UN MODELO SIMPLIFICADO DE EROSIÓN GENERAL EN CAUCES ARENOSOS CON CURVAS

Juan Francisco Weber Laboratorio de Hidráulica, Departamento de Ingeniería Civil, Facultad Regional Córdoba, Universidad Tecnológica

Nacional, Maestro M. López esq. Cruz Roja Argentina. Ciudad Universitaria - CP (X5016ZAA) - Córdoba - Argentina. Departamento de Computación, Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, Universidad Nacional de Córdoba, Av.

Vélez Sarsfield 1611, Ciudad Universitaria, CP 5016, Córdoba, Argentina. e-mail: jweber@civil.frc.utn.edu.ar

RESUMEN El objetivo del presente trabajo es presentar un modelo unidimensional simplificado para la estimación de la erosión general en las curvas de cauces aluviales, indicando los fundamentos matemáticos del mismo, su aplicación a un caso teórico y a un caso experimental. El modelo propuesto surge de combinar un modelo hidrodinámico para la estimación de la distribución lateral de velocidades en canales con curvas, denominado LDM-SC (Weber y Menéndez, 2006) junto con una ecuación de erosión general, como las indicadas por Farías et al (2003). Se enuncian conclusiones acerca de la eficiencia del modelo planteado y posibles líneas de investigación futuras.

ABSTRACT In this work, a simplified one-dimensional model to predict general erosion on curves of alluvial channels is presented. Mathematical foundations of this model are described, and results of its application on a theoretical and field cases are presented. This model combines a hydrodinamic model to estimate the lateral distribution of depth-averaged velocity in a curved open-channel flow, namely LDM-SC (Weber & Menéndez, 2006), with a general erosion equation, as was presented in Farías et al (2003). Conclusions about the eficiency of the proposed model and future researches are presented. INTRODUCCION Una de las ramas más fascinantes de la mecánica fluvial es el estudio del flujo en los canales con curvas, en especial la interacción entre el complejo carácter tridimensional del flujo y la respuesta del contorno móvil, cuyo resultado es un perfil lateral de equilibrio del lecho. El conocimiento de la geometría del lecho de un cauce aluvial en sus meandros, juega un papel fundamental en la caracterización de ciertos procesos fluviales como por ejemplo la incisión del cauce, la migración de márgenes, etc. Diversas aproximaciones al problema han sido planteadas, entre las que podemos citar a Engelund (1974), Kikkawa et al (1976), Falcon-Ascanio y Kennedy (1983) y más actualmente Menéndez et al (2005). Un conocimiento completo del flujo en las curvas de los cauces aluviales implica la caracterización de: la sobreelevación de la superficie libre sobre la margen exterior (setup), los perfiles de velocidades transversales desarrollados debido a la acción centrífuga, el movimiento helicoidal surgido como composición de los perfiles de velocidad anteriormente mencionados y el flujo principal en el canal, las tasas netas de deposición y erosión del material granular en las márgenes interior y exterior de la curva, etc. El planteo de un modelo simplificado para un problema complejo como éste implica la parametrización (en muchos casos empírica) de varios procesos asociados.

Por otro lado, se cuenta con modelos numéricos complejos, como el modelo SED2D, del U.S. Army Corps, que permite estimar la erosión del lecho en una aproximación bidimensional, con el consiguiente costo computacional. LA EROSIÓN GENERAL EN CURVAS La erosión general es el descenso que experimenta el lecho de un río ante el incremento del caudal del mismo, debido al aumento de la capacidad de transporte del material sólido (Farías et al, 2003). Presupone que el fenómeno finalmente alcanza un estado de equilibrio dinámico, de modo que aún siendo el caudal sólido no nulo, sí lo es la derivada temporal de las propiedades geométricas del cauce. En las curvas, particularmente, la geometría de equilibrio depende fuertemente de la intensidad de las corrientes secundarias originadas por la acción de la fuerza centrípeta, según se muestra en la figura 1. Hace más de un siglo, Thomson (1876) sugirió que el flujo a superficie libre en una curva se puede pensar como la superposición de dos movimientos: un flujo principal, en la dirección dominante, y un flujo secundario, contenido en el plano de la sección, que se desarrolla debido a la acción de la fuerza centrípeta. La superposición de ambos movimientos da lugar al desarrollo de un flujo helicoidal, que en términos generales es descendente en la margen exterior de la curva y ascendente en la margen interior. Debido a este proceso, aún para una sección simétrica, el perfil lateral de velocidades no será simétrico (como sería de esperar en una canal rectilíneo) y se sesgará hacia el lado convexo de la curva. El incremento de presión sobre la margen exterior (y la consecuente disminución en la margen interior) provocará una sobreelevación de la superficie libre en el lado convexo (Weber y Menéndez, 2006).

