XAPA§AM¶O™ °. °EøP°IA¢H™K·ıËÁËÙ‹˜ ÙÔ˘ TOMEA MHXANIKH™,

™XO§H EºAPMO™MENøN MA£HMATIKøN KAI ºY™IKøN E¶I™THMøN,

E£NIKO MET™OBIO ¶O§YTEXNEIO

™HMEIø™EI™

MHXANIKH™ TOY ™YNEXOY™ ME™OY

A£HNA 2006

1

K¿ı ÁÓ‹ÛÈÔ ·ÓÙ›ÁÚ·ÊÔ Ê¤ÚÂÈ ÙËÓ ˘ÔÁÚ·Ê‹ ÙÔ˘ Û˘ÁÁڷʤ·.

Copyright: © 2006, X.°. °EøP°IA¢H™

A·ÁÔÚ‡ÂÙ·È Ë Ì ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÙÚfiÔ ÌÂÚÈ΋ ‹ ÔÏÈ΋ ·Ó·Ù‡ˆÛË,·Ó·‰ËÌÔÛ›Â˘ÛË ‹ ʈÙÔÙ‡ËÛË ÙÔ˘ ·ÚfiÓÙÔ˜ ‚È‚Ï›Ô˘ ¯ˆÚ›˜ ÙËÓ ¤Á-ÁÚ·ÊË ¿‰ÂÈ· ÙÔ˘ Û˘ÁÁڷʤ·, Û‡Ìʈӷ Ì ÙȘ ΛÌÂÓ˜ ‰È·Ù¿ÍÂȘÂÚ› ÓÂ˘Ì·ÙÈ΋˜ ȉÈÔÎÙËÛ›·˜.

ºøTO™TOIXEIO£E™IA: ™. A£ANA™O¶OY§O™ - E. ¶A¶A¢AMH & ™IA E.E.

IøAN. £EO§O°OY 80 Zø°PAºOY, TH§. 210.77.10.548 - 210.77.02.033, FAX: 210.77.10.581

2

1. EI™A°ø°IKA ™TOIXEIA

ñ M˯·ÓÈ΋ Â›Ó·È Ë ÂÈÛÙËÌÔÓÈ΋ ÂÚÈÔ¯‹ ÌÂϤÙ˘ Ù˘ ΛÓËÛ˘ ηÈÙ˘ ·Ú·ÌfiÚʈÛ˘ ÙˆÓ ÛˆÌ¿ÙˆÓ, Î·È ÙˆÓ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ Ô˘ ÚÔ-ÍÂÓÔ‡Ó ·˘Ù¤˜. H M˯·ÓÈ΋ ‚·Û›˙ÂÙ·È ÛÙȘ ¤ÓÓÔȘ ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘,ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘, Ù˘ ‰‡Ó·Ì˘, Ù˘ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ Î·È Ù˘ ‡Ï˘.

ñ °È·Ù› Ë ˘fiıÂÛË ™˘Ó¯ԇ˜ M¤ÛÔ˘ ÂÊfiÛÔÓ ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ Ë Ê‡-ÛË Ù˘ ‡Ï˘ Â›Ó·È ‰È·ÎÚÈÙ‹;

T˘È΋ Ù·¯‡ÙËÙ· ÂÎÙ¤ÏÂÛ˘ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÒÓ ·fi H/Y: 1010 Ú¿ÍÂȘ/sec.

H ‰˘Ó·ÌÈ΋ ·fiÎÚÈÛË fiÁÎÔ˘ 1 lt ·¤Ú· ̤ۈ ·Ó¿Ï˘Û˘ Ô˘ ‚·Û›-˙ÂÙ·È ÛÙËÓ MÔÚȷ΋ ¢˘Ó·ÌÈ΋ (Molecular Dynamics) ı· ··ÈÙÔ‡-Û 1013 sec � 100000 ¤ÙË.

ñ M ÙËÓ ˘fiıÂÛË ÂÚ› ™˘Ó¯ԇ˜ M¤ÛÔ˘ ‰ÂÓ Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È ˘fi„ÈÓË ·ÙÔÌÈ΋ ‰ÔÌ‹ ˘ÏÈÎÒÓ fiˆ˜ Ú¢ÛÙ¿ (·¤ÚÈ·, ˘ÁÚ¿) Î·È ÛÙÂÚÂ¿Î·È Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È Ë Û˘ÌÂÚÈÊÔÚ¿ ÙÔ˘˜ Û·Ó Ó· ‹Ù·Ó Ë Î·Ù·ÓÔÌ‹Ù˘ ‡Ï˘ Û˘Ó¯‹˜. ŒÙÛÈ Ù· ÛËÌ›· ÙÔ˘ ˘ÏÈÎÔ‡ ·ÂÈÎÔÓ›˙ÔÓÙ·È ÛÂÛËÌ›· ÙÔ˘ E˘ÎÏ›‰ÈÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ Î·È ·ÌÂÏÂ›Ù·È ÙÂÏ›ˆ˜ Ë ·ÙÔÌÈ΋‰ÔÌ‹ ÙÔ˘ ˘ÏÈÎÔ‡.

ñ H ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ™˘Ó¯ԇ˜ M¤ÛÔ˘ Â›Ó·È ‰·ÓÂÈṲ̂ÓË ·fi ÙÔ Û‡ÛÙË-Ì· Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ÛÙ· M·ıËÌ·ÙÈο: MÂٷ͇ 2 Ú·ÁÌ·ÙÈ-ÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ¿ÓÙ· ¤Ó·˜ ¿ÏÏÔ˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜,Î·È ÂÔ̤ӈ˜, ˘¿Ú¯ÂÈ ·ÂÈÚ›· ·ÚÈıÌÒÓ ÌÂٷ͇ 2 ‰È·ÎÚÈÙÒÓ ÙÈ-ÌÒÓ ÛÙÔÓ ¿ÍÔÓ· ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ.

1 �t ·¤Ú· (� 1023 ÌfiÚÈ·)

3

EÂÎÙ›ÓÔÓÙ·˜ ÙËÓ È‰¤· ·˘Ù‹ ÙÔ˘ ™˘Ó¯ԇ˜ Î·È ÛÙËÓ ‡ÏË, ıˆ-Úԇ̛̠· Û˘Ó¯‹ ηٷÓÔÌ‹ Ù˘ ‡Ï˘ ÛÙÔÓ ¯ÒÚÔ. A˘Ùfi Á›ÓÂÙ·È Î·-χÙÂÚ· ηٷÓÔËÙfi ÂÍÂÙ¿˙ÔÓÙ·˜ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ˘ÎÓfiÙËÙ·˜.

ŒÛÙˆ fiÙÈ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ÔÛfiÙËÙ· Ì¿˙·˜ ηٷϷ̂¿ÓÂÈ ÙÔ ¯ˆ-Ú›Ô (ÂÚÈÔ¯‹) U0. £ÂˆÚԇ̠ÂÚ·ÈÙ¤Úˆ fiÙÈ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô P ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔU0 Î·È fiÙÈ Ë ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÙˆÓ ˘Ô-¯ˆÚ›ˆÓ U0, U1, U2, . . . Û˘ÁÎÏ›ÓÂÈÛÙÔ P

Un � Un –1, P�Un, (n = 1, 2, . . . ). (1)

ŒÛÙˆ ›Û˘ fiÙÈ ÙÔ ¯ˆÚ›Ô Un ¤¯ÂÈ fiÁÎÔ Vn Î·È Ì¿˙· Mn. £Âˆ-Úԇ̠ÙÔÓ ÏfiÁÔ Mn / Vn. AÎÔÏÔ‡ıˆ˜, Â¿Ó ˘¿Ú¯ÂÈ ÙÔ fiÚÈÔ ÙÔ˘Mn / Vn ηıÒ˜ n → � Î·È Vn → 0, ·˘Ùfi ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ Ë ˘ÎÓfiÙËÙ·Ù˘ ηٷÓÔÌ‹˜ Ù˘ Ì¿˙·˜ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô P Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È ˆ˜ Ú (P)

(2)

EÊfiÛÔÓ Ë ˘ÎÓfiÙËÙ· ÔÚ›˙ÂÙ·È Û fiÏ· Ù· ÛËÌ›· ÙÔ˘ U0, ÙfiÙ ËÌ¿˙· Â›Ó·È Û˘Ó¯Ҙ ηٷÓÂÌË̤ÓË ÛÙÔ ¯ˆÚ›Ô ·˘Ùfi.

ñ ŸÌÔȘ ıˆڋÛÂȘ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËıÔ‡Ó ÁÈ· ÙÔÓ ÔÚÈ-ÛÌfi Ù˘ ˘ÎÓfiÙËÙ·˜ Ù˘ ÔÚÌ‹˜ Î·È Ù˘ ˘ÎÓfiÙËÙ·˜ Ù˘ ÂÓ¤Ú-ÁÂÈ·˜.

