jurnal time series

J. Indones. Math. Soc. (MIHMI)Vol. xx, No. xx (20xx), pp. xx–xx.

UJI LINEARITAS TIPE LAGRANGE

MULTIPLIER DENGAN EKSPANSI TAYLOR

UNTUK DETEKSI HUBUNGAN NONLINEAR

PADA DATA TIME SERIES

SUBANAR and SUHARTONO

Abstract. This paper discusses some latest progress on nonlinear time series analy-

sis, particularly about linearity tests that developed based on concepts from theory of

neural networks. These statistics tests are for preliminary identification whether a non-

linear model must be used to analyze a time series. In general, there are two kinds of

the neural networks linearity tests which are included a Lagrange Multiplier (LM) test,

those are White test and Terasvirta test. Both of these tests are derived from the same

single-hidden-layer neural networks. White test is based on the random sampling of the

parameter values of neural networks model, whereas Terasvirta test is using Taylor ex-

pansion. This research is focused on the Terasvirta test. Here, the theoretical study

is considered and also the possibility to develop a new statistics test for linearity using

neural networks is discussed. Finally, simulation study is used to evaluate the power of

the test and to compare to the result of White test. The result of the simulation study

shows that Terasvirta test is more effective than White test to detect nonlinearity in time

series.

1. PENDAHULUAN

Pada beberapa dekade terakhir ini, pemodelan yang digunakan untuk menje-laskan hubungan nonlinear antar variabel dan beberapa prosedur pengujian untuk

Received dd-mm-yyyy, Accepted dd-mm-yyyy.2000 Mathematics Subject Classification:Key words and Phrases: Neural networks, Lagrange Multiplier test, Terasvirta test, nonlinear timeseries

1

2 Subanar and Suhartono

mendeteksi adanya keterkaitan nonlinear mengalami perkembangan yang sangatpesat. Sebagai overview hal ini dapat dilihat pada [5]. Perkembangan yang pe-sat ini juga terjadi dalam pemodelan statistik, khususnya model-model untuk timeseries dan ekonometrika. Banyak tipe model yang sudah dikembangkan untuk pe-modelan time series yang nonlinear, parametrik maupun nonparametrik.

Pemodelan time series yang dibahas di sini dikonsentrasikan pada suatu kon-disi khusus, yaitu hanya satu variabel dependen yt. Misalkan wt adalah suatuhimpunan informasi yang didefinisikan

wt = {yt−j, j > 0;xt−i, i ≥ 0}, t = 1, 2, . . . , n (1)

yang menyatakan semua variabel lag yt dan suatu vektor dari variabel eksogenxt. Proses pemodelan bertujuan mendapatkan suatu pendekatan yang baik untukf(wt) sedemikian hingga

E[yt|wt] = f(wt). (2)

Strategi pemodelan yang banyak dilakukan pada time series nonlinear adalah:

(i) Uji linearitas yt dengan menggunakan informasi wt.Banyak kemungkinan bentuk dari nonlinearitas, dan rupanya tidak ada satutes yang mampu melakukan semua kemungkinan nonlinear tersebut, sehinggabeberapa tes mungkin diperlukan.

(ii) Jika linearitas ditolak, gunakan beberapa model parametrik alternatifdan/atau model-model nonparametrik.Hasil uji linearitas juga mungkin memberikan petunjuk tentang model nonlinearyang sebaiknya digunakan.

(iii) Model-model tersebut selanjutnya diestimasi dalam sampel (in-sample)dan dibandingkan pada data validasi (out-of-sample)Sifat-sifat dari model taksiran harus diselidiki dan divalidasi. Jika suatu modeltunggal terbaik yang dibutuhkan, maka model yang memberikan hasil out-of-

sample terbaik yang dipilih, dan kemudian lakukan estimasi kembali pada semuadatum yang ada.

Strategi ini tidak memberikan jaminan kesuksesan. Sebagai contoh, jika nonlin-earitas yang ada suatu bentuk nonlinear tertentu dari data dan bentuk ini tidakterjadi pada periode evaluasi setelah sampel, maka model nonlinear tidak akanmemberikan hasil yang lebih baik daripada model linear.

