A B

C

I

B CI

A

M N

PQ

I

1°S Le produit scalaire Exercices

Diverses expressions du produit scalaire et calcul de grandeurs.

Exercice 1.

ABC est un triangle et I est le milieu de [BC].

Données : AIB = 60°, BI = CI = 2 et AI = 3.

Calculer :

1) ACAB (introduire le point I)

2) AB 2 + AC

2

3) AB 2 – AC

2

4) AB et AC.

Exercice 2.

ABC est un triangle équilatéral de côté 5 cm, I est le milieu de [BC].

Calculer les produits scalaires suivants :

1) BCBA

2) CICA

3) AIACAB .

Exercice 3.

MNPQ est un carré avec MN = 6, I est le centre du carré.

Calculer les produits scalaires suivants :

1) QPMN

2) PNMN

3) IPIN

4) NIQI .

Exercice 4.

ABC est un triangle direct tel que AB = 2, AC = 3 et ACAB = 4.

1) Démontrer que le triangle ABC est rectangle en B (calculer BC 2 …)

2) Calculer CBCA puis une mesure des angles A et C (en degré à 10 – 1

près).

Exercice 5.

ABCD est un parallélogramme avec AB = 4, AD = 5 et AC = 7.

Calculer ADAB . En déduire BD.

Exercice 6.

ABCD est un losange de sens direct de centre O. On donne AC = 10 et BD = 6.

1) Calculer ADAB .

2) On note P le projeté orthogonal de D sur la droite (AB). Calculer AP.

Exercice 7. ABCD est un rectangle tel que AD = 3 et AB = 5. E est le milieu de [AB].

A B

CD

E

1) Calculer les longueurs AC et DE.

2) En exprimant chacun des vecteurs AC et DE en fonction des vecteurs AB et AD , calculer le produit

scalaire DEAC .

3) En déduire la valeur de l’angle θ = AC,DE en degrés à 0,01 près.

Exercice 8. A quelles conditions sur les points A, B, C, D a-t-on 2

2

ACABACAB ?

Justifier avec tous les arguments et calculs nécessaires.

Exercice 9.

1) Démontrer que : 4 vu = 22

vuvu et 22

vuvu = 2 22

vu .

2) Interpréter la deuxième égalité à l’aide d’un parallélogramme.

3) Démontrer que : vuvu = 22

vu .

4) En déduire une interprétation géométrique.

Exercice 10. C est un cercle de centre O, de rayon r et A est un point fixé du plan.

O

P

P'

A

Q

Le but du problème est d’établir la propriété suivante :

Quelle que soit la droite d passant par A, coupant le cercle C en deux points P et Q, le produit

scalaire AQAP est constant.

1) Soit P’ le point diamétralement opposé à P. Démontrer que AQAP = AP'AP .

2) Démontrer que AP'AP = AO 2 – r ².

3) Conclure.

θ

Problèmes d’orthogonalité.

Exercice 11.

Le but de cet exercice est de démontrer, à l’aide du produit scalaire, que les hauteurs d’un triangle sont

concourantes.

Soit ABC un triangle. On note A’, B’ et C’ les projetés orthogonaux respectifs de A, B et C sur (BC),

(AC) et (AB). On note H le point d’intersection de (AA’) et (BB’) (on ne sait pas encore que H (CC’)).

1) Justifier les valeurs des produits scalaires ACBH et ABCH .

2) Calculer BCAH (indication : décomposer BC avec le point A, puis développer…)

3) Conclure.

4) En déduire que AC'

AC

AB'

AB.

Exercice 12.

ABCD est un tétraèdre régulier (toutes arêtes sont de même longueur) de côté a, I est le milieu du côté

[AB] et J est le milieu du côté [CD].

1) Calculer (en fonction de a) les produits scalaires suivants : ACAB et DAAB .

2) Calculer et interpréter le produit scalaire suivant : DCAB .

3) Calculer et interpréter le produit scalaire suivant : IJAB

[ indication : démontrer d’abord que ADBC2

1IJ …]

4) Que représente le plan (IJCD) par rapport au segment [AB] ? Justifier.

Géométrie analytique.

Exercice 13.

Examiner si les équations suivantes sont des équations de cercle, et si c’est le cas, préciser le centre et le

rayon du cercle.

1) x 2 + y

2 – 2 x – 6 y + 5 = 0.

