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La notation LambdaLe probleme de la quantification
Interpretation via la construction de formules
Introduction a la semantique formelle
Alain LecomteMaster de Sciences du Langage, Paris 8 - ENS
Cours n◦4
Alain Lecomte Master de Sciences du Langage, Paris 8 - ENS Cours n◦4Introduction a la semantique formelle
La notation LambdaLe probleme de la quantification
Interpretation via la construction de formules
Sommaire
1 La notation LambdaFonctions d’ensemblesAbstraire
2 Le probleme de la quantificationLes SN comme ensembles d’ensemblesNecessite de ”typer”Le cas des expressions quantifiees en position d’objet
3 Interpretation via la construction de formules
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La notation LambdaLe probleme de la quantification
Interpretation via la construction de formules
Fonctions d’ensemblesAbstraire
Fonctions a plusieurs variables
Soit f une fonction de n variables x1, x2, ...., xn
f (x1, x2, ...., xn) designe l’image par f du n-uplet x1, x2, ....,xn c’est un element de l’ensemble d’arrivee de fune procedure pour calculer une telle image : dire dansquel ordre on donne des valeurs aux variables
ex: λzλyλx .f (x , y , z)[λzλyλx .f (x , y , z)](a)→ λyλx .f (x , y ,a)[λyλx .f (x , y ,a)](b)→ λx .f (x ,b,a)[λx .f (x ,b,a)](c)→ f (c,b,a)
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La notation LambdaLe probleme de la quantification
Interpretation via la construction de formules
Fonctions d’ensemblesAbstraire
Fonctions d’ensembles
Une fonction d’ensembles a une variable X (variabled’ensemble) est une fonction qui associe une valeur a toutensemble assigne comme valeur a X
Example
Soit un Univers U = {a,b, c,d ,e, f ,g}Soit f la fonction qui a toute partie de U associe sonintersection avec l’ensemble {d ,e, f ,g}
f (X ) = X ∩ {d ,e, f ,g}
ex: f ({b, c,d ,g}) = {d ,g}
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Interpretation via la construction de formules
Fonctions d’ensemblesAbstraire
Fonctions d’ensembles - suite
Example
Les operateurs ensemblistes permettent de definir desfonctions d’ensembles a deux variables
inter(X ,Y ) = X ∩ Y
union(X ,Y ) = X ∪ Y
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La notation LambdaLe probleme de la quantification
Interpretation via la construction de formules
Fonctions d’ensemblesAbstraire
Abstraire
ExampleQuelle fonction d’une variable x permet d’obtenir 3× 12 + 5quand on donne a x la valeur 12?
Rep: la fonction λx .(3× x + 5), car[λx .(3× x + 5)](12) = 3× 12 + 5
ceci est une (λ) abstraction
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La notation LambdaLe probleme de la quantification
Interpretation via la construction de formules
Fonctions d’ensemblesAbstraire
Abstraire-2
ExampleQuelle fonction d’une variable X permet d’obtenir{= 1 si p ∈ {a,b,p,q}; = 0 sinon} quand on donne a X pourvaleur l’ensemble {a, b, p, q}?
Rep: la fonction λX .{= 1 si p ∈ X ; = 0 sinon}, car[{= 1 si p ∈ X ; = 0 sinon}]({a,b,p,q}) = {= 1 si p ∈{a,b,p,q}; = 0 sinon}
ici, X est une variabled’ensemble
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Interpretation via la construction de formules
Fonctions d’ensemblesAbstraire
Abstraire-3
La fonction λX .{= 1 si p ∈ X ; = 0 sinon} est la fonctionindicatrice de l’ensemble des ensembles qui contiennent p!
