introduction à l ofdm

Introduction à l’OFDM

Philippe Ciblat

École Nationale Supérieure des Télécommunications, Paris, France

Introduction Principe Modem Préfixe Performances

Système mono-porteuse

Modulation linéaire :.

Canal

Physique

e2iπf0t

e−2iπf0t

Bruit

sk

Organe dedécision

Ts

Filtre adapté

sk

Mise en formega(t)

∑

k∈Zskga(t − kTs)

ra(t)

ma(t) = <[xa(t)e2iπf0t]

(suite iid)débit1/Ts

∑

k∈Zsk(ca ? ga︸︷︷︸

ha

)(t − kTs) + ba(t)

xa(t)

ya(t)

ca(t)

.

Philippe Ciblat Introduction à l’OFDM 2 / 35


Interférence entre symboles (IES)

Soient

za(t) = ha(−t) ? ya(t) et ha(t) = ha(−t) ? ha(t).

Au niveau de l’organe de décision, on a

z(n) = za(nTs) =

Lh∑

k=0

hk sn−k + b(n)

où hn = ha(nTs) et bn = ba(nTs).

Canal ca(t) 6= δ(t) ⇒ ha(t) différent de Nyquist.



Egalisation

Pour combattre l’IES, étape d’égalisation nécessaire

Maximum de vraisemblance ⇒ Algorithme de Viterbi

Egaliseur à retour de décison (DFE)

Egaliseur de Wiener

Egaliseur de forçage à zéro

Etape soit complexe, soit aux performances mitigées

But

s’affranchir de cette étape.



Le canal ca(t) (1/2)

Canal multi-trajets : ca(t) =∑Lc

l=1 λlδ(t − τl ).

.

��

��

Bcoh

|C(f)|

f

.

Bc : bande de cohérence du canal.



Le canal ca(t) (2/2)

Soit B la bande du signal émis :

B < Bc : seulement atténuation et déphasage.

��

��

|C(f)|

f

|X(f)|

f0

Y (f) ≈ C(f0)X(f) ⇒ ya(t) ≈ C(f0)xa(t)

.

B > Bc : IES dû au canal physique ca(t)..

��

��

|C(f)|

f

|X(f)|

Y (f ) = C(f )X(f ) ⇒ ya(t) = ca(t) ? xa(t)

.

Comment se retrouver dans une configuration B < Bc ?



Principe du multi-porteuses

Rappel : B requise = Débit-symbole (1/Ts)

Idée naïve : Diviser la suite des symboles en N sous-suites desymboles (de période T = NTs) telles que

1T

< Bc .

Chaque sous-suite n étant émise sur une sous-bande différenteassociée à une sous-porteuse fn.

Intérêt : Pour chaque sous-bande, pas d’IES.



Schéma récapitulatif

.

� ��

� ��

|C(f)|

f

· · · · · ·

|X0(f)| |Xn(f)| |XN−1(f)|

fnf1f0 fN−1

.



Ecriture formelle

Soit s(n)k = skN+n une sous-suite, le signal émis vaut

xa(t) =

N−1∑

n=0

∑

k∈Z

s(n)k ga(t − kT )e2iπfnt .

Notations :

Ts : période des symboles

N : nombre de porteuses∑N−1

n=0 s(n)k e2iπfn t : symbole OFDM

T = NTs : période des symboles OFDM



Equation d’orthogonalité

On a

xa(t) =∑

k∈Z

N−1∑

n=0

s(n)k Φn,k (t)

avecΦn,k (t) = ga(t − kT )e2iπfn t .

Porteuses orthogonales ⇔∫

R

Φn,k (t)Φn′,k ′(t)dt = δn,n′δk ,k ′

{Φn,k (t)}n,k base orthonormale de l’espace des signaux.



Vérification de l’orthogonalité

.

Sans chevauchement Avec chevauchement

f f

(ii)(i)

.

Cas (ii) : fn régulièrement espacé ⇒ fn = n∆f .

ga(t) fonction porte de support [0, T ].orthogonalité ssi ∆f = 1/T = 1/NTs

OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing)

ga(t) un racine de cosinus surélevé.orthogonalité ssi ∆f = 2/T = 2/NTs

OFDM filtrée avec modulations décalées (OQAM)



Historique

Fin-50 : Concept multi-porteuses

Fin-60 : Multiporteuses orthogonales (OFDM)

Début-70 : Utilisation de la TFD

Mi-80 : Projet européen Eurêka pour le DAB? Notion d’intervalle de garde? Association de l’OFDM et du codage

Début 90 : Normalisation du DAB

Fin 90 : Développement de l’ADSL, du DVB-T, du Wifi . . .