2) x 2 + y

2 – x – 3 y + 3 = 0.

Exercice 14.

On considère un triangle ABC dans un repère orthonormal avec A (– 1 ; 2), B (3 ; 1) et C (2 ; 4).

1) Déterminer une équation de la médiatrice de [AB].

2) Déterminer une équation de la hauteur issue de A dans le triangle ABC.

Exercice 15.

Dans un repère orthonormal ji ,,O , on donne un point I (2 ; – 3).

1) Déterminer l’équation du cercle C de centre I et de rayon R = 5.

2) Démontrer que le point A (– 2 ; 0) est un point du cercle C.

3) Déterminer une équation cartésienne de la tangente en A au cercle C.

Exercice 16*.

Dans un repère orthonormal, on considère les points suivants : A (2 ; 1), B (7 ; 2) et C (3 ; 4).

Toutes les questions suivantes sont indépendantes.

1) Calculer les coordonnées du barycentre G de (A ; 3), (B, 2) et (C, – 4).

2) Déterminer une équation de la médiatrice de [BC].

3) Calculer ACAB . L’angle A est-il droit ?

Exercice 17.

Soient A (3 ; 1) et B (– 2 ; 4).

Déterminer l’ensemble des points M du plan dont les coordonnées (x ; y) vérifient :

(x – 3) (x + 2) + (y – 1) ( y – 4) = 0.

Exercice 18.

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ji ,,O .

Déterminer l’équation du cercle C passant par A (2 ; 1) et B (1 ; 3) et dont le centre est situé sur la

droite d d’équation x + y + 1 = 0 [indication : trouver d’abord l’équation de la médiatrice de [AB]…]

Exercice 19.

Les vecteurs u (4 876 ; – 4 898 873) et v (317 019 173 ; 315 539) sont-ils orthogonaux ? Justifier.

Exercice 20.

L’équation suivante est-elle l’équation d’une sphère ? Si oui, préciser son centre et son rayon.

x 2

+ y 2 + z

2 – y + 2 z +

2

1 = 0.

Exercice 21.

Dans un repère orthonormal ji ,,O , on donne A (– 2 ; 2) et B (2 ; 2).

1) Calculer les coordonnées du milieu I de [AB].

2) Démontrer que pour tout point M du plan, on a :

MA 2 + MB

2 = 2 MI

2 +

2

AB2

.

3) Démontrer que l’ensemble E des points M du plan tels que : MA 2 + MB

2 = 40 est un cercle C de

centre I et de rayon 4.

4) Déterminer une équation du cercle C .

5) Déterminer les coordonnées des (éventuels) points d’intersection de C avec l’axe des abscisses.

6) Soit λ un réel négatif. Comment choisir λ pour que le point Z ( 7 ; λ ) soit sur C ?

7) Déterminer une équation de la tangente d à C en Z.

Lieux géométriques (ou lignes de niveau).

Exercice 22.

Soit un triangle ABC et K le projeté orthogonal de A sur (BC). On donne AB = 6, BK = 4 et KC = 7.

1) I est le milieu de [BC] et G le centre de gravité du triangle ABC. Faire une figure.

2) Calculer les produits scalaires suivants : BCBA , CABC , IBIG , ainsi que la somme :

ACGCACGBACGA .

3) Déterminer et représenter l’ensemble des points M du plan tel que : BCBM = 44.

4) Déterminer et représenter l’ensemble des points M du plan tel que : ACMCMBMA = 0.

Exercice 23.

[AB] est un segment de milieu I et AB = 2 cm.

1) Démontrer que, pour tout point M du plan : MA 2 – MB

2 = 2 ABIM .

2) Trouver et représenter l’ensemble des points M du plan tels que : MA 2 – MB

2 = 14.

Exercice 24.

On considère un segment [AB] avec AB = 10 cm.

Déterminer l’ensemble des points M tels que :

1) MBMA = 1.

2) MA 2 + MB

2 = 5.

Exercice 25.

1) Soit ABCD un rectangle de centre I et M un point quelconque du plan. Démontrer que :

MA 2 + MC

2 = MB

2 + MD

2.

2) Soit ABCD un parallélogramme. A quelle condition sur le quadrilatère ABCD on t-on

MD 2 – MC

2 = MA

2 – MB

2 pour tout point M du plan.

Divers.

