integral multiple
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Capıtulo 4
Integracion multiple
4.1. Introduccion.
En el tema sobre la integral definida unidimensional, hemos aprendido
a calcular areas y volumenes. Ahora bien, por lo que se refiere al calculo
de volumenes, aun no hemos dado respuesta al problema de encontrar el
volumen de una figura tridimensional arbitraria, pues solo hemos visto como
se determina el volumen de figuras con determinadas caracterısticas. Vamos
a ver, entre otras muchas aplicaciones, como la integral multiple da respuesta
general a este problema. Para facilitar el aprendizaje, en primer lugar, vamos
a ocuparnos de la integral doble. Veremos que el desarrollo es, en lıneas
generales, similar al realizado con la integral de una variable. Por ello, en
buena medida, las definiciones y resultados resultaran familiares y se podra
avanzar con cierta rapidez. Posteriormente, nos ocuparemos brevemente de
la integral triple, finalizando el tema con el estudio de algunas aplicaciones
de la integracion multiple.
103
4.2. El volumen bajo una superficie como mo-
tivacion de la integral doble
Para motivar los conceptos de particion de un rectangulo y sumas de
Riemann que conducen a la integral doble, vamos a plantearnos el problema
de determinar el volumen bajo una superficie. Concretamente, consideramos
una funcion no negativa f : [a, b]× [c, d] → R y deseamos calcular el volumen
del siguiente subconjunto de R:
A = {(x, y, z) : (x, y) ∈ D, 0 ≤ z ≤ f(x, y)},
donde D denota el dominio de f , es decir, el rectangulo [a, b]× [c, d]. Se trata
de un conjunto que tiene por ”techo” la superficie de ecuacion z = f(x, y)
y cuyo ”suelo” es el dominio de f . La figura siguiente ayuda a visualizar el
conjunto A cuyo volumen queremos calcular.
z= f(x,y)
Z
Y
X
b
a
dcO
104
Trazamos en el rectangulo [a, b]× [c, d] una malla formada por celdas su-
ficientemente pequenas de forma que en cada una de estas celdas, Ci, f(x, y)
varıa de unos puntos a otros muy poco.
Y
X
O a b
c
d
x x1 2
y
y1
2
x x3 4
Obviamente, el volumen buscado es la suma de los volumenes de los pris-
mas (curvilıneos) que tienen por ”suelo” cada celda y por ”techo” el corres-
pondiente trozo de la superficie z = f(x, y)
V =n∑
i=1
V (Ci),
donde V (Ci) denota el volumen del prisma cuya base es la celda Ci. El
volumen de cada prisma curvilıneo puede aproximarse (tanto mejor en cuanto
las celdas sean mas pequenas) por
f(xi, yi) · Ar(Ci),
105
donde (xi, yi) denota el centro de la celda Ci. El producto anterior representa
exactamente el volumen de un prisma de altura f(xi, yi) y cuya base es dicha
celda.
z= f(x,y)
Z
Y
X
b
a
dcO
Por tanto, una aproximacion razonable del volumen bajo nuestra super-
ficie viene dada por
V ≈∑i
f(xi, yi) · Ar(Ci).
El valor de esta suma cambia al tomar una malla diferente, pero a medida
que las celdas son mas pequenas, el valor que se obtiene da una mejor aproxi-
macion al volumen buscado. Esta ideas nos llevan a definir el volumen bajo la
superficie z = f(x, y) como el lımite hacia el que se aproximan estas sumas.
Precisamente, como vamos a ver en las secciones siguientes, esta es la forma
106
de definir la integral doble∫ ∫[a,b]×[c,d]
f(x, y) dx dy.
4.3. La integral doble sobre un conjunto aco-
tado
Sean A un subconjunto acotado de R2 y f : A → R una funcion acotada.
Para definir la integral doble de f en A, necesitamos el concepto de sumas
de Riemann. Como A es acotado, puede escogerse un rectangulo [a, b] ×[c, d] conteniendo el conjunto A. Para producir una malla en el rectangulo,
dividimos los intervalos [a, b] y [c, d] en partes iguales de longitudes ∆x y ∆y,
respectivamente. Al trazar por los puntos de division rectas paralelas a los
ejes coordenados, se produce una malla cuyas celdas tienen las dimensiones
∆x×∆y.
Y
X
O a b
c
d
Partición P�
x x1 2
y
y1
2
x3
A
107
Denotamos por C1, .., Cn la celdas producidas (numeradas de abajo hacia
arriba y de izquierda a derecha) que interceptan al conjunto A y escogemos
en cada una de ellas un punto intermedio (xi, yi) ∈ A; la suma
n∑i=1
f(xi, yi)∆x∆y
se dira que es una suma de Riemann para la integral doble de f en A. Puede
denotarse por S(f,∆x,∆y, {(xi, yi)}) o, mas brevemente, por S(f,∆x,∆y).
Diremos que f es integrable (en el sentido de Riemann) en el conjunto A
si existe y es finito el lımite
lım(∆x,∆y)→(0,0)
n∑i=1
f(xi, yi)∆x∆y,
en cuyo caso, el valor de este lımite se denota por∫ ∫A
f(x, y) dx dy
y recibe el nombre de integral doble de f en el conjunto A.
Terminamos la seccion con una relacion de las propiedades de la integral
doble que habitualmente se necesitan en las aplicaciones y, que por otra parte,
son analogas a las que hemos visto al estudiar la integral unidimensional.
1. Condicion suficiente de integrabilidad. Sea A ⊂ R2 un conjunto acotado
medible (en el sentido de Riemann) y f : A → R una funcion acotada.
Si f es continua en A salvo, a lo sumo, en un conjunto de puntos cuya
area es cero, entonces f es integrable en A.
2. Linealidad. Si f y g son integrables en A y c es una constante real,
entonces f + g y cf son integrables en A y se verifica
a)∫ ∫
A(f + g) dx dy =
∫ ∫Af dx dy +
∫ ∫g dx dy.
b)∫ ∫
Acf dx dy = c
∫ ∫Af dx dy.
108
3. Aditividad. Sean A y B dos subconjuntos de R2. Si f es integrable en
ambos conjuntos y A ∩ B tiene area nula, entonces f es integrable en
A ∪B y se verifica ∫ ∫A∪B
f dx dy =
=
∫ ∫A
f dx dy +
∫ ∫B
f dx dy.
