Turkish J. Eng. Env. Sci.26 (2002) , 179 – 192.c© TUBITAK

Kemer Barajların Lineer Olmayan Dinamik Analizi: Euler ve

Lagrange Cozumleri

Yusuf CALAYIR, Muhammet KARATONFırat Universitesi, Muhendislik Fakultesi Insaat Muhendisligi Bolumu,

Elazıg-TURKIYEe-mail : ycalayir@firat.edu.tr

Gelis Tarihi 12.03.2001

Ozet

Bu calısmada, sıvı-yapı sistemlerinin dinamik etkilesim problemi icin Euler ve Lagrange yaklasımlarınagore sonlu eleman formulasyonları verilmistir. Euler ve Lagrange yaklasımlarının etkinliklerini ortaya koy-mak amacıyla, Karakaya kemer barajının lineer olmayan dinamik analizleri yapılmıstır. Baraj betonu icinlineer olmayan malzeme modeli olarak Drucker-Prager akma kriteri kullanılmıstır. Sıvı ve temel ortamlarınınlineer elastik davranıs gosterdigi kabul edilmistir. Karakaya barajı Turkiye deprem bolgeleri haritasında bi-rinci derece deprem bolgesinde yer almakta olup, barajın bulundugu alanda yapı omru icerisinde beklenenetkin pik ivme degeri 0,55g civarındadır. Sunulan calısmadaki cozumler icin dinamik etki olarak, 21 Tem-muz 1952 Taft depreminin S69E ivme bileseni secilmis olup, baraj-rezervuar-temel sistemine mansap-membadogrultusunda etki ettirilmistir. Euler ve Lagrange yaklasımları kullanılarak elde edilen cozumler birbirleriile karsılastırılmıstır. Her iki yontemden elde edilen tepki buyuklukleri frekans acısından benzerlik arz et-mektedir. Genliklerde ise kabul edilebilir farklar olusmaktadır. Lagrange yontemi kullanılarak sıvı-yapısistemlerinin dinamik etkilesim problemlerinin bilgisayar programlanması ve mevcut bilgisayar program-larına uyarlanması Euler yontemine gore daha basittir. Buna karsılık, Lagrange yaklasımında daha fazlaserbestlik derecesi soz konusu oldugundan bilgisayar hafızası ve cozum zamanına olan ihtiyac artar.

Anahtar Sozcukler: Sıvı-yapı etkilesimi, Eular yaklasımı, Lagrange yaklasımı, Drucker-Prager akma kri-teri ve Dinamik analiz.

Non-Linear Dynamic Analysis of Arch Dams: Eulerian and Lagrangian Solutions

Abstract

In this study, Eulerian and Lagrangian finite element formulations are given for the dynamic interactionproblem of a fluid-structure system. Non-linear dynamic analyses of Karakaya arch dam were performedto obtain the effectiveness of the Eulerian and Lagrangian approaches. The Drucker-Prager yield criterionwas used for the non-linear model of dam concrete. The fluid and foundation domains were consideredto be linearly elastic. The Karakaya Dam is located in the first zone of Turkey’s seismic zone map. Theexpected effective peak acceleration value at the dam site is about 0.55g over its structural life. For thedynamic input used in the solutions of the presented study, the S69E component of the 21 July, 1952 Taftearthquake was selected as the horizontal component, acting in the downstream-upstream direction of thedam-reservoir-foundation system. The Eulerian and Lagrangian solutions were compared with each other.The results obtained from both methods were similar in terms of frequency. However, acceptable differencesin amplitudes occurred. The programming of the dynamic interaction problems of fluid-structure systems

179

CALAYIR, KARATON

using the Lagrangian approach and incorporating this programme into existing computer programs aresimpler with respect to that of the Eulerian approach. Nevertheless, the requirement for computing memoryand time are increased because the Lagrangian approach requires the use of significantly more degrees offreedom.

Key Words: Fluid-structure interaction, Eulerian approach, Lagrangian approach, Drucker-Prager yieldcriterion, Dynamic analysis.

Giris

Barajlar, genelde sulama ve enerji ihtiyaclarınıkarsılamak amacıyla yapılırlar. Arkalarında buyukmiktarda su biriktiren bu yapıların insasına halen de-vam edilmekte ve gelecekte de devam edilmesi bek-lenmektedir. Ulkemiz gibi deprem riskinin yuksekoldugu ve guclu yer sarsıntılarının meydana geldigibolgelerde bu tip yapıların hasar gormesi veyayıkılması ekonomik ve sosyal acıdan telafisi cok gucolan sonuclar dogurabilir. Bu sebeple guclu yersarsıntılarının oldugu ve beklendigi bolgelerde insaedilen ve projelendirilen barajların, catlak, kırılmave hasar gibi davranısları dikkate alan gelismistekniklerle analiz edilmesi ve buna gore onlemlerinalınması gerekmektedir (Carvera ve Oliver, 1995;Dowling, 1987; Karaton, 1998; Lee ve Fenves, 1998;Manfredi ve Ramasco, 1993; Rodriguez ve Aristiza-bal, 1999; Vatani ve Dumanoglu,1997).

Barajlar sıvı-yapı etkilesimine maruz yapıgrubuna girmektedir. Bu tur yapılarda yapı sıvının,sıvı da yapının dinamik davranısını onemli olcudeetkiler. Sıvı ortamında hidrodinamik basınclar(hidrostatik basınc fazlası), yapı ortamında ise bubasınclardan dolayı ilave yukler olusmaktadır. Sıvı-yapı etkilesim problemi Euler, Lagrange ve KutleEkleme yaklasımlarından biriyle modellenebilir(Calayır, 1994; Calayır ve arkadasları, 1996; Olsonve Bathe, 1983; Wilson ve Khalvalti,1983). Eu-ler yaklasımında, sıvı ortamında basınclar (veya hızpotansiyelleri), yapı ortamında ise yer degistirmelerdegisken olarak secilir. Lagrange yaklasımında, hemyapı ve hem de sıvı ortamlarında yer degistirmelerdegisken olarak alınır. Sıvı ortamının hidrodinamikbasınclarını barajın memba yuzeyi uzerinde toplananbir ilave kutleye esdeger olarak kabul eden yaklasımise Kutle Ekleme metodu olarak bilinir (Westergard,1933).

