Introducción al calculo numérico y

manejo de errores

Gabriel A Silva T

c.i 16.324.650

Análisis

numérico

El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores. Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos, pero en última instancia operan con números binarios y operaciones matemáticas simples. Desde esta perspectiva, el análisis numérico proporcionará todo el andamiaje necesario para llevar a cabo todos los procedimientos matemáticos existentes en base a algoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números.

Es la disciplina ocupada

de describir, analizar y

crear algoritmos

numéricos que nos

permitan resolver

problemas

matemáticos, en los que

estén involucradas

cantidades

numéricas, con una

precisión determinada.

Métodos

Numéricos e

importancia

Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en: Cálculo de derivadas Integrales Ecuaciones diferenciales Operaciones con matrices Interpolaciones Ajuste de curvas Polinomios Los métodos numéricos se aplican en áreas como: Ingeniería Industrial, Ingeniería Química, Ingeniería Civil, Ingeniería Mecánica, Ingeniería eléctrica, etc…

Los métodos

numéricos son

técnicas mediante

las cuales es posible

formular problemas

matemáticos de tal

forma que puedan

resolverse usando

operaciones

aritméticas.

Número

Máquina

"Son aquellos números cuya representación viene dada de la siguiente forma:

± 0,d1 d2 d3 ... dk x 10 n, 1£ d1 £

9, 1£ dk £ 9

para cada i=2, 3, 4, ..., k";

Es un sistema

numérico que

consta de dos

dígitos: Ceros (0) y

unos (1) de base 2.

El término

"representación

máquina" o

"representación

binaria" significa que

es de base 2, la más

pequeña posible

Errores Absolutos y Relativos

Error Absoluto

• El Error Absoluto es la

diferencia entre el valor

exacto (un número

determinado, por

ejemplo) y su valor

calculado o

redondeado, o sea el

valor exacto menos el

valor calculado

Error relativo

• El Error relativo Es el

cociente (la división)

entre el error absoluto y

el valor exacto. Si se

multiplica por 100 se

obtiene el tanto por ciento

(%) de error

Ejemplo

Obtenemos el error absoluto y relativo al considerar:

a) 3,5 m como longitud de un terreno que mide realmente 3,59 m.

b) 60 m como la distancia entre dos postes que están situados a 59,91 m.

a) Ea = |3,59 - 3,5| = 0,09 m

E r = | 3 , 59 - 3 , 5 | 3 , 59 = 0 , 025 = 2 , 5 %

b) Ea = |59,91 - 60| = 0,09 m

E r = | 59 , 91 - 60 | 59 , 91 = 0 , 0015 = 0 , 15 %

Cota de Errores

Absolutos y

Relativos

Da una cota para el error absoluto y otra para el error relativo cometidos al hacer las siguientes aproximaciones:

a) Precio de una casa: 275 miles de €. b) 45 miles de asistentes a una manifestación.

c) 4 cientos de coches vendidos.Solución:

a) |Error absoluto| < 500 €error relativo<500/275000=0,0018

b) |Error absoluto| < 500 personas error relativo=500/45000=0,011

c) |Error absoluto| < 50 coches error relativo<50/400=0,125

Cota de error

absoluto <½ unidad

del orden de la

última cifra

significativa

Una cota para el

error relativo es:

Cota de error

relativo=cota del

error absoluto /valor

real

Fuentes Básicas

de Errores

El error de redondeo se debe a la naturaleza discreta del sistema numérico de máquina de punto flotante, el cual a su vez se debe a su longitud de palabra finita. Cada número (real) se reemplaza por el número de máquina más cercano. Esto significa que todos los números en un intervalo local están representados por un solo número en el sistema numérico de punto flotante.

Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:

y= 0,d1 d2 d3

..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.

El procedimiento se basa en agregar 5 x 10 n - (k+1) a y ydespués truncar para que resulte un número de la forma

fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.

Fuentes Básicas de Errores

La deficiencia del truncamiento o cortado, es atribuida al hecho de que los altos términos en la representación decimal completa no tienen relevancia en la versión de cortar o truncar; por lo tanto el redondeo produce un error bajo en comparación con el truncamiento o cortado. Para que obtengas información, esta es la conexión: Aritmética de Punto Flotante

El error de

truncamiento que

resultan de

representar

aproximadament

e un

procedimiento

matemático

exacto

Errores De Una Suma Y Una

RestaEn la práctica muchas computadoras realizarán operaciones aritméticas en registros especiales que más bits que los números de máquinas usuales. Estos bits extras se llaman bits de protección y permiten que los números existan temporalmente con una precisión adicional. Se deben evitar situaciones en las que la exactitud se puede ver comprometida al restar cantidades casi iguales o la división de un número muy grande entre un número muy pequeño, lo cual trae como consecuencias valores de errores relativos y absolutos poco relevantes

Cálculos Estables e Inestables

Puede decirse que un cálculo es numéricamente inestable si la incertidumbre de los valores de entrada aumentan considerablemente por el método numérico

El que un proceso sea numéricamente estable o inestable debería decidirse con base en los errores relativos, es decir investigar la inestabilidad o mal condicionamiento , lo cual significa que un cambio relativamente pequeño en la entrada.

Condicionamiento

Las palabras condición y condicionamiento se usan de manera informal para indicar cuan sensible es la solución de un problema respecto de pequeños cambios relativos en los datos de entrada.

"Un número condicionado puede definirse como la razón de los errores relativos".