Banyak model nonlinear yang digunakan untuk menyelesaikan suatu datatime series. Menurut Terasvitra dkk. [14], secara umum model-model nonlinearterbagi dalam tiga kelompok, yaitu model-model dari teori time series, model-modelstatistik parametrik yang fleksibel dan model-model nonparametrik. Model linearautoregresif, moving average, dan fungsi transfer adalah model-model yang popu-ler dalam literatur time series sebagai hasil kerja dari Box dan Jenkins [3]. Dalam

Uji linearitas tipe Lagrange Multiplier 3

perkembangannya, telah ada berbagai variasi dari generalisasi model linear terse-but dalam bentuk-bentuk nonlinear. Beberapa model yang termasuk di dalam-nya adalah model autoregresi nonlinear, model fungsi transfer nonlinear, modelbilinear (lihat [11]), model moving average nonlinear, dan model-model stokastikganda (lihat [15]). Model trigonometri dan model neural networks adalah model-model kelompok statistik parametrik yang fleksibel. Sedangkan model-model non-parametrik mencakup model-model yang dikembangkan dari fungsi penghalus ataumetode kernel.

2. UJI LINEARITAS TIPE LAGRANGE MULTIPLIER (LM)DENGAN EKSPANSI TAYLOR

Perhatikan model nonlinear

yt = ϕ(γ′wt) + β′wt + ut (3)

dengan ut ∼ nid(0, σ2), wt = (1, w′

t)′, wt = (yt−1, . . . , yt−p)

′, β = (β0, β1, . . . , βp)′,

γ = (γ0, γ′)′ dan γ = (γ1, . . . , γp)

′. Dalam model (3) ini, wt dibatasi hanya variabellag yt dan tidak melibatkan variabel eksogen xt. Misal diberikan

ϕ(γ′wt) = θ0ψ(γ′wt), (4)

dengan (lihat [13])

ψ(γ′wt) = {1 + exp(−γ′wt)}−1 −

1

2(5)

Dengan demikian persamaan (3) dapat diinterpretasikan sebagai suatu model au-toregresi nonlinear dengan kostanta β0 + θ0ψ(γ′wt), yang variatif terhadap waktudan berubah secara halus dari (β0 − θ0/2) ke (β0 + θ0/2) dengan γ′wt.

Model (3) adalah kasus khusus dari model neural networks dengan satu layertersembunyi, yaitu (lihat [13])

yt = β′wt +

q∑

j=1

θ0j{ψ(γ′jwt) −1

2} + ut, (6)

dengan q adalah banyaknya unit neuron pada layer tersembunyai. Secara visual,arsitektur dari model neural networks ini dapat diilustrasikan seperti pada Gambar1.

Perhatikan persamaan (3) dengan (4) dan uji hipotesis bahwa yt adalah linear,yaitu yt = β′wt+ut dengan asumsi bahwa proses stasioner. Jadi hipotesis nol dapatdidefinisikan sebagai H0 : θ0 = 0. Untuk model (6) hipotesis nolnya

H0 : θ01 = θ02 = · · · = θ0q = 0,

yang disebut hipotesis linearitas dari uji neural networks melawan nonlinearitasyang terabaikan (lihat [7]) dan [16]). Selanjutnya, jika diberikan bahwa ψ(0) = 0


maka hal ini berimplikasi pada kemungkinan lain untuk hipotesis nol untuk linear-itas, yaitu

H∗

0 : γ = 0 (7)

melawan hipotesis alternatif γ 6= 0.

Gambar 1: Arsitektur model neural networks satu layer tersembunyi pada persamaan (6),dengan γj adalah bobot-bobot yang diproses bersama dengan input-input pada fungsi ak-tifasi logistik sigmoid di layer tersembunyi, θ0j adalah bobot-bobot yang diproses bersamaoutput dari layer tersembunyi pada fungsi linear di layer output, dan β′ adalah bobot-bobot yang diproses bersama dengan input-input pada fungsi linear di layer output.

