interpolace pomoc splajnuhlavicka/vyuka/bma3_predn/...interpolace pomoc splajnu m a-li f spojitou...

Interpolace pomocı splajnu


Pripomenutı

U interpolace pozadujeme, aby graf aproximujıcı funkce prochazelvsemi uzlovymi body.

I Interpolacnı polynom – aproximujıcı funkce je polynom

I Spline (splajn) – aproximujıcı funkce je po castech polynom

y=Pn(x)

...

y=S0(x)

y=Sn−1

(x)

y=S1(x)


Splajn k-teho radu

Splajn k-teho radu je funkce S , pro kterou platı:

I

S(x) =

S0(x) pro x ∈ 〈x0, x1)

S1(x) pro x ∈ 〈x1, x2)...

Sn−1(x) pro x ∈ 〈xn−1, xn)

I na kazdem intervalu 〈xi , xi+1) je Si polynom stupne nanejvysk

I S ma na intervalu 〈x0, xn〉 spojite derivace az do radu k − 1vcetne


Linearnı splajn

Kazde dva sousednı body [xi , fi ], [xi+1, fi+1] propojıme useckou.

Si (x) = fi +fi+1 − fixi+1 − xi

· (x − xi ), i = 0, . . . , n − 1.


Ma-li f spojitou derivaci druheho radu na intervalu 〈x0, xn〉, pakexistuje konstanta C takova, ze pro x ∈ 〈x0, xn〉 platı

|f (x)− S(x)| < C · h2,

kde h je maximalnı vzdalenost mezi sousednımi uzly.

Chybu lze ucinit pro dostatecny pocet uzlu libovolne malou.


Nejpouzıvanejsı je splajn 3. radu, tzv. kubicky splajn.

Kubicky splajn

Kubicky splajn je funkce S(x), ktera je kubicky polynom nakazdem subintervalu 〈xi , xi+1):

Si (x) = ai + bi (x − xi ) + ci (x − xi )2 + di (x − xi )

3, x ∈ 〈xi , xi+1)

a vyhovuje podmınkam

Si (xi ) = f (xi ), i = 0, . . . , n − 1, Sn−1(xn) = f (xn)

Si (xi+1) = Si+1(xi+1), i = 0, . . . , n − 2

S ′i (xi+1) = S ′i+1(xi+1), i = 0, . . . , n − 2

S ′′i (xi+1) = S ′′i+1(xi+1), i = 0, . . . , n − 2.


Abychom mohli kubicky splajn jednoznacne urcit, predepisujemejeste okrajove podmınky.Pouzıvane typy okrajovych podmınek:

a) S ′′(x0) = S ′′(xn) = 0b) S ′′(x0) = f ′′0 , S ′′(xn) = f ′′nc) S ′(x0) = f ′0 , S ′(xn) = f ′nd) podmınky typu

”not-a-knot“ (S1 je tentyz kubicky polynom

jako S0 a Sn−2 je tentyz kubicky polynom jako Sn−1 tj.S ′′′0 (x1) = S ′′′1 (x1) a S ′′′n−2(xn−1) = S ′′′n−1(xn−1))


Postup pro nalezenı kubickeho splajnu1. zpusob – vhodne pro okrajove podmınky typu a) a b):

Koeficienty ci , i = 0, . . . , n najdeme jako resenı soustavy

c0 =f ′′02

h0c0 + 2(h0 + h1)c1 + h1c2 = 3(

∆f1h1

− ∆f0h0

)h1c1 + 2(h1 + h2)c2 + h2c3 = 3

(∆f2h2

− ∆f1h1

). . .

.

.

.

hn−2cn−2 + 2(hn−2 + hn−1)cn−1 + hn−1cn = 3

(∆fn−1hn−1

−∆fn−2hn−2

)cn =

f ′′n2

hi = xi+1 − xi , ∆fi = fi+1 − fi .Ostatnı koeficienty splajnu dopocıtame podle vzorcu:

ai = fi , i = 0, . . . , n − 1,

bi =∆fihi− ci+1 + 2ci

3hi , i = 0, . . . , n − 1,

di =ci+1 − ci

3hi, i = 0, . . . , n − 1.


