introduction à la théorie de galois effective - journées nationales

Introduction a la Theorie de Galois EffectiveJournees Nationales du Calcul Formel 2008

Guenael Renault

Equipe-projet SALSA INRIA/LIP6 - Universite Paris 6

Octobre 2008

Part I

Naissance et Definition de la Theorie de Galois

JNCF’08 – Guenael Renault - INRIA/LIP6 SALSA 2/83

Premices

Resolution d’equationsSoit P un polynome a coefficients rationnels. Comment exprimer lessolutions de l’equation E ?

E : P(x) = 0


Premices


E : P(x) = 0

Antiquite

Si P(x) = x2 + bx + c les racines sont donnees par

x1 =−b +

√b2 − 4c

2x2 =

−b −√

b2 − 4c2


Premices


E : P(x) = 0

Geometres italiens du 16eme siecleFontana, Cardan, Ferrari pour les equations de degre 3 et 4.Si P(x) = x3 + bx2 + cx + d , en faisant le changement de variablez = x + b

3 on se ramene a P(z) = z3 + px + q. Notant ∆ = q2 + 427p3

les trois solutions sont

xi = j i3

√−q +

√∆

2+ j i

3

√−q −

√∆

2i = 1, 2, 3

ou j est une racine cubique de l’unite.


Des heuristiques vers une methode generale ?

La resolution d’equations polynomiales se base pour le moment surdes heuristiques. Plusieurs mathematiciens ont tente de donner unemethode generale de resolution.

Methode de Tschirnhaus 1683

Methode de Bezout 1762




Methode de Tschirnhaus 1683Soit P(x) = xn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0 on effectue unchangement de variable y = bn−1xn−1 + bn−2xn−2 + · · ·+ b0(elimination) en cherchant des coefficients bi pour se ramener a

yn − c = 0

Ceci n’est pas resoluble en generale : le probleme se ramene a laresolution d’une equation de degre (n − 1)!.Methode de Bezout 1762





- Reduction des quintiques

X 5 + aX 3 + bX + c

Methode de Bezout 1762





Methode de Bezout 1762Il propose, par procede d’elimination, de trouver les solutions del’equation xn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0 = 0 sous la forme

xi = b0 + b1ω + · · ·+ bn−1ωn−1

ou ω est une racine primitive n-eme de l’unite. Cette resolution nes’applique pas en toute generalite.


Lagrange et la formalisation des methodes existantes

A la fin du 18eme siecle, Lagrangedeveloppe de nouvelles idees pour unifierles methodes existantes. Il se place dans lecadre de la resolution de l’ equationgenerale de degre n .

ProblemeSoit K un corps de caracteristique 0 et soient x1, . . . , xn les racinessimples d’un polynome P de degre n. Peut on exprimer les racines deP a partir de relations algebriques ou radicales d’elements deK(σ1, . . . , σn) ?Les σi sont les coefficients de P (au signe pres), fonctionssymetriques elementaires des racines (Newton).


Lagrange et la formalisation des methodes existantes

ProblemeSoit K un corps de caracteristique 0 et soient x1, . . . , xn les racinessimples d’un polynome P de degre n. Peut on exprimer les racines deP a partir de relations algebriques ou radicales d’elements deK(σ1, . . . , σn) ?Les σi sont les coefficients de P (au signe pres), fonctionssymetriques elementaires des racines (Newton).

Principe de resolution de LagrangeChercher des elements Ψ de K(x1, . . . , xn) tels que

1 Ψ est solution d’un polynome de plus bas degre que P ou, plusgeneralement, peut etre retrouvee en resolvant des equations deplus bas degre.

2 Les racines de P, les xi , peuvent se deduire d’elements Ψ ainsicalcules.


Stabilisateurs et Orbites d’elements de K(x1, . . . , xn)

Pour trouver de tels elements, Lagrange introduit l’etude de

Action de Sn sur K = K(x1, . . . , xn)

Sn × K −→ K(s,Ψ) 7−→ s ·Ψ = Ψ(xs(1), . . . , xs(n))

x1x2x4 x1x2x3 x1x3x4 x2x3x4x1x2x3x1x2x3...

......

...

s · x1x2x4 s ! S4

624

x1x2x4 x1x2x3 x1x3x4 x2x3x4

⇒La definition de groupe n’existe pas encore !JNCF’08 – Guenael Renault - INRIA/LIP6 SALSA 10/83



Soit H ⊂ G deux sous-groupes de Sn et f ∈ K(x1, . . . , xn).

le stabilisateur de f dans G est defini par

StabG(f ) = {ρ ∈ G : ρ · f = f};

l’ orbite de f sous l’action de G est defini par

OrbG(f ) = {ρ · f : ρ ∈ G} ⊂ K(x1 . . . , xn)

L’ensemble G//H = {g1, . . . , gk} de representant G/H est appeletransversale a gauche :

G =k⋃

i=1

giH




Soit H ⊂ G deux sous-groupes de Sn et f ∈ K(x1, . . . , xn).

StabG(f ) = {ρ ∈ G : ρ · f = f};OrbG(f ) = {ρ · f : ρ ∈ G} ⊂ K(x1 . . . , xn)

transversale a gauche : G =⋃k

i=1 giH

Theoreme de LagrangeLe cardinal d’un stabilisateur sous l’action d’un groupe G est undiviseur de celui de G.