Bu calısmada, sıvı-yapı sistemlerinin di-namik etkilesim problemi icin Euler ve Lagrangeyaklasımlarına gore sonlu eleman formulasyonlarısunulmustur. Yaklasımların etkinliklerini ortayakoymak amacıyla, Karakaya kemer barajının lineerolmayan dinamik analizi yapılmıstır. Baraj beto-

nunun lineer olmayan malzeme modeli icin Drucker-Prager akma kriteri kullanılmıstır (Bangash, 1989).Sıvı ve temel ortamlarının lineer elastik davranısgosterdigi ve sonlu uzunluga sahip oldugu kabuledilmistir. Temel ortamı ise kutlesiz alınmıstır.Karakaya barajı Turkiye deprem bolgeleri hari-tasında birinci derece deprem bolgesinde yer almak-tadır. Risk analizinde A.B.D.’ de Rl yıllık risk degeribaraj yapıları icin %5 olarak alınmaktadır (Algermis-sen ve Perkins, 1976). Bu tur yapılar icin ekonomikomur 50∼75 yıl arasında degismektedir. Ekonomikomur 50 yıl alındıgında %5 asılma olasılıgıyla barajınbulundugu alanda beklenen pik ivme degeri 0.55gcivarında olmaktadır (Gulkan ve arkadasları, 1993).Barajların tasarım veya yeniden gozden gecirmeanalizlerinde yukarıda verilen degere yakın pikivmeye sahip ve frekans icerigi yonunden uygundepremler kullanılmalıdır. Farklı iki yaklasımıncozumlerini karsılastırmak amacıyla hazırlanmıs olanbu makalede dinamik etki olarak, Kaliforniya eyale-tinin Kern ilcesi 21 Temmuz 1952 Taft depremisırasında Taft Lincoln okulu tunelinde kaydedilenyer hareketinin S69E ivme bileseni secilmis vebaraj-rezervuar-temel sistemine mansap-membadogrultusunda etki ettirilmistir. Karakaya kemerbarajının Euler ve Lagrange yaklasımlarına gore li-neer olmayan cozumleri elde edilmis ve sonuclar bir-birleriyle karsılastırılmıstır. Yontemlerin etkinlikleriirdelenmistir.

Sıvı-Yapı Etkilesimi icin Euler Yaklasımı

Euler yaklasımı, barajlar ve su depoları gibisıvı-yapı etkilesimine maruz sistemlerin sonlu vesınır eleman yontemleriyle analizinde yaygın birsekilde kullanılmaktadır. Sıvı-yapı sistemlerininEuler yaklasımıyla analizinde, yapının hareketiyer degistirmeler cinsinden, sıvının hareketi isebasınclar cinsinden ifade edilmektedir. Sıvı-yapı arayuzeyindeki etkilesimden dolayı ortak hareket mey-dana gelmektedir. Bu nedenle, cozum icin ozelara yuzey denklemlerinin tanımlanması gerekmekte-dir. Bu kısımda once sıvı hareketi ile ilgili temelbagıntılar ve bunların sonlu eleman formu ve daha

180

CALAYIR, KARATON

sonra sıvı-yapı sistemi icin ortak denklemler verile-cektir.

Lineer sıkısabilir, viskoz olmayan ve rotasyon-suz bir sıvının kucuk yer degistirmeler altındaki ucboyutlu hareketi,

P,xx+P,yy +P,zz =1C2

P,tt (1)

dalga denklemiyle verilmektedir (Cook vearkadasları, 1989; Zienkiewicz ve Taylor, 1991).Burada x,y,z kartezyen koordinatları, t zamanı veC sıvıdaki basınc dalgası hızını (buna sıvıdaki sesdalgası hızı da denmektedir) belirtmektedir. P,iiise hidrodinamik basıncın i degiskenine gore ikikez kısmi turevini gostermektedir. Her hangi biretki sonucu sıvı sisteminde olusan hidrodinamikbasınclar (1) denkleminin uygun sınır sartları altındacozulmesiyle elde edilir. Bu sınır sartları,

P = 0

(sıvı serbest yuzeyinde yuzey dalgaları yoksa)(2)

P = ρgusf

(sıvı serbest yuzeyinde yuzey dalgaları varsa)(3)

P,n = −ρun (sıvı-yapı ara yuzeyinde) (4)

olarak tanımlanabilir. Burada, ρ sıvının kutleyogunlugunu, g yer cekim ivmesini, n sıvı-yapı arayuzeyindeki sıvı yuzey normalini, un bu yuzey nor-mali dogrultusundaki ivmeyi ve usf ise sıvı serbestyuzeyinin dusey dogrultudaki yer degistirmesiniifade etmektedir.

Baraj-rezervuar sistemlerinde sıvı yuzey dal-galarının cozumler uzerindeki etkisi ihmal edilebilirmertebede oldugundan (Chopra, 1967), bucalısmada sıvı yuzey dalgalarının etkisi goz onunealınmamaktadır. Gerekli duzenlemeler yapıldıktansonra sıvı sistemine ait sonlu eleman hareket denk-lemleri matris formunda,[

Mpf

]{P}

+[Kpf

]{P } = −ρ[R]T

{Ufs

}(5)

olarak yazılabilir. Burada[Mpf

]ve

[Kpf

]sırasıyla sıvı ortamın kutle ve rijitlik matrislerinigostermektedir. [R] ise sıvı-yapı ara yuzeyi ile il-gili bir matris olup; yapı ortamında olusan ivme-lerden sıvı yuk vektorunu ve sıvı ortamında olusanbasınclardan yapı dugum noktası ilave kuvvetlerini

belirlemede kullanılır. Bu denklemdeki {Ufs} sıvı-yapı ara yuzeyindeki yapı ivmelerini, {P } hidrodi-namik basınc vektorunu ve {P} ise bu vektorun za-mana gore iki kez kısmi turevini gostermektedir.

