interacción gravitatoria. física 2º bachillerato

INTERACCIÓN�� GRAVITATORIA

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de 2

012

Interacción gravitatoria 1. Introducción histórica * Aportaciones de Newton * Otras aportaciones * Evolución de los modelos sobre el sistema solar

2. Dinámica del movimiento curvilíneo * Momento angular * Momento de una fuerza * Conservación del momento angular * Fuerzas centrales.

3. Leyes de Kepler

4. Ley de la gravitación universal

5. Partículas interacciones y campos.

6. Campo gravitatorio: concepto de campo. Principio de superposición.

7. Campo gravitatorio terrestre * Peso de un cuerpo * Variación con la altura y profundidad. * Peso aparente

8. Campos conservativos.

9. Energía potencial gravitatoria

10. Potencial gravitatorio.

11. Representación del campo gravitatorio

12. Movimiento de satélites artificiales

13. Trayectorias bajo la acción de un campo gravitatorio.

1. Introducción * Aportaciones de Newton * Otras aportaciones * Evolución de los modelos sobre el sistema solar

Sistema-‐Modelo

Sistema • Fenómenos • Comportamiento • Hechos experimentales

Naturaleza Modelo: *Conceptos * Teorías

Nuevas preguntas

Un ejemplo: Newton

Aportaciones en el conocimiento de hechos experimentales: 1. Leyes de la dinámica: Introduce el

concepto de fuerza 2. Ley de la gravitación universal:

• Unifica el movimiento planetario con movimientos sobre la superficie de los cuerpos (caída libre…)

Nuevos problemas: 1. ¿Cómo actúa la fuerza de la gravedad entre cuerpos sin

contacto entre si? 2. ¿Existe el contacto? Si d=0¿F=infinita?

Un ejemplo: Newton

Nuevos conceptos: 1. Acción a distancia, que permitió avanzar en nuevos

descubrimientos: Fuerza de Coulomb (interacciones entre cargas) o Ley de Laplace (fuerzas entre corrientes)

2. Campo, concepto mediador entre estas interacciones a distancia: • Campo gravitatorio: explica interacciones entre

masas. • Campo electrostático: explica interacciones entre

cargas o partículas cargadas. • Campo magnético: interacción entre corrientes o

cargas en movimiento.

1. Etapa de Atenas

Desarrollada en la antigua Grecia. Desarrollo paralelo de filosofía y ciencia.

Anaximandro (S. VII a.C.): Tierra cilíndrica con neblina que a veces dejaba ver el fuego y la luz (estrellas…)

Filoao de Tarento (S. V a.C.): Tierra esférica. Explica así hechos como la sombra de la Tierra en la Luna (eclipses), o pérdida de velamen de barcos en el horizonte.

Platón (S IV a.C.) 1. Tierra esférica como centro del Universo. 2. Cuerpos celestes divinos y perfectos girando con MCU alrededor de la Tierra. (Modelo geocéntrico)

Lo peor: MUNDO DE LAS IDEAS vs. MUNDO SENSIBLE O mudo irreal= nuestros sentidos nos engañan = NO HAY OBSERVACIONES VÁLIDAS = PARÓN DE LA CIENCIA…

Modelos del sistema solar

• El universo (Cosmos) estaba constituido por dos regiones esféricas, separadas y concéntricas: Mundo sublunar y supralunar.

• Sub-lunar: La Tierra que ocupaba el centro del universo, era la región de los elementos, fuego, aire, agua y tierra

• Supra-lunar: Más allá de la esfera lunar se encontraba la región etérea de los cielos, cuyo único elemento era la incorruptible quinta esencia

• Los movimientos de todos los astros situados en esferas concéntricas con la Tierra eran perfectos

• El universo concluía con la esfera de las estrellas fijas

Aceptación del modelo de ARISTÓTELES

No explicaba hechos como los rizos de algunos planetas en sus trayectorias (movimientos retrógrados)

2. Etapa de Alejandría

Alejandría: primera biblioteca y museo del mundo antiguo (900.000 volúmenes)….copistas insaciables. Astrónomo: Perfecciona instrumentos, crea otros, realiza programas de investigación y de observación sistemáticos….Un ejemplo, su fundador Ptolomeo.

La biblioteca de Alejandría llegó a ser la depositaria de las copias de todos los libros del mundo antiguo. Allí fue donde realmente se llevó a cabo por primera vez el arte de la edición crítica.

¿La Web antigua?


Aristarco de Samos (S. III a.C.): La Tierra gira sobre su eje. Sostiene que el Sol está fijo y que es la Tierra, junto con los demás planetas los que giran a su alrededor. (M. Heliocéntrico) Fue el primero en determinar la distancia a la Luna y al Sol. Resultados inexactos (instrumentos) pero el método es correcto. Dedujo que cuando la Luna estaba exactamente en Cuarto Creciente el triángulo TLS era rectángulo:

Erastótenes de Cirene: Mide el radio del globo terrestre y la oblicuidad de la eclíptica.

tg β = sombra / altura = 0,5053 / 4 = 0,126325 β = arctg 0,126325 = 7,2º

Después planteó una sencilla regla de tres. Al multiplicar 787,5 km. x 360º y dividir el resultado entre 7,2º, calculó que la circunferencia terrestre medía 39.375 km.


Hiparco de Nicea (S II a.C.): Observó que la velocidad de la Tierra alrededor del Sol era variable. Propuso la idea de los epiciclos y deferentes.

Dedujo la precesión de los equinoccios, y anticipó eclipses de Luna así como su tamaño.

Claudio Ptolomeo(120-180 S II d.C.): El mayor astrónomo de Alejandría. Defendió el modelo geocéntrico: 1. Tierra en el centro del universo conocido. 2. Alrededor se movían la Luna, Mercurio, Venus, el Sol, Marte, Júpiter, Saturno y las estrellas 3. Los astros se mueven en epiciclos con MCU, alrededor de un punto que también describe un MCU en sentido inverso.

• Las causas más importantes de los modelos geocéntricos frente a los heliocéntricos fueron:

- L a f a l t a d e c á l c u l o s y predicciones cuantitativas sobre las trayectorias de los planetas

- Si la Tierra no fuese el centro del universo, a lo largo de su recorrido habría estrellas que tendrían que verse bajo distintos ángulos. Este fenómeno se denomina para la je de las estrellas fijas

• Ptolomeo justificó su modelo ca lcu lando los mov imientos planetarios y prediciendo eclipses de Sol y de Luna (justificaba hechos)

• Ptolomeo observó que los planetas realizaban movimientos retrógrados, volviendo sobre su trayectoria formando lazos en la esfera celeste (hechos)

• Para justificarlo uti l izó un movimiento compuesto por dos rotaciones (modelo)

• El planeta giraba alrededor de un punto que era el que en realidad rotaba con respecto a la Tierra

• La órbita alrededor de la Tierra se denomina eclíptica y la del planeta epiciclo

• Un modelo sencillo de epiciclos no daba respuesta a las caprichosas órbitas de algunos planetas, por lo que hubo que introducir varios epiciclos, e incluso epiciclos dentro de otros epiciclos (intentaba reafirmarse en su modelo)

14

3. Etapa Renacentista

• Desde la Tierra se apreciaba que planetas como Mercurio y Venus, que están más cercanos al Sol, tenían un brillo variable (hecho) a lo largo del año, lo que parecía indicar que las distancias con respecto a la Tierra variaban y por tanto no podían girar alrededor de esta; se llegó a la conclusión que todos los planetas tenían que girar alrededor del Sol (modelo heliocéntrico)

• Este planteamiento le permitió justificar el movimiento retrógrado de los planetas para el que Ptolomeo había introducido los epiciclos

A AA

C

C

C

D

D

D

G

G

GH

H

H

B

B

B

I I I

F

F

F

E EE

Nicolás Copérnico (S XV)

Nicolás Copérnico (S XV)

Con este astrónomo resurge la astronomía… siglo XV !!! Modelo de predicción: • Más sencillo en sus cálculos. • Contrario a la idea de la Biblia • Algunos lo aceptaban SÓLO para realizar cálculos de posiciones, pero no como modelo cosmológico.

