Mestrado Integrado em Engenharia Mecanica

Investigacao Operacional2011.01.07

Prova com consultaAlunos admitidos a exame com avaliacao contınua

Duracao: 2h30

London Heathrow Airport

London Heathrow Airport, in the London Borough of Hillingdon, is the largest airport in the UnitedKingdom and the fourth busiest airport in the world (in 2010, due to reduced traffic blamed on the Ey-jafjallajokull volcano) in terms of total passenger traffic and it handles more international passengers thanany other airport in the world. It is also the busiest airport in the European Union in terms of passengertraffic and the second busiest in Europe in terms of traffic movements, second to Paris CDG airport in Paris,France. The airport is owned and operated by BAA, who also own and operate five other UK airports.

Heathrow is 12 nautical miles west of Central London, and has two parallel main runways spanning east-to-west and four operational terminals. The site covers 12.14 square kilometres. Terminal 5 was officiallyopened by Queen Elizabeth II on 14 March 2008 and opened to passengers on 27 March 2008. Constructionof a new Terminal 2 complex to replace the terminal building and adjacent Queen’s Building began in 2009;the first phase is expected to open in 2014. Terminals 3 and 4 underwent major refurbishments that beganin 2007 and were completed in 2009. In November 2007 a consultation process began for the building ofa new third runway and a sixth terminal and it was controversially approved on 15 January 2009 by UKGovernment ministers. The project was then cancelled on 12 May 2010 by the Cameron Government.

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1. (20/3 valores)No dia 18 de Dezembro de 2010, depois do maior nevao dosultimos 30 anos em Londres, o aeroporto de Heathrow foi encer-rado. Todos os procedimentos de limpeza de pistas e de parquesde avioes foram postos em marcha, pois o numero de passageirosque se acumulava nos terminais aumentava constantemente le-vando a ruptura de todas as estruturas de apoio. A comunicacaosocial tem salientado que desde que a BAA, empresa responsavelpelas operacoes no aeroporto, foi adquirida pela espanhola Ferro-vial, o investimento em tecnologias para remocao de gelo e nevesofreu uma reducao drastica.

Os planos de emergencia para limpeza do aeroporto em casos de fortes nevoes contemplam a limpeza dos parquesde avioes dos seus cinco terminais e tambem as duas pistas (pista Norte e pista Sul). Heathrow tem 69 veıculospara remocao de neve e gelo e 60 funcionarios especializados nessa tarefa, que formam 6 equipas tal como serepresenta na tabela 1. Nessa mesma tabela estao representados os tempos medios para remocao de gelo emcada uma das duas pistas e em cada um dos cinco terminais.

Numero Numero Tempo (minutos) necessarioEquipa de de para remocao de gelo

funcionarios veıculos Pistas Terminaisi fi vi ti1 ti2 ti3 ti4 ti5 ti6 ti7

A 8 5 60 60 40 40 40 40 40B 13 7 40 40 30 30 30 30 30C 9 9 60 60 50 50 50 50 50D 7 6 90 90 70 70 70 70 70E 15 8 40 40 20 20 20 20 20F 8 3 100 100 90 90 90 90 90

Tabela 1: Dados relativos a cada uma das equipas de remocao de neve

O aeroporto tem capacidade para armazenamento de 500 000 litros de fluido anticongelante e cada veıculo podetransportar ate 50 000 litros desse fluido. Sao necessarios 100 000 litros de fluido anticongelante para limparcada uma das pistas e 50 000 litros para limpar cada um dos terminais. O gasto do fluido anticongelante seraproporcional a percentagem da pista ou terminal que for limpa por cada equipa. Os veıculos utilizados por cadauma das equipas devem ser carregados por igual com fluido anticongelante.

Para nao haver problemas futuros com os fortes sindicatos do pessoal de terra, pretende-se que o trabalhoseja equilibrado entre as equipas. Os responsaveis pela BAA pretendem, obviamente, que o aeroporto fiqueoperacional no mais curto espaco de tempo possıvel.

(a) Decisoes

i) Descreva por palavras os varios tipos de variaveis de decisao para este problema.ii) Quantas sao as variaveis de decisao de cada tipo? Como calculou?

iii) Represente matematicamente as variaveis de decisao para este problema.