Yapı ortamının dinamik hareketine ait sonlu ele-man denklemleri,

[Ms]{Us

}+ [Cs]

{Us

}+ [Ks]{Us} = {F }+ {Ffs}(6)

bagıntısı ile verilebilir. Burada [Ms], [Cs] ve [Ks]sırasıyla yapı ortamına (baraj+temel) ait kutle,sonum ve rijitlik matrislerini;

{Us

},{Us

}ve {Us}

buyuklukleri de yapı ortamına ait ivme, hız veyer degistirme vektorlerini temsil etmektedir. {F }yapının dıs yuk vektorunu; {Ffs} ise sıvı ortamındaolusan hidrodinamik basınclardan oturu yapıya gelenek dıs yuk vektorunu belirtmektedir. {Ffs} ifadesivirtuel is ilkesinden faydalanılarak,

{Ffs} = [R]{P } (7)

olarak ifade edilebilir. Boylece sıvı-yapı sistemine aitortak hareket denklemleri (5) ve (6) denklemlerinin,[

[Ms] [0][Mfs]

[Mpf

] ]{Us

}{P} +

[[Cs] [0][0] [0]

]{Us

}{P} +

[[Ks] [Kfs][0]

[Kpf

] ]{ {Us}{P }

}={{F }{0}

}(8)

seklinde birlestirilmesiyle elde edilebilir. Burada,

[Mfs] = ρ[R]T (9)

[Kfs] = −[R] (10)

esitlikleri ile tanımlanmaktadır.

Sıvı-Yapı Etkilesimi icin Lagrange Yaklasımı

Euler yaklasımında sıvı ve yapı ortamındakidegiskenler farklı oldugundan, sıvı-yapı sistemlerindeozel ara yuzey denklemlerine ihtiyac duyulmak-tadır. Buna karsılık, Lagrange yaklasımında,hem sıvı ve hem de yapı ortamlarında aynıdegiskenler (yer degistirmeler) kullanıldıgı icin ozelara yuzey denklemlerinin olusturulmasına gerek yok-tur. Dolayısıyla, sistemin ara yuzeyindeki sonlu ele-man dugum noktalarında uygunluk ve denge denk-lemleri otomatik olarak saglanmaktadır (Calayır,

181

CALAYIR, KARATON

1994; Calayır ve arkadasları, 1996; Wilson veKhalvalti, 1983). Burada once lineer-elastik, ro-tasyonsuz ve viskoz olmayan bir sıvının kucukyer degistirmeler yapması hali icin temel denk-lemler sunulacak ve daha sonra sonlu elemanformulasyonuna gecilecektir. Boyle bir sıvıda olusanbasınc,

P = βεv (11)

bagıntısıyla hesaplanabilir. Bu bagıntıda P basıncı(Cekme pozitif), β hacimsel elastisite modulunu,εv ise hacimsel sekil degistirmeyi ifade etmektedir.Hacimsel sekil degistirme uc boyutlu kartezyen ko-ordinatlarda ,

εv = Ux,x + Uy,y + Uz,z (12)

esitligi ile ifade edilebilir. Burada, Ui,j i.yer degistirme bileseninin j dogrultusuna gorekısmi turevini ifade etmektedir. Sıvının gerilme-sekil degistirme bagıntılarına rotasyonlar ve burotasyonlarla ilgili uygun kısıtlama paramet-releri yerlestirilmektedir. Bu parametrelerinbuyuk degerde secilmesiyle sıvı rotasyonsuz haleyaklasacaktır. Uc boyutlu durumda sıvının rotasyonifadeleri,

Wx = 12 (Uy,z − Uz,y)

Wy = 12 (Uz,x − Ux,z)

Wz = 12 (Ux,y − Uy,x)

(13)

formunda yazılabilir. Burada Wi, i eksenietrafındaki rotasyonu gostermektedir. Soz konusurotasyonlarla ilgili gerilmeler,

Pi = αiWi i = x, y, z (14)

denklemi ile verilebilir. Bu denklemde Pi ve αisırasıyla, Wi ile ilgili gerilme ve kısıtlama paramet-resini belirtmektedir. Sıvının matris formundaki ucboyutlu gerilme-sekil degistirme bagıntıları (11) ve(14) denklemleri kullanılarak,PPxPyPz

=

β 0 0 00 αx 0 00 0 αy 00 0 0 αz

εvWx

Wy

Wz

(15)

veya

{σ} = [D]{e} (16)

olarak yazılabilir. Denklem (16)’ da {σ} ve {e}sıvının gerilme ve sekil degistirme vektorlerini, [D]ise elastisite matrisini gostermektedir.

Bu calısmada, sıvı sisteminin hareket denklemlerienerji prensiplerinden yararlanılarak elde edilmekte-dir. Boyle bir sıvı sisteminin sekil degistirme enerjisi,

πe =12

∫{e}T [D]{e}dV (17)

denklemi ile verilebilir. Sıvı sistemlerinin onemlidavranıslarından birisi de, hacimde bir degisim ol-madan yer degistirme yapabilmeleridir. Rezervuarve sıvı tankları icin bu hareket, yer degistirmenindusey oldugu yuzey dalgaları seklindedir. Bu hare-ketle ilgili sıvı enerjisi,

πs =12

∫ρgu2

sfdA (18)

bagıntısıyla hesaplanabilir. Sonuc olarak sistemintoplam potansiyel enerjisi icin,

πt = πe + πs (19)

esitligi yazılabilir. Sıvı sistemine ait kinetik ener-jinin tanımlanması ile sıvı sisteminin davranısı ile il-gili enerji bagıntıları tamamlanmıs olacaktır. Bir sıvısisteminin uc boyutlu halde toplam kinetik enerjisi,

T =12

∫ρ(U2x + U2

y + U2z

)dV (20)

denklemiyle verilebilir. Bu bagıntıdaki Ui, i.hız bilesenini gostermektedir. Sonlu elemanyaklasımındaki temel adımlar kullanılarak, (17)denklemi ile verilen sıvı sisteminin sekil degistirmeenerjisi,