4. Monotonıa. Si f y g son integrables en A y verifican f(x, y) ≤ g(x, y),
para cada (x, y) ∈ A, entonces
∫ ∫A
f(x, y) dx dy ≤∫ ∫
A
g(x, y) dx dy.
5. La media integral. Si f es integrable en A y m ≤ f(x, y) ≤ M (∀(x, y) ∈A), entonces existe c ∈ [m,M ] de modo que∫ ∫
A
f(x, y) dx dy = c · Ar(A)
4.4. Area de un recinto plano
Hemos visto como la integral doble puede usarse para calcular volumenes.
Pero esta no es la unica aplicacion geometrica. En ese apartado veremos que
la integral doble tambien puede usarse para calcular areas de recintos planos.
Concretamente, vamos a mostrar que∫ ∫A
1 dx dy
representa el area del recinto (acotado) bidimensional A.
Si I = [a, b] × [c, d] es un rectangulo conteniendo A, consideramos una
malla con celdas Ci de dimensiones ∆x y ∆y. Notese que
S(1,∆x,∆y) =∑
∆x∆y,
109
con la suma extendida a todas los celdas que cortan al conjunto A. Como
estas recubren A, se sigue que S(1,∆x,∆y) es una aproximacion por exceso
al area de A
X
Y
O
A
S(P)
I
Por ultimo, basta tener en cuenta que, si la integral∫ ∫A
1 dx dy
existe, podemos escoger una malla suficientemente fina (∆x y ∆y pequenos)
como para que las sumas de Riemann sean tan proximas como queramos
al valor de la integral anterior, cualquiera que sea la eleccion de los puntos
intermedios. Esto, junto con las ideas anteriores, justifican que se tome la
integral como el area del recinto A. Cuando la funcion constantemente igual
a 1 es integrable sobre un conjunto A, se dice que el conjunto A es medible (en
el sentido de Riemann). Solo sobre estos conjuntos tiene sentido considerar
la integral doble.
110
4.5. La integral doble sobre conjuntos pro-
yectables
Vamos a considerar dos tipos de conjuntos medibles para los que la inte-
gral doble puede calcularse por integracion reiterada.
Definicion 4.5.1. (Conjuntos x-proyectables). Un subconjunto A de R2 se
dice que es x-proyectable si es de la forma A = {(x, y) ∈ R2 : a < x <
b, f1(x) ≤ y ≤ f2(x)}, donde f1 y f2 son funciones continuas en [a, b] que
verifican f1(x) ≤ f2(x), para cada x ∈ [a, b].
Si existen las integrales involucradas, se verifica:∫ ∫A
f(x, y) dx dy =
=
∫ b
a
[ ∫ y=f2(x)
y=f1(x)
f(x, y) dy]dx. (4.1)
Y
XO
y = f (x)
y = f (x)
a b
2
1
111
Ejemplo 4.5.2. Calcular∫ ∫
A(x + y2) dx dy; siendo A = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤
x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x}.Aes el conjunto x-proyectable que se muestra en la figura. Aplicando (7.1),
obtenemos ∫ ∫A
(x+ y2) dx dy =
∫ 1
0
[ ∫ y=x
y=0
(x+ y2) dy]dx =
=
∫ 1
0
[xy +
y3
3
]y=x
y=0
o, dx =
=
∫ 1
0
(x2 +
x3
3
)dx =
5
12.
Definicion 4.5.3. (Conjuntos y-proyectables). Un conjunto A ⊂ R2 se llama
y-proyectable si es de la forma A = {(x, y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d, g1(y) ≤ x ≤g2(y)}, siendo g1 y g2 funciones continuas en [c, d] que verifican g1(y) ≤g2(y), para todo y ∈ [c, d].
Ax=g (y) x=g (y)
1 2
X
Y
O
c
d
112
Graficamente, los conjuntos y-proyectables tienen la forma que vemos en la
figura. Igual que en el caso anterior, si existen las integrales involucradas se
verifica ∫ ∫A
f(x, y) dx dy =
=
∫ d
c
[ ∫ x=g2(x)
x=g1(y)
f(x, y) dx]dy.
Ejemplo 4.5.4. Calcular∫ ∫
Axey
5dx dy, siendo A = {(x, y)R2 : 0 ≤ y ≤
1, 0 ≤ x ≤ y2}.En este caso A es un conjunto y-proyectable. Aplicando la igualdad ante-
rior, se obtiene ∫ ∫A
xey5
dx dy =
=
∫ 1
0
[ ∫ x=y2
x=0
xey5
dx]dy =
=
∫ 1
0
[x2
2ey
5]x=y2
x=0dy =
=
∫ 1
0
y4
2ey
5
dy =1
10
[ey
5]y=1
y=0=
e− 1
10.
4.6. Cambio de variables en la integral doble
Al igual que en el caso unidimensional, existe una formula de cambio de
variables para la integral multiple. Antes de abordar esta formula para el
caso de la integral doble, vamos a recordar el enunciado en el caso de una
variable y mostraremos que, cuando la derivada de la funcion u que cambia
de variable es distinta de cero, puede adoptar otra forma que es la manera
en que resulta valida para cualquier numero de variables.
113
Teorema 4.6.1. (Cambio de variable en la integral definida). Sea u definida
y derivable con continuidad en [a, b]. Si f esta definida y es continua en el
conjunto imagen u([a, b]), entonces se verifica la igualdad∫ b
a
f(u(x)) · u′(x)dx =
∫ u(b)
u(a)
f(u)du. (4.2)
Si u′(x) > 0, para cada x ∈ [a, b], entonces u es crciente en [a, b]. Por
tanto, u(a) < u(b) y la igualdad anterior puede expresarse en la forma∫[a,b]
f(u(x))u′(x) dx =
∫[u(a),u(b)]
f(u) du.
Ahora bien, si u′(x) < 0, para cada x ∈ [a, b], entonces u es decreciente en
[a, b] y, por tanto, u(a) > u(b). Esto permite expresar la igualdad (2.1) en la
forma ∫[a,b]
f(u(x))u′(x) dx = −∫[u(b),u(a)]
f(u) du.