Hipotesis (7) memberikan suatu titik awal yang menarik untuk mempela-jari permasalahan uji linearitas dalam kerangka pengujian LM. Perhatikan kembalibahwa model (3) hanya diidentifikasi di bawah alternatif γ 6= 0. Seperti Saikkonendan Luukkonen [10] dan Luukkonen dkk. [8], tulisan ini mencoba menyelesaikanmasalah ini dengan mengganti ϕ dalam (3) dengan pendekatan ekspansi Taylorpada γ = 0. Pendekatan ekspansi Taylor yang paling mudah adalah suatu pen-dekatan order pertama. Dari (4) dan (5) dapat ditunjukkan bahwa

∂ψ(γ′wt)

∂γ

∣∣∣∣γ=0

= ψ′(0)wt =1

4wt (8)

Dengan demikian pendekatan ekspansi Taylor orde pertama, yang dinotasikan


dengan t1, yaitu θ0t1(γ′wt) = θ0ψ

′(0)γ′wt = 14θ0γ

′wt bergabung dengan bagian li-near dari model (3), sehingga semua informasi tentang nonlinearitas tereliminir.Hal ini merupakan cara lain untuk melihat bahwa (3) dengan (4) dan model linearautoregresi order p adalah alternatif yang secara lokal sama dengan dasar (7).

Untuk mengatasi permasalahan tereliminasinya informasi tentang nonlinear-itas di atas, dilakukan hal seperti dalam Luukkonen dkk. [8] dan gantikan ψ dalam(3) melalui pendekatan ekspansi Taylor dengan orde yang lebih tinggi, orde ketiga,yang dinotasikan dengan t3 untuk menurunkan suatu uji yang tepat. Diberikan

t3(γ′

jwt) = ψ(0) +

p∑

i=0

∂ψ(0)

∂γiγi +

1

2

p∑

i=0

p∑

j=0

∂2ψ(0)

∂γi∂γj

+1

6

p∑

i=0

p∑

j=0

p∑

k=0

∂3ψ(0)

∂γi∂γj∂γkγi γj γk (9)

dan gantikan ψ dalam (3) oleh (8). Dengan substitusi tersebut akan diperoleh

∂2ψ

∂γi∂γj= −

{exp(−γ′wt) − exp(−2γ′wt)}

{1 + exp(−γ′wt)}3yt−iyt−j untuk i, j ≥ 1,

dan

∂3ψ

∂γi∂γj∂γk= −

{exp(−γ′wt) − 4 exp(−2γ′wt) + exp(−3γ′wt)}

{1 + exp(−γ′wt)}4yt−iyt−jyt−k

untuk i, j, k ≥ 1. (Lihat [12] untuk bukti penjabaran penurunannya)

Dari hasil-hasil penjabaran di atas, pendekatan ekspansi Taylor pada γ = 0akan menghasilkan

∂2ψ(0)

∂γi∂γj= −

{exp(0) − exp(0)}

{1 + exp(−0)}3yt−iyt−j = 0,

dan

∂3ψ(0)

∂γi∂γj∂γk= −

{exp(0) − 4 exp(0) + exp(0)}

{1 + exp(0)}4yt−iyt−jyt−k

= −1

8yt−iyt−jyt−k, untuk i, j, k ≥ 1.

Jika i, j ≥ 1 dan k = 0 diperoleh ∂3ψ(0)∂γi∂γj∂γk

= − 18yt−iyt−j .

Dengan demikian, model (3) menjadi

yt = β′wt +

p∑

i=1

p∑

j=i

δijyt−iyt−j +

p∑

i=1

p∑

j=i

p∑

k=j

δijkyt−iyt−jyt−k + ut, (10)


dengan β adalah gabungan antara β dengan koefisien-koefisien bagian linear hasilpendekatan Taylor orde pertama, δij = dijθ0γiγj , dan δijk = dijkθ0γiγjγk dengandij = dijk = − 1

48 . Jika γ0 = 0 adalah suatu informasi dari model, sehinggaγ′wt = γ′wt (bagian eksponensial tidak mengandung suatu kostanta), maka δij = 0untuk semua i, j. Dalam kasus ini, persamaan (10) tidak mempunyai suku ordekedua. Hipotesis nol yang bersesuaian dengan (7) adalah

H∗

0 : δij = 0, δijk = 0 untuk i = 1, . . . , p; j = 1, . . . , p; k = j, . . . , p.

