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Introduction aux isolants topologiques – PHY560B
Mark Oliver Goerbig
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Le prix Nobel de Physique 2016
”for theoretical discoveries of topological phase transitions
and topological phases of matter”
M. Kosterlitz(U. Brown)
D. Thouless(U. Washington)
D. Haldane(U. Princeton)
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Plan du cours
● Introduction à la topologie en physique● Retour sur l'effet Hall quantique● Isolants en 2D et inversion de gap● États quantiques et courbure de Berry● États de bord● Isolants topologiques en 3D
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Plan du cours
● Introduction à la topologie en physiqueIntroduction à la topologie en physique● Retour sur l'effet Hall quantique● Isolants en 2D et inversion de gap● États quantiques et courbure de Berry● États de bord● Isolants topologiques en 3D
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Topologie
Étude d'aspects globaux d'un système
Plus correctement : Étude des déformations spatiales par des transformations continues
→ robustesse d'un état
→ un état « topologiquement » protégé ne peut pas être perturbé
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Invariants topologiques
http://www.nobelprize.org/Classes topologiques définies par un nombre entierIci : nombre de trous
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Invariants topologiques
mathématiquement: classification des cartes d'un espace compact vers un autre
Exemple : modèle XY en 2D
→ existance de vortex et antivortex
- +
n=-1 n=+1
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Exemple physique : vortex dans des supraconducteurs
Réseau de vortex dans NbSe2,250 nm x 250 nm (image STM, Riken)
Vortex : singularité dans l'ordresupra contenant un nombre entier de quanta de flux
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Plan du cours
● Introduction à la topologie en physique● Retour sur l'effet Hall quantiqueRetour sur l'effet Hall quantique● Isolants en 2D et inversion de gap● États quantiques et courbure de Berry● États de bord● Isolants topologiques en 3D
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L’effet Hall quantique (1980) K. von Klitzing11
(invariant topologique)
→ quantification précise de la conductance
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volume isolant
bordsconducteurs
“invariant topologique” = nombre de canaux de bord
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Compréhension de l'effet Hall quantique
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Compréhension de l'effet Hall quantique
déformation continue : changement du potentiel du désordre,pas d'effet sur les bords chiraux
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Résume intermédiaire (EHQ)
● Facteur de remplissage (partie entière) :
invariant topologique invariant topologique
→ inv. topologique = # d'états de bord chiraux# d'états de bord chiraux● insensibilitéinsensibilité à la réalisation microscopique du
désordre (déformations continuesdéformations continues)● isolant de volume (2D)isolant de volume (2D) + conducteur de bord (1D)conducteur de bord (1D)
→ quantification précise de la conductance
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Résume intermédiaire (EHQ)
● Facteur de remplissage (partie entière) :
invariant topologique invariant topologique
→ inv. topologique = # d'états de bord chiraux# d'états de bord chiraux● insensibilitéinsensibilité à la réalisation microscopique du
désordre (déformations continuesdéformations continues)● isolant de volume (2D)isolant de volume (2D) + conducteur de bord (1D)conducteur de bord (1D)
→ quantification précise de la conductance
Caractéristiques générales d'un isolant topologique Caractéristiques générales d'un isolant topologique
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Plan du cours
● Introduction à la topologie en physique● Retour sur l'effet Hall quantique● Isolants en 2D et inversion de gapIsolants en 2D et inversion de gap● États quantiques et courbure de Berry● États de bord● Isolants topologiques en 3D
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Faire du graphène un isolant 2D
structure de bandedu graphène
E k
k x
y
EF
Hamiltonien (modèle de liaisons fortes) :
d1d2
d3
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Faire du graphène un isolant 2D
structure de bandedu graphène isolant
E k
k x
y
EF
Hamiltonien (modèle de liaisons fortes) :
d1d2
d3Gap isolant =
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Informations au-delà du spectreFonctions d'onde (→ “spin”):
avec
(zone de Brillouin)
(sphère de Bloch)
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Informations au-delà du spectreFonctions d'onde (→ “spin”):
avec
(zone de Brillouin)
(sphère de Bloch)
→ → invariant topologique : invariant topologique : nombre de fois que la sphère de Bloch est couvertenombre de fois que la sphère de Bloch est couverte
→ → gap doit gap doit changer de signe pour avoirchanger de signe pour avoir(“inversion de gap”) !! (“inversion de gap”) !!