Se han obtenido dos resultados aparentemente diferentes, pero es facil darse
cuenta de que ambos adoptan la forma final siguiente∫[a,b]
f(u(x)) |u′(x)| dx =
∫u([a,b])
f(u) du. (4.3)
Hemos probado que, cuando u′ tiene signo constante, la formula de cambio
de variable (7.2) puede adoptar la forma (7.3). Como u es derivable con
continuidad, esto ocurre cuando u′(x) = 0, para cada x ∈ [a, b]. Este hecho
queda recogido en el siguiente Teorema.
Teorema 4.6.2. Sea u definida y derivable con continuidad en [a, b]. Si f
esta definida y es continua en el conjunto imagen u([a, b]) y u′(x) = 0, para
cada x ∈ [a, b], entonces se verifica la igualdad (7.3).
Esta version de la formula de cambio de variable para la integral de una
variable es la que se extiende de manera natural a la integral multiple.
114
Teorema 4.6.3. (Cambio de variables en la integral doble) Sea A ⊂ R2 un
conjunto medible y consideremos el cambio de variables definido por
u : (x1, x2) → (u1(x1, x2), u2(x1, x2)).
Si u es diferenciable con continuidad, inyectiva y su jacobiano, ∂(u1,u2)∂(x1,x2)
, no
se anula en A, entonces se verifica la igualdad∫ ∫A
f(u1(x1, x2), u2(x1, x2))∣∣∣∂(u1, u2)
∂(x1, x2)
∣∣∣ dx1 dx2 =
=
∫ ∫u(A)
f(u1, u2) du1 du2.
Notas 4.6.4. 1. El Teorema es cierto aun en el caso de que el jacobiano se
anule en un conjunto de area 0.
2. Cuando u′ = 0, en el Teorema relativo al cambio de variable en la
integral unidimensional no se exige que u sea inyectiva en [a, b]. Pero, notese
que u es estrictamente creciente o decreciente y, por tanto, es forzosamente
inyectiva.
Si tenemos esto presente, vemos que la formula de cambio de variables
para la integral doble presenta una gran analogıa con la correspondiente del
caso de una variable, basta sustituir u′(x) por det(u′(x1, x2)
)= ∂(u1,u2)
∂(x1,x2).
Ejemplo 4.6.5. Calcular∫ ∫
B(x2+ y2) dx dy, siendo B = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤
x2 + y2 ≤ 4}.La forma del conjunto B aconseja realizar el cambio de las coordenadas
cartesianas por las polares: x = ρ · cosω, y = ρ · senω.La funcion vectorial que cambia de coordenadas esta definida por
(ρ, ω) ∈ [1, 2]× [0, 2π] → (x, y) =
= (ρ · cosω, ρ · senω) ∈ B.
115
Es facil convencerse de que transforma biunıvocamente el conjunto A =
[1, 2] × [0, 2π] sobre B (basta tener en cuenta que ρ =√x2 + y2, por lo
que las coordenadas polares, (ρ, ω), de cualquier punto (x, y) ∈ B tienen que
verificar las relaciones 1 ≤ ρ ≤ 2 y 0 ≤ ω ≤ 2π). Vamos a aplicar la formula
de cambio de variables de dereha a izquierda:∫ ∫B
(x2 + y2) dx dy =
∫ ∫A
ρ2∣∣∣∂(x, y)∂(ρ, ω)
∣∣∣ dρ dω, (4.4)
ya que B = u(A). Ahora debemos calcular el jacobiano
∂(x, y)
∂(ρ, ω)=
∣∣∣∣∣ ∂x∂ρ
∂x∂ω
∂y∂ρ
∂y∂ω
∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣ cosω −ρ senω
senω ρ cosω
∣∣∣∣∣ == ρ(cos2 ω + sen2 ω) = ρ.
Sustituyendo el resultado obtenido en (7.4), resulta∫ ∫B
(x2 + y2) dx dy =
∫ 2π
0
[ ∫ 2
1
ρ3 dρ]dω =
=
∫ 2π
0
1
4
[ρ4]ρ=2
ρ=1dω =
15π
2.
4.7. La integral triple
Dada la gran analogıa entre las integrales doble y triple, en este apar-
tado vamos a hacer un desarrollo rapido de la integral triple deteniendonos
especialmente en las tecnicas, que por ser mas propias de la integral triple,
lo requieran.
I) Sumas de Riemann. El punto de partida es el concepto de intervalo
tridimensional. Se llama ası a un conjunto de la forma
I = [a, b]× [c, d]× [e, f ].
Se trata de un paralelepıpedo con caras paralelas a los planos coordenados.
Si, sobre cada eje, dividimos los intervalos [a, b], [c, d] y [e, f ] en partes iguales
116
de longitud ∆x,∆y y ∆z, respectivamente, los planos paralelos a los planos
coordenados pasando por los puntos de division producen una malla con
celdas de dimensiones ∆x×∆y ×∆z.
O
z
x
ya
b
cd
I
e
f
D
El volumen de cada celda es ∆x ·∆y ·∆z.
Dados un conjunto acotado A ⊂ R3 y una funcion acotada f : A → R,
denotemos por C1, .., Cn las celdas que interceptan al conjunto A. Escogido
en cada una de ellas un punto (xi, yi, zi) ∈ A, se define la suma de Riemann
por
S(f,∆x,∆y,∆z) =n∑
i=1
f(xi, yi, zi)∆x∆y∆z.
117
Notese que cada sumando es el producto del volumen de una celda Ci por
el valor de f en un punto de Ci ∩ A.
La figura siguiente puede ayudar a comprender mejor el significado geo-
metrico.
II) Definicion de la integral triple. De forma analoga al caso de la integral
doble, se dira que f es integrable en A si existe el lımite (y es finito) de las
sumas de Riemann y dicho lımite se denota por∫ ∫ ∫A
f dx dy dz.
Cuando existe la integral∫ ∫ ∫
A1 dx dy dz el conjunto A se llama me-
dible. Vamos a mostrar que la integral anterior representa el volumen del
conjunto A. Para ello, consideramos una malla con ∆x,∆y y ∆z pequenos e
118
interpretamos geometricamente la suma
n∑i=1
f(xi, yi, zi)∆x∆y∆z.