Resolvantes

Polynomes annulateursSoit f ∈ K(x1, . . . , xn). Le polynome annulateur de f

Θf (t) =∏

s∈Sn

(t − s · f (x1, . . . , xn)) ∈ K(σ1, . . . , σn)

de degre n! est decomposable sous la forme

Θf (t) = θf (t)|StabSn (f )|

ouθf (t) =

∏g∈OrbSn (f )

(t − g) ∈ K(σ1, . . . , σn)

est un polynome separable appele resolvante absolue de f


Resolvantes

Polynomes annulateursSoit f ∈ K(x1, . . . , xn). Le polynome annulateur de f

θf (t) =∏

g∈OrbSn (f )

(t − g) ∈ K(σ1, . . . , σn)

est un polynome separable appele resolvante absolue de f

Principe de LagrangeL’etude des resolvantes permet de connaıtre a priori le degre desequations a resoudre pour trouver leurs solutions.Ceci peut etre vu comme une reponse au premier point duprincipe de Lagrange.


Resolvantes : exemple

Pour f = x1x2 + x3x4, quelle est la resolvante θf ?


Resolvantes : exemple

Pour f = x1x2 + x3x4, quelle est la resolvante θf ?

OrbS4(f ) = S4 · f = {x1x2 + x3x4, x1x3 + x2x4, x1x4 + x2x3}

θf (t) = (t − (x1x2 + x3x4)(t − (x1x3 + x2x4))(t − (x1x4 + x2x3))

θf (t) = y3 − σ2y2 + (σ1σ3 − 4σ4)y − σ23 − σ2

1σ4 + 4σ2σ4


Resolvantes de Lagrange

Pour realiser le deuxieme point de son principe, Lagrange, ens’inspirant des travaux de Bezout , introduit un type particulier deresolvantes en introduisant une racine de l’unite .

DefinitionSoit ω une racine primitive n-eme del’unite la resolvante de Lagrange estla resolvante absolue qui a pour racinela fonction rationnelle

t1 = x1 + ωx2 + ω2x3 + · · ·+ ωn−1xn

K(ω)(x1, . . . , xn)

K(x1, . . . , xn)

nnnnnnnnnnnn

K(ω)(σ1, . . . , σn)

K(σ1, . . . , σn)

nnnnnnnnnnnn


Resolvantes de Lagrange

ProprietesLa resolvante de Lagrange θt1 est de degre n! mais elle verifie

Pour s = (1, 2, . . . , n) on a sk · t1 = ωk t1 et donc les monomes dece polynome sont des puissances n-ieme. Avec un changementde variable T1 = tn

1 on se ramene a une equation de degre(n − 1)! (il faudra extraire une racine pour retrouver t1).Les racines xi se retrouvent a partir des racines de cetteresolvante

xi =1n

(t0 +n−1∑j=1

ω−ij tj) =1n

(t0 +n−1∑j=1

ω−ij√

Tjn)

ou

ti = x1 + ωix2 + ωi2x3 + · · ·+ ωi(n−1)xn (i = 0, . . . , n − 1)


Exemples : degre 3

Soit a resoudre l’equation (apres transformation de Tschirnhaus)

x3 + 3px + 2q = (x − x1)(x − x2)(x − x3)

ici (n − 1)! = 2, on peut appliquer les resolvantes de Lagrange, onnotera j une racine cubique de l’unite.

T1 = (13(x1 + jx2 + j2x3))

3, T2 = (1, 2) · T1 = (13(x2 + jx1 + j2x3))

3

et

(x − T1)(x − T2) = x2 + 2qx − p3 = (x + q + s)(x + q − s)

avec s =√

p3 + q2 et on obtient

xi = j i 3√

T1 + j i 3√

T2


Conclusions de Lagrange

Il uniformise les methodes de calcul pour les degres 2, 3 et 4. Pourcalculer les Ti issus de ses resolvantes, Lagrange montre, lorsque nest premier, qu’il faut resoudre des equations de degre (n − 2)!, ainsi ilest tres pessimiste quand a l’application general de son principe enutilisant les resolvantes.


Conclusions de Lagrange

⇒Resultat fondamental, un grand pas vers la theorie de Galois

Theoreme Fondamental de LagrangeSoit f et g deux fonctions de K(x1, . . . , xn) verifiant

StabSn(f ) ⊂ StabSn(g)

Alorsg ∈ K(σ1, . . . , σn, f )

En notant K = K(σ1, . . . , σn) et L = K(x1, . . . , xn), ceci se traduit par

K � � // K (g) � � // K (f ) � � // L

Sn StabSn(g)? _oo StabSn(f )? _oo 〈Id〉? _oo


Part II

Definition du Groupe de Galois


Transition entre Lagrange et Galois

Ruffini (1799) donne une premiere tentative de preuve sur la nonsolvabilite des equation de degre 5, la demonstration n’est pasadmise.Abel (1824) montre que les equations de degre 5 sont nonresolubles par radicaux.Galois (1831) developpe la theorie des groupes pour expliquer entoute generalite les conditions de solvabilite par radicaux.

Ici nous allons limiter l’etude aux principes de Lagrange et montrer, atravers la theorie de Galois, qu’il est impossible de resoudre uneequation de n en resolvant des equations de degres inferieurs .


Corps de decomposition

DefinitionSoit P un polynome de K[x ] . Nous cherchons a construire le pluspetit corps contenant les racines de P . Ce corps est appele corpsdes racines ou corps de decomposition de P.