Ú (P ) =�

l imn → ∞Vn → 0

M n

Vn

P

V2 V1 V0

·ÎÔÏÔ˘ı›· ÂÚÈÔ¯ÒÓÔ˘ Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Ó ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô P

4

ñ TÔ ™˘Ó¯¤˜ M¤ÛÔ ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ ÙÔ ÛÒÌ· (˘ÏÈÎfi) ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô ÔÈ˘ÎÓfiÙËÙ˜ Ù˘ Ì¿˙·˜, ÔÚÌ‹˜ Î·È ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ηٿ ÙËÓÌ·ıËÌ·ÙÈ΋ ÙÔ˘˜ ¤ÓÓÔÈ·. H M˯·ÓÈ΋ ÂÓfi˜ Ù¤ÙÔÈÔ˘ ̤ÛÔ˘ η-ÏÂ›Ù·È M˯·ÓÈ΋ ÙÔ˘ ™˘Ó¯ԇ˜ M¤ÛÔ˘.

T˘ÈÎfi ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· ÌÂÙ·‚ÔÏ‹˜ Ù˘ ˘ÎÓfiÙËÙ·˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ Ù˘‰È¿ÛÙ·Û˘ L ÂÓfi˜ ÛÙÔÈ¯Â›Ô˘ ˘ÏÈÎÔ‡

¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ·: H ÌÔÚȷ΋ ‰È¿ÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ‡‰·ÙÔ˜ Â›Ó·È � 10– 8 cm(� A

Æ). MÔÚԇ̠ÂÔ̤ӈ˜ Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì (¤¯ÔÓÙ·˜ ÛËÌ·-

ÓÙÈ΋ ·ÎÚ›‚ÂÈ·) ·Ó¿Ï˘ÛË M˯·ÓÈ΋˜ ™˘Ó¯ԇ˜ M¤ÛÔ˘ (M™M) ÂÊfi-ÛÔÓ ıˆڋÛÔ˘Ì ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ Û Úfi‚ÏËÌ· ÚÔ‹˜ ‡‰·ÙÔ˜ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂ-Ú˜ ·fi .¯. 10– 6 cm. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ë ÚÔ‹ ÙÔ˘ ‡‰·ÙÔ˜ ÂÓÙfi˜·ÁˆÁÔ‡ Ôχ ÌÈÎÚ‹˜ ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ ÌÔÚ› Ó· ·Ó·Ï˘ı› ÛÙ· Ï·›ÛÈ·Ù˘ M™M ÂÊfiÛÔÓ Ë ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚË Ù˘ ٿ͈˜ÙÔ˘ 10– 6 cm.

ñ °È· ÌÈÎÚfiÙÂÚ˜ Îϛ̷Θ ı· Ú¤ÂÈ Î·Ó›˜ Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÂÈÙËÓ º˘ÛÈ΋ ÙˆÓ ™ˆÌ·Ùȉ›ˆÓ (Particle Physics) Î·È ÙËÓ ™Ù·ÙÈÛÙÈ΋M˯·ÓÈ΋ (Statistical Mechanics).

ñ O Û˘Ó‰˘·ÛÌfi˜ M˯·ÓÈ΋˜ ÙÔ˘ ™˘Ó¯ԇ˜ Î·È º˘ÛÈ΋˜ ÙˆÓ ™ˆ-Ì·Ùȉ›ˆÓ Ì·˜ ÂÈÙÚ¤ÂÈ Ó· ηٷÓÔ‹ÛÔ˘Ì ÙÔÓ Ê˘ÛÈÎfi ÎfiÛÌÔ ˆ˜Û‡ÓÔÏÔ fiˆ˜ .¯. Û˘Ì‚·›ÓÂÈ Î·È ÛÙËÓ MÔÓÙ¤ÚÓ· OÙÈ΋ fiÔ˘ ÙÔʈ˜ ıˆÚÂ›Ù·È ÌÂÚÈΤ˜ ÊÔÚ¤˜ ˆ˜ ۈ̷ٛ‰È· Î·È ¿ÏϘ ˆ˜ ·̷-Ù·.

Ú

log L

(I) (II) (III)

ÌÔÚȷΤ˜‰È·Î˘Ì¿ÓÛÂȘ

Ô˘ÛȈ‰Ò˜ÛÙ·ıÂÚ‹ ˘ÎÓfiÙËÙ·

Ì·ÎÚÔÛÎÔÈ΋·ÓÔÌÔÈÔÌÔÚÊ›·

5

H «ı¤ÛË» Ù˘ M™M ˆ˜ ÂÈÛÙËÌÔÓÈ΋˜ ÂÚÈÔ¯‹˜

NfiÌÔÈ ÈÛÔ˙˘Á›Ô˘ (balance laws or conservation laws)

KÂÓÙÚÈ΋˜ ÛËÌ·Û›·˜ ÓfiÌÔÈ ÛÙ· Ï·›ÛÈ· Ù˘ M˯·ÓÈ΋˜ ÙÔ˘ ™˘ÓÂ-¯Ô‡˜ M¤ÛÔ˘ Â›Ó·È ÔÈ ÂÍ‹˜:

– IÛÔ˙‡ÁÈÔ Ì¿˙·˜ (‰È·Ù‹ÚËÛË Ì¿˙·˜),– IÛÔ˙‡ÁÈÔ ÁÚ·ÌÌÈ΋˜ ÔÚÌ‹˜,– IÛÔ˙‡ÁÈÔ ÁˆÓȷ΋˜ ÔÚÌ‹˜ (ÛÙÚÔÊÔÚÌ‹˜),– IÛÔ˙‡ÁÈÔ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ (‰È·Ù‹ÚËÛË ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ – 1Ô˜ ÓfiÌÔ˜ Ù˘

£ÂÚÌÔ‰˘Ó·ÌÈ΋˜).

™ËÌ›ˆÛË: OÈ ·ÓˆÙ¤Úˆ ÓfiÌÔÈ Ô‰ËÁÔ‡Ó Û MÂÚÈΤ˜ ¢È·ÊÔÚÈΤ˜EÍÈÛÒÛÂȘ (partial differential equations) Ô˘ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó Î·Ù¿ÏÏË-ÏÔ˘˜ «ÂÚÈÔÚÈÛÌÔ‡˜», ÛÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ ı· Ú¤ÂÈ Ó· ˘·ÎÔ‡ÂÈ Ë Ï‡ÛËÂÓfi˜ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜. OÈ ·ÓˆÙ¤Úˆ ÓfiÌÔÈ ‰ÂÓ ·ÚÎÔ‡Ó¿ÓÙˆ˜ ÁÈ· Ó· Ô‰ËÁËıԇ̠ÛÙËÓ Ï‡ÛË ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ. A·ÈÙÔ‡ÓÙ·ÈÂÈϤÔÓ Î·È ÔÈ ÏÂÁfiÌÂÓ˜ K·Ù·ÛÙ·ÙÈΤ˜ EÍÈÛÒÛÂȘ (constitutiveequations), ÔÈ Ôԛ˜ ÂÚÈÁÚ¿ÊÔ˘Ó ÙÔÓ ÙÚfiÔ Û˘ÌÂÚÈÊÔÚ¿˜ ÙÔ˘Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ ‹ ˘ÏÈÎÔ‡. T¤ÏÔ˜, ÔÈ ·ÓˆÙ¤Úˆ ÓfiÌÔÈ ÈÛÔ˙˘Á›-Ô˘ Û˘Óԉ‡ÔÓÙ·È ÁÈ· ÙËÓ Ï‹ÚË ÂÚÈÁÚ·Ê‹ ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ·fi ÙËÓÏÂÁfiÌÂÓË AÓÈÛfiÙËÙ· Ù˘ EÓÙÚÔ›·˜ (2Ô ÓfiÌÔ Ù˘ £ÂÚÌÔ‰˘Ó·ÌÈ΋˜).

H ÛËÌ·Û›· Ù˘ M˯·ÓÈ΋˜ ÙÔ˘ ™˘Ó¯ԇ˜ M¤ÛÔ˘

°ÓÒÛÂȘ M˯·ÓÈ΋˜ ÙÔ˘ ™˘Ó¯ԇ˜ M¤ÛÔ˘ ··ÈÙÔ‡ÓÙ·È Û ÔÏ-ÏÔ‡˜ ÎÏ¿‰Ô˘˜ ÙˆÓ EÊ·ÚÌÔÛÌ¤ÓˆÓ EÈÛÙËÌÒÓ Î·È ÙˆÓ EÈÛÙËÌÒÓ

M˯·ÓÈ΋ P¢ÛÙÒÓ M˯·ÓÈ΋ ™ÙÂÚÂÒÓ

(PÔ‹ ÂÎ ¢˘Ó·ÌÈÎÔ‡,MË - ·‰Ú·ÓÂȷ΋ PÔ‹,

™ÙÚˆÙ‹ PÔ‹,T˘Ú‚҉˘ PÔ‹,

PÔ‹ Û P˯¿ ⁄‰·Ù·, ...)