Exercice 26. Distance d’un point à une droite.

A. Le point de vue vectoriel.

Le point A et le vecteur n non nul étant donnés, on désigne par D la droite passant par A et de vecteur

normal n . Soit M un point quelconque et H le projeté orthogonal de M sur D.

1. Justifier que HM est le projeté orthogonal de AM sur n .

2. En déduire que MH = n

nAM

(distance de M à D).

B. Le point de vue analytique.

Soit D la droite d’équation a x + b y + c = 0 (a et b non nul) et A ( α , β ) un point de D.

On désigne par n le vecteur de coordonnées (a, b).

1. Montrer que pour un point quelconque M0 (x0, y0) : n0

AM = a x0 + b y0 + c.

2. En déduire que la distance à la droite D d’équation a x + b y + c = 0 est calculée par : 22

00

ba

cybxa.

C. Applications.

1. Calculs de distances.

Calculer dans chaque cas, la distance de M à le droite D.

a. M (1, 4) et D : 2 x – y – 6 = 0 b. M = O et D : 5 x – 3 y + 7 = 0

c. M (– 5, 7) et D : y = – 3 x + 2 d. M (– 1, 4) et D : 2 x – 5 = 0.

2. Tangente à un cercle.

a. Donner l’équation du cercle de centre (5, 1) et tangent à la droite D d’équation x + y – 4 = 0.

b. A chaque réel m, on associe la droite m

d’équation réduite y = m x + 21 m .

Montrer que les droites m

(m R) sont tangentes à un cercle de centre O dont on précisera le rayon.

3. Bissectrices de deux droites.

a. Représenter graphiquement les droites D1 : 3 x + 4 y – 2 = 0 et D2 : 4 x + 3 y + 5 = 0.

b. Calculer la distance d’un point M (x, y) à D1 puis à D2 en fonction de x et y.

On note d1 et d2 ces distances.

c. A l’aide de la relation 2121

2

2

2

1dddddd , montrer que l’ensemble des points M

équidistants de D1 et D2 est la réunion de deux droites 1 et

2 dont on précisera les équations.

d. Montrer, à l’aide de leur vecteur normal, que les droites 1 et

2 sont orthogonales.

Note : Par définition, les droites 1 et 2 sont les bissectrices de D1 et D2.

A B

C

I

B CI

A

M N

PQ

I

1°S Le produit scalaire Correction des exercices

Diverses expressions du produit scalaire et calcul de grandeurs.

Exercice 1. ABC est un triangle et I est le milieu de [BC].

Données : AIB = 60°, BI = CI = 2 et AI = 3. Calculons :

1) ACAB = ICAIIBAI = IBAIIBAI

= IBIBAIAI = AI 2 – IB

2 = 3

2 – 2

2 = 9 – 4 = 5.

2) AB 2 + AC

2 =

22

ICAIIBAI = 22

ICAIIBAI

= ICICICAI2AIAIIBIBIBAI2AIAI

= 22

0

2ICIBICIBAI22AI

= 2 3 2 + 2

2 + 2

2 = 18 + 4 + 4 = 26.

Ou on peut utiliser directement la formule de la médiane :

AB 2 + AC

2 = 2 AI

2 +

2

1 AB 2 = 2 9 +

2

1 4 2 = 18 + 8 = 26.

3) AB 2 – AC

2 =

22

ICAIIBAI = ICICICAI2AIAIIBIBIBAI2AIAI

= 2222ICAIIBICIBAI2AI

= ICIBAI2 = IBCIAI2

= CBAI2 = 2 AI CB cos CB,AI

= 2 3 4 cos3

π2 = 2 3 4 2

1

= – 12.

4) D’après les questions précédentes,on a : 12ACAB

26ACAB

L

L

22

22

2

1.

En faisant L1 + L2, on obtient 2 AB 2 = 14 donc AB

2 = 7 et AB = 7 .

En faisant L1 – L2, on obtient 2 AC 2 = 38 donc AC

2 = 19 et AC = 19 .

Exercice 2. ABC est un triangle équilatéral de côté 5 cm, I est le milieu de [BC].

Calculons les produits scalaires suivants :

1) BCBA = BA BC cos BC,BA = 5 5 cos3

π = 25 2

1 = 12,5.

2) CICA = CI 2

par projection sur (CI) donc CICA = CI 2 = 2,5

2 = 6,25.