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Interpretation via la construction de formules
Fonctions d’ensemblesAbstraire
Remarque fondamentale
Etant donne la correspondance bijective entre ensembles etfonctions indicatrices, on conviendra aussi que l’expressionλX .{= 1 si p ∈ X ; = 0 sinon} denote l’ensemble desensembles qui contiennent pOn admettra:
λX .Φ peut se lire aussi bien :comme la fonction qui a toute valeur de X associe la valeurcorrespondante de Φque comme l’ensemble des X qui verifient Φ (rendent vraieΦ)
Example
λX .{= 1 si p ∈ X ; = 0 sinon} ≈ {X ; p ∈ X}
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La notation LambdaLe probleme de la quantification
Interpretation via la construction de formules
Les SN comme ensembles d’ensemblesNecessite de ”typer”Le cas des expressions quantifiees en position d’objet
La phrase ”un enfant dort”
Pierre dort : Pierre est un individu identifiecondition de verite:
[[Pierre]]M ∈ [[dort ]]M
personne (ne) dort : personne = aucun individu identifievrai si et seulement si l’ensemble associe a dort est vide:
[[dort ]]M = ∅
un enfant dort : un enfant = individu non identifievrai si et seulement si l’ensemble associe a dort possedeau moins un element commun avec l’ensemble associe aenfant
[[dort ]]M ∩ [[enfant ]]M 6= ∅
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Interpretation via la construction de formules
Les SN comme ensembles d’ensemblesNecessite de ”typer”Le cas des expressions quantifiees en position d’objet
La phrase ”un enfant dort”
Recapitulons:Pierre dort :La ”signification” vient de:
la signification de la phrase (S) est le resultat del’application de la fonction associee a dort a l’entiteassociee a Pierrecela donne: 1dort(pierre) ou pierre est l’individu identifie parle nom propre Pierreautrement dit, 1 si pierre ∈ {x ∈ D : dort(x)}, 0 sinond’ou la condition de verite:
[[Pierre]]M ∈ [[dort ]]M
mais comment faire pour un enfant dort?
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Les SN comme ensembles d’ensemblesNecessite de ”typer”Le cas des expressions quantifiees en position d’objet
La phrase ”un enfant dort”
En realite, dans ce cas, la phrase est vraie si et seulementsi l’ensemble associe a dort est tel que son intersectionavec l’ensemble associe a enfant est non videcondition de verite:
[[enfant ]]M ∩ [[dort ]]M 6= ∅
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Interpretation via la construction de formules
Les SN comme ensembles d’ensemblesNecessite de ”typer”Le cas des expressions quantifiees en position d’objet
suite
S= 1 ssi [[enfant ]] ∩ [[dort ]] 6= ∅
����
HHHH
SN[[un enfant ]]
�� HH
Det
un
N
enfant
SV[[dort ]]
Vi
dort
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Interpretation via la construction de formules
Les SN comme ensembles d’ensemblesNecessite de ”typer”Le cas des expressions quantifiees en position d’objet
suite
S= 1 ssi [[enfant ]] ∩ [[dort ]] 6= ∅
����
���
HHHH
HHH
SNλX .{= 1 si [[enfant ]] ∩ X 6= ∅ = 0 sinon}
�� HH
Det
un
N
enfant
SV[[dort ]]
Vi
dort
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Interpretation via la construction de formules
Les SN comme ensembles d’ensemblesNecessite de ”typer”Le cas des expressions quantifiees en position d’objet
suite
donc [[un enfant]]M est une fonction qui, selon l’ensembleassocie au verbe intransitif (ou au syntagme verbal),donne 1 ou 0donc c’est une fonction qui prend pour objet (argument)non pas un individu, mais un ensemble
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Interpretation via la construction de formules
Les SN comme ensembles d’ensemblesNecessite de ”typer”Le cas des expressions quantifiees en position d’objet
La phrase ”un enfant dort”
Resume:
[[un enfant ]]M = λE .{1 si [[enfant ]]M ∩ E 6= ∅; 0 sinon}
[[un]]M = λF .λE .{1 si F ∩ E 6= ∅; 0 sinon}
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Interpretation via la construction de formules
Les SN comme ensembles d’ensemblesNecessite de ”typer”Le cas des expressions quantifiees en position d’objet
Reformulation
Dans cette approche:nous associons aux expressions linguistiques directementleur denotationselon:phrase 0 ou 1nom propre c ∈ Dnom commun E ⊂ Dverbe intransitif E ⊂ Dverbe transitif R ⊂ D × DSN (un N) P ⊂ ℘(D), {E ; E ∩ [[N]] 6= ∅}SN (tout N) P ⊂ ℘(D), {E ; [[N]] ⊂ E}SN (aucun N) P ⊂ ℘(D), {E ; E ∩ [[N]] = ∅}
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Les SN comme ensembles d’ensemblesNecessite de ”typer”Le cas des expressions quantifiees en position d’objet
Reformulation - 2
soit [[X ]]c la fonction indicatrice de [[X ]]
[[SN(Det ,N)]]M = [[Det ]]c([[N]]M)
[[SN(NP)]]M = [[NP]]M
[[SV (Vi)]]M = [[Vi ]]M
[[SV (Vt ,SN)]]M = ?
