INTRODUCCION AL DISEO DE SISTEMAS DE CONTROL EN ESPACIO DE ESTADOS DE ESTADOS

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Abstractthis paper exposes all on the introduction to the design of control systems for space, for which we use the software matlab simulations for different applications of this subject.

Index Terms control system, matlab, transfer function.

RESUMENEn este documento se expone toda sobre la introduccin al diseo de sistemas de control de espacio, para lo cual utilizaremos el software de matlab para realizar las simulaciones de las diferentes aplicaciones que tiene este tema Palabras Claves: sistema de control, matlab, funcin de transferencia.INTRODUCCIONLa teora de control moderna se basa en describir a travs de las ecuaciones de un sistema en un nmero n de ecuaciones diferenciales de primer orden que son confinadas en una ecuacin diferencial vectorial, de tal manera que el incremento de variables de estado no aumenta complejidad de las ecuaciones . De tal manera que el anlisis de sistema con mltiples entradas y salidas se puedan realizar mediante un proceso ligeramente complicado los cuales e utilizan para el anlisis de sistemas de ecuaciones diferenciales escalares. Para la realizacin de las aplicaciones o ejercicios utilizaremos matlab ya que es una herramienta muy verstil para el modelado de este sistema de tal manera que nos permita de una amanera fcil mirara el comportamientos de estos sistemas de control.marco terico

1. Representacin de sistema en espacio de estadoLa representacin de estado es un modelo matemtico de sistemas que se puede expresar a travs de entradas y salidas que se pueden relacionar con ecuaciones diferenciales de primer orden que se pueden combinar con ecuaciones diferenciales matriciales o vectoriales de primer orden. A la representacin estado tambin se la conoce como la aproximacin en el dominio del tiempo, tiene mltiples entradas y salidas. El espacio de estado toma referencia a n dimensiones cuyos ejes estn constituidos por variables de estado, adems el estado del sistema puede ser representado como un vector dentro de ese espacio. Lasvariables de estadoson el subconjunto ms pequeo de variables de un sistema que pueden representar su estado dinmico completo en un determinado instante. Las ecuaciones de estado son el conjunto de ecuaciones que describen dinmica de un sistema mediante la relacin entre las variables de entrada, salida y variables de estado. El modelado de sistemas dinmicos en el espacio de estados permite describir el comportamiento de todo tipo de sistemas como: SISO, MIMO, lineales, no lineales, invariantes, variantes, etc La ecuacin de estado genrica es:

1.1. Transformacin de los modelos de sistemas con el software MATLAB.Transformacin del modelo del sistema basado en su funcin de transferencia al espacio de estados, y viceversa, se debe desde el anlisis con la transformacin de una funcin de transferencia al espacio de estados.

Formulacin en el espacio de estados de sistemas basados en su funcin de transferencia.El comando tf2ss convierte los parmetros de una funcin de transferencia de la representacin de un sistema dado a los de una representacin de espacio de estado equivalente[A, B, C, D]=tf2ss (num, den) devuelve las matrices A, B, C y D de la representacin en espacio de estado para la funcin de transferencia de entrada nica

Del sistemas

El vector de entrada contiene los coeficientes del denominador en potencias descendentes de s. Las filas de la matriz B contienen los vectores de coeficientes del numerador (cada fila corresponde a una salida). En el caso de tiempo discreto, debe suministrar b y una para corresponder a los polinomios de numerador y denominador con coeficientes en potencias descendentes de z. Para los sistemas de tiempo discreto, b tiene el mismo nmero de columnas que la longitud de una. Se debe hacer mediante el relleno de cada numerador representa en b con ceros a la derechaEjemplo: Considere el sistema definido por la funcin de transferencia siguiente:

La representacin en variables de estado quedara:

Transformacin del espacio de estados a una funcin de transferencia.El comando ss2tf convierte una representacin en espacio de estado de un sistema dado a una representacin de funcin de transferencia equivalente. [Num, den] = ss2tf (A, B, C, D, UI) devuelve la funcin de transferencia

Del sistema

De la iu-th entrada. Vector a contiene los coeficientes del denominador en potencias descendentes de s. Los coeficientes del numerador se devuelven en serie b con tantas filas como salidas y. ss2tf tambin trabaja con los sistemas en tiempo discreto, en cuyo caso se devuelve la representacin transformada zEjemplo: Obtener la funcin de transferencia del modelo de variables de estado del siguiente sistema con entradas y salidas mltiples.