La diferencia fundamental entre el modelo de Ptolomeo y el del Copérnico es el sistema de referencia, ya que el movimiento siempre es relativo y sus descripción está afectada por la elección de este sistema de referencia.

GALILEO Galilei

• Galileo (1609) consiguió observar las fases de Venus con la ayuda de un telescopio (hechos)( i n i c i a o b s e r v a c i ó n a s t r o n ó m i c a instrumental), convirtiéndose así en el primer defensor a ultranza del sistema copernicano

• Encontró infinidad de estrellas nunca vistas hasta entonces y l legó a descubrir la deformidad de la Luna y su superficie rugosa (hechos)

• En 1610 Galileo descubrió los satélites de Júpiter, confirmando así que la Tierra no era el centro del universo (modelo)

• En 1632 publicó en Florencia su obra Diálogo sobre los dos grandes sistemas del mundo

• Un año después fue procesado por la Inquisición (consecuencias)

Galileo nació en Pisa en 1564

17

Los cuerpos celestes no son perfectos: montañas sobre la luna, manchas solares.

La Tierra no es solamente el centro de rotación (p.ej. Lunas de Jupiter).

Venus pasa por el frente y por detrás del Sol (no puede ocurrir si el sistema de Tolomeo es correcto).

Algunos descubrimientos de Galileo

2. Anexo Dinámica del movimiento curvilíneo * Momento angular * Momento de una fuerza * Conservación del momento angular * Fuerzas centrales

• SÓLIDO RÍGIDO es aquel en el que las distancias mutuas entre cada para de puntos, no varían con el Zempo (ej. Bola de acero). (hipótesis o suposición que sirve para simplificar estudios)

• MOVIMIENTO DE TRASLACIÓN de un sólido rígido, equivale a estudiar el de uno cualquiera de sus puntos.

• Nos basaremos en un punto llamado CENTRO DE MASAS, donde supondremos concentrada toda la masa.

• La velocidad del CM representará la de todo el cuerpo celeste • Si es homogéneo, será el centro geométrico.

• Consideraremos los cuerpos celestes como puntos materiales (punto sin extensión pero con masa).

• VELOCIDAD: Si una par]cula m se mueve siguiendo una trayectoria curvilínea, su velocidad v es tangente a la trayectoria en todos sus puntos, aunque puede variar de módulo y dirección. Su senZdo siempre es el de avance del movimiento

• ACELERACIÓN: En general tendremos dos componentes de la aceleración: – Aceleración TANGENCIAL. Mide los cambios del módulo del vector

velocidad (tamaño). Como su nombre indica es tangente a la trayectoria.

– Aceleración NORMAL o CENTRÍPETA. Mide los cambios de dirección del vector velocidad. Siempre está dirigida hacia el centro de la trayectoria. Depende del módulo de la velocidad y del radio de giro.

€

at =dvdt

an =v2

ρ

• FUERZA RESULTANTE: Será la suma vectorial de las dos componentes tangencial y normal.

€

at =dvdt

m⎯ → ⎯ Ft = mat → F t = Ft . ˆ u t

an =v2

ρm⎯ → ⎯ Fn = man →

F n = Fn . ˆ u n

€

F = F t + F n → F = Ft

2 + Fn2

Su módulo, teniendo en cuenta que Ft y Fn son perpendiculares será:

Así definimos la fuerza resultante en función de componentes intrínsecas (propias)

Si el movimiento es CIRCULAR UNIFORME, sólo existe la fuerza normal

• MOMENTO DE UNA FUERZA : – Ley de la palanca o ley del torno. (máquinas simples: poleas, planos

inclinados, tornos y palancas) se enuncian así:

POTENCIA POR SU BRAZO ES IGUAL A RESISTENCIA POR EL SUYO

¿Qué quieren decir? Los efectos de las fuerzas dependen de: • Valor (intensidad o módulo) de la fuerza • Distancia al punto de apoyo (brazo en una palanca) o al eje de giro (torno)

MOMENTO DE UNA FUERZA = FUERZA X DISTANCIA

El momento de una fuerza F, aplicada en P, respecto a un punto (O) es un VECTOR:

€

M 0 =

r x F

módulo : M 0 = rFsen(α)dirección : ⊥plano(r,F)sentido : regla mano derecha Producto

vectorial

• MOMENTO ANGULAR: Cuando una par]cula de masa m se mueve con velocidad v, con respecto a un punto O, se llama momento angular al momento de su canZdad de movimiento (p=m.v).

€

L 0 = r x p = r x m v

módulo : L0 = r mv sen(α)dirección : ⊥plano(r,v)sentido : regla mano derecha

Llamando α al ángulo que forman r y v (0≤α≤180º), encontramos:

Magnitud MUY IMPORTANTE para caracterizar de estados físicos estacionarios, al igual que se estudió la conservación de ENERGÍA (movimientos), MOMENTO LINEAL (choques), o de la MASA Y CARGA (sistemas químicos)

Producto vectorial

• ¿CÓMO VARÍA EL MOMENTO ANGULAR? TEOREMA DEL MOMENTO ANGULAR: Acudimos a la derivación de un producto vectorial

€

d L 0dt

=d r dt

x m v + r x m d v dt

=

= v x m v + r x m a =

= r x F =

M 0Hay que tener en cuenta que ya que son paralelos.

€

v x m v = 0

€

d L 0dt

=

M 0

LA VARIACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR POR UNIDAD DE TIEMPO, ES IGUAL AL MOMENTO RESULTANTE DE TODAS LAS

FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE LA PARTÍCULA EN DICHO PUNTO.

• Si, pero…. ¿CÓMO PUEDE VARÍAR EL MOMENTO ANGULAR?

1. Cambiar el módulo de L, cambiando el módulo de la velocidad (v) , distancia al eje de giro (r) o ángulo α

€

L 0 = r x p = r x m v

módulo : L0 = r mv sen(α)dirección : ⊥plano(r,v)sentido : regla mano derecha

€

L0 = r mv sen(α)

2. Cambiar el la dirección de L, cambiando el plano formado por la velocidad (v) , y el vector r

3. Cambiar el sentido de L, cambiando el sentido del vector velocidad, y por tanto cambiando el sentido de giro del movimiento.

• Entendido, pero……¿quién ORIGINA los cambios de L?

Es necesaria la aplicación de UNA o varias FUERZAS EXTERNAS cuyo MOMENTO RESULTANTE (NO NULO) ORIGINE LOS CAMBIOS DEL VECTOR MOMENTO CINÉTICO.

€

d L 0dt

=

M 0

• ¿Y cuándo permanece constante L?

CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR. CONSECUENCIAS.

€

d L 0dt

= 0⇒ L 0 = CONSTANTE

• Si conserva su dirección: la trayectoria siempre se realizará en el mismo plano, lo que quiere decir que las trayectorias don planas (2D). • Si conserva su sentido: la partícula recorre la trayectoria conservando su sentido (no se da la vuelta) • Si conserva su módulo, el vector de posición r barre áreas iguales en tiempos iguales, es decir la VELOCIDAD AEROLAR ES CONSTANTE

La velocidad aerolar se define como el área barrida por el vector de

posición (o radio vector ) por unidad de Zempo.

• ¿Y en qué casos sucede la conservación de L? FUERZAS CENTRALES

Las fuerzas centrales tienen que cumplir DOS CONDICIONES: 1. Su línea de acción pasa (siempre) por un punto fijo

llamado CENTRO O POLO (O). 2. Su módulo depende de la distancia a dicho polo.

• ¿Porqué se conserva L cuando actúan fuerzas centrales?

€

F = F(r)

€

F // r →

M o =

r x F = 0

ya que Mo = r.F.sen(180º ) = 0

Y como Mo vale cero, L es constante.

€

d L 0dt

=

M 0 = 0⇒ L 0 = CTE.