(AÓÙÔ¯‹ YÏÈÎÒÓ,EÏ·ÛÙÈÎfiÙËÙ·,

IÍÔ - ÂÏ·ÛÙÈÎfiÙËÙ·,¶Ï·ÛÙÈÎfiÙËÙ·,

¢È¿‰ÔÛË K˘Ì¿ÙˆÓÛÙ· YÏÈο, ...)

M˯·ÓÈ΋ ¶·Ú·ÌÔÚÊˆÛ›ÌˆÓ ™ˆÌ¿ÙˆÓ

M˯·ÓÈ΋ ™˘Ó¯ԇ˜ M¤ÛÔ˘

6

M˯·ÓÈÎÔ‡ – ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈο ÔÈ ÂÚÈÔ¯¤˜ Ù˘ EÈÛÙ‹-Ì˘ ÙˆÓ YÏÈÎÒÓ Î·È ÙˆÓ K·Ù·Û΢ÒÓ, EÌ‚ÈÔ-Ì˯·ÓÈ΋˜, ™ÂÈÛÌÔÏÔ-Á›·˜, TÂÎÙÔÓÔ-Ê˘ÛÈ΋˜, º˘ÛÈ΋˜ ™˘Ì˘Îӈ̤Ó˘ ⁄Ï˘.

EÈϤÔÓ, Ë M˯·ÓÈ΋ ÙÔ˘ ™˘Ó¯ԇ˜ M¤ÛÔ˘ ·ÔÙÂÏ› Ì›· ÎÏ·-ÛÈ΋ ÂÚÈÔ¯‹ EÊ·ÚÌÔÁÒÓ ÁÈ· Ù· M·ıËÌ·ÙÈο. EΛ, ÔÈ ¢È·ÊÔÚÈΤ˜EÍÈÛÒÛÂȘ Î·È ÔÈ AÚÈıÌËÙÈΤ˜ T¯ÓÈΤ˜ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ó ÔÏϤ˜ ÊÔÚ¤˜ ÙÔÊ˘ÛÈÎfi ÙÔ˘˜ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·. E›Û˘, ÔÏϤ˜ ̤ıÔ‰ÔÈ ÙˆÓ EÊ·ÚÌÔ-ÛÌ¤ÓˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ·Ó·Ù‡¯ıËÎ·Ó ÂÂȉ‹ ˘‹ÚÍÂ Ë ·Ó¿ÁÎË Â›-Ï˘Û˘ Û˘ÁÎÂÎÚÈÌ¤ÓˆÓ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ M˯·ÓÈ΋˜ – .¯. ÁÈ· ¶ÚÔ‚Ï‹-Ì·Ù· EÏ·ÛÙÈÎfiÙËÙ·˜ ·Ó·Ù˘¯ıËÎ·Ó Ë M¤ıÔ‰Ô˜ Riemann-Hilbert ηÈÔÈ AÚÈıÌËÙÈΤ˜ M¤ıÔ‰ÔÈ Galerkin Î·È ¶ÂÂÚ·ÛÌ¤ÓˆÓ ™ÙÔȯ›ˆÓ, ÁÈ·¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· PÔ‹˜ P¢ÛÙÒÓ ·Ó·Ù‡¯ıËÎÂ Ë M¤ıÔ‰Ô˜ ™˘ÓÔÚÈ·ÎÔ‡™ÙÚÒÌ·ÙÔ˜, ÁÈ· ¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· T·Ï·ÓÙÒÛÂˆÓ ·Ó·Ù‡¯ıËÎÂ Ë M¤ıÔ-‰Ô˜ ¢È·Ù·Ú·¯ÒÓ, ÁÈ· ¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ™Î¤‰·Û˘ K˘Ì¿ÙˆÓ ·Ó·Ù‡¯ıËÎÂË M¤ıÔ‰Ô˜ Wiener-Hopf.

¢ÂÓ Â›Ó·È Ù˘¯·›Ô ÏÔÈfiÓ Ô˘ ÌÂÚÈÎÔ› ·fi ÙÔ˘˜ ÈÔ ÛÔ˘‰·›Ô˘˜ÂÈÛÙ‹ÌÔÓ˜, ‰È·¯ÚÔÓÈο, ·Û¯ÔÏ‹ıËÎ·Ó Ì ÙËÓ EÈÛÙ‹ÌË Ù˘ MË-¯·ÓÈ΋˜ – ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈο ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È ÔÈ Euler, Coulomb, Fourier,Cauchy, Lagrange, Rayleigh, Kirchhoff, Poincare, Hilbert, vonKarman, Truesdell, Rivlin.

E›Ó·È ·ÍÈÔÛËÌ›ˆÙÔ fiÙÈ ÔÈ ·Ú¯¤˜ Î·È ÔÈ È‰¤Â˜ Ù˘ M˯·ÓÈ΋˜ÂÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·È ÙfiÛÔ Û ÌÂÁ¿Ï˜ Îϛ̷Θ (.¯. ÔÈÔ˜ Â›Ó·È Ô Ì˯·-ÓÈÛÌfi˜ Á¤ÓÂÛ˘ ÌÈ·˜ ηÙÔÏ›ÛıËÛ˘ ‹ ˆ˜ ‰È·‰›‰ÔÓÙ·È Ù· ÛÂÈÛÌÈο·̷ٷ Û ‰·ÊÈΤ˜ ÛÙÚÒÛÂȘ ‹ Ë ÚÔ‹ Ô¯ËÌ¿ÙˆÓ Û ¤Ó· ‰›ÎÙ˘Ô‰ÚfiÌˆÓ [Úfi‚ÏËÌ· ™˘ÁÎÔÈÓˆÓȷ΋˜ T¯ÓÈ΋˜] ‹ Ë ÌÂϤÙË ÚÔ‚ÏË-Ì¿ÙˆÓ ÌÂÁ¿ÏˆÓ ηٷÛ΢ÒÓ) fiÛÔ Î·È Û Ôχ ÌÈÎÚ¤˜ Îϛ̷Θ(.¯. ÌÂϤÙË ˘ÏÈÎÒÓ ÌÈÎÚÔ-ËÏÂÎÙÚÔÓÈ΋˜ ‹ ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ‚ÈÔ-Ù¯ÓÔ-ÏÔÁ›·˜). °ÂÓÈο, ÔÈ ·Ú¯¤˜ Î·È ÔÈ È‰¤Â˜ Ù˘ M˯·ÓÈ΋˜ ÂÊ·ÚÌfi˙Ô-ÓÙ·È Û fiϘ ÙȘ Îϛ̷Θ Ô˘ Ô ¿ÓıÚˆÔ˜ ¤¯ÂÈ ÙËÓ ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ·Ó· ۯ‰ȿ˙ÂÈ Î·Ù·Û΢¤˜.

H ÌÂϤÙË Ù˘ M˯·ÓÈ΋˜ ··ÈÙ› Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓ· ·Ó·Ï˘ÙÈΤ˜ ηÈÛ˘ÓıÂÙÈΤ˜ ÚÔÛ¿ıÂȘ.

7

8

2. KINHMATIKH ¶EPI°PAºH ™TO ™YNEXE™ ME™O

¶ÂÚÈÁÚ·Ê‹ Û M›· ¢È¿ÛÙ·ÛË

X·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈο ÙˆÓ ÌÔÓԉȿÛÙ·ÙˆÓ Î·Ù·ÛÙ¿ÛˆÓ:

ñ ŸÏ· Ù· ˘ÏÈο ÛËÌ›· ÂÓfi˜ ÛÒÌ·ÙÔ˜ ÎÈÓÔ‡ÓÙ·È Î·Ù¿ Ì‹ÎÔ˜ ·-Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ ÁÚ·ÌÌÒÓ Î·È Ë Î›ÓËÛË Â›Ó·È ÔÌÔÈfiÌÔÚÊË Û ›‰·Î¿ıÂÙ· ÛÙËÓ ‰È‡ı˘ÓÛË Ù˘ ΛÓËÛ˘.

ñ M›· ÌfiÓÔÓ ¯ˆÚÈ΋ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹ Î·È Ô ¯ÚfiÓÔ˜ ·ÚÎÔ‡Ó ÁÈ· ÙËÓ Â-ÚÈÁÚ·Ê‹ ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜.

