lösa matematiska problem och problemsituationer i karaktÀrsÀmnena.!
Eleven kan med sÀkerhet anvÀnda begrepp och samband mellan begrepp för att lösa komplexa matematiska problem och problemsituationer i karaktÀrsÀmnena.!
Modellering I arbetet gör eleven om realistiska problemsituationer till matematiska formuleringar genom att tillÀmpa givna matematiska modeller.
I arbetet gör eleven om realistiska problemsituationer till matematiska formuleringar genom att vÀlja och tillÀmpa matematiska modeller.
I arbetet gör eleven om realistiska problemsituationer till matematiska formuleringar genom att vÀlja, tillÀmpa och anpassa matematiska modeller.
Resonemang Eleven kan föra enkla matematiska resonemang och vÀrdera med enkla omdömen egna och andras resonemang samt skilja mellan gissningar och vÀlgrundade pÄstÄenden
Eleven kan föra vÀlgrundade matematiska resonemang och vÀrdera med nyanserade omdömen egna och andras resonemang samt skilja mellan gissningar och vÀlgrundade pÄstÄenden.
Eleven kan föra vÀlgrundade och nyanserade matematiska resonemang, vÀrdera med nyanserade omdömen och vidareutveckla egna och andras resonemang samt skilja mellan gissningar och vÀlgrundade pÄstÄenden.
Tabell02.1.2.00Urval!av!kunskapskrav!kopplade!till!matematiska!förmÄgor.!
![Page 14: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/14.jpg)
!!
14!
BÄde!författare!till!de!nationella!proven!och!till!flertalet!av!de!mest!anvÀnda!lÀroböckerna!har!beslutat!sig!för!att!pÄ!olika!sÀtt!och!i!olika!grad!ta!fasta!pÄ!dessa!förmÄgor.!
PRIMJguppen!som!ansvarar!för!provkonstruktionen!av!de!nationella!proven!för!grundskolan!och!för!gymnasiekurserna!Ma1a,!1b,!och!1c!har!sammanstÀllt!en!7!gÄnger!3Jmatris!dÀr!varje!förmÄga!tilldelats!de!tre!betygsnivÄerna!E,!C!och!A,!liknande!den!i!tabell!2.1.2.12!Elevsvaren!pÄ!uppgifter!pÄ!de!nationella!proven!poÀngsÀtts!utifrÄn!hur!fullstÀndig!och!korrekt!en!lösning!pÄ!dem!bedöms!vara.!Vissa!uppgifter!pÄ!proven!innehÄller!en!eller!fÄ!poÀng,!alltsÄ!bedömningspunkter,!medan!andra!innehÄller!betydligt!fler.!PoÀngen!Àr!ocksÄ!nivÄbestÀmd,!och!kallas!beroende!pÄ!nivÄ!för!EJ,!CJ!eller!AJpoÀng.!Till!varje!poÀng!kopplas!en!av!de!sju!förmÄgorna.!Oavsett!hur!mÄnga!av!förmÄgorna!som!eleven!behöver!behÀrska!för!att!kunna!avge!ett!poÀnggivande!svar!sÄ!görs!en!avvÀgning!vilken!av!förmÄgorna!som!uppgiften!huvudsakligen!testar.!Det!Àr!denna!förmÄga!som!ocksÄ!blir!kopplade!till!poÀngen.!Man!anvÀnder!dÄ!förkortningarna!i!tabell!2.1.1.!Till!exempel,!EP,!Betyder!en!poÀng!pÄ!EJnivÄ!dÀr!den!huvudsakliga!förmÄgan!som!har!bedömts!testas!i!uppgiften!Àr!procedur.!Samtliga!förmÄgor!utom!relevans!kopplas!pÄ!detta!sÀtt!till!poÀngen!pÄ!de!nationella!proven.!
Institutionen!för!tillÀmpad!utbildningsvetenskap!vid!UmeÄ!universitet!som!ansvarar!för!konstruktionen!av!de!nationella!proven!i!de!högre!kurserna!pÄ!gymnasiet!anvÀnder!samma!system!för!poÀngsÀttning!av!provuppgifter!som!görs!under!PRIMJgruppens!ansvar.!AvvÀgningar!av!vad!som!Àr!den!huvudsakliga!förmÄgan!som!testas!i!uppgifterna!kan!dÀremot!antas!skilja!frÄn!mellan!de!tvÄ!olika!huvudmÀnnen!för!de!nationella!proven.!Figur!2.1.3.!visar!ett!exempel!pÄ!uppgift!med!tillhörande!bedömningsanvisning!frÄn!provkonstruktören.!Uppgiften!Àr!första!uppgiften!pÄ!det!nationella!provet!i!Ma2b!vt!2012,!ett!av!de!prov!som!slÀppts!för!att!kunna!anvÀndas!som!övningsprov!i!undervisning.!I!bedömningen!kan!ses!att!aJuppgiften!har!avvÀgts!testa!frÀmst!förmÄgan!procedur!respektive!bJuppgiften!frÀmst!förmÄgan!begrepp.!Uppgiften!Àr!Àven!den!inledande!uppgift!som!elever!arbetar!med!under!en!lektion!pÄ!Youschool,!se!4.2!och!5.2.!
! !
!Figur02.1.3.00Uppgift!1!pÄ!NP!Ma2b!vt!2012,!med!bedömningsanvisning.13!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!12!Stockholms%universitet,!PRIM?gruppen,%Dokument,!2014,!tillgÀnglig:!http://www.su.se/polopoly_fs/1.129061.1402923516!/menu/standard/file/A4_Kunskapskrav%201bc%20i%20matrisform_140128.pdf!(hÀmtad!2015J06J24)!13!UmeÄ%universitet,!Nationella!kursprov!i!matematik!2J4,!2015,!tillgÀnglig:!http://www.edusci.umu.se/np/npJ2J4/tidigareJgivnaJprov/!(hÀmtad!2015J06J15)!
NpMa2b vt 2012
2
1.
a) BestĂ€m ekvationen för den rĂ€ta linjen i figuren. ______________________(1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rĂ€t linje med riktningskoefficienten 1ïżœ k (1/0/0) 2. Förenkla uttrycket 25)5)(5( ïżœïżœïżœ xx sĂ„ lĂ„ngt som möjligt.
______________________(1/0/0) 3. Lös ekvationerna a) 0)7( ïżœxx ______________________(1/0/0) b) 3lg x ______________________(1/0/0) c) xx 23 222 ïżœ ______________________(0/1/0)
Del I: Digitala verktyg Àr inte tillÄtna. Endast svar krÀvs. Skriv dina svar direkt i provhÀftet.
NpMa2b vt 2012
8
Bedömningsanvisningar Exempel pĂ„ ett godtagbart svar anges inom parentes. Till en del uppgifter Ă€r bedömda elevlös-ningar bifogade för att ange nivĂ„n pĂ„ bedömningen. Om bedömda elevlösningar finns i mate-rialet markeras detta med en symbol. Del I 1. Max 2/0/0 a) Korrekt svar ( 42 ïżœ xy ) +1EP b) Godtagbart ritad rĂ€t linje +1EB 2. Max 1/0/0 Korrekt svar ( 2x ) +1EP 3. Max 2/1/0 a) Korrekt svar ( 7och0 21 ïżœ xx ) +1EP b) Korrekt svar ( 310 x ) +1EP c) Korrekt svar ( 3 x ) +1CP 4. Max 1/0/0 Korrekt svar (Alternativ B: 062 ïżœx ) +1EB 5. Max 0/1/0 Korrekt svar ( xy 35,07 ïżœ ) +1CM 6. Max 0/1/0 Korrekt svar ( 2ïżœ x ) +1CB 7. Max 0/1/1
a) Korrekt svar ( 7m
x ) +1CP
b) Korrekt svar žÂč·
š©§
3x +1AP
NpMa2b vt 2012
2
1.
a) BestĂ€m ekvationen för den rĂ€ta linjen i figuren. ______________________(1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rĂ€t linje med riktningskoefficienten 1ïżœ k (1/0/0) 2. Förenkla uttrycket 25)5)(5( ïżœïżœïżœ xx sĂ„ lĂ„ngt som möjligt.
______________________(1/0/0) 3. Lös ekvationerna a) 0)7( ïżœxx ______________________(1/0/0) b) 3lg x ______________________(1/0/0) c) xx 23 222 ïżœ ______________________(0/1/0)
Del I: Digitala verktyg Àr inte tillÄtna. Endast svar krÀvs. Skriv dina svar direkt i provhÀftet.
![Page 15: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/15.jpg)
!!
15!
Ăven!lĂ€roboksförfattare!har!lagt!fokus!pĂ„!dessa!förmĂ„gor!pĂ„!olika!sĂ€tt.!Sanoma!har!poĂ€ngsatt!uppgifterna!i!sina!exempelprov!pĂ„!samma!sĂ€tt!som!görs!pĂ„!de!nationella!proven.!Exempelproven!tillhandahĂ„ller!de!lĂ€rarna!som!anvĂ€nder!deras!böcker.!Gleerups!har!för!alla!olika!uppgifter!eller!för!grupper!av!uppgifter!i!boken!mĂ€rkt!dem!med!vilken!förmĂ„ga!de!avser!att!testa.!Natur%och%kultur!hĂ„ller!pĂ„!att!utarbeta!en!mobilapp!som!i!vilken!de!uppgifter!frĂ„n!boken!som!hamnar!dĂ€r!kommer!att!vara!markerade!utifrĂ„n!vilka!förmĂ„gor!den!testar,!ungefĂ€r!pĂ„!samma!sĂ€tt!som!Gleerups!gör!i!sina!lĂ€roböcker.!Ett!snabbt!experiment!gjordes!under!en!övning!dĂ„!lĂ€rare!var!inbjudna!till!en!förelĂ€sning!om!Natur%och%Kulturs!planer!kring!elektroniska!lĂ€romedel.!Det!visade!sig!att!en!slumpvis!utvald!uppgift!frĂ„n!deras!lĂ€robok!kunde!bedömas!testa!helt!olika!förmĂ„gor!beroende!av!olika!lĂ€rare,!det!som!kanske!avgjorde!var!pĂ„!vilken!skola!lĂ€raren!undervisade,!vilka!program!som!gavs!pĂ„!skolan!eller!kortare!sagt!vilka!erfarenheter!lĂ€raren!hade.!!
2.2 Funktionsbegreppet0
Elevers!förstÄelse!för!begreppet!funktion!utgör!en!bas!och!Àr!en!avgrÀnsning!för!denna!studie.!FörutsÀttningarna!att!arbeta!med!den!del!av!det!centrala!innehÄllet!i!Ma2b!som!handlar!om!funktioner!beror!av!de!erfarenheter!av!funktioner!elever!har!med!sig!av!frÄn!i!tidigare!kurs,!Ma1b,!och!frÄn!grundskolan.!För!att!inte!göra!en!för!lÄng!tillbakablick!kan!det!rÀcka!med!att!studera!det!centrala!innehÄllet!i!Ma1b.!
âUndervisningen!i!kursen!ska!behandla!följande!centrala!innehĂ„ll:**
⹠Begreppen!funktion,!definitionsJ!och!vÀrdemÀngd!samt!egenskaper!hos!linjÀra!funktioner!och!potensJ!och!exponentialfunktioner.!!
âą Representationer!av!funktioner,!till!exempel!i!form!av!ord,!gestaltning,!funktionsuttryck,!tabeller!och!grafer.!
!âą Skillnader!mellan!begreppen!ekvation,!algebraiskt!uttryck!och!funktion.â14!
!Vad!Àr!en!funktion?!!!En!studie!av!hur!de!4!ledande!lÀroböckerna!för!gymnasiekurserna!i!matematik!presenterar!detta!ger!en!fingervisning.!I!tabell!2.2.1,!nÀsta!sida,!finns!en!sammanstÀllning!av!hur!en!funktion!definieras!i!lÀroböckerna!i!kursen!Ma1b.!Elever!förvÀntas!som!tidigare!nÀmnts!ha!med!sig!dessa!kunskaper!nÀr!de!börjar!kurs!2b.!! !
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!14!Skolverket,!Ămne!â!Matematik,!2014,!tillgĂ€nglig:!http://www.skolverket.se/laroplaner-amnen-och-kurser/gymnasieutbildning/gymnasieskola/mat?tos=gy&subjectCode=mat&lang=sv!(hĂ€mtad!2015J06J04)!
![Page 16: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/16.jpg)
!!
16!
!LÀrobok,!förlag!
Definition!av!funktion!
Origo, Sanoma
âEn funktion Ă€r ett samband eller ett beroende mellan tvĂ„ variabler. Man sĂ€ger att y Ă€r en funktion av x, om det till varje vĂ€rde pĂ„ x endast finns ett bestĂ€mt vĂ€rde pĂ„ y.â15
Ma 5000, Natur och kultur
âOm sambandet mellan tvĂ„ variabler x och y Ă€r sĂ„dant att varje x-vĂ€rde, enligt nĂ„gon regel, ger ett bestĂ€mt y-vĂ€rde, kan vi sĂ€ga att y Ă€r en funktion av x.16
Exponent, Gleerups
ây Ă€r en funktion av x om det finns en regel eller ett samband som för varje x-vĂ€rde i en given mĂ€ngd ger precis ett y-vĂ€rde. För att ange att y Ă€r en funktion x anvĂ€nds beteckningen y = f(x).â17
M, Liber Saknas
0 Tabell02.2.1.00Urval!av!kunskapskrav!kopplade!till!matematiska!förmÄgor.0!Alla!böckerna!utom%M!förklarar!vad!en!funktion!Àr!och!vÀljer!att!likna!den!vid!en!maskin,!som!ifall!man!stoppar!in!ett!invÀrde!i!maskinen!ger!tillbaka!ett!utvÀrde.!M!varken!försöker!sig!pÄ!att!definiera!eller!att!förklara!vad!en!funktion!Àr,!men!inleder!sitt!kapitel!om!funktioner!med!att!beröra!begreppet!kortfattat.!!
âOrdet!funktion!betyder!samband.!En!funktion!kan!vara!nĂ„got!helt!vardagligt!som!t!ex!att!telefonrĂ€kningen!beror!pĂ„!hur!mycket!du!ringer.!Ofta!beskrivs!funktioner!med!hjĂ€lp!av!formler,!tabeller!och!grafer.â%18%%
Resten!av!funktionskapitlet!i!M!bestÄr,!förutom!av!rÀkneuppgifter,!enbart!av!lösta!uppgiftsexempel.!Viktiga!tillhörande!begrepp!sÄsom!olika!representationsformer!för!en!funktion,!formel,!vÀrdetabell!och!graf,!illustreras!genom!smÄ!kommentarer!tillhörande!instruktioner!av!hur!rÀkneexempel!ska!lösas.!PÄ!liknande!sÀtt!introducerar!de!beteckningen f (x) ,!genom!att!utgÄ!frÄn!ett!exempel!pÄ!en!funktion!dÀr!kostnaden!beror!av!körstrÀckan!hos!en!hyrbil!samt!en!berÀkning!av!kostnaden!efter!8!körda!mil.!!
âLĂ€gg!mĂ€rke!till!att!K(8) Ă€r!ett!skrivsĂ€tt.!Det!Ă€r!inte!en!multiplikation!!HĂ€r!har!vi!anvĂ€nt!bokstaven!K!som!i!Kostnad.!Vanligast!Ă€r!att!anvĂ€nda!bokstaven!f,!som!i!ordet!funktion.â%19%
!Origo!utmÀrker!sig!genom!att!de!undviker!att!anvÀnda!begreppet!formel%som!representationsform!för!en!funktion.!Deras!kapitel!inleds!med!en!kommentar!om!hur!begreppet!funktion!anvÀnds!i!nÄgra!andra!sammanhang!Àn!inom!matematiken!innan!de!kommer!till!hur!det!bör!tolkas!i!matematiken.!DÀr!de!nÀmner!dÀr!att!en!funktion!kan!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!15!Szabo,!A.,!Larson,!N.,!Viklund!G.,!DufÄker,!D.,!Marklund,!M.,!Matematik%Origo%1b,!2!uppl.,!Sanoma!Utbildning,!Stockholm,!2011,!s.!178.!16!Alfredsson,!L.,!Björk,!L.!E.,!Brolin,!H.,!BrÄting,!K.,!Erixon,!P.,!Heikne,!H.,!RistamÀki,!A.,!Matematik%5000,%Kurs%1b%Grön%lÀrobok,%Natur!och!Kultur,!Stockholm!s.!316.!17!Gennow,!S.,!Gustafsson,!I.!M.,!Silborn,!B.,!Exponent%1b,!1!uppl.,!Gleerups!Utbildning!AB,!Malmö,!2011,!s.!202.!18!Holmström,!M.,!Smedhamre,!E.!och!Sjunnesson,!J.,!M%Matematik%1b,!1!uppl.,!Liber,!Stockholm,!2011,!s.!184.!19!ibid.!s.!197.!
![Page 17: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/17.jpg)
!!
17!
skrivas!som!en!formel,!men!sedan!överges!begreppet!formel!helt.20!I!resten!av!kapitlet!om!funktioner!anvÀnds!istÀllet!synonymt!för!formel!ekvation,!eller!funktionsuttryck.!%Gemensamt!för!samtliga!av!lÀroböckerna!Àr!att!de!lÄter!elever!som!lÀser!kursen!i!lÀrobokens!ordning!att!komma!i!kontakt!med!begreppet!formel,!innan!de!kommer!i!kontakt!med!begreppet!funktioner.!Det!vÀljer!alla!att!lÀgga!definition!av!vad!en!formel!Àr!i!ett!kapitel!för!algebra,!som!Àr!kapitlet!före!eller!nÄgra!kapitel!före!det!om!funktioner.!!Ett!annat!gemensamt!drag!Àr!att!de!Àven!vÀljer!att!repetera!frÄn!grundskolan!i!varierande!grad!kunskaper!om!koordinatsystem,!avlÀsning!i!grafer!och!linjÀra!samband!innan!de!introducerar!beteckningen! f (x) .!Minst!repetition!stÄr!Exponent!för!som!verkar!vilja!introducera!beteckningen!snabbare!Àn!de!övriga,!de!vÀntar!med!att!lÄta!eleverna!arbeta!med!linjÀra!funktioner!tills!efter!att!de!gjort!definitionen!för!en!funktion!samt!introducerat!beteckningen f (x) .!!I!bredare!bemÀrkelse!behöver!en!funktion!inte!enbart!begrÀnsas!till!en!relation21!mellan!element!i!mÀngder!som!innehÄller!tal.!NedanstÄende!figur!visar!exempel!pÄ!hur!en!relation!mellan!element!i!definitionsmÀngd!X!och!vÀrdemÀngd!Y!som!Àr!en!funktion!kan!se!ut,!dÀr!vÀrdemÀngden!innehÄller!bokstÀver.!!!