Dengan demikian, uji linearitas tipe LM melawan (3) terdiri dari deret ordeketiga dari ekspansi Volterra (lihat [9]) suatu fungsi nonlinear. Dalam hal ini, ujihipotesis nolnya menyatakan bahwa koefisien-koefisien dari suku-suku kuadratikdan kubik adalah sama dengan nol. Jika ada argumen yang menyatakan bahwafungsi tidak mengandung suatu kostanta, maka dalam hal ini tidak ada sukukuadratik dalam ekspansi Taylor pada γ = 0.

Selanjutnya, perhatikan bahwa (6) merupakan bentuk dasar dari uji neuralnetworks. Jika q > 1, (6) tidak secara global dapat diidentifikasi di bawah hipotesisnol

H∗

0 : γ1 = · · · = γq = 0 (11)

ataupun di bawah hipotesis alternatif bahwa hipotesis nol adalah tidak benar. Su-atu konsekuensi dari ini adalah kenyataan bahwa penurunan suatu uji yang dapatditerapkan untuk hipotesis nol pada (11) mengikuti argumen di atas menghasilkan(10) dengan

δij =

q∑

h=1

dijθ0γhiγhjγh0 dan δijk =

q∑

h=1

dijkθ0γhiγhjγhk.

Dengan demikian, uji linearitas berdasarkan dual (suku kuadratik dan kubik) dariekspansi Volterra tetap tidak berubah ketika proses pembangkitan data adalahseperti (6) pengganti dari (3)

Uji ini tidak selalu tergantung pada asumsi bahwa fungsi ”squashing” dalammodel neural networks adalah logistik. Seperti yang telah dikerjakan Lukkonendkk. [8], uji yang sama akan dapat diperoleh dengan asumsi bahwa

(i) ψ(γ′wt) dalam (4) adalah suatu fungsi terbatas, ganjil, naik secara monotondengan suatu turunan ketiga berhingga pada suatu persekitaran dari daerahasal, dan

(ii) ψ(0) = 0, dan turunan parsial pertama dan ketiga dari ψ pada nol adalah tidaksama dengan nol.

Hal ini berimplikasi bahwa uji tersebut mempunyai kuasa (power) dibanding bebe-rapa model nonlinear, tidak hanya satu bentuk nonlinearitas yang dicirikan denganfungsi logistik. Fungsi logistik yang digunakan dalam menurunkan uji disini dise-babkan karena fungsi tersebut yang dipakai pada (6).


3. UJI LINEARITAS TIPE LAGRANGE MULTIPLIER (LM)DENGAN SAMPLING ACAK

Uji neural networks dalam White [16] dan Lee dkk. [7] adalah suatu uji lainuntuk linearitas melawan (6), yaitu

yt = β′wt +

q∑

j=1

θ0j{ψ(γ′jwt) +1

2} + ut.

Hipotesis nolnya adalah

H0 : θ01 = θ02 = · · · θ0q = 0 (12)

Permasalahan identifikasi di atas diselesaikan dengan menetapkan nilai-nilai dariγ1, . . . , γq sehingga nilai-nilai dari ψ(γ′jwt) dapat dihitung. Hal ini dilakukan melaluipenentuan vektor-vektor itu secara acak dari suatu distribusi yang mungkin. Se-bagai contoh, Lee dkk. [7] menggunakan suatu ditribusi uniform. Karena variabel-variabel ψ(γ′jwt) dimungkinkan sangat berkorelasi, Lee dkk. [7] menerapkan suatutransformasi komponen utama menjadi

ψt = [ψ(γ′1wt), . . . , ψ(γ′qwt)]′

dan menggunakan dua komponen utama yang ortonormal ke dalam bagian lineardari model pada regresi tambahan untuk uji linearitas.

Implementasi praktis dari uji linearitas, merupakan tipe LM yang dikenalkanoleh Lee dkk. [7], dan yang dikenalkan oleh Terasvirta dkk. [13], dapat dilakukanmelalui dua statistik uji, yaitu uji χ2 atau uji F . Prosedur untuk mendapatkan ujiχ2 adalah sebagai berikut:

(i) Regresikan yt pada 1, yt−1, . . . , yt−p dan hitung residual ut = yt − yt.

(ii) Regresikan ut pada 1, yt−1, . . . , yt−p dan m prediktor tambahan, dan kemu-dian hitung koefisien determinasi dari regresi R2. Pada uji yang dikenalkan olehLee dkk. [7], m prediktor tambahan ini adalah nilai-nilai dari ψ(γ′jwt) pada per-samaan (6). Selanjutnya pada uji Terasvirta dkk. [13] ini adalah suku kuadratikdan kubik yang merupakan hasil dari pendekatan ekspansi Taylor seperti yangtelah dijelaskan pada bagian 3 persamaan (10) sebelumnya.