Applications

Sans fil :

Radio numérique (DAB)

Réseaux locaux sans fil (WLAN) : Wifi (802.11, HIPERLAN)

Boucle locale radio (BLR/WLL)

Télévision numérique (DVB-T)

... 4G

Avec fil :

ADSL

VDSL

... CPL



Modem OFDM

Hypothèse : Cas d’école (pas de canal ca(t)).

Constellation sk quelconque.

Filtre de mise en forme : fonction porte.

Bande occupée :

Btot = NBsp ≈ N1T

= N1

NTs=

1Ts

Quasiment occupation spectrale du mono-porteuse

Rq : Souplesse de la gestion du spectre.



Emetteur analogique

.

sk

s(0)k

s(N−1)k

xa(t)

Φ0,k(t)

ΦN−1,k(t)

S/P

+

.

Batterie de filtres analogiques ⇒ coûteux.

Appliquer des traitements numériques suivis d’un CNA..

skCNABoîte noire

x(k) xa(t)

.



Récepteur analogique

Projection sur la base des signaux :

z(n)k =< ya(t)|Φn,k (t) >=

∫

R

ya(t)Φn,k (t)dt

.

ya(t)

z(0)k

z(N−1)k

zk sk

P

S/

< .|Φ0,k(t) >

< .|ΦN−1,k(t) >

.



Emetteur numérique (1/2)

On pose Te = Ts = T/N.

x (m)k = xa(kT + mTs)

avec

k : bloc OFDM.

m ∈ {0, · · · , N − 1} : emplacement dans le bloc.

x (m)k =

∑

k ′∈Z

(

1√N

N−1∑

n=0

s(n)k ′ e2iπn(m/N)

)

︸︷︷︸

c(m)

k′TFD inverse

√Nga((k − k ′)T + mTs)

︸︷︷︸

filtrage



Emetteur numérique (2/2)

.

P

/

S

sk

s(0)k

s(N−1)k

S/P

Débit1/Ts Débit1/T

ga(t)

ga(t + (N − 1)Ts)

x(0)k

x(N−1)k

Débit1/T

IFFT

c(N−1)k

c(0)k

Débit1/T

xa(t){x(0)k , · · · , x(N−1)

k }CNA

.

Simplification pour l’OFDM classique (ga(t) = 1√T

rectT (t)).

Rq : x dans le domaine temporel. m indice de tempss dans le domaine fréquentiel. n indice de fréquence.



Récepteur numérique (1/2)

z(n)k =

∫

R

ya(t)Φn,k (t)dt

=1√T

∫ (k+1)T

kTya(t)e−2iπnt/T dt (OFDM classique)

=Ts√T

N−1∑

m=0

ya(kT + mTs)e−2iπnmTs/T (Poisson)

=

√Ts√N

N−1∑

m=0

ya(kT + mTs)e−2iπnm/N



Récepteur numérique (2/2)

.

FFT

z(0)k

z(N−1)k

P/S

ya(kT + (N − 1)Ts)

ya(kT )

zk skya(t)Ts

.

Récepteur simple (dual de l’émetteur).



Insertion du canal

ya(t) = ca(t) ? xa(t)

=∑

k∈Z

N−1∑

n=0

s(n)k Ψn,k(t)

avec Ψn,k (t) = ca(t) ? Φn,k (t).

Constat : Ψn,k (t) n’est plus une base orthonormale.

Idée : Attendre que l’étalement du symbole OFDM ’k’ soit finie pourémettre le symbole OFDM ’k+1’.



Intervalle de garde

Le canal ca(t) étale le signal d’un temps ∆ = LTs = LT/N.

.

� � � � ��

� � � ��

∆ T

Intervalle de garde

t

Bloc sans interférence

.

En réception, on filtre par Φn,k (t).Intervalle de garde élimine interférence inter-blocs.

⇒ Rétablissement de l’orthogonalité temporelle.



Préfixe cyclique (1/3)

Chaque bloc OFDM contient :

x (0)k , · · · , x (L−1)

k ,︸︷︷︸

Intervalle de garde

x (0)k , · · · , x (N−1)

k︸︷︷︸

sortie de TFDI

.

On reçoit :

y (N−1)k = c0x (N−1)

k + c1x (N−2)k + · · · + cLx (N−L−1)

k...

y (0)k = c0x (0)

k + c1x (L−1)k + · · · + cLx (0)

k




Y (k) =[

y (N−1)k , · · · , y (0)

k

]T= C1X(k) + C2X(k)

avec C1 et C2 de taille N × N et N × L respectivement.

Si X (k) = [x (N−1)k , · · · , x (N−L)

k ]T, alors

Y (k) = CX(k)

avec C une matrice circulante.

