1

INTERFERENCIAS y DIFRACCIÓNINTERFERENCIAS y DIFRACCIÓN

INTERFERENCIASINTERFERENCIAS

SISTEMA DE DOBLE RENDIJA. EXPERIMENTO DE YOUNGSISTEMA DE DOBLE RENDIJA. EXPERIMENTO DE YOUNG

RENDIJAS MÚLTIPLESRENDIJAS MÚLTIPLES

DIFRACCIÓNDIFRACCIÓN

A J Barbero. Dept. Física Aplicada. Curso 2004/2005 antonio.barbero@uclm.es

DIFRACCIÓN DE FRAUNHOFER EN UNA RENDIJA ESTRECHADIFRACCIÓN DE FRAUNHOFER EN UNA RENDIJA ESTRECHA

EXPERIMENTAL: MEDIDA DE LA ANCHURA DE UNA RENDIJAEXPERIMENTAL: MEDIDA DE LA ANCHURA DE UNA RENDIJA

INTERFERENCIAS y DIFRACCIÓNINTERFERENCIAS y DIFRACCIÓN

EXPERIMENTAL: MEDIDA DE ANCHURA Y SEPARACIÓN EN DOBLE RENDIJAEXPERIMENTAL: MEDIDA DE ANCHURA Y SEPARACIÓN EN DOBLE RENDIJA

REDES DE DIFRACCIÓNREDES DE DIFRACCIÓN

PODER DE RESOLUCIÓNPODER DE RESOLUCIÓN

2

INTERFERENCIASINTERFERENCIAS

3

Interferencia es el fenómeno producido porla superposición de dos o más ondas, lo quepuede conseguirse haciendo coincidir en unmismo lugar rayos luminosos que procedende una misma fuente, pero que han seguidodistintos caminos hasta llegar a su objetivo.

4

2aD

Rendija 1

Rendija 2

Camino 1

Camino 2

2a

2a sen

Rendija 1

Rendija 2

Camino 1

Camino 2

(si D >> a los dos caminosson casi paralelos) tg = z/D

Z

Y

sen2

2a

z

sen tg

Interferencia en un sistema de doble rendija. Experimento de Young

D

zasina 2

22

2

)(

0)(

02kytjjkytj eeEeEE

)(01

kytjeEE

)1()1( )(0

)(0

*2121

jkytjjkytj eeEeeEEEEEI

)cos22()11()1()1( 20

20

20 EeeEeeE jjjj

5

)cos1(2 0 II

Intensidad en cada punto de la pantalla:

D

zasina 2

22

2

(rad)

0I

I

Máximos:

Mínimos:

cuando cos = +1

= ±2n (n = 0, 1, 2...)

cuando cos = -1

= ±(2m±1) (m = 0, 1, 2...)

6

Interferencia N rendijas

Suma de N ondas con igual amplitud y desfases iguales entre sí

)(0

)(02

kytjjkytj eeEeEE

)(01

kytjeEE

)(20

)2(03

kytjjkytj eeEeEE

)()1(0

))1((0

kytjNjNkytjN eeEeEE

)...1(... )1(2)(0321

NjjjkytjN eeeeEEEEEE

Suma: Serie geométrica de razónje

D

zasina 2

22

2

2

3

Z

7

2

21

1)... (1

2

2

222

222

)1(32

sine

Nsine

eee

eee

e

eeeee j

Nj

jjj

NjNjNj

j

NjjNjjj

Suma de la serie geométrica:

2

0

2

2

ky)-tj(-

2

2

ky)-tj(20

2

2

2

2e

2

2eE*EI

sin

Nsin

I

sine

Nsine

sine

Nsine

E j

Nj

j

Nj

Intensidad:

8

Cambio de variable:D

zasin

a

22

2

2

0I

sin

sinNIIntensidad:

-6 -4 -2 0 2 4 60

Inte

nsid

ad r

elat

iva

(radianes)

N = 2

N = 3

Máximosprincipales:

n,...2,1,0n

9

-4 -2 0 2 40

Inte

nsi

dad

rela

tiva

(radianes)

N = 2

N = 5

N = 10

10

Doble rendija. Caso particular N = 2.