ResolutionResoudre l’equation P(x) = 0revient a construire son corps dedecomposition et le principe deLagrange revient a trouver unpolynome g verifiant cetteconstruction :

K(α1, . . . , αn)

K(β1, . . . , βm)

<n

K

g de degre m<n

P


Resolvante de Galois et Groupe de Galois de P

Soit α = (α1, . . . , αn) les racines de P. Nous avons

K(α) ' K[α]

Proposition-DefinitionIl existe (k1, . . . , kn) un n-uplet d’entiers tel que la resolvante absolueselon le polynome V = k1x1 + · · ·+ knxn

θ(t) =∏

g∈OrbSn (V )

(t − g(α))

soit separable de cardinal n! .

⇒Cette resolvante n’est pas irreductible en general !⇒En appliquant le thm. fond. de Lagrange, V est un element primitifde K(α).


Resolvante de Galois et Groupe de Galois de P

Soit θ(t) =∏

g∈OrbSn (V ) (t − g(α)) une resolvante de Galois separable.

Theoreme fondamentalIl existe un sous-groupe G de Sn tel que

µV (t) =∏g∈G

(t − g · V (α))

soit irreductible a coefficients dans K . Ce groupe est caracterise par

W (α) ∈ K ⇔ ∀g ∈ G, g ·W (α) = W (α)

DefinitionLe groupe G est appele Groupe de Galois de P. Il ne depend pas duchoix de V .

⇒ Ces definitions dependent de l’ordre donne a αJNCF’08 – Guenael Renault - INRIA/LIP6 SALSA 25/83

Correspondance galoisienne

K(α)

L

K

〈Id〉

H

G

L’ensemble des elements de K(α) stable sous l’action d’unsous-groupe H de G forment un sous-corps K(α)H .A tout sous-corps L ⊂ K(α) correspond un unique sous-groupeH ⊂ G tel que L = K(α)H .


Definition de sous-corps et resolvantes relatives

DefinitionsSoient H ⊂ G deux sous-groupes de Sn. Un polynome deI ∈ K[x1, . . . , xn] est un H-invariant G-relatif si

StabG(I) = H

Un H-invariant G-relatif est dit α-separant si l’ensemble{(σ · IG

H )(α) : σ ∈ G} est de cardinal |G||H|

Soit I un H-invariant G-relatif. Le polynome

θI(t) =∏

γ∈OrbG(I)

(t − γ(α))

est une resolvante G-relative de α

⇒θI(t) est separable ssi I est α-separable.


Definition de sous-corps et resolvantes relatives

PropositionSoit L une extension intermediaire entre K(α) et K correspondant a unsous-groupe H de G = Gal(K(α)/K) et soit I un H-invariant G-relatifsuppose α-separable . La resolvante relative

θI(t) =∏

γ∈OrbG(I)

(t − γ(α))

est un polynome definissant L sur K . En particulier, le degre [L : K]

est donne par le degre |G||H| de cette resolvante.

⇒Les equations qui pourraient nous permettre de resoudre P(x) = 0sont donc des resolvantes G-relatives


Groupe distingues et sous-corps de decomposition

ProblemeComment identifier les sous-corps de K(α) qui sont eux-memes descorps de decomposition ?

K(!)

K(!1, . . . ,!m)

K(!1) K(!2) K(!m)· · ·

K

W (!) = "1

!

!!G//H1

(x! ! · W ("))

G//H1 = {!1 = Id, !2, . . . , !m}

!i = "i · W (#)

Hi = Gal(K(!)/K("i)) = #iH1#!1i




K(!)

K(!1, . . . ,!m)

K(!2) K(!m)· · ·

K

· · ·

!Id"

K(!1) !1H1!!11 !2H1!

!12 !mH1!

!1m

!(!iH1!

!1i )

G




DefinitionUn sous-groupe H de G est dit distingue si H est stable parconjugaison de G

H = gHg−1, ∀g ∈ G

Le groupe G est dit simple s’il ne possede aucun sous-groupepropre distingue.

PropositionUn sous-corps L de K(α) est un corps de decomposition d’unpolynome ssi Gal(K(α)/L) est distingue dans Gal(K(α)/K) .


Application, principe de Lagrange mis en defaut

PropositionSi G est simple alors l’equationP(x) = 0 ne pourra pas etreresolue en utilisant une equationde degre plus petit que n. Plusprecisement, cette equationauxiliaire sera de degre un facteurde |G|.

K(α)

G

H distingue

K(β1, . . . , βk )

K(β1)

K

k<n


Application, principe de Lagrange mis en defaut

PropositionL’equation generale de degre n apour groupe de Galois sur le corpsK = Q(σ1, . . . , σn) le groupe Sn.Pour n > 4 ce groupe ne possedequ’ un seul sous-groupe propredistingue , le groupe alterne An quiest simple .

ConclusionLe principe de Lagrange ne peutplus s’appliquer au dela du degre4.

K(x1, . . . , xn)

Sn

An distingue

K(β1) = K(β1, β2)

n!2

K

k=2

∆ =∏i<j

(xi − xj)

βi = ±√

∆


Application, principe de Lagrange en degre 4

S4

distingue

3 D4 I

distingue

2H

2 〈Id〉

D4 =〈(1, 2), (3, 4), (1, 3)(2, 4)〉|S4|/|D4| = 3I = ∩s∈SnsHs−1 =〈(1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4)〉

H = 〈(1, 2)(3, 4)〉|H| = 2H n’est pas transitif.