En este caso la funcion integrando es constantemente igual a 1, por tanto, la
suma tiene la forma
S(f,∆x,∆y,∆z) =∑i
∆x ·∆y ·∆z,
Es decir, una suma de Riemann es exactamente la suma de los volumenes
de todas las celdas que cortan al conjunto A y, por tanto, representa una
aproximacion (por exceso) al volumen de A.
Esta aproximacion mejora tanto mas en cuanto mas fina es la malla.
119
Los subconjuntos A de R3 medibles son los unicos para los que tiene
sentido considerar la integral triple∫ ∫ ∫A
f(x, y, z) dx dy dz.
Las propiedades de esta integral son las mismas que ya hemos visto al
estudiar la integral doble, con los cambios oportunos.
III) Calculo de integrales triples. Los conjuntos mas simples que podemos
considerar son los que llamaremos proyectables.
1) Conjuntos xy-proyectables.
Un conjunto A se llama xy−proyectable si es de la forma
{(x, y, z) : (x, y) ∈ D, g1(x, y) ≤ z ≤ g2(x, y)},
Y
X
Z
O
D
z=g (x,y)
z=g (x,y)1
2
A
120
donde D ⊂ R2 es medible y g1, g2 : D ⊂ R2 → R son dos funciones
continuas que verifican g1(x, y) ≤ g2(x, y), para cada (x, y) ∈ D. Notese que
A esta formado por los segmentos paralelos al eje OZ que tienen sus extremos
en sendos puntos de las superficies z = g1(x, y) y z = g2(x, y). Es facil probar
que la integral sobre A se calcula como sigue
∫ ∫ ∫A
f(x, y, z) dx dy dz =
=
∫ ∫D
[ ∫ z=g2(x,y)
z=g1(x,y)
f(x, y, z) dz]dx dy,
en el caso de que existan las integrales involucradas (lo que ocurre, por ejem-
plo, si f es continua en A salvo, a lo sumo, en un conjunto de puntos con
volumen 0).
2) Conjuntos xz-proyectables. Un conjunto A se llama xz-proyectable si
tiene la forma
{(x, y, z) : (x, z) ∈ D, g1(x, z) ≤ y ≤ g2(x, z)},
donde g1 y g2 son funciones definidas y continuas en un subconjunto D de
R2, tales que g1(x, z) ≤ g2(x, z), para cada (x, z) ∈ D. La integral triple
sobre un conjunto xz-proyectable viene dada por∫ ∫ ∫A
f(x, y, z) dx dy dz =
=
∫ ∫D
[ ∫ y=g2(x,z)
y=g1(x,z)
f(x, y, z) dy]dx dz.
De forma similar se procede para calcular una integral triple sobre un con-
junto yz-proyectable.
Ejemplo 4.7.1. Calcular el volumen del conjunto limitado por las superficies
z = x2 + y2 y x2 + y2 + z2 = 2 (interior al paraboloide).
121
x
y
z
O
D
z = x2+y2 es un paraboloide con eje de revolucion el eje OZ y x2+y2+z2 =
2 es una superficie esferica de centro el origen y radio√2. En la figura se
ha representado graficamente el conjunto interseccion de A con el primer
octante, que denotamos por B. El volumen pedido viene dado por
vol(A) = 4
∫ ∫ ∫B
1 dx dy dz.
B es xy−proyectable sobre el conjuntoD. Por tanto, podemos calcular vol(A)
como sigue
4
∫ ∫D
[ ∫ z=√
2−(x2+y2)
z=x2+y2dz
]dx dy =
= 4
∫ ∫D
[√2− (x2 + y2)− (x2 + y2)
]dx dy.
122
x
y
O
D
1
Para ayudarnos en el calculo de la integral doble anterior, podemos re-
presentar graficamnte el conjunto D en una figura aparte. Por la forma del
conjunto D y del integrando, es conveniente hacer un cambio a coordenaas
polares. Si (x, y) es un punto de D y (ρ, ω) son sus coordenadas polares, en-
tonces (ρ, ω) pertenece al conjunto T = [0, 1]× [0, π2] y viceversa. Por tanto,
la integral doble se convierte en
vol(A) = 4
∫ ∫T
(√2− ρ2 − ρ2
)∣∣∣∂(x, y)∂(ρ, ω)
∣∣∣ dρ dω.Ahora basta recordar que el jacobiano es igual a ρ para obtener
vol(A) = 4
∫ π2
0
[ ∫ 1
0
(√2− ρ2 − ρ2
)ρ dρ
]dω =
= 4
∫ π2
0
[− (2− ρ2)
32
2(
32
) − ρ4
4
]dω =
123
= 4
∫ π2
0
(−7 + 8√2)
12dω =
(−7 + 8√2)
6π.
IV) Cambio de variables en la integral triple.
Teorema 4.7.2. Sea A ⊂ R3 medible y consideremos el cambio de coorde-
nadas definido por
u(x1, x2, x3) =
= (u1(x1, x2, x3), u2(x1, x2, x3), u3(x1, x2, x3)),
siendo u diferenciable con continuidad en A, inyectiva y con jacobiano ∂(x1,x2,x3)∂(u1,u2,u3)
no nulo. Si f esta definida y es continua en u(A), entonces se verifica la
igualdad ∫ ∫ ∫A
f(u(x1, x2, x3))∣∣∣∂(x1, x2, x3)
∂(u1, u2, u3)
∣∣∣ dx1 dx2 dx3 =
=
∫ ∫ ∫u(A)
f(u1, u2, u3) du1 du2 du3.
Nota 4.7.3. El Teorema es cierto aun en el caso de que el jacobiano se anule
en un conjunto de volumen 0.
Para practicar con la formula anterior, vamos a considerar los cambios de
las coordenadas cartesianas a coordenadas cilındricas y esfericas.
1) Coordenadas cilındricas. Las coordenadas cilındricas de un punto P (x, y, z)
se denotan por (ρ, ϕ, z), siendo (ρ, ϕ) las coordenadas polares (en el plano
OXY) del punto P0(x, y, 0) que resulta de proyectar P sobre el plano OXY.
Por tanto, la relacion entre ambos tipos de coordenadas viene dada por las
igualdades siguientes
124
P(x,y,z)
rf
X
Y
Z
O
x = ρ cosϕ
y = ρ senϕ
z = z
con ρ > 0 y ϕ ∈ [0, 2π]. Por lo que se refiere al jacobiano, vamos a ver que es
igual a ρ.
