integrales
DESCRIPTION
Material teorico sobre integralesTRANSCRIPT
La Integral de Riemann
Facilitadora:Ing. Formocina Rivero
Punto Fijo; Abril de 2010
Universidad Nacional Experimental Francisco de MirandaÁrea de Tecnología. Departamento de Física y Matemática
UUNNEEFFMM
Coro Edo. Coro Edo. FalcónFalcón
Universidad Nacional Experimental Francisco de MirandaÁrea de Tecnología. Departamento de Física y Matemática
UUNNEEFFMM
Coro Edo. Coro Edo. FalcónFalcón
Objetivo Didáctico:
Al finalizar la unidad el estudiante será capaz de resolver problemas matemáticos en donde use como herramienta la integral definida.
Contenidos
Integral de RiemannPropiedades de la Integral de Riemann Teorema Fundamental del CálculoTécnicas de Integración La Integral como límiteIntegrales Impropias
Departamento de Física y Matemática
Introducción
UUNNEEFFMM
PropiedadesPropiedades
IntroducciónIntroducciónIntroducciónIntroducción
Teorema Fundamental
Teorema Fundamental
Técnicas de Integración
Técnicas de Integración
La Integral Como LímitesLa Integral
Como Límites
Integral de Riemann
Integral de Riemann
Integrales Impropias Integrales Impropias
Por los cursos tomados en Física de Bachillerato: La parte correspondiente a CINEMÁTICA
taVotV )( 2
2
1tatVod
22s
ma smVo 1
ttV 21)(
Tiempo (t) Distancia (d) Área
1 2 2
2 6 6
3 12 12
4 20 20
h
BB menorMayortrapecio .
2)(
2ttd
BM
Bm
h
Departamento de Física y Matemática
Integral de Riemann
UUNNEEFFMM
PropiedadesPropiedades
Integral de Integral de RiemannRiemannIntegral de Integral de RiemannRiemann
Teorema Fundamental
Teorema Fundamental
Técnicas de Integración
Técnicas de Integración
La Integral Como LímitesLa Integral
Como Límites
IntroducciónIntroducción
Integrales Impropias Integrales Impropias
Definición: Si I: [a,b] es un intervalo cerrado acotado en R, entonces una partición de I se escribe:
Definición: Si I: [a,b] es un intervalo cerrado acotado en R, entonces una partición de I se escribe:
nxxxxP ,....,,: 210
bxxxxxa nn 1210 ....
10 , xx 21, xx ,....,,1 kk xx nn xx ,1
Un conjunto finito y ordenado tal que:Un conjunto finito y ordenado tal que:
0xa 1x 2x 1kx kx 1nx bxn
Subintervalos no traslapados:Subintervalos no traslapados:
Departamento de Física y Matemática
Integral de Riemann
UUNNEEFFMM
PropiedadesPropiedades
Integral de Integral de RiemannRiemannIntegral de Integral de RiemannRiemann
Teorema Fundamental
Teorema Fundamental
Técnicas de Integración
Técnicas de Integración
La Integral Como LímitesLa Integral
Como Límites
IntroducciónIntroducción
Integrales Impropias Integrales Impropias
Si es una función acotada, y si P es una partición cualquiera de I, para k = 1, 2, 3, …, nSi es una función acotada, y si P es una partición cualquiera de I, para k = 1, 2, 3, …, n
RIf :
kkk xxxxfInfm ,, 1 kkk xxxxfSupM ,, 1
n
k kkk xxmfPL1 1,
n
k kkk xxMfPU1 1,
Se define:
Por otra parte, se define:
Departamento de Física y Matemática
Integral de Riemann
UUNNEEFFMM
PropiedadesPropiedades
Integral de Integral de RiemannRiemannIntegral de Integral de RiemannRiemann
Teorema Fundamental
Teorema Fundamental
Técnicas de Integración
Técnicas de Integración
La Integral Como LímitesLa Integral
Como Límites
IntroducciónIntroducción
Integrales Impropias Integrales Impropias
La función f es positiva: La función f es positiva:
fPUfPL ,,
Suma InferiorSuma Inferior fPL , Suma Superior
Suma Superior
fPU ,
Área de unión de los rectángulos de baseÁrea de unión de los rectángulos de base )( 1 kk xx
Y altura Y altura km
Área de unión de los rectángulos de baseÁrea de unión de los rectángulos de base )( 1 kk xx
Y altura Y altura kM
Departamento de Física y Matemática
Integral de Riemann
UUNNEEFFMM
PropiedadesPropiedades
Integral de Integral de RiemannRiemannIntegral de Integral de RiemannRiemann
Teorema Fundamental
Teorema Fundamental
Técnicas de Integración
Técnicas de Integración
La Integral Como LímitesLa Integral
Como Límites
IntroducciónIntroducción
Integrales Impropias Integrales Impropias
Definición: Se dice que Q es un refinamiento de la partición P, cuando Q tiene todos los puntos de P y otros más.