2

2cos14cos4

cos22I 0

20

2

0

2

0

2

0

IIsin

sinI

sin

sinI

sin

sinNI

)cos1(2)2cos1(2 00 III

Intensidad de los máximos principales en el caso general

22

sen

senN

Nlim

m

La intensidad de los máximos principales es proporcional a N2I0

11

DIFRACCIÓNDIFRACCIÓN

2b

D

sen = 2/2b

sen = /2b

sen = 0

sen = -/2b

sen = -2/2b

12

La difracción es el fenómeno que se produce cuando lasondas (mecánicas, electromagnéticas o asociadas apartículas) alcanzan un obstáculo o abertura dedimensiones comparables a su propia longitud de onda,y que se manifiesta en forma de perturbaciones en lapropagación de la onda, bien sea rodeando el obstáculo,bien sea produciéndose una divergencia a partir de laabertura.

Patrón de difracción rendija

(máximo principal)

13

Difracción borde cuchilla

Difracción agujero circular

14

DIFRACCIÓN POR UNA RENDIJA

Inte

nsid

ad

Posición

15

2b

(D>>2b) (D>>z)

z

Haz

plano

Pantalla

D

Esquema de difracción de un haz plano por una rendija estrecha

O

2

0

sinb2

sinb2

sin

II

2

0 2

2

z

Db

zD

bsin

II

Rendija simple. Aproximación de Fraunhofer

20sincII

zD

b

2

sin

sinc

16

A medida que disminuye la anchura 2b de la rendija, el máximo central de difracción se hace más ancho. En la figura al margen, la línea continua corresponde al patrón de difracción de una rendija con 2b/=400, mientras quela línea discontinua pertenece al patrón de difracción de una rendija con un valor 2b/=200.El primer mínimo a la izquierda y a la derecha del máximo central ocurre cuando sin = 0, es decir, cuando se verifica = (2b/ )(z/D) = . Por lo tanto tendremos los primeros mínimos cuando z/D = /2b.

-0.010 -0.005 0.000 0.005 0.010

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-

-

Inte

nsid

ad r

elat

iva

y/L

20sincII

z/D

Z

17

22

)(

z

zsinzsinc

z = z = -

22

2

2 )2(

z

zsinzsinc

Función sinc2

Difracción por una rendija

2z = 2z = -

22

5.0

5.0 )5.0(

z

zsinzsinc

0.5z = 0.5z = -

Mínimos iguales a cero cuando

se verifica z = , 2, 3...

Máximo principal en z = 0

Máximos secundarios en los puntos que

verifican la ecuación trascendente tan z = z

z = 1.43, 2.56, 3.47...

18

Mínimos (iguales a 0)cuando sin z = 0

Máximo principal(igual a I0) cuando z = 0

Máximos secundarioscuando z cos z - sen z = 0 tan z = z

Máximos y mínimos

2

0

z

zsinII

0z

) cos( 230

zsinzzzsin

Idz

dI

0) cos( zsinzxzsin

Posiciones de máximos y mínimos

19

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-6

-4

-2

0

2

4

6

radianes

f1(z) = tan z

f2(z) = z

Véase ampliación entransparencia siguiente

20

Solución gráfica de la ecuación trascendente tan z = z cerca de laasíntota localizada en z = 3/2 radianes (recuadro figura anterior)

4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,04,0

4,2

4,4

4,6

4,8

5,0

radianes

43.149.4

f2(z) = z

f1(z) = tan z

21

En el esquema adjunto se presenta el patrón de difracción de Fraunhofer de una rendija estrecha, formado mediante un láser de He-Ne y recogido sobre una pantalla situada a 160 cm de distancia. Las posiciones de los mínimos de intensidad se dan en mm, colocando arbitrariamente el cero en el primer mínimo a la izquierda del máximo principal. La longitud de onda del láser utilizado es 632.8 nm. Determínese la anchura de la rendija, expresando el resultado con su error correspondiente.

0 24 36 48-12-24

z (mm)

EJEMPLO. MEDIDA DE LA ANCHURA DE UNA RENDIJA.

22

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Inte

nsi

da

d r

ela

tiva

Posición sobre la pantalla (mm)

0 24 36 48-12-24

z

2b

D

20sincII

Dzb

sinb

22

sin

sinc

MEDIDA DE LA ANCHURA DE UNA RENDIJA (Cont)

23

0 24 36 48-12-24

z (mm) 2 3-2-3

Hay un mínimo de difracción siempre que =±n (n=1, 2, 3...)