3) AIACAB = AIABCA = AICB = 0 car (AI) (CB).

Exercice 3. MNPQ est un carré avec MN = 6, I est le centre du carré.

Calculons les produits scalaires suivants :

1) QPMN = MN QP cos QP,MN = MN QP cos 0

= 6 6 1 = 36.

2) PNMN = 0 car (MN) (PN).

3) IPIN = 0 car (IN) (IP).

4) NIQI = QI NI cos NI,QI = QI NI cos π = – 2

23 = – 18.

Exercice 4. ABC est un triangle direct tel que AB = 2, AC = 3 et ACAB = 4.

1) Comme ACAB = 4 0, alors le triangle ABC n’est pas rectangle en A.

Démontrons que le triangle ABC est rectangle en B.

Pour cela, calculons :

BC 2

= 2

ACBA = 22

ACACBA2BA

= 22

ACACAB2BA = 2 2 – 2 4 + 3

2 = 4 – 8 + 9 = 5.

Comme AB 2 + BC

2 = 2

2 + 5 = 4 + 5 = 9 et que AC

2 = 3

2 = 9 alors AB

2 + BC

2 = AC

2.

Ceci prouve (par le théorème de Pythagore) que le triangle ABC est rectangle en B.

2) Calculons CBCA : CBCA = CBBACB = 0

CBBACBCB = CB 2 = 5.

Or, nous avons CBCA = CA CB cos CB,CA = 3 5 cos CB,CA = 53 cos CB,CA .

Ainsi, on a : CBCA = 5 et CBCA = 53 cos CB,CA donc 5 = 53 cos CB,CA .

Donc : cos CB,CA = 3

5

15

55

53

5 puis CB,CA 42° (Faire une figure, le triangle est direct).

Comme la somme des angles (géométriques) aigus d’un triangle rectangle est 90°, alors :

AC,AB 90 – 42 donc AC,AB 48°.

Exercice 5. ABCD est un parallélogramme avec AB = 4, AD = 5 et AC = 7. Commencer par faire une

figure. Calculons ADAB avec une identité du cours : 222

2

1vuvuvu . On obtient :

ADAB = 222

ADABADAB2

1 =

222

ADABAC2

1

= 222547

2

1 = 251649

2

1 = 8

2

1 = 4.

On en déduit BD par le calcul suivant :

BD 2 = BDBD =

2

ADBA = ADADADBA2BABA

= BA 2 – 2 ADAB + AD

2 = 4

2 – 2 4 + 5

2 = 16 – 8 + 25 = 33 donc BD = 33 .

Exercice 6. ABCD est un losange de sens direct de centre O. On donne AC = 10 et BD = 6.

Faisons une figure (même approximative).

A

B

C

D

O

P

1) Calculons ADAB = ODAOOBAO = OBAOOBAO

= AO 2 – OB

2 = 5

2 – 3

2 = 25 – 9 = 16.

2) On note P le projeté orthogonal de D sur la droite (AB). Calculons AP.

On calcule d’abord AB avec le théorème de Pythagore, on trouve AB = 34 .

D’après la propriété de projection orthogonale d’un vecteur :

ADAB = APAB = AB AP = 34 AP.

On a donc (avec la question précédente) : ADAB = 16 = 34 AP.

Donc AP = 34

16 =

34

3416 =

17

348.

Exercice 7. ABCD est un rectangle tel que AD = 3 et AB = 5. E est le milieu de [AB].

A B

CD

E

1) Calculons les longueurs AC et DE avec le théorème de Pythagore :

AC 2 = AD

2 + DC

2 = 3

2 + 5

2 = 9 + 25 = 34 et DE

2 = AD

2 + AE

2 = 3

2 + 2,5

2 = 9 + 6,25 = 15,25.

Donc AC = 34 et DE = 25,15 .

2) En exprimant chacun des vecteurs AC et DE en fonction des vecteurs AB et AD , calculons le

produit scalaire DEAC .

DEAC = AEDABCAB = AB2

1ADADAB

= ABAD2

1ADADABAB

2

1ADAB comme 0ADAB , alors :

DEAC = 2

1 AB

2 – AD

2 =

2

1 5

2 – 3

2 =

2

1 25 – 9 = 12,5 – 9 = 3,5.

