inleiding meten 8e020. cardiovascular research institute maastricht (carim) de meetcyclus...
TRANSCRIPT
Inleiding Meten8E020
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
De Meetcyclus
Object Signaal Meting Analyse Informatie
Control en/of
Feedback
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
8E020 Inleiding Meten 3
De Meetcyclus
Object Signaal Meting Analyse Informatie
Control en/of
Feedback
Transfer function
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
8E020 Inleiding Meten 4
Transfer functions - overview
• In colleges 3 en 4 lag de focus op het beschrijven van een signaal in termen van sinussen en cosinussen met verschillende frequenties en fasen
• Het gedrag van een elektrisch circuit (meetsysteem) kan worden beschreven met een transfer function (overdrachtsfunctie)
• Transfer function is frequentie afhankelijk!
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
8E020 Inleiding Meten 5
Transfer fuctions - overview
• Inleiding complexe getallen
• Transfer functies van schakelingen met alleen weerstanden zijn onafhankelijk van de frequentie
• Transfer functies van schakelingen met condensatoren en/of spoelen zijn frequentie-afhankelijk
• Definitie: complex impedance
• Frequentie-afhankelijke transfer functie wordt beschreven m.b.v. complexe getallen
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
8E020 Inleiding Meten 6
Complex Numbers
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
8E020 Inleiding Meten 7
Complex numbers
2
2 2
2
1 1
Re( )
Im( )
arctan
cos sin
1
1
j ofwel j
c a j b
c a
c b
c a b
b
a
c c j
j j jj
j j j j
j
a
b
c
is de afstand tot de oorsprong
is de hoek van de vector met positieve x-as
ofwel
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
College 6 8E020 Inleiding Meten 8
Complex numbers
• Uit de gegeven definities volgt
1 2
1 2
1 1
2 2
1 2 1 2
| || |
| |
( )( ) | | | | | |
c c c
c c c
c ca bjc c and
c d ej c
c c c a bj c dj c c c and
en
en
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
Complex numbers1 1
2 2
| || |
| |
c ca bjc c
c d ej c
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 22 2 2
2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 2 2| | { } { }
( )
a bj a bj d ej a bj d ej ad aej bdj be ad be bd ae jc
d ej d ej d ej d ej d ej d e d e
ad be bd aej
d e d e
ad be bd ae a d b e abde b d a e abdec
d e d e c d
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
22 21
2 2 22
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
| |( ). . .
( ) | |
a d b e b d a e a d e b d e a b d e
d e d e d e
ca bQ E D
d e c
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
10
Complex numbers
1 2
1
2c c c
c a bjc
c d ej
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
2 2
2 2 2 2
2 2
( )( ) ( ) ( )
tan( ) ( )
tan tan( )
tan tantan( )
1 tan tan
( )
( )
c
c c c c c c
c cc c
c c
bd aead be bd ae bd aed ec j
ad bed e d e ad bed e
If then
Since in general
bbd ae awethus haveto proof thatad be
1
edb ea d
Thisundoubtedly you cando for yourself
Als dan
In het algemeen:
We moeten dus bewijzen:
Bewijs: zelf doen
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
8E020 Inleiding Meten 11
Transfer Functions
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
8E020 Inleiding Meten 12
Transfer functions
• Electrisch domein:– effort = voltage U– flow = current I
• Wet van Ohm:– U = I × R, met R de impedance
• Vaak wordt ook admittance gebruikt:– G = 1 / R
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
8E020 Inleiding Meten 13
Transfer functions
• Voorbeeld: Spanningsverschil U1 (uitgang) over R2 kan worden beschreven in termen van spanningsverschil U0 (ingang) en weerstanden R1 en R2
R1
U0 U1R2
+
-
0 0 2 21 2 0
1 2 1 2 1 2
U U R RI en U I R U
R R R R R R
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
8E020 Inleiding Meten 14
Transfer functions
• Transfer functie H wordt gedefinieerd door:
• H is dus een uitdrukking voor de ratio uitgang U1 / ingang U0
• In dit voorbeeld:
1
0
UH
U
2
1 2
RH
R R
R1
U0 U1R2
+
-
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
College 6 8E020 Inleiding Meten 15
Transfer functions
Voor dit voorbeeld geldt:1. H is makkelijk te berekenen2. H is een constante, onafhankelijk van de
frequentie van ingang U0
Ad 1: Transfer functies voor schakelingen met veel weerstanden zijn moeilijker
Ad 2: Transfer functies voor schakelingen met condensatoren en spoelen zijn wèl afhankelijk van de frequentie van U0
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
8E020 Inleiding Meten 16
Transfer functions