[[S(SN,SV )]]M =
si SN = NP : [[SV ]]c([[SN]]M)si SN = Det N : [[SN]]c([[SV ]]M)
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Les SN comme ensembles d’ensemblesNecessite de ”typer”Le cas des expressions quantifiees en position d’objet
Reformulation - 3
Variante, si on veut un traitement uniforme du SN[[SN(Det ,N)]]M = [[Det ]]c([[N]]M)
[[SN(NP)]]M = {E ⊂ D; [[NP]]M ∈ E}[[SV (Vi)]]M = [[Vi ]]
M
[[S(SN,SV )]]M = [[SN]]c([[SV ]]M)
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Interpretation via la construction de formules
Les SN comme ensembles d’ensemblesNecessite de ”typer”Le cas des expressions quantifiees en position d’objet
Exercice
Example
Verifier qu’avec cette nouvelle formulation, on a bien encore:
[[Pierre dort ]]M = 1 ssi [[Pierre]]M ∈ [[dort ]]M
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La phrase ”un enfant dort”
S1
����
��
HHHH
HH
SNλE .{1 si E ∩ {b,d ,e} 6= ∅; 0 sinon}
���
HHH
Det
un[[un]]c
N{b, d, e}
enfant{b, d, e}
SV{a, e}
Vi{a, e}
dort{a, e}
avec [[un]]c = λF .λE .{1 si E ∩ F 6= ∅; 0sinon}
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Les SN comme ensembles d’ensemblesNecessite de ”typer”Le cas des expressions quantifiees en position d’objet
typage semantique-1
voir la regle generale :[[X (Y ,Z )]]M = [[Y ]]M([[Z ]]M) si [[Y ]]M est une fonction et[[Z ]]M un argument ”convenable” de cette fonction,ou bien [[X (Y ,Z )]]M = [[Z ]]M([[Y ]]M) si [[Z ]]M est unefonction et [[Y ]]M un argument ”convenable” de cettefonction
que veut-on dire par ”convenable”?comment s’assurer qu’on a bien une situation ou l’un des deuxtermes represente bien une fonction pouvant prendre l’autrecomme objet?pourquoi pas:
[[SV (Vt ,SN)]]M = [[Vt ]]c([[SN]]M) ?
ni[[SV (Vt ,SN)]]M = [[SN]]c([[Vt ]]
M) ?Alain Lecomte Master de Sciences du Langage, Paris 8 - ENS Cours n◦4Introduction a la semantique formelle
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Les SN comme ensembles d’ensemblesNecessite de ”typer”Le cas des expressions quantifiees en position d’objet
typage semantique-1
voir la regle generale :[[X (Y ,Z )]]M = [[Y ]]M([[Z ]]M) si [[Y ]]M est une fonction et[[Z ]]M un argument ”convenable” de cette fonction,ou bien [[X (Y ,Z )]]M = [[Z ]]M([[Y ]]M) si [[Z ]]M est unefonction et [[Y ]]M un argument ”convenable” de cettefonction
que veut-on dire par ”convenable”?comment s’assurer qu’on a bien une situation ou l’un des deuxtermes represente bien une fonction pouvant prendre l’autrecomme objet?pourquoi pas:
[[SV (Vt ,SN)]]M = [[Vt ]]c([[SN]]M) ?