∂(x, y, z)
∂(ρ, ϕ, z)=
∣∣∣∣∣∣∣∂x∂ρ
∂x∂ϕ
∂x∂z
∂y∂ρ
∂y∂ϕ
∂y∂z
∂z∂ρ
∂z∂ϕ
∂z∂z
∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣cosϕ −ρ senϕ 0
senϕ ρ cosϕ 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣ ==
∣∣∣∣∣ cosϕ −ρ senϕ
senϕ ρ cosϕ
∣∣∣∣∣ = ρ(cos2 ϕ+ sen2 ϕ) = ρ.
Ejemplo 4.7.4. Calcular∫ ∫ ∫
Axy dx dy dz, siendo A el conjunto limitado
por el cilindro x2 + y2 = 1 y los planos z = 0 y z = 2.
Ni que decir tiene que lo apropiado es un cambio a cilındricas. Si P (x, y, z)
es un punto que pertenece al conjunto A, entonces su proyeccion sobre el
plano OXY es el punto de coordenadas (x, y, 0), que pertenece al cırculo de
centro el origen y radiuo 1. Por tanto, sus coordenadas polares (ρ, ϕ) verifican:
0 ≤ ρ ≤ 1 y 0 ≤ ϕ ≤ 2π. Es decir, cuando (x, y, z) recorre el conjunto A, la
terna (ρ, ϕ, z) recorre el intervalo tridimensional I = [0, 1] × [0, 2π] × [0, 2].
Luego nuestra integral triple se transforma de la forma siguiente∫ ∫ ∫A
xy dx dy dz =
=
∫ ∫ ∫I
ρ2 cosϕ senϕ|∂(x, y, z)∂(ρ, ϕ, z)
| dρ dϕ dz =
=
∫ ∫ ∫I
ρ3 cosϕ senϕ dρ dϕ dz =
125
=
∫ 2
0
[ ∫ 2π
0
(∫ 1
0
cosϕ senϕρ3 dρ)dϕ
]dz =
=1
2
∫ 2
0
[ ∫ 2π
0
(∫ 1
0
sen 2ϕρ3 dρ)dϕ
]dz = 0.
2. Coordenadas esfericas. Las coordenadas esfericas de un punto P (x, y, z)
se denotan por (r, ϕ, θ) y se determinan como sigue: a) r es el modulo del
vector de posicion del punto P , es decir, r =√x2 + y2 + z2, b) θ es el
complementario del angulo que forman dicho vector y el eje OZ positivo y c)
ϕ es el angulo que forman el eje OX positivo y el vector de posicion del punto
P0(x, y, 0) (proyeccion de P sobre el plano OXY). Por tanto, la relacion entre
ambos tipos de coordenadas viene dada por las igualdades siguientes
P(x,y,z)
X
Y
Z
O
r
f
q
x = r cosϕ cos θ
y = r senϕ cos θ
z = r sen θ
con r > 0, ϕ ∈ [0, 2π] y θ ∈ [−π2, π2] (θ se toma positivo o negativo segun
que el punto P pertenezca al semiespacio superior o no). Ahora abordamos
el calculo del jacobiano
∂(x, y, z)
∂(r, ϕ, θ)=
∣∣∣∣∣∣∣∂x∂r
∂x∂ϕ
∂x∂θ
∂y∂r
∂y∂ϕ
∂y∂θ
∂z∂r
∂z∂ϕ
∂z∂θ
∣∣∣∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣∣∣∣cosϕ cos θ −r senϕ cos θ −r cosϕ sen θ
senϕ cos θ r cosϕ cos θ −r senϕ sen θ
sen θ 0 r cos θ
∣∣∣∣∣∣∣ .En el ultimo determinante, podemos sacar el factor comun, r cos θ, de la
segunda columna y r de la tercera. Por tanto, se tiene
126
∂(x, y, z)
∂(r, ϕ, θ)=
= r2 cos θ
∣∣∣∣∣∣∣cosϕ cos θ − senϕ − cosϕ sen θ
senϕ cos θ cosϕ − senϕ sen θ
sen θ 0 cos θ
∣∣∣∣∣∣∣ == r2 cos θ
(sen θ
∣∣∣∣∣ − senϕ − cosϕ sen θ
cosϕ − senϕ sen θ
∣∣∣∣∣++cos θ
∣∣∣∣∣ cosϕ cos θ − senϕ
senϕ cos θ cosϕ
∣∣∣∣∣ ) =
r2 cos θ(sen2 θ
∣∣∣∣∣ − senϕ − cosϕ
cosϕ − senϕ
∣∣∣∣∣++cos2 θ
∣∣∣∣∣ cosϕ − senϕ
senϕ cosϕ
∣∣∣∣∣ ) =
= r2 cos θ(sen2 θ + cos2 θ) = r2 cos θ.
Ejemplo 4.7.5. Calcular∫ ∫ ∫
Az dx dy dz, siendo A el primer octante de la
esfera unidad.
Si (x, y, z) pertenece al primer octante de la esfera unidad, entonces la
terna (r, ϕ, θ) pertenece al intervalo tridimensional I = [0, 1]× [0, π2]× [0, π
2].
Por tanto, la integral se transforma como sigue∫ ∫ ∫A
z dx dy dz =
=
∫ ∫ ∫I
r sen θ∣∣∣∂(x, y, z)∂(r, ϕ, θ)
∣∣∣ dr dϕ dθ =
=
∫ ∫ ∫I
r3 sen θ cos θ dr dϕ dθ =π
16.
127
4.8. Aplicaciones de la integral multiple
I) Calculo de areas y volumenes.
a) Calculo de areas. El area de cualquier conjunto acotado A ⊂ R2 puede
determinarse mediante una integral doble. Con anterioridad, hemos mostrado
que∫ ∫
A1 dx dy representa el area del conjuntoA, caso de que la integral exisa
y entonces A se llama medible.
b) Calculo de volumenes. Podemos determinar el volumen de cualquier
subconjunto acotado A ⊂ R3 por medio de una integral triple. Concretamen-
te, hemos mostrado que vol(A) viene dado por∫ ∫ ∫
A1 dx dy dz, caso de que
exista la integral y entonces A se llama medible.