Figura 1.- modelo conceptual del flujo en una curva

En un sistema como el fluvial, donde no sólo la fase líquida se encuentra en movimiento, sino también la sólida del contorno, este complejo comportamiento tridimensional del flujo da lugar a la formación y migración de los meandros. Un modelo morfológico completo que intente representar la migración en planta del cauce meandroso deberá considerar además, la inestabilidad de los taludes, una de cuyas principales causas radica en el descenso del nivel del lecho, el cual se intensifica en la margen exterior de la curva. Ejemplo de esto es el modelo propuesto por Osman y Thorne (1988 a, b).

Como se demuestra (Chang, 1988) la existencia de una componente radial de la tensión de corte de fondo implica el movimiento transversal del sedimento y una distribución granulométrica en la dirección radial. Los modelos unidimensionales más elaborados pueden tener en cuenta este fenómeno (Falcón Ascanio y Kennedy, 1983). Es interesante ver que los modelos hidrodinámicos bidimensionales basados en las ecuaciones de aguas poco profundas (shallow water equations) no son capaces de reproducir adecuadamente las condiciones de borde hidrodinámicas para el modelo morfológico, dado que no contemplan la acción centrífuga originada en la propia curva. Una excepción a esto es el modelo RMA2 del U.S. Army Corps of Engineers – Waterways Experiment Station – Hydraulics Laboratory (Donnell, 1996) que posee un módulo de corrección por vorticidad propuesto originalmente por Bernard y Schneider (1992) y posteriormente incorporado a RMA2 por Finnie et al (1999). El modelo SED2D (Letter et al, 1998) utiliza como condición de contorno hidrodinámica la salida del modelo RMA2, de modo tal que es posible estimar las erosiones en la zona de curvas a partir de estos dos modelos numéricos basados en el método de los elementos finitos. Debe tenerse en cuenta, sin embargo, el costo computacional que implica este tipo de soluciones. Una aproximación rigurosa al problema exige plantear un modelo hidrodinámico tridimensional acoplado con un modelo morfológico para el lecho, en el cual se vean reflejados los efectos de la turbulencia sobre los granos del sedimento. Indudablemente este tipo de soluciones se aleja, en el estado actual de la tecnología, de la premura que exigen las soluciones a problemas de carácter ingenieril. Se plantea entonces como atractiva la posibilidad de contar con un modelo, que si bien no refleje en forma rigurosa todos los fenómenos involucrados en el proceso, permita en forma sencilla predecir el perfil de equilibrio en la condición de erosión general en las curvas de un cauce aluvial. MODELOS EXISTENTES Engelund (1974) considera un flujo estacionario y plenamente desarrollado, asumiendo que la tasa neta de transporte transversal de sedimento es cero bajo equilibrio dinámico. El movimiento transversal de sedimento queda entonces bajo la influencia de la gravedad y del movimiento helicoidal. Planteando un equilibrio de fuerzas actuantes sobre la partícula, llega a una expresión analítica que permite calcular la profundidad del lecho como una función de las coordenadas longitudinal y transversal en la curva. Falcón Ascanio y Kennedy (1983) asumen que la inclinación local del lecho en la sección de la curva queda determinada suponiendo que la componente radial de la fuerza hidrodinámica sobre el sedimento se equilibra con la componente sumergida del peso en la dirección radial. Este modelo plantea una expresión analítica para la determinación de la geometría de equilibrio, y el mismo fue verificado utilizando tanto datos de laboratorio como de campo. Kikkawa et al (1976) plantean un modelo analítico que permite conocer la distribución vertical de la componente transversal de la velocidad como también la profundidad del lecho como una función de la coordenada radial. Estos autores también incluyen en su modelo los términos dependientes del tiempo (a través de la ecuación de Exner), de modo tal que es posible predecir la evolución temporal del lecho.