Part III

Calcul du Groupe de Galois


Calculer le groupe de Galois

Soit P un polynome irreductible de degre n a coefficients dans Q1 une representation dans Sn du groupe de Galois de f ;2 une representation dans Sn de l’action du groupe de Galois de f

sur des approximations des racines de f ;3 une representation dans Sn de l’action du groupe de Galois de f

sur des representations formelles des racines de f .


Methode brutale de Jordan

⇒Premiere methode apres la definition de Galois a ma connaissance.Soit G = Gal(Q(α)/Q) et H un sous-groupe transitif de Sn. Si Ψ est unH-invariant Sn-relatif.

H ⊃ G ⇒ Ψ est un G − invariant

et la resolvante absolue de Ψ possede une racine rationnelle .


Theoreme fondamental

HypothesesSoit U ⊂ Sn tel que U ⊃ G = Gal(Q(α)/Q) et G ⊃ H.

G × U/H −→ K(g, uH) 7−→ guH

Une (G,H)-classe double est de la forme GuH , ces classes formesune partition de U.

R(x) =∏

τ∈U//H

(x − τ · F (α)) =k∏

i=1

gaii (x)



HypothesesSoit U ⊂ Sn tel que U ⊃ G = Gal(Q(α)/Q) et G ⊃ H.

R(x) =∏

τ∈U//H

(x − τ · F (α)) =k∏

i=1

gaii (x)

TheoremeL’application

G\U/H −→ IR = {ga11 , . . . , gak

k }GuH 7−→ gu(x) =

∏τ∈U//H tq τH⊂GuH(x − (τ · F )(α))

est bijective. En particulier le degre de gu est donne par

Deg(gu) =|GuH||H|

=|G|

|G ∩ (uHu−1)|JNCF’08 – Guenael Renault - INRIA/LIP6 SALSA 37/83


TheoremeL’application

G\U/H −→ IR = {ga11 , . . . , gak

k }GuH 7−→ gu(x) =

∏τ∈U//H tq τH⊂GuH(x − (τ · F )(α))

est bijective. En particulier le degre de gu est donne par

Deg(gu) =|GuH||H|

=|G|

|G ∩ (uHu−1)|

Corollaires1 Si R est separable, le groupe de Galois des gi peut etre identifie a

partir de l’action de G sur les U/H.2 Si R possede un facteur lineaire simple correspondant a la classe

double GuH alors uHu−1 contient G.


Application Corollaire 1 : Tables de partitions

On considere U = Sn, les resolvantes sont absolues.

⇒Le groupe de Galois est toujours dans Sn⇒Les resolvantes peuvent etre calculees generiquement⇒On etablit au prealable une table de correspondance : table departitions⇒Girstmair, McKay, Soicher, Caperson ... (∼ 80)

Thm Arnaudies-Valibouze 96On peut toujours identifier une classe de conjugaison du groupe deGalois de P a partir d’une table de partitions.

⇒Methode deterministe basee sur le calcul de tables(Arnaudies-Valibouze en donnent jusqu’au degre 11)



Soit P un polynome irreductible de degre 7 et la resolvante absolue dedegre 35 generiquement separable

R(x) =∏

16i<i<k67

(x − (αi + αj + αk ))

En notant d la suite des degres des facteurs irreductibles de R, unconjugue du groupe de Galois de P est obtenu par

A7 ou S7 ssi d = (1)

PSL(2, 7) ssi d = (7, 28)

F42 ssi d = (14, 21)

F21 ssi d = (7, 7, 21)

D7 ssi d = (14, 7, 7, 7)

C7 ssi d = (7, 7, 7, 7, 7)

Par exemple, si

P(x) = x7 − 154x + 99

alors

R = (x7 − 231x3 − 462x2 + 77x + 66)

×(irr. de degre 28)

et Gal(P) = PSL(2, 7)



Si P est le trinome x7 + ax + b alors la resolvante R est donnee par

R(X ) = X 35 + 40aX 29 + 302bX 28 − 1614a2X 23 + 2706abX 22

+3828b2X 21 − 5072a3X 17 + 2778a2bX 16 − 18084ab2X 15

+36250b3X 14 − 5147a4X 11 − 1354a3bX 10 − 21192a2b2X 9

−26326ab3X 8 − 7309b4X 7 − 1728a5X 5 − 1728a4bX 4

+720a3b2X 3 + 928a2b3X 2 − 64ab4X − 128b5

Probleme ouvert : conjecture de KolleConjecture : Le polynome d’Eisenstein generique xp + ax + a (ppremier et vp(a) = 1) a pour groupe de Galois Sp.⇒Dans le cas du degre 5, Gauckler (08), en etudiant une resolvanteabsolue demontre le resultat. Pour le degre 7 il faudrait montrer que Rest irreductible des que vp(a) = 1.


Application Corollaire 2 : Algorithme de Stauduhar

⇒L’action du groupe de Galois doit etre preservee tout au long ducalcul

Algorithme de StauduharInput : f ∈ Q[X ] irreductible de degre n, Ψ une fonction qui teste si unpolynome evalue en les α est rationnelle.Output Gal(f ) correspondant a l’ordre de α donne par Ψ.