Si Q es refinamiento de P, se cumple las siguientes afirmaciones:
Definición: Se dice que Q es un refinamiento de la partición P, cuando Q tiene todos los puntos de P y otros más.
Si Q es refinamiento de P, se cumple las siguientes afirmaciones:
fPUfQU ,,
Departamento de Física y Matemática
Integral de Riemann
UUNNEEFFMM
PropiedadesPropiedades
Integral de Integral de RiemannRiemannIntegral de Integral de RiemannRiemann
Teorema Fundamental
Teorema Fundamental
Técnicas de Integración
Técnicas de Integración
La Integral Como LímitesLa Integral
Como Límites
IntroducciónIntroducción
Integrales Impropias Integrales Impropias
Lema: Si Q es un refinamiento de P, entoncesLema: Si Q es un refinamiento de P, entonces
),(),(
,,
fPUfQU
fQLfPL
fQLfPL ,,
Departamento de Física y Matemática
Integral de Riemann
UUNNEEFFMM
PropiedadesPropiedades
Integral de Integral de RiemannRiemannIntegral de Integral de RiemannRiemann
Teorema Fundamental
Teorema Fundamental
Técnicas de Integración
Técnicas de Integración
La Integral Como LímitesLa Integral
Como Límites
IntroducciónIntroducción
Integrales Impropias Integrales Impropias
Definición de Integral de Riemann:Sea I:= [a,b] y sea f: I→ R acotada en I. Se dice que f es Riemann integrable en I si: L(f) = U(f). En este caso se dice que la integral de Riemann toma el valor: L(f) = U(f), y este número por lo general, se representa por:
Definición de Integral de Riemann:Sea I:= [a,b] y sea f: I→ R acotada en I. Se dice que f es Riemann integrable en I si: L(f) = U(f). En este caso se dice que la integral de Riemann toma el valor: L(f) = U(f), y este número por lo general, se representa por:
b
a
b
a
dxxff )(
Se tiene además que:Se tiene además que:
a
b
b
a
ff 0a
a
f
La función constante es IntegrableLa función constante es Integrable
EJEMPLO 1:
Definición:Sea I:= [a,b] y sea f: I→ R acotada en I. Entonces la integral inferior de f en I es el número:
)(),,()( IpPfPLSupfL La integral superior de f en I es el número: )(),,()( IpPfPUInffU
y
Departamento de Física y Matemática
Propiedades de la Integral de Riemann
UUNNEEFFMM
Integral de Riemann
Integral de Riemann
Propiedades Propiedades Propiedades Propiedades
Teorema Fundamental
Teorema Fundamental
Técnicas de Integración
Técnicas de Integración
La Integral Como LímitesLa Integral
Como Límites
IntroducciónIntroducción
Integrales Impropias Integrales Impropias
TEOREMA 1:Sea I: [a,b] y sea f,g: I → R integrables en I, sea , entonces, las funciones: y son integrables en I con:
TEOREMA 1:Sea I: [a,b] y sea f,g: I → R integrables en I, sea , entonces, las funciones: y son integrables en I con:
Rkfk gf
b
a
b
a
fkkfi) b
a
b
a
b
a
gfgfii)
TEOREMA 2:Sea I: [a,b] y sea f: I → R integrable en I, si entonces
TEOREMA 2:Sea I: [a,b] y sea f: I → R integrable en I, si entonces
Ixxf 0)(
Ixfb
a
0
Departamento de Física y Matemática
Propiedades de la Integral de Riemann
UUNNEEFFMM
Integral de Riemann
Integral de Riemann
Propiedades Propiedades Propiedades Propiedades
Teorema Fundamental