(iii) Hitung χ2 = nR2, dengan n adalah banyaknya pengamatan yang digunakan.

Dibawah hipotesis linearitas, χ2 mendekati distribusi χ2(m), dengan m adalahbanyaknya prediktor tambahan. Kajian teoritik berkaitan dengan pendekatan

asimtotis nR2 d−→ χ2 dapat dilihat pada [17].

Sedangkan prosedur uji F untuk uji linearitas tipe LM ini adalah sebagaiberikut:

(i) Regresikan yt pada 1, yt−1, . . . , yt−p dan hitung nilai-nilai residual ut dan hitungjumlah kuadrat residual SSR0 =

∑u2

1.


(ii) Regresikan ut pada 1, yt−1, . . . , yt−p dan m prediktor tambahan, dan kemudian

hitung residual vt = ut − ˆut dan jumlah kuadrat residual SSR1 =∑v21 . (m

dan prediktor-prediktor yang terlibat bervariasi untuk suatu uji dengan uji yanglain, seperti yang ditunjukkan pada bagian sebelumnya).

(iii) Hitung

F =(SSR0 − SSR1)/m

SSR1/(n− p− 1 −m), (13)

dengan n adalah banyaknya pengamatan yang digunakan.

Dibawah hipotesis linearitas, F mendekati distribusi F dengan derajat bebas mdan (n − p − 1 −m). Penggunaan dari uji F menggantikan uji χ2 ini didasarkanoleh rekomendasi dari teori asimtotis dalam sampel kecil, yaitu karena uji ini mem-punyai sifat-sifat kuasa dan ukuran yang baik (lihat[6]).

4. DESAIN STUDI SIMULASI

Studi simulasi yang dilakukan difokuskan pada perbandingan kuasa (power)antara kedua uji linearitas tipe LM yang dibahas sebelumnya, yaitu uji Terasvirtadan uji White. Isu yang akan dikaji dalam studi simulasi ini adalah bagaimanaperbandingan kuasa kedua uji itu pada model-model linear dan nonlinear.

Eksperimen Monte Carlo secara umum berupa dua kelompok pembangkitandata univariat, yaitu linear dan nonlinear. Model-model linear yang dipilih dalameksperimen ini adalah model Autoregresi orde 2 atau AR(2) dan model Gerak Acak.Model AR(2) mewakili kelompok model linear ARIMA dan dalam hal ini dipilihkoefisien 1,2 dan -0,6 yang memenuhi syarat stasioneritas. Sedangkan model GerakAcak mewakili kelompok model linear yang tidak memenuhi syarat stasioner.

Ada dua model nonlinear yang digunakan dalam studi simulasi ini yaitu modelLogistic Smooth Transition Autoregressive (LSTAR) dan Exponential Smooth Tran-

sition Autoregressive (ESTAR). Model LSTAR yang digunakan secara umum mem-punyai bentuk yang sama dengan yang telah digunakan oleh Terasvirta dkk. [13].Sedangkan model ESTAR yang dipilih adalah model yang mempunyai bentuk yangsama dengan yang digunakan oleh Connor dkk. [4]. Perbedaan kedua model iniadalah terletak pada besarnya nilai-nilai parameter yang digunakan.

Secara lengkap model linear dan nonlinear yang digunakan dalam studi si-mulasi ini adalah:

a Kelompok model linear

(i) Model AR(2) : yt = 1.2yt−1 − 0.6yt−2 + ut, dengan ut ∼ nid(0, 0.52).

(ii) Gerak Acak: yt = yt−1 + ut, dengan ut ∼ nid(0, 0.52).

b Kelompok model nonlinear


(i) Model LSTAR:

yt = 1.2yt−1 − 0.6yt−2 + (θ0 − 0.9yt−1 + 0.795yt−2)F (yt−1) + ut

dengan F (yt−1) = [1 + exp{−γ(yt−1 − 0.02)}]−1, θ0 = 0.02, γ = 100,dan ut ∼ nid(0, 0.052).