%Figur002.2.2.00Diagram!för!olika!observationstyper.!22!
Ăven!definitionsmĂ€ngden!kan!bestĂ„!av!nĂ„got!annat!Ă€n!tal.!För!att!ge!det!hela!en!lite!mer!vardaglig!beskrivning!sĂ„!kan!följande!exempel!betraktas!som!en!funktion.!I!en!grupp!mĂ€nniskor,!mĂ€ngd!A,!har!varje!person!en!favoritsmak!bland!glassmaker,!vanilj,!choklad,!och!hallon,!mĂ€ngd!B.!InvĂ€rdet!till!funktionen!Ă€r!i!detta!fall!en!person,!och!utvĂ€rdet!Ă€r!en!av!de!tre!glassmakerna.!Favoritsmak,!regeln,!Ă€r!en!funktion!av!person!till!glassmak.!Johan!kan!till!exempel!ha!favoritsmaken!vanilj,!medan!Kent!har!favoriten!choklad.!Det!Ă€r!fullt!möjligt!för!tvĂ„!personer!att!ha!samma!favoritsmak.!Det!kan!till!exempel!vara!sĂ„!att!bĂ„de!personerna!Johan!och!Anna!tycker!bĂ€st!om!vanilj.!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!20!Szabo,!A.,!Larson,!N.,!Viklund!G.,!DufÄker,!D.,!Marklund,!M.,!Matematik%Origo%1b,!2!uppl.,!Sanoma!Utbildning,!Stockholm,!2011,!s.!161.!21!Ma2b!har!ett!avgrÀnsat!centralt!innehÄll.!Definition!av!begreppet!relation!kan!bedömas!ligga!utanför!kursen!samt!inte!tillföra!nÄgot!djup!i!studien.!Det!begrepp!som!anvÀnds!fortsÀttningsvis!utanför!detta!stycke!istÀllet!för!relation!Àr!regel,!samma!begrepp!som!ocksÄ!nÄgra!av!kursens!lÀroböcker!anvÀnder.!22!Garten.!B.!i.,%Injection%keine%Injektion%2a,%,!2011,%tillgÀnglig!http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Injection_keine_Injektion_2a.svg#/media/File:Injection_keine_Injektion_2a.svg%(hÀmtad!2015J06J09)!
![Page 18: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/18.jpg)
!!
18!
2.3 Van0Hieles0tankenivĂ„er0!NivĂ„erna!gĂ€llande!matematiskt!tĂ€nkande!kallas!fortsĂ€ttningsvis!enbart!van%Hiele?nivĂ„erna.!Detta!Ă€r!min!tolkning!av!van!HieleJnivĂ„erna,!det!finns!avvikande!tolkningar.23!!1955!presenterar!makarna!van!Hiele!en!artikel!som!pĂ„verkar!efterföljande!matematikundervisning!och!lĂ€roplanskrivning,!frĂ€mst!inom!geometri!och!kanske!frĂ€mst!i!deras!hemland,!NederlĂ€nderna.!Pierre!van!Hiele!skriver!1986,!efter!hans!fru!Dina!van!Hieles!bortgĂ„ng,!en!bok!som!placerar!van!HieleJnivĂ„erna!i!ett!perspektiv!som!omfattar!en!större!del!av!matematikĂ€mnet!Ă€n!enbart!geometrin.!24!Denna!bok!ligger!till!grund!för!min!tolkning!av!van!HielenivĂ„erna.!!Van!Hiele!skriver!att!en!viktig!inspirationskĂ€lla!till!idĂ©erna!om!elevers!olika!tankenivĂ„er!i!matematiken!Ă€r!kommentarer!frĂ„n!hans!egna!elever.!Han!lĂ€gger!mĂ€rke!till!att!flertalet!av!eleverna!i!början!har!svĂ„rt!att!förstĂ„!geometri,!men!nĂ€r!de!har!fĂ„tt!arbeta!med!Ă€mnet!en!lĂ€ngre!period!och!med!vĂ€l!valda!uppgifter!övervinner!de!flera!av!svĂ„righeterna!och!istĂ€llet!ser!det!geometri!som!ganska!lĂ€tt.!Inte!sĂ€llan!hĂ€nder!det!dĂ„!att!nĂ„gon!elev!ger!uttryck!för!sin!undran!om!varför!van!Hiele!vĂ€ljer!att!förklara!innehĂ„llet!inledningsvis!pĂ„!ett!sĂ„!komplicerat!sĂ€tt!och!med!ett!sĂ„!komplicerat!sprĂ„k.!Efter!att!ha!övergivit!teorin!om!att!det!Ă€r!resultatet!av!att!han!sjĂ€lv!Ă€r!en!dĂ„lig!lĂ€rare!vĂ€ljer!van!Hiele!istĂ€llet!att!fokusera!pĂ„!att!eleven!mĂ„ste!ha!lĂ€rt!sig!ett!nytt!sprĂ„k!som!gör!att!innehĂ„llet!inte!upplevs!sĂ„!komplicerat!lĂ€ngre.!Eleven!har!gĂ„tt!frĂ„n!en!tankenivĂ„!till!en!annan!inom!Ă€mnet,!till!en!nivĂ„!som!krĂ€ver!kunskaper!om!och!djupare!förstĂ„else!för!olika!geometriska!begrepp.!!En!annan!viktig!inspirationskĂ€lla!för!van!Hiele!Ă€r!Piagets!teorier!om!att!utveckling!av!kunskap!och!insikt!sker!i!olika!perioder!av!ett!barns!liv.!Enligt!van!Hiele!avviker!dock!hans!teorier!frĂ„n!Piagets!pĂ„!flera!olika!sĂ€tt.!Till!exempel!sĂ„!Ă€r!van!Hiele!mer!intresserad!av!hur!övergĂ„ngarna!mellan!olika!stadier!gĂ„r!till!och!Ă€r!övertygad!om!att!det!kan!ske!genom!olika!former!av!pedagogisk!stimulering.!Han!vill!inte!begrĂ€nsa!sig!till!att!övergĂ„ngarna!enbart!Ă€r!ett!resultat!av!biologisk!utveckling!eller!kopplade!till!elevers!Ă„lder!som!han!menar!att!mĂ„nga!anhĂ€ngare!av!Piaget!gör.!!Det!som!kan!ha!varit!det!som!inspirerade!van!Hiele!mest!i!Piagets!teorier!Ă€r!den!om!att!inlĂ€rningsprocessen!sker!med!hjĂ€lp!av!assimilation!och!ackomodation.!!Assimilation!innebĂ€r!att!nya!intryck!anpassas!till!de!av!erfarenhet!invanda!tanke!och!handlingsmönster,!gamla!scheman,!som!man!har.!Ackomodation!innebĂ€r!den!process!som!utgörs!av!att!de!gamla!schemana!mĂ„ste!utvecklas!och!omformas!eftersom!de!utmanas!av!intryck!som!inte!gĂ„r!att!organisera!in!i!dem.!NĂ€r!det!rĂ„der!en!sĂ„dan!obalans!mellan!de!gammalt!och!nytt!Ă€r!det!en!strĂ€van!efter!jĂ€mvikt!som!driver!pĂ„!inlĂ€rningen.25!!Efter!den!första!publikationen!1955!utökar!van!Hiele!nivĂ„erna!frĂ„n!tre!till!fyra!nivĂ„er.!En!â0JnivĂ„â!diskuterades!bland!matematikundervisare!och!det!Ă€r!denna!nivĂ„!han!anammar!och!lĂ€gger!till!de!ursprungliga!nivĂ„erna!som!en!ny!nivĂ„!1.!Vidare!nĂ€mner!van!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!23!tex.!Hedrén,!R.,!Van%Hiele?nivÄer%och%deras%betydelse%för%geometriundervisningen,!publicerad!i:!!Emanuelsson,!G.,!Johansson,!B.,!och!Ryding,!R.!(red.),!Geometri%och%statistik,!Studentlitteratur,!Lund,!1992.!24!van!Hiele,!P.,!Structure%and%Insight,%a%Theory%of%Mathematics%Education,!UK!Edition,!Academic!Press!Inc.,!London,!1986.!25!Imsen,!G.,!Elevens%vÀrd,%Introduktion%till%pedagogisk%psykologi,!3!uppl.,!Studentlitteratur,!Lund,!2000,!s.!102J108.!
![Page 19: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/19.jpg)
!!
19!
Hiele!ocksÄ!att!andra!har!försökt!att!identifiera!fler!tankenivÄer!Àn!vad!han!sjÀlv!har!gjort,!men!att!han!inte!ser!det!som!nödvÀndigt!för!matematikundervisning!före!högskola!och!universitet.!Van!Hiele!ifrÄgasÀtter!istÀllet!ifall!lÀrare!gör!rÀtt!i!att!försöka!inrikta!sin!undervisning!i!den!allmÀnna!skolan!för!att!eleverna!ska!uppnÄ!den!ÀmnesmÀssigt!mest!avancerade!nivÄn,!nivÄ!4.!Han!hÀvdar!att!den!frÀmst!Àr!riktad!mot!dem!som!ska!lÀsa!vidare!inom,!och!sedan!arbeta!med,!matematik.!Enligt!hans!erfarenheter!Àr!det!fÄ!elever!som!uppnÄr!denna!nivÄ!pÄ!matematiskt!tÀnkande.!!NivÄ%1%%Jag!beskriver!nivÄ!1!som!igenkÀnning.!Oavsett!ifall!en!person!Àr!undervisad!i!matematik!eller!inte!sÄ!har!han!eller!hon!denna!förmÄga.!För!att!anvÀnda!van!Hieles!eget!exempel!sÄ!gÄr!det!att!lÀra!sig!att!kÀnna!igen!en!romb!enbart!efter!att!ha!sett!nÄgra!ritade!romber,!men!det!kan!bli!svÄrare!att!uppmÀrksamma!en!romb!som!avviker!frÄn!det!invanda!mönstret.!!!!En!tredje!inspirationskÀlla!för!van!Hiele,!som!ligger!till!grund!för!nivÄ!1,!Àr!gestaltpsykologin,!som!fokuserar!pÄ!att!mÀnniskan!har!en!naturlig!förmÄga!att!se!strukturer!och!mönster!i!sin!omgivning.!BjÞrndal!skriver!om!gestaltpsykologi!att!det!genom!omfattande!experiment!har!kartlagts!ett!antal!ordningsprinciper!som!mÀnniskor!anvÀnder!sig!av!för!att!tillgodose!ett!behov!av!att!ordna!omvÀrlden!i!meningsfulla!helheter.!Dessa!principer!kan!tolkas!olika!av!olika!personer!och!Àr,!principen%om!figur%kontra%bakgrund,!nÀrhetsprincipen,!likhetsprincipen!samt!komplettering%av%sinnesintryck.26!En!vidare!fördjupning!av!gestaltpsykologin!ligger!lÄngt!utanför!ramen!för!denna!studie,!men!vÀrt!att!nÀmna!Àr!det!kanske!mest!den!sista!av!de!nÀmnda!principerna!som!van!Hiele!utvecklar!i!sitt!resonemang.!Bara!genom!att!se!en!del!av!ett!regelbundet!mönster!Àr!det!lÀtt!att!fylla!i!luckorna!och!bilda!sig!en!uppfattning!om!hur!hela!mönstret!Àr.!!NivÄ%2%%För!att!uppnÄ!denna!nivÄ!krÀvs!ett!grundlÀggande!ordförrÄd!av!matematiska!begrepp,!samt!förstÄelse!för!nÄgra!samband!mellan!dem.!Elevens!utveckling!i!matematik!kan!liknas!vid!att!eleven!först!skapar!sig!och!sedan!utvecklar!ett!tankenÀtverk.*För!att!ÄtergÄ!till!exemplet!med!romben!skulle!en!elev!som!uppnÄtt!nivÄ!2!kunna!identifiera!flertalet!av!de!egenskaper!som!Àr!specifika!för!en!romb!och!Àven!ha!förmÄgan!att!jÀmföra!dem!med!egenskaper!hos!andra!geometriska!figurer!som!eleven!kÀnner!till.!!!NivÄ%3%%Min!tolkning!av!van!Hieles!beskrivning!av!nivÄ!3,!Àr!att!den!motsvarar!elevers!förmÄga!att!anvÀnda!generella!resonemang.!Denna!nivÄ!har!en!elev!uppnÄtt!exempelvis!nÀr!han!eller!hon!vÀljer!ut!specifika!egenskaper!hos,!och!anvÀnder!kÀnda!samband!mellan,!olika!figurer!för!att!pÄ!egen!hand!genomföra!matematiska!bevis!och!för!att!upptÀcka!nya!samband.!En!svÄrighet!som!van!Hiele!nÀmner!om!att!försöka!identifiera!ifall!en!elev!har!uppnÄtt!denna!nivÄ!eller!ej!Àr!att!det!finns!risk!att!eleven!steg!för!steg!kortsiktigt!har!lÀrt!sig!ett!givet!bevis!som!en!procedur!som!gÄr!att!lÀra!utantill.!Eleven!har!inte!sjÀlv!valt!de!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!26!BjÞrndal,!C.!R.!P.,!%Det%vÀrderande%ögat:%observation,%utvÀrdering%och%utveckling%i%undervisning%och%handledning,!1.!uppl.,!Liber,!Stockholm,!2005,!s.!29J31.!
![Page 20: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/20.jpg)
!!
20!
olika!delstegen!i!beviset!och!i!vĂ€rsta!fall!har!eleven!kanske!inte!ens!förstĂ„tt!alla!av!delstegen.!Eleven!i!sammanhanget!befinner!sig!kvar!pĂ„!nivĂ„!2,!dĂ„!den!har!en!grundlĂ€ggande!begreppsförstĂ„else.!!NivĂ„%4%%Denna!nivĂ„!Ă€r!den!mest!avancerade!nivĂ„n!av!matematiskt!tĂ€nkande!före!högskola!och!universitet,!som!van!Hiele!identifierar.!För!att!skilja!denna!nivĂ„!frĂ„n!nivĂ„!3!vĂ€ljer!han!tvĂ„!olika!exempel!att!uttrycka!ett!bevis!för!att!bisektriserna!frĂ„n!hörnen!i!en!triangel!skĂ€r!varandra!i!en!punkt.!Förklaringen!av!beviset!pĂ„!nivĂ„!3!Ă€r!sprĂ„kmĂ€ssigt!enklare!Ă€n!förklaringen!pĂ„!nivĂ„!4.!Samtidigt!innehĂ„ller!den!enklare!förklaringen!fler!fĂ€llor!dĂ€r!man!kan!tĂ€nka!fel.!Med!andra!ord!Ă€r!beviset!pĂ„!nivĂ„!4!tydligare!eftersom!det!ligger!pĂ„!en!mer!detaljerad!nivĂ„!dĂ€r!det!matematiska!sprĂ„ket!och!symbolsprĂ„ket!Ă€r!mer!avancerat.!!!En!intressant!iakttagelse!som!van!Hiele!gör!Ă€r!att!gemensamt!för!elever!som!nĂ„r!nivĂ„!4!Ă€r!att!de!har!en!god!förmĂ„ga!och!vilja!att!övervinna!vad!som!skulle!kunna!kallas!Ă€mnesmĂ€ssiga!tankekriser,!engelska:!âcrisis%of%thinkingâ.!Dessa!kriser!mĂ„ste!de!övervinna!för!att!dĂ€rmed!kunna!lösa!de!problem!som!de!för!stunden!arbetar!med.!Ett!inte!okontroversiellt!recept!verkar!vara!livskriser!i!allmĂ€nhet.!Han!lyfter!upp!tvĂ„!olika!exempel!pĂ„!elever!frĂ„n!sin!erfarenhet!som!han!bedömer!har!tydligt!uppnĂ„tt!nivĂ„!4.!Det!ena!exemplet!Ă€r!en!flicka!som!har!en!brokig!skolgĂ„ng!med!ett!flertal!misslyckanden!bakom!sig.!Efter!att!ha!studerat!vid!en!skola!som!undervisar!i!trĂ€dgĂ„rdsjordbruk!hittar!hon!dock!rĂ€tt!och!uppvisar!snabbt!matematiskt!tĂ€nkande!pĂ„!nivĂ„!4.!Det!andra!exemplet!Ă€r!en!grupp!av!elever!som!efter!ett!eller!tvĂ„!Ă„r!av!skolgĂ„ng!motsvarande!pĂ„!gymnasienivĂ„!har!fĂ„tt!avbryta!denna!för!att!placeras!i!ett!Japanskt!koncentrationslĂ€ger.!Flera!av!dessa!elever!visar!snabbt!upp!tĂ€nkande!pĂ„!nivĂ„!4!dĂ„!de!Ă„ter!ges!undervisning.!!
2.4 Kommunikativ0teori0om0lÀrande0!Den%proximala%utvecklingszonen!utgör!en!viktig!grund!i!Vygotskijs,!syn!pÄ!inlÀrning,!den!Àr!alltsÄ!zonen!mellan!grÀnsen!för!vad!en!elev!kan!klara!av!sjÀlv!och!för!vad!eleven!kan!klara!av!med!hjÀlp.!I!begreppet!hjÀlp!innefattas!resultatet!av!ett!socialt!samspel!dÀr!kommunikation!sker!mellan!den!som!hjÀlper!och!den!som!fÄr!hjÀlpen.!Teorin!om!den!proximala!zonen!tydliggörs!med!hjÀlp!av!figur!2.4.1!nedan.!