πe =12{Udf}T [

Kdf

]{Udf}

(21)

olarak elde edilebilir. Bu formuldeki,[Kdf

]ve{Udf

}sırasıyla sıvı sistemin rijitlik matrisini ve dugum nok-tası yer degistirme vektorunu gostermektedir. Sıvıyuzey hareketi ile ilgili (18) denklemi,

πs =12{Udsf

}T [Sdf]{Udsf

}(22)

seklinde ifade edilebilir. Burada,{Udsf

}ve[Sdf

]sıvı serbest yuzeyinin sırasıyla, dusey yer degistirmevektorunu ve rijitlik matrisini belirtmektedir. Sıvı

182

CALAYIR, KARATON

sisteminin kinetik enerjisini temsil eden (20) denk-lemi benzer sekilde,

T =12

{Udf

}T [Mdf

]{Udf

}(23)

olarak yazılabilir. Bu denklemdeki{Udf

}sıvı sis-

temin dugum noktası hız vektorunu,[Mdf

]ise sıvı

sistemin kutle matrisini ifade etmektedir.Sıvı sisteminin sonlu eleman hareket denklem-

lerini elde etmek icin (21), (22) ve (23) bagıntıları,Lagrange denkleminde (Calayır, 1994) kullanılıpgerekli islemler yapıldıktan sonra,[Mdf

]{Udf

}+[Kdf

]{Udf}

+[Sdf]{Udf}

= {Ff} (24)

veya [Mdf

]{Udf

}+[Kdf

]∗{Udf}

= {Ff} (25)

ifadesi elde edilir. Burada{Udf

}sıvı sisteminin

dugum noktası ivme vektorunu,[Kdf

]∗sıvı serbest

yuzeyi rijitligini de iceren sıvı sistemin rijitlik mat-risini, {Ff} ise zamana baglı dugum noktası kuvvetvektorunu ifade etmektedir. Sonlu eleman matris-lerinin sayısal elde edilislerinde Wilson ve Khal-valti (1983) tarafından onerilen indirgenmis integ-rasyon mertebeleri kullanılmaktadır. Indirgenmisintegrasyonun kullanılması, elde edilecek sonuclarıngercege daha yakın olmasını saglamaktadır. La-grange sıvı sonlu elemanlar kullanılarak yapılannumerik testlerde; bu elemanların bir cok sıvı-yapıetkilesim problemi icin basarıyla kullanılabilecegi be-lirtilmektedir (Calayır, 1994; Greeves, 1991; Olsonve Bathe, 1983).

Yapı ortamının sonumlu haldeki hareket denk-lemi,

[Ms]{Us

}+ [Cs]

{Us

}+ [Ks]{Us} = {Fs} (26)

formunda yazılabilir. Sıvı-yapı sisteminin ortakhareket denklemlerini elde etmek icin (25) ve (26)denklemlerine ek olarak ara yuzey sartlarının da kul-lanılması gerekir. Sıvı-yapı ara yuzeyinde ara yuzeyedik dogrultudaki yer degistirmeler birbirine esit ol-maktadır. Bu sart kullanılarak, sıvı-yapı sistemininortak hareket denklemleri,

[Mc]{Uc

}+ [Cc]

{Uc

}+ [Kc]{Uc} = {Fc} (27)

olarak elde edilebilir. Burada, [Mc], [Cc] ve [Kc] or-tak sistemin sırasıyla kutle, sonum ve rijitlik matris-lerini;

{Uc

},{Uc

}ve {Uc} ifadeleri ise aynı sistemin

rolatif ivme, hız ve yer degistirme vektorlerini temsiletmektedir. {Fc} ortak sistemin yuk vektorudur.

Sayısal Uygulama

Sayısal uygulama icin Karakaya kemer barajısecilmistir. Bu baraj, 173 m yuksekliginde tekegrilikli bir kemer baraj olup 430 m kret uzunlugunasahiptir. Barajın memba kısmındaki egrilik yarıcapı 225 m ve kret seviyesinde kalınlıgı 10 m, tabankısmında ise 50 m dir. Baraj-rezervuar-temel siste-minin sol yarı parcası Sekil 1’ de sunulmustur. Sekil1’ de ayrıca bu sonlu eleman agında yer degistirmeve gerilmelerin zamanla degisim grafiklerinin cizildigidort dugum noktası gosterilmistir. Baraj sonlu ele-man modelinde 28 adet ucgen prizmatik ve 228 adetdikdortgen prizmatik eleman kullanılmıstır.

Temel kayası esnek ve kutlesiz olarak kabuledilmis olup; barajla temelin birlesim ara yuzeyindemerkezi baraj orta duzleminin oturdugu egriuzerinde bulunan ve yarıcapı baraj yuksekligi kadarolan yarım daire duzlemi seklinde secilerek sonlueleman modeli olusturulmustur. Modelde 96 adetucgen prizmatik ve 528 adet dikdortgen prizmatikeleman kullanılmıstır. Sıvı ortam sonlu kabul edilmisolup barajın mansap-memba dogrultusunda barajyuksekliginin iki katı kadar alınmıstır. Sıvı or-tamın her iki yaklasım icin olusturulan sonlu ele-man modelinde de 84 adet ucgen prizmatik ve714 adet dikdortgen prizmatik eleman kullanılmıstır.Her iki yaklasımda kullanılan toplam dugum nok-tası sayısı esittir. Euler yaklasımı icin 4011 yerdegistirme serbestligi ve 952 basınc serbestligi ol-mak uzere toplam 4963 adet serbestlik derecesi veLagrange yaklasımında ise sadece yer degistirmeserbestlikleri olup toplam 6867 adet serbestlik dere-cesi vardır. Dolayısıyla, sistemin Lagrange sonlueleman modeli icin daha fazla bilgisayar hafızasıalanı gerekmektedir. Barajın dinamik analizi icinKaliforniya eyaletinin Kern ilcesi 21 Temmuz 1952Taft depremi sırasında Taft Lincoln okulu tunelindekaydedilen yer hareketinin S69E ivme bilesenisecilmis ve baraj-rezervuar-temel sistemine mansap-memba dogrultusunda etki ettirilmistir. Maksi-mum ivmesi 0,18g olan bu ivme bileseni Sekil 2’ desunulmustur.