0 24 3612-12-24-36

Origen de coordenadas situado en el máximo central

m 104373.8012.0

60.1108.6322 5

9

b

Dzb

sinb

22

zD

b

1

2

Para = z = 0.012 m

Exceso de decimales

MEDIDA DE LA ANCHURA DE UNA RENDIJA (Cont)

24

zD

b

1

2

zzb

DDbb

b

)2()2()2(

)2(

001.0012.0

60.1108.63201.0

012.0108.632

101.0012.060.1

)2( 2

999

2

zz

DD

zzD

b

1.3·10-8 5.3·10-7 7.0·10-6

m 108m 106.7)2( 66 b

mm )008.0084.0(m 10)8.04.8(2 5 b

En el primer mínimo = zD

b2

MEDIDA DE LA ANCHURA DE UNA RENDIJA (Cont)

25

INTERFERENCIAS + DIFRACCIÓNINTERFERENCIAS + DIFRACCIÓN

26

22

0 sen

sensen

N

II

Intensidad de difracción en aproximación deFraunhofer para una rendija múltipleiluminada con luz monocromática:

sen2

sen

2b

sen2

sen

sen2

aN

Término de difracción

Término de interferencia

27

Mínimos de difracción: = n (n =1, 2,...)

Orden del máximo

Máximos de interferencia: = m (m = 0, 1, 2,...)

= k D

zbkk

Dza

22

22

0

22

0

senksenNksen

Isen

senNsenII

22

0

sensenNsen

II

28

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

N = 3

= 3In

ten

sid

ad

re

lativ

a

2z/D (rad)

29

-6 -4 -2 0 2 4 60.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

N = 3

= 3In

ten

sid

ad r

ela

tiva

2z/D (rad)

30

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

N = 3

= 3In

tens

ida

d r

ela

tiva

2z/D (rad)

31

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 N = 10

= 2

Inte

nsi

dad

rel

ativ

a

2z/D (rad)

32

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 N = 10

= 2

Inte

nsi

dad

rel

ativ

a

2z/D (rad)

33

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 N = 10

= 2

Inte

nsi

da

d r

ela

tiva

2z/D (rad)

34

-0.015 -0.010 -0.005 0.000 0.005 0.010 0.015

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Inte

nsid

ad r

elat

iva

y/L

100b2

200

a2

100b2

500

a2

2a

2b2b

Distribución de intensidades para los arreglos de doble rendija mostrados. Las dos rendijas tienen la misma anchura, y sus centros están separados lasdistancias indicadas. En línea discontinua aparece la intensidad difractada por una sola rendija de ancho 2b.

2a

2b2b

-0.015 -0.010 -0.005 0.000 0.005 0.010 0.015

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Inte

nsid

ad r

elat

iva

y/L z/D z/D

352a

2b2b

-0.015 -0.010 -0.005 0.000 0.005 0.010 0.015

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Inte

nsid

ad r

elat

iva

y/L

100b2

200

a2

-0.015 -0.010 -0.005 0.000 0.005 0.010 0.015

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Inte

nsid

ad r

elat

iva

y/L

75b2

200a2

2a

2b2b

Distribución de intensidades para los arreglos de doble rendija mostrados. Las dos rendijas tienen distinta anchura, pero sus centros están separados lamisma distancia. En línea discontinua aparece la intensidad difractada por una sola rendija de ancho 2b.

z/D z/D

36

EJEMPLO DE MEDIDA DOBLE RENDIJA

37

2

2

0

22

0 cossen

4sen

2sensenIII

2

4

43

221

sencos

xm

xmxmmmy

sen2b

sen2a

Intensidad del patrón de interferencia doble rendija

Forma de ajuste de los datos experimentales

fondo de intensidad la de medida :1m

02 4 Im

L

am

2 3 L

bm

2 4

2a

2b

x

L

x<<L

L

x sen

38

Tabla de datos. Medidas en las columnas Vueltas y k.

Conversión de R (k) a I (lux):

588.0log84.0

10R

I

Centrado de la figura (mm mmc):

mmc = mm +11.93

(Usando ajuste a polinomio de 2º grado en el entorno del máximo)