DoncC = F−1DF

avec F matrice de TFD et D = diag(c(1), · · · , c(e2iπ N−1N )).




On aFY (k) = DFX(k)

⇒ z(n)k = c(e2iπn/N).s(n)

k ∀n

Absence d’interférence entre porteuses.

Passage d’une convolution à une simple multiplication.

⇒ Rétablissement de l’orthogonalité fréquentielle.



Bilan d’efficacité spectrale (1/2)

Efficacité spectrale : Débit/Bande (b/s/Hz).

Cas MDP-2 :

Mono-porteuse : (1/Ts)/(1/Ts) = 1.

OFDM : (N/(T + ∆))/(1/Ts) = N/(N + L).

Perte d’efficacité :L/(N + L).

En pratique, on choisit N tel que

L � N ⇔ Bsp � Bc



Bilan d’efficacité spectrale (2/2)

Si B constant, alors

augmenter N ne fait pas augmenter le débit, car

B = N∆f = N/T = 1/Ts

mais espacement entre porteuse (∆f ) diminue.

Si ∆f constant (c.f. VDSL),

augmenter N fait augmenter le débit mais aussi B

Efficacité spectrale invariante / N (au préfixe cyclique près)



Egalisation

Il faut égaliser un filtre-cœfficient

Démodulation cohérenteFiltre adapté : c∗(e2iπn/N)Forçage à zéro : 1/c(e2iπn/N)Wiener : c∗(e2iπn/N)/(|c(e2iπn/N)|2 + σ2

n)

Démodulation non-cohérenteModulation différentielle : absence de traitement

Conclusion

Egalisation très simple



Canal inconnu à l’émetteur

Contexte radio-mobile

Sur chaque porteuse, on a un canal de Rayleigh.

⇒ Si évanouissement fréquentiel, détection peu fiable.

Adaptation du système :

Codage.Entrelacement

? fréquentiel? temporel

On parle alors de COFDM.

En pratique, code convolutif.



Canal connu à l’émetteur

Contexte filaire

Voie de retour nécessaire (canal lentement variable).

Maximiser le débit à probabilité d’erreur identique sur chaqueporteuse ⇒ Adapter les constellations M-MAQ pour chaqueporteuse.

Si RSB élevé sur la porteuse k , alors M grand.Si RSB faible sur la porteuse k , alors M petit.

Pe = NminQ

s

3Eb log2(M)

N0(M − 1)

!

Puissance totale constante ⇒ attribution intelligente despuissances par porteuse augmente la capacité (« waterfilling »).



Facteur de crête

Soit x(t) un signal, on a R = maxt |x(t)|2E[|x(t)|2] .

Si R ↗, on sort de la plage linéaire des amplificateurs.

Signal OFDM⇒ x (m)k =

1√N

N−1∑

n=0

s(n)k e2iπmn/N

⇒ R = N (Modulations MDP : R = 1).⇒ x (m)

k tend vers un signal gaussien (si N → ∞)

Rq : Seules quelques séquences de s produisent un fort R.

Solutions

Coupage : augmentation des lobes secondaires ;

Utilisation du codage



Synchronisation

Soitya(t) = (ca ? xa)(t − τ)e2iπ(∆f0 t+φ0).

L’OFDM admet une sensiblité plus grande aux erreurs :

Temps de retard(sauf si inclus dans l’intervalle de garde)

Résidu de fréquence porteuse

Désynchronisation entre horloges d’échantillonnage

⇒ Quelques symboles pilotes + porteuses pilotes.



Dimensionnement (DAB)

Radio-numérique (1990).

MDP-4 et Code convolutif de rendement 1/2

Fréquence 900 MHzBande 2 MHzLongueur filtre qq dizaines de µs∆ 64 µsIntervalle de Garde ∆ = T/4Symbole OFDM 320 µsPorteuse N = BT = 512

Débit : 1,6 Mb/s - Efficacité spectrale : 0,8 b/s/Hz.



Performances (DAB)

0 5 10 15 20 25 3010

−4

10−3

10−2

10−1

100

Eb/No

TE

SMDP−4 / Canal BBGA − non codéMDP−4 / Canal BBGA − codéOFDM / Canal DAB − non codéOFDM / Canal DAB− codé



Conclusion

Avantages :

Bonne gestion du multi-trajet.

Allocation dynamique des ressources.

Robuste aux brouilleurs bande étroite.

Inconvénients :

Très sensible à la désynchronisation.

Facteur de crête.

Gestion de la diversité.

Bibliographie :

R. van Nee et R. Prasad, « OFDM for wireless multimediacommunications », 2000

A. Burr, « Modulation and coding for wireless communication », 2001

A. Molisch, « Wideband wireless digital communication », 2001


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