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Intensification des contraintes à
l’extrémité de fissures
CFMR - Chapitre 4
A. Zeghloul
Master Matériaux-Mécanique-Structures-Procédés
SOMMAIRE
� Introduction – Concept de facteur d’intensité des contraintes K
� Modes de sollicitation des fissures
� Approche de Westergaard
� Expression des champs de contrainte et de déplacement
� Définition du FIC K et expressions des champs de contrainte et de
déplacement
� Mode de cisaillement anti-plan
� Principe de superposition
� Zone plastifiée à fond de fissure
� Méthodes pratiques de calcul du FIC – Méthode des fonctions poids
� Ténacité - FIC critique
� Approche énergétique de Griffith
� Relation entre énergie de Griffith et FIC K
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2 - vérifier que la fonction poids précédente est exacte en considérant le chargement
simple σ0 sur les lèvres de la fissure.
1(x)
2
xh
a xaπ=
−
σ0
2a
x
y2
0
0
( 2 )2
a
I
xK x a dx
a xa
σπ
= =−∫
2Changement de variable 2 cos
4 cos sin
x a
dx a
αα α
=⇒ = −
2 / 2 / 2
0 0 0
cos4 cos sin 2 (1 cos 2 )
2 sin
ax
dx a d a d aa x
π πα α α α α α πα
= = + =−∫ ∫ ∫
00( 2 )IK x a a a
a
σ π σ ππ
⇒ = = =
K p x h x dxI = z ( ) ( )0IK aσ π=
K p x h x dxI = z ( ) ( )
K x aa
p xx
a xdxI
a
( ) ( )= =−z2
1
20
2
π
K xa
p xa x
xdxI
a
( ) ( )= = −z01 2
0
2
π
2a
x
y
p0
2p0
p(x) parabolique( )2
0 2( ) 1
x ap x p
a
−= +
1(x)
2
xh
a xaπ=
−
2a
x
y p(x)
Exemple
( )22
002
0
2 3( 0) 1
2
a
I
x ap a xK x dx p a
a xaπ
π
− −= = + = ∫
3 – Calculer KI pour l’exemple ci-dessous.
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4 - Calculer le FIC KI au l’extrémité x=l pour les chargements (1) et (2)
sachant que le KI pour le chargement * est :
*
2I
lK
πσ ∞= *
2 2( )
4I
zZ z
z l
σ ∞
=−
I i iK T h ds
Γ
= ∫
*
*
'
2
ii
I
uEh
K l
∂=∂
* *
2
2Sur les lèvres Im ( ) en CPIu Z x
E= *
2 2( )
4I
xZ x
x l
σ ∞
=−
* * 2 2
1 4IZ Z dx x lσ ∞= = −∫* 2 2
2
2( ,0 , ) 4u x l l x
E
σ ∞±⇒ = ± −
En se plaçant sur le repère associé
au chargement (1) ce qui revient
à changer x en x-l/2,
le déplacement u2* s’écrit :
*
2
2( ,0 , ) ( )u x l x l x
E
σ ∞± = ± −
*
2 ( ,0 , )u x l x
l E l x
σ± ∞∂⇒ = ±
∂ −
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I i iK T h ds
Γ
= ∫
**
*La relation donne compte tenu de
2 2
ii I
I
uE lh K
K l
πσ ∞∂= =∂
*
22 *
( ,0 , ) 1( ,0 , )
2 2I
u x lE xh x l
K l l xlπ
±± ∂ ±= ± =
∂ −
Seule la composante T2 du vecteur contrainte est non nulle. Elle est donnée par :
Chargement (1) T2=σ¶ sur la lèvre supérieure et T2=-σ¶ sur la lèvre inférieure,
Chargement (2) T2=σ¶x/l sur la lèvre supérieure et T2=-σ¶x/l sur la lèvre inférieure.