3. Leyes de Kepler

LAS LEYES DE KEPLER.

Sol

Foco • Eje menor

• Tras cuatro años de observaciones sobre Marte, llegó a la conclusión de que los datos colocaban las órbitas ocho minutos de arco fuera del esquema circular de Copérnico (hecho)

• Comprobó que este hecho se repetía para todos los planetas (hecho)

• Descubrió que la elipse era la curva que podía definir el movimiento planetario (hecho)

• La posición del extremo del semieje mayor más alejada del Sol se llama afelio

Afelio

•

b

a

Eje mayor

• La posición más cercana, es el perihelio

Perihelio

•

1ª LEY: Los planetas describen órbitas elípZcas alrededor del Sol, estando situado este, en uno de sus focos.

• Kepler observó que la velocidad de los planetas dependía de su posición en la órbita: en el afelio se mueve más lento y el perihelio más rápido. (hechos)

• El módulo del producto vectorial de 2 vectores es el área del paralelogramo que forman.

Para un triángulo:

1 de enero

Sol

A A

30 de enero

30 de julio

1 de julio

siendo dA/dt la velocidad aerolar.

2ª LEY: El radio-‐vector dirigido desde el Sol a los planetas, barre áreas iguales en Zempos iguales (ley de las áreas)

• Como en el sistema solo actúan fuerzas centrales, entonces M=0 y por tanto L=cte. .

• A partir de aquí se deduce que la velocidad areolar también es constante ya que es:

• Sirvió como base de la ley de Newton de la gravitación universal, y permitió calcular la masa de los planetas

• Cada planeta, parecía tener su órbita propia y su velocidad independiente del resto. Buscó la regla y encontró la solución en las medidas de Tycho Brahe

• Esta ley muestra la relación entre los tamaños de las órbitas y el tiempo empleado por los planetas en recorrerlas

3ª LEY: El cuadrado de los periodos de revolución de los planetas alrededor del Sol (T) es proporcional a los cubos de los semiejes mayores (a), o radios medios, de sus órbitas (r), T 2 = Kr 3 siendo K una constante igual para todos los planetas

€

T12

r13 =

T22

r23 = k

• T son periodos de revolución, r son las distancias medias de los planetas al Sol.

• k es una constante que varía para cada sistema planetario:

• El Sol tiene una…

• Júpiter y sus lunas otra…

CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR EN EL CAMPO GRAVITATORIO

m

• Un campo de fuerzas es central cuando, en cualquier punto de él, la fuerza ejercida sobre un cuerpo está en la misma recta que une el cuerpo con el origen del campo y su valor solo depende de la distancia entre ambos:

• La fuerza es de la forma:

• Si el campo es gravitatorio:

m’

• Si el campo es central, los vectores y tienen la misma dirección// y su momento de fuerzas es nulo:

⇒

La conservación del momento angular implica que se conserven módulo,

dirección y senZdo

Sol Tierra

• Por conservar el módulo:

• Por conservar la dirección:

• Por conservar el sentido

Representa el área del paralelogramo formado por los dos vectores que constituyen el producto vectorial

ΔS

Como , la velocidad areolar también

El momento angular será perpendicular al plano que forman los vectores y , por tanto la trayectoria de la partícula debe estar en un plano

Si conserva el sentido, la partícula siempre recorrerá la órbita en el mismo sentido, y por tanto las trayectorias de los cuerpos en el seno de campos de fuerzas centrales serán curvas planas. La conservación de la dirección y el sentido obliga a que los planetas siempre giren en el mismo sentido y en órbitas planas

S t

m 2 L t r m r

Δ = =

Δ Δ x →

→ Δ

2º LEY DE KEPLER

€

Lsol = r mv sen(α)⇒afelio↑r↓vperihelio↓r↑v

• La conservación del módulo justifica la ley de las áreas

4. Ley de la gravitación universal

Ley de la gravitación universal

Sobre el problema de la caída de los cuerpos…

Aristóteles:

€

vcaida = k(peso)

€

⇒↑ peso↓ tcaida ↑vcaida

Galileo (demuestra):

€

tcaida ≠ f (masa)v ≠ f (peso)

v = 2.g.h

altura =12gt 2

Newton apunta además que: * Fuerzas que hace caer los cuerpos = F que sostiene la Luna en órbita (Unificación)

Newton, para completar su estudio del movimiento de los planetas, sus leyes de movimiento con una descripción específica de la fuerza de gravedad

Conociendo el comportamiento básico de los planetas a partir de las leyes de Kepler, Newton pudo determinar una ley de fuerzas apropiada, la Ley de la Gravitación Universal:

F es la fuerza gravitacional M y m son las masas de los dos objetos r es la separación entre los dos CENTROS DE MASAS de los dos objetos. G es la constante de gravitación universal, válida para dos masas cualesquiera (G= 6,67.10-11 Nm2kg-2)

€

F g = G M .m

r2

Ley de la gravitación universal

La gravedad es relativamente débil debido al valor tan pequeño de la constante de la gravitación G, en unidades métricas,

Por lo tanto, se requieren masas grandes para poder sentir una fuerza apreciable, p.ej. La masa de la Tierra es 6.0x1024 kg.

A pesar de la masa grande de la Tierra, la fuerza gravitacional que sientes en la superficie de la Tierra, tu peso, es solamente unos cuentos cientos de Newtons.

LA FUERZA CON QUE LA TIERRA TE ATRAE (TU PESO) ES LA MISMA CON QUE TU ATRAES A LA TIERRA.

La gravedad es una fuerza atractiva, y de acuerdo con la Tercera Ley de Newton, las dos masas (cuerpos) sienten fuerzas iguales y opuestas.

Fuerzas de atracción mutua: acción reacción

m h

R r

• La atracción de la esfera actúa como si toda su masa estuviese concentrada en el centro y por ello, contamos las distancias de CM a CM

• A partir de esta ley, Newton pudo explicar fenómenos tales como:

- Las protuberancias de la Tierra y de Júpiter a causa de su rotación

- El origen de las mareas

- Las trayectorias de los planetas

- La variación de la gravedad con la altura

- El cambio en el eje de rotación de la Tierra, etc

€

r = Rt + h

CENTRO DE MASAS

De un objeto: coincide con el centro de gravedad, por ser el punto de aplicación del peso. De un sistema de partículas es un punto que, a muchos efectos, se mueve como si fuera una partícula de masa igual a la masa total del sistema sometida a la resultante de las fuerzas que actúan sobre el mismo.

LA CONSTANTE G DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL

Es la fuerza con que se atraen dos masas de 1 Kg cada una cuando están situadas a 1 m de distancia.

Balanza de torsión de Cavendish, 1798

• Atracción entre M-m • Se produce un par de torsión que hace girar al hilo metálico que tiene espejo adosado. • Giro del espejo y desviación del rayo reflejado • El ángulo girado se mide por la posición del rayo reflejado en una escala.

€

F N =

F g →m v2

r= G M .m

r2

v=2π r

T⎯ → ⎯ ⎯ 4π 2rT 2 = G M

r2

Demostración de la tercera ley de Kepler

La fuerza gravitacional crea la aceleración centrípeta necesaria para el movimiento circular:

Sustituyendo v y operando…

€

T 2

r 3=4π 2

GM= k

M representa la masa del elemento central del sistema, en nuestro caso el Sol. Si fuese Júpiter y sus lunas sería la masa de Júpiter.

Esta ley, la Tercera Ley de Kepler, se puede usar para encontrar la masa de cualquier cuerpo en el cual se pueda medir la distancia y el periodo del cuerpo orbitando (iniciando con el sistema Tierra-Luna).

Sol

Tierra

R

No hay una mecánica terrestre y otra celeste (Aristóteles) Sólo hay una mecánica Universal (Newton) para planetas y graves

Masa inercial y masa gravitatoria

Masa inercial: medida de la inercia que posee un cuerpo al variar su estado de reposo o de MRU. Asociada por tanto al movimiento y a las leyes de la dinámica de Newton.