!Figur002.4.1.00Den!proximala!utvecklingszonen.27!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!27!Figur!hÀmtad!frÄn:!Imsen,!G.,!Elevens%vÀrd,%Introduktion%till%pedagogisk%psykologi,!3!uppl.,!Studentlitteratur,!Lund,!2000,!s.!189.!
![Page 21: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/21.jpg)
!!
21!
Inom!nÀtbaserad!undervisning!har!modern!teknik!möjliggjort!att!kommunikation!Àr!intressant!att!diskutera!utifrÄn!tvÄ!motpoler.!Direkt%kommunikation,!Àven!kallad!synkron!kommunikation!kontra!fördröjd%kommunikation,!asynkron!kommunikation.!Exempel!pÄ!den!tidigare!Àr!att!kommunicera!via!Skype,!via!chatt,!videoJ!eller!röstsamtal!och!exempel!pÄ!den!senare!Àr!att!kommunicera!via!EJpost.!Nedan!ses!Hrastinskis!modell!som!överblickar!hur!olika!typ!av!kommunikation!kan!skapa!olika!sorters!samhörighet!mellan!de!som!kommunicerar!eftersom!tonvikt!lÀggs!vid!olika!saker!i!de!olika!typerna.!Det!behövs!en!kombination!av!kommunikationstyperna.!Direkt!kommunikation!Àr!effektivt!tillÀmpbar!i!smÄ!grupper!men!riskerar!att!bli!ohanterlig!i!större!grupper!dÄ!risken!Àr!större!att!man!börja!tala!i!mun!pÄ!varandra.!28!!
!Figur002.4.20.!Hrastinskis!modell!för!kommunikation!och!deltagande.!29!
!! 0
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!28!Hrastinski,!S.,!NÀtbaserad%utbildning,%En%introduktion,%Studentlitteratur,!Malmö,!2009.!29!ibid,!s.!65.!
![Page 22: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/22.jpg)
!!
22!
3 Syfte0och0frÄgestÀllningar0!Syftet!Àr!att!undersöka!om!och!i!sÄ!fall!hur!ett!lÀroverktyg!pÄ!nÀtet,!Youschool,!kan!utgöra!ett!stöd!i!elevers!kunskapsutveckling!i!gymnasiekursen!Matematik!2b.!!!Flera!av!de!centrala!kursinnehÄllen!krÀver!av!eleverna!en!förstÄelse!för!och!en!vana!att!arbeta!med!funktioner,!dÀrför!begrÀnsas!undersökningen!till!denna!del!av!kursen.!!FrÄgestÀllningar!som!Àr!aktuella!Àr!dÄ:!!
⹠Hur!anvÀnder!elever!Youschool?!!
⹠PÄ!vilket!sÀtt!kan!Youschool!utgöra!ett!stöd!för!elever!i!deras!lÀrande!i!kursen?!!
⹠Vilka!förmÄgor,!som!krÀvs!av!elever!att!de!uppvisar!för!kursens!kunskapskrav,!gÄr!att!trÀna!via!Youschool?!
! 0
![Page 23: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/23.jpg)
!!
23!
4 Metod00!För!att!komma!nÀrmre!vad!det!Àr!som!kan!tÀnkas!göra!Youschool!till!en!effektiv!resurs!för!elever!i!deras!matematikstudier!i!Ma2b!görs!en!kvalitativ!studie.!Bilden!av!pedagogiken!i!undervisningen!pÄ!Youschool!skapas!med!hjÀlp!av!tre!elever!som!intervjus!via!telefon,!varpÄ!bilden!utökas!med!en!skÀrminspelad!lektion!pÄ!Youschool.!!
4.1 Telefonintervjuer0!Tre!elever!som!lÀser!Ma2b!eller!kurs!med!motsvarande!innehÄll!intervjuas.!Intervjuerna!görs!över!telefon!och!spelas!in,!varefter!de!transkriberas!till!text.!Det!som!framkommer!i!intervjuerna!sammanfattas!i!kapitel!5.1.!!Telefonintervjuerna!genomförs!utifrÄn!en!intervjuguide,!se!Appedix!II.!De!intervjuade!fÄr!frÄgor!utifrÄn!guiden!som!Àr!tÀnkta!att!stimulera!dem!att!berÀtta!varför!och!pÄ!vilket!sÀtt!de!anvÀnder,!fÄr!stöd!av!och!lÀr!sig!med!hjÀlp!av!Youschool.!De!fÄr!Àven!ge!förslag!pÄ!hur!Youschool!kan!förbÀttras.!!Intervjuerna!Àr!till!formen!semistrukturerade.!Samtliga!av!frÄgorna!i!guiden!ska!behandlas!men!de!behöver!till!exempel!inte!nödvÀndigtvis!tas!upp!i!den!ordning!som!de!Àr!skrivna!i!guiden!och,!för!intervjuaren,!Àr!det!Àven!fritt!fram!att!ta!stickspÄr!med!hjÀlp!av!följdfrÄgor!för!att!uppnÄ!ett!mer!avslappnat!och!öppet!samtal.!I!hög!grad!anvÀnds!öppna!frÄgor.!I!BjÞrndals!modell!för!olika!typer!av!intervjuer!bedöms!den!semistrukturerade!intervjutypen!ha!en!relativt!lÄg!grad!av!struktur,!se!figur!4.1!nedan!som!Àr!en!bearbetning!av!BjÞrndal30.!!
!Figur004.1.00Grad!av!struktur!för!olika!typer!av!intervjuer.!
Trost!rekommenderar!för!urval!för!kvalitativa!intervjuer!ett!bekvÀmlighetsurval.!Han!menar!att!vid!en!kvalitativ!intervju!inte!behöver!göras!försök!att!efterlikna!de!urvalsmetoder!som!normalt!brukar!anvÀndas!för!att!fÄ!fram!statistiskt!representativa!urval!vid!en!kvantitativ!intervju.%31!!!Urvalet!av!de!intervjuade!görs!sÄ!att!samtliga!elever!som!vid!tillfÀllet!för!intervjun!lÀser!Ma2b!pÄ!Youschool!rings!upp!vid!tvÄ!tillfÀllen,!varpÄ!intervjuer!görs!med!de!elever!som!svarar!pÄ!telefonen!vid!nÄgot!av!tillfÀllena!samt!stÀller!upp!pÄ!att!bli!intervjuade.!Intervjuerna!genomförs!efter!att!förÀldrar!till!eleverna!har!fÄtt!ett!mejl!som!informerar!om!intervjuerna,!om!syftet!med!dem!och!som!garanterar!elevernas!konfidentialitet.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!30!BjÞrndal,!C.!R.!P.,!%Det%vÀrderande%ögat:%observation,%utvÀrdering%och%utveckling%i%undervisning%och%handledning,!1.!uppl.,!Liber,!Stockholm,!2005,!s.!91.!31!Trost,!J.,!Kvalitativa%intervjuer,!1993,!Studentlitteratur,!Lund,!s.!71.!
![Page 24: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/24.jpg)
!!
24!
4.2 SkÀrminspelad0lektion0!Vidare!observeras!en!lektion!i!kursen!Ma2b!pÄ!Youschool.!Lektionen!filmas!som!en!skÀrminspelning!via!dator,!med!ljudupptagning.!!!Lektionen!utgörs!av!ett!virtuellt!möte!mellan!tre!elever!och!en!lÀrare!pÄ!Youschools!lÀrplattform.!Det!Àr!nÄgra!veckor!kvar!till!det!nationella!provet!i!kursen!och!eleverna!pluggar!dÀrför!under!lektionen!inför!detta!prov.!Uppgifterna!som!eleverna!arbetar!med!Àr!varken!utvalda!av!lÀraren!eller!av!eleverna!sjÀlva,!de!Àr!utvalda!av!observatören!specifikt!för!att!utgöra!ett!underlag!för!denna!studie.!Uppgifterna!Àr!hÀmtade!frÄn!gamla!nationella!prov!i!kursen!MaB!och!Àr!avsedda!att!testa!elevers!förmÄga!att!tillÀmpa!sina!kunskaper!om!funktioner.!De!handlar!om!rÀta!linjens!ekvation!som!utgör!ett!av!de!centrala!kursinnehÄllen!i!Ma2b.!I!appendix!III!Äterfinns!uppgifterna!i!den!form!som!eleverna!arbetar!med!dem.!!!Lektionsobservationer!kan!delas!upp!i!tvÄ!typer!utifrÄn!observatörens!grad!av!delaktighet!i!undervisningen.!Observation%av%första%ordningen!innebÀr!nÀr!en!utomstÄende!observerar!en!pedagogisk!situation,!med!observationen!som!primÀr!uppgift.!Observation%av%andra%ordningen!görs!av%den!undervisande!sjÀlv,!varför!denna!typ!av!observation!kan!ses!som!en!komplementÀr!uppgift!till!att!leda!den!pedagogiska!aktiviteten.32!Den!genomförda!lektionsinspelningen!motsvarar!en!observation!av!första!ordningen.!!!Förutom!grad!av!delaktighet!i!undervisningen!av!observatören!kan!Àven!grad!av!öppenhet!om!studien!för!dem!som!deltar!i!studien!ha!en!inverkan!pÄ!resultatet.!I!figur!4.2!nedan!presenteras!BjÞrndals!utveckling!av!Junkers!(1960)!modell!för!idealtypiska!forskarroller.!33!!
!Figur004.2.00Diagram!för!olika!observationstyper.!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!32!BjÞrndal,!C.!R.!P.,!%Det%vÀrderande%ögat:%observation,%utvÀrdering%och%utveckling%i%undervisning%och%handledning,!1.!uppl.,!Liber,!Stockholm,!2005,!s.!26.!33!ibid.!s.!43.!
![Page 25: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/25.jpg)
!!
25!
Enligt!beskrivningarna!av!observationstyper!pÄminner!lektionsinspelningen!mest!om!typ!d,!men!borde!i!diagrammet!placeras!nÄgonstans!nÀrmre!mitten.!Dels!Àr!elever!och!lÀrare!som!deltar!i!lektionen!informerade!om!observationen!och!dess!syfte,!men!syftet!presenteras!för!dem!inte!mer!specifikt!Àn!att!undersökningen!görs!i!förhoppning!om!att!kunna!utveckla!Youschool.!Dels!Àr!observationen!Àr!av!första!ordningen,!men!graden!av!delaktighet!i!lektionen!av!observatören!Àr!lÄngt!ifrÄn!noll.!Exempelvis!Àr!uppgifterna!som!eleverna!arbetar!med!utvalda!av!observatören.!!Undersökningens!syfte!utgör!motivet!till!valet!av!skÀrminspelning!som!observationsmetod.!Fokus!för!observationen!Àr!relativt!brett!i!den!mening!att!det!gÄr!ut!pÄ!att!upptÀcka!och!definiera!Youschools!eventuella!stödpedagogik.!Ett!brett!fokus!gör!det!svÄrt!att!ha!ett!förhandsbestÀmt!och!strukturerat!observationsschema!för!att!notera!hÀndelseförlopp!under!en!lektion!utan!att!viktig!information!gÄr!till!spillo.!En!skÀrminspelning!bedöms!dÀrmed!kunna!lagra!fler!nyanser!av!lektionen!Àn!andra!observationsmetoder.!En!inspelning!utesluter!inte!heller!att!en!strukturerad!studie!av!lektionen!görs!i!ett!senare!skede.!!VÀrt!att!ta!hÀnsyn!till!i!alla!sammanhang!av!filminspelningar!Àr!att!de!inte!Äterger!hela!verkligheten.!De!ger!en!begrÀnsad!bild!av!verkligheten.!Jordan!och!Henderson!delar!upp!begrÀnsningar!hos!inspelningar!i!tvÄ!kategorier,!operatörens%begrÀnsningar!och!teknikens%begrÀnsningar.!34%Operatören!med!tillhörande!begrÀnsningar!fÄr!i!detta!fall!vara!lÀraren.!Det!Àr!lÀraren!som!styr!fokus!pÄ!skÀrmen,!det!vill!sÀga!prioriterar!vilken!eller!vilka!filmer!frÄn!sin!egen!eller!elevers!dokumentkameror!som!ska!visas!pÄ!skÀrmen!för!stunden.!Teknikens!begrÀnsningar!motsvaras!exempelvis!av!att!plattformen!tillÄter!att!maximalt!fyra!filmer!visas!Ät!gÄngen!pÄ!skÀrmen,!eller!att!det!inte!gÄr!att!se!vad!varken!lÀrare!eller!elever!gör!utöver!vad!de!sjÀlva!vÀljer!att!visa!med!sina!dokumentkameror.!!!En!ytterligare!faktor!att!ta!hÀnsyn!till!Àr!att!nÀr!de!inspelade!Àr!medvetna!om!inspelningen!sÄ!finns!en!risk!att!det!hela!blir!konstlat.!GÀllande!videoinspelningar!finns!det!dock!studier!som!har!visat!att!de!som!observeras!ganska!fort!vÀnjer!sig!vid!situationen,!beroende!pÄ!hur!störande!kameran!Àr!placerad.35!Kopplat!till!denna!studie!bör!detta!betyda!att!det!finns!goda!förutsÀttningar!att!elever!och!lÀrare!hinner!glömma!av!att!de!blir!filmade.!Lektionen!Àr!lÄng,!1,5!timmar,!och!det!finns!ingen!synlig!kamera!med!tillhörande!kameraman!som!drar!till!sig!uppmÀrksamheten.!!!!! 0
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!34!ibid.!s.!74.!BjÞrndahl!hÀnvisar!till!Jordan!och!Henderson!1994!35!ibid!s.78.!BjÞrndahl!hÀnvisar!till!Jordan!och!Henderson!1994*
![Page 26: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/26.jpg)
!!
26!
5 Resultat00!I!detta!kapitel!ges!inledningsvis!utdrag!frÄn!transkriberingar!av!telefonintervjuer.!Anna,!Berit!och!Cecilia,!namnen!Àr!fingerade,!beskriver!bland!annat!hur!och!varför!de!anvÀnder!Youschool.!Sedan!följer!sammanfattning!av!nÄgra!observationer!frÄn!en!lektion!pÄ!Youschool,!som!innehÄller!transkriberade!konversationer!och!skÀrmdumpningar.!!Disa,!Emma!och!Fatima,!ocksÄ!fingerade!namn,!arbetar!tillsammans!med!sin!lÀrare!pÄ!Youschool,!med!tre!uppgifter!frÄn!gamla!nationella!prov!som!handlar!om!linjÀra!funktioner.!!
5.1 Telefonintervjuer,0resultat0
5.1.1 Vad0inspirerar0de0intervjuade0att0börja0anvĂ€nda0Youschool?0!TvĂ„!av!de!intervjuade,!Anna%och%Berit,%attraherades!av!en!presentations!av!Youschool!som!gjordes!som!marknadsföring!i!deras!klass!pĂ„!deras!skolor.!För!Cecilia!var!det!istĂ€llet!förĂ€ldrarna!som!gjorde!att!hon!började!anvĂ€nda!Youschool.!!Anna,!som!har!haft!Youschool!i!ca!3!mĂ„nader,!sĂ€ger!att!det!var!pĂ„!hennes!eget!initiativ!som!hon!började!anvĂ€nda!sig!av!Youschool.!En!orsak!till!att!hon!ville!ge!det!en!chans!var!att!hon!upplevde!att!hon!âkom!ingenstans!med!mattenâ.!Hon!berĂ€ttar!att!hon!under!presentationen!tyckte!att!det!verkade!âskönt!att!kunna!jobba!via!internetâ,!att!hon!kunde!âplugga!hemifrĂ„n!och!slippa!trĂ€ffa!en!personâ.%Vidare!berĂ€ttar!Anna!att!hon!tĂ€nkte!sig!kunna!spara!tid!pĂ„!att!jobba!hemifrĂ„n,!istĂ€llet!för!att!behöva!sitta!i!skolan!för!att!plugga.!Tidsbesparing,!sĂ„!att!hon!har!fĂ„tt!mer!fritid,!upplever!hon!ocksĂ„!att!hon!har!uppnĂ„tt!med!hjĂ€lp!av!Youschool.!%%Berit!har!haft!Youschool!lĂ€ngre!Ă€n!Anna,!sedan!höstterminen!före!intervjun.!Liksom!Anna!berĂ€ttar!Berit!att!hon!kĂ€nde!att!hon!behövde!hjĂ€lp!med!matte!samt!att!det!Ă€r!skönt!att!kunna!fĂ„!lĂ€xhjĂ€lp!via!nĂ€tet!istĂ€llet!för!att!det!Ă€r!ânĂ„gon!som!behöver!komma!hem!till!enâ.!Ytterligare!en!orsak!som!Berit!lyfter!fram!Ă€r!att!hon!lockades!av!att!fĂ„!testa!en!lektion!gratis.!Berit!berĂ€ttar!att!genom!testlektionen!upptĂ€ckte!hon!att!hon!tyckte!bra!om!sĂ€ttet!som!lektionerna!gjordes!pĂ„.!Berit!lĂ€gger!Ă€ven!till!att!âsen!var!det!billigare!Ă€n!andra!hjĂ€lpsakerâ,!de!ekonomiska!fördelarna!med!Youschool!jĂ€mfört!med!konkurrenter!utreder!hon!Ă€ven!mer!ingĂ„ende!senare!under!intervjun.!!Cecilia!har!haft!Youschool!lĂ€ngre!Ă€n!bĂ„da!de!andra!intervjuade,!hon!har!anvĂ€nt!Youschool!i!ca!ett!Ă„r.!Det!var!inför!det!nationella!provet!i!Ma!1b,!som!nĂ„gon!av!hennes!förĂ€ldrar!troligen!sett!nĂ„gon!reklam!pĂ„!mejl!om!Youschool.!Hon!vet!inte!riktigt!eller!minns!inte!exakt!hur!det!hela!gĂ„tt!till!eftersom!det!hela!inte!startade!pĂ„!hennes!eget!initiativ.!!