3) Nous allons en déduire la valeur de l’angle θ = AC,DE en degrés à 0,01 près.

On a : DEAC = 3,5 et aussi :

DEAC = AC DE cos DE,AC = 34 25,15 cos DE,AC .

Donc DEAC = 3,5 = 34 25,15 cos DE,AC et donc cos DE,AC = 25,1534

5,3 0,1537.

Ce qui donne DE,AC – 81,16°.

θ

Exercice 8. Cherchons les conditions sur les points A, B, C pour que 2

2

ACABACAB .

22

ACABACAB 2222

ACACAB2ABACACAB2AB

ACAB2ACAB2

2 AB AC cos AC,AB = 2 AB AC

cos AC,AB = 1

AC,AB = 0 [2 π ]

Les points A, B, C sont alignés dans cet ordre ou dans l’ordre A, C, B.

Autre solution, plus rapide mais utilisant la « formule du cosinus » :

Puisque vu = vuvu ,cos alors vu

vuvu ,cos .

22

ACABACAB ACAB2ACAB2

ACABACAB

ACAB

ACAB 1

cos AC,AB = 1

AC,AB = 0 [2 π ]

Les points A, B, C sont alignés dans cet ordre ou dans l’ordre A, C, B.

Exercice 9.

1) Démontrons que : 4 vu = 22

vuvu et 22

vuvu = 2 22

vu . Nous avons :

22

vuvu = 22

vuvu = 2222

22 vvuuvvuu

= vuvu 22 = vu4 .

22

vuvu = 22

vuvu = 2222

22 vvuuvvuu

= 2222

vuvu = 22

22 vu

= 22

2 vu = 2 22

vu .

2) Interprétons l’égalité 22

vuvu = 2 22

vu à l’aide d’un parallélogramme.

prenons un parallélogramme ABCD et notons ABu , ADv .

Alors ACADABvu et DBABDADAABADABvu .

A B

CD

Ainsi, l’égalité 22

vuvu = 2 22

vu signifie que la somme des carrés des diagonales est

égale à la somme des carrés des côtés (du parallélogramme).

3) Démontrons que : vuvu = 22

vu .

vuvu = vvuvvuuu = vvuu = 22

vu .

4) On considère encore le parallélogramme ABCD et on prend les mêmes notations que précédemment.

Alors : vuvu = 0 22

vu = 0.

Autrement dit, un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires c’est un losange il a deux

côtés consécutifs de même longueur.

Géométrie analytique.

Exercice 13. Examinons si les équations suivantes sont des équations de cercle, et si c’est le cas, préciser

le centre et le rayon du cercle.

1) x 2 + y

2 – 2 x – 6 y + 5 = 0 x

2 – 2 x + 1 + y

2 – 6 y + 9 – 5 = 0 (x – 1)

2 + (y – 3)

2 = 5.

Ceci est bien l’équation d’un cercle, le cercle de centre (1, 3) et de rayon 5 .

2) x 2 + y

2 – x – 3 y + 3 = 0 (x

2 – x +

4

1 ) + (y 2 – 3 y +

4

9 ) – 4

1 – 4

9 + 3 = 0

(x – 2

1 ) 2 + (y –

2

3 ) 2 =

2

1

4

2 .

Donc ce n’est pas l’équation d’un cercle (aucun point n’a ces coordonnées vérifiant cette équation).

Exercice 14.

On considère un triangle ABC dans un repère orthonormal avec A (– 1 ; 2), B (3 ; 1) et C (2 ; 4).

1) Déterminons une équation de la médiatrice de [AB].

Un point M (x, y) appartient à la médiatrice de [AB]

(MI) (AB) avec I milieu de [AB]

ABMI = 0 avec I milieu de [AB] et avec I (1, 2

3 ), MI (1 – x, 2

3 – y) et AB (4, – 1)

(1 – x) 4 + (2

3 – y) (– 1) = 0

4 – 4 x – 2

3 + y = 0 – 4 x + y + 2

5 = 0 – 8 x + 2 y + 5 = 0.

2) Déterminons une équation de la hauteur issue de A dans le triangle ABC.

Un point M (x, y) appartient à la hauteur issue de A dans le triangle ABC

(MA) (BC)

BCAM = 0 avec AM (x + 1, y – 2) et BC (– 1, 3)

(x + 1) (– 1) + (y – 2) 3 = 0

– x + 3 y – 7 = 0.