Masa gravitatoria: cantidad de materia que posee un cuerpo. Es la que determinamos a través de una balanza, comparando fuerzas gravitatorias (pesos).

Conceptualmente distintas Igual valor.

5. Anexo Par]culas, interacciones y campos * Tipos de par]culas * Tipos de interacciones * Tipos de campos

Las 4 interacciones fundamentales

Interacción =

fuerza

Ejemplo enlazado por

esta interacción

Pariculas afectadas y pariculas intermedias

Alcance e intensidad

Gravitatoria Sistema solar • Par]culas con masa

• Gravitones? • Infinito • 10-‐39

ElectromagnéZca Átomo • Par]culas con carga

• Fotones • Infinito • 10-‐15

Interacción débil No se conoce. Median en

interacciones

• Electrones, neutrinos, quarks

• Hadrones • Leptones

• <10-‐14 cm • 1/137

Fuerza nuclear fuerte

Núcleo atómico • Quarks • Gluones

• Corto • 1

• …PERO plantea dos dificultades conceptuales: 1. GRAVEDAD = FUERZA A DISTANCIA ¿mecanismo?¿gravitones? 2. LA EXPRESIÓN DE LA GRAVITACIÓN NO CONTIENE EL TIEMPO ¿existe una velocidad de propagación finita de la fuerza o se transmite instantáneamente?

De nuevo tenemos respuestas, pero nuevas preguntas sin responder…

LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL Unifica mecánica de cielos y Tierra

Las fuerzas pueden actuar..

Tipo ¿Cómo actúan? Ejemplos

POR CONTACTO Existe un vínculo

tsico • Fricción • Tracción

A DISTANCIA Actúan en el vacío

• Gravitatorias • ElectromagnéZcas

• FND • FNF

Para explicar el mecanismo con que actúan estas fuerzas a distancia, se introduce el concepto de CAMPO: Región del espacio donde se puede asignar a cada punto una magnitud física.

Campos escalares y campos vectoriales

Los campos representan la distribución espacial de una magnitud escalar o vectorial.

Campo escalar Un campo escalar corresponde la representación en el espacio de una magnitud física que requiere sólo de un número para su caracterización, es decir para cada punto del espacio tenemos un valor de la magnitud escalar.

Ejemplos: • Distribución de temperaturas dentro de un cuerpo, • Distribución de las presiones dentro de un fluido • Un ejemplo conocido, y por lo tanto intuitivo, es el de las curvas de nivel en cartografía, que se usa para poder representar la topografía de una región en un mapa bidimensional. En este caso, el campo escalar que corresponde es el campo de alturas H(x,y), de una región de la superficie de la tierra, en función de la posición de puntos sobre un plano (proyección). Se trata, evidentemente de un campo escalar en el espacio bidimensional, la altura de un punto está dada por z = H(x,y) • Otro ejemplo, la temperatura de una habitación varía con la distancia al foco de calor.


Campo vectorial Representa la distribución espacial de una magnitud vectorial. Es una expresión de cálculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio euclídeo, de la forma.

Un campo vectorial, en cambio, corresponde a una magnitud física que requiere de varios números para su descripcción, como puede ser un campo de fuerzas gravitacionales o eléctricas.

1ª: Todo cuerpo genera un campo de fuerzas a su alrededor

2ª: Si en el espacio alterado por la presencia del campo ponemos un 2º cuerpo (TESTIGO), éste recibe una fuerza, siendo el campo de fuerzas el soporte de esa interacción a distancia.

€

C vectorial =

C vectorial (x, y, z)


Ejemplos de campos vectoriales: • la velocidad y la dirección de un fluido en el espacio. Las capas de líquido que fluyen a través de una conducción dependen de la distancia a las paredes de la misma, y forman por tanto un campo de velocidades. • la intensidad y la dirección de fuerzas como la gravitatoria o la fuerza electromagnética.

€

C vectorial =

C vectorial (x, y, z)

6. Campo gravitatorio * Concepto de campo * Principio de superposición.

• M crea el campo, y modifica las propiedades del espacio que la rodea de modo independiente a la existencia o proximidad de ningún otra masa.

• El campo creado por M será descrito por:

• Potencial gravitatorio (campo escalar) Vg (en J/kg)

• Intensidad del campo (campo vectorial) (en N/kg) manifestado por la fuerza gravitatoria que actúa sobre la unidad de masa (masa testigo) colocada en él.

Concepto de campo y magnitudes asociadas PASO A PASO

€

→g (r)€

V (r)

€

V (r)

€

→g (r)

Concepto • La ecuación de Newton proporciona la expresión de

la fuerza entre dos masas:

• Para explicar la acción que una masa ejerce sobre otra situada a cierta distancia, se introduce el concepto de campo de fuerzas €

→

Fg = −G M m2r

→

ru siendo→

ru =→rr

• La fuerza gravitatoria sobre otra masa inmersa en el campo es:

• El vector intensidad de campo gravitatorio en un punto es el vector fuerza por unidad de masa situada en dicho punto

€

ˆ u radial = r r

=vector

módulo del vector

€

→g =

→

Fgmtestigo y se expresa en N/kg o también

m/s2 en el S.I.

x

y

z

M

m

Características

x

y

z

M

m

€

→rˆ u r

€

ˆ u r = r r

=vectormódulo

€

→

g = −G M2r

→

ru = −G Mr 3 ˆ r

→g = G M2r

M = masa creadora

Principio de superposición

• La intensidad del campo en un punto P, creado por un conjunto de masas puntuales, se obtiene calculando la intensidad de campo creada por cada una de las partículas y sumando los resultados parciales

m1

m2

m3

P

siendo

• También se puede aplicar al cálculo de la fuerza ejercida sobre cierta masa por la acción de un conjunto discreto de ellas

Si un cuerpo está someZdo a la acción de varias fuerzas gravitatorias, el efecto total resultante es la suma de los efectos individuales de cada fuerza

Principio de superposición

7. Campo gravitatorio terrestre * Peso de un cuerpo * Variación del peso con la altura y la profundidad * Peso aparente: variación del peso con la latitud.

• Cuando se trata de cuerpos extensos, se supone (simplificación) que la masa concentrada en el centro de masas, y además se considera para las distancias que r = RT + h

• El módulo del campo gravitatorio creado es:

• En las proximidades de la superficie, donde h es despreciable frente al RT puede considerarse:

€

0g = G TMT

2R= 9,8 m

s2→ Peso = F = mgo

• La fuerza ejercida sobre un cuerpo de masa m colocado a una altura h sobre la superficie terrestre será su peso:

r = RT+h

P

A h

RT

Campo gravitatorio terrestre

€

→

g = −G Mt2r

→

ru = −G Mt2

Rt+h( )→

ru

€

g = G Mt2

Rt+h( )

€

g =G MT

RT + h( )2

g =G M

RT 1+hRT

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

g =G MT

RT2

1

1+hRT

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

Demostración

€

go =G MT

RT2 = 9,8m / s2

útil :goRT2 =GMT

PESO EN LAS PROXIMIDADES DE LA SUPERFICIE

Si se mueve bajo la acción exclusiva del campo gravitatorio:

TODOS LOS CUERPOS QUE SE MUEVEN BAJO LA ACCIÓN EXCLUSIVA DEL CAMPO GRAVITATORIO LO HACEN DE FORMA IDÉNTICA, INDEPENDIENTE DE SU MASA Y CON UNA ACELERACIÓN IGUAL A LA DE LA GRAVEDAD

€

g =G MT

RT2

1

1+hRT

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

PESO DE UN CUERPO = FUERZA CON QUE ES ATRAÍDO HACIA EL CENTRO DE LA TIERRA POR LA GRAVEDAD

• Para un cuerpo pequeño de masa m próximo a la superficie:

• La diferencia entre MT y m hace que la posición de la Zerra no se altere, mientras los cuerpos ejecutan movimiento de caída libre con a = g0

• Situación de ingravidez de los astronautas:

Los astronautas se encuentran en ingravidez aparente, lo que no significa que no haya gravedad, sino que la fuerza gravitatoria que la Tierra ejerce sobre ellos se uZliza para describir su órbita circular (g hace de aceleración centrípeta para que describan su m.c.u. con la velocidad que llevan)

LA FUERZA DE ATRACCIÓN GRAVITATORIA TERRESTRE PUEDE

HACER CAER LOS CUERPOS SOBRE LA TIERRA O HACERLES DESCRIBIR ÓRBITAS A SU ALREDEDOR. TODO DEPENDE DE LA VELOCIDAD DE ESTOS CUERPOS (MÓDULO Y DIRECCIÓN)

• Supongamos que deseamos estudiar el campo gravitatorio creado por una ESFERA MACIZA HOMOGÉNEA (capas esféricas uniformes):

– CAMPO GRAVITATORIO EXTERIOR IGUAL AL CREADO POR UN PUNTO MATERIAL DE IGUAL MASA SITUADO EN EL CENTRO DE LA ESFERA

– CAMPO GRAVITATORIO EN LA SUPERFICIE: Valor máximo

€

gexterior =G Mr2

(r > Rt )

go =G MRt2 (r = Rt )

Variación con la altura y profundidad

En ocasiones usaremos un cambio de variable:

€

Cambio1

g =G MT

r2=G MTRT

2

RT2r2

= g0RT

2

r2

Cambio 2

g0 =G MT

RT2 → goRT

2 =GMT

• Supongamos que deseamos estudiar el campo gravitatorio creado por una ESFERA MACIZA HOMOGÉNEA (capas esféricas uniformes):

– CAMPO GRAVITATORIO DENTRO DE LA ESFERA DEPENDE DE LA DISTRIBUCIÓN DE MASA. Si es homogénea, el valor máximo (g0) está en la superficie

€

gint erior =G M int erior

r2(r < Rt )

gint erior =Gρ43π . r 3

r2


€

gint erior =43πGρ r

• Supongamos que deseamos estudiar el campo gravitatorio creado por una ESFERA HUECA

– CAMPO GRAVITATORIO EXTERIOR IGUAL AL ANTERIOR.

– CAMPO GRAVITATORIO DENTRO DE LA ESFERA ES NULO, YA QUE LA MASA INTERIOR ES CERO.

– En la superficie (r=Rt), tendremos el valor máximo (g0)

€

gexterior =G Mr2

(r ≥ Rt )

gint erior = 0 (r < Rt )


NO es un caso real

Peso aparente de un cuerpo: variación con la latitud (distancia º al ecuador)

€

F = m a N →∑ F N = m g o +

T

Si bien la intensidad real del campo gravitatorio terrestre no varía de un punto a otro de la Tierra que se encuentren a la misma distancia del centro de la misma (y supuesta ésta esférica y con una densidad homogénea), es cierto que la g aparente varía con la latitud debido a la rotación de la Tierra sobre si misma. Para calcular esta g aparente, debemos tener en cuenta que es la normal a la superficie la que nos da el peso aparente de los cuerpos. Imaginemos un cuerpo de masa m colocado en la superficie terrestre, si el cuerpo está en reposo respecto del suelo, girará con la misma velocidad angular que la Tierra y, por tanto, parte del peso real actuará como fuerza centrípeta y la otra parte será anulada por la "normal" a la superficie, así:

Peso aparente de un cuerpo: variación con la latitud (distancia º al ecuador)

€

F N = m g o +

T →mgo −T = maN

€

T = mgo −maN = m(go − aN )

€

go = 9,8 ms2

aN =v2

RT=ω2RT =

2πT

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ 2

RT = 0,034 ms2

En el Ecuador….máximo valor de an…

Ejemplo: Una persona de 80 kg, tendrá en el ecuador un peso de : Pa=m (go-an)=

= 80 (9,8-0,034)= 781 N

Preal= m go = 80. 9,8 = 748 N

8. Campos conservativos

Campos de fuerzas conservativos

• Sea una partícula de masa m situada en el seno de un campo de fuerzas

A

B

• Para desplazamientos infinitesimales:

• El camino total desde un punto A a otro B es la suma de todos los

• Si en cada se realiza un trabajo dW, el trabajo total será la suma de todos los realizados en cada intervalo infinitesimal:

• Por cada desplazamiento que realice la partícula, la fuerza del campo realiza un trabajo:

Campos de fuerzas conservaZvos son aquellos en los que el trabajo depende solo de los puntos inicial y final, y no del camino seguido

De A a B

Circulación del vector F a lo largo de la trayectoria de A a B

C1

C2 • A

• B

• En un campo de fuerzas conservativo, el resultado de la integral del trabajo realizado para ir desde A hasta B puede expresarse como una nueva función, Ep que depende solo de los puntos inicial y final

• Si el campo de fuerzas es conservativo,

• Si se invierte el segundo camino,

Cuando un cuerpo se desplaza por una trayectoria cerrada en un campo de fuerzas conservaZvo, el trabajo total realizado por las fuerzas del campo es nulo

€

F d r = 0

C∫

Ciclo (trayectoria cerrada): de A a B y vuelta a A

m

El campo gravitatorio es un campo conservativo

m’ A

B •

• Las fuerzas gravitatorias creadas por una partícula m que actúan sobre la partícula m’, son radiales y con sentido hacia m

• Cualquier camino de A hasta B se descompone en suma de arcos circulares centrados en m y de desplazamientos radiales

• El trabajo por el arco circular es nulo, por ser la fuerza perpendicular al desplazamiento

• El trabajo por el camino radial, es igual para todos los caminos que se elijan entre A y B

• Se define circulación de una magnitud vectorial a lo largo de una línea L a la integral definida entre los límites de dicha línea

• Si el campo es conservativo, la circulación a lo largo de una línea cerrada es nula

• Para el campo de fuerzas gravitatorio:

€

g C∫ d r = 1m

F d r

C∫ = 0

Trabajo en un campo de fuerzas conservativo

Modos de definir un campo de fuerzas conservaZvo

1. Aquel en el que el trabajo realizado por las fuerzas del campo NO DEPENDE DE LA TRAYECTORIA.

2. Aquel en el que trabajo realizado por las fuerzas del campo a lo largo de cualquier trayectoria CERRADA vale cero.

3. Aquel en el que existe una función (campo escalar) llamada ENERGÍA POTENCIAL tal que:

€

cicloW = F d r +

A

B

∫ F d r = 0

B

A

∫

9. Energía potencial gravitatoria

Energía potencial

• Una característica de los campos conservativos es que puede definirse una magnitud escalar denominada energía potencial

• Los cambios producidos en la energía potencial, indican el trabajo realizado por las fuerzas del campo

• Este trabajo no depende del camino recorrido sino de las posiciones inicial (A) y final (B) en las que se encuentra el cuerpo

Teorema de la energía potencial: En un campo conservaZvo el trabajo realizado por las fuerzas del campo es igual a la variación de la energía potencial cambiada de signo (disminución de energía potencial).

Ya sabemos cuánto vale su variación, pero ¿cuánto vale?…

Cálculo de la energía potencial

• Sea m (testigo) una masa puntual que se desplaza de A a B en el seno de un campo conservativo creado por otra masa puntual M (creadora) (fija y en el origen de coordenadas)

• El trabajo realizado por el campo en el desplazamiento AB es:

• Este trabajo no depende del camino recorrido sino de las posiciones inicial (A) y final (B) en las que se encuentra el cuerpo

€

A→BW = F d r = −G Mm

x2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ̂ i . (dx

xA

xB

∫A

B

∫ ˆ i ) =

= −G Mmx2 dx

xA

xB

∫ = −GMm 1x2 dx

xA

xB

∫ =

= −GMm

xA

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ − −

GMmxB

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ = EpA −EpB

€

B→AW = F d r =

B

A

∫

= −GMm

xB

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ − −

GMmxA

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ = EpB −EpA

Caso 1


• Vamos a utilizar ahora el vector de posición de la partícula m que se encuentra en P.