(ii) Model ESTAR:

yt = 6.5yt−1. exp(−0.25y2t−1) + ut dengan ut ∼ nid(0, 0.52)

Untuk masing-masing model, besar ukuran sampel yang digunakan adalah 200.Studi simulasi ini dilakukan dengan menggunakan program R.

5. DATA HASIL STUDI SIMULASI MODEL LINEAR

Ilustrasi grafik yang berupa plot time series dan plot data dengan lag-lagnyadari hasil simulasi untuk kelompok model linear dapat dilihat pada Gambar 2 un-tuk model AR(2) dan Gambar 3 untuk model Gerak Acak.

Gambar 2: Plot time series data (2a), dan plot data dengan lag-lagnya, yaitu 2b denganlag 1, 2c dengan lag 2, 2d dengan lag 3, dan 2e dengan lag 4, dari data simulasi AR(2).

Dari Gambar 2a dapat dilihat bahwa data relatif stasioner dan hal ini sesuaidengan yang dipostulatkan. Berdasarkan plot lag-lagnya, yaitu Gambar 2b sampai


dengan 2e, dapat dijelaskan bahwa lag-lag yang relatif kuat berhubungan lineardengan kejadian pada waktu ke-t, yt, adalah lag 1 dan 2, atau yt−1 dan yt−2.

Gambar 3: Plot time series data (3a), dan plot data dengan lag-lagnya, yaitu 3b denganlag 1, 3c dengan lag 2, 3d dengan lag 3, dan 3e dengan lag 4, dari data Gerak Acak.

Hasil pada gambar 3a menunjukkan bahwa pola data tidak stasioner dan dariGambar 3b sampai dengan 3e terlihat jelas bahwa ada hubungan linear yang san-gat kuat antara lag 1, 2, 3 dan 4, atau yt−1, yt−2, yt−3 dan yt−4, dengan kejadianpada waktu ke-t atau yt. Adanya hubungan yang sangat kuat terutama antara yt−1

dengan yt menunjukkan bahwa hasil simulasi telah sesuai dengan postulat modelyang sebenarnya, dimana hanya lag 1 yang ada dalam model.

6. DATA HASIL STUDI SIMULASI MODEL NONLINEAR

Gambar 4 dan 5 adalah hasil ilustrasi grafik yang berupa plot time seriesdata dan plot data dengan lag-lagnya dari simulasi untuk kelompok model non-linear. Dari Gambar 4a dapat dilihat bahwa pola data fluktuatif di sekitar angkanol. Secara visual pola data terlihat stasioner dan sulit membedakan dengan modellinear pada Gambar 2a sebelumnya. Begitu juga dengan visualisasi data denganlag-lagnya mengindikasikan bahwa bentuk hubungan linear dengan lag-lag datamasih relatif ada. Hal ini terutama dapat dilihat pada plot dengan lag 1 di gam-bar 4b. Kondisi ini sesuai dengan yang dipostulatkan dalam model bahwa modelLSTAR juga mengandung unsur model linear didalamnya. Gambar 4d dan 4e juga


menunjukkan bahwa lag 3 dan lag 4 relatif tidak berhubungan dengan yt. Indikasiini digambarkan dengan bentuk titik-titik pada plot lag-lag tersebut yang relatifmenyerupai suatu lingkaran.

Gambar 4: Plot time series data (4a), dan plot data dengan lag-lagnya, yaitu 4b denganlag 1, 4c dengan lag 2, 4d dengan lag 3, dan 4e dengan lag 4, dari data simulasi LSTAR.

Berbeda dengan model LSTAR sebelumnya, Gambar 5a mengindikasikanbahwa data cenderung tidak stasioner dan berfluktuasi dengan pola yang teraturdisekitar angka nol. Hasil pada Gambar 5b sampai dengan 5e menunjukkan de-ngan jelas bahwa bentuk hubungan dengan lag-lag data adalah nonlinear. Hal initerutama dapat dilihat pada plot data dengan lag 1 di Gambar 5b. Kondisi inisesuai dengan postulat model sebenarnya yaitu lebih didominasi unsur nonlinear-nya.