2. zpusob – vhodne pro okrajove podmınky typu c):

Vyresıme soustavu pro koeficienty bi , i = 0, . . . , n:

b0 = f ′0

h1b0 + 2(h0 + h1)b1 + h0b2 = 3(h1

∆f0h0

+ h0∆f1h1

)h2b1 + 2(h1 + h2)b2 + h1b3 = 3

(h2

∆f1h1

+ h1∆f2h2

). . .

.

.

.

hn−1bn−2 + 2(hn−2 + hn−1)bn−1 + hn−2bn = 3

(hn−1

∆fn−2hn−2

+ hn−2∆fn−1hn−1

)bn = f ′n

hi = xi+1 − xi , ∆fi = fi+1 − fi .Ostatnı koeficienty splajnu dopocıtame podle vzorcu:

ai = fi , i = 0, . . . , n − 1,

ci =1

hi

(3

∆fihi− 2bi − bi+1

), i = 0, . . . , n − 1,

di =1

h2i

(bi + bi+1 − 2

∆fihi

), i = 0, . . . , n − 1.

Aproximace funkcı – metoda nejmensıch ctvercu(MNC)

Aproximace funkcı – metoda nejmensıch ctvercu (MNC)

I Mame body [xi , yi ], i = 0, . . . , n, obvykle zıskane merenım.I Zname typ funkcnı zavislosti mezi x a y , napr. y = c0 + c1x ,

obecne

y = Pm(x) = c0ϕ0(x) + · · ·+ cmϕm(x),

ϕj , j = 1, . . . ,m, jsou zname funkce.I Hledame hodnoty parametru c0, . . . , cm, pro ktere je

aproximace”nejlepsı“.

x0

x1

xn

y0

y1

yn

x

y

x0

x1

xn

y0

y1

yn

x

y


Volıme ty hodnoty koeficientu c0, . . . , cm, pro ktere je kvadratickaodchylka

ρ2(c0, . . . cm) =n∑

i=0

(yi − Pm(xi ))2 =n∑

i=0

(yi−c0ϕ0(xi )−· · ·−cmϕm(xi ))2

minimalnı.

...........n10 xxx

10 x+cy=c

n

1

0

e

e

e

...........n10 xxx

10 x+cy=c


Aproximace prımkou

Mame body [xi , yi ], i = 0, . . . , n.Hledame prımku

y = P1(x) = c0 + c1x ,

pro kterou je ρ2(c0, c1) =n∑

i=0

(yi − c0 − c1xi )2 minimalnı.

Normalnı rovnice pro koeficienty prımky

Koeficienty c0 a c1 najdeme jako resenı soustavy rovnic

c0

pocet bodu︷︸︸︷(n + 1) + c1

n∑i=0

xi =n∑

i=0

yi

c0

n∑i=0

xi + c1

n∑i=0

x2i =

n∑i=0

xiyi


Jsou-li vektory (1, 1, . . . , 1)︸︷︷︸(n+1)−krat

a (x0, x1, . . . , xn) linearne nezavisle,

normalnı soustava rovnic ma jedine resenı.


Jina moznost zapisu soustavy normalnıch rovnic pro prımku

ZTZc = ZTy,

kde

Z =

1 x0

1 x1...

...1 xn

, c =

(c0

c1

), y =

y0

y1...yn

.

Odtud pak

c =(ZTZ

)−1ZTy.


Aproximace parabolouMame body [xi , yi ], i = 0, . . . , n.Hledame parabolu

y = P2(x) = c0 + c1x + c2x2.

Normalnı rovnice pro koeficienty paraboly

Koeficienty c0, c1 a c2 najdeme jako resenı soustavy rovnic

c0


n∑i=0

xi + c2

n∑i=0

x2i =

n∑i=0

yi

c0

n∑i=0

xi + c1

n∑i=0

x2i + c2

n∑i=0

x3i =

n∑i=0

xiyi

c0

n∑i=0

x2i + c1

n∑i=0

x3i + c2

n∑i=0

x4i =

n∑i=0

x2i yi


Jina moznost zapisu soustavy normalnıch rovnic pro parabolu

ZTZc = ZTy,

kde

Z =

1 x0 x2

0

1 x1 x21

......

