integra c i on numeric a

8/17/2019 Integra c i on Numeric A

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INTEGRACIÓN NUMÉRICA

Prof.José Andrés

Vázquez

MÉTODO NUMÉRICO


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Fórmulas de Newton-Cotes

INTRODUCCION METODOS DE INTEGRACIÓN

Método de Integración de Romerg

Traa!o de A"licación

Sumario


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La integración numérica es una herramienta esencial que se usaen la ciencia y en la ingeniería para obtener valores aproximados deintegrales definidas que no pueden calcularse analíticamente.

INTRODUCCION

De acuerdo con la definición del diccionario,integrar significa “llevar unto, como partes, enun todo, unir, indicar la cantidad total!"

#ero! $%& '( )*+'--/


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0atem1ticamente la integración se representa por2

INTRODUCCION

que se tiene para la integral de la función f 3x4 con respecto a lavariable independiente x, evaluada en los límites x5a y x5b

'c 6

7omo lo sugiere la definición del diccionario, el “significado" dela 'c 6 es el valor total o sumatoria de f 3x4 sobre el rango x5a a x5b.

De hecho, el símbolo es una letra ( estili8ada que intentarepresentar la conexión cercana entre la integración y la sumatoria.


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INTRODUCCION

9bserve que el proceso representado en la 'c 6 y en la :ig 6 esllamado integración definida

:ig 6

a b


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INTRODUCCION

0'+9D9( de )*+'-7);* *%0&-)7

Mé!odosde

In!e"r#$%&nNu'ér%$#

(&r'u)#s deIn!e"r#$%&n

De

Ne*!on+Co!es

In!e"r#$%&nDe

Ro',er"

Re")#Tr#-ezo%d#)

Re")# de%'-son

Mé!odo deE!r#-o)#$%&nDe R%$/#dson

Re")# 012 de%'-son

Re")# 213 de%'-son


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(ORMU4A DE NE5TON+COTE

Las fórmulas de integración de *e


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#or eemplo, en la :ig. > se usa el polinomio de primer orden 3una línea recta4

como una aproximación. 0ientras que en la :ig. ? se emplea una par1bola parael mismo propósito.

:ig > :ig ?


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#or eemplo, en la :ig. @ se usan tres segmentos de línea recta para aproximar la

integral. #ueden utili8arse polinomios de orden superior para los mismospropósitos.

:ig @


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#ase legal4A REG4A DE4 TRAPECIO O TRAPE6OIDA4

La Regla Trapezoidal es la primera de las fórmulas de integración cerrada de

*e

+−≈=⇒

−

−

−+= ∫ ∫ 2

)()()()()(

)()()(

b f a f abdx x f I dxa x

ab

a f b f a f I

b

a

b

a

#ero!$%& ()*):)7 L -'L +-#'A9)DL/

eométricamente, laregla del trapecio esequivalente a aproximar

el 1rea del trapecio baola línea recta queconecta a f 3a4 y f 3b4 como se muestra en:ig. B.

:ig. B


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#ase legal4A REG4A DE4 TRAPECIO O TRAPE6OIDA4

-ecuerde, que la fórmula para calcular el 1rea de un trape8oide es la altura porel promedio de las bases, tal y como se muestra en la :ig. C.

'n la :ig. C se muestra la fórmula para calcular el 1rea de un trape8oide 3altura porel promedio de las bases4.'n la :ig. para la regla trape8oidal el concepto es el mismo pero ahora el

trape8oide est1 sobre su lado

:ig. C :ig.


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EJERCICIO DE AP4ICACI;N

%se la -egla del +rapecio para aproximar los valores de las siguientesintegrales2

a4 b4


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#ase legalAP4ICACIÓN MU4TIP4EDE 4A REG4A DE4 TRAPECIO

La -egla del +rapecio se puede ampliar si subdividimos el intervalo Ea,bF en n

subintervalos, todos de la misma longitud

(ea la partición que se forma al hacer dicha subdivisión.

%sando las propiedades de la integral, tenemos que2

plicando la -egla del +rapecio a cada una de las integrales, obtenemos2


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(ustituyendo el valor de h y haciendo uso de la notación sigma 3sumatoria4,tenemos finalmente2

'sta es la regla del trapecio para n subintervalos.

9bviamente, esperamos que entre m1s subintervalos usemos, meor sea laaproximación a la integral.