YÏÈ΋ ÂÚÈÁÚ·Ê‹ (material description) ‹ ÂÚÈÁÚ·Ê‹ ηٿLagrange

ŒÛÙˆ fiÙÈ Ë ı¤ÛË ÂÓfi˜ ˘ÏÈÎÔ‡ ÛËÌ›Ԣ P Û ‰Â‰Ô̤ÓË ¯ÚÔÓÈ΋ÛÙÈÁÌ‹ t0 (ÁÈ· ÏfiÁÔ˘˜ ·ÏfiÙËÙ·˜ ıˆÚԇ̠fiÙÈ t0 = 0) ηıÔÚ›˙ÂÙ·È·fi ÙËÓ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤ÓË X. ™Â ÂfiÌÂÓ˜ ¯ÚÔÓÈΤ˜ ÛÙÈÁ̤˜, Ë ı¤ÛËÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ı· ‰›ÓÂÙ·È ˆ˜

x = x (X, t), (1)

Ì ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· x (X, t0) = X. H ·ÂÈÎfiÓÈÛË x = x (X, t) ηÏÂ›Ù·È ˘ÏÈ-΋ ÂÚÈÁÚ·Ê‹ Ù˘ ΛÓËÛ˘. ™ÙËÓ ÂÚÈÁÚ·Ê‹ ·˘Ù‹, X Î·È t ›ӷȷÓÂÍ¿ÚÙËÙ˜ ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜.

¢XX

¢xx

¢X: ·Ú¯ÈÎfi Ì‹ÎÔ˜ ÂÓfi˜ ÛÙÔÈ¯Â›Ô˘,¢x: Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ÛÙÔÈ¯Â›Ô˘ ÛÙÔÓ ¯ÚfiÓÔ t.

9

XˆÚÈ΋ ÂÚÈÁÚ·Ê‹ (spatial description) ‹ ÂÚÈÁÚ·Ê‹ ηٿ Euler

ŒÓ·˜ ÂÓ·ÏÏ·ÎÙÈÎfi˜ ÙÚfiÔ˜ ÂÚÈÁÚ·Ê‹˜ Â›Ó·È Ó· ıˆÚËıÔ‡Ó ˆ˜·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ˜ ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜ ÔÈ x Î·È t, ¤ÙÛÈ ÒÛÙÂ

X = X (x, t). (2)

™ÙËÓ ¯ˆÚÈ΋ ÂÚÈÁÚ·Ê‹, Ë ÚÔÛÔ¯‹ ÂÛÙÈ¿˙ÂÙ·È Û ‰Â‰Ô̤ÓË Â-ÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ ·Ú¿ Û ‰Â‰Ô̤ÓË ÔÛfiÙËÙ· Ì¿˙·˜ (‰Â‰Ô̤ÓËÂÚÈÔ¯‹: .¯. Û‹Ú·ÁÁ· ·¤Ú· ÛÙÔ ÂÚÁ·ÛÙ‹ÚÈÔ, ηӿÏÈ ‡‰·ÙÔ˜).

x

(xˆÚÈ΋ ÂÚÈÁÚ·Ê‹)

(˘ÏÈ΋ ÂÚÈÁÚ·Ê‹)

10

¶ÚÔÊ·ÓÒ˜, ÔÈ ‰‡Ô ÂÚÈÁڷʤ˜ ı· Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È Û˘Ó›˜ ÌÂ-ٷ͇ ÙÔ˘˜. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Â¿Ó U (X, t) Â›Ó·È Ë ÌÂÙ·ÙfiÈÛË ÛÙËÓ˘ÏÈ΋ ÂÚÈÁÚ·Ê‹ Î·È u (x, t) Ë ÌÂÙ·ÙfiÈÛË ÛÙËÓ ¯ˆÚÈ΋ ÂÚÈÁÚ·Ê‹,ı· ¤¯Ô˘ÌÂ

U (X, t) = x (X, t) – X, (3)

ηÈ

u (x, t) = x – X (x, t). (4)

¶·Ú·ÌfiÚʈÛË

E¿Ó ˘ÔÙÂı› fiÙÈ ˘Ê›ÛÙ·Ù·È ·ÓÔÌÔÈÔÌÔÚÊ›· ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ ηٿÙËÓ ‰È‡ı˘ÓÛË Ù˘ ΛÓËÛ˘ (ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ Ù˘Èο Û˘Ì‚·›ÓÂÈ Î·Ù¿ÙËÓ Î·Ù·fiÓËÛË ·Ú·ÌÔÚÊˆÛ›ÌˆÓ ÛˆÌ¿ÙˆÓ), ÙfiÙÂ Ë ÎÏ›ÛË ‹ ‚·ı-Ì›‰· Ù˘ ÌÂÙ·ÙfiÈÛ˘ (displacement gradient) ·ÔÙÂÏ› ¤Ó· ̤ÙÚÔÙ˘ ·Ú·ÌfiÚʈÛ˘ ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜. ™Â ˘ÏÈ΋ ÂÚÈÁÚ·Ê‹, Ë ‚·ıÌ›‰·Ù˘ ÌÂÙ·ÙfiÈÛ˘ ÁÚ¿ÊÂÙ·È ˆ˜

(5)

E›Û˘, ¤Ó· ¿ÏÏÔ Ì¤ÙÚÔ Ù˘ ·Ú·ÌfiÚʈÛ˘ ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ ›ӷÈË ‰È·ÊÔÚ¿ ÙˆÓ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ ÁÚ·ÌÌÈÎÒÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜. MÂÙÔÓ ÙÚfiÔ ·˘Ùfi Ô‰ËÁÂ›Ù·È Î·Ó›˜ ÛÙÔÓ Ù·Ó˘ÛÙ‹ ÙÚÔ‹˜ (straintensor) ÛÙËÓ ÁÂÓÈ΋ ÌË-ÌÔÓԉȿÛÙ·ÙË ÂÚ›ÙˆÛË.

™ÙËÓ ÌÔÓԉȿÛÙ·ÙË Î·Ù¿ÛÙ·ÛË, Ë ÙÚÔ‹ ηٿ Lagrange ‰›ÓÂÙ·È ˆ˜

(6)

ÂÓÒ Ë ÙÚÔ‹ ηٿ Euler (Almansi strain) ‰›ÓÂÙ·È ˆ˜

(7)

T¤ÏÔ˜, ÛËÌÂÈÒÓÂÙ·È fiÙÈ Ë ÂÚÈÁÚ·Ê‹ ηٿ Lagrange Â›Ó·È ÈÔηٿÏÏËÏË ÁÈ· ÂÏ·ÛÙÈο ÛÙÂÚ¿ (Ô˘ ¿ÓÙ· ÂÈÛÙÚ¤ÊÔ˘Ó ÛÙËÓ ·Ú-¯È΋ ÙÔ˘˜ ηٿÛÙ·ÛË) ÂÓÒ Ë ÂÚÈÁÚ·Ê‹ ηٿ Euler Â›Ó·È ÈÔ Î·-Ù¿ÏÏËÏË ÁÈ· Ú¢ÛÙ¿.

 = ∂u

∂x – 1

2 ∂u

∂x

2

.

E = 12

l im¢ X → 0

(¢x)2 – (¢X)2

(¢X)2 = ∂U

∂X + 1

2 ∂U

∂X

2

,

∂U

∂X = l im

¢ X → 0 ¢x – ¢X

¢X .

11

YÏÈ΋ Î·È XˆÚÈ΋ ¶ÂÚÈÁÚ·Ê‹ Û TÚÂȘ ¢È·ÛÙ¿ÛÂȘ

Ë ÔÚıÔηÓÔÓÈ΋ ‚¿ÛË ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜

[ÈÛ¯‡Ô˘Ó:

ÂÓÒ

ŒÛÙˆ .¯. ¤Ó· ‚·ı̈Ùfi ̤ÁÂıÔ˜ fiˆ˜ Ë ıÂÚÌÔÎÚ·Û›· ı Î·È ¤Ó·‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi ̤ÁÂıÔ˜ fiˆ˜ Ë Ù·¯‡ÙËÙ· Ó. T· ÌÂÁ¤ıË ·˘Ù¿ ¤¯Ô˘ÓÙËÓ ÂÍ‹˜ ÂÚÈÁÚ·Ê‹:

YÏÈ΋ ÂÚÈÁÚ·Ê‹ (Lagrange)

ı = ı (X1, X2, X3, t), (1·)

Ó = Ó (X1, X2, X3, t). (1‚)

XˆÚÈ΋ ÂÚÈÁÚ·Ê‹ (Euler)

ı = ı (x1, x2, x3, t), (2·)

Ó = Ó (x1, x2, x3, t), (2‚)

fiÔ˘

e 1 × e 2 = e 3, e 2 × e 3 = e 1, e 1 × e 3 = e 2] .