2(1) 2 2
0 02 2 2sin ( sin )
2 2
l
I
x lK dx d x l
l xl l
πσ σ θ θ θπ π
∞ ∞
= = =−∫ ∫
2(1)
02 (1 cos 2 )
22I
l lK d
l
πσ πθ θ σπ
∞∞⇒ = − =∫
2(2) 4 2
0 02 2 2sin ( sin )
2 2
l
I
x x lK dx d x l
l l xl l
πσ σ θ θ θπ π
∞ ∞
= = =−∫ ∫
2(2)
0
1 3 cos 42 2cos 2
2 2 22I
lK d
l
πσ θθ θπ
∞ = − +
∫
(2) 3
4 2I
lK
πσ ∞⇒ =
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FIC K pour fissures tridimensionnelles
Les fissures traversantes avec un front bien défini ont une configuration 2D. Les
méthodes indiquées précédemment permettent le calcul du FIC K dans un grand
nombre de cas simples.
Lorsque les fissures ont un caractère tridimensionnel comme celles de surface ou de
coin, le FIC K varie le long du front de fissure ; on le calcule par la méthode des
éléments finis.
En pratique, lorsque ces fissures s'amorcent, elle se propagent dans les directions où le
FIC K est plus élevé mais elles tendent le plus souvent vers une configuration où le FIC
se stabilise le long du front de fissure si bien qu’on peut les traiter ensuite en 2D.
Pour des fissures de surface ou de coin de forme elliptique (a/c <1) dans des plaques
sollicitées en mode I, Raju et Newman9,10 ont proposés pour le calcul du KI des
formules empiriques obtenues par ajustement numérique aux résultats de calculs par
éléments finis :
, ,I S
a aK aF
c tσ π ϕ∞ =
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( )2 3
3 1 0,08 0,15( ) (1 cos )g a t ϕ= + + −
( )2 3
2 1 0,08 0,4( ) (1 sin )g a t ϕ= + + −
FIC critique - Ténacité
Les évolutions caractéristiques de KIc , obtenues à partir d’essais normalisées,
sont représentées schématiquement sur la figure suivante .
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http://nte.mines-albi.fr/SciMat/co/SM6uc2-2.html
Matériau Ténacité (MPa÷m σR (MPa)
2014 T651 40 500
TA6V 85 1020
40CrMoV20 42 1850
35NiCrMo16 95 1850
Céramique 5 800
Quelques valeurs de la ténacité des matériaux
Mesure de la ténacité
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En plus des conditions précédentes, les normes ASTM exigent, lors de l’essai de
mesure de KIc, de s’assurer que :
le diagramme P-d ;
Diagramme charge-déplacement et procédure
de détermination des charges PQ et Pu.
IC QK K=
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TD11 : Mesure de ténacité KIc
(figure fi)
L’enregistrement du digramme charge-déplacement
a donné les valeurs suivantes
Calculer la ténacité KIc et vérifier que la valeur
trouvée est conforme aux conditions de l’ASTM.
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Corrigé du TD 11
1ère condition
vérifiée
La condition i.
vérifiée
La condition ii. vérifiée
La condition iii. vérifiée
La condition iv.
vérifiée
70,6IC QK K MPa m= =Conditions de l’ASTM toutes
vérifiées î
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Approche énergétique de Griffith
Dans un matériau, une extension ∆a d’une
fissure de longueur a s’accompagne des
variations d’énergie suivante :
Généralement, on considère l’unité d’épaisseur (e=1) si bien que l’énergie G rapportée
à l’épaisseur unité devient :
� Propagation à déplacement u imposé (figure b)
� Propagation à force P imposée (figure c)
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Propagation à déplacement (b) ou à force (c) imposés.
Diagrammes charge-déplacement
2 22
2
1
2 2 2él él
u
u u CW CP W a
C C a
∂ = = ⇒ ∆ = − ∆ ∂
∆u=0 ï ∆Wext=0 avec Wél=Pu/2, soit en introduisant la complaisance
(c.à.d. l’inverse de la rigidité) C=u/P :
2 2
22 2u u
u C P CG
C a a
∂ ∂ = = ∂ ∂
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2
2 P
P CG
a
∂ = ∂
Les expressions précédentes de l’énergie de Griffith G pour une propagation de
fissure à déplacement ou force imposés peuvent se mettre sous une forme unique :
2
ou 2 u P
P CG
a
∂ = ∂
Si l’épaisseur e de l’éprouvette n’est pas égale à un, l’expression de G est :
2
ou 2 u P
P CG
e a
∂ = ∂
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Dans les deux cas examinés (chargement à déplacement ou force imposés), il apparait
que l’énergie ∆U dépensée lors de la propagation est égale à l’aire du triangle OAB dans
le diagramme charge-déplacement.