183

CALAYIR, KARATON

a) Sistemin sonlu eleman modeli b) Secilen dugum noktaları

Sekil 1. Baraj-rezervuar-temel sisteminin sonlu eleman modeli ve buyukluklerin (yer degistirme ve gerilme) zamanladegisim grafiklerinin cizildigi dugum noktaları.

Beton, malzeme olarak lineer olmayan bir sekildegistirme davranısıyla karakterize edilir. Malze-menin lineer olmayan davranısı betonun cekmedecatlaması, basıncta ise plastiklesmesi olarak ortayacıkmaktadır. Drucker-Prager yaklasımı bu etki-lerin goz onune alınabildigi bir malzeme mode-lidir (Bangash,1989). Bu yaklasım, von-Mises kri-terinin hidrostatik gerilme etkisini icerecek sekildegenellestirilmesinden elde edilmistir. c kohez-yonu ve φ icsel surtunme acısına baglı olarakifade edilen Drucker-Prager yaklasımının akmayuzeyi dik bir koni biciminde olup Sekil 3’ tesunulmustur. Bu grafiksel gosterim malzemenincekme ve basınctaki davranıslarının farklı oldugunugostermektedir. Sekil 3’ te gecen σ1, σ2 veσ3 buyuklukleri asal gerilmeleri temsil etmektedir.Drucker-Prager yaklasımında plastik sekil degistirmehacimdeki degisimle birlikte ortaya cıkmaktadır.Calısmada kullanılan betonunun elastisite modulu30,23×103 MPa, birim hacim agırlıgı 24,350 kN/m3

ve Poisson oranı 0,2 alınmıstır. Betonun cekmeve basınc dayanımları sırasıyla, 2,7 MPa ve 25MPa kabul edilerek, kohezyon 2,109 MPa ve icselsurtunme acısı, φ = 38◦ olarak hesaplanmıstır.Suyun birim hacim agırlıgı ρ=1,0 t/m3 ve hacim-sel elastisite modulu 2070 MPa olarak alınmıstır.Buna gore sudaki basınc dalgası hızı (veya su-daki ses dalgası hızı) C = 1438,75 m/s olmak-tadır. Lagrange yaklasımında kullanılan sıvı ro-tasyon kısıtlama parametreleri hacimsel elastisitemodulunun bin katı alınmıstır. Temel kayasınınelastisite modulu 17,358 × 103 MPa ve Poissonoranı 0,2 kabul edilmistir. Rayleigh sonum sabit-

leri 3,3147 Hz (sistemin ilk frekansı) ve 25 Hz’ likfrekanslarda %5’ lik bir sonumu saglayacak sekildehesaplanmıstır. Ilk frekans rezervuarın bos oldugukabulune gore hesaplanan sistemin temel frekansınıbelirtmektedir. Cozumde kullanılan integrasyon za-man adımı 0,001 sn olarak secilmistir. Hesaplamalar,ANSYS 5.6 programı kullanılarak elde edilmistir(Swanson analysis system, 1989).

Baraj-rezervuar ve baraj-temel etkilesimleridikkate alınarak Karakaya kemer barajının sozuedilen depremin etkisindeki Euler ve Lagrangeyaklasımlarına gore lineer olmayan dinamikcozumleri yapılmıstır. Hesap zamanı acısından, La-grange cozumleri Euler cozumlerine gore yaklasıkolarak %50 civarında daha fazla zaman almaktadır.Her iki cozumden elde edilen 203 nolu dugum nok-tası yer degistirmesinin zamanla degisimi Sekil 4’ tesunulmustur. Her iki cozum genelde birbirine ben-zer seyretmektedir. 4 uncu saniye civarına kadararalarında fark gozlenmezken, bu andan sonra gen-likler arasındaki farklar belirginlesmektedir. Eulerve Lagrange cozumlerinde 4 uncu s.’ de barajdahasarlar (plastik sekil degistirme) ortaya cıkmayabaslamaktadır. Ilk hasar, birinci yaklasımda barajınmansap yuzunde egimin degistigi ambuantman ortabolgesinde; ikinci yaklasımda ise memba yuzundekrete yakın orta konsol bolgesinde meydana gelmek-tedir. Hasarlar, gerilmede yeniden bir dagılıma se-bep oldugundan cozumleri etkilemesi dogaldır. Yerdegistirme genliklerinde % 15’ e varan lokal fark-lar olusabilmektedir. 66, 72 ve 264 nolu dugumnoktalarında Euler ve Lagrange cozumlerinden eldeedilen maksimum ve minimum asal gerilmelerin

184

CALAYIR, KARATON

zamanla degisimleri sırasıyla Sekil 5, 6 ve 7’ desunulmustur. 66 ve 72 nolu dugum noktaları barajınmemba yuzunde, 264 nolu dugum noktası ise barajınmansap yuzunde bulunmaktadır. Bu dugum nokta-larına ait maksimum ve minimum asal gerilmelerkarsılastırıldıgında Euler ve Lagrange cozumleri bir-birine benzerlik arz etmektedir. Her iki cozumungenlikleri arasındaki lokal maksimum fark % 15civarında ortaya cıkmaktadır. Lagrange cozumlerigenlik acısından genelde daha buyuk degerler almak-tadır.

0 2 4 6 8 10

ZAMAN (s)

0

0,1

0,2

-0,1

-0,2

‹vme, g

Sekil 2. 21 Temmuz 1952 Taft depreminin S69E yatayivme bileseni.

σ σ σ1 2 3==

−σ1

−σ2

−σ3

c co

t (Φ)

Sekil 3. Drucker-Prager yaklasımının asal gerilmeuzayındaki akma yuzeyi.

