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INSTITUTO FEDERAL

DE BRASILIA

3ª Lista

MATEMÁTICA

GEOMETRIA ANALÍTICA

GABARITO DATA: 14/09/2016

1) No plano cartesiano, 0xy, a circunferência C tem centro no ponto P (2, 1), e a reta t é tangente a C no

ponto Q ( 1, 5).

a) Determine o raio da circunferência C.

b) Encontre uma equação para a reta t.

c) Calcule a área do triângulo PQR, sendo R o ponto de interseção de t com o eixo 0x.

a) Como Q é tangente à circunferência C, então o segmento PQ é igual ao raio. Logo:

2 2

r 2 ( 1) 1 5 9 16 25 r 5

b) Como t é tangente à circunferência em Q, sabe-se então que t é perpendicular ao segmento PQ.

Assim, os coeficientes angulares da reta t e do segmento PQ tem a seguinte relação:

tPQ

PQ PQ t

1

5 1 4 3

1 2 3 4

αα

α α α

Assim, a reta t é dada pela equação

3

reta t y 5 x 1 3x 4y 23 04

c) Se o ponto R intercepta o eixo x, então suas coordenadas são do tipo (a, 0). Para encontrar o valor de

a, basta substituir na equação da reta:

23 233a 23 0 a R ,033

Assim, a área S do triângulo PQR pode ser escrita como:

2 1 11 1 23 115 1 125 125

S 1 5 1 10 1 S2 2 3 3 2 3 6

23 0 13

2

2) Uma empresa oferece frete gratuito para entregas do seu produto em um raio de até 25 km do depósito.

Para a distância que ultrapassar 25 km, medida em linha reta desde o depósito, a empresa cobra R$ 20,00

por quilômetro que ultrapasse os 25 km iniciais gratuitos. Essa cobrança também é feita de forma

proporcional em caso de frações de quilômetros.

Um consumidor do produto reside 20 km a leste do depósito e x km ao sul. Apresente uma figura

representando a situação descrita e determine o valor máximo de x para que esse consumidor tenha direito

ao frete gratuito na entrega do produto em sua residência. Em seguida, determine o custo do frete C (em

reais), em função de x, para o caso em que C(x) 0.

Considere a figura, em que N denota Norte e L denota Leste.

A região para a qual o consumidor tem direito ao frete gratuito corresponde a um disco de raio 25km

centrado na origem (depósito), isto é, 2 2 2 2 2X Y 25 X Y 625.

Em consequência, para X 20km, tem-se que 2 220 Y 625 Y 15km.

Assim, o valor máximo de x para que esse consumidor tenha direito ao frete gratuito na entrega do produto

em sua residência é igual a 15km.

Por outro lado, sabendo que o consumidor mora no ponto (20, x), e que a distância desse ponto ao

depósito é dada por 2400 x , segue que a resposta é

2C(x) 20 ( 400 x 25),

com x 15km.

3

3) Considere a circunferência que passa pelos pontos (0, 0), (0, 6) e (4, 0) em um sistema de coordenadas

cartesianas ortogonais. Sabendo que os pontos (0, 6) e (4, 0) pertencem a uma reta que passa pelo centro

dessa circunferência, qual a equação das retas tangentes a essa circunferência, que passam pelo ponto (3, 2),

Centro da circunferência (ponto médio do diâmetro).

0 4 6 0

C , C 2,32 2

Cálculo do raio da circunferência.

2 2(4 0) (6 0) 2 13r 13

2 2

Equação da reta tangente à circunferência.

y 2 m x 3 mx y 3m 2 0

Sabendo que a distância do centro à reta tangente é o raio, podemos escrever:

2 2 2 2

2

2m 3 3m 213 ( m 5) 13 m 1 12m 10m 12 0 6m 5m 6 0

m 1

Resolvendo a equação do segundo grau, obtemos:

5 169 3 2m m ou m

2 6 2 3

Se 3

m2

a equação da reta será dada por 3

y 2 (x 3) 3x 2y 13 02

Se 2

m3

a equação da reta será dada por 2

y 2 (x 3) 2x 3y 03

4

4) A circunferência definida pela equação 2 2x y 6x 2y 6 está inscrita em um quadrado. Calcule a

medida da diagonal desse quadrado.

2 2 2 2 2 2x y 6x 2y 6 x 6x 9 y 2y 1 6 1 9 (x 3) (y 1) 16

Portanto, o centro da circunferência será o ponto (3, 1) e o raio será 4.

Considerando o quadrado a seguir circunscrito nessa circunferência de raio 4cm.

Portanto, a 2 4 8cm

E a diagonal d do quadrado será dada por: d a 2 8 2

5) Se P e Q são pontos que pertencem à circunferência 2 2x y 4 e à reta y 2(1 x), então calcule o valor

do cosseno do ângulo POQ .