7. HASIL PERBANDINGAN POWER PADA STUDI SIMULASI

Studi simulasi ini dilakukan pada masing-masing model di atas dengan peng-ulangan sebanyak 1000 kali dan ukuran sampel sebesar 200. Banyak pengulanganini sama seperti yang telah dilakukan oleh Terasvirta dkk. [13], sedangkan besarnyaukuran sampel tersebut mewakili besar data yang besar untuk suatu data time se-ries. Secara ringkas hasil-hasil perhitungan dari power pada uji Terasvirta dan ujiWhite pada keempat model simulasi di atas dapat dilihat pada Tabel 1 dan secaragrafik ditampilkan pada Gambar 6.


Gambar 5: Plot time series data (5a), dan plot data dengan lag-lagnya, yaitu 5b denganlag 1, 5c dengan lag 2, 5d dengan lag 3, dan 5e dengan lag 4, dari data simulasi ESTAR.

Nilai power ini adalah banyaknya terjadi kesimpulan tolakH0 dalam 1000 kalipengujian pada masing-masing model. Dari Tabel 1 dan Gambar 6a dan 6b dapatdilihat dengan jelas bahwa power pada kedua uji ini untuk model yang sesungguh-nya linear dan stasioner adalah sangat kecil. Dari hasil pada model AR(2) dapatdilihat dengan jelas bahwa nilai power pada kedua uji tersebut mendekati nilai levelsignifikasi, yaitu antara 0,01 dan 0,05.

Level signifikansi 0,05 Level signifikansi 0,01Model Uji White Uji Terasvirta Uji White Uji Terasvirta

F χ2 F χ2 F χ2 F χ2

AR(2) 0,065 0,052 0,059 0,048 0,018 0,008 0,011 0,008Gerak Acak 0,119 0,122 0,142 0,136 0,038 0,035 0,043 0,042LSTAR 0,568 0,558 0,973 0,972 0,402 0,393 0,917 0,907ESTAR 1,000 0,999 1,000 1,000 1,000 0,999 1,000 1,000

Tabel 1. Hasil perbandingan power uji Terasvirta dan uji White pada keempat modelsimulasi (1000 kali pengulangan)

Power ini akan semakin besar pada saat model yang ada adalah model yang tidakstasioner, yang dalam penelitian ini diwakili oleh model Gerak Acak pada Gambar 6b.Perbandingan uji nonlinearitas dan uji ketidakstasioneran data (unit root test) pada suatudata time series secara mendalam dapat dilihat pada [2].


Gambar 6: Plot hasil perbandingan nilai-nilai power pada keempat model simulasi denganlevel signifikasi 0,05.

Berdasarkan hasil-hasil pada tabel 1, Gambar 6c dan 6d dapat dilihat bahwa hasilperbandingan power kedua uji pada model-model yang nonlinear menunjukkan bahwa ujiTerasvirta cenderung mempunyai power yang lebih tinggi dibanding uji White. Hal initerlihat jelas pada nilai power pada model nonlinear LSTAR di gambar 6c, baik pada levelsignifikasi 0,05 ataupun 0,01. Hasil dari penelitian ini juga menunjukkan bahwa untukdata time series yang indikasi nonlinearnya sangat kuat, dalam hal ini seperti pada modelESTAR, maka kedua uji ini memberikan hasil yang sama baiknya dan hal ini dapat dilihatsecara nyata pada Gambar 6d di atas.

8. KESIMPULAN DAN SARAN

Berdasarkan hasil-hasil dari studi simulasi dan perbandingan power antara uji Teras-virta dan uji White untuk mendeteksi adanya nonlinearitas pada suatu data time seriesdapat disimpulkan bahwa uji Terasvirta merupakan uji yang lebih baik dalam mendeteksi


adanya nonlinearitas pada suatu data time series dibanding uji White. Hal ini ditunjukkandengan nilai power dari uji Terasvirta yang cenderung lebih besar dalam data time seriesdari kelompok model nonlinear.

Hasil dari penelitian ini juga menunjukkan bahwa penggunaan fungsi aktifasi logis-tik sigmoid pada uji White dan pemilihan bobot dengan sampling acak, yang menghasilkannilai power yang tidak begitu besar pada model-model time series nonlinear, memberikanpeluang kajian teoritik lebih lanjut terhadap penggunaan fungsi aktifasi yang lain dan carapemilihan bobot yang tidak hanya secara sampling acak dari suatu distribusi uniform. Se-bagai contoh, pengunaan fungsi aktifasi Gaussian yang dikenal dengan model Radial Basis

Function untuk uji linearitas pada suatu data time series telah dikembangkan oleh Blakedan Kapetanios [1].