...1 xn x2

n

, c =

c0

c1

c2

, y =

y0

y1...yn

.

Odtud pak

c =(ZTZ

)−1ZTy.


Aproximace obecne

Mame body [xi , yi ], i = 0, . . . , n.Hledame funkci

y = Pm(x) = c0ϕ0(x) + c1ϕ1(x) + · · ·+ cmϕm(x),

ϕ0, . . . , ϕm jsou zname funkce.

Normalnı rovniceKoeficienty c0, c1, . . . , cm najdeme jako resenı soustavy rovnic

c0

n∑i=0

ϕ20(xi ) + c1

n∑i=0

ϕ1(xi )ϕ0(xi ) + · · · + cm

n∑i=0

ϕm(xi )ϕ0(xi ) =n∑

i=0

yiϕ0(xi )

c0

n∑i=0

ϕ0(xi )ϕ1(xi ) + c1

n∑i=0

ϕ21(xi ) + · · · + cm

n∑i=0

ϕm(xi )ϕ1(xi ) =n∑

i=0

yiϕ1(xi )

. . ....

c0

n∑i=0

ϕ0(xi )ϕm(xi ) + c1

n∑i=0

ϕ1(xi )ϕm(xi ) + · · · + cm

n∑i=0

ϕ2m(xi ) =

n∑i=0

yiϕm(xi )


Jina moznost zapisu soustavy normalnıch rovnic

ZTZc = ZTy,

kde

Z =

ϕ0(x0) ϕ1(x0) · · · ϕm(x0)ϕ0(x1) ϕ1(x1) · · · ϕm(x1)

......

...ϕ0(xn) ϕ1(xn) · · · ϕm(xn)

, c =

c0...cm

, y =

y0

y1...yn

.

Odtud pak

c =(ZTZ

)−1ZTy.


Jsou-li vektory

ϕ0 = (ϕ0(x0), ϕ0(x1), . . . , ϕ0(xn)),

ϕ1 = (ϕ1(x0), ϕ1(x1), . . . , ϕ1(xn)),...

ϕm = (ϕm(x0), ϕm(x1), . . . , ϕm(xn))

linearne nezavisle, normalnı soustava rovnic ma jedine resenı.

Matice soustavy ZTZ je v tomto prıpade symetricka pozitivnedefinitnı.


MNC – nelinearnı model

Nelinearnı model muze byt napr.

I y = aebx , hledame a a b,

I y = a sin(kx + b) + c , hledame a, k, b, c ,

I y = ab+cx , hledame a, b, c.

Obecne y = f (x , c0, . . . , cm), hledame c0, . . . , cm tak, aby

ρ2(c0, . . . , cm) =m∑i=0

(yi − f (xi , c0, . . . , cm))2

bylo minimalnı.

V nekterych prıpadech lze model linearizovat.

Obecne hledame minimum funkce vıce promennych – na to existujıspecialnı metody. Casto se pouzıva Levenberg-Marquardtuvalgoritmus.


Aproximace exponencialou

Mame body [xi , yi ], i = 0, . . . , n.Hledame exponencialnı funkci

y = aebx .

Zlogaritmujeme:ln y = ln a + bx

a dal postupujeme jako pri hledanı prımky.


Postup pri hledanı exponencialy

Oznacımec0 = ln a, c1 = b.

Koeficienty c0 a c1 najdeme jako resenı soustavy

c0


n∑i=0

xi =n∑

i=0

ln yi

c0

n∑i=0

xi + c1

n∑i=0

x2i =

n∑i=0

xi ln yi .

Koeficienty exponencialy jsou pak

a = ec0 , b = c1.


Pro takto nalezene a, b vsak

ρ2(a, b) =n∑

i=0

(yi − aebxi

)2

nemusı nabyvat nejmensı mozne hodnoty!

interpolace pomoc splajnuhlavicka/vyuka/bma3_predn/...interpolace pomoc splajnu m a-li f spojitou...

Documents