Pour réaliser ce type de chargement, la machine d’essai doit être soit de rigidité infinie
pour imposer un déplacement, soit de souplesse infinie pour imposer une force.
Dans la pratique des essais, on est entre ces deux cas extrêmes et le diagramme charge-
déplacement présente pour différentes longueurs de fissure ai, l’allure suivante :
Diagramme charge-déplacement pour différentes longueurs de fissure.
Considérons à présent deux longueurs de fissure ai et aj. L’énergie ∆U correspond à
l’aire du triangle OAiAj :
' ' ' '
( )
( ) ( ) ( )
1 1 1 ( )( )
2 2 2
i j
i i i i j j j j
i i i j j i j j
U Aire OA A
Aire OA A Aire A A A A Aire OA A
Pu P P u u P u
∆ =
= + −
= + + − −
1( )
2i j j iU Pu P u⇒ ∆ = −
1
2
i j j i
j i
Pu P uG
e a a
−=
−
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Energie de Griffith critique GC
TD12 : Mesure de ténacité GIc
Ces résultats sont représentés sur les courbes charge-déplacement de
la figure suivante ;
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Courbe charge-déplacement à rupture d’un acier
Calculer la valeur moyenne en KJ/m2 de la ténacité de l’acier par les deux méthodes :
1
2
i j j i
I
j i
Pu P uG
e a a
−=
−
2
ou 2I
u P
P CG
e a
∂ = ∂
Corrigé du TD 12
Calcul de GIC à partir des aires dans le diagramme charge-déplacement
1
2
i j j i
I
j i
Pu P uG
e a a
−=
−
230,2 0,6 /5
ICmoy
IC
GG KJ m⇒ = = ±∑
2
1 2 3 3
1 4 0,5 3,5 0, 4Aire triangle 30,0 /
2 10 (40 30) 10IC
OA A G KJ m− −
× − ×⇒ = =
⋅ − ⋅
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Les valeurs de la complaisance C=u/P sont directement déduites des données :
Calcul de GIC à partir des variations de la complaisance
2
ou 2I
u P
P CG
e a
∂ = ∂
2
2I
P CG
e a
∂ = ∂ La ténacité est calculée par la relation
Pour plus de précision, on détermine GIC à partir des valeurs moyennes de ∂C/∂a
calculées à gauche et à droite de chaque valeur de a .
( )
( )
( )
( )
( )
76 1
3
76 1
3
76 1
3
76 1
3
7
3
(1, 43 1,00) 104,30 10
10 10
(2,02 1,43) 105,62 10
10,5 10
(2,79 2,02) 106,94 10
11,1 10
(3,59 2,79) 107,92 10
10,1 10
(4,26 3,59) 10
7,3 10
D
C a N
C a N
C a N
C a N
C a
−− −
−
−− −
−
−− −
−
−− −
−
−
−
− ⋅∂ ∂ = = ⋅⋅
− ⋅∂ ∂ = = ⋅⋅
− ⋅∂ ∂ = = ⋅⋅
− ⋅∂ ∂ = = ⋅⋅
− ⋅∂ ∂ =⋅
6 19,18 10 N− −= ⋅
( ) 6 140 4,96 10moy
a mm C a N− −= ⇒ ∂ ∂ = ⋅
( ) 6 150,5 6,28 10moy
a mm C a N− −= ⇒ ∂ ∂ = ⋅
( ) 6 161,6 7,43 10moy
a mm C a N− −= ⇒ ∂ ∂ = ⋅
( ) 6 171,7 8,55 10moy
a mm C a N− −= ⇒ ∂ ∂ = ⋅
( )2 6
6 2
3
3,5 10( 40 ) 4,96 10 30,38 /
2 10IC IC
G a mm G KJ m−−
⋅= = ⋅ ⇒ =
⋅
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a (mm) 40 50,5 61,6 71,7
GIC (KJ/m2) 30,38 30,57 29,13 29,35
229,86 0,39 /4
ICmoy
IC
GG KJ m⇒ = = ±∑
Les deux méthodes donnent des valeurs de la ténacité GIC proches.
Relation entre énergie de Griffith G et FIC K
Considérons une fissure sollicitée en mode I ; les chargements en mode II
ou III se traitent de façon similaire.