La funcin de transferencia del sistema para cada entrada y cada salida queda:

1.2. Solucin de la ecuacin de estado invariante en el tiempo.A travs de esto obtendr la solucin general de la ecuacin de estado lineal e invariante en el tiempo. Primero se considera el caso homogneo y luego el no homogneo.Solucin de las ecuaciones de estado para el caso homogneoPrimero realizamos la solucin de la ecuacin diferencial escalar

Al resolver esta ecuacin, se obtiene una solucin x (t) de la forma

Sustituyendo

Por tanto, igualamos los coeficientes de las potencias iguales de t, obteniendo

Donde valor de b0 se obtiene sustituyendo t=0

La solucin x (t) es:

Mtodo de la transformada de Laplace para la solucinPrimero se toma el caso escalar

Tomamos la transformada de Laplace

Al despejar X(s)

La transformada inversa de Laplace de esta ltima ecuacin da la solucin

Solucin de ecuaciones de estado para el caso no homogneoConsiderando el caso escala

El primer trmino del segundo miembro es la respuesta a las condiciones iniciales y el segundo trmino es la respuesta a la entrada u (t). Ahora se considera la ecuacin de estado no homognea descrita mediante+BuDonde: x =vector de dimensin nu =vector de dimensin rA=matriz de coeficientes constantes de nxnB=matriz de coeficientes constantes de nxrConsiderando el caso para la ecuacin de estado no homognea descrita por:

Mtodo de la transformada de Laplace para Solucin en trminos de x (t 0).La solucin de la ecuacin de estado no homognea tambin puede obtenerse mediante el mtodo de la transformada de Laplace. +BuDonde utilizamos las siguientes ecuaciones

Pre multiplicando ambos miembros de esta ltima ecuacin por , obtenemos

La transformada inversa de Laplace de esta ltima ecuacin se obtiene a partir de la integral de convolucin, del modo siguiente:

2. Criterio de controlabilidad y observabilidadLos conceptos de controlabilidad y observabilidad fueron introducidos por Kalman en el ao 1960. Ellas afrontan respectivamente la relacin que existe entre la entrada y el estado (la controlabilidad), y entre el estado y la salida (la observabilidad). Cada vez que hagamos referencia a la entradau (t) del sistema, supondremos que es una entrada de accin de control, y no de una entrada que sea una perturbacin al sistema.2.1. ControlabilidadUn sistema es controlable a un tiempo t0 si es posible transferir mediante el uso de un vector de control sin restricciones al sistema desde el estado inicial x (t0) a cualquier otro estado en un intercala de tiempo. Un sistema exhibe controlabilidad completa si todos los est ados son contrlables.Contrabilidad completa del estado de sistemas en el tiempo continuoConsidere el sistema lineal continuo en el tiempo representado por:,tt0,x(t0) =x0

DondeA,B,CyDson funciones continuas del tiempo. Supongamos que para alguna entradau (t),t[t0,t1], y para el estado inicialx0, el estado al tiempot1esx1. Decimos entonces que la entradautransfiere el sistema desde el estado x0(en el tiempot0) al estadox1(al tiempot1).Sea t=0

Si se define

Sistema completamente controlableSi todo estado x (t0)del sistema es controlable sobre[t0, t1], el sistema se dice que es completamente controlable sobre[t0, t1].Sea dondeA,B,CyDson las matrices constantes:,,,D= 0Como podemos observar, podemos escribir la ecuacin de cada uno de los estados, que ser:La ecuacin de la salida:y suponiendo que el estado inicial fuerex1(t0) =x10, yx2(t0) =x20, podemos graficar el diagrama de simulacin de dicho sistema sea:

Forma alternativa de la condicin para la controlabilidad completaSistema definido:+BuSi los valores propios de A son distintos, es posible encontrar una matriz de transformacin P talQue

Si todos los elementos de cualquier fila de la matriz F n x r son nulos, entonces la variable de estado correspondiente es no controlable por cualquiera de las ui. Controlabilidad completa del estado en el plano SLa condicin para una controlabilidad completa del estado se plantea en trminos de las funciones de transferencia o las matrices de transferencia. Una condicin necesaria y suficiente para una controlabilidad completa de estado es que no ocurra una cancelacin en la funcin de transferencia o en la matriz de transferencia. Si ocurre dicha cancelacin el sistema no puede ser controlado en la direccin del modo cancelado.Ejemplo: Consideremos la funcin de transferencia siguiente:

Controlabilidad de salidaEn la mayora de casos prcticos se desea controlar la salida en lugar de los estados del sistema. Controlabilidad completa de los estados no garantiza la controlabilidad de la salida del sistema. Se dene en este caso una matriz S, para la cual debe cumplirse que elrango debe ser igual a m; el nmero de variables de salida.

2.2. ObservabilidadDado un sistema lineal e invariante en el tiempo que se describe mediante las ecuaciones dinmicas x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) se dice que el estado x(t0) es observable si dada cualquier entrada u(t), existe un tiempo finito tf t0 tal que el conocimiento de: 1) u (t) para t0 t < tf2) Las matrices A, B, C y D3) la salida y (t) para t0 t < tf

Observabilidad completa para un sistema en tiempo continuo.Considere al sistema dado:

El vector de salida y(t) es

Donde n es el grado del polinomio caracterstico

Observabilidad completa del estado en el plano S.Las condiciones para la observabilidad completa tambin se plantean en trminos de las funciones de transferencia o las matrices de transferencia. La condicin necesaria y suficiente para una observabilidad completa del estado es que no ocurra una cancelacin en la funcin de transferencia o en la matriz de transferencia. Si ocurre una cancelacin el modo cancelado no se puede observar en la salida. Ejemplo: Demuestre que el sistema

En donde

Para definir la observabilidad completa, decimos que el control u = 0

Forma alternativa de la condicin para la observabilidad completa.Sea el sistema:

Supngase que la matriz de transformacin P transforma A en una matriz diagonal, o donde D es una matriz diagonal. Si se define

El sistema es completamente observable si ninguna de las columnas de la matriz CP m X n est formada slo por elementos cero. Esto se debe a que, si la i-sima columna de CP est formada slo por elementos cero, la variable de estado zi(0) no aparecer en la ecuacin de salida y, por tal razn, no puede determinarse a partir de la observacin de y(t). En este caso, x(0), que se relaciona con z(0) mediante la matriz P no singular, no puede determinarse. (Recurdese que esta prueba slo se aplica si la matriz P.1AP est en forma diagonal.) Si la matriz A no se transforma en una matriz diagonal, mediante una matriz de transformacin adecuada S, se puede transformar A en su forma cannica de Jordan, o

Controlabilidad de principio de dualidad.Ahora estudiaremos la relacin entre la controlabilidad y la observabilidad. Introduciremos el principio de dualidad, presentado por Kalman, para aclarar las analogas evidentes entre los conceptos de controlabilidad y observabilidad. Consideremos el sistema Sis1 descrito mediante