1 U = Sn

2 T = { sous-groupes transitifs max. de U} (a conjugaison pres)3 Si T est vide renvoyer U4 Soit T un element de T . Calculer F un T -invariant U-relatif.5 Calculer S = {σ ∈ U//T tq Ψ(σ · F ) est rationnel}6 Si S est vide, exclure T de T continuer a l’etape 37 S’il existe σ1 ∈ S tq ∀σ2 ∈ S on a Ψ(σ1 · F ) 6= Ψ(σ2 · F ), remplacer

U par σ1Tσ−11 et continuer a l’etape 2. Sinon retourner a l’etape 5

en changeant F .JNCF’08 – Guenael Renault - INRIA/LIP6 SALSA 42/83

Invariants separants

H-Invariant U-relatifEn calculant des composantes homogenes des anneaux d’invariantsde U et H on pourra toujours calculer des H-invariants U-relatifshomogenes de degre minimal.⇒On peut toujours les stocker⇒Fieker, Kluners (07), evaluation rapide (?????)

Invariant separable

Etant donne I un H-invariant U-relatif, le polynome

I(t(x1), . . . , t(xn)),

ou t est de degre |U|/|H| − 1, est un H-invariant U-relatif appeletransformation de Tschirnhaus de I.⇒Girstmair (83) : nombre fini de transformations pour etre separable.⇒Colin (96) : borne generale sur ce nombre de transformations.JNCF’08 – Guenael Renault - INRIA/LIP6 SALSA 43/83


Soit x5 − x4 − 4x3 + 3x2 + 3x − 1 irreductible de degre 5

S5

A5

F20

D5

C5




Le polynome∏

16i<j6n(xi − xj) est un A5-invariant absolu

S5

A5

F20

D5

C5

∆(f ) = 1212




IS5D5

= x5x4 + x5x1 + x4x2 + x3x2 + x3x1 .

S5

A5

F20

D5

C5

(x + 2)2(x5 + 10x4 + 7x3 − 118x2 − 74x + 131)(x5 + 10x4 + 7x3 −118x2 − 74x + 373)2




IS5D5

= IS5D5

(x31 − 2, . . . , x3

5 − 2)

S5

A5

F20

D5

C5

(x − 5)(x + 28)(x5 + 41x4 − 575x3 − 18377x2 + 62668x +1802503)(x5 + 74x4 + 943x3 − 29762x2 − 600698x − 2672869).




ID5C5

= x25 x4 + x5x2

1 + x24 x2 + x2

3 x1 + x3x22

S5

A5

F20

D5

C5

(x − 4)2




ID5C5

= ID5C5

(x31 − 3, . . . , x3

5 − 3)

S5

A5

F20

D5

C5

(x + 176)(x + 209)




Gal(P) = C5

S5

A5

F20

D5

C5



⇒L’action du groupe de Galois doit etre preservee tout au long ducalcul

Stauduhar (73) : appr. numerique des racinesDarmon et Ford (89) : appr. p-adiques pour un test en degre 7Eichenlaub (96) : implantation PARI numeriqueYokoyama (97) : implantation RISA/ASIR p-adique (extensions deQp)Geissler, Kluners (00) : implantation KANT p-adique efficaceFieker, Kluners (07) : implantation MAGMA p-adique TRESefficace


Methode de Colin

PrincipesUne version generique de l’algorithme de Stauduhar . Lesresolvantes relatives sont calculees a coefficients dans des anneauxd’invariants .

⇒Permet de calculer le groupe de Galois de P a conjugaison pres⇒On obtient un algorithme generique pour un degre donne


Part IV

Calcul du corps de decomposition


Ideal des relations

!""""""#

""""""$

f1(x1) = f(x1)f2(x1, x2)f3(x1, x2, x3)f4(x1, x2, x4)f5(x1, x2, x5)

Q(!1,!2,!3,!4,!5)

Q(!1,!2,!3,!4)

Q

Q(!1)

...

G = StabS5(I)

G = Gal(Q(!)/Q)


Algorithme classique

Kronecker-TchebotarevInput : f ∈ Z[X ] unitaire et irreductible de degre n.Output : Un ensemble triangulaire definissant le corps dedecomposition.

1 Soit i = 1, µi(xi) un facteur irreductible de f (xi) sur K etKi = K[xi ]/〈µi〉.

2 i = i + 13 Factoriser f

µ1···µi−1sur Ki−1

4 Soit µi un des facteurs irreductibles que nous venons de calculer,il peut etre vu comme un polynome de Q[x1, . . . , xi ]

5 Si i < n on definit Ki = Ki−1[xi ]/〈µi〉 et continue a l’etape 26 Renvoyer {µ1, . . . , µn}.


Utilisation d’information sur le groupe de Galois

1 En connaissance du nom du groupe2 En connaissance d’une approximation de l’action du groupe sur

les racines

!""""""#

""""""$


G = StabS5(I)

G = Gal(Q(!)/Q)


Part V

En connaissance du nom du groupe


Geometrie au service de Galois [R. 06]

Theoreme de Galois : Soit f un polynome de groupe de Galoisdiedral. Toutes les racines de f peuvent etre definies a partir de deuxd’entre elles (non colineaires).

Question : Donner un procede algorithmique utilisant lesconnaissances sur les symetries pour repondre a ce theoreme.