Menéndez et al (2005) generalizan el modelo de Kovacs y Parker para el transporte de sedimentos, incorporando el efecto centrífugo sobre los granos y acoplándolo con una versión simplificada de las ecuaciones de Navier-Stokes turbulentas en un sistema de coordenadas polares, lo que da lugar a un modelo de evolución del lecho en curvas de sólida base física. El modelo SED2D-WES (Letter et al, 1998) es un modelo morfológico basado en la solución de la ecuación de convección – difusión por el método de los elementos finitos. Las derivadas temporales son resueltas aplicando el método de Crank-Nicholson. SED2D toma como dato la distribución horizontal de velocidades, ya sea conocida o bien obtenida por un modelo como RMA2 ((Donnell, 1996). El modelo asume que la modificación del lecho no influye en forma considerable sobre el campo de velocidades y presiones, aunque es posible tomar los resultados de SED2D e incorporarlos como nueva geometría para el modelo hidrodinámico. SED2D permite además considerar procesos de resuspensión (entrainment) y consolidación del lecho, pudiendo trabajar tanto con materiales granulares como cohesivos (arcillas). MODELO PROPUESTO El modelo propuesto para estimar la erosión general en cauces con curvas, surge de considerar dos soluciones independientes a los procesos hidrodinámico y morfológico, incorporándolas a un proceso iterativo (convergente) hasta alcanzar un estado de equilibrio. El modelo hidrodinámico considerado es el modelo LDM-SC (método de la distribución lateral con corrientes secundarias) propuesto originalmente por Ervine et al (2000) y desarrollado por Weber y Menéndez (2006). Este modelo fue desarrollado considerando un contorno rígido para el flujo a superficie libre, así como un nivel de la superficie libre horizontal en la dirección lateral (ausencia de setup). Permite obtener la distribución lateral de velocidades promediadas en la vertical en la dirección principal del flujo, considerando el efecto que sobre ellas tiene la acción centrífuga de la curva. El modelo morfológico permite calcular, a partir del diámetro del sedimento y el caudal unitario, la profundidad de erosión de equilibrio como una función empírica (potencial) de aquellos parámetros. Este modelo asume que es conocido el valor del caudal unitario, ya sea por ser el resultado de una medición como por ser obtenido por un modelo hidrodinámico. De este modo, el algoritmo propuesto para predecir el perfil de equilibrio en la curva, a partir de los modelos anteriores, es el siguiente:

1) suponer una geometría inicial, acorde con el problema a analizar; 2) a través del modelo LDM-SC, obtener una distribución lateral de velocidades en la

curva, asumiendo contorno rígido; 3) a partir de las velocidades anteriores, calcular el caudal unitario y la profundidad de

erosión de equilibrio, a través del modelo morfológico; 4) comparar la geometría obtenida con la utilizada para el cálculo de las velocidades. Si

existen importantes diferencias entre las mismas, volver al paso 2, asumiendo como nueva geometría inicial la recién obtenida por el modelo morfológico. Si no existen diferencias apreciables entre ambas geometrías, parar. La geometría obtenida es la de equilibrio, y es el resultado de la erosión general en la curva.

El procedimiento descripto se puede esquematizar en el diagrama de flujo de la figura 2. Surgen inmediatamente dos interrogantes a ser develados en el trabajo:

1) es el modelo convergente? es decir, las diferencias entre dos geometrías en dos pasos iterativos consecutivos disminuye a medida que avanzan las iteraciones?

2) es el modelo consistente? es decir, a partir de diferentes geometrías iniciales es posible reproducir la misma geometría final de equilibrio?