• Voorbeeld:
• Transfer functie H = U1/U0 is moeilijker te bepalen, maar het is niet onmogelijk (probeer dit zelf)
R 3U0
U1
R1
R2
R4
R5
R6
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
8E020 Inleiding Meten 17
Transfer functions
• Transfer functies voor schakelingen met condensatoren en spoelen zijn wèl afhankelijk van de frequentie van U0
• Condensatoren en spoelen zijn “buffers”:– Condensator (capaciteit) C:
“buffer of displacement”– Spoel (inductie) L:
“buffer of impulse”
• Transfer functies van schakelingen zonder buffers zijn frequentie-onafhankelijk en kunnen niet fungeren als “filter”
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
8E020 Inleiding Meten 18
Transfer functions - frequency dependent
• Voorbeeld met condensator:
• Gedrag van een condensator (en een spoel) is afhankelijk van de frequentie
• Transfer functie H = U1/U0 is frequentie-afhankelijk
U0U1
R1
R2C
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
19
Transfer functions - frequency dependent
• Stel stroom I(t) door condensator is gegeven door:
• Bereken de spanning U(t) over de condensator:
cosCi t A t
0
1(0)
sin (0)
cos (0)2
CC
t
C C C
C C
C C
dui t C
dt
u t i t dt uC
Au t t u
C
Au t t u
C
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
8E020 Inleiding Meten 20
Transfer functions - frequency dependent
• Als de stroom amplitude A heeft, dan heeft de spanning amplitude A/(ωC)
• Als de stroom een cosinus is, dan is de spanning een sinus
• Dus de spanning loopt ½π achter, ofwel de condensator introduceert een faseverschil van −½π tussen spanning en stroom
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
8E020 Inleiding Meten 21
Transfer functions - frequency dependent
• Omdat een condensator eigenlijk een integrator voor stroom is: blokgolf IC(t) levert zaagtand UC(t)
0 200 400 600 800 1000-2
0
2
4
Blok: iC en uC, of uL en iL
0 200 400 600 800 1000-2
0
2
4
tijd
Sinus: iC en uC, of uL en iL
uC of iL
iC of uL
Zaagtand UC(t)
Blokgolf IC(t)
Sinus UC(t)
Sinus IC(t)
Tijd
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
8E020 Inleiding Meten 22
Complex Impedance
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
8E020 Inleiding Meten 23
Complex impedance
• Om dit gedrag met één formule te beschrijven introduceren we de term impedance
• Deze definitie is equivalent met de definitie van impedance Z voor een pure dissipator (weerstand R):
• Z = effort / flow (R = U / I)• G = flow / effort (de admittance = 1/Z)
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
8E020 Inleiding Meten 24
Complex impedance
De ratio effort / flow moet echter twee aspecten beschrijven:
1. Verandering in amplitude geϊntroduceerd door de condensator
2. Verandering in fase geϊntroduceerd door de condensator
Impedance Z beschrijft beide aspecten m.b.v. een complex getal
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
8E020 Inleiding Meten 25
Complex impedance
Impedance Z is dus een complex getal:
Z = a + bj
zodanig dat
|Z| = |effort| / |flow|arg(Z) = phase shift effort vs flow
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
8E020 Inleiding Meten 26
Complex impedance
Voor een condensator wordt de impedance gegeven door:
ZC = 1 / jωC
De admittance van een condensator wordt gegeven door:
GC = jωC
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
27
Complex impedance
• Controle van de definitie van een impedance voor een condensator m.b.v. een complex getal:
• Hieruit volgt: |effort| / |flow| = 1/ωC, dus
• Phase shift Δφ is gegeven door Δφ = arg(ZC)
2
1 1 1| | | | | | | |C
jZ j
j C j C C C
| || |
floweffort
C
1 1arg( ) arg( ) arg( )
11
tan0 2
cZ jj C C
C
komt overeen met sheet 20
komt overeen met sheet 20
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
8E020 Inleiding Meten 28
Complex impedance
• Bij hoge frequentie, ω∞, gaat de impedance van een condensator naar nul. Bij hoge frequentie is de condensator dus een shortcut
• Hoogfrequente stroom door een condensator leidt dus niet tot een spanningsverschil
• Voor ω=0 geldt dat de impedance van een condensator oneindig is. Dus voor ω=0 zal er geen stroom lopen door de condensator (het circuit is “open” bij de condensator)
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
8E020 Inleiding Meten 29
Complex impedance
• Voor een spoel geldt:– Als de stroom amplitude A heeft, dan heeft de
spanning amplitude AωL– Als de stroom een cosinus is, dan loopt de
spanning ½π voor, ofwel de spoel introduceert een faseverschil van +½π
( ) cos
( )( ) ( ) sin sin( )
1 1cos( ) cos( )
2 2