ÁÈ· i = j � e i ñ e i = 1 , ÁÈ· i � j � e i ñ e i = 0 ,

(e 1, e 2, e 3)

ı¤ÚÌ·ÓÛË

(∂ı/∂x: ‰Â‰Ô̤ÓÔ)ıÂÚÌfiÌÂÙÚÔ

x

ÙÔ ıÂÚÌfiÌÂÙÚÔ ı· ηٷÁÚ¿„ÂÈÈÔ ·ÚÁ¿ ·˘Í·ÓfiÌÂÓËıÂÚÌÔÎÚ·Û›· ‹, ·ÎfiÌË,

Î·È ÙÒÛË Ù˘ ıÂÚÌÔÎÚ·Û›·˜

ÙÔ ıÂÚÌfiÌÂÙÚÔı· ηٷÁÚ¿„ÂÈ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ

·˘Í·ÓfiÌÂÓË ıÂÚÌÔÎÚ·Û›·

12

x = x (X, t) ÌÂ x (X, t0) = X, (3), (4)

‹ ÛÂ ÌÔÚÊ‹ Û˘ÓÈÛÙˆÛÒÓ

xi = xi (X1, X2, X3, t) ÌÂ Xi = x i (X1, X2, X3, t0). (5), (6)

™ËÌ›ˆÛË: OÈ Û˘Óı‹Î˜ Â›Ó·È ÈηӤ˜ ÁÈ· Ó· ›ӷÈ

Ô ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi˜ ·ÓÙÈÛÙÚÂÙfi˜ Î·È 1-ÚÔ˜-1 (·Ô‰ÂÎÙfi˜ ÌÂÙ·-Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi˜).

ÕÛÎËÛË 1: KÈÓÔ‡ÌÂÓÔ ÛÒÌ· ÂÈÛ¤Ú¯ÂÙ·È Û ‰Â‰Ô̤ÓÔ ıÂÚÌÔÎÚ·-ÛÈ·Îfi ‰›Ô. H (‰Â‰Ô̤ÓË) ΛÓËÛË ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÙ·È ˆ˜ÂÍ‹˜ x1 = X1 + ktX2, x2 = X2, x3 = X3 (˘ÏÈ΋ ÂÚÈÁÚ·Ê‹). E¿Ó ÙÔıÂÚÌÔÎÚ·ÛÈ·Îfi ‰›Ô ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙËÓ ¯ˆÚÈ΋ ÂÚÈÁÚ·Ê‹ı = Ï (x1 + x2), fiÔ˘ Ï Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfi˜ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ (Ï ‰›ÓÂÙ·È Û‰ȷÛÙ¿ÛÂȘ [ÆC] [L]– 1), ÙfiÙÂ:

(·) N· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛı› Ë ˘ÏÈ΋ ÂÚÈÁÚ·Ê‹ Ù˘ ıÂÚÌÔÎÚ·Û›·˜, ηÈ(‚) N· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛıÔ‡Ó Ë Ù·¯‡ÙËÙ· Î·È Ô Ú˘ıÌfi˜ ÌÂÙ·‚ÔÏ‹˜ Ù˘

ıÂÚÌÔÎÚ·Û›·˜ ÁÈ· ˘ÏÈο ÛËÌ›· (ÛÙÔȯ›·).

§‡ÛË: (·) M ·ÓÙÈηٿÛÙ·ÛË ÙˆÓ xi ¤¯Ô˘ÌÂ

ı = Ï (x1 + x2) = Ï (X1 + ktX2 + X2) = Ï (X1 + (kt + 1) X2).

(‚) °È· ‰Â‰Ô̤ÓÔ ˘ÏÈÎfi ÛËÌÂ›Ô Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Û οÔÈÔ Xi, ËÙ·¯‡ÙËÙ¿ ÙÔ˘ ı· ›ӷÈ

ÔfiÙ Ó1 = kX2, Ó2 = Ó3 = 0 Û ˘ÏÈ΋ ÂÚÈÁÚ·Ê‹, ÂÓÒ ÂÂȉ‹x2 = X2 (·fi Ù· ‰Â‰Ô̤ӷ),

Ó1 = kx2, Ó2 = Ó3 = 0 Û ¯ˆÚÈ΋ ÂÚÈÁÚ·Ê‹.

O Ú˘ıÌfi˜ ÌÂÙ·‚ÔÏ‹˜ Ù˘ ıÂÚÌÔÎÚ·Û›·˜ ÁÈ· ¤Ó· ˘ÏÈÎfi ÛËÌ›Ôı· ›ӷÈ

∂ı

∂ t

X i - ‰ÂÛÌÂ˘Ì¤Ó·

= ÏkX 2 = Ïkx2 .

vi = ∂xi

∂ t

X i - ‰ÂÛÌÂ˘Ì¤Ó·

,

∂xi

∂X j

� 0 , �

13

™ËÌ›ˆÛË: ¶·Ú¿ ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ë ıÂÚÌÔÎÚ·Û›· Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙË-ÙË ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘ ÛÙËÓ ¯ˆÚÈ΋ ÂÚÈÁÚ·Ê‹, οı ˘ÏÈÎfi ÛËÌÂ›Ô «·ÈÛı¿-ÓÂÙ·È» ·ÏÏ·Á¤˜ ÛÙËÓ ıÂÚÌÔÎÚ·Û›· ÙÔ˘ ÂÂȉ‹ ÎÈÓÂ›Ù·È ·fi Ì›· ı¤-ÛË ÛÙÔÓ ¯ÒÚÔ Û οÔÈ· ¿ÏÏË ÁÂÈÙÔÓÈ΋ ı¤ÛË.

YÏÈ΋ ¶·Ú¿ÁˆÁÔ˜ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ XÚfiÓÔ (material time derivative)

EÂȉ‹ Ù· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ ˘ÏÈÎÔ‡ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Û˘Ó‹ıˆ˜ Û ΛÓËÛË ÛÂÊÔÚÙÈ˙fiÌÂÓÔ ·Ú·ÌÔÚÊÒÛÈÌÔ ÛÒÌ·, Â›Ó·È ‚·ÛÈ΋˜ ÛËÌ·Û›·˜ Ó· ‰È·-ÎÚ›ÓÔ˘Ì ·Ó¿ÌÂÛ· Û ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ Û ۯ¤ÛË Ì ·Î›ÓËÙÔ Û‡ÛÙËÌ· ·Ó·-ÊÔÚ¿˜ Î·È ÎÈÓÔ‡ÌÂÓÔ Û‡ÛÙËÌ· ·Ó·ÊÔÚ¿˜.

¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ·: P¿‚‰Ô˜ ˘fi ıÂÚÌÈ΋ ÊfiÚÙÈÛË ÛÙÔ ¤Ó· Ù˘ ¿ÎÚÔ

OÚÈÛÌfi˜: YÏÈ΋ ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ ηÏÂ›Ù·È Ô Ú˘ıÌfi˜ ÌÂÙ·‚ÔÏ‹˜ ÌÈ·˜ÔÛfiÙËÙ·˜ (.¯. ıÂÚÌÔÎÚ·Û›· ‹ Ù·¯‡ÙËÙ·) Ô˘ ·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È Û ˘ÏÈ-Îfi ÛËÌ›Ô. ™˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È ˆ˜ D / Dt.

(i) ŸÙ·Ó ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È Ë ˘ÏÈ΋ ÂÚÈÁÚ·Ê‹

ı = ı (X, t)

ÙfiÙÂ

(1)DıDt

= ∂ı

∂ t

X i - ‰ÂÛÌÂ˘Ì¤Ó·

.

ı¤ÚÌ·ÓÛË

(∂ı/∂x: ‰Â‰Ô̤ÓÔ)ıÂÚÌfiÌÂÙÚÔ

x

ÙÔ ıÂÚÌfiÌÂÙÚÔ ı· ηٷÁÚ¿„ÂÈÈÔ ·ÚÁ¿ ·˘Í·ÓfiÌÂÓËıÂÚÌÔÎÚ·Û›· ‹, ·ÎfiÌË,

Î·È ÙÒÛË Ù˘ ıÂÚÌÔÎÚ·Û›·˜

ÙÔ ıÂÚÌfiÌÂÙÚÔı· ηٷÁÚ¿„ÂÈ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ

·˘Í·ÓfiÌÂÓË ıÂÚÌÔÎÚ·Û›·

14

(ii) ŸÙ·Ó ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È Ë ¯ˆÚÈ΋ ÂÚÈÁÚ·Ê‹

ı = ı (x, t)

ÙfiÙÂ↓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ ηÓfiÓ· ·Ï˘Û›‰·˜

(2)

fiÔ˘ ÔÈ ·Ú¿ÁˆÁÔÈ (∂xi / ∂t) ˘ÔÏÔÁ›˙ÔÓÙ·È ÁÈ· ÛÙ·ıÂÚ¤˜ (‰Â-ÛÌÂ˘Ì¤Ó˜) ÙÈ̤˜ ÙˆÓ Xi.