El volumen de algunos conjuntos puede calcularse tambien mediante una
integral doble. Al comienzo del tema, hemos visto que∫ ∫
Af(x, y) dx dy es el
volumen del cuerpo cilındrico cerrado por arriba por la superficie z = f(x, y)
y por la porcion del plano OXY que determina el conjunto A (si f(x, y) ≥ 0).
II) Aplicaciones a las ciencias experimentales.
a) Masa de un solido con densidad variable. Supongamos que en cierto
solido A ⊂ R3, la masa no esta distribuida homogeneamente y que conocemos
la densidad p(x, y, z), entonces la masa M del solido viene dada por
M =
∫ ∫ ∫A
p(x, y, z) dx dy dz.
Si p(x, y, z) es constante e igual a p, entonces
M = p
∫ ∫ ∫A
1 dx dy dz = p · vol(A).
b) Soluciones no homogeneas. Consideremos un deposito que contiene
cierta solucion no homogenea, es decir, la concentracion de soluto no es cons-
tante sino que es cierta funcion C(x, y, z). Si el interior del deposito tiene
la forma de cierto conjunto A ⊂ R3, la cantidad de soluto que contiene el
deposito viene dada por ∫ ∫ ∫A
C(x, y, z) dx dy dz.
128
Para ver que esto es ası, escogemos una malla con celdas de dimensiones
∆x,∆y, y ∆z pequenas, y analizamos la correspondiente suma de Riemann
S =∑i
C(xi, yi, zi)∆x∆y∆z.
El sumando i−esimo representa, aproximadamente, la cantidad de soluto que
contiene la celda Ci, pues es el producto del volumen de la celda por el valor
de la concentracion en un punto intermedio de dicha celda. Si las celdas son
pequenas, la concentracion varıa muy poco de un punto a otro de cada celda.
c) Las coordenadas del centro de masas del solido A vienen dadas por
xc =
∫ ∫ ∫Axp(x, y, z) dx dy dz∫ ∫ ∫
Ap(x, y, z) dx dy dz
,
yc =
∫ ∫ ∫Ayp(x, y, z) dx dy dz∫ ∫ ∫
Ap(x, y, z) dx dy dz
,
zc =
∫ ∫ ∫Azp(x, y, z) dx dy dz∫ ∫ ∫
Ap(x, y, z) dx dy dz
.
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Calcular el area del recinto limitado en el primer cuadrante por las curvas
y = sen x e y = cos x.
En la figura siguiente se ha dibujado el recinto en cuestion.
129
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
y = cos(x) y = sen(x)
Se trata de un conjunto, D, y-proyectable y lo primero que necesitamos
es resolver el sistema
{y = sen x
y = cos x,
para determinar las coordenadas del punto donde se cortan ambas curvas.
En realidad, la solucion del sistem se obtiene rapidamente, si tenemos en
cuenta que debe ser cos x = senx. En definitiva x = π/4 e y =√2/2.
Entonces el area del recinto es igual a∫ ∫D
dx dy =
∫ √2/2
0
dy
∫ x=arc cos y
x=arc sen y
dx =
∫ √2/2
0
(arc cos y−arc sen y
)dy.
Por integracion por partes se encuentra una primitiva del ultimo integran-
do: y(arc cos y− arc sen y)− log√1− y2. Por tanto, el area buscada viene
dada por
Area(D) =[y(arc cos y − arc sen y)− log
√1− y2)
]√2/2
0= (1/2) log 2.
130
2. Invertir el orden de integracion en la integral reiterada
∫ π
0
dx
∫ senx
0
f(x, y) dy.
El recinto de integracion es el conjunto A = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤sen x}.
pO
Y
Xy
A
B
1
El conjunto A tambien es y−proyectable; por abajo esta cerrado por la
recta y = 0 y los arcos de curva OA y AB cierran por la izquierda y la
derecha, respectivamente. La curva OA tiene por ecuacion y = sen x o lo
que es lo mismo x = arc sen y. Para obtener la ecuacion de la curva AB
de la forma x = g(y), notese en la figura que g(y) = π − arc sen y. Por
tanto, la integral reiterada propuesta es igual a esta otra:
∫ 1
0
dy
∫ x=π−arc sen y
x=arc sen y
f(x, y) dx.
131
3. Calcular
∫ ∫A
dx dy
1 + xy, siendo A el recinto plano limitado en el primer
cuadrante por y = x, y = 2x, xy = 1 y xy = 2.
La forma del recinto y del integrando sugieren el cambio de coordenadas
u = y/x y v = xy. Por la formula de cambio de variables en la integral
doble ∫ ∫A
dx dy
1 + xy=
∫ ∫B
1
1 + v
∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣ du dv,siendo B el rectangulo [1, 2]× [1, 2].
xy=1
xy=2
y=x
y=2xY
X
O
P*
Q*
132
1
1
2
2
u
v
O
B
P
Q
Para ello, notese que las curvas xy = 1, xy = 2, y/x = 1 e y/x = 2 se
corresponden con las curvas de ecuacion v = 1, v = 2, u = 1 y u = 2,
respectivamente. Si escogemos u0 ∈ [1, 2], los puntos del segmento PQ, de
coordenadas (u0, v) con 1 ≤ v ≤ 2, se corresponden con los del segmento
P ∗Q∗, cuyas coordenadas cartesianas son (x, y) con y/x = u0. El punto
P ∗ se obtiene cuando v = 1, en cuyo caso xy = 1, y el punto Q∗ para
v = 2, lo que produce xy = 2. Esto muestra que B es el conjunto en que
se mueve (u, v) cuando (x, y) recorre A. Ahora, en lugar de calcular el
jacobiano que aparece en el segundo miembro, calculamos el jacobiano
∂(u, v)
∂(x, y)=
∣∣∣∣∣ − yx2 y
1x
x
∣∣∣∣∣ = −2y
x= −2u,
y usamos la propiedad que establece que uno es el inverso del otro, es
decir, se tiene ∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣ · ∣∣∣∂(u, v)∂(x, y)
∣∣∣ = 1
Entonces la integral pedida se calcula como sigue∫ ∫A
dx dy
1 + xy=
∫ 2
1
∫ 2
1
du dv
2u(1 + v)=
133
= (1/2)
∫ 2
1
du
u
[ ∫ 2
1
dv
1 + v
]=
= (1/2) log(3/2) · log 2.