ni[[SV (Vt ,SN)]]M = [[SN]]c([[Vt ]]
M) ?Alain Lecomte Master de Sciences du Langage, Paris 8 - ENS Cours n◦4Introduction a la semantique formelle
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Les SN comme ensembles d’ensemblesNecessite de ”typer”Le cas des expressions quantifiees en position d’objet
typage semantique-2
Deux objets du modele [[f ]] et [[t ]] sont tels que [[f ]] s’appliquea [[t ]] si:
[[t ]] ∈ E[[f ]] est une fonction de E dans un autre ensemble, disons:F[[f ]] est definie en [[t ]]en ce cas, [[f ]]([[t ]]) ∈ F
On peut dire aussi, en introduisant des types associes auxensembles:
t est de type Ef est de type E→ Fen ce cas (s’il est defini) f (t) est de type Fon pose [[f (t)]] = [[f ]]([[t ]]) si [[f ]] est definie en [[t ]]
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Les SN comme ensembles d’ensemblesNecessite de ”typer”Le cas des expressions quantifiees en position d’objet
typage semantique-2
Deux objets du modele [[f ]] et [[t ]] sont tels que [[f ]] s’appliquea [[t ]] si:
[[t ]] ∈ E[[f ]] est une fonction de E dans un autre ensemble, disons:F[[f ]] est definie en [[t ]]en ce cas, [[f ]]([[t ]]) ∈ F
On peut dire aussi, en introduisant des types associes auxensembles:
t est de type Ef est de type E→ Fen ce cas (s’il est defini) f (t) est de type Fon pose [[f (t)]] = [[f ]]([[t ]]) si [[f ]] est definie en [[t ]]
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Les SN comme ensembles d’ensemblesNecessite de ”typer”Le cas des expressions quantifiees en position d’objet
typage semantique-3
Par exemple:un NP est de type e (entite individuelle)une phrase S est de type t (truth value)un Vi est de type e→ tun Vt est de type e→ (e→ t) (Pierre regarde Marie)un N est de type e→ t (Pierre (est) alpiniste)un SN est de type (e→ t)→ t (un enfant dort)un Det est de type (e→ t)→ ((e→ t)→ t)
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typage semantique-3
Par exemple:un NP est de type e (entite individuelle)une phrase S est de type t (truth value)un Vi est de type e→ tun Vt est de type e→ (e→ t) (Pierre regarde Marie)un N est de type e→ t (Pierre (est) alpiniste)un SN est de type (e→ t)→ t (un enfant dort)un Det est de type (e→ t)→ ((e→ t)→ t)
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Les SN comme ensembles d’ensemblesNecessite de ”typer”Le cas des expressions quantifiees en position d’objet
typage semantique-3
Par exemple:un NP est de type e (entite individuelle)une phrase S est de type t (truth value)un Vi est de type e→ tun Vt est de type e→ (e→ t) (Pierre regarde Marie)un N est de type e→ t (Pierre (est) alpiniste)un SN est de type (e→ t)→ t (un enfant dort)un Det est de type (e→ t)→ ((e→ t)→ t)
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Les SN comme ensembles d’ensemblesNecessite de ”typer”Le cas des expressions quantifiees en position d’objet
typage semantique-3
Par exemple:un NP est de type e (entite individuelle)une phrase S est de type t (truth value)un Vi est de type e→ tun Vt est de type e→ (e→ t) (Pierre regarde Marie)un N est de type e→ t (Pierre (est) alpiniste)un SN est de type (e→ t)→ t (un enfant dort)un Det est de type (e→ t)→ ((e→ t)→ t)
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Les SN comme ensembles d’ensemblesNecessite de ”typer”Le cas des expressions quantifiees en position d’objet
typage semantique-3
Par exemple:un NP est de type e (entite individuelle)une phrase S est de type t (truth value)un Vi est de type e→ tun Vt est de type e→ (e→ t) (Pierre regarde Marie)un N est de type e→ t (Pierre (est) alpiniste)un SN est de type (e→ t)→ t (un enfant dort)un Det est de type (e→ t)→ ((e→ t)→ t)
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typage semantique-3