Considerando que O é o centro da circunferência, iremos determinar os pontos P e Q através da

resolução do seguinte sistema: 2 2x y 4

y 2 (1 x)

Substituindo a segunda equação na primeira temos:

22 2 2 2 8

x 2 (1 x) 4 x 4 (1 2x x ) 4 5x 8x 0 x 0 ou x 5

Se x 0, então y 2 Se 8

x ,5

então 6

y5

Portanto, os pontos pedidos são P(0, 2) e 8 6

Q , .5 5

Temos, então, a seguinte figura:

No triângulo OQM, temos:

635cos

2 5α . Portanto,

3cos 180 .

5α

5

6) Uma reta r de equação ax by c 0 tangencia a circunferência β de equação 2 2x y 2x 6y 8 0 no

ponto P ( 2, 0). Qual é o valor de a b c?

Sendo as coordenadas do centro da circunferência C( , ),α β pode-se escrever:

2 2

2 2

x y 2x 6y 8 0

Ax By Cxy Dx Ey F 0

D 21

2 2C( , ) C(1,3)

E 63

2 2

α α

α β

β β

Assim, pode-se desenhar os gráficos das funções:

Pode-se escrever: 2 2h m n 2 2 n n 2 Q(0, 2)

Logo, a reta r será do tipo: y x 2 x y 2 0

Portanto, a b c 4.

6

7) Na figura tem-se a representação de ,λ circunferência de centro C e tangente aos eixos coordenados nos

pontos A e B.

Se a equação de λ é 2 2x y 8x 8y 16 0, então qual a área da região hachurada, em unidades de

superfície?

Determinando o centro e o raio da circunferência. 2 2 2 2 2 2 2x y 8x 8y 16 0 x 8x 16 y 8y 16 16 (x 4) (y 4) 4

O centro é o ponto (4, 4) e o raio mede 4.

Calculando a área do setor de 90 do círculo determinado por esta circunferência, temos: 2

S4

A 44

ππ

Calculando, agora, a área do triângulo ABC.

ABC4 4

A 82

Δ

Portanto, a área do segmento circular pedida é:

S ABCA A A A 4 8 A 4 2Δ π π

7

8) A circunferência de centro (8, 4) que tangencia externamente a circunferência 2 2x y 4x 8y 16 possui

qual medida de raio?

Desenvolvendo a equação: 2 2 2 2 2 2x y 4x 8y 16 0 x 4x 4 y 8y 16 16 16 4 (x 2) (x 4) 36, temos então

uma circunferência de centro C(2, 4) e raio R 6.

O raio r será a diferença entre a distância entre os centros P(8, 4) e C(2, 4) e o raio R 6.

Portanto,

(PC)

2 2

r d R

r (8 2) (4 ( 4)) 6

r 4

9) Uma arruela, que é um disco fino com furo circular interno, tem suas dimensões projetadas sobre um

sistema de coordenadas cartesianas. A equação da circunferência externa é obtida e tem a forma 2 2x y 8x 8y 7 0. A distância da circunferência interna para a externa é de 2,5 cm. O furo interno,

que está no meio da arruela, tem qual área?

Determinando o raio de medida R da circunferência externa, temos: 2 2 2 2 2 2x y 8x 8y 7 0 x 8x 16 y 8y 16 7 16 16 (x 4) (y 4) 25

Portanto, o raio da circunferência externa é R 25 5.

Logo, o raio da circunferência interna é 5

5 2,5 2,5 .2

A área do furo interno será dada por: 2

25 25A cm

2 4

ππ

8

10) A circunferência C tem equação 2 2x y 16. Seja C' uma circunferência de raio 1 que se desloca

tangenciando internamente a circunferência C, sem escorregamento entre os pontos de contato, ou seja, C'

rola internamente sobre C.

Define-se o ponto P sobre C' de forma que no início do movimento de C' o ponto P coincide com o ponto de

tangência (4,0), conforme figura a. Após certo deslocamento, o ângulo de entre o eixo x e a reta que une o

centro das circunferências é ,α conforme figura b.

a) Determine as coordenadas do ponto P marcado sobre C' em função do ângulo .α

b) Determine a equação em coordenadas cartesianas do lugar geométrico do ponto P quando α varia no

intervalo [0, 2 ).π

a) Se a circunferência C’ deslocou-se ,α então ela percorreu uma distância d igual a:

α d

2π 2 R

2 4d d 4

2

π

α πα

π

Pode-se escrever:

3 3

OP OO' O'P 3cos ,3sen 3cos , 3sen

3cos 4cos 3cos ,3sen 3sen 4sen

α α α α

α α α α α α

Assim, 3 3P x,y 4cos , 4senα α

b) Da relação fundamental da trigonometria, tem-se: 2 2

2 22 2

33 33 3

sen cos 1

x y1 x y 16

4 4

α α

9

11) Considere a circunferência 2 2C: (x 1) (y 3) 9

a) Determine se o ponto A (4, 3) é interior, exterior ou pertencente à circunferência C.

b) Encontre o(s) valor(es) de a para que a circunferência C e a reta y ax possuam dois pontos em comum.

a) Considere 2 2f(x, y) (x 1) (y 3) 9. Logo, como 2 2f(4, 3) (4 1) ( 3 3) 9 0, segue que o

ponto A pertence a C.

b) Para que a circunferência C e a reta y ax sejam secantes, a equação

2 2 2 2(x 1) (ax 3) 9 (a 1)x (6a 2)x 1 0

deve possuir duas raízes reais e distintas, isto é, seu discriminante deve ser positivo. Logo, temos

2 2 3(6a 2) 4 (a 1) 1 0 a a 0

4

3a 0 ou a .

4

10

12) Considere as circunferências 2 2

1

2 22

: x u 8x 4y 20

e

: x y 2x 8y 8.

O triângulo ABC satisfaz as seguintes propriedades:

a) o lado AB coincide com a corda comum a 1 e 2;

b) o vértice B pertence ao primeiro quadrante;

c) o vértice C pertence a 1 e a reta que contém AC é tangente a 2.

Determine as coordenadas do vértice C.

A circunferência de equação 2 2x y 8x 4y 20 possui centro no ponto 1C (4, 2) e a circunferência de

equação 2 2x y 2x 8y 8 possui centro no ponto 2C (1, 4).

Determinando os pontos A e B (pertencente ao primeiro quadrante) onde as circunferências se

intersectam, temos o seguinte sistema. 2 2

2 2

x y 8x 4y 20

x y 2x 8y 8

Subtraindo as equações obtemos que: x 2y 2.

Substituindo o resultado acima na segunda equação

do sistema, obtemos: 25y 20y 0.

Resolvendo a equação, temos: y 0 x 2 A( 2, 0)

y 4 x 6 B(6, 4) (pertencente ao primeiro quadrante)

Temos então a seguinte figura:

Calculando o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A e 1C ,

temos:

2AC4 0 4

m ,1 ( 2) 3

portanto, o coeficiente angular da reta que passa

pelos pontos A e C será:

AC3

m ;4

Determinando agora, a equação da reta AC, temos:

3y 0 (x 2)

4

Finalmente, resolvendo um sistema com as equações da reta que passa pelos pontos A e C da

circunferência de equação 2 2x y 8x 4y 20, encontraremos as coordenadas do ponto C.

2 2

3y (x 2)

4

x y 8x 4y 20

Resolvendo o sistema temos os seguintes pontos:

( 2, 0) e 38 36

,5 5

Como o ponto ( 2, 0) já é o ponto A, concluímos que o ponto C é 38 36

, .5 5

11

13) Suponha que os pontos A(0, 0), B(3, 3 3) e C(9, 3 3) representam três torres de observação ao longo de

um anel viário circular, representado pelo círculo λ centrado no ponto P(6, 0).

Uma nova torre será construída nesse anel, localizada num ponto D de modo que CD é um diâmetro do círculo

.λ .

Essas torres determinam um quadrilátero ABCD inscrito no circulo λ e, de cada torre, é possível enxergar as

outras três torres segundo um ângulo de visão (ângulo interno do quadrilátero).

Elabore e execute um plano de resolução de maneira a determinar:

a) As coordenadas cartesianas do ponto que representa a torre D.

b) Os valores, em graus, dos ângulos de visão DAB, ABC, BCD e CDA.

a) Teremos:

33y02

33y

3x62

9x

DD

DD

Portanto, o ponto D será dado por D(3, 3 3).

b) Teremos:

3 3tg 60 120 e 30

2 3 2

α αα β

Observando que as retas AB e CD são paralelas, pois possuem o mesmo coeficiente angular:

339

3333m

303

033m

CD

AB

DAB 120

ABC 90 30 120

BCD 180 120 60

CDA 180 120 60

12

14) Alice comprou um terreno de forma triangular e solicitou a um engenheiro civil que fizesse a planta da casa

a ser construída, incluindo um gazebo e uma piscina na área de lazer. A proposta do engenheiro foi construir

a casa em formato de L, um gazebo de forma trapezoidal e uma piscina com formato circular.