5.1.2 Vad0i0Youschool0utgör0ett0stöd0för0de0intervjuade0att0nÀrma0sig0sina0betygsmÄl?0*Samtliga!intervjuade!uppger!att!de!har!höga!betygsmÄl!i!matematikkursen!som!de!lÀser,!de!har!mÄlsÀttningen!betyg!frÄn!C!och!uppÄt.!De!uttrycker!ocksÄ!alla!att!de!Àr!mycket!nöjda!med!hur!Youschool!bemöter!dem!i!sina!studier.!Resurser!som!finns!för!eleverna!
![Page 27: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/27.jpg)
!!
27!
att!nyttja!pĂ„!Youschool!skulle!kunna!beskrivas!som,!tillgĂ„ng!till!lĂ€rare,!lektioner,!lösningsfilmer!och!lĂ€rplattformen!som!kommunikationsteknik.!!LĂ€raren%!Anna!tillĂ€gger!till!sitt!betygsmĂ„l!att!innan!hon!började!anvĂ€nda!Youschool!sĂ„!bedömde!hon!sjĂ€lv!att!hon!lĂ„g!pĂ„!betygsnivĂ„n!F!till!E,!men!efter!att!ha!börjat!anvĂ€nda!Youschool!Ă€r!hon!vĂ€ldigt!glad!över!att!hon!nu!kommer!upp!till!DJnivĂ„!pĂ„!proven.!Hon!beskriver!sina!studieframsteg!med!orden:!âJag![âŠ]!fattar!mer!och!typ!att!jag!inte!ger!upp!heller!â!Nyckeln!till!framgĂ„ngarna!kan!ligga!hos!lĂ€raren.!Anna!beskriver!lĂ€raren!pĂ„!Youschool:!!!
âHan!ger!sig!ju!aldrig!![âŠ]!grejen!att!jag!fortsĂ€tter!med!Youschool!det!Ă€r!att![âŠ]![lĂ€raren]!har!koll!pĂ„!vad!vi!mĂ„ste!klumpa!in!för!kommande!lektioner,!kommande!prov![âŠ]!för!jag!har!sjĂ€lv!aldrig!koll!pĂ„!det![âŠ]!dĂ„!har!man!en!lĂ€rare!som!hela!tiden!hjĂ€lper!till!en!att!ligga!i!fas![âŠ]!dĂ„!kĂ€nner!man!att!man!inte!missar!nĂ„gonting![âŠ]!Sedan!att!han!alltid!pĂ„minner,!Ă€ven!fast!man!inte!orkar!plugga!matte![âŠ][han]!pushar!och!typ!sĂ„!hĂ€r:!skickar!SMS,!och!bara!det!Ă€r!ju!en!stor!grej!â!
!DĂ„!Anna!prioriterar!det!viktigaste!i!stödet!Ă€r!det!just!att!lĂ€raren!pĂ„!Youschool!har!kontakt!med!hennes!matematiklĂ€rare!pĂ„!den!gymnasieskola!som!hon!gĂ„r!pĂ„.!Enligt!Anna!möjliggör!detta!för!lĂ€raren!pĂ„!Youschool!att!kunna!vara!sĂ„!strikt!mot!henne!som!hon!bedömer!behövs,!för!att!hon!ska!göra!de!uppgifter!som!han!ger!henne.!!I!sin!beskrivning!av!egenskaper!som!en!lĂ€rare!pĂ„!Youschool!behöver!ha,!nĂ€mner!Anna!att!de!viktigaste!egenskaperna!Ă€r!att!lĂ€raren!kan!och!vĂ„gar!âpusha!pĂ„â!och!utmana!eleverna.!Hon!förklarar!att!hon!upplever!att!det!Ă€r!âsĂ„!mĂ„nga!som!sĂ€tter!ribban!pĂ„!att!man!inte!kan!mer,![âŠ]!göra!AJuppgifter,![âŠ]!CJuppgifter!och!sĂ„dant,!fast!man!egentligen!kan!detâ.!!Berit!prioriterar!egenskapen!att!vara!strukturerad!som!viktigast,!hos!en!lĂ€rare.!Hon!nĂ€mner!Ă€ven!att!ha!tĂ„lamod!i!sina!förklaringar!som!en!viktig!egenskap,!och!beskriver!det!som!att!lĂ€raren!ska!överdriva!lite!i!sina!förklaringar!och!inte!ge!sig!innan!eleverna!förstĂ„r.!!!Cecilia!Ă€r!inne!pĂ„!liknande!spĂ„r!som!Berit.!Ăven!hon!nĂ€mner!tĂ„lamod!som!en!viktig!egenskap,!men!vĂ€ljer!liksom!Berit!att!prioritera!en!annan!egenskap!som!viktigast,!nĂ€mligen!flexibilitet.!I!begreppet!lĂ€gger!hon!in!att!lĂ€raren!Ă€r!flexibel!i!sina!förklaringar,!det!vill!sĂ€ga!kan!förklara!en!matematikuppgift!pĂ„!flera!olika!sĂ€tt.!!Lektionerna%!Anna!beskriver!en!vanlig!lektion:!!
âIntervjuare![I]:!Om!du!beskriver!en!lektion![âŠ]!hur!den!brukar!gĂ„!till,!en!vanlig!lektion!pĂ„!Youschool.!!
Anna![A]:![âŠ]!tar!sĂ€kert!10J5!minuter!först!att!komma!igĂ„ng!med!alla!kameror!och!sĂ„dant![âŠ]!och!sedan!sĂ„![âŠ]%en!lektion,!en!och!en!halv!timme![âŠ]!det!ser!vĂ€ldigt!likadant!ut!nĂ€stan!varje!gĂ„ng,![âŠ]!gĂ€ller!att!lösa!lite![âŠ]!uppgifter!som!man!ska!alltsĂ„!förklara!för!kompisen.!
I:!! Som![lÀraren!pÄ!YS]!har!bestÀmt!vilka!uppgifter!det!Àr!dÄ?!
![Page 28: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/28.jpg)
!!
28!
A:!![âŠ]Ja,!precis.!Om!det!Ă€r!typ!en!stor!uppgift,![âŠ]!tvĂ„!delar!av!uppgiften.!Du!gör!den!ena,!och!sĂ„!kanske![kompisen]!den!andra,!och!sedan!sĂ„!förklarar!vi!hur!vi!har!tĂ€nkt,!pĂ„!dem!bĂ„da!tills!bĂ„da!förstĂ„r.!Och!sedan!sĂ„!lĂ€r!man!sig!genom!att!bĂ„de!förklara!och!att!göra,!och!att!lyssna!pĂ„!den!andra![âŠ]!Ja,!och!Ă€r!det!sĂ„!att!ingen!fattar!sĂ„!hjĂ€lper![lĂ€raren]!till!att!ritar,!för!hur!man!ska!göra!och!sĂ„.![âŠ]â!
!Senare!under!intervjun!ÄterberÀttar!Anna!samma!sak!igen!varefter!hon!fÄr!uppgiften!att!prioritera!vad!som!Àr!viktigast!i!upplÀgget!för!henne!och!hon!Äterkommer!dÄ!igen!bland!annat!till!vikten!av!lÀrarens!aktiva!roll!i!undervisningen.!
!âI:!!Precis,!sĂ„!att*det!skulle!du!sĂ€ga!Ă€r![âŠ]!det*viktigaste!som!gör!lektionerna!bra!dĂ„!pĂ„!Youschool?!Det!Ă€r!just!den!biten?!
A:!!Ja.!AlltsĂ„,!att!man!kan!fĂ„!förklara!liksom![âŠ]!Ja,!rita!upp!allting.![âŠ]!Det!bĂ€sta!med!lektionerna,!det!Ă€r!ju!att!man!kan!se!vad![lĂ€raren]!gör.![âŠ]!AlltsĂ„!i!kameran,!för!att!det!förklarar!sĂ„!mycket!lĂ€ttare![âŠ]!alla!saker!han!skriver!ut,!alla!begrepp![âŠ]!alla!matematiska!formler![âŠ]!bara!att!se!det![âŠ]!alltsĂ„!hela!tiden!!
I:!! [âŠ]!sĂ„!att![lĂ€raren]!Ă€r!ocksĂ„!ganska!delaktig.!Det!Ă€r!inte!bara!att!ni*fĂ„r!förklara!sjĂ€lva,!utan!han!rycker!in!om!han!kĂ€nner!att!det*behövs!liksom,!och!förtydligar.!
A:! Ja!precis.â!!
Flera!av!intervjuerna!fĂ€rgas!kanske!av!att!de!ligger!nĂ€ra!innan!eleverna!ska!skriva!det!nationella!provet.!Kanske!fĂ€rgas!mest!beskrivningar!av!lektionsupplĂ€gg,!bĂ„de!hur!de!intervjuade!minns!en!vanlig!lektion!och!vad!de!vill!ska!ingĂ„!i!en!optimal!lektion.!!Liksom!Anna!gör,!lyfter!Berit!upp!att!det!Ă€r!bra!att!jobba!med%stora!uppgifterna!pĂ„!ett!sĂ„dant!sĂ€tt!som!görs!pĂ„!Youschool.!Förklaringen!av!stora!uppgifter!överensstĂ€mmer!med!Annas!i!att!uppgifterna!ska!innehĂ„lla!mindre!delfrĂ„gor,!men!i!Berits!beskrivning!av!vilka!uppgifter!som!Ă€r!bra!att!arbeta!med!under!en!optimal!YouschoolJlektion!framtrĂ€der!det!en!lite!tydligare!definition!av!vilka!dessa!stora!uppgifter!Ă€r.!Oavsett!om!det!gĂ€ller!att!förbereda!sig!inför!nationella!provet!eller!inte,!hĂ€vdar!Berit,!att!man!ska!âgĂ„!igenom!stora!uppgifter!dĂ€r!det!liksom!Ă€r!pĂ„!alla!nivĂ„er![men]!sĂ„!att!man!liksom!Ă€ndĂ„!hĂ€nger!med!pĂ„!typ!hur!man!ska!göraâ.!Hon!förklarar!dem!Ă€ven!genom!att!anvĂ€nda!begreppet!âAJuppgiftâ!eller!som!en!uppgift!som!Ă€r!âsom!en!sista!uppgift!pĂ„!nationella![prov]â.!!!Ăven!Berit!lĂ€gger!vikt!vid!andra!faktorer!i!sin!beskrivning!av!hur!hon!finner!stöd!med!hjĂ€lp!av!Youschools!lektioner.!Hon!berĂ€ttar!att!med!det!material!som!eleverna!arbetar!med!Youschools!lektioner!lĂ€gger!de!sig!steget!före!hennes!vanliga!lektioner.!Sedan!nĂ€r!hennes!lĂ€rare!i!gymnasieskolan!gĂ„r!igenom!kursinnehĂ„llet!sĂ„!âvet!man!redan!vad!det!handlar!omâ.!Det!viktigaste!som!lektionerna!mĂ„ste!innehĂ„lla!för!Berit!Ă€r!âatt!man!förstĂ„r!vad!det!Ă€r!för!regler!och!rĂ€knesĂ€tt!man!anvĂ€nder,!nĂ€r!man!rĂ€knar!vissa!uppgifterâ.!!Vem!som!bestĂ€mmer!vilka!uppgifter!som!utgör!innehĂ„llet!för!en!lektion!kan!variera.!Enligt!Berit!sĂ„!har!ibland!lĂ€raren!bestĂ€mt!vad!som!ska!gĂ„s!igenom!alternativt!sĂ„!har!eleverna!haft!möjlighet!att!sĂ€ga!vad!de!skulle!vilja!göra,!i!förvĂ€g!eller!precis!i!början!av!lektionen.!Enligt!Cecilia!Ă€r!det!oftast!elever!som!kommer!med!uppgifter,!men!att!Ă€ven!lĂ€raren!kan!göra!det.!Cecilia!anser!att!det!Ă€r!bĂ€st!dĂ„!uppgifterna!kommer!frĂ„n!elever,!eftersom!de!dĂ„!oftast!kommer!frĂ„n!lĂ€roboken!och!att!hon!dĂ€rmed!âvet!sĂ€kert!att!man!pluggar!just!det![âŠ]!som!behövs!i!bokenâ.!!
![Page 29: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/29.jpg)
!!
29!
Om!att!arbeta!i!grupp!pĂ„!lektionerna!berĂ€ttar!Anna!att!hon!alltid!har!lektionerna!pĂ„!Youschool!tillsammans!med!en!nĂ€ra!klasskamrat!som!âligger!pĂ„!samma!nivĂ„!inom!mattenâ.!Anna!beskriver!vidare!att!hon!upplever!det!som!en!fördel!att!ha!lektionerna!med!en!nĂ€ra!vĂ€n!âeftersom!vi!funkar!att!jobba!bra!tillsammansâ.!!Ăven!Berit!har!lektioner!med!klasskamrater,!de!Ă€r!tre!elever!istĂ€llet!för!tvĂ„!som!alltid!har!lektioner!tillsammans.!Hon!beskriver!det!som!om!hon!har!kluvna!kĂ€nslor!mellan!en!ekonomisk!aspekt!och!en!positiv!effekt!av!att!fĂ„!stöd!i!grupp.!!
!âI:!Hur!kĂ€nns!det!dĂ„?![om!att!vara!tre!klasskamrater!pĂ„!lektion!pĂ„!YS]!Berit![B]:!AlltsĂ„!det!kĂ€nns!bra,!för!det!Ă€r!ju!skönt![âŠ]!att!det!Ă€r!flera,!men!samtidigt!sĂ„!Ă€r!det!ju!liksom,!du!betalar!ju!som!om!du!skulle!egentligen!betala!för!en![âŠ]!FörstĂ„r!du!vad!jag!menar?!I:!! [âŠ]Du!kanske!kan!utveckla!lite?!B:!![âŠ]För!nu!Ă€r!vi!ju!tre!i!gruppen,!som!betalar!samma!pris,!för!att!dela!lĂ€rare.!I:!! Ja?!B:!!Och!med!ett!annat!studiehjĂ€lp!sĂ„!betalar!du%[âŠ]!ju!mer%[âŠ]!typ!250!kronor!mer!kanske![âŠ]!för!att!vara!sjĂ€lv!med!en!lĂ€rare,!och!dĂ„!har!man!ju!ungefĂ€r!samma!tid.![âŠ]!SĂ„!det!kan!ju!kĂ€nnas!ibland!lite!sĂ„!hĂ€r!jobbigt!att!man!delar!sĂ„.!
I:!! Ok.!B:! Men!annars!tycker!jag!att!det!Ă€r!bra!att!dela,!eftersom![âŠ]!man!ser!ju!det!frĂ„n!ett!annat!perspektiv.!AlltsĂ„,!det!blir!ju!inte!bara!ens!eget!och!lĂ€raren,!utan!det!blir!ett!tredje!typ.!
I:!! Som!du!sa!i!början!hĂ€r.!Det!finns!bĂ„de!positiva!och!negativa!aspekter!av!det.!B:! Mmm,!precis.â!
!Till!skillnad!frÄn!de!bÄda!andra!intervjuade!ger!Cecilia!uttryck!för!att!ha!erfarenhet!av!olika!sorters!lektioner!pÄ!Youschool.!Hon!resonerar!mer!utifrÄn!hur!lektionsupplÀgget!pÄverkas!utifrÄn!gruppstorlek.!!
âCecilia![C]:!Ibland!kan!man!boka!klass!sjĂ€lv,!sĂ„!att!man!ska!vara!sjĂ€lv!med!lĂ€raren,!och!ibland!med!flera!personer.!
I:!! Ok.!C:!![âŠ]!Oftast!nĂ€r!man!Ă€r!flera!dĂ„!kan!man!diskutera!uppgifterna!tillsammans,!vilket!Ă€r!ett!bra!sĂ€tt!att!lĂ€ra!sig!matte!pĂ„!tycker!jag.!
I:!! Ja.!SĂ„!du!gillar!nĂ€r!man!Ă€r!flera!dĂ„!mer!Ă€n!nĂ€r!man!Ă€r!sjĂ€lv,!eller?%C:!!Ja,!ibland!gör!jag!det.![âŠ]!ibland!om!det!Ă€r!nĂ„got!Ă€mne!som!Ă€r!rĂ€tt!svĂ„rt!för!mig,!dĂ„!behöver!jag!verkligen!bara!göra!uppgifter,!bara!en!lĂ€rare!för!mig.!Och!ibland!nĂ€r!jag!Ă€r!sĂ€ker![âŠ]!pĂ„!ett!Ă€mne!i!matten,!men!ibland!behöver!hjĂ€lp!med!nĂ„gra!uppgifter,!dĂ„!Ă€r!det!skönt!att!vara!tillsammans.â!
!I!beskrivning!av!en!optimal!lektion!Äterkommer!Cecilia!till!hur!komplext!det!kan!vara!att!finna!en!optimal!gruppstorlek.!Det!hela!verkar!bero!pÄ!hur!svÄrt!hon!upplever!att!Àmnesstoffet!som!behandlas!Àr.!Desto!svÄrare!det!Àr,!ju!fÀrre!elever!fÄr!det!vara!för!att!lÀraren!ska!ha!tid!med!alla!frÄgorna!utan!att!eleverna!fÄr!vÀnta!för!lÀnge.!Hon!uttrycker!det!sjÀlv!att:!!
âOm!det!Ă€r!svĂ„rare!sĂ„!behöver!man!oftare!hjĂ€lp![âŠ]!och!om!man!Ă€r!fyra!elever!dĂ„!behöver!man!ju!vĂ€nta!för!dĂ„!Ă€r!det!oftast!ocksĂ„!alla!elever!som!behöver!hjĂ€lp.![âŠ]!NĂ€r!det!Ă€r!tvĂ„!elever!sĂ„!Ă€r!det!lĂ€ttare,![âŠ]!om!man!behöver!hjĂ€lp!med!en!uppgift,![âŠ]!sĂ„!förklarar!lĂ€raren!eller!eleven!ocksĂ„!ibland.â!