Exercice 15. Dans un repère orthonormal ji ,,O , on donne un point I (2 ; – 3)

1) Déterminons l’équation du cercle C de centre I et de rayon R = 5.

D’après le cours, l’équation de ce cercle est (x – 2) 2 + (y + 3)

2 = 25.

2) Démontrons que le point A (– 2 ; 0) est un point du cercle C.

On remplace x par – 2 et y par 0 dans le membre de gauche, on obtient :

(– 2 – 2) 2 + (0 + 3)

2 = 16 + 9 = 25, donc le point A (– 2 ; 0) est un point du cercle C.

3) Déterminons une équation cartésienne de la tangente en A au cercle C.

On calcule les coordonnées du vecteur AI (rayon du cercle) : (4, – 3).

Puis M (x, y) appartient à la tangente en A à C

(MA) (AI)

AIAM = 0 avec AI (4, – 3) et MA (– 2 – x, – y)

4 (– 2 – x) + 3 y = 0

– 8 – 4 x + 3 y = 0

– 4 x + 3 y – 8 = 0.

Exercice 16*.

Dans un repère orthonormal, on considère les points suivants : A (2 ; 1), B (7 ; 2) et C (3 ; 4).

Toutes les questions suivantes sont indépendantes.

1) Calculons les coordonnées du barycentre G de (A ; 3), (B, 2) et (C, – 4).

423

423CBA

G

xxxx =

423

347223 = 8.

423

423CBA

G

yyyy =

423

442213 = – 9.

2) Déterminons une équation de la médiatrice de [BC].

Un point M (x, y) appartient à la médiatrice de [BC]

(MI) (BC) avec I milieu de [BC]

BCMI = 0 avec I milieu de [BC] et avec I (5, 3), MI (5 – x, 3 – y) et BC (– 4, 2)

(5 – x) (– 4) + (3 – y) 2 = 0

– 20 + 4 x + 6 – 2 y = 0 4 x – 4 y – 14 = 0 2 x – y – 7 = 0.

3) Calculons ACAB . L’angle A est-il droit ?

AB (5, 1) et AC (1, 3) donc ACAB = 5 1 + 1 3 = 8. Donc A n’est pas droit.

Exercice 17. Soient A (3 ; 1) et B (– 2 ; 4).

Déterminons l’ensemble des points M du plan dont les coordonnées (x ; y) vérifient :

(x – 3) (x + 2) + (y – 1) ( y – 4) = 0.

(x – 3) (x + 2) + (y – 1) ( y – 4) = 0

(x – xA) (x – xB) + (y – yA) (y – yB) = 0 avec xA = 3, xB = – 2, yA = 1, yB = 4

BMAM = 0 avec A (3, 1), B (– 2, 4)

M appartient eu cercle de diamètre [AB] où A (3, 1), B (– 2, 4)

Conclusion : l’ensemble des points M (x, y) tel que (x – 3) (x + 2) + (y – 1) ( y – 4) = 0 est le cercle de

diamètre [AB].

Autre méthode, développer l’expression (x – 3) (x + 2) + (y – 1) ( y – 4) puis la mettre sous la forme de

l’équation d’un cercle (x – a) 2 + (y – b)

2 = R

2.

Exercice 18. Le plan est rapporté à un repère orthonormal ji ,,O .

Déterminons l’équation du cercle C passant par A (2 ; 1) et B (1 ; 3) et dont le centre est situé sur la

droite d d’équation x + y + 1 = 0.

Trouvons d’abord l’équation de la médiatrice de [AB].

Un point M (x, y) appartient à la médiatrice de [AB]

(MI) (AB) avec I milieu de [AB]

ABMI = 0 avec I (2

3 , 2) milieu de [AB] et MI (2

3 – x, 2 – y) et AB (– 1, 2)

(2

3 – x) (– 1) + (2 – y) 2 = 0

x – 2

3 + 4 – 2 y = 0 x – 2 y + 2

5 = 0 (équation de la médiatrice de [AB]).

Ensuite, comme (x, y) appartient à la médiatrice de [AB] et aussi à la d d’équation x + y + 1 = 0, alors

ces coordonnées vérifient le système : 02

01

L

L

2

5

2

1

yx

yx

02

03

L

LL

2

5

2

3

2

21

yx

y

02L

LL

2

5

2

1

2

21

yx

y

01L

LL

2

5

2

1

2

21

x

y

2

3

2

1

2

21

L

LL

x

y.