™ÙËÓ Û˘Ó‹ıË ÂÚ›ÙˆÛË ¯Ú‹Û˘ K·ÚÙÂÛÈ·ÓÔ‡ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Û˘Ó-ÙÂÙ·ÁÌ¤ÓˆÓ ¤¯Ô˘ÌÂ

(3)

fiÔ˘ vi ÔÈ Û˘ÓÈÛÙÒÛ˜ Ù˘ Ù·¯‡ÙËÙ·˜ ۈ̷Ùȉ›Ô˘ (particlevelocity), Î·È ÂÔ̤ӈ˜

(4)

TÔÓ›˙ÂÙ·È fiÙÈ Ë ·ÓˆÙ¤Úˆ Â͛ۈÛË Â›Ó·È Î·Ù¿ÏÏËÏË ÁÈ· ¯ˆÚÈ΋ÂÚÈÁÚ·Ê‹, fiÔ˘ ı = ı (x1, x2, x3, t).

™Â Ì›· ‰È¿ÛÙ·ÛË Ë EÍ. (4) Á›ÓÂÙ·È

™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÁÂÓÈÎÔ‡ (Î·Ì˘ÏfiÁÚ·ÌÌÔ˘) Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Û˘ÓÙÂ-Ù·Á̤ӈÓ, Ë ˘ÏÈ΋ ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ ‰›ÓÂÙ·È ˆ˜

DıDt

= ∂ı

∂ t

ÙÔÈÎfi˜ fiÚÔ˜ ↑ (local term)

+ v ∂ı

∂x .

↑ fiÚÔ˜ ÂÎ ÌÂÙ·ÊÔÚ¿˜ (convected term)

DıDt

= ∂ı

∂ t + v1

∂ı

∂x1

+ v2 ∂ı

∂x2

+ v3 ∂ı

∂x3

.

∂xi

∂ t

X i - ‰ÂÛÌÂ˘Ì¤Ó·

= vi ,

= ∂ı

∂x1

∂x1

∂ t + ∂ı

∂x2

∂x2

∂ t + ∂ı

∂x3

∂x3

∂ t + ∂ı

∂ t

x i - ‰ÂÛÌÂ˘Ì¤Ó·

,

DıDt

= ∂ı

∂ t

X i - ‰ÂÛÌÂ˘Ì¤Ó·

=

15

(5)

fiÔ˘

¶·Ú·Ù‹ÚËÛË 1: ™Â ¯ˆÚÈ΋ ÂÚÈÁÚ·Ê‹, Ë ˘ÏÈ΋ ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ Ù˘ÔÛfiÙËÙ·˜ ı ¤¯ÂÈ ‰‡Ô Û˘ÓÈÛÙÒÛ˜, ‰ËÏ. ÙÔÓ Ú˘ıÌfi ÌÂÙ·‚ÔÏ‹˜ Ù˘ı Û ̛· Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ı¤ÛË, (∂ı / ∂t), Î·È Â›Û˘ ÙÔÓ Ú˘ıÌfi ÌÂÙ·-‚ÔÏ‹˜ Ù˘ ı Ô˘ ÙÔ ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ ˘ÏÈÎÔ‡ «·ÓÙÈÏ·Ì‚¿ÓÂÙ·È» ηıfi-ÛÔÓ ·˘Ùfi ÎÈÓÂ›Ù·È Û ¯ˆÚÈο ÌË-ÔÌÔÈfiÌÔÚÊÔ Â‰›Ô ÁÈ· ÙËÓ ÔÛfiÙË-Ù· ı, v (∂ı / ∂x).

¶·Ú·Ù‹ÚËÛË 2: E¿Ó ÙÔ Â‰›Ô ı Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘Î·È Â¿Ó Ë Ù·¯‡ÙËÙ· ÛÙÔÈ¯Â›Ô˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙÔ �ı (‰ËÏ. ÙÔ ÛÙÔÈ-¯Â›Ô ÎÈÓÂ›Ù·È Î·Ù¿ Ì‹ÎÔ˜ ÙÚԯȿ˜ ÛÙ·ıÂÚ‹˜ ı) ÙfiÙÂ, fiˆ˜ ·Ó·Ì¤-ÓÂÙ·È Î·È ‰È·ÈÛıËÙÈο, Dı / Dt = 0.

¶·Ú·Ù‹ÚËÛË 3 (ÁÂӛ΢ÛË ÛÂ Ù·Ó˘ÛÙÈο ‰›·): H ˘ÏÈ΋ ·Ú¿-ÁˆÁÔ˜ Ô˘ ‰Ú· Û ¤Ó· ÁÂÓÈÎfi Ù·Ó˘ÛÙÈÎfi ‰›Ô Ï·Ì‚¿ÓÂÈ ÙËÓ ·Îfi-ÏÔ˘ıË ÙÂÏÂÛÙÈ΋ ÌÔÚÊ‹

(6)

fiÔ˘ ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÂÓfi˜ ‰›Ô˘ u (.¯. ‰›Ô ÌÂÙ·ÙÔ›ÛˆÓ) Ô˘·ÔÙÂÏ› ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi ‰›Ô (‰ËÏ. Ù·Ó˘ÛÙ‹ 1˘ ٿ͈˜), Ë ÔÛfi-

ÙËÙ· ·ÔÙÂÏ› Ù·Ó˘ÛÙ‹ 2·˜ ٿ͈˜.

™ËÌ›ˆÛË: ™Â Ï‹ÚË ÁÚ·Ê‹ ¤¯Ô˘ÌÂ

∂u i

∂xj

=

∂u 1

∂x1

∂u 1

∂x2

∂u 1

∂x3

∂u 2

∂x1

∂u 2

∂x2

∂u 2

∂x3

∂u 3

∂x1

∂u 3

∂x2

∂u 3

∂x3

.

� u = e i ∂u i

∂xj

e j

D ( )Dt

= ∂ ( )

∂ t + v ñ � ( ),

vi = ∂xi

∂ t

X i - ‰ÂÛÌÂ˘Ì¤Ó·

Î·È � ( ) = ∂ ( )

∂xi

e i .

Dı (x , t)Dt

= ∂ı (x , t)

∂ t + v ñ � ı (x , t),

16

°È· ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi ‰›Ô u, Ë EÍ. (6) ‰›ÓÂÈ

Û ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈ΋ ÁÚ·Ê‹,

‹

Û ÁÚ·Ê‹ Ì ¯Ú‹ÛË ‰ÂÈÎÙÒÓ.

™ËÌ›ˆÛË: ™ÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÂÚ›ÙˆÛË Á›ÓÂÙ·È ¯Ú‹ÛË Ù˘ ÏÂÁfiÌÂ-Ó˘ ۇ̂·Û˘ ‰ÂÈÎÙÒÓ-¿ıÚÔÈÛ˘ (index and summation convention)

M›· Û‡ÓÙÔÌË ·ÚÔ˘Û›·ÛË Ù˘ ÁÚ·Ê‹˜ Ì ¯Ú‹ÛË ‰ÂÈÎÙÒÓ Î·ıÒ˜Î·È ÛÙÔȯ›ˆÓ Ù·Ó˘ÛÙÈÎÔ‡ ÏÔÁÈÛÌÔ‡ ·Ú·Ù›ıÂÙ·È Î·ÙˆÙ¤Úˆ ÛÙËÓÂÓfiÙËÙ· 3.

¶·Ú·Ù‹ÚËÛË 4: ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ ˘ÏÈο ÛËÌ›· (ۈ̷ٛ‰È·)ÎÈÓÔ‡ÓÙ·È Î·È Ù·˘ÙÔ¯ÚfiÓˆ˜ ÂÚÈÛÙÚ¤ÊÔÓÙ·È, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È Ë ÏÂ-ÁfiÌÂÓË ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ Jaumann.

ÕÛÎËÛË 2: N· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛı› Ë ˘ÏÈ΋ ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ Dı / Dt ÁÈ· ÙÔ‰›Ô Ù·¯˘Ù‹ÙˆÓ Î·È ıÂÚÌÔÎÚ·Û›·˜ Ù˘ ¿ÛÎËÛ˘ 1.

§‡ÛË: E›Ó·È

EÂȉ‹ ¤¯Ô˘ÌÂ

DıDt

= 0 + Ï (k x2 e 1) ñ (e 1 + e 2) = Ïkx2.