Euler cozumlerine ait baraj memba ve mansapyuzeyleri maksimum ve minimum asal es gerilmeegrileri, sırasıyla Sekil 8-9’ da verilmistir. Egrileruzerinde belirtilen sayısal degerler kN/m2 cinsin-den verilmistir. Soz konusu bu gerilmeler, tumzaman adımlarındaki maksimum ve minimum asal

gerilmelerin ekstrem degerleridir. Maksimum asalgerilmeler memba yuzeyinde taban ve ambuant-manlardan krete dogru genelde artıs gostermekteve krete yakın orta konsol bolgesinde maksimumdegerler almaktadır. Mansap yuzeyinde ise egimindegistigi ambuantmanların orta bolgesinden kretedogru asal maksimum gerilmelerin buyuk degerleraldıgı gozlenmektedir. Minimum asal gerilmelerinyayılısı da maksimum asal gerilmelere benzer olarakortaya cıkmaktadır. Lagrange yaklasımından eldeedilen baraj memba ve mansap yuzeyleri maksimumve minimum asal es gerilme egrileri ise, sırasıylaSekil 10-11’ de verilmistir. Maksimum ve minimumasal gerilmeler genelde Euler yaklasımına benzerbir yayılıs sergilemektedir. Gerilmelerin buyukluguacısından degerlendirildiginde; maksimum asal ge-rilmeler icin Lagrange cozumleri, Euler cozumlerinegore yaklasık olarak % 3, minimum asal gerilmelericin ise % 15 civarında daha buyuktur.

0 2 4 6 8 10

ZAMAN (s)

0

3

6

-3

-6

DÜ⁄ÜM NO. 203

LAGRANGE

EULER

Sekil 4. Lineer olmayan Euler ve Lagrangecozumlerinden elde edilen 203 nolu dugumnoktasının radyal yer degistirmesinin zamanladegisimi.

Euler cozumunde gerilmeler, betonun cekmedayanımını 264 nolu dugum noktası civarında 4,0’uncu saniyede asmakta ve bunun sonucu olarakbu bolgede baraj betonunda hasarlar olusmayabaslamaktadır. 264 nolu dugum noktası barajınmansap yuzeyinde egimin degistigi ambuantmanbolgesi orta kısmında bulunmaktadır. Bir za-man adımı sonra barajın krete yakın orta konsolbolgesinde de hasarlar meydana gelmektedir. Sozkonusu hasar bolgeleri zamana baglı olarak artısgostermektedir. Barajın memba ve mansap yuzeyleriicin maksimum ve minimum es hasar egrileri sırasıylaSekil 12 ve 13’ de sunulmustur. Sekilde verilen hasardegerleri metre cinsindendir. Maksimum es hasarbolgeleri; barajın memba yuzeyinde krete yakın ortakonsol civarında genis bir bolge, mansap yuzeyinde

185

CALAYIR, KARATON

0 2 4 6 8 10

ZAMAN (s)

0

2,5

5LAGRANGE

EULER

DÜ⁄ÜM NO. 66

0 2 4 6 8 10

ZAMAN (s)

0

-3

-6

DÜ⁄ÜM NO. 66

LAGRANGE

EULER

a) Maksimum asal gerilme b) Minimum asal gerilme

Sekil 5. Lineer olmayan Euler ve Lagrange cozumlerinden elde edilen 66 nolu dugum noktasına ait maksimum ve mini-mum asal gerilmelerin zamanla degisimi.

0 2 4 6 8 10

ZAMAN (s)

0

2,5

5DÜ⁄ÜM NO. 72

LAGRANGE

EULER

0 2 4 6 8 10

ZAMAN (s)

0

-2,5

-5

DÜ⁄ÜM NO. 72

LAGRANGE

EULER

a) Maksimum asal gerilme b) Minimum asal gerilme

Sekil 6. Lineer olmayan Euler ve Lagrange cozumlerinden elde edilen 72 nolu dugum noktasına ait maksimum ve mini-mum asal gerilmelerin zamanla degisimi.

0 2 4 6 8 10

ZAMAN (s)

0

2,5

5DÜ⁄ÜM NO. 264

LAGRANGE

EULER

0 2 4 6 8 10

ZAMAN (s)

0

2,5

-2,5

-5

DÜ⁄ÜM NO. 264

EULER

LAGRANGE

a) Maksimum asal gerilme b) Minimum asal gerilme

Sekil 7. Lineer olmayan Euler ve Lagrange cozumlerinden elde edilen 264 nolu dugum noktasına ait maksimum veminimum asal gerilmelerin zamanla degisimi.

ise ambuantman kısmında genis bir bolge vekrete yakın orta konsol civarında nispeten dahadar bir bolge olarak ortaya cıkmaktadır. Mi-nimum es hasar egrileri de maksimum es hasaregrilerine benzer bir yayılıs sergilemektedir. La-

grange cozumunde ise gerilmeler 4,0’ uncu saniyedebetonun cekme dayanımını 66 nolu dugum noktasıcivarında asmakta ve buna baglı olarak bu bolgedebaraj betonunda hasarlar olusmaya baslamaktadır.Bir zaman adımı sonra barajın mansap yuzunde

186

CALAYIR, KARATON

egiminin degistigi ambuantman orta bolgesinde dehasarlar meydana gelmektedir. Bu hasar bolgelerizamana baglı olarak artıs gostermektedir. Lagrangecozumunden elde edilen baraj memba ve mansapyuzeyleri maksimum ve minimum es hasar egrilerisırasıyla Sekil 14 ve 15’ de sunulmustur. Sozkonusu maksimum ve minimum es hasar bolgeleri,Euler cozumune ait es hasar bolgelerine benzer

bir yayılıs sergilemektedir. Lagrange cozumuneait hasar bolgelerinin yayıldıgı alan barajın membayuzeyinde Euler cozumune gore daha genis, mansapyuzeyinde ise hemen hemen aynıdır. Hasarın siddetiacısından degerlendirilecek olursa; maksimum hasardegerlerinde Lagrange cozumleri, Euler cozumlerinegore yaklasık olarak % 8, minimum hasar degerleriicin ise % 10 civarında daha buyuktur.

a) Mansap yuzeyi b) Memba yuzeyi

Sekil 8. Lineer olmayan Euler cozumlerinden elde edilen maksimum asal es gerilme egrileri.

a) Mansap yuzeyi b) Memba yuzeyi

Sekil 9. Lineer olmayan Euler cozumlerinden elde edilen minimum asal es gerilme egrileri.