(b) Restricoes

i) Descreva por palavras os tipos de restricoes para este problema.ii) Quantas sao as restricoes de cada tipo? Como calculou?

iii) Represente matematicamente restricoes para este problema na forma linear.

(c) Objectivo

i) Descreva por palavras a funcao objectivo para este problema.ii) Represente matematicamente essa funcao objectivo na forma linear.

(d) Suponha que vai ter uma reuniao com o responsavel pela BAA, durante a qual devera apresentar umasolucao admissıvel para o problema descrito1 e tambem o valor da funcao objectivo para essa solucao. Seconsiderar necessario, recorra a tabelas para representar a solucao.

1Uma solucao admissıvel e um conjunto de valores para as variaveis de decisao que satisfaz todas as restricoes do problema.

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2. (20/3 valores)

No ano de 2010, a revista Business Traveler premiou, pelo segundo ano consecutivo, o aeroportode Heathrow com o tıtulo de Best Airport for Tax-Free Shopping. Estes premios tem-se reveladoexcelentes campanhas de marketing para as lojas duty-free com concessao neste aeroporto.

A Eng.a Leopoldina e gestora da Petit Pontape, uma empresa nacional especializada em moda infantil.Estando atenta a todas as oportunidades de negocio internacionais, esta conseguiu, depois de umgrande esforco negocial, a concessao de uma loja no Terminal 4 do aeroporto de Heathrow para o anode 2011. A gestora considera que a loja neste aeroporto, a semelhanca do que acontece com as outrastres lojas duty-free que a Petit Pontape explora em regime de concessao nos aeroportos de Frankfurtam Main, Paris Charles de Gaulle e Barajas (Madrid), funcionara como uma optima montra para amarca.

A gestora esta nesta fase planear a logıstica associada a reposicao dos artigos nas lojas para 2011.A empresa possui tres armazens de onde poderao ser expedidos os artigos: um no Porto, outro emLisboa e um em Faro. O transporte sera assegurado pela DLH, empresa logıstica multinacional, porvia aerea. As disponibilidades mensais dos artigos para expedicao sao: 20 mil a partir do Porto, 100mil a partir de Lisboa e 20 mil a partir de Faro. Estima-se que as necessidades da loja do aeroportode Heathrow sejam de 20 mil produtos e que, a semelhanca dos anos anteriores, as de Frankfurt, Parise Madrid tenham respectivamente as seguintes necessidades: 20 mil, 60 mil e 20 mil produtos. Estaslojas nao devem receber mais do que a quantidade estimada como necessaria, dada a grande restricaode espaco neste tipo de lojas. As capacidades mensais das rotas da DLH entre as cidades onde selocalizam os armazens e os aeroportos, expressas em milhares de unidades, sao as seguintes:

Heathrow Frankfurt am Main Charles de Gaulle Barajas

Porto 10 30 0 40Lisboa 10 20 40 5Faro 0 0 10 50

Tabela 2: Capacidades mensais das rotas da DLH

A Eng.a Leopoldina esta a avaliar se e possıvel atender a todas as necessidades mensais das lojas combase na disponibilidade de artigos nos armazens e na capacidade das rotas do seu operador logıstico.

(a) Mostre que o problema com que se depara a Eng.a Leopoldina equivale a definir o fluxo maximode uma origem para um destino. Para isso construa a rede que traduz o problema e representenesta a capacidade de cada ramo.

(b) Indique o corte mınimo da rede.

(c) Indique quantos produtos serao expedidos a partir de cada armazem e que quantidade chegara acada loja duty-free.

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3. (20/3 valores)

A BAA, operadora do aeroporto de Heathrow, esta a planear a renovacao de uma parte da placa deestacionamento dos avioes do terminal 1. Essa renovacao inclui, para alem da remocao e substituicao dotapete da placa, outras operacoes relativas a infra-estruturas tecnicas. Sendo as receitas geradas peloaeroporto directamente proporcionais a sua utilizacao, nomeadamente ao tempo de estacionamentodos avioes, a BBA esta preocupada com os prejuızos decorrentes da reducao da area disponıvel paraesse fim.

Para poder estudar o impacto financeiro desta remodelacao a BBA solicitou a Faz-Pisos (empresa aquem a BBA esta a pensar adjudicar a execucao do projecto de renovacao da placa) a informacaoconstante na tabela 3 relativa aos trabalhos a efectuar.