Ucapan Terimakasih. Makalah ini merupakan salah satu bagian dari hasil Hibah Peneli-tian Tim Pascasarjana UGM 2004-2005. Penulis mengucapkan banyak terimakasih kepadatim penilai MIHMI atas revisi dan saran yang telah diberikan demi kesempurnaan makalahini.

REFERENSI

1. Blake, A.P. and Kapetanios, G. ”A Radial Basis Function Artificial Neural NetworksTest for Neglected Nonlinearity”, Working paper, National Institute of Economic andSocial Research, 2000.

2. Blake, A.P. and Kapetanios, G. ”Pure Significance Tests of The Unit Root HypothesisAgainst Nonlinear Alternatives”, Journal of Time Series Analysis, 24 (3)(2003), 253-267.

3. Box, G.E.P. and Jenkins, G.M. Time Series Analysis, Forecasting and Control, Holden-day, San Fransisco, 1970.

4. Connor, J.T., Martin, R.D. and Atlas, L.E. ”Recurrent Neural Networks and RobustTime Series Prediction”, IEEE Transaction on Neural Networks, 5 (2)(1994), 240-254.

5. Granger, C.W.J. and Terasvirta, T. Modeling Nonlinear Economic Relationships, Ox-ford Universiy Press, Oxford, 1993.

6. Harvey, A.C. Econometrics Analysis of time Series, 2ed edition. MA:MIT Press, Cam-bridge, 1990.

7. Lee, T.-H., White, H. and Granger, C.W.J. ”Testing for Neglected Nonlinearity in TimeSeries Models: A Comparison of Neural Networks Methods and Alternative Test”,Journal of Econometrics, 56 (1993), 269-290.

8. Luukkonen, R., Saikkonen, P. and Terasvirta, T. ”Testing Linearity Agains SmoothTransition Autoregressive Models”, Biometrika, 75 (1988), 491-499.

9. Priestley, M.B. ”State-dependent Models: A General Approach to Non-linear TimeSeries Analysis”, Journal of Time Series Analysis, 1 (1980), 47-71.

10. Saikkonen, P. and Luukkonen, R. ”Lagrange Multiplier Test for Testing Non-linearitiesin Time Series Models”, Scandinavian Journal of Statistics, 15 (1988), 55-68.

11. Stensholt, B.K. and Tjostheim, D. ”Multiple Bilinear Time Series Models”, Journal of

Time Series Analysis, 8 (1987), 221-233.12. Suhartono dan Subanar. ”Uji Linearitas dengan Neural Networks pada Pemodelan

Time Series”, Laporan Hibah Penelitian Tim Pascasarjana, UGM, Yogyakarta, 2004.


13. Terasvirta, T., Lin, C.-F. and Granger, C.W.J. ”Power of the Neural Networks LinearityTest”, Journal of Time Series Analysis, 14 (1993), 159-171.

14. Terasvirta, T., Tjostheim, D. and Granger, C.W.J. ”Aspect Modelling Nonlinear TimeSeries, in RF. Engle and D.L. McFadden”, eds. Handbook of Econometrics, 4 Chapter48 (1994), 2919-2957. Elsevier Science B.V.

15. Tjostheim, D. ”Some Doubly Stochastic Time Series Models”, Journal of Time Series

Analysis, 7 (1986), 51-72.16. White, H. ”An Additional Hidden Unit Test for Neglected Nonlinearity in Multilayer

Feedforward Networks ”, In Proceedings of The International Joint Conference on Neu-

ral Networks 451-455 (1989a), Washington DC, CA: SOS Printing, San Diego.17. White, H. ”Some Asymptotic Results for Learning in Single Hiden-Layer Feedforward

Networks Models”, Journal of the Americal Statistical Association , 84 (408) (1989b),1003-1013.

SUBANAR: Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta 55281,Indonesia.

E-mail: [email protected]

SUHARTONO: Mahasiswa S3, Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Gadjah Mada,Yogyakarta 55281, Indonesia.

E-mail: [email protected]

jurnal time series

Education