!
![Page 30: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/30.jpg)
!!
30!
Lösningsfilmerna%%%Lösningsfilmerna!anvĂ€nds!endast!mycket!sparsamt!av!samtliga!av!de!intervjuade.!Anna!uppger!först!att!hon!testade!lösningsfilmerna!dĂ„!hon!började!pĂ„!Youschool,!men!efter!att!ha!fĂ„tt!fundera!lite!kommer!hon!fram!till!att!hon!inte!alls!anvĂ€nder!dem!lĂ€ngre.!Berit!berĂ€ttar!ocksĂ„!att!hon!inte!anvĂ€nt!filmerna!sĂ„!mycket,!men!sedan!sĂ€ger!hon!att!hon!ska!försöka!att!göra!det!mer,!âför!att!fĂ„!igĂ„ng!att!man!sitter!och!rĂ€knar!hemma!ocksĂ„â.!Cecilia!har!en!mattebok!som!det!pĂ„!Youschool!inte!finns!nĂ„gra!lösningsfilmer!till!uppgifterna.!%LĂ€rplattformen%som%kommunikationsteknik%utanför%lektioner%pĂ„%Youschool%!Cecilia!beskriver!nedan!hur!hon!anvĂ€nder!sig!av!Youschool.!Det!skiljer!sig!frĂ„n!de!andra!intervjuade!som!inte!alls!anvĂ€nder!Youschool!som!kommunikationsteknik!utanför!lektionerna,!med!undantag!för!att!Anna!som!har!provat!det!en!gĂ„ng!men!dĂ„!tekniken!tyvĂ€rr!krĂ„nglade.!!
âI:!!Vad!skulle!du!behöva!hjĂ€lp!med!liksom?!C:!!Jag!vet!inte!faktiskt.!Eller!att,!typ!att![âŠ]!bara!plugga!och!plugga!!I:!! Plugga!och!plugga![âŠ]!C:!!Det!Ă€r!ju!matte!!Ja,!man!kan!inte!bara!tĂ€nka!utan!man!mĂ„ste!verkligen!göra!uppgifter![âŠ]!matteuppgifter!och!sĂ„dant.!!
[âŠ]!I:!! Men!kan!du!beskriva!hur!Youschool!hjĂ€lper!dig!med!det!dĂ„?!C:!![âŠ]!Eftersom!jag!kan!ju!boka!lektioner,!och!sĂ„!kan!man!hoppa!in!i!klassrum!ibland.!Till!exempel:!Man!pluggar!sjĂ€lv!hemma!och!sedan!fastnar!man!pĂ„!en!uppgift!och!kan!verkligen!inte!klara!av!den,!och!vill!inte!vĂ€nta!tills!man!kan!gĂ„!till!skolan!och!frĂ„ga!lĂ€raren,!sĂ„!bara!hoppar!man!in!pĂ„!Youschool!och!fĂ„r!hjĂ€lp!direkt.!
I:! [âŠ]!Kan!du!beskriva!hur!det!gĂ„r!till!liksom?!Hoppa!in!pĂ„!Youschool?!Ăr!det!nĂ„got!av!klassrummen!dĂ€r!dĂ„!som!du!tittar!om!det!finns![avbryts]!
C:! [âŠ]!jag!har!en!lĂ€rare![âŠ]!hela!tiden!som!jag!gĂ„r!till,!sĂ„!han!har!ju!alltid!sitt!klassrum!öppet.!Varje!dag!%
I:! Jaha,!sĂ„!han!har!öppet!det!varje!dag.!Ja,!ok!!C:! Mmm.!Till!och!med!pĂ„!helgerna!![âŠ]!C:! annars!sĂ„!Ă€r!det!bara![âŠ]!man!kan!alltid!boka![lektioner]!liksom!helt!spontant!ocksĂ„![âŠ]De!Ă€r!vĂ€ldigt!flexibla.â!
%
5.1.3 Ser0de0intervjuade0nÄgot0som0kan0utvecklas0pÄ0Youschool?0*Berit!önskar!filmer!för!teoriinnehÄll,!hon!anser!att!det!skulle!vara!ett!bra!komplement!till!lösningsfilmerna.!Sedan!resonerar!hon!vidare!kring!hur!sÄdana!filmer!skulle!kunna!vara!uppbyggda.!!!
âI:!!Hur!skulle!en!sĂ„dan!film!dĂ„!kunna!se!ut,!tĂ€nker!du?!B:!![âŠ]!Typ!sĂ„!hĂ€r:!Man!börjar!förklara![âŠ]!I:!! Jaha.!B:!![âŠ]%Och!sedan!sĂ„!visar!man!hur!man!gör.%Och!sĂ„!tar![man]!upp!exempel!pĂ„![âŠ]!uppgifter!som!man!kan!rĂ€kna!med!den![additionsmetoden],!och!dĂ„!gör!man!det!pĂ„!alla!nivĂ„er!ocksĂ„.!
I:!! Ăven!dĂ€r!i!filmen?!
![Page 31: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/31.jpg)
!!
31!
B:!![âŠ]!Ja,!precis!!SĂ„!att!man!liksom!förstĂ„r!hur!det!kan!bli.!För!ibland!blir!det!sĂ„!hĂ€r:!Ja,!men!du!fĂ„r!se!hur!man!gör!pĂ„!en!EJnivĂ„,!och!sedan!ska!du!kunna!göra!det!pĂ„!en!CJ!och!AJnivĂ„.![âŠ]!och!dĂ„!kan!det!vara!svĂ„rt!att!se!att!det!Ă€r![âŠ]!just!den!som!man!ska!anvĂ€nda!sig!av.â!
%Anna!ger!som!önskemĂ„l!att!stödet!mer!Ă€n!i!nulĂ€get!utvidgas!till!att!gĂ€lla!fler!gymnasieĂ€mnen!Ă€n!matematik.!!Slutligen!tĂ„l!att!nĂ€mnas!att!bĂ„de!Anna!och!Cecilia!uttrycker!att!det!kan!finnas!nĂ„gra!mindre!tekniska!problem!att!övervinna.!Anna!nĂ€mner!att!det!hĂ€nder!att!10!minuter!av!en!lektion!gĂ„r!bort!för!att!kameror!eller!annat!krĂ„nglar.!Cecilia!nĂ€mner!att!YouschoolJkamerorna!ibland!kan!fastna!âsĂ„!att!man!behöver!ladda!om!sidan!rĂ€tt!oftaâ.!!!
5.2 SkĂ€rminspelad0lektion,0observationer0!Det!tar!ca!3,5!minuter!innan!tvĂ„!av!de!tre!eleverna!pĂ„!lektionen,!Disa%och!Emma!har!fĂ„tt!i!ordning!pĂ„!bĂ„de!tekniken!och!kommit!Ă„t!att!kunna!se!uppgifterna!som!skickats!till!dem!via!SMS!och!Skype.!Ytterligare!1!minut!dröjer!det!innan!Fatima,!den!tredje!eleven,!fĂ„r!uppgifterna.!För!den!som!vill!fördjupa!sig!i!uppgifterna!hĂ€r!igen,!se!Appendix!III.!!Uppgift%1%!RĂ€knat!frĂ„n!att!Disa!och!Emma!har!fĂ„tt!uppgifterna,!fĂ„r!eleverna!ca!5!minuter!till!att!tĂ€nka!och!skriva!individuellt!pĂ„!uppgiften.!BĂ„de!Disa!och!Emma!verkar!kunna!hantera!proceduren36!att!bestĂ€mma!rĂ€ta!linjens!ekvation!pĂ„!aJuppgiften!men!uttrycker!att!de!Ă€r!osĂ€kra!pĂ„!om!de!har!tĂ€nkt!rĂ€tt.!Disa!fĂ„r!berĂ€tta!vad!svaret!till!aJuppgiften!Ă€r.!Alla!har!givit!det!korrekta!svaret!till!uppgiften,!men!eleverna!har!kunnat!se!varandras!svar!dĂ„!samtliga!skrivblock!har!kunnat!ses!pĂ„!skĂ€rmen!för!alla!elever!under!delar!av!den!individuella!arbetstiden.!!!Emma!fĂ„r!förklara!hur!hon!har!bestĂ€mt!svaret!till!aJuppgiften.!Hon!berĂ€ttar!att!hon!anvĂ€nder!sig!av!âtrappstegsmetodenâ%37.!Metoden,!som!Ă€r!ett!tillvĂ€gagĂ„ngssĂ€tt!för!att!bestĂ€mma!ekvationen!till!eller!att!rita!ut!en!rĂ€t!linje,!verkar!anvĂ€ndas!av!lĂ€raren!och!eleverna!relativt!ofta.!De!anvĂ€nder!eller!hĂ€nvisar!till!metoden!flera!gĂ„nger!under!lektionen.!Förklaringen!till!varför!lutningen!blir!2!som!Emma!ger!Ă€r!â1!ut!och!2!nerâ.!LĂ€raren!kommenterar:!âinte!nerâ.!VarpĂ„!Emma!korrigerar!sig!sjĂ€lv!till!hur!hon!borde!ha!beskrivit!det:!âDĂ„!Ă€r!det!ju!2!upp!och!1!in!ifall!man!ska!gĂ„!uppĂ„tâ.!!Fatima!Ă€r!den!enda!eleven!som!har!löst!hela!uppgift!1,!det!vill!sĂ€ga!bĂ„de!aJ!och!bJuppgiften.!Hon!löser!uppgiften!snabbt.!LĂ€raren!vĂ€ljer!ut!henne!till!att!förklara!för!alla!hur!hon!har!resonerat!kring!bJuppgiften.!Hon!har!ritat!en!linje!och!anvĂ€nt!sig!av!trappstegsmetoden,!men!hon!placerar,!liksom!Emma!gjorde,!trappstegen!pĂ„!ett!felaktigt!sĂ€tt!för!en!linje!med!negativ!lutning.!Trappstegen!hamnar!under!istĂ€llet!för!ovanför!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!36!JĂ€mför!gĂ€rna!med!bedömningsmallen!för!uppgiften!i!figur!2.1.3!s.!14.!37!Ingen!av!de!fyra!lĂ€roböckerna!i!gymnasiematematik!anvĂ€nder!begreppet!âtrappstegsmetodâ,!men!de!redovisar!alla!hur!metoden!gĂ„r!till,!antingen!i!kursboken!för!Ma1b!och/eller!för!Ma2b.!Alla!utom!Ma5000,!Natur!och!Kulturs!bok,!anvĂ€nder!Ă€ven!liknelsen!vid!att!trappsteg!bildas!om!man!ritar!ut!avstĂ„nd!i!yJled!och!xJled!frĂ„n!tvĂ„!olika!punkter!pĂ„!grafen!till!en!linjĂ€r!funktion.!
![Page 32: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/32.jpg)
!!
32!
grafen,!se!figur!5.2.1.!nedan.!LÀraren!förklarar!att!felet!Àr!gjort!i!bemÀrkelsen!att!risk!kan!finnas!att!det!Àr!ett!inkonsekvent!arbetssÀtt,!inte!att!det!leder!till!ett!felaktigt!svar.!!
!Figur005.2.1.00Fatimas!skiss,!trappstegen!ritade!under!grafen.!
Eleverna!fĂ„r!i!samtal!med!lĂ€raren!resonera!kring!hur!man!kan!rita!linjer!för!nĂ„gra!fler!exempel!pĂ„!lutningar.!LĂ€raren!vĂ€ljer!först!ut!lutningarna!J3/4!och!7/8!för!att!diskutera!tillvĂ€gagĂ„ngssĂ€ttet,!eller!med!andra!ord!proceduren.!Sedan!avslutar!han!uppgiften!genom!att!ta!ytterligare!ett!exempel,!troligen!för!att!kontrollera!om!eleverna!verkligen!har!lĂ€rt!sig!proceduren.!Emma!ger!uttryck!för!att!vara!med!pĂ„!hur!resonemanget!gĂ„r!till,!nĂ€r!hon!efter!ett!tag!fĂ„r!klart!för!sig!att!det!i!uppgiften!inte!spelar!nĂ„gon!roll!vilket!mJvĂ€rdet!ska!vara!för!den!linje!som!ska!ritas,!det!vill!sĂ€ga!var!grafen!skĂ€r!yJaxeln.!!TidsĂ„tgĂ„ngen!för!uppgift!1!Ă€r!totalt!ca!16J17!min,!inklusive!utblicken.!Eleverna!tilldelar!ocksĂ„!uppgiften!svĂ„righetsgrad!pĂ„!en!skala!frĂ„n!1!till!4,!dĂ€r!1!Ă€r!lĂ€tt!och!4!svĂ„r.!Fatima!ger!den!1,!Disa!ger!den!2!och!Emma!ger!den!3.!!Uppgift%2%%!Det!tar!ca!1!minut!för!lĂ€raren!att,!i!lugn!och!ro,!lĂ€sa!igenom!uppgiften.!Eleverna!fĂ„r!precis!5!minuter!att!tĂ€nka!och!rĂ€kna!sjĂ€lvstĂ€ndigt.!!LĂ€raren!frĂ„gar!först!vad!Fatima!har!svarat!pĂ„!uppgift!2a.!Fatima!har!inte!skrivit!nĂ„got,!men!svarar!muntligt!J1.!LĂ€raren!skriver! 1)0( â=h .!LĂ€raren!frĂ„gar!dĂ„!vad!de!andra!har!skrivit.!Emma!svarar!J3.!Disas!skrivblock!har!försvunnit!frĂ„n!kameran!och!hon!uttrycker!att!hon!inte!vill!ge!nĂ„got!svar!till!uppgiften.!LĂ€raren!börjar!dĂ„!att!förklara!hur!man!ska!lösa!uppgiften.!!
âLĂ€raren![L]:![âŠ]h!av!noll![ )0(h ],!ja!det!Ă€r!ju!den!hĂ€r!linjen!som!lutar!uppĂ„t,!eller!hur?![visar!med!pennan!riktningen!för!en!linje!med!positiv!lutning]!Vad!betyder! )0(h !Emma?!
Emma![E]:!Att!nĂ„gontâŠ!h!gĂ„ngerâŠ!L:!!Du!har!faktiskt!svarat!rĂ€tt.!E:!!Jag!vet!faktiskt!inte!vad!det!betyder![âŠ]!L:!!Du!har!i!alla!fall!svarat!rĂ€tt,!sĂ„!det!Ă€r!dĂ€rför.!
![Page 33: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/33.jpg)
!!
33!
E:!!Jaha.!Hade!jag?![alla!skrattar]!L:!!Ja.!E:!!Ja!men!typ!att![âŠ]!ifall!h!gĂ„nger!nĂ„gonting![âŠ]!eftersom!att!den!börjar,!den!bryter!ju!pĂ„!J3!pĂ„!yJaxeln!och!eftersom!den!inte!ska!nĂ„gonstans!sĂ„!Ă€r!den!kvar!dĂ€r,!sĂ„!tĂ€nkte!jag!typ.â!
!LĂ€raren!fortsĂ€tter!dĂ€refter!sin!förklaring.!Förklaringen!sinkas!först!lite!av!att!nĂ„gonting!tekniskt!gör!att!det!hackar!för!Fatima!och!att!hon!dĂ€rför!fĂ„r!svĂ„rt!att!skriva!av!det!lĂ€raren!skriver,!i!sitt!block.!LĂ€raren!definierar!först! )(xh !som!âlinjens!yJvĂ€rde!för!ett!givet!specifikt!(x)â,!han!korrigerar!alltsĂ„!muntligt!att!han!rĂ„kade!skriva!speciellt!istĂ€llet!för!specifikt.!En!intressant!kommentar!i!sammanhanget!som!lĂ€raren!sĂ€ger!Ă€r!âoch!funktion!brukar!vara!jobbigt!sĂ„!jag!brukar!sĂ€ga!yJvĂ€rdet!för!linjenâ.!Sedan!skissas!grafen!för!funktionen!h,!eller!med!andra!ord!linjen,!varpĂ„! )0(h !pekas!ut!pĂ„!den,!se!figur!5.2.2!nedan.!!
!Figur005.2.2.00LÀrarens!visar!var!eleverna!ska!lÀsa!av!h(0)!i!den!givna!grafen.!
Fatima!frĂ„gar:!âOm!det!hade!stĂ„tt!h!och!sedan!parentes!2!eller!3,!vad!Ă€r!det!för!nĂ„got!dĂ„?â!LĂ€raren!reder!ut!hur!man!bestĂ€mmer!de!efterfrĂ„gade!vĂ€rdena!för!funktionen!h.!!Innan!resten!av!uppgiften!tas!upp!delar!lĂ€raren!ut!till!eleverna,!varsitt!nytt!funktionsvĂ€rde!att!bestĂ€mma!genom!att!kolla!i!de!givna!graferna.!Detta!genererar!nya!frĂ„gor!och!problem.!Fatima!som!fĂ„r!att!bestĂ€mma )2(âf undrar!vad!f%stĂ„r!för,!och!fĂ„r!förklarat!att!det!Ă€r!att!den!ena!linjen!i!figuren!som!âheterâ!f.!Emma,!som!fĂ„r )1(f ,!tĂ€nker!att!hon!först!mĂ„ste!bestĂ€mma!formeln!till!funktionen!f,!innan!hon!fĂ„r!hjĂ€lp!med!att!förstĂ„!att!hon!kan!lĂ€sa!av!vĂ€rdet!direkt!i!grafen.!Disa!som!fĂ„r! )1(âh lyckas!lĂ€sa!av!vĂ€rdet!pĂ„!rĂ€tt!stĂ€lle!i!grafen,!men!hon!missar!att!det!Ă€r!pĂ„!den!negativa!delen!av!yJaxeln!som!hon!lĂ€ser!pĂ„!och!fĂ„r!dĂ€rför!fel!tecken!i!sitt!svar.!!TidsĂ„tgĂ„ngen!för!uppgift!2!blir!totalt!sett!nĂ€rmre!1!timme.!Det!beror!delvis!pĂ„!en!vĂ€ldigt!lĂ„ng!utblick!i!vilken!exempelvis!bĂ„da!funktionernas!formler!bestĂ€ms!för!att!ekvationssystemet!i!cJuppgiften!ska!kunna!lösas!algebraiskt!istĂ€llet!för!grafiskt.!LĂ€raren!uttrycker!till!eleverna!att!han!ville!repetera!det!som!gĂ„tts!igenom!tidigare!i!kursen!och!att!eleverna!genom!detta!skulle!fĂ„!en!vidare!förstĂ„else!för!problemet.!Eleverna!Ă€r!
