kalkulus 2 meet 6 transformasi laplace

8/18/2019 Kalkulus 2 Meet 6 Transformasi Laplace

1/14

12/2/201

BDA, RYN

Transformasi

Laplace

Referensi

• Desjardins S J, Vaillancourt R, 2011, Ordinary Differential

Equations Laplace Transforms and Numerical Methods for

Engineers, University of Ottawa, Canada.

• Poularikas A D, Seely S, 2000 , Laplace Transform, CRC

Press LLC

• Kreysziq, 2006, Advanced Engineering Mathematics 9th ed.John Wiley & Sons, Inc.


2/14

12/2/201

Silabus

• Transformasi Laplace ( 1)

• Transformasi Turunan dan Integral (2)

• Transformasi Persamaan differensial berbatas (1)

• Teori pergeseran (2)

• Aplikasi (1)

I TRANSFORMASI LAPLACE

Review Differensial

Review Integral

Transformasi Laplace


3/14

12/2/201

REVIEW DIFFERENSIAL

Differential Rule

1. dk

2. d (ku)

3. d (u + v)

4. d (uv )

5. d (u/v)

6. d (un)

= 0

= k du

= du + dv

= u dv + v du

= (v du – u dv) /v2

= nun-1 du


4/14

12/2/201

Tentukan dy/dx untuk fungsi di bawah ini.

2sin y x x

sin x y

x

22 sinsin

dy dv duu v

dx dx dx

d xd x x x

dx dx

2sin y x x

2

2

cos sin 2

cos 2 sin

dy x x x x

dx

x x x x


5/14

12/2/201

sin x y

x

2 2

2

sinsin

cos sin

d x d xdu dvv u x x

dy dx dx dx dx

dx v x

x x x x

Review Integral

C x xdx

C x xdx x

C x xdx x

C x xdx

C

a

axaxdx

C a

axaxdx

n

xdx x

C xdx

n

n

cotcsc

csccotcsc

sectansec

tansec

sincos

cossin

1

2

2

1

C x x x

dx

C x x

dx

C x

x

dx

C x x

dx

C k

edxe

kxkx

arcsec

1

arctan1

arcsin

1

ln

2

2

2


6/14

12/2/201

21 2 x x dx

Salah satu petunjuk yg kita cari adalah jika

kita dapat menemukan fungsi dan

turunannya dalam integran

Turunan dari adalah2

1 x 2 x dx1

2 u du3

22

3u C

3

2 22

13

x C

2Let 1u x

2du x dx

Contoh

Contoh

4 1 x dxLet 4 1u x

4du dx

1

4du dx

Penyelesaian untuk dx

1

21

4

u du3

22 1

3 4

u C

3

21

6u C

3

21

4 16

x C


7/14

12/2/201

Fungsi Hiperbola

Definisi

• Transformasi: Konversi matematika dari satu cara berpikir

ke cara berpikir yang lain yang membuat penyelesaian

permasalahan lebih mudah

Transform

Solution intransform

way ofthinking

InversTransform

Problem inoriginal wayof thinking

Solution inoriginal wayof thinking


8/14

12/2/201

LaplaceTransform

Solutionin sdomain

InverseLaplaceTransform

Problemin timedomain

Solution

in timedomain

Laplace transformation

linear

differential

equation

time

domain

solution

Laplace

transformed

equation

Laplace

solution

time domain

Laplace domain or

complex frequency domain

algebra

Laplace transform

inverse Laplace

transform


9/14

12/2/201

• Dikembangkan oleh seorang Matematikawan Prancis,

Pierre Simon Marquis De Laplace (1749-1827) yang

memiliki kontribusi penting pada ilmu mekanika astronomis,

astronomi umum, teori fungsi dan teori probabilitas.

Jika () sebuah fungsi yang didefinisikan untuk t ≥ 0

maka Transformasi Laplace ( )-nya merupakan fungsi

integral dari ()− dengan t = 0 hingga t = ∞.

Ini merupakan fungsi dari , atau (), atau dinotasikandengan [ (t)]

[ (t)] = () = −∞ • Dengan demikian, () merupakan transformasi balik

(invers) dari () atau dinotasikan dengan -1[F(s)]

() = -1[F(s)]


10/14

12/2/201

1

Review

• Anda punya suatu fungsi yang tergantung pada waktu yaitu

f (t)

• Maka bentuk transformasi laplace adalah:

[ (t)] = () = −∞

Catatan

• Penulisan notasi pada fungsi awal akan berubah menjadi

setelah Transformasi Laplace

• Fungsi awal selalu menggunakan notasi dgn huruf kecil

(misal: (), ()), akan berubah menggunakan notasi dgn

huruf kapital (misal: (), ()) setelah Transformasi

Laplace[ (t)] = () = −∞ [g (t)] = G() = −∞


11/14

12/2/201

1

Contoh 1 Transformasi Laplace sederhana

Jika () = 1 dengan t ≥ 0, Carilah Transformasi Laplacenya

[ (t)] = −∞ [1] = 1 −∞ = −

∞

= −∞ −

= 0 =

Contoh 2 Fungsi Eksponensial

• Jika () = dengan t ≥ 0 dan adalah sebuah konstanta,Carilah Transformasi Laplacenya

[ (t)] = −∞ [] = −∞ = −(−)∞

= - − −(−)∞

= -

− −(−)∞ − −

=

−


12/14

12/2/201

1

Contoh 3 Fungsi Hiperbola

Carilah transformasi Laplace dari cosh at dan sinh at .

Jawab:

Diketahui

cosh at =2 −

sinh at =2 −

cosh at = 2 − cosh at ) =

2 − −

∞

=2 − −−

∞

=2

−

+

=

2

+(−)(+)

−(+)(−)

=2

2− =

−

sinh at =2 −

(sinh at ) =2 − −

∞

=

2 − −− ∞

= 2

− + =

2

+(−)(+)

−(+)(−)

=2

2− =

−


13/14

12/2/201

1

Contoh 4 Fungsi Sinus

Buktikan bahwa:

(sin at ) =

+

(sin at ) = −sin at ∞ = y

= ′ = ′ = ′

= − = 1 −

= sin = cos

= 1 − sin 1 − cos

∞

= − sin

− cos

∞

= − = 1 −

= = sin

= − sin − 1 −( )

∞

= − sin

2 − cos

22 − sin

∞


14/14

12/2/201

2

2 = − 1 sin 2 cos 2 2

2 = − 1

sin 2 cos

∞

= 0 1 0 = 2 2

2 = 2

= 2 22 2 = 2 2

Tabel Transformasi Laplace

kalkulus 2 meet 6 transformasi laplace

Documents