• Si suponemos que m se desplaza de A a B siguiendo la trayectoria L, el trabajo realizado por el campo en el desplazamiento AB es:

• De nuevo, el trabajo:

1. Es independiente de la trayectoria seguida, y sólo depende de los puntos inicial y final.

2. Para un ciclo, vale 0

3. Depende del valor de la Ep en los puntos inicial y final.

€

A→BW = F d r = −G Mm

x2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ̂ u r d ˆ r

xA

xB

∫A

B

∫ =

= −GMm 1r2 dr

rA

rB

∫ = −GMm −1r

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ rA

rB

=

= −GMm

rA

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ − −

GMmrB

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ = EpA (rA )−EpB rB( )

€

A→B→AW = F d r = 0∫

Caso 2

EP r

• La Energía potencial gravitatoria es cero cuando r tiende a infinito, y por tanto C = 0, y nos queda… €

Ep = G∫ Mmr2

d r ⇒ Ep= −G Mmr

+ C

• El trabajo realizado es máximo cuando los desplazamientos ( ) están en la misma dirección que , y así el producto escalar se reduce al producto de los módulos:

€

r d r

• La energía potencial de una masa a una cierta altura sobre la superficie de la Tierra es:

€

Ep = −G MT .mr

• Siempre negativa • Máxima y cero en r=infinito • Mínima en r=0 • Depende de M y m


€

r d r

Producto escalar de dos vectores paralelos vale cero.

EP r

Valor de la energía potencial

Podemos definir la Ep de un sistema formado por dos masas situadas en sus posiciones como la capacidad del sistema de realizar cuando las masas cambian de unas posiciones a otras en las que hemos asignado un valor de Ep=0. Interesa su variación, no su valor, ya que nos informa del W realizado.

Por comodidad: • Ep=0 en el infinito • M es la que crea el campo, y hablamos de la Ep de la masa testigo m en el campo que crea la mayor M

EP r

Variaciones de la energía potencial

A B

Ep(A)

Ep(B)

Bajar (de BA): disminuye la Ep ya que el campo gravitatorio realiza un W. El W será positivo.

Subir (de AB): aumenta la Ep ya que hay que realizar un W contra el campo. El W será negativo.

€

inicial→ finalW = Ep(inicial)−Ep( final)⇒ W = −ΔEp

€

rA = RT + h rB = RT

ΔEp = Ep (A) − Ep (B) = − G MTmRT + h

− −G MTmRT

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ =

=GMTm1RT

−1

RT + h⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ =GMTm

RT + h( )− RTRT RT + h( )

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ =

=GMTmh

RT RT + h( )⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ =GMTm

hRT

2 = mgh

Simplificación: si estamos muy cerca de de la superficie de la Tierra o sobre ella h es mucho menor que RT y por tanto despreciable frente a ella:

No se puede resolver un problema usando dos sistemas de referencia diferentes, así que mgh solo se emplea si todos los puntos del problema están muy cerca de la superficie de la Tierra y no hay ninguno en el espacio exterior.

• En el caso del campo gravitatorio terrestre y para distancias cercanas a su superficie se puede tomar como referencia la propia superficie de la Tierra. De ahí sale la expresión Ep=m.g.h

• La deducción comenza con el cálculo de la variación de Ep entre A y B:

Ejemplo: Variación de la energía potencial cuando m asciende de A a B, situado B en un punto cercano a la superficie de la Tierra (altura h)

€

RT (RT + h) = RT2 + hRT

h<<<RT⎯ → ⎯ ⎯

RT (RT + h) ≅ RT2

€

12mv2 = mgh→ h =

v2

2g=102

2. 9,8= 5,1m

€

EpA = −G MmRT

EpB = −G MmRT + h

12mv2 −G Mm

RT= 0 −G Mm

RT + h→

€

Ec(A)+Ep(A) = Ec(B)+Ep(B)

Ejemplo: Desde la superficie de la Tierra, se lanza un objeto (m=?) verZcalmente y hacia arriba. Calcular la altura máxima (v=0) alcanzada si: a) Su velocidad inicial es de 10 m/s b) Su velocidad inicial es de 10 km/s (Datos: G, Mt, Rt, sin

rozamiento)

1. Conservación de la Em

2. Si suponemos que Ep(A)=0, es decir en la superficie de la Tierra, resultará que Ec(A)=Ep(B)

Caso a): alcanzará altura pequeña:

Caso b): alcanzará altura grande y no valdrá nuestra aproximación y situaremos la Ep=0 en el infinito. En ese caso usaremos la ecuación de la Epg:

€

12mv2 =G Mm

RT−G Mm

RT + h→

h =v2

2go −v2

RT

= 2,56.107m = 25.600km

Lío

€

EpA = −G MmRT

EpB = −G MmRT + h

mejor...

EpA = −G MmRT

EpB = −G Mmr

Ejemplo: Desde la superficie de la Tierra, se lanza un objeto verZcalmente y hacia arriba. Calcular la altura máxima (v=0) alcanzada si: a) Su velocidad inicial es de 10 m/s b) Su velocidad inicial es de 10 km/s (Datos: G, Mt, Rt, sin

rozamiento)

€

12mv2 −G Mm

RT= 0 −G Mm

rdespejamos r⎯ → ⎯ ⎯ ⎯

G Mmr

=G MmRT

−12mv2 Se va m⎯ → ⎯ ⎯ r

r = RT + h RT⎯ → ⎯ h

No calcular h directamente. Mejor: 1º r y 2º h

€

EcA +EpA = EcB +EpB

10. Potencial gravitatorio Vg

• Por ser el campo gravitatorio conservativo, se puede definir una magnitud escalar que depende únicamente del cuerpo M que crea el campo y no del m que se coloca como testigo

POTENCIAL GRAVITATORIO

€

WA→B = EpA −EpB = m(VA −VB )

• Dicha magnitud se denomina potencial Vg y se define como la energía potencial por unidad de masa.

• Su unidad en el SI es de J/kg

• Por tanto el W para llevar la unidad de masa de A a B será:

€

VG =Epm

⇒ VG = − G Mr M = creadora( )

• La energía potencial de una masa m (testigo) situada en el seno de un campo gravitatorio creado por la masa M (creadora), será:

€

Ep = mV J

Una masa creadora M

Para calcular el potencial de varias masas puntuales: Principio de superposición:

POTENCIAL GRAVITATORIO

Varias masas creadoras M1, M2, M3,…

El resultado será negaZvo (escalar), como cada uno de los sumandos de la ecuación.

Vg r RT

• Se obtiene de la misma forma que en el caso de la energía potencial

• Para un punto P situado a una altura h de la superficie:

• En la superficie, el potencial gravitatorio V0 será:

• Teniendo en cuenta los valores de G, MT y RT resulta:

Vo = - g0 R = - 6,2 . 107 J/kg

€

VG (A) − VG (B) = − G m

Ar+ G m

Br

• La diferencia de potencial entre dos puntos A y B cuyas distancias al origen son rA y rB respectivamente es:

€

V0 =−G TMTR

€

VG (P) = − G TM(

TR + h)

€

VG (o) = − G TMTR

Diferencia de potencial gravitatorio

11. Representación del campo gravitatorio * Líneas de campo * Superficies equipotenciales

• Los campos de fuerzas se representan mediante líneas de campo o líneas de fuerza.

• En el campo gravitatorio, las líneas de campo como es un campo atractivo se dirigen hacia las fuentes del campo (sin origen, destino m –sumidero-)

Líneas de campo

• Módulo: se indica mediante la densidad de líneas de campo. Si se dibujan más líneas de campo se trata de un campo más intenso (densidad de líneas de campo)

• Dirección del campo en un punto es la tangente a la línea en dicho punto

• El sentido viene indicado por la flecha, y es el que seguiría la unidad de masa colocada en dicha línea por efecto de las fuerzas del campo

m M

• Importante: Las línea de campo NO SE CORTAN, ya que ello supondría dos valores resultantes y simultáneos del camp gravitatorio..