La fissure de longueur initiale a
se propage sur une distance ∆a.
Le champ de contrainte en aval
de l’extrémité A de la fissure est
donné par :
( , 0)2
Iy
Kr
rσ θ
π= =
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Le champ de déplacement des lèvres de la fissure en amont de l’extrémité A’
s’écrit :
La force appliquée aux lèvres de la fissure
est σy(r)edx avec r=x-a.
Le déplacement en r’=a+∆a-x est uy(r’).
Le travail de régression est donné par :
( , 0)2
Iy
Kr
rσ θ
π= =
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2 1 *
2
IK
U aυ
µ−∆ = ∆
2
0
1 *lim
2
II
a
KUG
a
υµ∆ →
∆ −⇒ = =
∆
( )2
21DP II
KG
Eυ= −
2CP II
KG
E=
( )2
2
' en CPou encore avec
' 1 en DP'
II
E EKG
E EE υ== = −
Mode II
( )2
2
' en CP avec
' 1 en DP'
IIII
E EKG
E EE υ== = −
Mode III
2
2
IIIIII
KG
µ=
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1
Application de la MLR
Fatigue des Matériaux
CFMR - Chapitre 5
A. Zeghloul
Master Matériaux-Mécanique-Structures-Procédés
SOMMAIRE
� Introduction
� Endurance en fatigue
� Endommagement par fatigue
� Fissuration par fatigue
� Endommagement en propagation par fatigue
� Fermeture de fissure en bas de cycle de fatigue
� Propagation des fissures courtes en fatigue
� Applications : calculs des durées de vie en fatigue
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Introduction
La fatigue correspond à la détérioration des propriétés mécaniques des matériaux
consécutives à l’application de sollicitations cycliques.
L’endommagement par fatigue, associé à un grand nombre de défaillances de
systèmes mécaniques (industries automobile, aéronautique …), se manifeste par
l’apparition de fissures qui se propagent ensuite et parfois jusqu’à rupture.
Dans la pratique des procédures de caractérisation du phénomène de fatigue, la
période de l’amorçage (apparition de fissure) est traitée à l’aide d’essais sur des
éprouvettes lisses (parfois entaillées) et l’on détermine alors une durée de vie en
fonction d’une amplitude de contrainte ou de déformation.
La phase de propagation est quant à elle essentiellement étudiée à partir d’essais
de fatigue sur des éprouvettes entaillées, la vitesse de fissuration est ensuite
décrite en fonction de l’amplitude du facteur d’intensité des contraintes ∆K.
Le développement de la mécanique de la rupture a été d’un apport majeur
dans l’étude et la description de la propagation des fissures de fatigue.
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4
Trajet du vol 32 Qantas Airways
L'accident s'est produit le 4 novembre 2010 à 10h01 heure locale (02h01
UTC) alors que l'appareil redécollait de Singapour en direction de Sydney.
Cause de l'accident
L'agence australienne de sécurité des transports et le motoriste Rolls-
Royce ont enquêté sur l'accident et ont établi que c'est un « défaut de
fabrication des turbines haute pression et à pression intermédiaire, là où le
circuit distribue l'huile pour les roulements des arbres » qui est en cause :
il a ensuite causé des fissures liées à la fatigue. C'est donc Rolls-Royce qui
a été reconnue coupable, et dû verser un dédommagement de 72 millions
d'euros à la compagnie australienne. Cet appareil a repris ses vols
commerciaux en avril 2012.
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Endurance en fatigue
Un cycle de contrainte est caractérisé par une amplitude de contrainte ∆σ et par une
contrainte moyenne σmoy.
Pour décrire les résultats, on utilise souvent
l’amplitude ∆σ et le rapport R défini par :
min
max1R
σσ
= < max min max (1 )Rσ σ σ σ∆ = − = −
max min 1
1 1 2(1 )
moyR R
R R R
σ σσ σ σ σ∆ ∆ += = = ∆− − −
Les courbes de fatigue sont souvent présentées en fonction de la contrainte alternée
σa qui correspond à la demi amplitude de contrainte:
( )max min1
2 2a
σσ σ σ∆= = −
aσ
Lorsqu’on soumet un lot d’éprouvettes à des sollicitations cycliques, d’amplitude et de
fréquence fixées, on obtient une courbe (en échelle semi-logarithmique) présentant la
contrainte alternée en fonction du nombre de cycles à rupture, qui a l’allure suivante:
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Cette dernière zone est délimitée par une asymptote qui donne la limite de fatigue ou
limite d’endurance, notée σD pour des essais à σmoy=0 ou R=-1
La limite d’endurance σD peut être définie comme l’amplitude de contrainte en
dessous de laquelle une microfissure créée par fatigue dans un matériau n’arrive plus à
passer une barrière métallurgique telle un joint de grain par exemple.