![Page 34: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/34.jpg)
!!
34!
mycket!ovana!vid!denna!typ!av!uppgift,!och!det!nĂ€mner!ocksĂ„!lĂ€raren!âatt!det!hĂ€r!har!vi!inte!jobbat!med!â.!!!Eleverna!tilldelar!uppgiften!svĂ„righetsgrad!pĂ„!en!skala!frĂ„n!1!till!4,!dĂ€r!1!Ă€r!lĂ€tt!och!4!svĂ„r.!BĂ„de!Fatima!och!Disa!ger!den!4.!Emma!ger!den!3,!men!hon!anser!ocksĂ„!att!uppgiften!gjordes!svĂ„rare!Ă€n!vad!den!behövde!vara!i!förklaringen!av!den.!Vidare!sĂ„!tillĂ€gger!hon!att!om!en!liknande!uppgift!som!cJuppgiften!skulle!komma!pĂ„!provet!sĂ„!skulle!hon!framöver!tycka!att!den!Ă€r!âjĂ€ttelĂ€tt,!eftersom![âŠ]!ifall!det!Ă€r!en!lösning!som!man!ser!grafiskt!sĂ„!Ă€r!det!ju!brytningspunktenâ.!!%Uppgift%3%%!Eleverna!ges!kortare!tid!för!att!tĂ€nka!sjĂ€lva!Ă€n!pĂ„!de!föregĂ„ende!uppgifterna,!det!tar!cirka!2J3!minuter!innan!lĂ€raren!kĂ€nner!att!han!mĂ„ste!rycka!in!och!stötta!eleverna!bĂ„de!med!motivationen!och!med!uppgiften.!!!Till!en!början!Ă€r!det!frĂ€mst!för!Emma!som!det!gĂ„r!att!se!vad!hon!skriver!i!sitt!skrivblock.!Ăven!Disas!lösning!gĂ„r!att!följa!till!en!början,!men!efter!en!stund!lĂ„ser!sig!hennes!kamerabild!och!hon!behöver!ladda!om!hemsidan!för!att!kunna!visa!vad!hon!skriver!sedan.!Emma!och!Disa!förstĂ„r!vad!de!ska!göra!pĂ„!aJuppgiften,!men!Fatima!har!svĂ„rare!att!komma!igĂ„ng!med!uppgiften.!!Emma!har!skrivit!en!korrekt!ekvation!pĂ„!aJuppgiften,!men!förstĂ„r!inte!riktigt!vad!hon!ska!göra!pĂ„!bJuppgiften.!DĂ„!hon!gjort!ett!försök!att!âlösaâ!ekvationen!i!uppgift!a!genom!att!flytta!nĂ„gra!termer!frĂ„n!ett!led!till!ett!annat!i!formeln,!utbrister!hon:!!!
âE:!AlltsĂ„,!jag!kommer!inte!ihĂ„g!hur!man!löser!en!ekvation!!L:!!Ja!men!det!handlar!inte!om!att!lösa,!annars!kan!man!skriva!upp!bara!först!och!frĂ€mst!![âŠ]!Eller!förlĂ„t,!Ă€r!vi!pĂ„!bJuppgiften?![lĂ€raren!har!troligen!distraherats!av!Disas!kameraproblem!som!han!samtidigt!behövt!vara!delaktig!i!att!lösa]â!
!LĂ€raren!hintar!om!att!det!Ă„ter!handlar!om!vad!de!jobbade!med!i!den!tidigare!uppgiften.!Emma!förstĂ„r!dĂ„!att!det!ska!handla!om!ekvationssystem,!och!vĂ€ljer!att!diskutera!en!stund!kring!att!hon!har!svĂ„rt!att!rita!en!snygg!âmĂ„svingeâ,!{,!istĂ€llet!för!att!försöka!stĂ€lla!upp!ett!ekvationssystem.!!!Efter!att!det!gĂ„tt!cirka!5!minuter!drar!det!ihop!sig!för!eleverna!att!redovisa!sina!lösningar!och!lĂ€raren!avbryter!eleverna!dĂ€r!de!Ă€r!i!sina!resonemang:!!
âL:!Ok.!Fatima,!vad!skriver!vi!pĂ„!aJuppgiften!hĂ€r?!Fatima![F]:!Jag!förstod!inte,!jag!bara!skrev!nĂ„gonting!![âŠ]!L:!!Emma!vad!sĂ€ger!du!om!aJuppgiften!hĂ€r?!E:! xy 75,0100 += !L:! [âŠ]Just!det.![âŠ]!Varför!valde!du!de!siffrorna!som!du!gjorde?![âŠ]!E:! För!att!de!fasta!mĂ„nadspriset!för!Pling%var!hundra,!eller!y!dĂ„.!!L:! Ja,!y%=!âŠ!
![Page 35: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/35.jpg)
!!
35!
E:!!Och!sen!plus,!eftersom!att!de!ville!ha!övriga,!alltsĂ„!de!ringde!ju!bara!under!övrig%tid.%[âŠ]!och!dĂ„!var!det!0,5!gĂ„nger!x,!för!vi!vet!ju!inte!hur!mĂ„nga!gĂ„nger!
L:! [âŠ]!0,75x!plus!100!E:!Yes.![Hon!hade!skrivit!korrekt!siffra!i!sitt!block!men!sa!hĂ€r!fel!siffra.]!L:!Men!det!var!det,!du!skrev!den!liksom,!med!andra!ord!dĂ„.!Men,!det!var!helt!rĂ€tt.!Fick!du!ocksĂ„!det,!Disa?!
Disa![D]:![kluddar!över!en!term,!4,50x,!i!sin!formel]!Ja!det!var!bara!det,!jag!tog!inte!för!övrig!tid.!
L.!!Ahhh.!D:!Jag!lĂ€ste!allt!förutom!de!tvĂ„!sista!orden.!L:!Jaha.!Ăr!du!med!pĂ„!det!Fatima,!att!vi!tittar!pĂ„!fast!mĂ„nadsavgift!plus!rörliga?â!
!Fatima!svarar!inte!pÄ!frÄgan,!men!hon!skriver!ner!allt!det!som!lÀraren!skriver!under!sin!kamera.!!!LÀraren!inleder!sedan!bJuppgiften!med!att!ge!eleverna!en!delfrÄga,!eleverna!ska!skriva!upp!en!likadan!ekvation!för!det!andra!telefonabonnemanget!Ring,%som!de!gjort!för!Pling!i!uppgift!a.!Sedan,!för!att!kunna!besvara!frÄgan!i!uppgiften,!hjÀlps!de!Ät!att!lösa!ekvationssystemet!som!stÀllts!upp!av!de!tvÄ!ekvationerna!som!de!skapat,!med!de!algebraiska!metoder!som!de!har!lÀrt!sig!i!kursen.!!SkÀrminspelningen!blir!en!för!stor!fil!som!inte!kan!hanteras!av!datorn,!sÄ!datorn!hakar!upp!sig!och!filmfilen!bryts!efter!att!12!minuter!har!gÄtt!av!den!tid!som!ges!uppgiften.!Uppskattningsvis!ges!totat!cirka!20!minuter!för!uppgift!3.!Eleverna!hinner!tyvÀrr!inte!bestÀmma!svÄrighetsgraden!pÄ!den,!efter!att!de!Àr!klara.!!Uppgift%4%%%Uppgift!4!behandlas!inte!under!lektionen.!!! 0
![Page 36: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/36.jpg)
!!
36!
6 Diskussion0!
6.1 Hur0anvÀnder0elever0Youschool?0!Det!tycks!framgÄ!av!telefonintervjuer!med!elever,!som!lÀser!mer!avancerad!matematikkurs!Àn!grundkursen!pÄ!gymnasiet!och!som!Àr!nöjda!med!och!frekvent!anvÀnder!sig!av!Youschools!lektioner,!att!inga!andra!lÀrresurser!Àn!just!lektionerna!pÄ!Youschool!behövs!för!dem.!!Vad!som!anvÀnds!av!de!elever!som!varit!med!i!undersökningen!Àr!skickligt!förklarande,!förstÄende,!tÄlmodiga,!bÄde!strukturerade!och!flexibla,!samt!lagom!utmanande!och!disciplinerande!lÀrare.!Eleverna!bokar!upp!sig!pÄ!lektioner,!och!om!de!inte!bokar!upp!sig!fÄr!de!pÄminnelser!via!SMS!av!lÀraren!som!pushar!dem!att!inte!glömma!att!boka!upp!sig.!!!En!viktig!del!förutom!engagemanget!hos!lÀraren!kan!vara!formen!pÄ!lektionerna.!Dels!anser!de!intervjuade!att!de!lÀr!sig!bra!dÄ!de!har!kompisar!att!bolla!idéer!med.!Dels!uttrycker!de!att!det!Àr!bra!att!de!fÄr!vara!med!och!pÄverka!vilka!uppgifter!som!man!arbetar!med!under!lektionerna!pÄ!Youschool.!LÀrarna!pÄ!Youschool!har!Àven!god!koll!pÄ!elevernas!kursplanering!och!kan!dÀrför!planera!sÄ!att!de!ligger!i!fas!med,!eller!att!gÄ!igenom!kursinnehÄll!innan!eleverna!kommer!i!kontakt!med!kursinnehÄllet,!pÄ!matematiklektionerna!i!skolan.!!Lösningsfilmer!saknas!för!vissa!böcker!och!det!Àr!dÀrför!inte!konstigt!att!de!elever!som!lÀser!kursen!med!dessa!böcker!inte!nyttjar!lösningsfilmerna!pÄ!Yoschool.!Mer!intressant!Àr!dock!att!anvÀndandet!av!lösningsfilmer!kanske!blir!mindre!ju!lÀngre!elever!kommer!in!i!kursen!och!ju!mer!de!anvÀnder!lektionerna!pÄ!Youschool.!NÄgon!trend!gÄr!förstÄs!inte!att!se!baserat!pÄ!tvÄ!elever,!men!det!kan!kanske!vara!av!intresse!att!med!vidare!studier!undersöka!om!det!finns!en!sÄdan!trend.!
!En!rimlig!hypotes!Àr!att!elever!som!anvÀnder!och!trivs!med!Youschool!som!kommunikationsteknik!under!lektioner!Àven!stimuleras!att!anvÀnda!Youschool!i!kommunikation!med!varandra!sjÀlvstÀndigt!utanför!lektionerna.!Intervjuerna!talar!snarare!för!en!motsatt!effekt.!En!elev!har!förvisso!provat!detta,!men!dÄ!det!inte!tekniskt!fungerade!sÄsom!hon!önskade!övergav!hon!denna!teknik!snabbt.!Teknikstrul!Àr!nÄgot!som!flera!av!de!intervjuade!pÄtalar!som!ett!störningsmoment,!och!som!Àven!syns!i!observationen.!Om!tekniken!Àr!orsaken!till!denna,!om!ens!existerande,!motsatta!effekt!eller!om!eleverna!till!exempel!kÀnner!att!det!rÀcker!med!den!matematiska!kommunikation!som!de!fÄr!under!lektionerna!gÄr!inte!att!gissa!sig!till!och!krÀver!kvantitativa!studier.!!
6.2 PĂ„0vilket0sĂ€tt0kan0Youschool0utgöra0ett0stöd0för0elever0i0deras0lĂ€rande0i0Ma2b?0!TvĂ„!av!de!intervjuade!efterfrĂ„gar!uppgifter!som!Ă€r!av!sĂ„dan!karaktĂ€r!att!det!trĂ€nar!deras!förmĂ„gor!pĂ„!CJ!och!AJnivĂ„.!Det!vill!sĂ€ga!uppgifter!som!krĂ€ver!att!man!kan!tĂ€nka!pĂ„!van!Hieles!nivĂ„er!3!eller!4,!uppgifter!som!stimulerar!till!tankekriser.!En!elev!fĂ„ngar!denna!frustration!âdu!fĂ„r!se!hur!man!gör!pĂ„!EJnivĂ„,!och!sedan!ska!du!kunna!göra!det!pĂ„!en!CJ!och!AJnivĂ„â.!Hennes!lösning!för!att!förbĂ€ttra!sina!förmĂ„gor!och!för!att!uppnĂ„!
![Page 37: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/37.jpg)
!!
37!
kunskapskraven!för!de!höga!betygen!Àr!att!komplettera!stödet!pÄ!Youschool!med!teorifilmer!som!har!tillhörande!uppgifter!och!lösningar!pÄ!varje!betygsnivÄ.!Min!uppfattning!Àr!att!det!Àr!svÄrt!för!elever!att!enbart!utifrÄn!givna!exempel!kunna!uppnÄ!kunskapskraven!som!krÀvs!för!A.!Elever!behöver!fÄ!trÀna!pÄ!uppgifter!dÀr!de!först!kör!fast.!Uppgifterna!behöver!krÀva!av!eleverna!att!de!har!tÄlamodet!att!inte!ge!sig!förrÀn!problemet!Àr!fullt!utrett.!Detta!kan!leda!till!tankekriser!som!i!sin!tur!kan!leda!till,!med!Piagets!terminologi,!ackomodation,!eller!med!andra!ord!en!revision!av!elevens!tidigare!uppfattningar.!!!LÀxor!som!elever!fÄr!i!skolan,!som!de!inte!kan!klara!av!pÄ!egen!hand,!kan!eleverna!arbeta!med!pÄ!ett!effektivt!sÀtt!pÄ!Youschool.!Intervjuer!visar!att!elever!kan!kÀnna!sig!motiverade!tack!vare!Youschool.!Genom!att!fÄ!kommunicera!med!dem!som!kan!mer!Àn!dem!sjÀlva,!lÀrare!pÄ!Youschool,!befinner!sig!eleverna,!med!Vygotskijs!terminologi,!i!en!proximal!utvecklingszon!under!lektionerna!pÄ!Youschool.!Hatties!metaJmetaJanalys!av!en!mÀngd!effektstudier!visar!dessutom!att!hemlÀxor!har!en!positiv!effekt!pÄ!elevers!studieresultat,!sÄ!lÀnge!det!handlar!om!studier!pÄ!gymnasienivÄ.!LÀxlÀsning!genomförs!dock!pÄ!Youschool!i!en!vidare!bemÀrkelse,!frÄn!att!enbart!beröra!de!uppgifter!som!de!ges!som!hemlÀxa!av!elevernas!lÀrare!i!skolan!till!att!Àven!innefatta!uppgifter!som!kommer!genom!andras!initiativ.!!
6.3 Vilka0förmÄgor0gÄr0att0trÀna0via0Youschool?0!Inledningsvis!kan!nÀmnas!att!det!inte!finns!nÄgot!i!denna!undersökning!som!visar!att!nÄgon!av!de!matematiska!förmÄgorna!skulle!hindras!av!lektionerna!pÄ!Youschool!som!kommunikationsteknik,!vare!sig!det!rör!sig!om!lektioner!med!lÀrare!pÄ!Youschool!eller!om!annan!kommunikation.!DÄ!kvaliteten!pÄ!lösningsfilmerna!ligger!utanför!ramen!för!denna!studie!utesluts!dock!inte!att!vissa!förmÄgor!eventuellt!gÄr!att!trÀna!betydligt!mindre!Àn!andra!förmÄgor!hos!elever!som!enbart!skulle!nyttja!dessa!filmer!flitigt!och!kanske!som!enda!stöd!i!deras!kunskapsutveckling.!Detta!Àr!ytterligare!ett!exempel!pÄ!en!intressant!vidare!studie!som!skulle!kunna!göras.!!Med!svar!pÄ!frÄgan!snabbt!utrett,!kan!det!vara!pÄ!sin!plats!att!Àven!diskutera!vilka!förmÄgor!som!gÄr!att!se!i!undersökningen!att!de!trÀnas!och!vilken!av!dem!som!eventuellt!kan!tÀnkas!trÀnas!mest!pÄ!Youschool.!!Av!bÄde!intervjuer!och!observation!framgÄr!att!elever!upplever!att!de!trÀnas!i!matematisk!kommunikationsförmÄga.!De!trÀnas!i!att!muntligt!uttrycka!sig!med!ett!matematiskt!sprÄk!och!att!anvÀnda!ett!skriftligt!symbolsprÄk.!Genom!att!under!dokumentkameran!lÀgga!sina!skrivblock!med!egna!ritade!bilder!eller!lÀgga!mobiltelefonen,!lÀroboken!eller!pappersutskrifter!med,!till!uppgifter!bifogade,!bilder,!kan!de!smidigt!peka!med!bÄde!fingrar!och!penna!för!att!tydliggöra!sina!resonemang.!!Tidigare!har!nÀmnts!att!teknikstrul!sÀtter!hinder!för!smidigheten!vid!elevernas!kommunikation!med!varandra!och!lÀrare!pÄ!Youschool.!Det!finns!ocksÄ!en!permanent!begrÀnsning!i!tekniken.!Den!tillÄter!bara!att!det!visas!fyra!skrivprocesser!Ät!gÄngen.!Huruvida!denna!begrÀnsning!Àr!av!godo!eller!av!ondo!Àr!dÀremot!ytterligare!ett!underlag!för!vidare!studier.!Hrastinski!redovisar!studier!som!visar!att!direkt!kommunikation!i!mindre!grupper,!som!den!pÄ!Youschool,!frÀmjar!motivation!genom!