en donde x = vector de estado (vector de orden n) u = vector de control de orden r y = vector de salida ( de orden m) A = matriz del sistema de orden n x n B = matriz de control de orden n x r C = matriz de salida de orden m x nY al sistema Sis2 descrito mediante z = A z + C v n = Bz en donde z = vector de estado (vector de orden n) v = vector de control de orden m n = vector de salida ( de orden r) A = matriz del sistema de orden n x n B = matriz de salida de orden r x n C = matriz de control de orden n x m El principio de dualidad plantea que sistema Sis1 es de estado completamente controlable (observable) si y slo si el sistema Sis2 es completamente observable (controlable). Para corroborar este principio repasemos las condiciones necesarias y suficientes para la controlabilidad completa y la observabilidad completa de los sistemas Sis1 y Sis2.Para el sistema Sis1: 1 Una condicin necesaria y suficiente para la controlabilidad completa del estado es que el rango de la matriz de n x nr

2 Una condicin necesaria y suficiente para la observabilidad completa del estado Es que el rango de la matriz de nm x n

Para el sistema Sis2: 3 Una condicin necesaria y suficiente para la controlabilidad completa del estado es que el rango de la matriz de n x nm

4 Una condicin necesaria y suficiente para la observabilidad completa del estado es que el rango de la matriz de Nr x n

Ejercicios: Calculo de la observabilidad y la controlabilidad

%Este codigo calcula la observabilidad y la controlabilidad%matriz Adisp('Matriz A')%A = [-1 1 0; 4 0 -3;-6 8 10]%matriz Bdisp('Matriz B')%B = [1; 0; -1]%matriz Cdisp('Matriz C')%C = [1 2 1]%se calcula de la controlabilidaddisp('La matriz de controlabilidad es')Pc = ctrb(A, B)%n es el determinante de la matriz de controlabilidaddisp('El determinante es')n=det(Pc)%si es diferete de 0 es controlableif abs(n) ~= 0disp('Es controlable')elsedisp('No es controlable') end disp('La matriz de observabilidad es')Po = obsv(A,C)%si es diferete de 0 es observableif abs(n) ~= 0 disp('Es observable')elsedisp('No es observable')end

calculo de dualidadA=[2 0 0; 0 2 0; 0 3 1];B=[0 1; 1 0; 0 1];C=[1 0 0; 0 1 0];D =zeros(2);Sis1 = ss(A,B,C,D);Sis2 = ss(A',C',B',D); % Sistema dual de Sis1ctrb(Sis1) rank(ans)obsv(Sis2)rank(ans)obsv(Sis1)rank(ans)ctrb(Sis2)rank(ans)

3. Conclusiones: El sistema de espacio de estado son entrado y salido que podemos relacionar con ecuaciones diferenciales de primer grado que nos periten relacionarlas con otras para su resolucin. Mediante Matlab podemos resolver ejercicios e cada tema propuesto de una manera ms fcil y precisa En Matlab podemos utilizar varios comandos para la resolucin de los ejercicios como tf2ss para el sistema de transferencia, ss2tf para la funcin de transferencia estom dos para el estado de espacio. La Controlabilidad puede controlar varias variables de entrada solucionando problemas de la ubicacion de polos La observabilidad controla las variables de estado observando la salida a traves del sistema linal estacionario

4. Bibliografa:Ingeniera de control moderna de katsuhiko Ogatahttp://www.unet.edu.ve/~jlrodriguezp/ssctrlobs.pdfhttp://gama.fime.uanl.mx/~salinas/clase8CM.pdfhttp://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r79258.PDFftp://ece.buap.mx/pub/profesor/academ91/Control_procesos_por_computadora/Libros/Control%20en%20el%20Espacio%20de%20Estado.pdfhttp://es.slideshare.net/camilorene/clase-7-espacio-de-estadohttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_de_estadoshttp://fisica.udea.edu.co/~lab-gicm/Instrumentacion/2014_Espacio%20de%20estados.pdfhttp://gama.fime.uanl.mx/~salinas/clase8CM.pdfhttp://www.web.valles.udg.mx/vallesweb/sites/default/files/canales/02_oferta_educativa/maestrias/mecatronica/Curso_Sistemas_Lineales_de_Control.pdfhttp://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ss2tf.html

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