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Plan du cours
● Introduction à la topologie en physique● Retour sur l'effet Hall quantique● Isolants en 2D et inversion de gap● États quantiques et courbure de BerryÉtats quantiques et courbure de Berry● États de bord● Isolants topologiques en 3D
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Formulation mathématiquePhase géométrique (de Berry) :
connexion de Berry (~potentiel vecteur) :
: indice de bande
courbure de Berry (~champ magnétique) :
nombre de Chern (invariant topologique) :nombre de Chern (invariant topologique) :
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Courbure de Berry pour le graphène isolant
car courbure antisymétrique
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Courbure de Berry pour le graphène isolant
car courbure antisymétrique
Courbure de Berry concentrée autour des points de DiracCourbure de Berry concentrée autour des points de Dirac
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Phase de Berry autour d'un seul point de Dirac
Hamiltonien :
connexion de Berry :
→ phase de Berry :
indice de vallée (K et K')
→ → nombre de Chern : nombre de Chern : ??? ???
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“Demi-nombre de Chern”
● Calcul dans la limite continue
→ espace original non compact (plan 2D)
→ points de Dirac arrivent nécessairement par paires !
● Chaque point de Dirac (massif) contribue au nombre de Chern
→ afin d'avoir un nombre de Chern non nul (par bande), il faut avoir un gap inverséil faut avoir un gap inversé
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Plan du cours
● Introduction à la topologie en physique● Retour sur l'effet Hall quantique● Isolants en 2D et inversion de gap● États quantiques et courbure de Berry● États de bordÉtats de bord● Isolants topologiques en 3D
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Rajout d'un bord
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Rajout d'un bord
Role de la symétrie par renversement du temps :
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Rajout d'un bord
Role de la symétrie par renversement du temps : Rôle de la symétrie par renversement du temps :
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Rajout d'un bord
Role de la symétrie par renversement du temps : Rôle de la symétrie par renversement du temps :
→ → pas respectée par les bords (ni par la courbure de Berry) !!pas respectée par les bords (ni par la courbure de Berry) !!
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Isolants topologiques brisant la symétrie par renversement du temps
● Modes chiraux dans l'effet Hall quantique :
→ symétrie RT brisée par le champ magnétique (OK)
● Modèle de Haldane (1988) – variante du graphène isolant
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Modèle de Haldane
symétrie RT brisée :
modifier les points de Dirac indépendamment l'un de l'autremodifier les points de Dirac indépendamment l'un de l'autre
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Isolants avec symétrie par renversement du temps
● S'ils existent :
→ deux modes par bord avec chiralité opposée (modes hélicaux)(modes hélicaux)
→ on doit avoir (RT : renversement du spin renversement du spin σσ)
modèles de
Kane & Mele
BHZ (2005/06)
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Modèle de Kane & Mele
on profite du spin !on profite du spin !
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Effet Hall quantique de spin (2006/07)
Les états de spin + ou – se déplacent dans des directions opposéesEffet Hall quantique
Effet Hall quantique de spin
Science,766, 318 (2007),groupe exp. de Würzburg
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Modèle simplifié pour comprendre les états de bord
Espace réel : à gauche isolant topologique, à droite isolant trivial (vide)
→ à gauche : gap inversé (point de Dirac) ;
à droite : gap direct
Changement du signe de gap dans une interface de tailleChangement du signe de gap dans une interface de taille
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Modèle simplifié pour comprendre les états de bord
changement “d'axe de quantification” ; trafo unitaire
… cela ressemble à quoi ?
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Modèle simplifié pour comprendre les états de bord
changement “d'axe de quantification” ; trafo unitaire
avec longueur caractéristique :
solution via opérateurs d'échelle de l'oscillateur harmonique :
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Modèle simplifié pour comprendre les états de bord
→ Hamiltonien de fermions de Dirac massifs dans un champ magnétique
États de surface ~ niveaux de LandauÉtats de surface ~ niveaux de Landau
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États de bord
chiralité : signe de
thèse de S. Tchoumakov, LPS (2016-17)thèse de S. Tchoumakov, LPS (2016-17)
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États de bord● Comment changer le signe de la
chiralite :
→ changement de vallée (pour les états hélicaux, effet Hall quantique de spin)
→ changement de bord (~renversement de l'orientation du “champ magnétique”)
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Plan du cours
● Introduction à la topologie en physique● Retour sur l'effet Hall quantique● Isolants en 2D et inversion de gap● États quantiques et courbure de Berry● États de bord● Isolants topologiques en 3DIsolants topologiques en 3D
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