La condición de convergencia considerada para finalizar las iteraciones del modelo entre las fases hidrodinámica y morfológica puede expresarse imponiendo a la norma infinita del vector error asociado a la solución de las profundidades Yi mantenerse por debajo de una tolerancia θ prefijada por el usuario, como sigue: | || | | | θ<YYmax=e k

i+k

iN=i −∞

11 (1)

en donde los superíndices k+1 y k hacen referencia a dos pasos iterativos consecutivos. A continuación se describirán en particular los modelos hidrodinámico y morfológico utilizados en el desarrollo del modelo propuesto.

Figura 2.- diagrama de flujo del modelo propuesto

MODELO HIDRODINÁMICO Con el objeto de obtener una ecuación diferencial que permita determinar la distribución lateral de velocidades V promediadas en la vertical a lo largo de la coordenada lateral, se resuelve la ecuación de movimiento en la dirección dominante del flujo, junto con la ecuación

de continuidad, para un flujo uniforme y estacionario, lo que permite llegar a la siguiente ecuación:

zτ

+yτ

+ρgS=z

UW+y

UVρ zxyx0 ∂

∂∂

∂⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂∂∂ (2)

donde x, y, z Direcciones longitudinal, lateral y vertical U , V , W Medias temporales de las componentes de la velocidad según x, y, z τ yx , τ zx Tensiones de Reynolds en los planos perpendiculares a y y a z

respectivamente ρ Densidad del fluido g Aceleración de la gravedad S0 Pendiente longitudinal del lecho

Shiono y Knight (1991) integraron la ecuación (2) a lo largo de la profundidad H de flujo, basándose en el modelo de Boussinesq de turbulencia de la viscosidad de torbellino y obtuvieron la ecuación (3):

( )[ ]d0 VUρYy

=yVVYfρλ

dyd+

s+ρVfYρgS

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂∂

− 22

2

811

8 (3)

En esta ecuación: Y Profundidad de flujo (en general una función de y) f Factor de fricción de Darcy-Weisbach V Velocidad promediada en la vertical λ Viscosidad adimensional de torbellino

( ) ∫ dzVUρY

=VUρ d1 Tensión de corte promediada en la vertical

El factor de fricción f está relacionado con el coeficiente n de Manning por

38

Y

gn=f2

(4)

El parámetro adimensional λ se puede expresar como:

VfλY=ε yx 8 (5)

Donde εyx es la viscosidad de torbellino de Boussinesq.

El segundo miembro de la igualdad (3) representa el gradiente lateral de la fuerza aparente de corte en el plano vertical por unidad de longitud, y está relacionado a la intensidad de las corrientes secundarias. Shiono y Knight (1988) encuentran una solución analítica a la ecuación (3) para el caso de canal rectilíneo, es decir cuando el segundo término de dicha ecuación es 0. Posteriormente, estos mismos autores (Shiono y Knight, 1991) encuentran una solución analítica a la (3), incluyendo el término de corrientes secundarias, pero cuya aplicabilidad se halla limitada al caso de canales rectilíneos de sección compuesta. La principal limitación del modelo de Shiono y Knight está basada en suponer que el segundo miembro de (3) se mantiene constante. Eso hace que su aplicabilidad se limite a regiones restringidas, por ejemplo el pie del talud del canal principal de una sección compuesta. Una aproximación más general fue planteada por Ervine, Babaeyan-Koopaei y Sellin (2000). Estos autores asumen que las medias temporales de las componentes de la velocidad, V,U se pueden considerar proporcionales a la velocidad promediada en la vertical V. Es decir,

VK=V;VK=U 21 (6) y por lo tanto,

2KV=UV (7) en la cual K es un coeficiente empírico que varía con la geometría de los contornos, y que cuantifica la intensidad de las corrientes secundarias. Reemplazando la ecuación (7) en la (3) y reordenando, se llega a

08

1181 2

2 =YρρKdydVVfρλY

dyd+

s+ρfVρgYS 22

0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− (8)

la cual es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, no lineal, no homogénea, que constituye le ecuación del método propuesto por Ervine, Babaeyan-Koopaei y Sellin (método EBKS). Sin embargo, si se escribe la ecuación (8) en términos de V2, se obtiene

2iiiii

'ii

''ii V=u,F=uC+uB+uA (9)

donde

022 11

8882SgY=F,kz+

s+f=C,kzfλY=B,Yfλ=A iiiiiii −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− (10)

La ecuación (9) es una ecuación diferencial ordinaria lineal, y es la ecuación del Método de la Distribución Lateral con Corrientes Secundarias (LDM-SC).