� ı = Ï (e 1 + e 2),

v = (kx2) e 1 Î·È ı = Ï (x1 + x2).

vj ∂u i

∂xj

= v1 ∂u i

∂x1

+ v2 ∂u i

∂x2

+ v3 ∂u i

∂x3

.

Du i

Dt =

∂u i

∂ t + vj

∂u i

∂xj

,

DuDt

= ∂u

∂ t + 1

2 � (v ñ u )

‚·ıً̈ÔÛfiÙËÙ·

– vx (� xu )

‰È¿Ó˘ÛÌ·

,

17

18

3. TANY™TE™ – °PAºH ME XPH™H ¢EIKTøN

£ÂˆÚԇ̠ٷ ۇ̂ÔÏ· ai, bi j, a i j k Î·È ai j k� Ô˘ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÔÌ¿-‰Â˜ ÔÛÔÙ‹ÙˆÓ ·Ó·ÏfiÁˆ˜ ÙˆÓ ‰ÂÈÎÙÒÓ ÙÔ˘˜.

(a1, a2, a3) : a i fiÔ˘ (i = 1, 2, 3). T· ai ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÔÌ¿‰·31 = 3 ÔÛÔÙ‹ÙˆÓ (ÛÙÔȯ›ˆÓ).

(b11, b12, b13, b21, b22, b23, b31, b32, b33) : bi j fiÔ˘ (i, j = 1, 2, 3).T· bi j ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÔÌ¿‰· 32 = 9 ÔÛÔًوÓ.

OÌÔ›ˆ˜ ¤¯Ô˘ÌÂ, Ù· ai j k Ó· ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÔÌ¿‰· 33 = 27 ÔÛÔÙ‹-ÙˆÓ Î·È Ù· ai j k � Ó· ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÔÌ¿‰· 34 = 81 ÔÛÔًوÓ.

(·) ™‡Ì‚·ÛË Â‡ÚÔ˘˜:

ŸÙ·Ó ¤Ó·˜ ‰Â›ÎÙ˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È ÌfiÓÔÓ Ì›· ÊÔÚ¿ Û ¤Ó·Ó fiÚÔ, ԉ›ÎÙ˘ Ï·Ì‚¿ÓÂÈ ÙȘ ÙÈ̤˜ 1, 2 Î·È 3, fiÙ·Ó ·Ó·ÊÂÚfiÌ·ÛÙ ÛÙÔÓÙÚÈ-‰È¿ÛÙ·ÙÔ ¯ÒÚÔ.

(‚) ™‡Ì‚·ÛË ·ıÚÔ›Ûˆ˜:

ŸÙ·Ó ¤Ó·˜ ‰Â›ÎÙ˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È ‰‡Ô ÊÔÚ¤˜ ÛÙÔÓ ›‰ÈÔ fiÚÔ, ·˘ÙfiÛËÌ·›ÓÂÈ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ fiÚˆÓ Ô˘ ÚÔ·ÙÔ˘Ó, ηıÒ˜ Ô Â·Ó·Ï·Ì-‚·ÓfiÌÂÓÔ˜ ‰Â›ÎÙ˘ Ï·Ì‚¿ÓÂÈ ‰È·‰Ô¯Èο ÙȘ ÙÈ̤˜ 1, 2, 3.

K·Ó¤Ó·˜ ‰Â›ÎÙ˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È ÂÈÙÚÂÙfi Ó· ·ӷÏËÊı› ÂÚÈÛÛfi-ÙÂÚÔ ·fi Ì›· ÊÔÚ¿.

¶·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù·:

a i b i = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 13 b 3 ,

a i i = ∑i =1

3

a i i = a 11 + a 22 + a 33 ,

19

O ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ÂÏ¢ı¤ÚˆÓ ‰ÂÈÎÙÒÓ ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙ÂÈ Î·È ÙÔÓ ·ÚÈıÌfiÙˆÓ ÔÛÔÙ‹ÙˆÓ Ô˘ ÂÎÊÚ¿˙ÔÓÙ·È Ì ÙÔ ÂÓ ÏfiÁˆ ۇ̂ÔÏÔ:

ai j b j : ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ 31 = 3 ÔÛfiÙËÙ˜ (1 ÂχıÂÚÔ˜ ‰Â›ÎÙ˘),

aj i b j k : ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ 32 = 9 ÔÛfiÙËÙ˜ (2 ÂχıÂÚÔÈ ‰Â›ÎÙ˜),

ai j bk : ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ 33 = 27 ÔÛfiÙËÙ˜ (3 ÂχıÂÚÔÈ ‰Â›ÎÙ˜).

OÈ Â·Ó·Ï·Ì‚·ÓfiÌÂÓÔÈ ‰Â›ÎÙ˜ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Î·È ¿ÂÚÁÔÈ ‹ ‚ˆ‚Ô›(dummy indices), ·ÊÔ‡ Â›Ó·È ·‰È¿ÊÔÚÔ ÙÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ÁÚ¿ÌÌ· ÙÔÔÔ›Ô ÙÔ˘˜ ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ:

(ÛËÌÂÈÒÛÙ ÙËÓ ·Ó·ÏÔÁ›· Ì ÙÔ ÔÚÈṲ̂ÓÔ ÔÏÔÎϋڈ̷:

(Á) ™‡Ì‚·ÛË ·Ú·ÁˆÁ›ÛˆÓ:

O ‰Â›ÎÙ˘ ÎfiÌÌ· (,) Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ıÂ›Ù·È ·fi ¤Ó·Ó ‰Â›ÎÙË i ˘Ô‰ÂÈ-ÎÓ‡ÂÈ ÌÂÚÈ΋ ·Ú¿ÁˆÁÔ ˆ˜ ÚÔ˜ xi.

¶·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù·:

(9 ÔÛfiÙËÙ˜) (27 ÔÛfiÙËÙ˜) (81 ÔÛfiÙËÙ˜)

c i j , k � = ∂ 2 c i j

∂xk ∂x�

b i j , k = ∂b i j

∂xk

, a i , j = ∂a i

∂xj

,

b

a

f (x) dx = b

a

f (t) d t ).

a i b i = a � b � , a i i = a j j , a i j b j k = a i � b � k

a i j b j = ∑j =1

3

a i j b j = a i 1 b 1 + a i 2 b 2 + a i 3 b 3 .

+ a 31 b 3 c 1 + a 32 b 3 c 2 + a 33 b 3 c 3 ,

+ a 21 b 2 c 1 + a 22 b 2 c 2 + a 23 b 2 c 3 +

= a 11 b 1 c 1 + a 12 b 1 c 2 + a 13 b 1 c 3 +

a i j b i c j = ∑i =1

3

∑j =1

3

a i j b i c j =

20

¶ÚÔÊ·ÓÒ˜ Î·È Â‰Ò ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ Û˘Ì‚¿ÛÂȘ. ŒÙÛÈ:

™ÙÔȯ›· K·ÚÙÂÛÈ·ÓÒÓ T·Ó˘ÛÙÒÓ

MÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi˜ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤ӈÓ:

(x1, x2, x3), (x1′, x2′, x3′ ): ‰ÂÍÈfiÛÙÚÔÊ· ÔÚıÔÁÒÓÈ· Û˘ÛÙ‹Ì·Ù· ·Ífi-ÓˆÓ Ì ÎÔÈÓ‹ ·Ú¯‹ 0.

TÔ Ù˘¯fiÓ ÛËÌÂ›Ô P ¤¯ÂÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ xi ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ ÚÒÙÔÛ‡ÛÙËÌ·, ÂÓÒ ¤¯ÂÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ x i′ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ. OÈÛ˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ·˘Ù¤˜ Û˘Û¯ÂÙ›˙ÔÓÙ·È ‚¿ÛÂÈ ÙÔ˘ ÁÚ·ÌÌÈÎÔ‡ ÌÂÙ·Û¯Ë-Ì·ÙÈÛÌÔ‡:

x1′ = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3,

x2′ = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3, (1)

x3′ = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3,

x′1

x1

x2x′2

ı

b i , j j = ∂ 2 b i

∂xj ∂xj

= ∂ 2 b i

∂x12

+ ∂ 2 b i

∂x22

+ ∂ 2 b i

∂x32

.

b i j , j = ∂b i j

∂xj

= ∂b i 1

∂x1

+ ∂b i 2

∂x2

+ ∂b i 3

∂x3

,

a i , i = ∂a i

∂xi

= ∂a 1

∂x1

+ ∂a 2

∂x2

+ ∂a 3

∂x3

,

21

fiÔ˘ ÔÈ ÂÓÓ¤· ÔÛfiÙËÙ˜ ai j ηÏÔ‡ÓÙ·È Û˘ÓËÌ›ÙÔÓ· ηÙ¢ı‡ÓÛˆ˜(direction cosines) Î·È ÂÎÊÚ¿˙Ô˘Ó Ù· Û˘ÓËÌ›ÙÔÓ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ Ô˘Û¯ËÌ·Ù›˙ÔÓÙ·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘ i Ó¤Ô˘ ¿ÍÔÓ· (ÙÔÓÔ‡ÌÂÓÔ˘) Î·È ÙÔ˘ j ·Ú-¯ÈÎÔ‡ ¿ÍÔÓ· (¿ÙÔÓÔ˘), ‰ËÏ.