D7


Geometrie au service de Galois [R. 06]

Theoreme de Galois : Soit f un polynome de groupe de Galoisdiedral. Toutes les racines de f peuvent etre definies a partir de deuxd’entre elles (non colineaires).

Question : Donner un procede algorithmique utilisant lesconnaissances sur les symetries pour repondre a ce theoreme.

f1 = f (x1)f2 = x2

2 + b2(x1)x2 + c2(x1)f3 = x3 + b3(x2, x1)f4 = x4 + b4(x2, x1)

...

Degre de l’ideal est |Dn| = 2n.


Exemple D5

Deg(f ) = 5 and Gf = D5

[Spearman, Williams 99]:Input: La factorisation de f sur Q(α1) (corps de rupture).Output: relations rationnelles.

IciInput: Un facteur quadratique de f sur Q(α1) (corps de rupture).Output: relations polynomiales.


Exemple D5

Input:Polynome f .La factorisation de f sur K(α1).

Factorisation de f sur K(!1)

x! !1

!x2 + b2(!1)x + c2(!1)

!x2 + b3(!1)x + c3(!1)


Exemple D5

On ajoute des contraintes algebriques au fur et a mesure desdefinitions des racines de f .

!""""""#

""""""$


!1

!2 !3

f2(x2, x1) = x22 + b2(x1)x2 + c2(x1) et f3(x3, x2, x1) = x3 + x2 + b2(x1).


Exemple D5

On ajoute des contraintes algebriques au fur et a mesure desdefinitions des racines de f .

!""""""#

""""""$


!1

!2 !3

!4 !5

f3(x3, x2, x1) = x3 + x2 + b2(x1)f4(x4, x2, x1) = (1 2)(3 4) · f3(x3, x2, x1) = x4 + x1 + b2(x2)f5(x5, x4, x3, x2, x1) = x5 + x4 + x3 + x2 + x1 + cf


Exemple D5

Le choix du facteur quadratique (definition de α2) n’est pas, a priori,arbitraire.

D5 := 〈(1 2 4 5 3); (2 3)(4 5)〉

!1

!2 !3

!4 !5

D5 = (2 5)(3 4)D5(2 5)(3 4)


Exemple D5, conclusion

ResultatSoit f une quintique de groupe de Galois diedral. L’ideal des relationsI peut etre deduit d’un facteur quadratique de f sur Q(α1).


Principe de l’algorithme dans le cas n > 5

Input:Polynome fLa factorisation de f sur son corps de rupture K(α1)

Factorization of f over K(α1)

x! !1

!x2 + b2(!1)x + c2(!1)

!x2 + b3(!1)x + c3(!1)

x2 + b4(!1)x + c4(!1)!

x2 + b5(!1)x + c5(!1)!

⇒ Dans ce cas nous devons ordonner les facteurs quadratiques !


Ordre des facteurs quadratiques

Soit g2, g3, . . . , gm les facteurs quadratiques de f sur Q(α1).

gi = x2i + bi(x1)xi + ci(x1)

PropositionLes i premiers facteurs quadratiques sont bien ordonnes ssi

!

""""""""""""""#

f(x1)g2(x1, x2)x3 + x2 + b2(x1)g3(x1, x4)x5 + x4 + b3(x1)...gi(x1, x2i!3)x2i!2 + x2i!3 + bi(x1)

!

""""""""""""""#

f(x1)g2(x1, x2)x3 + x2 + b2(x1)x4 + x3 + b2(x2)x5 + x4 + b3(x1)...x2i!3 + x2i!4 + bi!1(x2)x2i!2 + x2i!3 + bi(x1)

!


Ordre des facteurs quadratiques

CorollaireSupposons que les i − 1 premiers facteurs quadratiques de f soientbien ordonnes. Alors gi est bien bien ordonne ssi

!

""""""""""""""#

f(x1)g2(x1, x2)x3 + x2 + b2(x1)x4 + x3 + b2(x2)x5 + x4 + b3(x1)...x2i!3 + x2i!4 + bi!1(x2)x2i!2 + x2i!3 + bi(x1)

!gi(x1, x2i!3)

⇒ Numeroter les facteurs quadratiques = calculer des formesnormales


Algorithme

Input

Un polynome diedral f de degre n > 5;L’ensemble F des facteurs quadratiques de f sur Q(α1).

Output

Base de Grobner triangulaire T de l’ideal des relations de f .

First Retirer de F un sous-ensemble bien ordonne E = {g1, g2}.While F n’est pas vide

+ Retirer gi ∈ F t.q. E = E ∪ {gi} est bien ordonne.Final A partir de E l’ensemble bien ordonne des facteurs quadratiques,

construire l’ensemble T par symetries.


Analyse

⇒ Les seuls calculs necessaires sont les formes normales modulo unideal de degre 2n.

ResultatA partir de la factorisation de f sur Q(α1) notre algorithme calcule auplus

12(3m2 − 7m + 6)

formes normales ou m := bn−12 c.

⇒ Cet algorithme peut etre utilise pour tester si un polynome donneest bien diedral.


Exemple

Le polynome de Brumer est generique pour D5 (tout polynome acoefficents sur un extension algebrique de Q de groupe de Galois D5est une instance de celui-ci)

x5 + (t − 3)x4 + (s − t + 3)x3 + (t2 − t − 2s − 1)x2 + sx + t .