![Page 38: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/38.jpg)
!!
38!
ökad!samhörighet!i!gruppen!eftersom!kommunikationen!dĂ€rmed!tillĂ„ts!bli!av!mer!personlig!art.!Enligt!Hrastinskis!modell!fungerar!denna!typ!av!kommunikation!som!motpol!mot!fördröjd!kommunikation,!som!till!exempel!email.!Fördröjd!kommunikation!frĂ€mjar!istĂ€llet!reflektion!och!kan!dĂ€rmed!utgöra!en!mer!lĂ€rande!typ!av!kommunikation,!sĂ„!inte!heller!denna!motpol!behövs!bör!lyftas!ut!frĂ„n!undervisningen.!!I!observationen!syns!denna!direkta!och!personliga!kommunikation!pĂ„!olika!sĂ€tt.!Eleverna!tillĂ„ts!att!göra!misstag,!de!skrattar!bĂ„de!Ă„t!sina!egna!och!andras!misstag.!Eleverna!verkar!kunna!lita!pĂ„!att!lĂ€raren!hjĂ€lper!eller!lotsar!dem!sĂ„!att!det!reds!ut!vad!som!Ă€r!rĂ€tt!och!vad!som!Ă€r!fel.!En!av!elevernas!block!försvinner!dock!under!arbetet!med!en!av!uppgifterna!och!hon!vill!inte!heller!svara!pĂ„!frĂ„gor!frĂ„n!lĂ€raren!gĂ€llande!den!uppgiften.!Det!kan!vara!ett!tecken!pĂ„!att!det!kĂ€nns!jobbigt!för!henne!att!visa!att!hon!inte!kan.!Eftersom!hon!Ă€r!öppnare!pĂ„!de!andra!uppgifterna,!bĂ„de!innan!och!efter!den!uppgiften,!sĂ„!framstĂ„r!det!Ă€ndĂ„!som!att!det!Ă€r!tillĂ„tet!att!delta!pĂ„!egna!premisser!utan!att!behöva!kĂ€nnas!sig!pressad.!!!Lektionsobservationen!visar!vidare!att!det!finns!elever!som!har!svĂ„rt!med!att!hantera!funktionsbegreppet!vid!bestĂ€mning!av!ett!funktionsvĂ€rde!med!hjĂ€lp!av!graf.!I!synnerhet!Ă€r!det!beteckningen f (x) !som!Ă€r!en!representation!av!funktionsbegreppet!som!stĂ€ller!till!problem.!!!Kunskapskraven!fastslĂ„r!för!betyget!E!gĂ€llande!begreppsförmĂ„gan!att!elever!ska!âöversiktligt!kunna!beskriva!innebörden!av!centrala!begrepp!med!hjĂ€lp!av!nĂ„gra!representationerâ!samt!gĂ€llande!problemlösningsförmĂ„gan!att!de!ska!kunna!âmed*viss*sĂ€kerhet!anvĂ€nda!begrepp!och!samband!mellan!begrepp!för!att!lösa!matematiska!problem![âŠ]!i*bekanta*situationerâ.!!InnebĂ€r!det!att!elever!inte!behöver!anvĂ€nda!beteckningen f (x) för!att!beskriva!en!funktion?!Funktionsbegreppet!Ă€r!för!övrigt!inte!inskrivet!i!det!centrala!innehĂ„llet!i!kursen.!InnebĂ€r!det!att!elever!inte!behöver!kunna!beskriva!detta!begrepp?!Om!det!Ă€r!ett!centralt!begrepp!för!kursen!eller!inte!framgĂ„r!med!andra!ord!inte!av!styrdokumenten.!Det!kan!tolkas!som!att!det!Ă€r!upp!till!den!undervisande!lĂ€raren!att!göra!en!avvĂ€gning!i!frĂ„gan.!I!uppgifter!pĂ„!nationella!prov!i!Ma2b!anvĂ€nds!beteckningen f (x) .38!Med!andra!ord!ger!detta!för!lĂ€rare!som!vill!att!deras!elever!ska!lyckas!med!den!typen!av!uppgifter!pĂ„!nationella!prov!en!fingervisning!om!att!eleverna!bör!förberedas!genom!att!arbeta!med!uppgifter!dĂ€r!de!bekantar!sig!med!denna!representation.!!!Funktionsbegreppet!behandlas!dock!redan!i!kursen!Ma1b,!bĂ„de!i!det!centrala!innehĂ„llet!och!i!flera!kursböcker.!Liksom!i!Ma2b!framgĂ„r!det!heller!inte!av!det!centrala!innehĂ„llet!i!Ma1b!att!eleverna!behöver!kunna!hantera!representationen f (x) ,!men!lĂ€roböckerna!tar!upp!beteckningen.!Kanske!utgĂ„r!lĂ€rare!frĂ„n!att!elever!kan!hantera!funktionsbegreppet!eftersom!de!har!arbetat!med!detta!som!centralt!innehĂ„ll!i!den!tidigare!kursen,!inte!minst!Ă€r!det!rimligt!att!anta!att!det!kan!vara!sĂ„!för!de!lĂ€rare!som!fĂ„r!nya!elevgrupper!att!undervisa!i!Ma2b,!eftersom!inga!styrdokument,!varken!för!Ma!1b!eller!Ma!2b,!nĂ€mner!skrivsĂ€ttet! f (x) .!Sammantaget!kan!det!vara!av!vĂ€rde!för!lĂ€raren!att!kĂ€nna!till!att!det!Ă€r!en!beteckning!som!eleverna!inte!nödvĂ€ndigtvis!Ă€r!bekanta!med!nĂ€r!de!börjar!lĂ€sa!Ma2b.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!38!Uppgift!2!i!denna!undersökning!Ă€r!hĂ€mtat!frĂ„n!ett!gammalt!nationellt!prov!i!MaB,!men!Ă€ven!i!flera!uppgifter!pĂ„!nationella!prov!i!den!nya!kursen!Ma2b!anvĂ€nds!representationen.!
![Page 39: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/39.jpg)
!!
39!
!En!farhÄga!ser!jag!i!sammanhanget.!PÄ!lektioner,!oavsett!om!de!Àr!pÄ!Youschool!eller!i!skolan,!jobbar!man!kanske!för!mycket!med!förmÄgan!procedurer.!Till!exempel!kanske!elever!jobbar!med!nÄgon!procedur!för!att!bestÀmma!formeln!till!en!funktion,!kanske!för!en!rÀt!linje,!utan!att!ha!förstÄelse!för!vad!man!egentligen!gör!och/eller!varför!man!gör!det.!För!vem!Àr!nyttan!stor!att!eleverna!kan!bestÀmma!ekvationen!till!en!linjÀr!funktion!med!hjÀlp!av!exempelvis!trappstegsmetoden!om!de!inte!förstÄr!vad!en!linjÀr!funktion!Àr!eller!nyttan!med!att!kunna!bestÀmma!en!linjÀr!funktion?!!
6.4 En0vidare0reflektion0!En!frÄga!som!stÀlldes!i!inledningen:!Vad!Àr!det!som!gör!att!elever!har!sÄ!svÄrt!med!Ma2b?!Det!Àr!en!frÄga!som!varje!lÀrare!kanske!stÀller!sig!som!inte!har!lyckats!bÀttre!Àn!vad!statistiken!i!landet!visar.!!!GÄr!det!ens!att!finna!nÄgon!lösning!till!detta!problem?!Kanske!Àr!det!istÀllet!sÄ!att!denna!undersökning!vÀcker!fler!frÄgor!Àn!vad!den!lyckas!ger!svar!pÄ?!!NÀrmast!ut!var!exemplet!om!hur!styrdokumenten!lÀmnar!tolkningsutrymme!till!lÀrarna!gÀllande!beteckningen! f (x) !som!visar!att!det!förekommer!otydligheter!kring!vad!lÀrare!ska!undervisa.!Sen!kan!tillÀggas!en!tolkningstvetydighet!för!lÀrarna!att!avgöra!vilka!förmÄgor!som!testas!huvudsakligen!i!vilka!uppgifter.!De!nationella!proven!uppges!ska!vara!vÀgledande!men!inte!allena!avgörande!för!lÀrarna!vid!betygssÀttning.!Totalundersökningar!av!resultat!frÄn!samtliga!nationella!prov!görs!numera!och!statistiken!frÄn!dessa!Àr!lÀtt!att!hitta!pÄ!nÀtet,!Ànda!ned!pÄ!enskild!skolnivÄ!om!man!sÄ!vill.!Detta!pressar!lÀrarna!att!prioritera!provförfattarnas!tolkningar!av!vad!kurserna!ska!innehÄlla!dÄ!tveksamheter!uppstÄr,!alltför!att!skolans!inte!ska!hamna!i!dÄlig!dager!med!dÄliga!provresultat.!Att!tillÀgga!att!det!Àr!tvÄ!olika!institutioner!som!ansvarar!för!proven!pÄ!gymnasiet!underlÀttar!inte!arbetet!med!tolkning!av!vad!undervisningen!mÄste!innehÄlla.!SÄ!lÀnge!det!rÄder!oklarheter!bland!lÀrarna!kring!vad!undervisningen!ska!innehÄlla,!Àr!det!inte!orimligt!att!anta!att!kraven!kan!upplevas!som!otydliga!för!eleverna.!Otydliga!krav!kan!vara!en!orsak!till!problemet.!!!!
6.5 Reliabilitet,0validitet0och0generaliserbarhet0!Intentionen!med!studien!var!frÄn!början!att!ett!kunskapstest!skulle!genomföras!med!alla!elever!som!lÀste!Ma2b!pÄ!Youschool,!för!att!fÄ!mer!information!om!hur!elever!trÀnas!i!de!olika!förmÄgorna!kring!funktionsbegreppet.!TyvÀrr!gick!detta!test!inte!att!praktiskt!genomföra,!dÄ!det!bedömdes!vara!för!tidskrÀvande!samt!att!det!var!svÄrt!att!genomföra!under!övervakning!dÄ!eleverna!var!spridda!i!landet.!DÀrför!valdes!istÀllet!att!göras!en!lektionsobservation!men!med!oförÀndrat!syfte,!och!med!testuppgifterna!istÀllet!som!lektionsmaterial.!TyvÀrr!hann!eleverna!inte!arbeta!med!uppgift!4,!den!uppgift!som!eventuellt!skull!kunna!fÄ!eleverna!att!behöva!övervinna!en!tankekris!och!dÀrmed!kunna!visa!att!de!uppnÄtt!van!HieleJnivÄ!4.!!
![Page 40: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/40.jpg)
!!
40!
Intervjuerna!skulle!ocksÄ!genomföras!som!en!totalundersökning,!men!dÄ!med!fler!frÄgor!specifikt!kopplade!till!testet!och!de!skulle!utgöra!en!komplettering!till!testet.!Av!samma!skÀl!som!för!varför!kunskapstestet!förenklades!fick!planerna!pÄ!en!totalundersökning!Äter!överges.!Intervjuerna!fick!bli!pÄ!telefon!eftersom!eleverna!var!för!spridda!i!landet.!!Resultaten!frÄn!intervjuer!och!observation!Àr!tillförlitliga!sÄ!till!vida!att!de!gjorts!med!beprövade!metoder!för!semistrukturerade!intervjuer!och!filminspelningar.!InvÀndningar!mot!urvalet!av!studieobjekt!kan!finnas,!men!allt!material!som!har!varit!möjligt!i!studien!att!samla!in!har!samlats!in.!!!!Eftersom!endast!en!observation!gjorts!Àr!det!svÄrt!att!dra!nÄgra!generella!slutsatser!om!undervisningen!pÄ!Youschool!utifrÄn!den,!men!eftersom!vissa!delar!i!diskussionen!ges!stöds!frÄn!bÄde!intervjuer!och!observationen!sÄ!Àr!Ätminstone!dessa!delar!mer!styrkta!Àn!övriga!delar.!!!!!!! 0
![Page 41: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/41.jpg)
!!
41!
KĂ€llförteckning0!Alfredsson,!L.,!Björk,!L.!E.,!Brolin,!H.,!BrĂ„ting,!K.,!Erixon,!P.,!Heikne,!H.,!RistamĂ€ki,!A.,!Matematik%5000,%Kurs%1b%Grön%lĂ€robok,%Natur!och!Kultur,!Stockholm,!2011.!!BjĂžrndal,!C.!R.!P.,!Det%vĂ€rderande%ögat:%observation,%utvĂ€rdering%och%utveckling%i%undervisning%och%handledning,!Liber,!Stockholm,!2005.!!Emanuelsson,!G.,!Johansson,!B.,!och!Ryding,!R.!(red.),!Geometri%och%statistik,!Studentlitteratur,!Lund,!1992.!!von!Essen,!C.!Din!skola!pĂ„!nĂ€tet.!Aftonbladet,%Fokus:%Studera.!Mars!2013.!!!Garten,!B.,!Injection%keine%Injektion%2a.%2011,%tillgĂ€nglig:!http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Injection_keine_Injektion_2a.svg#/media/File:Injection_keine_Injektion_2a.svg!(hĂ€mtad!2015J06J09).!!Gennow,!S.,!Gustafsson,!I.!M.,!Silborn,!B.,!Exponent%1b,!Gleerups!Utbildning!AB,!Malmö,!2011.!!!Hattie,!J.,!Synligt%lĂ€rande:%en%syntes%av%mer%Ă€n%800%metaanalyser%om%vad%som%pĂ„verkar%elevers%skolresultat,!Natur!och!Kultur,!Stockholm,!2014.!!!van!Hiele,!P.,!Structure%and%Insight,%a%Theory%of%Mathematics%Education,!UK!Edition,!Academic!Press!Inc.,!London,!1986.!!Holmström,!M.,!Smedhamre,!E.,!och!Sjunnesson,!J.,!M%Matematik%1b,!Stockholm,!Liber,!2011.!!Hrastinski,!S.,!NĂ€tbaserad%utbildning,%En%introduktion,%Studentlitteratur,!Malmö,!2009.!!Imsen,!G.,!Elevens%vĂ€rd,%Introduktion%till%pedagogisk%psykologi,!3!uppl,!Studentlitteratur,!Lund,!2000.!!SFS!2010:800,!Skollag.!!!Skolverket,!Internationella!studier,!2014,!tillgĂ€nglig:!http://www.skolverket.se/statistikJochJutvardering/internationellaJstudier!(hĂ€mtad!2014J10J22).!!!Skolverket,!SIRIS!J!Nationella!prov,!2014,!tillgĂ€nglig:!http://siris.skolverket.se/siris/f?p=SIRIS:114:0::NO!(hĂ€mtad!2014J11J20).!%!Skolverket,!Ămne!â!Matematik,!2014,!tillgĂ€nglig:!http://www.skolverket.se/laroplanerJamnenJochJkurser/gymnasieutbildning/gymnasieskola/mat?tos=gy&subjectCode=mat&lang=sv!(hĂ€mtad!2015J06J04).!!!
![Page 42: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/42.jpg)
!!
42!
Stockholms%universitet,!PRIM?gruppen,%Dokument,!2014,!tillgÀnglig:!http://www.su.se/polopoly_fs/1.129061.1402923516!/menu/standard/file/A4_Kunskapskrav%201bc%20i%20matrisform_140128.pdf!(hÀmtad!2015J06J24).!!Szabo,!A.,!Larson,!N.,!Viklund!G.,!DufÄker,!D.,!Marklund,!M.,!Matematik%Origo%1b,!2!uppl.,!Sanoma!Utbildning,!Stockholm,!2011.!!!Trost,!J.,!Kvalitativa%intervjuer,!Lund,!Studentlitteratur,!1993.!!!Youschool,!webbplats:!www.youschool.se!(hÀmtad!2015J04J30).!**
![Page 43: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/43.jpg)
Kuns
kaps
krav
, Mat
emat
ik 2
b, 1
00 p
oÀng
, Kur
skod
MAT
MAT
02b
Bety
get E
Bety
get D
Bety
get C
Bety
get B
Bety
get A
Elev
en k
an ö
vers
iktli
gtbe
skriv
a in
nebö
rden
av
cent
rala
beg
repp
med
hjÀ
lpav
nÄg
ra re
pres
enta
tione
rsa
mt ö
vers
iktli
gt b
eskr
iva
sam
band
en m
ella
n be
grep
pen.
Des
suto
m v
Ă€xla
r ele
ven
med
viss
sÀke
rhet
mel
lan
olik
are
pres
enta
tione
r. El
even
kan
med
viss
sÀke
rhet
anvÀ
nda
begr
epp
och
sam
band
mel
lan
begr
epp
för a
ttlö
sa m
atem
atis
ka p
robl
emoc
h pr
oble
msi
tuat
ione
r ika
rakt
ÀrsÀ
mne
na i
beka
nta
situa
tione
r. I
arbe
tet h
ante
rar
elev
en n
Ă„gra
enk
la p
roce
dure
roc
h lö
ser u
ppgi
fter a
vst
anda
rdka
rakt
Ă€r m
ed v
isssÀ
kerh
et, b
Ă„de
utan
och
med
digi
tala
ver
ktyg
.
Elev
en k
an fo
rmul
era,
anal
yser
a oc
h lö
sa m
atem
atis
kapr
oble
m a
v en
kel k
arak
tÀr.
Des
sa p
robl
em in
klud
erar
ett f
Ă„tal
beg
repp
och
krÀ
ver
enkl
a to
lkni
ngar
. I a
rbet
etgö
r ele
ven
om re
alis
tiska
prob
lem
situ
atio
ner t
illm
atem
atis
ka fo
rmul
erin
gar
geno
m a
tt til
lÀm
pa g
ivna
mat
emat
iska
mod
elle
r. El
even
kan
med
enk
la o
mdö
men
utvÀ
rder
a re
sulta
tets
rim
lighe
tsa
mt v
alda
mod
elle
r, st
rate
gier
och
met
oder
.
Bet
yget
D in
nebÀ
r att
kuns
kaps
krav
en fö
r Eoc
h til
l öve
rvÀg
ande
del
för C
Ă€r u
ppfy
llda.