SOLUCIÓN DEL LDM-SC POR EL MÉTODO DE LAS DIFERENCIAS FINITAS Para la solución en diferencias finitas de la ecuación (9) se reemplazan las derivadas primera y segunda de la función por los esquemas centrados

2h2 11

211 −− −− i+i'

i+iii''

iuu=u,

hu+uu=u (11)

Reordenando, se obtiene

i+iii

ii

iiii F=u

hB

+hA

+uhA

C+uh

BhA

12212 22

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − − (12)

Figura3.- Discretización del dominio para el método de las diferencias finitas

que es el operador o molécula de cálculo de 3 puntos que, aplicado a los n nodos incógnita del dominio de solución (Figura 3), dan lugar al siguiente sistema lineal expresado en forma matricial:

N=uM ⋅ (13) donde

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−

−−

−−

−

−−

−−

−−−−

−−

21

11

21

22

22

22

22

2

424

24

44

24

323

23

33

23

222

22

2

22

0...0000

22

2...0000

........................

000...2

22

0

000...02

22

000...002

2

hAC

hB

hA

hB+

hA

hAC

hB

hA

hB+

hA

hAC

hB

hA

hB+

hA

hAC

hB

hA

hB+

hA

hAC=M

nn

nn

nnnn

nn

(14)

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−

−

−

nnn

n

n

n

n

uh

B+

hA

uh

BhA

F

F

F

F

F=N,

u

u

u

u

u=u

2

0

...

0

0

2

......

12

1

02

22

1

2

4

3

2

1

2

4

3

2

(15)

En la expresión anterior, u0 y un representan los cuadrados de las velocidades cercanas a las márgenes, que por las mismas razones indicadas en la solución analítica se deben elegir no nulos y en forma arbitraria y razonable. La implementación de la solución anterior se efectuó en el lenguaje GNUOctave (Eaton, 1997). En Weber y Menéndez (2006) puede verse una descripción detallada del algoritmo implementado. MODELO MORFOLÓGICO El modelo morfológico planteado, de carácter empírico, permite conocer la profundidad estable del lecho luego de un incremento del caudal. El proceso de erosión general asume que el fenómeno de erosión alcanza un equilibrio dinámico, para lo cual los caudales de erosión deben permanecer estacionarios durante un periodo de tiempo. La primera clasificación surge de considerar el tipo de material del lecho, entre cohesivos y granulares. Según Farías et al (2003) los métodos de erosión general pueden agruparse bajo la forma común

2

1

0 C

C

sdqC=Y (16)

donde Ys profundidad de flujo (luego de la erosión) q Caudal unitario d diámetro del material del lecho C0, C1, C2 constantes de la fórmula empírica En particular, se consideró la fórmula de Lischtvan-Lebediev, la cual puede expresarse como:

0.199

0.710

0.333dq=Ys (17)

Esta fórmula tiene la ventaja de un buen comportamiento en la predicción de la erosión general en cauces arenosos (Farías et al, 2003). La aplicación de la misma se realiza en determinadas verticales en la sección transversal, para lo cual es necesario conocer el caudal unitario el cual se puede calcular como

iii YV=q (18)

donde qi Caudal unitario en la vertical i Vi Velocidad promedio en la vertical i Yi profundidad de flujo en la vertical i de acuerdo al esquema de la Figura 4.