Teorema Fundamental
Técnicas de Integración
Técnicas de Integración
La Integral Como LímitesLa Integral
Como Límites
IntroducciónIntroducción
Integrales Impropias Integrales Impropias
Corolario:Sea I: [a,b] y sea f y g: I → R integrables en I, si entonces:
Corolario:Sea I: [a,b] y sea f y g: I → R integrables en I, si entonces:Ixxgxf )()(
Ixgfb
a
b
a
DEMOSTRACIÓN
Departamento de Física y Matemática
Teorema Fundamental del Cálculo
UUNNEEFFMM
Integral de Riemann
Integral de Riemann
Teorema Teorema FundamentalFundamental
Teorema Teorema FundamentalFundamental
PropiedadesPropiedades
Técnicas de Integración
Técnicas de Integración
La Integral Como LímitesLa Integral
Como Límites
IntroducciónIntroducción
Integrales Impropias Integrales Impropias
Teorema Fundamental del Cálculo TFC
Evaluar Integrales Definidas
EvaluarSin usar
Riemann
Para lo cual
Antiderivada y EVALUAR
ANTIDERIVADALa función F se le llama ANTIDERIVADA (primitiva) de una función f en un intervalo I, se si cumple que:
)()(' xfxF TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULOSi f es continua en todos los puntos de [a,b] y F cualquier ANTIDERIVADA de f en [a,b], entonces:
b
a
aFbFdxxf )()()(
EJEMPLO 2
Resolvamos las siguientes integrales. Resolvamos las siguientes integrales.
0
cos) xdxa
1
0
2) dxxb
EJEMPLO 3
(Determinemos el área usando antiderivadas)Calcular el área acotada por el eje X y la parábola (Determinemos el área usando antiderivadas)Calcular el área acotada por el eje X y la parábola
24 xy
UUNNEEFFMM
Integral de Riemann
Integral de Riemann
Teorema Teorema FundamentalFundamental
Teorema Teorema FundamentalFundamental
PropiedadesPropiedades
Técnicas de Integración
Técnicas de Integración
La Integral Como LímitesLa Integral
Como Límites
IntroducciónIntroducción
Integrales Impropias Integrales Impropias
Departamento de Física y Matemática
Teorema Fundamental del Cálculo
Área entre curvas (A)Área entre curvas (A)
UUNNEEFFMM
Integral de Riemann
Integral de Riemann
Teorema Teorema FundamentalFundamental
Teorema Teorema FundamentalFundamental
PropiedadesPropiedades
Técnicas de Integración
Técnicas de Integración
La Integral Como LímitesLa Integral
Como Límites
IntroducciónIntroducción
Integrales Impropias Integrales Impropias
Departamento de Física y Matemática
Teorema Fundamental del Cálculo
b
a
b
a
b
a
gfgfA )(
b
a
c
b
hfgfA )()(
Departamento de Física y Matemática
Técnicas de Integración
UUNNEEFFMM
Integral de Riemann
Integral de Riemann
Técnicas de Técnicas de IntegraciónIntegraciónTécnicas de Técnicas de IntegraciónIntegración
PropiedadesPropiedades
Teorema Fundamental
Teorema Fundamental
La Integral Como LímitesLa Integral
Como Límites
IntroducciónIntroducción
Integrales Impropias Integrales Impropias
Técnicas de Integración
Procedimientos para cambiar integrales no conocidaspor integrales que podemos reconocer en una tabla o
evaluar por computadora
Sustitución oCambio de variables
Integración Por
Partes
Sustitución Trigonométrica
Fracciones Parciales