Actividade Actividades imediatamente Duracaoanteriores (dias)

A B 2B C, D, F 5C E, G 2D G 2E – 4F – 7G – 3H B 1I A, H 3

Tabela 3: Actividades do projecto de renovacao da placa

(a) Represente o projecto atraves de uma rede com as actividades nos nos.(b) Determine as folgas totais e livres das actividades do projecto, e identifique o caminho crıtico.(c) O prejuızo diario resultante da indisponibilidade da placa de estacionamento durante as obras de

renovacao foi estimado em 230× 103 unidades monetarias. Determine o prejuızo a suportar pelaBBA decorrente da realizacao destas obras.

Para minimizar os prejuızos decorrentes da indisponibilidade da placa de estacionamento durante asobras de renovacao, a Faz-Pisos sugeriu que o prazo normal de execucao da renovacao da placa fossereduzido em 3 dias, desde que a BBA estivesse disposta a suportar os custos adicionais resultantesda reducao das duracoes normais das actividades do projecto. Para que a BBA pudesse tomar umadecisao, foi-lhe fornecida a informacao adicional apresentada na Tabela 4.2

Actividade Compressao maxima Custo de compressao(dias) (unidades monetarias ×103/dia)

A 1 120C 1 90E 2 120F 3 175G 1 65H 0,5 70

Tabela 4: Compressao maxima e custo de compressao das actividades do projecto

(d) Apresente um modelo de programacao linear que lhe permitisse calcular os custos que a BBAteria de suportar para reduzir em 3 dias o prazo normal de execucao da renovacao da placa.

(e) Diga de que modo se poderia verificar se era, ou nao, economicamente interessante optar pelareducao em 3 dias do prazo normal de execucao da renovacao da placa.

2Nota: Nao e possıvel fazer qualquer compressao da duracao normal das actividades que nao constam na Tabela 4.

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Resolucao

1. (a) Decisoes

i) Tipos de variaveis de decisao para este problema:

Tipo 1: Variaveis de decisao que descrevem a percentagem da limpeza de cada local que eatribuıda cada uma das equipas.

Tipo 2: Variavel auxiliar que corresponde ao tempo ate o aeroporto ficar limpo. Essetempo e igual ao tempo gasto em limpeza pela equipa que demorar mais.

ii) Numero de variaveis de decisao de cada tipo:

Tipo 1: Numero de equipas × numero de locais = 6× 7 = 42 variaveis de decisao.

Tipo 2: 1 variavel.iii) Representacao matematica:

Tipo 1:

xij = Percentagem do local j a limpar pela equipa i.

0% ≤ xij ≤ 100%i ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

j ∈ {A, B,C, D, E, F}

Tipo 2:

C = Tempo ate aeroporto ficar limpo (em minutos).C ≥ 0

(b) Restricoes 3

i) Restricoes para o problema:

Tipo 1: Cada um dos locais tem de ficar totalmente limpo.

Tipo 2: Os veıculos de cada uma das equipas tem de transportar lıquido anticongelantesuficiente para todas as limpezas que farao, e esse lıquido nao pode exceder a capacidade detransporte dos veıculos.

Tipo 3: A carga de trabalho total das equipas (em minutos) deve ser equilibrada, e portantonecessario minimizar a carga da equipa que tem carga maxima.

ii) Numero de restricoes de cada tipo.

Tipo 1: 7 restricoes, uma por cada local.

Tipo 2: 6 restricoes, uma por cada equipa.

Tipo 3: 6 restricoes, uma por cada equipa.

3A restricao de que o lıquido anticongelante utilizado nao pode exceder o lıquido anticongelante existente no aeroporto eindependente das decisoes tomadas (afectacao de equipas a locais) e portanto nao foi considerada nesta resolucao.