Figura 4.- Esquema conceptual de aplicación del modelo morfológico

La aplicación tradicional de las fórmulas de erosión general parten de la premisa de que la modificación de la geometría que ellas obtienen no altera el campo de velocidades, o lo que es lo mismo decir, la distribución de velocidades se supone conocida para la geometría final de erosión (desconocida). En el caso del modelo propuesto, tanto la geometría final como el campo de velocidades son incógnitas, es decir, la distribución de velocidades debe actualizarse para cada nueva geometría obtenida con el modelo morfológico; suponiendo exista convergencia, llegará un punto en el cual habrá una relación biunívoca entre sección erosionada y distribución de velocidades. Suponiendo que exista consistencia, cualquiera sea al geometría inicial de la que se parta, debería llegarse a la misma geometría final. CASOS DE APLICACIÓN

Para mostrar la versatilidad del modelo propuesto, se consideraron dos casos de aplicación: un caso teórico y un caso experimental. Se describen a continuación cada uno de ellos, junto con los resultados obtenidos. CASO TEÓRICO Se trata de un cauce con una pendiente longitudinal del 0,5 ‰, de sección inicial trapecial, con un ancho de boca de 30 m y un ancho de fondo de 14 m. La profundidad inicial es variable, entre 4 m y 9 m. El diámetro del sedimento es 0,5 mm. El coeficiente de Manning es n = 0,025 y la viscosidad adimensional de torbellino es λ = 1. El parámetro K = 0,05, ha sido seleccionado en base a la experiencia previa en la parametrización del modelo LDM-SC (Weber, 2007). Este parámetro, que cuantifica la intensidad de las corrientes secundarias, estaría indicando en este caso una importante acción centrífuga. Cabe destacar que, partiendo de profundidades iniciales de 4, 5, 6, 7, 8 ó 9 m, la geometría final (de equilibrio) alcanzada por el modelo es muy similar (ver Figura 5), las diferencias son compatibles con las observadas en cualquier otro método predictivo de la Hidráulica Fluvial. Incluso si se consideran sólo las profundidades iniciales mayores o iguales a 6 m, la coincidencia de resultados se acentúa. La posición del thalweg obtenida es semejante para las distintas geometrías iniciales. Se pueden apreciar algunas diferencias en la margen interior de la curva (fundamentalmente para las profundidades iniciales de 4 y 5 m), que no invalidan el procedimiento propuesto.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

4 m5 m6 m7 m8 m9 m

y (m)

prof

undi

dad

(m)

Figura 5.- Geometrías de equilibrio obtenidas con el modelo propuesto. Caso teórico.

Incluso es posible ver que el modelo propuesto no sólo puede tener en cuenta la “erosión” sino también la “sedimentación”, es decir, partiendo de profundidades mayores a la de equilibrio, el modelo “realiza” una acrecencia del lecho hasta alcanzar la geometría final. Con fines ilustrativos, en la Figura 6 se muestran algunas geometrías intermedias obtenidas por el modelo, al final de k iteraciones, desde la geometría inicial (k = 0) hasta la geometría final de equilibrio, alcanzada en 33 iteraciones (k = 33), para una profundidad inicial de 7 m. Tolerancia adoptada en este caso: 1 cm. Puede verse la rápida variación de la geometría en los primeros pasos iterativos, y la lenta convergencia en los últimos. En la Figura 7 pueden verse

los perfiles laterales de velocidad obtenidos en algunos pasos iterativos intermedios para las mismas condiciones anteriores.

0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 12,5 15,0 17,5 20,0 22,5 25,0 27,5 30,0-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0k = 0k = 1k = 2k = 3k = 4k = 5k = 10k = 15k = 20k = 25k = 33

y (m)

prof

undi

dad

(m)

Figura 6.- Geometrías obtenidas para k iteraciones. Caso teórico. Profundidad inicial 7 m.

0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 12,5 15,0 17,5 20,0 22,5 25,0 27,5 30,00,00

0,25

0,50

0,75

1,00

1,25

1,50k = 1k = 2k = 3k = 4k = 5k = 10k = 15k = 20k = 25k = 33

y (m)

velo

cida

d (m

/s)

Figura 7.- Perfiles de velocidad obtenidos para k iteraciones. Caso teórico. Profundidad inicial 7 m.