Donc a pour coordonnées (2

3 , 2

1 ).

Le rayon du cercle de centre (2

3 , 2

1 ) passant par A (2 ; 1) est :

A = 2

2

12

2

3 12 = 2

2

12

2

7 = 4

1

4

49 = 4

50 .

L’équation du cercle de centre (2

3 , 2

1 ) passant par A (2 ; 1) est :

(x + 2

3 ) 2

+ (y – 2

1 ) 2 =

4

50 .

Exercice 19. Les vecteurs u (4 876 ; – 4 898 873) et v (317 019 173 ; 315 539) sont-ils orthogonaux ?

Non ils ne sont pas orthogonaux, car le dernier chiffre de – 4 898 873 315 539 est un 7 et le dernier

chiffre de 4 876 317 019 173 est un 8.

Exercice 20. L’équation suivante est-elle l’équation d’une sphère ?

x 2 + y

2 + z

2 – y + 2 z +

2

1 = 0 x

2 + y

2 – y +

4

1 + z

2 + 2 z + 1

4

1 – 1 +

2

1 = 0

x 2 + (y

2

1 ) 2 + (z + 1)

2 =

4

3.

C’est donc l’équation de la sphère de centre (0, 2

1 , – 1) et de rayon 2

3 .

Exercice 21. Dans un repère orthonormal ji ,,O , on donne A (– 2 ; 2) et B (2 ; 2).

1) Calculons les coordonnées du milieu I de [AB]. I (0 ; 2).

2) Démontrons que pour tout point M du plan, on a : MA 2 + MB

2 = 2 MI

2 +

2

AB2

.

MA 2 + MB

2 =

22

MBMA = 22

IBMIIAMI

= 2222

IBIBMI2MIIAIAMI2MI

= 0

222

IBIAMI2IBIAMI2

= 22

IA2MI2

= 22IA2MI2

=

2

2

2

AB2MI2

= 2 MI 2 +

2

AB2

.

3) MA 2 + MB

2 = 40 2 MI

2 +

2

AB2

= 40 2 MI 2 +

2

42

= 40 2 MI 2 + 8 = 40

2 MI 2 = 32 MI

2 = 16 MI = 8.

Donc l’ensemble E des points M du plan tels que : MA 2 + MB

2 = 40 est un cercle C de centre I et de

rayon 4.

4) Déterminons une équation du cercle C .

M (x, y) C IM 2 = 16 x

2 + (y – 2)

2 = 16.

5) Déterminons les coordonnées des (éventuels) points d’intersection de C avec l’axe des abscisses.

L’équation du cercle C est x 2 + (y – 2)

2 = 16, l’équation de l’axe des abscisses est y = 0.

Donc un point M (x, y) appartient à C et à (Ox) 0

16222

y

yx

0

16222

y

x

0

1642

y

x

0

122

y

x

0

12ou 12

y

xx.

Les deux points M1 ( 12 , 0) et M2 ( 12 , 0) sont les intersection de C et (Ox).

6) Soit λ un réel négatif.

Le point Z ( 7 ; λ ) est sur C 2

7 + ( λ – 2) 2 = 16 7 + ( λ – 2)

2 = 16 ( λ – 2)

2 = 9

λ – 2 = 3 ou λ – 2 = – 3 λ = 5 ou λ = – 1.

Comme on cherche λ < 0, il n’y a qu’une solution λ = – 1, pour que le point Z ( 7 ; λ ) soit sur C .

7) Déterminons une équation de la tangente d à C en Z.

M (x, y) d (MZ) IZ) IZMZ 3177 yx = 0

3377 yx = 0 437 yx = 0.

Lieux géométriques (ou lignes de niveau).

Exercice 22.

Soit un triangle ABC et K le projeté orthogonal de A sur (BC). On donne AB = 6, BK = 4 et KC = 7.

1) I est le milieu de [BC] et G le centre de gravité du triangle ABC. Faisons une figure.

B CK

A

I

G

2) Calculons les produits scalaires suivants :

BCBA = BCBK (par le théorème de projection). Donc BCBA = BCBK = BK BC = 44114 .

CABC = CKBC = – BC CK = – 11 7 = – 77.