Relación mm/Vuelta=0.5

39

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

0

10

20

30

40

50

60

70y = m1+m2*(cos(m3*x))^2*(sin(m4*x)/(m4*x))^2

Data: d020513b_CModel: doblerendija

Chi2 =3.03217

R2 =0.99426m1 2.65741 ±0.3579m2 63.1253 ±0.71697m3 0.4011 ±0.0017m4 0.10015 ±0.00401

lux

mm

Representación gráfica y ajuste

x

= 632.8 nm L = (320010) mm

I =

40

-30 -20 -10 0 10 20 30

0

10

20

30

40

50

60

70y = m1+m2*(cos(m3*x))^2*(sin(m4*x)/(m4*x))^2

Data: d020513b_CModel: doblerendija

Chi2 =3.03217

R2 =0.99426m1 2.65741 ±0.3579m2 63.1253 ±0.71697m3 0.4011 ±0.0017m4 0.10015 ±0.00401lu

x

mm

Representación gráfica y ajuste (2)

x

= 632.8 nm L = (320010) mm

I =

41

lux 0.71.36 2 m

-13 mm 0.002401.0 m lux 0.47.2 1 m

-14 mm 0.004100.0 m

Cálculos

L

am

2 3

L

bm

2 4

mm 2585.03200108.632401.011

2 63

Lma

mm 0645.03200108.632100.011

2 64

Lmb

2

4

43

221

sencos

xmxm

xmmmI

42

LmLmmLL

L

aam

m

aa 3333

3

122212

mm 0.002 10108.632401.0103200401.0002.03200108.6321 676

LmLmmLL

L

bbm

m

bb 4444

4

122212

mm 0.003 10108.632100.0103200100.0004.03200108.6321 676

mm 0.002259.0 2 a

mm 0.003065.0 2 b

Errores

43

REDES DE DIFRACCIÓNREDES DE DIFRACCIÓN

44

22

0 sen

sensen

N

II

2a 2b

Esquema de una red de difracción

Término de difracción Término de interferencia

Una red de difracción, representada esquemáticamente en la figura, consiste en un agrupamiento de rendijas paralelas, de anchura 2b, cuyos centros se encuentran separados por una distancia 2a, denominada constante de la red.

45

Intensidad de la luz difractada por una red como función de la posición sobre una pantalla.

Pantalla

Red de difracción

D

z

Luz monocromática Máximo central

z-2 (m=-2)

z-1 (m=-1)

z0 (m=0)

z1 (m=+1)

z2 (m=+2) y2 (m=+2)

y1 (m=+1)

y0 (m=0)

y-1 (m=-1)

y-2 (m=-2)

Si disponemos una red de difracción en el camino de un haz luminoso monocromático de longitud de onda e intensidad I0 y recogemos el resultado en una pantalla situada

perpendicularmente a una distancia D (véase esquema en la figura), aparece un conjunto de máximos de intensidad sucesivamente decreciente agrupados a ciertas distancias a ambos lados de un máximo principal (el que corresponde al camino original del haz luminoso incidente, que tiene el rótulo m=0 en la figura). Los dos máximos inmediatos a ambos lados del principal se denominan de primer orden (señalados con m=1 en la figura); los dos que les siguen (señalados con m=2) son los máximos de segundo orden, y así sucesivamente. Las distancias de dichos máximos respecto a un origen arbitrario en la pantalla se han denotado como zm, y sus distancias

a la red de difracción como ym (= 0, 1, 2..).

46

Mínimos de difracción: = n (n =1, 2,...)

Orden del máximo

Máximos de interferencia: = m (m = 0, 1, 2,...)

= k D

zbkk

Dza

22

22

0

22

0

senksenNksen

Isen

senNsenII

22

0

sensenNsen

II

47

Máximos de interferencia: = m (m = 0, 1, 2,...)

sina

m2

sinam 2

a2

2asin

Interferencia constructiva: aquellos ángulos que verifican la condición

Aparecen máximos de interferencia muy estrechos, ya que el número N de rendijas es grande

m = 0 Máximo principal (sin desviación)

m = 1 Máximo(s) 1er orden

m = 2 Máximo(s) 2o orden

48

Principal

1º orden 1º orden

49

Dza

2

Da

mzm 2

mDza 2

Ejemplo. Se hace pasar un láser de He-Ne ( = 632.8 nm) por una red de difracción y en una pantalla distante 1.50 m se observa que la distancia entre el máximo principal y los máximos de primer orden es 9.49 cm. ¿Cuántas líneas por mm contiene esta red de difracción?

m 1050.11049.9

108.63212

52

9

D

z

ma

m

Líneas/mm = 1/(2a)

líneas/mm 10líneas/m 10 10/1255

50

Poder de resolución:

R es la menor diferencia entre dos

longitudes de onda próximas a que puede ser resuelta.

Cuando se iluminan N rendijas de una red de difracción el poder de resolución en el orden m es proporcional al producto mN

Nm

Poder de resolución

El poder de resolución es la capacidad de diferenciar entre dos longitudes de onda muy próximas