187

CALAYIR, KARATON

a) Mansap yuzeyi b) Memba yuzeyi

Sekil 10. Lineer olmayan Lagrange cozumlerinden elde edilen maksimum asal es gerilme egrileri.

a) Mansap yuzeyi b) Memba yuzeyi

Sekil 11. Lineer olmayan Lagrange cozumlerinden elde edilen minimum asal es gerilme egrileri.

Sonuclar ve Tartısma

Bu calısmada, sıvı-yapı sistemlerinin dinamiketkilesim problemi icin Euler ve Lagrangeyaklasımlarına gore sonlu eleman formulasyonlarıverilmistir. Euler ve Lagrange yaklasımları kul-lanılarak Karakaya kemer barajının lineer olmayandinamik analizleri yapılmıstır. Baraj govdesi icinlineer olmayan malzeme modeli olarak Drucker-Prager akma kriteri kullanılmıstır. Sıvı ve temelortamlarının lineer elastik davranıs gosterdigi kabuledilmistir. Dinamik etki olarak, 21 Temmuz 1952

Taft depreminin S69E ivme bileseni secilmis olupbaraj-rezervuar-temel sistemine mansap-membadogrultusunda etki ettirilmistir. Baraj-rezervuar-temel sisteminin Lagrange ve Euler sonlu elemanmodellerinde dugum noktası sayısı esit secilmesineragmen serbestlik derecesi sayısı farklı olmaktadır.Lagrange modelinde serbestlik derecesi sayısı daimadaha fazladır. Dogal olarak, Lagrange cozumleridaha fazla hesap zamanı ve bilgisayar hafızası gerek-tirmektedir. Euler ve Lagrange cozumleri icincizilen (yer degistirme ve gerilme) zamanla degisim

188

CALAYIR, KARATON

grafikleri frekans acısından genellikle birbirine ben-zer davranıs sergilemekte; genliklerde ise globalolarak kucuk, lokal olarak biraz daha buyuk farklarolusmaktadır. Asal maksimum ve minimum es ge-rilme egrileri ile asal maksimum ve minimum es hasaregrilerinde Euler ve Lagrange cozumleri genelde bir-birine benzer bir yayılıs gostermektedir. Ekstremdegerler acısından kullanılan deprem icin Lagrange

cozumleri Euler cozumlerinden daha buyuk olarakortaya cıkmaktadır. Sonuclar arasındaki farkların ikisebepten dolayı ortaya cıktıgı dusunulmektedir. Enonemli sebep olarak, Lagrange sıvı sonlu elemanlarınsıvı davranısını tam olarak temsil edemeyisi; digerbir sebep ise Euler yaklasımında sıvı yuzey dalgalarıetkisinin ihmal edilmesi soylenebilir.

a) Mansap yuzeyi b) Memba yuzeyi

Sekil 12. Lineer olmayan Euler cozumlerinden elde edilen asal maksimum es hasar egrileri.

a) Mansap yuzeyi b) Memba yuzeyi

Sekil 13. Lineer olmayan Euler cozumlerinden elde edilen asal minimum es hasar egrileri.

189

CALAYIR, KARATON

a) Mansap yuzeyi b) Memba yuzeyi

Sekil 14. Lineer olmayan Lagrange cozumlerinden elde edilen asal maksimum es hasar egrileri.

a) Mansap yuzeyi b) Memba yuzeyi

Sekil 15. Lineer olmayan Lagrange cozumlerinden elde edilen asal minimum es hasar egrileri.

Burada bir hususa isaret etmekte yarar vardır.Mevcut calısmada kullanılan deprem ivmesi kaydınınpik degeri Karakaya barajının yer aldıgı bolgede bek-lenen pik ivme degerine gore kucuktur. Soz konusubaraj, Turkiye deprem bolgeleri haritasında birinciderece deprem bolgesinde yer almakta olup, barajınyer aldıgı alanda yapı omru icerisinde beklenen etkinpik ivme degeri yaklasık olarak 0,55g dir. Baraj-ların tasarım veya yeniden gozden gecirme analizle-rinde yukarıda verilen degere yakın pik ivmeye sahipve frekans icerigi yonunden uygun depremler kul-

lanılmalıdır.

Semboller Listesi

C : sıvıdaki basınc dalgası hızı[Cc] : Lagrange yaklasımında ortak sistemin

sonum matrisi[Cs] : yapı ortamın (baraj+temel) sonum

matrisi[D] : sıvının elastisite matrisi{e} : sıvının sekil degistirme vektoru{F } : yapının dıs yuk vektoru

190

CALAYIR, KARATON

{Ff} : Lagrange yaklasımında sıvı ortamındugum noktası kuvvet vektoru

{Ffs} : sıvı-yapı ara yuzeyinde sıvı ortamdanyapıya gelen ek dıs yuk vektoru

[Kc] : Lagrange yaklasımında ortak sisteminrijitlik matrisi

[Ks] : yapı ortamının (baraj+temel) rijitlikmatrisi[

Kdf

]: Lagrange yaklasımında sıvı sistemin ri-

jitlik matrisi[Kdf

]∗: Lagrange yaklasımında sıvı serbest

yuzeyi rijitligini de iceren sıvı sisteminrijitlik matrisi[

Kpf

]: Euler yaklasımında sıvı ortamın rijitlik

matrisi[Mc] : Lagrange yaklasımında ortak sistemin

kutle matrisi[Mdf

]: Lagrange yaklasımında sıvı sistemin

kutle matrisi[Mpf

]: Euler yaklasımında sıvı ortamın kutle

matrisi[Ms] : yapı ortamın (baraj+temel) kutle mat-

risiP : hidrodinamik basıncPi : i. rotasyon bileseni ile ilgili gerilmeP,ii : hidrodinamik basıncın i degiskenine