€

→g (r)

Líneas de campo (radiales)

Superficies equipotenciales (esféricas)

€

Vg (r)

• Tangente en cada punto al vector campo g(r) • Apunta en la misma dirección y sentido que el vector campo. • APUNTAN HACIA DONDE DECRECE EL POTENCIAL • Nunca se cruzan

• UNA masa creadora: Esferas de puntos con igual valor de Vg. • Al alejarnos de M, el potencial crece en valor real (menos negativo) pero decrece en valor absoluto. • Son PERPENDICULARES a las líneas de campo

http://www.xtec.cat/~ocasella/applets/gravita/appletsol2.htm

1. Definición: Formada por los lugares geométricos (puntos conZguos) de campo que Zenen el mismo potencial.

Si sólo hay una masa M creadora, hay una superficie equipotencial para cada valor del potencial, lo que indica que en la superficie equipotencial r=constante, es decir hay una esfera de puntos (x2+y2+z2=r2) de radio r en los que el potencial permanece constante.

2. Las superficies equipotenciales son perpendiculares a las líneas de campo: Por tanto si VA=VB, W=0 y ello implica que la fuerza F es perpendicular a r

Superficies equipotenciales

€

WAB = EpA −EpB = m(VA −VB )VA =VB⎯ → ⎯ ⎯

WAB = F d r

A

B

∫ = 0⇒ F ⊥d r

Superficies equipotenciales

3. El campo apunta hacia donde decrece el potencial, es decir, tiene el sentido de potenciales decrecientes. Deducción: Cuando una partícula cae en el sentido del campo, es decir bajo la acción de las fuerzas, el campo realiza un W (+) a costa de disminuir su Ep y su Vg.

4. La dirección en la que se produce la máxima variación del potencial es la dirección perpendicular a las superficies equipotenciales. Deducción: entre AB y AC exite la misma diferencia de potencial, pero la distancia recorrida es menor de A a B que de A a C.

€

g = −dVg

d r →ΔVg = −g.Δ r .cosθ

12. Movimiento de satélites artificiales * Velocidad de escape de un cohete * Velocidad orbital de un satélite * Energía orbital de un satélite * Satélites geoestacionarios * Poner en órbita un satélite

• Es la mínima velocidad que debe adquirir en la posición en la que esté, para escapar del campo gravitatorio del planeta en que se encuentre o alrededor del cual orbita. • 1º Desde la superficie de la Tierra: supondremos que se marcha al infinito (r es infinito), y aplicaremos en principio de conservación de la energía mecánica (rozamientos nulos) En el infinito Ec=0 y Ep=0:

€

ev = 2 0g TR =11,2 kms€

E = 0⇒ ETierra = E∞ = 0⇒12mvescape

2 −G MmRT

= 0→

vescape =2GMRT

VELOCIDAD DE ESCAPE DE UN COHETE

Valores: • Dependen del planeta y no de la masa del cohete

€

ve = f (M ,r)→ ve ≠ f (m)

ENERGÍA DE ESCAPE DE UN COHETE

• 2º Desde una órbita estable de altura h: un cuerpo atrapado en un campo gravitatorio puede escapar de él anulando su energía mecánica: Em= 0.

• Así, si el cuerpo está en una órbita circular de altura h, el trabajo de escape es el aumento de energía mecánica hasta llegar a Em=0:

€

Wescape = 0 −Emórbita = 0 − 12−GmMT

RT + h⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ =

GmMT

2(RT + h)> 0

h

E∞=0

Eórbita<0

r=Rt+h

ENERGÍA DE ESCAPE DE UN COHETE

• Gráficamente ambos casos:

€

Wescape = 0 −Emórbita = 0 − −GmMT

2(RT + h)=GmMT

2(RT + h)> 0

E∞=0

1º Escape de la superficie al ∞:(color azul): La energía aumenta hasta valer 0

2º Escape de la órbita estable al ∞: (color verde): La energía aumenta – pero menos- hasta valer 0

rEórbita<0 RT

E(J)

r E∞=0

Esuperficie

Eórbita

r RT ∞

VELOCIDAD ORBITAL

Es la velocidad que posee un satélite (natural o artificial) que se mueve alrededor de una estrella, planeta… siguiendo una órbita estable.

Si la órbita es estable, y describe una circunferencia, tendremos una fuerza de atracción gravitatoria responsable (o que da origen) a la fuerza normal:

€

vorbital = G TMr

€

FG = FN ⇒ G TM m2r = m

2vr

⇒

Observa que: • Es independiente de la masa del satélite (m) • Al aumentar la masa del planeta, aumenta la vorbital • Cuanto más cerca orbite, mayor será su vorbital

PERIODO DE REVOLUCIÓN Tiempo para dar describir una órbita completa

€

T =2π rvo

=2π rGMr

= 2π r rGM

→

€

T =4π 2r 3

GM3ªKepler( )

€

Eorbital = − G TM m2 r

ENERGÍA CINÉTICA Y ENERGÍA POTENCIAL

ENERGÍA ORBITAL: Cálculo de la energía total del satélite en órbita E=Ec+Ep €

cE =12G TM m

r

ENERGÍA ORBITAL

Cuanto más lejos menos Ec y mas Ep (menos negativa, y por tanto mayor).

SATÉLITES GEOESTACIONARIOS: PERIODO Y ALTURA

• Siempre se encuentra sobre el mismo punto de la superficie terrestre. • Su periodo de rotación es de T= 24 horas, el mismo que el de la Tierra. • Si estuviese sobre nosotros, estaría en el cénit. • ¿A qué altura orbita en la Tierra?:

€

T = 24 horas

€

T =4π 2r 3

GM→T 2 =

4π 2r 3

GM

r =T 2GM4π 2

3 Tierra⎯ → ⎯ ⎯ r = 4,22.107m

€

r = RT + h→ h = r − RTh = 4,22.107m − 6370.103m = 3,58.107mh = 35.863 km

– RECORDANDO QUE

– Y QUE TENEMOS UN MCU:

– OBTENEMOS EL RADIO DE ESTOS SATÉLITES:

– Los GEO Zenen inclinación 0º (siguen órbitas ecuatoriales), y todos Zenen la misma altura: hGEO=RGEO-‐RT=42 168 – 6 370 = 35 790 km

SATÉLITES GEOESTACIONARIOS: ÓRBITAS

ÓRBITA CIRCULAR Y ECUATORIAL.

• LA DISTANCIA AL ASTRO CENTRAL ES VARIABLE, PERO LA ENERGÍA MECÁNICA Y EL MOMENTO A N GU L A R S E M AN T I E N E N CONSTANTES.

SATÉLITES GEOESTACIONARIOS: ÓRBITAS

ÓRBITA ELÍPTICA

La fuerza de gravedad siempre hace que las cosas caigan. La pregunta es..¿la trayectoria de la caída intersecta cualquier superficie? La forma de la órbita depende de la velocidad que el cuerpo tenga en un punto dado.

• Velocidades bajas recorrerán distancias menores. • Velocidades grandes recorrerán distancias mayores. En estos casos se puede decir que las trayectorias son cerradas. • Velocidad es bastante grande (mayor o igual a la velocidad de escape), la orbita será una hipérbola (trayectoria abierta) en lugar de una elipse y el cuerpo no regresará.