4. Calcular
∫ ∫A
√x2 + y2 dx dy, siendo A el recinto plano limitado por y =
0, y = x y x2 + y2 − 2x = 0.
Hacemos un cambio a coordenadas polares x = ρ cosω e y = ρ senω.
Entonces ∫ ∫A
√x2 + y2 dx dy =
∫ ∫B
ρ2 dρ dω,
siendo B el recinto B = {(ρ, ω) : ω ∈ [0, π/4], 0 ≤ ρ ≤ 2 cosω}, pues la
circunferencia x2 + y2 − 2x = 0 se escribe en polares de la forma ρ2 −2ρ cosω = 0, es decir, ρ = 2 cosω.
1 2
Y
XO
y=x
M
134
P
Q
r
w
En efecto, las curvas que delimitan el recinto A, y = x, x2+y2−2x = 0, e
y = 0, se corresponden con ω = π/4, ρ = 2 cosω y ω = 0, respectivamente.
Si escogemos ω0 ∈ [0, π/4], los puntos del segmento PQ (de coordenadas
(ω0, ρ) con 0 ≤ 2 cosω0) se corresponden en el plano OXY con los del
segmento OM (de coordenadas cartesianas (x, y) con y/x = tgω0). Para
ρ = 0 se obtiene O y para ρ = 2 cosω0 resulta el punto de la circunferencia
M . En definitiva, se tiene∫ ∫A
√x2 + y2 dx dy =
=
∫ π/4
0
∫ ρ=2 cosω
ρ=0
ρ2 dρ dω =
= (8/3)
∫ π/4
0
cos3 ω dω =
= (8/3)
∫ π/4
0
(cosω − cosω sen2 ω) dω =10√2
9.
135
5. Calcular el centro de masas de una lamina que tiene la forma de un sector
circular de radio R y amplitud α radianes.
Escogemos el sistema de referencia como se indica en la figura.
X
Y
O
a/2
Por la simetrıa de la lamina, el centro de masas estara sobre el eje OX, de
modo que solo queda determinar el valor de la coordenada x del centro de
masas. Por tanto
xc =
∫ ∫A
x dxdy
S,
siendo S el area de la lamina. La integral puede calcularse en coordenadas
polares:
xc = (1/S)
∫ R
0
∫ α/2
−α/2
ρ2 cosω dρdω =
=2R3
3Ssen
α
2.
Finalmente, usamos la expresion S = (1/2)αR2 y obtenemos
xc =4R
3αsen
α
2.
136
6. Calcular el volumen del cuerpo tridimensional limitado por la superficie
esferica x2 + y2 + z2 = 2R2 y el cono z2 = x2 + y2 (interior a ambos).
X
Y
Z
O
R
El cuerpo consta de dos partes que tienen igual volumen. En la figura se
muestra la parte A que queda por encima del plano z = 0. Por tanto, el
volumen pedido se obtiene multiplicando por 2 el volumen de la figura que
se indica
V = 2
∫ ∫ ∫A
1 dxdydz.
Ambas superficies se cortan segun una circunferencia cuya ecuacion es{x2 + y2 + z2 = 2R2
x2 + y2 = z2
Si restamos ambas ecuaciones, resulta z2 = R2. Es decir, la circunferencia
interseccion viene dada por el sistema{x2 + y2 + z2 = 2R2
z2 = R2,
137
o, equivalentemente {x2 + y2 = R2
z = R
La proyeccion de esta circunferencia sobre el plano z = 0 es la circunferen-
cia x2+y2 = R2 del planoOXY . Por tanto, el conjuntoA es xy-proyectable
y V se calcula como sigue
V = 2
∫ ∫D
[ ∫ z=√
2R2−(x2+y2)
z=√
x2+y2dz
], (4.5)
donde D = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 1}. Realizando la integral simple que
aparece en (7.5), se obtiene para V la siguiente expresion
2
∫ ∫D
(√2R2 − x2 − y2 −
√x2 + y2
)dxdy.
Ahora hacemos un cambio a coordenadas polares y encontramos
V = 2
∫ 2π
0
∫ R
0
ρ(√
2R2 − ρ2 − ρ) dρdω =
= 4π(∫ R
0
ρ√
2R2 − ρ2 dρ−∫ R
0
ρ2 dρ)=
=8πR3
3(√2− 1).
7. Calcular el area del recinto A limitado por las curvas x2+y2 = 2x, x2+y2 =
4x, y = x, e y = 0. Por la forma del recinto, lo mas oportuno es usar
coordendas polares. Por tanto, el area del recinto A es
∫ ∫A
1 dx dy =
∫ ∫B
ρ dρ dω,
donde B viene dado por
{(ω, ρ) : 0 ≤ ω ≤ π/4, 4 cosω ≤ ρ ≤ 2 cosω}.
138
X
Y
O 1 2
P
Q
y=x
En efecto, vemos que, escogido un valor de ω en [0, π/4], los puntos del
recinto A con tal coordenada son los del segmento PQ. En estos puntos
la coordenada ρ varıa entre ρP y ρQ. Para encontrar estos valore extremos
de ρ, pasamos las circunferencias a coordenadas polares y resulta: ρ2 =
4ρ cosω y ρ2 = 2ρ cosω. Es decir, ρ = 4 cosω y ρ = 2 cosω. Una vez que
hemos visto la forma que tiene B, pasamos a calcular la integral
∫ ∫A
1 dx dy =
∫ ∫B
ρ dρ dω =
=
∫ π/4
0
dω
∫ ρ=4 cosω
ρ=2 cosω
ρ dρ =
= 6
∫ π/4
0
cos2 ω dω = 6
∫ π/4
0
(1 + cos 2ω
2
)dω = 3(π/4 + 1/2).
8. Determinar el volumen del recinto A limitado por la superficie esferica
x2 + y2 + z2 = a2 y los planos y = x e y =√3x.