En la Figura 8 se observa la convergencia de la profundidad máxima obtenida, en función del número de iteraciones, para distintas profundidades iniciales. Con fines comparativos, las corridas necesarias para obtener la Figura 8 se realizaron con 20 iteraciones, para cualquier profundidad inicial. Puede verse en dicha figura la convergencia y la consistencia de las soluciones obtenidas. En la Tabla 1 se muestran el número de iteraciones requeridas para alcanzar cierta tolerancia (en este caso, 1 cm) entre las geometrías obtenidas en dos pasos iterativos consecutivos. Asimismo, se muestra el caudal obtenido a partir de cada profundidad inicial, como también la máxima profundidad alcanzada. Nuevamente se aprecian las mayores diferencias para las profundidades iniciales de 4 y 5 m, siendo similar el resultado en los restantes casos.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200123456789

Ho = 4 mHo = 5 mHo = 6 mHo = 7 mHo = 8 mHo = 9 m

nro de iteraciones

prof

undi

dad

máx

ima

(m)

Figura 8.- Profundidad máxima alcanzada en cada iteración. Caso teórico.

Tabla 1.- Resultados resumen obtenidos - caso teórico. Tolerancia 1 cm

Profundidad inicial (m)

Profundidad máxima (m)

Caudal (m3/s)

Número de iteraciones

4,00 6,36 113,47 8 5,00 6,66 123,68 6 6,00 6,21 102,33 32 7,00 6,27 103,32 33 8,00 6,31 103,99 33 9,00 6,33 103,84 34

CASO EXPERIMENTAL Como una experiencia inicial de la aplicación del modelo propuesto a un caso de campo, se aplicó dicho modelo a las mediciones presentadas por Falcón Ascanio y Kennedy (1983) en una curva del río Missouri. Los parámetros de la calibración se indican a continuación: − Tolerancia fijada : 5 cm − Tamaño de la malla: 100 nodos − Caudal de equilibrio: 814 m3/s − Profundidad máxima obtenida en el modelo: 6,72 m − Profundidad máxima observada: 6,54 m − diámetro del material del lecho: 1,7 mm − Pendiente longitudinal : 0,29 ‰ − n de Manning : variable entre 0,028 y 0,036 − parámetro K: variable entre -0,005 y 0,035 − viscosidad adimensional de torbellino λ: variable entre 0.5 y 1.0 En la figura 9 puede verse la predicción del modelo propuesto en conjunto con los datos experimentales disponibles. Puede verse un acuerdo razonable entre las dos series. Asimismo, en la figura 10 pueden verse las secciones obtenidas en algunos pasos iterativos desde la geometría inicial supuesta (trapecio) hasta la geometría de equilibrio obtenida. En la figura 11 se aprecia el perfil lateral de velocidades obtenido con el modelo propuesto, en el cual se ha dibujado además la geometría de equilibrio como referencia.

0 20 40 60 80 100 120 140 160-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

modelomedido

y (m)

prof

undi

dad

(m)

Figura 9.- Perfil de equilibrio calculado versus datos experimentales. Caso experimental.

0,0 20,0 40,0 60,0 80,0 100,0 120,0 140,0 160,0-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

y (m)

prof

undi

dad

(m)

Figura 10.- Convergencia del perfil de equilibrio. Caso experimental.

0 20 40 60 80 100 120 140 1600,00

0,50

1,00

1,50

2,00

y (m)

velo

cida

d(m

/s)

Figura 11.- Perfil lateral de velocidades. Caso experimental.

CONCLUSIONES En base a esta evaluación preliminar del modelo propuesto, se pueden enunciar las siguientes conclusiones: − ha sido posible conformar un modelo que permite reproducir la sección estable de erosión

en la curva de un cauce de material no cohesivo, mediante el acoplamiento de un modelo hidrodinámico 1D en la dirección lateral (LDM) junto con una ecuación de erosión general de carácter empírico (Lischtvan-Lebediev).

− el modelo resultado del acoplamiento demostró ser convergente y consistente en el caso

teórico, y además coherente con la forma de la sección estable que se espera encontrar en la curva de un cauce erosionable.

− el modelo propuesto además ha reproducido adecuadamente la forma final de erosión en

la curva de un cauce real, mediante un conjunto de parámetros adecuados. − los parámetros más sensibles del modelo son, desde el aspecto hidrodinámico, el

coeficiente n de fricción de Manning y el parámetro K que cuantifica el efecto de las corrientes secundarias sobre el perfil lateral de velocidades; y desde el aspecto morfológico, el diámetro d del sedimento.