Elev
en k
an u
tförl
igt b
eskr
iva
inne
börd
en a
v ce
ntra
labe
grep
p m
ed h
jÀlp
av
nÄgr
are
pres
enta
tione
r sam
t utfö
rlig
tbe
skriv
a sa
mba
nden
mel
lan
begr
eppe
n. D
essu
tom
vÀx
lar
elev
en m
ed v
iss sÀ
kerh
etm
ella
n ol
ika
repr
esen
tatio
ner.
Elev
en k
an m
ed v
iss sÀ
kerh
etan
vÀnd
a be
grep
p oc
h sa
mba
ndm
ella
n be
grep
p fö
r att
lösa
mat
emat
iska
pro
blem
och
prob
lem
situ
atio
ner i
kara
ktÀr
sÀm
nena
. I a
rbet
etha
nter
ar e
leve
n fle
rapr
oced
urer
och
löse
r upp
gifte
rav
stan
dard
kara
ktÀr
med
sÀke
rhet
, bÄd
e ut
an o
ch m
eddi
gita
la v
erkt
yg.
Elev
en k
an fo
rmul
era,
anal
yser
a oc
h lö
sa m
atem
atis
kapr
oble
m. D
essa
pro
blem
inkl
uder
ar fl
era
begr
epp
och
krÀv
er a
vanc
erad
e to
lkni
ngar
.I a
rbet
et g
ör e
leve
n om
real
istis
ka p
robl
emsi
tuat
ione
rtil
l mat
emat
iska
form
uler
inga
rge
nom
att
vÀlja
och
tillÀ
mpa
mat
emat
iska
mod
elle
r. El
even
kan
med
enk
la o
mdö
men
utvÀ
rder
a re
sulta
tets
rim
lighe
tsa
mt v
alda
mod
elle
r, st
rate
gier
,m
etod
er o
ch a
ltern
ativ
till
dem
.
Bet
yget
B in
nebÀ
r att
kuns
kaps
krav
en fö
r Coc
h til
l öve
rvÀg
ande
del
för A
Ă€r u
ppfy
llda.
Elev
en k
an u
tförl
igt b
eskr
iva
inne
börd
en a
v ce
ntra
labe
grep
p m
ed h
jÀlp
av
flera
repr
esen
tatio
ner s
amt u
tförl
igt
besk
riva
sam
band
en m
ella
nbe
grep
pen.
Des
suto
m v
Ă€xla
rel
even
med
sÀke
rhet
mel
lan
olik
a re
pres
enta
tione
r. El
even
kan
med
sÀke
rhet
anv
Ă€nda
begr
epp
och
sam
band
mel
lan
begr
epp
för a
tt lö
sa k
ompl
exa
mat
emat
iska
pro
blem
och
prob
lem
situ
atio
ner i
kara
ktÀr
sÀm
nena
. I a
rbet
etha
nter
ar e
leve
n fle
rapr
oced
urer
och
löse
r upp
gifte
rav
stan
dard
kara
ktÀr
med
sÀke
rhet
och
pÄ
ett e
ffekt
ivt
sÀtt,
bÄd
e ut
an o
ch m
eddi
gita
la v
erkt
yg.
Elev
en k
an fo
rmul
era,
anal
yser
a oc
h lö
sa m
atem
atis
kapr
oble
m a
v ko
mpl
exka
rakt
Ă€r. D
essa
pro
blem
inkl
uder
ar fl
era
begr
epp
och
krÀv
er a
vanc
erad
eto
lkni
ngar
. I p
robl
emlö
snin
gup
ptÀc
ker
elev
en g
ener
ella
sam
band
som
pre
sent
eras
med
sym
bolis
k al
gebr
a.I a
rbet
et g
ör e
leve
n om
real
istis
ka p
robl
emsi
tuat
ione
rtil
l mat
emat
iska
form
uler
inga
rge
nom
att
vÀlja
, till
Ă€mpa
och
anpa
ssa
mat
emat
iska
mod
elle
r.El
even
kan
med
nya
nser
ade
![Page 44: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/44.jpg)
Kuns
kaps
krav
, Mat
emat
ik 2
b, 1
00 p
oÀng
, Kur
skod
MAT
MAT
02b
Bety
get E
Bety
get D
Bety
get C
Bety
get B
Bety
get A
Elev
en k
an fö
ra e
nkla
mat
emat
iska
reso
nem
ang
och
vÀrd
era
med
enk
la o
mdö
men
egna
och
and
ras r
eson
eman
gsa
mt s
kilja
mel
lan
giss
ning
aroc
h vÀ
lgru
ndad
e pÄ
stÄe
nden
.D
essu
tom
uttr
ycke
r sig
ele
ven
med
viss
sÀke
rhet
i ta
l, sk
rift
och
hand
ling
med
insla
g av
mat
emat
iska
sym
bole
r och
andr
a re
pres
enta
tione
r.
Gen
om a
tt ge
exe
mpe
l rel
ater
arel
even
nÄg
ot i
kurs
ens
inne
hÄll
till d
ess b
etyd
else
inom
and
ra À
mne
n, y
rkes
liv,
sam
hÀlls
liv o
ch m
atem
atik
ens
kultu
rhis
toria
. Des
suto
m k
anel
even
föra
enk
la re
sone
man
gom
exe
mpl
ens r
elev
ans.
Elev
en k
an fö
ra v
Ă€lgr
unda
dem
atem
atis
ka re
sone
man
goc
h vÀ
rder
a m
ed n
yans
erad
eom
döm
en e
gna
och
andr
asre
sone
man
g sa
mt s
kilja
mel
lan
giss
ning
ar o
ch v
Ă€lgr
unda
depÄ
stÄe
nden
. Des
suto
mut
tryck
er si
g el
even
med
viss
sÀke
rhet
i ta
l, sk
rift o
chha
ndlin
g sa
mt a
nvÀn
der
mat
emat
iska
sym
bole
r och
andr
a re
pres
enta
tione
r med
viss
anp
assn
ing
till s
yfte
och
situa
tion.
Gen
om a
tt ge
exe
mpe
l rel
ater
arel
even
nÄg
ot i
nÄgr
a av
kurs
ens d
elom
rÄde
n til
l des
sbe
tyde
lse
inom
and
ra À
mne
n,yr
kesl
iv, s
amhÀ
llsliv
och
mat
emat
iken
s kul
turh
isto
ria.
Des
suto
m k
an e
leve
n fö
ravÀ
lgru
ndad
e re
sone
man
g om
exem
plen
s rel
evan
s.
omdö
men
utv
Ă€rde
ra re
sulta
tets
rimlig
het s
amt v
alda
mod
elle
r,st
rate
gier
, met
oder
och
alte
rnat
iv ti
ll de
m.
Elev
en k
an fö
ra v
Ă€lgr
unda
deoc
h ny
anse
rade
mat
emat
iska
reso
nem
ang,
vÀr
dera
med
nyan
sera
de o
mdö
men
och
vida
reut
veck
la e
gna
och
andr
as re
sone
man
g sa
mt
skilj
a m
ella
n gi
ssni
ngar
och
vÀlg
rund
ade
pÄst
Ă„end
en.
Des
suto
m u
ttryc
ker s
ig e
leve
nm
ed sÀ
kerh
et i
tal,
skrif
t och
i han
dlin
g sa
mt a
nvÀn
der
mat
emat
iska
sym
bole
r och
andr
a re
pres
enta
tione
r med
god
anpa
ssni
ng ti
ll sy
fte o
chsit
uatio
n.
Gen
om a
tt ge
exe
mpe
l rel
ater
arel
even
nÄg
ot i
nÄgr
a av
kurs
ens d
elom
rÄde
n til
l des
sbe
tyde
lse
inom
and
ra À
mne
n,yr
kesl
iv, s
amhÀ
llsliv
och
mat
emat
iken
s kul
turh
isto
ria.
Des
suto
m k
an e
leve
n fö
ravÀ
lgru
ndad
e oc
h ny
anse
rade
reso
nem
ang
om e
xem
plen
sre
leva
ns.
![Page 45: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/45.jpg)
Appendix II !IntervjufrÄgor:!!
1. Bakgrundskoll:!!
0 Vilket!program!lÀser!du!pÄ!gymnasiet?!
0 Hur!lÀnge!har!du!haft!Youschool?!
!
2. Vad!var!det!som!gjorde!att!du!att!började!att!anvÀnda!YS?!!
0 PĂ„!vems!initiativ!var!det!att!du!började!anvĂ€nda!YS?!(eget,!förĂ€ldrars,!lĂ€rare!i!skolan!âŠ)!
0 Vem!Àr!det!som!betalar?!(eleven!sjÀlv,!förÀldrar!�!)!
!
3. Har!du!nÄgot!betygsmÄl!i!kursen?"(E,!högre!betyg?)!!
4. Beskriv!vad!som!Àr!ett!verkligt!stöd,!vad!som!hjÀlper!dig!att!nÄ!ditt!mÄl?!!
0 Prioritera.!Vad!tycker!du!Ă€r!viktigast?!
!
5. Beskriv!hur!YS!hjÀlper!dig!att!nÄ!ditt!mÄl?!!
6. Om!du!inte!hade!YS!till!studiehjÀlp,!vad!ser!du!skulle!kunna!vara!ett!alternativ!att!fÄ!hjÀlp!med!att!lÀra!dig!matematik.!
!
7. Vilka!resurser!anvÀnder!du!pÄ!YS?!!
0 Vilka!resurser!anvÀnder!du!pÄ!YS?!(Kanske!mÄste!intervjuaren!förklara!vad!han/hon!menar!
med!resurser:!YS0lĂ€rare,!kamrater!pĂ„!YS,!filmer!âŠ)!!
0 Vilka!resurser!(lÀrare!eller!annat)!tycker!du!Àr!viktigast?!!
0 AnvÀnder!du!bara!YS!nÀr!du!har!kontakt!med!lÀrare!(Om!det!inte!redan!har!framkommit)?!
0 Vad!Àr!viktigast!med!lÀraren!som!resurs?!
0 Vad!gör!du!pÄ!YS!nÀr!du!inte!har!kontakt!med!lÀrare!(om!du!inte!redan!fÄtt!svar!pÄ!det)?!
!8. Kan!du!berÀtta!om!hur!det!brukar!gÄ!till!under!en!vanlig!lektion!pÄ!YS?!
!
0 Ge!exempel!pÄ!nÄgot!lektionstillfÀlle!pÄ!YS!som!varit!lÀrorikt!för!dig.!
0 Hur!jobbade!ni!dÄ?!
0 Hur!tÀnker!du!dig!att!du!lÀr!dig!med!hjÀlp!av!YS?!!
0 Vad!skulle!man!kunna!göra!under!en!YS0lektion!om!tex!funktioner!(nÄgot!konkret),!för!att!det!
ska!bli!en!optimal!lektion?!
0 Prioritera.!Vad!tycker!du!Ă€r!viktigast?!!
!
9. Nu!fÄr!du!fria!hÀnder!!Om!du!skulle!fÄ!förbÀttra!YS,!vad!skulle!du!göra?!Saknar!du!nÄgot!kring!YS!som!skulle!göra!YS!Ànnu!bÀttre!Àn!idag?!
!
10. Har!du!nÄgot!som!du!skulle!vilja!tillÀgga?!Kanske!nÄgot!som!du!kom!att!tÀnka!pÄ!under!intervjun!och!som!jag!inte!frÄgade!nÄgot!om.!
! !
![Page 46: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/46.jpg)
!!
Appendix III !RĂ€ta!linjens!ekvation!!
1.!E9nivÄ!(Np!Ma2b!vt!2012)!
!!
OmrÄdet"nedan"kan"du"anvÀnda"som"kladdpapper.""
!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!
!
Uppgiften!var!lÀtt!att!lösa!!!
1! 2! 3! 4! ! â!InstĂ€mmer!helt! InstĂ€mmer!
delvis!!
InstÀmmer!inte!
sÄ!mycket!
InstÀmmer!inte!
alls!! Ingen!
uppfattning!
!Kommentarer:____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________
NpMa2b vt 2012
2
1.
a) BestĂ€m ekvationen för den rĂ€ta linjen i figuren. ______________________(1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rĂ€t linje med riktningskoefficienten 1ïżœ k (1/0/0) 2. Förenkla uttrycket 25)5)(5( ïżœïżœïżœ xx sĂ„ lĂ„ngt som möjligt.
______________________(1/0/0) 3. Lös ekvationerna a) 0)7( ïżœxx ______________________(1/0/0) b) 3lg x ______________________(1/0/0) c) xx 23 222 ïżœ ______________________(0/1/0)
Del I: Digitala verktyg Àr inte tillÄtna. Endast svar krÀvs. Skriv dina svar direkt i provhÀftet.
![Page 47: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/47.jpg)
!!
2.!Odefinerad9nivÄ!(Np!MaB!vt!2000)!
!Svara"och"motivera"nedan:""
!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!
!
Uppgiften!var!lÀtt!att!lösa!!!
1! 2! 3! 4! ! â!InstĂ€mmer!helt! InstĂ€mmer!
delvis!!
InstÀmmer!inte!
sÄ!mycket!
InstÀmmer!inte!
alls!! Ingen!
uppfattning!
!Kommentarer:____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________!
Np MaB vt 2000
11.
47
37
36
36
46
26
a) Ovan ser du ett trÀddiagram. Ge ett förslag pÄ en hÀndelse som kan beskri-
vas av diagrammet. (2p) b) Formulera en frÄga som besvaras med den utrÀknade sannolikheten: (1p)
71
62
73
ïżœ P
12.
1
1
y = h (x)
y = f (x) y
x
I figuren till vÀnster visas graferna till de tvÄ ekvationerna )(),( xhyxfy a) BestÀm )0(h
Endast svar fordras b) BestÀm det x-vÀrde för vilket
0)( xh Endast svar fordras
c) AnvÀnd figuren för att bestÀmma
lösningen till ekvationssystemet
ÂŻÂźÂ
)()(
xhyxfy
Endast svar fordras
(1p)
(1p)
(1p)
![Page 48: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/48.jpg)
!!
3.!G9nivÄ!(Np!MaB!vt!2001)!!
!Svara"och"gör"berÀkningar"nedan:"
!
!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!
!
Uppgiften!var!lÀtt!att!lösa!!!
1! 2! 3! 4! ! â!InstĂ€mmer!helt! InstĂ€mmer!
delvis!!
InstÀmmer!inte!
sÄ!mycket!
InstÀmmer!inte!
alls!! Ingen!
uppfattning!
!
Kommentarer:_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________!
Np MaB vt 2001
Del II
11. En camping har 23 stugor, fördelade pÄ trebÀddsstugor och fembÀddsstugor.
Totalt har campingen 83 bÀddar. Efter att ha lÀst texten ovanför stÀllde en elev upp följande ekvationssystem:
ÂŻÂźÂ
ïżœ ïżœ
835323
yxyx
a) Vad stÄr x respektive y för? (1/0) b) Lös ekvationssystemet. (2/0) 12. En rektangel har arean 221 cm2. LÀngden Àr 4 cm större Àn bredden. a) Teckna en ekvation som kan anvÀndas för att berÀkna rektangelns bredd
med hjÀlp av den givna informationen. Endast svar fordras (1/0) b) BerÀkna rektangelns bredd. (1/0) 13. Du ska köpa en mobiltelefon och vÀlja vilket abonnemang du ska ha. Prislista:
a) Skriv mÄnadskostnaden y kr som en funktion av samtalstiden x minuter för
abonnemanget Pling om man endast ringer under âövrig tidâ. (1/0) b) Hur mĂ„nga minuter per mĂ„nad mĂ„ste man ringa för att abonnemanget Pling
ska vara lika dyrt som abonnemanget Ring om man endast ringer under âöv-rig tidâ? (2/0)
Denna del bestÄr av 9 uppgifter och Àr avsedd att genomföras med minirÀknare. Observera att arbetet med Del II kan pÄbörjas utan tillgÄng till minirÀknare.
Abonnemang Pling Ring Fast mÄnadsavgift 100 kr 150 kr Minutpriser för nationella samtal
Vardagar kl 7-19 4,50 kr 4 kr Ăvrig tid 0,75 kr 0,50 kr
![Page 49: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/49.jpg)
!!
4.!VG/MVG9nivÄ!(Np!MaB!ht!2001)!
!Svara"och"gör"berÀkningar"nedan:""
!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !! !!
!
Uppgiften!var!lÀtt!att!lösa!!!
1! 2! 3! 4! ! â!InstĂ€mmer!helt! InstĂ€mmer!
delvis!!
InstÀmmer!inte!
sÄ!mycket!
InstÀmmer!inte!
alls!! Ingen!
uppfattning!
!
Kommentarer:____________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________!!
Np MaB ht 2001 17.
A
B
y
x
(2, 3)
En rÀt linje genom punkten (2, 3) skÀr positiva y-axeln i A och positiva x-axeln i B, se figur. Punkten B har en x-koordinat som Àr tre gÄnger sÄ stor som y-koordinaten för punkten A. BestÀm y-koordinaten för punkten A exakt.
ïżœïżœïżœïżœïżœÍïżœ 18. ABCD Ă€r ett vitt rektangelformat pappersark med grĂ„ baksida. Arket viks sĂ„ att
vikningslinjen gÄr genom hörnet A och sÄ att hörnet B hamnar pÄ sidan CD (se högra figuren).
A B
C D
12 cm
15 cm
BerÀkna arean av den uppvikta (grÄ) delen av pappersarket.
BerĂ€kningar som bygger pĂ„ uppmĂ€tta vĂ€rden godtas ej. ïżœïżœïżœïżœïżœÍïżœ
![Page 50: Kunskapskrisen i matematik](https://reader036.vdocuments.us/reader036/viewer/2022062513/62b22ff6cd68f51f167e1e8a/html5/thumbnails/50.jpg)
!!
!!
Stockholms universitet/Stockholm University
SE-106 91 Stockholm
Telefon/Phone: 08 â 16 20 00
www.su.se
! !Stockholm, 2015