I t A t
dI tU t L U t L A t L A t
dt
L A t L A t
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
8E020 Inleiding Meten 30
Complex impedance
Voor een spoel wordt de impedance gegeven door:
ZL = jωL
De admittance voor een spoel wordt gegeven door:
GL = 1 / jωL
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
8E020 Inleiding Meten 31
Complex impedance
• Voor ω0 gaat de impedance van een spoel naar nul. Bij ω=0 is de spoel dus een shortcut
• Laagfrequente stroom door een spoel leidt dus niet tot een spanningsverschil
• Bij hoge frequentie, ω∞, geldt dat de impedance van een spoel oneindig is. Bij hoge frequentie zal er geen stroom lopen door de spoel (het circuit is “open” bij de spoel)
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
8E020 Inleiding Meten 32
Complex impedance
Voor een dissipator (weerstand) wordt de impedance gegeven door:
ZR = R
De admittance voor een weerstand wordt gegeven door:
GR = 1 / R
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
College 6 8E020 Inleiding Meten 33
Complex impedance
• De impedance voor een weerstand is dus onafhankelijk van de frequentie
• Het gedrag van de weerstand is gelijk voor iedere frequentie
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
8E020 Inleiding Meten 34
Working with complex impedances
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
8E020 Inleiding Meten 35
Working with complex impedances
• Notatie op basis van complexe getallen voor impedance heeft twee voordelen:
1. Men kan rekenen met impedanties met de rekenregels voor complexe getallen
2. Men kan rekenen met impedanties in electrische schakelingen zoals men kan rekenen met echte weerstanden
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
8E020 Inleiding Meten 36
Working with complex impedances
• Voor N impedanties in serie geschakeld geldt:
• Voor N impedanties parallel geschakeld geldt:
1
N
tot kk
Z Z
1
N
tot kk
G G
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
8E020 Inleiding Meten 37
Working with complex impedances
• De electrische schakeling van sheet 18 wordt nu:
U0U1
Z1= R1
Z2= R2
Zc=1/jC
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
8E020 Inleiding Meten 38
Frequency-dependent transfer functions
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
8E020 Inleiding Meten 39
Frequency-dependent transfer functions
• Beschouw Z2 en ZC als 2 parallel geschakelde impedanties
• Z2 en ZC kunnen worden vervangen door ZV:
• Deze schakeling is equivalent met de schakeling op sheet 13 waarbij R1 vervangen is door Z1 en R2 door ZV
2 2
2 2 2 2 2
2
2
11 1 1 1 1
1
v c
v
j CR j CRj C
Z Z Z R R R R
RZ
j CR
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
8E020 Inleiding Meten 40
Frequency-dependent transfer functions
• Voor deze schakeling gelden dus ook equivalente formules (zie sheet 13):
Z1
U0 U1Zv
+
-
0 01 0
1 1 1
v vv
v v v
U U Z ZI en U I Z U
Z Z Z Z Z Z
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
8E020 Inleiding Meten 41
Frequency-dependent transfer functions
• De transfer functie H(jω) wordt gevonden door Z1 en ZV in te vullen in de formule:
• Interpretatie van frequentie-afhankelijke transfer functies zal worden besproken in volgende colleges
2 2
1 2 2 2
2 1 2 20 1 2 1 21
2 2
1 1( )
(1 )1 1
R R
U j CR j CR RH j
R R j CR RU R R j CR RRj CR j CR
1 1
2
21v
Z R
RZ
j CR
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
8E020 Inleiding Meten 42
Frequency-dependent transfer functions
• Merk op dat H(jω) het quotiënt is van twee complexe getallen:
• Voor H(jω) gelden dezelfde rekenregels als voor complexe getallen (zie sheets 6-10)
2 1
1 2 1 2 2
1 2
2 1 2 1 2
( )
0
( ) ( )
R CH j with
R R j CR R C
C R j
C R R CR R j
met
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
8E020 Inleiding Meten 43
Frequency-dependent transfer functions
• Voor H(jω) gelden dus ook de regels van sheet 8:
1 2
1 2
1
2
1
2
1 2
1 2
( )( )
( )
| ( ) || ( ) |
| ( ) |
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
| ( ) | | ( ) | | ( ) |
H H H
H H H
H ja bjH j
c dj H j
H jH j and
H j
H j a bj c dj H j H j
H j H j H j and
en
en
Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)
8E020 Inleiding Meten 44
Frequency-dependent transfer functions
• In het algemeen wordt de transfer functie van een electrische schakeling weergegeven met complexe getallen
• In het volgende college worden verschillende klassen van transfer functies besproken:– low pass– high pass– band pass
• Ook wordt dan een grafische weergave voor transfer functies besproken: bode diagrams