− a partir de estos resultados, se abren nuevas líneas de trabajo, en relación a: la aplicación y

calibración del modelo a distintos casos reales; la aplicabilidad del modelo en secciones de granulometría no uniforme en la coordenada lateral; la posibilidad de acoplar al conjunto una ecuación de flujo longitudinal, lo que permitiría construir un modelo de erosión cuasi-bidimensional en una forma computacionalmente más económica.

− en resumen, el modelo propuesto se insinúa como una herramienta versátil a la hora de

cuantificar en forma aproximada las secciones estables en cauces meandrosos de material no cohesivo.

Agradecimiento. El autor del presente trabajo quiere manifestar expresamente su agradecimiento a la Secretaría de Ciencia y Tecnología de la Universidad Tecnológica Nacional por el apoyo recibido a través del subsidio al Proyecto de I+D Consolidado 25/E117. LISTA DE SÍMBOLOS x, y, z Direcciones longitudinal, lateral y vertical U , V , W Medias temporales de las componentes de la velocidad según x, y, z τ yx , τ zx Tensiones de Reynolds en los planos perpendiculares a y y a z

respectivamente ρ Densidad del fluido g Aceleración de la gravedad S0 Pendiente longitudinal del lecho Y Profundidad de flujo (en general una función de y) f Factor de fricción de Darcy-Weisbach

V Velocidad promediada en la vertical λ Viscosidad adimensional de torbellino

Ys profundidad de flujo (luego de la erosión) q Caudal unitario d diámetro del material del lecho C0, C1, C2 constantes de la fórmula empírica de erosión general REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Bernard, R. S., Schneider, M. L. (1992). Depth-averaged Numerical Modeling for Curved Channels. Technical Report HL 92-9, U.S. Army Corps of Engineers, Hydraulics Laboratory, Vicksburg, Mississipi. Chang, H. H. (1988). Fluvial Processes in River Engineering, Ed. J. Wiley & Sons, N.Y., U.S.A. Donnell, B.P. (Ed.) (1996). User’s Guide to RMA2 WES Version 4.3. U.S. Army Corps of Engineers, Waterways Experiment Station – Hydraulic Laboratory. Eaton, J. W. (1997). GNU Octave: a high-level interactive language for numerical computations. ftp://ftp.che.wisc.edu/pub/octave. Engelund, F. (1974). “Flow and Bed Topography in Channel Bends”. Journal of Hydraulic Division, ASCE, 100 (HY11), pp. 1631-48. Ervine, A., Babaeyan-Koopaei, K., Sellin, R. (2000) “Two-dimensional solution for straight and meandering overbank flows”. J. Hydr. Engng. ASCE, 126.9 pp 653-669. Falcón Ascanio, M., Kennedy, J.F. (1983). "Flow in Alluvial-River Flows", J. Fluid Mech., 133, pp. 1-16. Farías, H. D., Pilán, M. T., Pece, F. J., Olmos, L. A. (2003). “Erosión general en ríos con lechos arenosos”, primer Simposio Regional sobre Hidráulica de Ríos, Buenos Aires, noviembre 2003. Finnie, J., Donnell, B., Letter, J., Bernard, R. S. (1999). “Secondary Flow Correction for Depth-Averaged Flow Calculations”. Journal of Engineering Mechanics, Vo. 125 No. 7, pp. 848-863. Kikkawa, H., Ikeda, S. Kitagawa, A. (1976). “Flow and Bed Topography in Curved Open Channels”, Journal of the Hydraulics Division, ASCE, 102 (HY9), pp. 1327-42. Letter, J., Roig, L. C., Donnell, B. P., Thomas, W. A., McAnally, W. H., Adamec, S. A. (1998). A user's manual for SED2D-WES, a generalized computer program for two-dimensional, vertically averaged sediment transport. U.S. Army Corps of Engineers, Waterways Experiment Station – Hydraulic Laboratory.

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