Par exemple:un NP est de type e (entite individuelle)une phrase S est de type t (truth value)un Vi est de type e→ tun Vt est de type e→ (e→ t) (Pierre regarde Marie)un N est de type e→ t (Pierre (est) alpiniste)un SN est de type (e→ t)→ t (un enfant dort)un Det est de type (e→ t)→ ((e→ t)→ t)
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typage semantique-3
Par exemple:un NP est de type e (entite individuelle)une phrase S est de type t (truth value)un Vi est de type e→ tun Vt est de type e→ (e→ t) (Pierre regarde Marie)un N est de type e→ t (Pierre (est) alpiniste)un SN est de type (e→ t)→ t (un enfant dort)un Det est de type (e→ t)→ ((e→ t)→ t)
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Principe d’application
Principe d’application: si A et B sont deux constituantssyntaxiques, si le type semantique de l’un est α→ β et le typesemantique de l’autre est α et s’il existe dans la grammaire uneregle X −→ A B ou X −→ B A, alors le type semantique duconstituant X est β
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Variante
Si l’operation syntaxique Merge s’applique a deux constituantsA et B pour former un constituant C = < A,B >, alors si l’un desdeux (A ou B) est de type α→ β et l’autre est de type α, C estde type β.
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Principe d’application-2
Principe d’application: si A et B sont deux constituantssyntaxiques, si le type semantique de l’un est α→ β avec pourinterpretation la fonction λv .φ et le type semantique de l’autreest α et son interpretation a, et s’il existe dans la grammaireune regle X −→ A B ou X −→ B A, alors le type semantique duconstituant X est β et son interpretation est calculee commeetant (λv .φ a), c’est-a-dire φ[v ← a].(φ[v ← a] note la substitution de a a v dans φ partout ou voccurre)
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Variante
si Merge s’applique a A et B (deux constituants syntaxiques), sile type semantique de l’un est α→ β avec pour interpretation lafonction λv .φ et le type semantique de l’autre est α et soninterpretation a, alors le type semantique du constituant< A,B > est β et son interpretation est calculee comme etant(λv .φ a), c’est-a-dire φ[v ← a].
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des SN en position d’objet
qu’arrive-t-il avec:
S
����
HHHH
SN
NP
Marie
SV
���
HHH
Vt
regarde
SN�� HH
Det
un
N
enfant
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des SN en position d’objet
Mismatch!
S
���
��
HHH
HH
SN
NP
Marie
SV ?
����
HHH
H
Vte→ (e→ t)
regarde
SN(e→ t)→ t�� HH
Det
un
N
enfant
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Les SN comme ensembles d’ensemblesNecessite de ”typer”Le cas des expressions quantifiees en position d’objet
des SN en position d’objet
Il va falloir trouver d’autres solutions!Modifier la syntaxe? (Montague)Utiliser des deplacements? (Quantifier Raising) (Heim &Kratzer)Ajouter d’autres modes de composition? (Lambek,Steedman)
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construction de formules
Une autre maniere de faire consiste a utiliser un langageintermediaire : c’est ce que fait Montague.
Langage ordinaire −→traduction Langage formel −→
evaluation Valeur
Avantages:on n’est pas oblige d’evaluer la formule!le langage cible apparaıt comme un langage d’expressiondes significationson peut toujours utiliser l’evaluation si on veut revenir auxmodeles
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Types et formules
phrase t propositionnom propre e ou (e→ t)→ t pierre ou λP.P(pierre)
nom commun e→ t λx .boy(x)verbe intransitif e→ t λx .sleep(x)verbe transitif e→ (e→ t) λyλx .see(x , y )Det (un) (e→ t)→(e→ t)→ t λP.λQ.(∃x)(P(x) ∧Q(x))
Det (tout) (e→ t)→(e→ t)→ t λP.λQ.(∀x)(P(x)⇒ Q(x))
Det (aucun) (e→ t)→ (e→ t)→ t λP.λQ.¬(∃x)(P(x) ∧Q(x))
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