gore iki kez kısmi turevi[Sdf

]: Lagrange yaklasımında sıvı serbest

yuzeyinin rijitlik matrisi

{Uc} : Lagrange yaklasımında ortak sisteminrolatif yer degistirme vektoru{

Udf

}: Lagrange yaklasımında dugum noktası

yer degistirme vektoruUi,j : sıvının i. yer degistirme bileseninin j

dogrultusuna gore kısmi tureviusf : sıvı serbest yuzeyinin dusey

dogrultudaki yer degistirmesi{Udsf

}: sıvı serbest yuzeyinin dusey yer

degistirme vektoru{Uc

}: Lagrange yaklasımında ortak sistemin

rolatif hız vektoruun : sıvı-yapı ara yuzeyindeki sıvı yuzey nor-

mali dogrultusundaki ivme{Uc

}: Lagrange yaklasımında ortak sistemin

rolatif ivme vektoru{Udf

}: Lagrange yaklasımında sıvı sisteminin

dugum noktası ivme vektoru{Ufs

}: sıvı-yapı ara yuzeyindeki yapı ivmeleri

Wi : sıvının i dogrultusundaki rotasyonuαi : Lagrange yaklasımında sıvının Wi ile il-

gili kısıtlama parametresiβ : hacimsel elastisite moduluεv : sıvının hacimsel sekil degistirmesi{σ} : sıvının gerilme vektoruπe : sıvı sisteminin sekil degistirme enerjisiπs : sıvı sisteminin yuzey dalgaları yer

degistirme enerjisiπt : sıvının toplam potansiyel enerjisiρ : sıvının kutle yogunlugu

Kaynaklar

Algermissen, S.T., and Perkins, D. M., “A Proba-bilistic Estimate of Maximum Acceleration in Rockin the Contiguous United States”, U.S. GeologicalSurvey, Open File Report, 76-416, 1976.

Bangash, M. Y. H., “Concrete and Concrete Struc-tures: Numerical Modelling and Applications”,Middlesex Polytechnic Faculty of Engineering, Lon-don, Elsevier Applied Science, 1989.

Calayır, Y., “Beton Agırlık Barajların Euler ve La-grange Yaklasımları Kullanılarak Dinamik Analizi”,Doktora Tezi, Karadeniz Teknik Universitesi InsaatMuhendisligi Bolumu, Trabzon, 1994.

Calayir, Y., Dumanoglu, A. A. and Bayraktar,A., “Earthquake Analysis of Gravity Dam-ReservoirSystems Using The Eulerian and Lagrangian Ap-

proaches”, Computers and Structures, 59, 5, 887-890, 1996.

Carvera, M, and Oliver, J., “Seismic Evaluation ofConcrete Dams Via Continuum Damage Models”,Earthquake Engineering and Structural Dynamics,24, 1225-1245, 1995.

Chopra A. K., “Hydrodynamic Pressures on DamsDuring Earthquakes”, Journal of Engineering Me-chanics, ASCE, 93, EM6, 205-223, 1967.

Cook, R. D., Malkus, D. S., and Plesha, M. E.,“Concept and Applications of Finite Element Anal-ysis”, John Wiley and Sons., Singapore, 1989.

Dowling, J. M, “Non-linear Analysis of Arch Dams”,Earthquake Engineering Research Laboratory, Re-port No: EERL 87-03, University of California,Berkeley, 1987.

191

CALAYIR, KARATON

Greeves, E, J., “The Modelling and Analysis of Lin-ear and Non-linear Fluid-Structure Systems withParticular Reference to Concrete Dams”, Ph.D.Thesis, University of Bristol, Bristol, 1991.

Gulkan, P., Kocyigit, A., Yucemen, S., Doyuran,V. ve Basoz, N., “En son Verilere Gore HazırlananTurkiye Deprem Bolgeleri Haritası”, ODTU Dep-rem Muhendisligi Arastırma Merkezi, Rapor 93-01,1993.

Karaton, M., “Kemer Barajların Lineer OlmayanDinamik Analizi”, Y. Lisans Tezi, Fırat Unv. FenBil. Ens., Elazıg, 1998.

Lee, J., and Fenves, G. L., “A Plastic-DamageConcrete Model for Earthquake Analysis of Dams”,Earthquake Engineering and Structural Dynamics,27, 9, 937-956, 1998.

Manfredi, C. G., and Ramasco, R., “The Use ofDamage Functionals in Earthquake Engineering: AComparison between Different Methods”, Earth-quake Engineering and Structural Dynamics, 22, 10,855-868, 1993.

Olson, L.G., and Bathe, K. J., “A Study ofDisplacement-Based Fluid Finite Elements For Cal-

culating Frequencies of Fluid and Fluid-StructuresSystems”, Nuclear Engineering Design, 76, 137-151,1983.

Rodriguez, M. E., and Aristizabal, J. C., “Evalua-tion of a Seismic Damage Parameter”, EarthquakeEngineering and Structural Dynamics, 28, 5, 463-477, 1999.

Swanson Analysis System, “ANSYS 5.6 VolumeTheory User’s Manual”, Chapter 8.1-8.5, 1996.

Vatani, O. A. ve Dumanoglu, A. A, “Catlakların Be-ton Agırlık Barajların Dinamik Davranısına Etkisi”,TMMOB Teknik dergi, 8, 3, 1457-1470, 1997.

Westergard, H. M., “Water Pressures on Dams Dur-ing Earthquakes”, Transactions, ASCE, 98, 1835,418-433, 1933.

Wilson, E. L., and Khalvalti, M., “Finite Elementfor the Dynamic Analysis of Fluid-Solid Systems”,Int. J. Num. Methods Eng., 19, 1657-1668, 1983.

Zeinkiewicz, O. C., and Taylor, R. L., ”Finite Ele-ment Method”, 2, McGraw-Hill, 1991.

192