Dans la zone 2 d’endurance limitée, une des nombreuses expressions empiriques pour
relier σa et NR est la relation de Weibull :
( )/ pour n
R a D a DN A σ σ σ σ= − >
La zone 1 correspond au domaine de fatigue oligocyclique où les contraintes
appliquées sont supérieures à la limite d’élasticité du matériau. Dans cette zone, la
courbe contrainte-déformation stabilisée prend la forme d’une boucle d’hystérésis.
Les lois empiriques les plus utilisées pour décrire les résultats de fatigue oligocyclique
sont :
( )' 2 Relation de Manson-Coffin2
' et coefficient et exposant de ductilité en fatigue
cp
f R
f
N
c
εε
ε
∆= ⋅ ( )'
2 Relation de Basquin2
' et coefficient et exposant de résistance à la fatigue
bfeR
f
NE
b
σε
σ
∆ = ⋅
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Dans la zone 3 d’endurance illimitée, il est parfois difficile d’évaluer la limite de
fatigue ou limite d’endurance σD.
On introduit alors la notion de limite de fatigue conventionnelle qui correspond à
la plus grande amplitude de contrainte pour laquelle la probabilité de rupture est
de 50% après N cycles de sollicitation (N variant de 106 à 108).
Aspect probabiliste de la courbe de Wöhler
Etant donné la dispersion sur les résultats d’essais d’endurance, il est nécessaire
de construire des courbes d’équiprobabilité.
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La courbe de Wöhler étant la courbe médiane à 50%, il est vérifié par l’expérience
que :
- La distribution de Log(NR) suit une loi normale pour une contrainte donnée;
- La distribution de la contrainte suit une loi normale pour un nombre de cycles
donné.
Influence de la contrainte moyenne sur la
courbe de Wöhler
Lorsque les essais de fatigue sont réalisés à
contrainte moyenne σm non nulle, la durée de
vie est modifiée :
- Une contrainte moyenne de traction
diminue la durée de vie ;
- Une contrainte moyenne de compression
l’augmente ;
- La limite d’endurance σD varie dans les
mêmes sens.
Différents diagrammes permettent de représenter ces variations :
- Digramme de Haig;
- Droites de Söderberg ou de Goodman;
- Parabole de Gerber.
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Diagramme de Haig
Ce diagramme, déduit des courbes de Wöhler, représente la variation de l’amplitude de
contrainte σa=∆σ/2 en fonction de la contrainte moyenne σm pour NR donné.
Les points A et B correspondent respectivement à σD obtenue à R=-1 (σm=0) et à Rm la
résistance à rupture en traction. La construction expérimentale de Haig résulte :
Construction du Diagramme de Haig
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TD13 : Calcul de durées de vie à partir des Diagrammes d’endurance
Une pièce en alliage d’aluminium est soumise à un chargement cyclique variant
de 50 à 350MPa. Estimer la durée de cette pièce à partir des droites de Goodman
de Söderberg, et de la parabole de Gerber.
Données : Re=435MPa, Rm=570MPa et la courbe de Wöhler à σm=0 est décrite
par σD=a-bLogNR avec a=630MPa et b=65MPa.
Corrigé
Droite de Söderberg (1 ) 278ma D D
e
MPaR
σσ σ σ= − ⇒ =
Contraintes alternée et moyenne : 150 200a mMPa MPaσ σ= =
52,60 10RN cycles⇒ = ⋅
Droite de Goodman (1 ) 231ma D D
m
MPaR
σσ σ σ= − ⇒ = 61,38 10RN cycles⇒ = ⋅
2
Parabole de Gerber 1 171ma D D
m
MPaR
σσ σ σ = − ⇒ =
71,15 10RN cycles⇒ = ⋅