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iii) Representacao matematica:

Tipo 1:

∀j∑

i xij = 100%

Tipo 2: faj – fluido anticongelante necessario para limpar local j

∀i

∑j(faj×xij)

vi≤ 50 000

Tipo 3:

∀i∑

j(tij × xij) ≤ C

(c) Objectivo

i) Minimizar o tempo ate a reabertura do aeroporto apos a limpeza.ii) Representacao matematica:

min C

(d) As tabelas 5 e 6 tem a descricao de uma solucao admissıvel (mas nao optima)4:

Local Pista Norte Pista Sul T1 T2 T3 T4 T5

Equipa 1 2 3 4 5 6 7

A 50% 20% 10% 40%B 40% 50% 40%C 10% 20% 40% 40%D 30% 40% 20% 20%E 20% 20% 30% 40% 50%F 10% 40% 20%

Tabela 5: Percentagem de cada zona atribuıda a cada uma das equipas de remocao de neve

Equipa Carga por veıculo.(litros)

A 85 0005

≤ 50 000

B 85 0007

≤ 50 000

C 55 0009

≤ 50 000

D 90 0006

≤ 50 000

E 100 0008

≤ 50 000

F 35 0003

≤ 50 000

Tabela 6: Carga de fluido anticongelante em cada veıculo de cada equipa

Se se fizer esta distribuicao de trabalho sera possıvel limpar o aeroporto em 91 minutos, tempogasto pela equipa D.

4Ver ficheiro excel anexo.

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2. (a) O problema da Eng.a Lipoldina pode ser traduzido na seguinte rede, na qual se pretende fazerpassar o maximo fluxo desde o no de inıcio ate ao no de fim:

(b) O corte mınimo apresenta-se na figura:

(c) Armazens:Armazem do Porto:20Armazem de Lisboa:70Armazem de Faro:20

Lojas:Frankfurt am Main:20Heathrow:20Charles de Gaulle:50Barajas:20

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3. (a) A rede do projecto esta representada na figura seguinte.

(b) O caminho crıtico esta representado a verde na figura e e F–B–A–I

(c) O prazo maximo para conclusao do projecto sao 17 dias e o prejuızo sera de 17 × 230 × 103 =3 910× 103 unidades monetarias.

(d) O modelo pretendido e o seguinte:

Dados

• actividades i e respectivas precedencias directas;• di, duracoes das actividades i;• custos marginais ci e compressoes maximas Ri de cada actividade i;• D, duracao pretendida para o projecto.

Indices

• i ∈ {A, C,E, F, G, H};

Variaveis de decisao

• ri, compressao de cada actividade i.

Variaveis auxiliares

• xi, inıcio de cada actividade i.

Funcao objectivo

• Minimizar o custo total de compressao de todas as actividades:min

∑i ciri = 120rA + 90rC + 120rE + 175rF + 65rG + 70rH .

Restricoes

• Para cada actividade i, a sua compressao ri devera ser ≤ a compressao maxima Ri;

ri ≤ Ri

rA ≤ 1rC ≤ 1rE ≤ 2rF ≤ 3rG ≤ 1rH ≤ 0.5

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• Para cada par de actividades i e j, em que j so pode ter inıcio imediatamente apos o fim dei, xj ≥ xi + (di − ri);

xj ≥ xi + (di − ri)xG ≥ 0xE ≥ 0xF ≥ 0xD ≥ xG + (dG − rG)xC ≥ xG + (dG − rG)xC ≥ xE + (dE − rE)xB ≥ xD + dD

xB ≥ xC + (dC − rC)xB ≥ xF + (dF − rF )xA ≥ xB + dB

xH ≥ xB + dB

xI ≥ xA + (dA − rA)xI ≥ xH + (dH − rH)xFIM ≥ xI + dI

• O projecto deve ter uma duracao inferior ou igual a D, xFIM ≤ D, onde xFIM e umaactividade fictıcia, com dFIM = rFIM = 0, que encerra o projecto.

xFIM ≤ 14

• O projecto inicia-se em 0. xINI = 0, onde xINI e uma actividade fictıcia, com dINI = rINI =0, que corresponde ao inıcio do projecto.

xINI = 0

• Para cada actividade i, ri e xi ≥ 0.

ri ≥ 0 ∀ixi ≥ 0 ∀i

(e) Para se verificar se seria, ou nao, economicamente interessante optar pela reducao em 3 diasdo prazo normal de execucao da renovacao da placa, terıamos que comparar CRP, custo dareducao do prazo em 3 dias, que e o valor da funcao objectivo para a solucao optima do modelode PL descrito na alınea anterior com PI, prejuızo resultante da indisponibilidade da placa deestacionamento durante 3 dias = 3× 230× 103 unidades monetarias.Se CRP < PI, entao seria vantajoso reduzir o prazo das obras em 3 dias, se CRP > PI, naoseria vantajoso proceder a essa reducao do prazo.

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