LANZAMIENTO DE SATÉLITES

PUESTA EN ÓRBITA DE SATÉLITES: SATELIZACIÓN

Energía de satelización por el principio de conservación de la energía. La energía cinética del lanzamiento será:

Einicial = Efinal ⇒ EC inicial + Ep inicial = Ec,f + Ep,f ⇒

€

inicialEc = GTM m 1

TR⎡

⎣ ⎢ −

12 r⎤

⎦ ⎥

• A partir del valor de la Ec de satelización, la vinicial de lanzamiento necesaria para ponerlo en órbita circular desde la superficie terrestre, es:

€

Ecinicial =12mvi

2 = GmMT1RT

⎡

⎣ ⎢ −

12 r⎤

⎦ ⎥ ⇒

Velocidad de lanzamiento de un satélite

€

inicialv = 2GTM 1

TR⎡

⎣ ⎢ −

12 r⎤

⎦ ⎥

€

Ecinicial − G TM m

TR= − G TM m

2 r

Se realiza un W positivo en contra del campo, ya que Em,órbita > Em,suelo

• SE REQUIERE UN MÍNIMO DE DOS ETAPAS:

1. IMPULSO DESDE LA SUPERFICIE DE LA TIERRA HASTA LA ALTURA ORBITAL (CON COHETE DE PROPULSIÓN)

2. SE COMUNICA AL SATÉLITE UN IMPULSO TANGENCIAL ADECUADO CON PROPULSORES PARA CONSEGUIR LA ÓRBITA CIRCULAR O ELÍPTICA QUE SE DESEA

• EL LUGAR MÁS FAVORABLE PARA LANZAR UN SATÉLITE ES EL ECUADOR POR DOS RAZONES:

1. TIENE RADIO MÁXIMO (MENOR GRAVEDAD)

2. TIENE VELOCIDAD LINEAL MÁXIMA (COHETES LANZADOS NECESITAN UN IMPULSO MENOR)

El centro de lanzamiento de satélites debe estar situado lo más próximo al ecuador, con el fin de aprovechar la velocidad de rotación máxima de la Tierra durante un lanzamiento hacia el este, dedicando toda la capacidad propulsora del lanzador con un mínimo de maniobras orbitales de cambio de plano, que resultan costosas en términos energéticos

CAMBIO DE ÓRBITA

• Cada órbita estable tiene una Em fija y constante. • Al alejarnos aumenta la Em (menos negativa)

• Cambio a una órbita más alejada, hay que realizar un trabajo adicional positivo Wext > 0, es decir ganar energía (energía del salto) equivalente a ΔEm=Em,f – Em,i>0

• Cambio a una órbita más cercana, hay que realizar un trabajo adicional negativo Wext < 0, es decir, perder energía mecánica

€

Wext = ΔEm =−GmMTm2Rfinal

−−GmMT

2Rinicial=GmMT

21

Rinicial−

1Rfinal

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

E1<E2 r1

E(J)

Esuperficie

Eórbita 1

r1

r2

r2>r1 E2>E1

Eórbita 2

13. Trayectorias bajo la acción de un campo gravitatorio * Tipos de trayectorias * Estudio energético

– Al tratarse de una fuerza central, el momento cinéZco es constante:

– Si la órbita es circular, los vectores r y v son perpendiculares (sen 90=1) L = m·∙r·∙v

– Hay que tener en cuenta que el momento lineal cambia conZnuamente de dirección (órbita circular), pero su módulo sí se manZene constante:

€

L = r x m v = cons tan te

MOVIMIENTO DE SATÉLITES: MOMENTO LINEAL Y MOMENTO ANGULAR

• ¿Circulares o elípZcas? Requisitos que han de cumplir:

1. Órbitas planas. Si son elípZcas, perigeo es el punto más próximo a la Zerra y apogeo el más alejado

2. El plano de la órbita conZene al centro de la Zerra 3. Inclinación del plano orbital de cada satélite es fija 4. La velocidad depende de tamaño y forma de la órbita pero no de las caracterísZcas del satélite

MOVIMIENTO DE SATÉLITES: REQUISITOS DE LAS ÓRBITAS

• Dado que dentro de de un campo de fuerzas gravitatorio la energía potencial de un cuerpo siempre es negativa, y su energía cinética siempre positiva, la ET de ambas podrá ser negativa, nula o positiva

• Si es la mitad de la Ep

€

TE = −12 G

M mr < 0

• Atendiendo al signo de dicha energía, la trayectoria descrita por el cuerpo, será:

• CERRADA (E<0) describiendo una circunferencia, una elipse,

• ABIERTA

• E=0 describiendo una parábola o

• E>0 describiendo una hipérbola

CIRCUNFERENCIA

• Si es mayor que la anterior pero menor que cero

ELIPSE

PARÁBOLA

HIPÉRBOLA

• Si ET = 0 ⇒ Ec = Ep

• Si ET > 0 ⇒ Ec > Ep

ESTUDIO ENERGÉTICO

ESTUDIO ENERGÉTICO E1<0: Atrapado en el campo gravitatorio. La mayor distancia a la que puede estar es ro (punto de

retorno):

• ro= radio órbita si es circular. • ro= semieje mayor si es elíptica

• Al alejarnos Ec y Ep hasta que en ro, Ec=0 y Ep=máxima.

Ep = E - Ec Ep<0 Ec≥0

€

r (t)

ESTUDIO ENERGÉTICO E2=0: Puede escapar del campo gravitatorio.

En todos los puntos de la trayectoria se cumple que:

En el r=∞, llegará con Ec=0 (v=0), ya que allí Ec=Ep=0.

Ep= -Ec Ep<0 Ec>0

€

Ec(+) = Ep(−)→ E = 0

€

r (t)

€

m€

M

ESTUDIO ENERGÉTICO

E1<0: La componente radial de la velocidad es mayor que 0 en todos los puntos: • Ec>0 siempre, incluso en el r=∞

El cuerpo sólo se acerca al foco una sola vez.

Ep = E - Ec Ep<0

Ec>0 siempre

Datos

G = constante de gravitación universal 6,67 10-‐11 N m2 Kg2

TIERRA g0 =gravedad en la superficie de la Tierra = 9,8 m/s2 R T = Radio de la Zerra = 6370 km

MT = masa de la Zerra = 6 1024 kg R = Radio órbita en torno al sol= 1,5 108 km T = periodo de rotación de la Zerra = 24 horas Ts= periodo de rotación en torno al sol = 365 días.

• Dos planetas de masas iguales orbitan alrededor de una estrella de masa mucho mayor. El planeta 1 describe una órbita circular de radio 106 km con un periodo de rotación de 2 años mientras que el planeta o satélite 2 describe una órbita elípZca cuya distancia mas próxima es 108 y la mas alejada 1,8 108 ¿Cuál es el periodo de rotación del planeta o satélite 2

• Calcular la masa del Sol considerando que su órbita es 150 millones de kilómetros de radio.

1

2

• La masa de la luna es 1/81 de la masa de la Zerra y su radio es ¼ del radio de la Zerra. Calcula lo que pesara en la superficie de la luna una persona que Zene 70 kg de masa.

3

• Expresar en función del radio de la Tierra, a que distancia de la misma un objeto que Zene una masa de 1 kg pesará 1 N.

4

• En el punto A(2,0) se sitúa una masa de 2 kg y en el punto B (5,0) se coloca otra asa de 4 kg. Calcula la fuerza resultante que actúa sobre una tercera masa de 5 kg cuando se coloca en el origen de coordenadas y cuando se sitúa en el punto C(2,4).

5

• Calcula el periodo de la estación espacial internacional ISS sabiendo que gira en una órbita situada a una distancia media de 400 km sobre la superficie de la Zerra.

6

• Un satélite arZficial se dice geoestacionario si esta siempre en la verZcal de un cierto punto de la Zerra. – ¿A que altura están los satélites geoestacionarios? – ¿Cual es el momento angular respecto a centro de la Zerra de un satélite geoestacionario de 500 g de masa?

– ¿Puede haber satélites geoestacionarios en la verZcal de un punto de España?

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La Tierra en su perihelio esta a a una distancia de 147 millones de km del sol y lleva una velocidad de 30,3 km/s ¿Cuál es la velocidad de la Zerra en su afelio si dista 152 millones de km del sol?.

8

¿Cuál sería el periodo orbital de la Tierra si la masa del Sol fuera 9 veces mayor? Discuta las implicaciones si esto fuera cierto

Suponga que se descubrió un nuevo cometa y que las observaciones indican que su periodo es de 1000 años, ¿A qué distancia (promedio) se encuentra del Sol?

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interacción gravitatoria. física 2º bachillerato

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