'c. G

hora bien, ya que los subintervalos tienen la misma longitud h, tenemos que2


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)lustración de la -egla +rape8oidal de aplicación mHltiple2 a4 dos segmentos, b4

tres segmentos, c4 cuatro segmentos y d4 cinco segmentos

:ig. 6I :ig. 66


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%se la -egla del +rapecio para aproximar el valor de la siguiente integral2

(i subdividimos en J intervalos


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PARA 4A PR ;7IMA C4AE

'(+%D)- L -'L D' ()0#(9*

Re")# de%'-son

Re")# 012 de%'-son

Re")# 213 de%'-son


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#ase legalREG4A DE IMPON

dem1s de aplicar la -egla +rape8oidal con segmentación m1s fina, otra formade obtener una estimación m1s exacta de la integral es con el uso de polinomiosde orden superior para conectar los puntos.

#or eemplo, si hay un punto extra a lamitad del camino f 3a4 y f 3b4, los trespuntos se pueden conectar en unapar1bola, tal y como se muestra en la:ig. 6>.

(i hay dos puntos igualmenteespaciados entre f 8#9 : f 8,9; loscuatro puntos se pueden conectarcon un polinomio de tercer orden,tal y como se muestra en la :ig. 6?.

Las fórmulas que resultan al tomar las integrales bao estos polinomios sonconocidas como -egla de (impson.

:ig. 6> :ig. 6?


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La -egla de (impson 6K? resuelta cuando una interpolación polinomial de

segundo orden es sustituida en la ecuación2

(i a y b se designan como xo y x> y f 2 3x4 es representada por un polinomio deLagrange de segundo orden y la integral se transforma en2

Después de la integración y maneo algebraico, resulta la siguiente fórmula2

'c. B

dx x f x x x x

x x x x x f

x x x x

x x x x x f

x x x x

x x x x I

x

x

∫

−−−−

+−−−−

+−−−−

=2

0

)())((

))(()(

))((

))(()(

))((

))((2

1202

101

2101

200

2010

21

[ ] [ ])()(4)(3

2

)(

)()(4)(3

210210 x f x f x f

ab

x f x f x f h

I ++

−

≅++≅


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'sta ecuación es conocida como -egla de (impson de 6K?. 's la segundafórmula de integración cerrada de *e


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%se la -egla de (impson de 6K? para aproximar el valor de las siguientesintegrales2

a4 b4


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#ase legalREG4A DE IMPON 012DE AP4ICACIÓN M


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#ase legalREG4A DE IMPONDE AP4ICACIÓN M


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%se la -egla de (impson de 6K? para aproximar el valor de la siguiente integral ysibdividiendo en J intervalos

a4

%se la -egla de (impson de 6K? para aproximar el valor de la siguiente integral ysibdividiendo en @ intervalos

b4


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#ase legalREG4A DE IMPON de 213


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'n una manera similar a la derivación de la -egla +rape8oidal y -egla de

(impson 6K?, un polinomio de Lagrange de tercer orden se puede austar acuatro puntos e integrarse2

#ara obtener2

'c. 6I

Donde . 'sta ecuación se llama -egla e (impson de ?KC debido a

que h se multiplica por ?KC.

*9+' $%' x6 x> (9* L9( #%*+9( $%' D)M)D'* '* +-'( #-+'( )%L'('L )*+'-ML9 Ea,bF


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&sta es la tercera fórmula de integración cerrada de *e


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proximar la siguiente integral usando la -egla de (impson de ?KC2

a4


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#ase legalREG4A DE IMPON de 213 M


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proximar la siguiente integral usando la -egla de (impson de ?KC,subdividiendo en ? intervalos2

a4


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REUMEN DE (;RMU4A

-'L D'L +-#'7)9 ()0#L'

2)()()()()()()()( b f a f abdx x f I dxa x

aba f b f a f I

b

a

b

a+−≈=⇒

−

−−+= ∫ ∫

-'L D'L +-#'7)9 790#%'(+

-'L D' ()0#(9* D' 6K? ()0#L' -'L D' ()0#(9* D' 6K? 790#%'(+

6

)()(4)()( 21

x f x f x f ab I o

++−≅

n

x f x f x f x f

ab I

n

i

i

n

i

mo

6

)()(2)(4)(

)(2

1

11

∑∑ −

==

+++−≅

-'L D' ()0#(9* D' ?KC ()0#L'

[ ]

++

++

−= ∑∑

∫

−

==

1

11

)()(2)()(3)(

8

)(n

i

ni

n

i

iio

b

a

x f x f z f y f x f

n

abdx x f

-'L D' ()0#(9* D' ?KC 790#%'(+


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TA44ER

7L7%L- 'L ML9- D' L )*+'-L2

N7)'*D9 %(9 D'2

6. -'L D'L +-#'7)9 ()0#L'

>. -'L D'L +-#7)9 790#%'(+9 '* n5?

?. -'L D' ()0#(9* D' 6K? ()0#L'

@. -'L D' ()0#(9* D' 6K? 790#%'(+9 79* n5?

J. -'L D' ()0#(9* D' ?KC ()0#L'

( )∫ +π

0

38 dxSenx

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