Se agrupan en 4 técnicas
duufdxxgxgf )()('))(( vduuvudv
Departamento de Física y Matemática
Técnicas de Integración
UUNNEEFFMM
Integral de Riemann
Integral de Riemann
Técnicas de Técnicas de IntegraciónIntegraciónTécnicas de Técnicas de IntegraciónIntegración
PropiedadesPropiedades
Teorema Fundamental
Teorema Fundamental
La Integral Como LímitesLa Integral
Como Límites
IntroducciónIntroducción
Integrales Impropias Integrales Impropias
EJEMPLO 4
Resolvamos las siguientes integrales
dxxxa102 )1)(2()
dxxeb x)
Departamento de Física y Matemática
La Integral Como Límites
UUNNEEFFMM
Integral de Riemann
Integral de Riemann
La IntegralLa Integral Como LímitesComo Límites
La IntegralLa Integral Como LímitesComo Límites
PropiedadesPropiedades
Teorema Fundamental
Teorema Fundamental
Técnicas de IntegraciónTécnicas de Integración
IntroducciónIntroducción
Integrales Impropias Integrales Impropias
Sumas de Riemann
Definición:Sea I:=[a,b] y sea acotada en I, si es una partición cualquiera de I y si son números tales que para K= 1,2,….,nEntonces la suma: Se conoce como Suma de Riemann de f correspondientes a una partición P y puntos intermedios
RIf : nxxxP ,.....,, 10
n ,....,, 10
kkk xx 1
n
kkkk xxffPS
11))((),(
3
3f
x
k
Departamento de Física y Matemática
La Integral Como Límites
UUNNEEFFMM
Integral de Riemann
Integral de Riemann
La IntegralLa Integral Como LímitesComo Límites
La IntegralLa Integral Como LímitesComo Límites
PropiedadesPropiedades
Teorema Fundamental
Teorema Fundamental
Técnicas de IntegraciónTécnicas de Integración
IntroducciónIntroducción
Integrales Impropias Integrales Impropias
Definición:Integral Definida
Sea f una función que ha sido definida en un intervalo cerrado [a,b]. Si existe
Se dice que f es integrable en [a,b]. Además la llamada integral definida (o integral de Riemann) de f entre a y b es el valor
n
kkkk
PxxfLim
11
0))((
n
kkkk
P
b
a
xxfLimdxxf1
10
))(()(
Departamento de Física y Matemática
Integrales Impropias
UUNNEEFFMM
Integral de Riemann
Integral de Riemann
Integrales Integrales ImpropiasImpropiasIntegrales Integrales ImpropiasImpropias
PropiedadesPropiedades
Teorema Fundamental
Teorema Fundamental
Técnicas de IntegraciónTécnicas de Integración
IntroducciónIntroducción
La Integral Como Límites
La Integral Como Límites
i) El dominio de integrando en [a,b] debe ser finito ii) El rango del integrando sea finito en este dominio
<< Si estas condiciones no se cumplen, entonces la integral es impropia>>
Resolvamos la siguiente integral:
1
12
1dx
xSe podría pensar que la soluciòn es:
2111
1
1
1111
1
1
12
xdx
x
Por lo tanto:
Departamento de Física y Matemática
Integrales Impropias
UUNNEEFFMM
Integral de Riemann
Integral de Riemann
Integrales Integrales ImpropiasImpropiasIntegrales Integrales ImpropiasImpropias
PropiedadesPropiedades
Teorema Fundamental
Teorema Fundamental
Técnicas de IntegraciónTécnicas de Integración
IntroducciónIntroducción
La Integral Como Límites
La Integral Como Límites
CASO 1: (Límites de Integración Infinitos)Definición:
-Si f(x) es continua en , entonces:
-Si f(x) es continua en , entonces:
-Si f(x) es continua en , entonces:
Dónde c es cualquier número real
),[ a
b
ab
dxxfLimdxxf )()(0
],( b
b
a
b
adxxfLimdxxf )()(
),(
0
0
)()()( dxxfdxxfdxxf
Si el Límite es “finito” decimos que la integral impropia
CONVERGE y que el límite es el valor de la integralImpropia. Si el límite no existe, la integral impropia
DIVERGE
Departamento de Física y Matemática
Integrales Impropias
UUNNEEFFMM
Integral de Riemann
Integral de Riemann
Integrales Integrales ImpropiasImpropiasIntegrales Integrales ImpropiasImpropias
PropiedadesPropiedades
Teorema Fundamental
Teorema Fundamental
Técnicas de IntegraciónTécnicas de Integración
IntroducciónIntroducción
La Integral Como Límites
La Integral Como Límites
Resolvamos la siguiente integral
0
) dxea x
EJEMPLO 5
Departamento de Física y Matemática
Integrales Impropias
UUNNEEFFMM
Integral de Riemann
Integral de Riemann
Integrales Integrales ImpropiasImpropiasIntegrales Integrales ImpropiasImpropias
PropiedadesPropiedades
Teorema Fundamental
Teorema Fundamental
Técnicas de IntegraciónTécnicas de Integración
IntroducciónIntroducción
La Integral Como Límites
La Integral Como Límites
CASO 2: Integrales de funciones que se vuelven infinitas en un punto Dentro del intervalo de integración
-Si f(x) es continua en , entonces:
-Si f(x) es continua en , entonces:
-Si f(x) es discontinua en C dónde a < c < b y continua en -, entonces:
],( ba
b
c
b
aac
dxxfLimdxxf )()(
),[ ba
c
a
b
abc
dxxfLimdxxf )()(
],(),[ bcca
c
a
b
c
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
Si el Límite es “finito” decimos que la integral impropiaCONVERGE y que el límite es el valor de la integral
Impropia. Si el límite no existe, la integral impropia DIVERGE
Departamento de Física y Matemática
Integrales Impropias
UUNNEEFFMM
Integral de Riemann
Integral de Riemann
Integrales Integrales ImpropiasImpropiasIntegrales Integrales ImpropiasImpropias
PropiedadesPropiedades
Teorema Fundamental
Teorema Fundamental
Técnicas de IntegraciónTécnicas de Integración
IntroducciónIntroducción
La Integral Como Límites
La Integral Como Límites
1
02
)x
dxa
EJEMPLO 6
Departamento de Física y Matemá[email protected]
TODO A SU TIEMPO
• Hay un tiempo para cada cosa, y un momento para hacerla bajo el cielo.• Hay tiempo de nacer y tiempo para morir; tiempo para plantar y tiempo para arrancar lo plantado.• Un tiempo para llorar y otro para reir, un tiempo para los lamentos y otros para las danzas-• Un tiempo para buscar y otro para perder, un tiempo para callarse y otro para hablar.• Me puse a considerar los varios centros de interés que Dios presenta a los hombres, y noté lo siguiente:
“EL HACE QUE CADA COSA LLEGUE A SU TIEMPO, PERO TAMBIÉN INVITA A MIRAR EL CONJUNTO, Y NOSOTROS NO SOMOS
CAPACES DE DESCUBRIR EL SENTIDO GLOBAL DE LA OBRA DE DIOS, DESDE EL COMIENZO HASTA EL FIN”
Eclesiastés 3:1-11
Gracias Dios
Departamento de Física y Matemá[email protected]