Considere a seguir, no plano cartesiano, a planta feita pelo engenheiro, na qual constam o esboço do terreno, da

localização da casa, do gazebo e da piscina.

a) Determine a área representada pela região triangular ABC, em 2m , ocupada pelo terreno.

b) Considerando que o ponto L pertence à circunferência do círculo de centro K e que é o ponto de interseção

das retas t e s, em que t é a reta determinada pelos pontos P e O e s é a reta determinada pelos pontos E e

K, determine a equação reduzida da circunferência de centro K, que representa a piscina no plano cartesiano.

a) A área do triângulo ABC é igual a

2

0 1 32 01(ABC)

2 24 20 22

1| 20 64 2 768 |

2

1686

2

343 m .

b) A equação da reta t é dada por

14 12y 12 (x 14) y x 2.

16 14

A equação da reta s é

20 12y 12 (x 10) y x 22.

2 10

Assim, como L é o ponto de interseção de t e s, tem-se que L é a solução do sistema formado pelas

equações dessas retas. Resolvendo o sistema, encontramos L (12, 10).

Portanto, a equação pedida é dada por

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

(x 10) (y 12) d (K, L) (x 10) (y 12) ( (12 10) (10 12) )

(x 10) (y 12) 8.

13

15) Considere que os quarteirões de um bairro tenham sido desenhados no sistema cartesiano, sendo a origem o

cruzamento das duas ruas mais movimentadas desse bairro. Nesse desenho, as ruas têm suas larguras

desconsideradas e todos os quarteirões são quadrados de mesma área e a medida de seu lado é a unidade do

sistema. A seguir há uma representação dessa situação, em que os pontos A, B, C e D representam

estabelecimentos comerciais desse bairro.

Suponha que uma rádio comunitária, de fraco sinal, garante área de cobertura para todo estabelecimento que se

encontre num ponto cujas coordenadas satisfaçam à inequação: 2 2x y 2x 4y 31 0.

A fim de avaliar a qualidade do sinal, e proporcionar uma futura melhora, a assistência técnica da rádio realizou

uma inspeção para saber quais estabelecimentos estavam dentro da área de cobertura, pois estes conseguem

ouvir a rádio enquanto os outros não.

Quais estabelecimentos que conseguem ouvir a rádio?

Analisando o gráfico, tem-se que as coordenadas dos estabelecimentos são: A(5,4)

B( 3,1)

C(4,2)

D( 4, 3)

Assim, para avaliar se o estabelecimento está dentro da área de cobertura do sinal basta substituir suas

coordenadas na equação: 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

x y 2x 4y 31 0

A 5 4 2 5 4 4 31 0 16 0 OK!

B ( 3) 1 2 ( 3) 4 1 31 0 19 0 OK!

C 4 2 2 4 4 2 31 0 27 0 OK!

D ( 4) ( 3) 2 ( 4) 4 ( 3) 31 0 14 0 FALSO!

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16) No referencial cartesiano ortogonal usual, qual a medida da área do quadrilátero convexo cujos vértices são

as interseções de cada uma das retas x y 1 0 e x y 1 0 com a circunferência 2 2x y 25,

calculada com base na unidade de comprimento (u.c) adotada no referencial cartesiano considerado?

Do enunciado deduz-se:

1r y x 1 (reta 1)

2r y x 1 (reta 2)

2 2x y 25 R 5 onde R é o raio da circunferência

Percebe-se que as retas são paralelas e distam 2 entre si, o que representa a largura do quadrilátero (ver

figura a seguir).

Para encontrar a área do quadrilátero formado pelos pontos de intersecção, é preciso determinar tais pontos.

Para isso basta substituir o valor de y na equação da circunferência. Nesse caso, como as retas são

paralelas e distanciam-se igualmente do centro da circunferência, utilizou-se o valor de y dado na reta 1,

porém poderia ter sido utilizado o valor da reta 2 obtendo-se os mesmos resultados.

2 2

2 2

2

2

1

2

x ( x 1) 25 0

x x 2x 1 25 0

2x 2x 24 0

x x 12 0

x 4 y 3 4, 3

x 3 y 4 3,4

A representação gráfica pode ser vista na figura a seguir.

O comprimento do quadrilátero se dá pela distância entre as duas intersecções da reta 1. Assim, utilizando-

se a fórmula da distância entre dois pontos, têm-se:

15

2 22 1 2 1

2 2

2 2

d x x y y

d ( 3) 4 4 ( 3)

d ( 7) (7)

d 98

A área S do quadrilátero, se dá pelo comprimento d multiplicado pela distância entre as retas. Ou seja:

S 98 2

S 196

S 14

Quanto à unidade de comprimento, esta pode ser qualquer uma (metro, centímetro, etc.). Como o

enunciado especifica como u.c ., logo a unidade de área será 2(u.c) .