IBIG = IBIA3

1 = IBIK

3

1 =

3

1 IK IB =

3

1 1,5 5,5 = 2,75.

ACGCACGBACGA = ACGCGBGA

0

= 0.

3) Déterminons et représentons l’ensemble des points M du plan tel que : BCBM = 44.

BCBM = 44 BCBM = BCBA 0BCBABCBM 0BCBABM

0BCABBM 0BCAM .

Donc l’ensemble des points M du plan tel que BCBM = 44 est la droite (AK).

4) Déterminons et représentons l’ensemble des points M du plan tel que : ACMCMBMA = 0.

ACMCMBMA = 0 ACMG3 = 0 ACMG = 0.

Donc l’ensemble des points M du plan tel que ACMCMBMA = 0 est la droite perpendiculaire à

(AC) passant par G.

Exercice 23. [AB] est un segment de milieu I et AB = 2 cm.

1) Démontrons que, pour tout point M du plan : MA 2 – MB

2 = 2 ABIM .

MA 2 – MB

2 =

22

MBMA = MBMAMBMA = BMMAMI2 = BAMI2 = ABIM2 .

2) MA 2 – MB

2 = 14 ABIM2 = 14 ABIM = 7.

Soit H le point de [IB] situé à 3,5 cm de I, on a :

ABIH = IH AB = 3,5 2 = 7.

Ainsi, MA 2 – MB

2 = 14 ABIM = 7 ABIM = ABIH ABIHABIM = 0

ABIHIM = 0 ABHIIM = 0 ABHM = 0.

L’ensemble des points M du plan tels que : MA 2

– MB 2 = 14 est la droite perpendiculaire à (AB)

passant par H.

Exercice 24. On considère un segment [AB] avec AB = 10 cm.

Déterminons l’ensemble des points M tels que :

1) MBMA = 1 IBMIIAMI = 1 où I est le milieu de [AB].

IBMIIAMI = 1 IAMIIAMI = 0 22

IAMI = 1 22

5MI = 1

MI 2 = 26 MI = 26 .

Donc l’ensemble des points M tel que MBMA = 1 est le cercle de centre I et de rayon 26 .

2) MA 2 + MB

2 = 5

22

IBMIIAMI = 5 où I est le milieu de [AB].

22

IBMIIAMI = 5 2222

IBIBMI2MIIAIAMI2MI = 5

2

0

2

IA2IBIAMI2MI2 = 5 50MI22

= 5 2

MI2 = – 45 IM 2 = – 22,5.

Un carré n’étant jamais négatif, aucun point M ne vérifie cette condition.

Remarque : on peut aussi utiliser la relation de la médiane pour gagner du temps…

Exercice 25.

1) Soit ABCD un rectangle de centre I et M un point quelconque du plan. Démontrons que :

MA 2 + MC

2 = MB

2 + MD

2.

MA 2 + MC

2 =

22

ICMIIAMI où i est le milieu de [AC], c’est-à-dire le centre du rectangle

= 2222

ICICMI2MIIAIAMI2MI

= 2

0

2

IC2ICIAMI2MI2

= 2 MI 2 + 2 IC

2.

De même, on a : MB 2 + MD

2 = 2 MI

2 + 2 ID

2.

Comme I est le centre du rectangle et que les diagonales d’un rectangle sont de même longueur et se

coupent en leur milieu, alors IC = ID.

Donc MA 2 + MC

2 = 2 MI

2 + 2 IC

2 = 2 MI

2 + 2 ID

2 = MB

2 + MD

2.

2) ABCD est un parallélogramme et M un point quelconque du plan.

Voyons à quelle condition MD 2 – MC

2 = MA

2 – MB

2.

MD 2 – MC

2 =

22

MCMD = MCMDMCMD

= MCMDME2 où E est le milieu de [CD]

= CMMDME2

= CDME2 .

De même, MA 2

– MB 2 = BAMF2 où F est le milieu de [AB].

Ainsi :

MD 2 – MC

2 = MA

2 – MB

2 CDME2 = BAMF2 BAME = BAMF

BAMFBAME = 0 BAMFME = 0 BAFMME = 0 BAMEFM

BAFE = 0.

Ceci est lorsque (AB) et (EF) sont perpendiculaires, donc lorsque le parallélogramme ABCD est un

rectangle.