139
En coordenadas esfericas, la ecuacion de los planos toma la forma: ϕ = π/4
y ϕ = π/3. Por ello, el problema va a resultar muy simple si usamos
coordenadas esfericas. Concretamente, el volumen pedido es igual a
V =
∫ ∫ ∫A
1 dx dy dz =
=
∫ ∫ ∫B
r2 cos θ dr dϕ dθ,
siendo
B = {(r, ϕ, θ) : 0 ≤ r ≤ a, π/4 ≤ ϕ ≤ π/3,−(π/2) ≤ θ ≤ π/2} y r2 cos θ
el jacobiano∂(x, y, z)
∂(r, ϕ, θ).
Por tanto, el volumen viene dado por
V =
∫ ∫ ∫A
1 dx dy dz =
=
∫ ∫ ∫B
r2 cos θ dr dϕ dθ =
=
∫ π/3
π/4
dϕ
∫ π/2
−(π/2)
cos θ dθ
∫ a
0
r2 dr =
=a3
3
∫ π/3
π/4
dϕ
∫ π/2
−(π/2)
cos θ dθ =
=2a3
3
(π/3− π/4
)=
πa3
18.
9. Se consideran la superficie esferica x2 + y2 + z2 = 4a2 y el cilindro x2 +
y2 − 2ay = 0. Determinar el volumen limitado por las dos superficies y el
plano z = 0 (interior al cilindro).
140
La ecuacion del cilindro puede escribirse en la forma x2 + (y − a)2 = a2,
lo que permite encontrar el centro y radio de la circunferencia de la base (
en z = 0). Vemos que el centro es el punto (0, a, 0) y el radio a. El recinto
es un tıpico conjunto xy-proyectable: el techo es un trozo de la superficie
esferica z =√4a2 − x2 − y2 y el suelo z = 0. Por tanto, el volumen pedido
vale
V = 2
∫ ∫D
√4a2 − x2 − y2 dxdy,
siendo D el conjunto que vemos en la figura (la circunferencia x2 + (y −a)2 = a2 en polares tiene la forma r = 2a senω)
141
X
Y
O
a
2a
D
Pasamos a coordenadas polares y el volumen adopta la forma
V = 2
∫ ∫T
√4a2 − r2 rdrdω,
donde T es el conjunto que se indica
r
w
O
p/2
2a
T
r= 2 a sen w
Esta ultima integral se cal cula mediante integracion reiterada
2
∫ π/2
0
(∫ r=2a senω
r=0
r(4a2 − r2)1/2 dr)dω
142
y su valor es
V = (8/9)a3(3π − 4).
10. Calcular el volumen del recinto que delimitan los cilindros x2 + y2 = 1 y
x2 + z2 = 1.
0
1
2
3
4
5
01
23
45
0
1
2
3
4
5
En la figura aparece la parte del recinto que pertenece al primer octante.
Por tanto, el volumen viene dado por
V = 8
∫ ∫D
√1− x2 dxdy,
donde D es el conjunto
143
Y
X
1
1
D
Pasando a coordenadas polares, resulta
V = 8
∫ π/2
0
∫ 1
0
√1− r2 cosω2 rdrdω = 16/3.
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Calcular el volumen de la piramide determinada por los planos coordena-
dos y el plano x+ 2y + 3z = 6.
Solucion: 6.
2. Invertir el orden de integracion en las siguientes integrales reiteradas:
a)
∫ 1
0
dx
∫ y=x2
y=0
f(x, y) dy,
b)
∫ a
0
dx
∫ y=√a2−x2
y=−√a2−x2
f(x, y) dy.
c)
∫ π/2
0
dx
∫ 1
cosx
f(x, y) dy.
Solucion: a)
∫ 1
0
dy
∫ x=1
x=√y
f(x, y) dx, b)
∫ a
−a
dy
∫ x=√
a2−y2
x=0
f(x, y) dx.
144
c)
∫ 1
0
dy
∫ π/2
y=arc cos y
f(x, y) dx.
3. Calcular∫ ∫
Dex/y dx dy, siendo D el conjunto limitado por la curva x = y2
y las rectas x = 0 e y = 2.
Solucion: e2 − 1.
4. Calcular la integral doble∫ ∫
Dxy2 dx dy, siendo D el recinto limitado por
y2 = 2x y la recta x = 1.
Solucion: 8√2/21.
5. Calcular∫ ∫
Dx dx dy, siendo D el triangulo cuyos vertices son el origen y
los puntos A(0, 1) y B(1, 1).
Solucion: 1/6.
6. Calcular el area del recinto limitado por las curvas x = y2, x + y = 3/4 e
y = 0.
solucion: 5/24.
7. Calcular el area del recinto limitado por las parabonas y = x2 y x = y2.
Solucion: 1/3.
8. Calcular∫ ∫
Dx2y2 dx dy, siendo D = {(x, y) : 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4}.
Solucion: Cambio a polares.
9. Calcular∫ ∫
Dxy dx dy, siendoD el recinto limitado en el primer cuadrante
por la circunferencia x2 + y2 − 4x = 0 y el eje OX.
Solucion: Cambio a polares.
10. Calcular
∫ ∫A
(x + y)2 dxdy, siendo A el recinto limitado por las rectas
y = −x, y = −x+ 1, y = 2x e y = 2x− 3.
Solucion: 1/3 (hacer el cambio de variables: u = x+ y y v = 2x− y).
145
11. Calcular la masa de una lamina circular de radio R, sabiendo que la
densidad superficial de masa es igual en cada punto a la distancia de este
al centro de la lamina.
Solucion: (2/3)πR3.
12. Calcular el volumen de una esfera de radio R usando la integral triple.
Solucion: (4/3)πR3 (hacer un cambio a coordenadas esfericas).
13. Calcular
∫ ∫ ∫A
yz dxdydz, siendo A el recinto limitado por los planos
x+ y = 1 y z = 4.
Solucion: 4/3.
14. Calcular el volumen de un cono circular recto usando la integral triple.
Solucion: Si el vertice es el origen de coordenadas, el eje OZ es el eje de
revolucion y la base esta en el plano z = H, la ecuacion de la superficie
conica es z2 = (H/R)2(x2 + y2). Volumen = (1/3)πR2H.
15. Calcular el volumen del recinto encerrado por la superficie z = x2 + y2 y
el plano z = 1.
Solucion: π/2.
16. En un tronco de madera de forma cilındrica con altura H y radio R se
hace un taladro (longitudinal) de forma conica con radio R y altura H.
Calcular el volumen del tronco resultante. Solucion: (1/3)πR3.
146