Apres calcul du facteur quadratique, son ideal des relations generiqueest donne sans calcul :

x51 + (t − 3)x4

1 + (s − t + 3)x31 + (−2s + t2 − t − 1)x2

1 + sx1 + t

x22 −

1

tx2x4

1 +t + 2

tx2x3

1 +−s − 1

tx2x2

1 +s − t2 + 2t

tx2x1

−x2 − x1 + 1

x3 + x2 −1

tx4

1 +−t + 2

tx3

1 +−s − 1

tx2

1 +s − t2 + 2t

tx1 − 1

x4 −1

tx4

2 +−t + 2

tx3

2 +−s − 1

tx2

2 +s − t2 + 2t

tx2 + x1 − 1

x5 + x4 +1

tx4

1 +t − 2

tx3

1 +s + 1

tx2

1 +−s + t2 − t

tx1 + t − 2


Part VI

En connaissance de l’action comment retrouver laforme de l’ideal des relations


Structure de l’ensemble triangulaire T

Connaıtre l’action du groupe de Galois sur les racine revient aconnaıtre le stabilisateur de l’ideal des relation.

Que deduit on sur l’ensemble triangulaire T generant cet ideal ?

Informations partielles : [Orange, R., Valibouze 01]Information totale : [R., Yokoyama 06, 08]


The generic shape of gi ’s and T

From the knowledge of Gf we obtain:

Q(α1, . . . , αn)

Q(α1, . . . , αi)

StabGf[1,...,i]

Q(α1, . . . , αi−1)

gi=xdii +ri (x1,...,xi )

StabGf[1,...,i−1]

Q(α1)

Q

g1=f (x1)


The generic shape of gi ’s and T

From the knowledge of Gf we obtain:

di = |StabGf([1, . . . , i − 1])|/|StabGf

([1, . . . , i])| .

⇓

gi = xdii +

∑06kj<dj

cxk11 xk2

2 · · · xkii

With this generic shape, there are d1d2 · · ·di indeterminate coefficientsto compute for identifying gi ([Yokoyama 97], [Lederer 05]).

T contains n polynomials with ' |Gf | indeterminate coefficients


The principle of the computation scheme

⇒[R., Yokoyama ANTS’06] [R. ISSAC’06]

DefinitionBe given a permutation group G, a computation scheme consists of apre-computed data that guides the computation of the splitting field ofa polynomial with Galois group G.

reducing the number of indeterminates to computereducing the number of polynomials to compute

⇒c(G) will denote the number of coefficients to compute in T


Sparse shape of gi

i-relationE = {e1 < . . . < es < i} ⊂ {1, . . . , i}

∃ri ∈ Q[xe1 , . . . , xes , xi ] : αdii + ri(α) = 0 and degxi

(ri) < di

Q(α1, . . . ,αi−1,αi)

Q(α1, . . . ,αi!1)

Q(αe1, . . . ,αes)

Q

Q(αe1, . . . ,αes,αi)di

di

d1 · · ·di!1gi = xdi

i + ri(xe1 , . . . , xes , xi)

D(E) indeterminate coe!cients

D(E)

E = {e1, . . . ,es, i}! {1, . . . , i}di = |StabGf ([E \ {i}])|/|StabGf ([E])|

i-relations with minimal D(E) ⇒ minimal number of coefficients for gi .JNCF’08 – Guenael Renault - INRIA/LIP6 SALSA 70/83

Avoiding some computations

TechniquesFrom a polynomial g ∈ T already computed it is possible to deduce anew one by using the knowledge of Gf :

By action of Gf over g (Transporter technique)By divided differences of g (generalized Cauchy moduls)


Avoiding some computations : (i , j)-transporters

Ei = {e1 < e2 < · · · < es = i} is an i-relation and j ∈ {i + 1, . . . , n}.

Definitionσ ∈ Gf is a (i , j)-transporter if di = dj and

σ(i) = j with j = max({σ(e) : e ∈ Ei})

di = d j = d

σ

!""""""""""""#

""""""""""""$

g1 = xd11 + . . .

...gi(XEi) = xd

i + r(XEi)...gj = xd

j + . . . = !.gi

...JNCF’08 – Guenael Renault - INRIA/LIP6 SALSA 72/83

Avoiding some computations : Cauchy moduls

Let O = {i1 = i < i2 < · · · < idi} be the orbit of i under the action ofStabGf

([1, . . . , i − 1]).

DefinitionThe generalized Cauchy moduls of gi are

c1(gi)(. . . , xi1) = gi

c2(gi)(. . . , xi2) =c1(gi)(xi2)− c1(gi)(xi1)

(xi2 − xi1)

...

cdi (gi)(. . . , xidi) =

cdi−1(gi)(xidi)− cdi−1(gi)(xidi

−1)

(xidi− xidi−1)

cj(gi) ∈ Q[x1, . . . , xij ] ∩ I monic in xij and degij (cj(gi)) = di − j + 1.cj(gi)(α, xij ) is a univariate polynomial which vanishes on αij .


Avoiding some computations : Cauchy moduls

cj(gi) ∈ Q[x1, . . . , xij ] ∩ I monic in xij and degij (cj(gi)) = di − j + 1.cj(gi)(α, xij ) is a univariate polynomial which vanishes on αij .

!""""""""""""#

""""""""""""$

g1 = xd11 + . . .

...gi = xdi

i + . . .

...

gj = xdj

j + . . .

...

i, j ! O

gj is a divideddi!erence of gi.


Computation Scheme, Conclusion

ConclusionGiven Gf we can obtain a sparse shape for each polynomial gi or atechnique to obtain it without computation:1: Compute di .2: Search for generalized Cauchy moduls.3: Search for a transporter.4: If necessary, compute an i-relation Ei with minimal D(Ei).

We denote by c(Gf ) =∑

D(Ei) the total number of indeterminatecoefficients of polynomials in T we have to compute.

The integer c(Gf ) is not an invariant for a conjugacy class.A representative with minimal c-size can be pre-computed andstored with its attached computation scheme.


Computation Scheme, example

Example : G2 ' 8T44 ' [24]S4, |G2| = 384, imprimitive

G2 = 〈(2, 1), (8, 6, 4, 1)(7, 5, 3, 2), (8, 1)(7, 2)〉

E2 = {2,1}

D(E2)

Cauchyc(G2) = 8

Transporters!"""""""""""""#

"""""""""""""$

g1 = x81 + . . .

g2 = x12 + . . .

g3 = x63 + . . .

g4 = x14 + . . .

g5 = x45 + . . .

g6 = x16 + . . .

g7 = x27 + . . .

g8 = x18 + . . .


Computation Scheme, example

Example : G2 ' 8T44 ' [24]S4, |G2| = 384, imprimitive

G2 = 〈(2, 1), (8, 6, 4, 1)(7, 5, 3, 2), (8, 1)(7, 2)〉

Generic

!"""""""""""""#

"""""""""""""$

g1 = x81 + . . .

g2 = x12 + . . .

g3 = x63 + . . .

g4 = x14 + . . .

g5 = x45 + . . .

g6 = x16 + . . .

g7 = x27 + . . .

g8 = x18 + . . .

88

8x68x6

8x6x48x6x4

8x6x4x28x6x4x2

1264 coefficientsto compute


Part VII

Calcul de T par approximation p-adiques


Approximations p-adiques

f ∈ K[x ]

p premierf mod p separable

M(p) M mod p!

Gp ! G =!

!!G//Gp

!Gp!"1

Hensel Lift

M(p!) ! Q!QM " Zp[x1, . . . , xn]

⇒Galois : [Kluners 96], [Geissler, Kluners 96], [Yokoyama, R. 06]⇒Ideaux triangulaires : Schost, Moreno Maza etcJNCF’08 – Guenael Renault - INRIA/LIP6 SALSA 79/83

Computation of a candidate: inputs

⇒From the knowledge of Gf we know a computation scheme, thus asubset

S := {gi1 , . . . , gik} ⊂ T

of polynomials to compute and techniques for obtaining the others.

⇒To g in S corresponds an i-relation E = {e1 < e2 < · · · < es = i}:

g = xdii + r(xe1 , xe2 , . . . , xi)

D(E) indeterminate coefficients to compute


Computation of a candidate: interpolation

From the action of Gf over α mod pk ([Yokoyama 97], [Geissler,Kluners 00]) we can reconstruct g mod pk by interpolation.

[ R., Yokoyama ANTS’06]:

g(β) = 0 mod pk ,∀β ∈ Gf · α ⇒ D(E) linear equations

!

""#

$

%%&

D(E) = de1de2 · · · di

D(E)2


Computation of a candidate: interpolation

From the action of Gf over α mod pk ([Yokoyama 97], [Geissler,Kluners 00]) we can reconstruct g mod pk by interpolation.

[ R., Yokoyama ISSAC’08]:

We can directly apply [Dahan, Schost 04] on sub-triangular set,and the formula can be established by Galois theory

g =∑

σ∈Gf // StabGf(Ei\{i})

∏j∈Ei\{i}

∏β∈B(σ,j,Ei )

xj − β

ασ(j) − β

∏β∈B(σ,i,Ei )

xi − β

ασ(i) − β


Correctness test

⇒After rational reconstruction, how to check the result ?

Theoretical Bounds: ([Lederer 05] for a generic shape of ideal T ).

d(Ei)

(d1 − 1

k1

)νd1−1−k1 · · ·

(ds

ks

)νds−ksB.

where ν and B are bounds computed from numerical app. roots of f

Normal Form Computation: Let hi be the rational reconstruction of gimod pk . Assume that g1, . . . , gi−1 are already computed.

Theorem. We have the following equivalence

hi = gi ⇔ NF{g1,...,gi−1,hi}(CauchyModi(f )) = 0 .


Comparisons

Complexity:Interpolation based on lin. algebra c(G)ω → Lagrange formulae c(G)2.

Experiments: Magma 2.14-13 (1.5GHz Intel Pentium 4, GNU/Linux),k = 10, f splits completely modulo p. All timings in seconds.

group gen. c(G) Lagrange NF Total Magma Lederer

7T6 3611 1260 47.5 3.04 52.5 > 1508.38T32 624 96 + 96 0.55 0.14 0.72 33.5 12.58T42 1008 24 + 24 0.05 0.02 0.1 17.9 20.088T47 1008 24 0.03 0.0 0.5 422.3 238.39T25 828 27 + 324 3.41 0.33 3.77 106.1 67.99T27 3096 504 7.98 105.49 116.3 > 397.39T31 2178 18 0.01 0.03 0.5 > 403.39T32 9648 1512 + 1512 142.17 752.4 905.4 >> 1967.1

(>,>>): we wait at least (600, 2000) seconds


introduction à la théorie de galois effective - journées nationales

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