ai j = cos (xi′, x j ). (2)

OfiÙÂ, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙËÓ ÁÚ·Ê‹ Ì ‰Â›ÎÙ˜, ÔÈ Û¯¤ÛÂȘ ÌÂ-Ù·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌÔ‡ (1) ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÁÚ·ÊÔ‡Ó Û˘ÓÔÙÈο ˆ˜

xi′ = ai j x j . (3)

¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ·:

OÚÈÛÌÔ› Ù·Ó˘ÛÙÒÓ:

T·Ó˘ÛÙ‹˜ 1˘ ٿ͈˜ (‹ ‰È¿Ó˘ÛÌ·) Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÁÂıÔ˜ Ô˘ ÔÚ›˙Â-Ù·È ·fi 31 = 3 ‚·ı̈٤˜ ÔÛfiÙËÙ˜ (ÙȘ Û˘ÓÈÛÙÒÛ˜ ÙÔ˘), ÔÈ ÔÔ›-˜ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·Ù›˙ÔÓÙ·È ·fi ¤Ó· Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ xi Û ¤Ó· ¿ÏÏÔ xi′˘·ÎÔ‡ÔÓÙ·˜ ÛÙÔÓ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ ÓfiÌÔ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌÔ‡

x1′

x2′

x3′

=

cos ı sin ı 0

– sin ı cos ı 0

0 0 1

·Û‡ÌÌÂÙÚÔ˜ ›Ó·Î·˜

x1

x2

x3

x′1

x1

x2x′2

ı

22

Ai′ = ai j Aj, (1)

fiÔ˘ A i : Û˘ÓÈÛÙÒÛ˜ Ù·Ó˘ÛÙ‹ ÛÙÔ Û‡ÛÙËÌ· xi ,Ai′ : Û˘ÓÈÛÙÒÛ˜ Ù·Ó˘ÛÙ‹ ÛÙÔ Û‡ÛÙËÌ· xi′,a i j : Û˘ÓËÌ›ÙÔÓ· ηÙ¢ı‡ÓÛˆ˜.

¶·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· Ù·Ó˘ÛÙÒÓ 1˘ ٿ͈˜: ‰‡Ó·ÌË, ÌÂÙ·ÙfiÈÛË, Ù·-¯‡ÙËÙ·.

T·Ó˘ÛÙ‹˜ 2·˜ ٿ͈˜ Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÁÂıÔ˜ Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi 32 = 9‚·ı̈٤˜ ÔÛfiÙËÙ˜ (ÙȘ Û˘ÓÈÛÙÒÛ˜ ÙÔ˘) Ai j Ô˘ ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·ÈÛÂ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ Û‡ÛÙËÌ· ·Ó·ÊÔÚ¿˜ xi Î·È ÔÈ Ôԛ˜ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·Ù›-˙ÔÓÙ·È Û ¤Ó· Ó¤Ô Û‡ÛÙËÌ· xi′ Ì ‚¿ÛË ÙÔÓ ÓfiÌÔ

A′i j = ai k a j � Ak � . (2)

¶·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· Ù·Ó˘ÛÙÒÓ 2·˜ ٿ͈˜: Ù¿ÛË Ûi j , ÙÚÔ‹ Âi j .TÚ›Ù˘ Î·È ÌÂÁ·Ï˘Ù¤Ú·˜ ٿ͈˜ Ù·Ó˘ÛÙ¤˜ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È Ì ·Ó¿ÏÔÁÔ

ÙÚfiÔ.

MËÙÚˆ˚΋ ÁÚ·Ê‹ ÙˆÓ Û¯¤ÛÂˆÓ ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙˆÓ Ù·Ó˘ÛÙÒÓ:

Ai′ = ai j Aj ‹ {Ai′ } = [ai j ] {Aj },

A′i j = ai k a j � Ak � ‹ [A′i j ] = [ai j ] [Ai j ] [a i j ]T, ÎÏ.

™˘ÌÌÂÙÚÈÎÔ› Î·È ·ÓÙÈ-Û˘ÌÌÂÙÚÈÎÔ› Ù·Ó˘ÛÙ¤˜:

Di j(™)

= Dj i(™) � D( i j ) ,

Di j(A)

= – Dj i(A) � D[ i j ] ,

K¿ı ·Û‡ÌÌÂÙÚÔ˜ Ù·Ó˘ÛÙ‹˜ 2·˜ ٿ͈˜ ÌÔÚ› Ó· ·Ó·Ï˘ı› ÌÔ-Ó·‰Èο Û ¿ıÚÔÈÛÌ· Û˘ÌÌÂÙÚÈÎÔ‡ Î·È ·ÓÙÈ-Û˘ÌÌÂÙÚÈÎÔ‡ Ù·Ó˘ÛÙ‹

Di j = D( i j ) + D[ i j ] ,

ηıfiÛÔÓ

23

D[i j ] = 12

(Di j – Dj i ).

D( i j ) = 12

(Di j + Dj i ),

24

4. E¶ITAXYN™H Y§IKOY ™HMEIOY (XÚÔÓÈ΋ ¶·Ú¿ÁˆÁÔ˜ T·¯‡ÙËÙ·˜)

(i) YÏÈ΋ ÂÚÈÁÚ·Ê‹

T·¯‡ÙËÙ· ÛÙÔÈ¯Â›Ô˘ (ۈ̷Ùȉ›Ô˘):

(1)

fiÔ˘ x (X, t0) = X. ™ÙÔ ·ÚfiÓ Î›ÌÂÓÔ, ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ « » ÛËÌ·›ÓÂÈÈÛfiÙËÙ· ÂÍ ÔÚÈÛÌÔ‡ ÂÓÒ ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ «�» ÛËÌ·›ÓÂÈ ÈÛfiÙËÙ· ÂÎÙ·˘ÙfiÙËÙÔ˜.

H Û¯¤ÛË (1) ‰›ÓÂÈ ÙËÓ Ù·¯‡ÙËÙ· ÂÓfi˜ ÛÙÔÈ¯Â›Ô˘ ˆ˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛËÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘.

EÈÙ¿¯˘ÓÛË ÛÙÔÈ¯Â›Ô˘:

(2)

(ii) XˆÚÈ΋ ÂÚÈÁÚ·Ê‹

™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ı· ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ÙËÓ Û˘Ó¿ÚÙËÛË v = v (x, t).H Ù·¯‡ÙËÙ· ·˘Ù‹ Â›Ó·È Ë Ù·¯‡ÙËÙ· ÂÓfi˜ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ˘ ˘ÏÈÎÔ‡ ÛË-Ì›Ԣ Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ı¤ÛË x ÛÙËÓ ¯ÚÔÓÈ΋ ÛÙÈÁÌ‹ t.

ŒÛÙˆ fiÙÈ

v = v1 (x1, x2, x3, t) + v2 (x1, x2, x3, t) + v3 (x1, x2, x3, t)

Û K·ÚÙÂÛÈ·Ófi Û‡ÛÙËÌ· ·Ó·ÊÔÚ¿˜.TfiÙÂ Ë ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË ÛÙÔÈ¯Â›Ô˘ ÁÚ¿ÊÂÙ·È ˆ˜

(3)

fiÔ˘

a = DvDt

= Dv1

Dt e 1 +

Dv2

Dt e 2 +

Dv3

Dt e 3,

e 3e 2e 1

a (X , t) =�

∂v (X , t)

∂ t

X - ‰ÂÛÌÂ˘Ì¤ÓÔ

� DvDt

.

=�

Ó (X , t) =�

∂x (X , t)

∂ t

X - ‰ÂÛÌÂ˘Ì¤ÓÔ

� DxDt

,

25

↓ ÙÔÈÎfi˜ Ú˘ıÌfi˜

(4)

[™ËÌ›ˆÛË: H ¯ÚËÛÈÌfiÙËÙ· Ù˘ (4) Â›Ó·È Ë ÂÍ‹˜. OÈ ÓfiÌÔÈ Ù˘¢˘Ó·ÌÈ΋˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó ÙËÓ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË (Ú·ÁÌ·ÙÈ΋) ÂÓfi˜ ˘ÏÈ-ÎÔ‡ ÛËÌ›Ԣ Î·È fi¯È ÙÔ˘˜ ÙÔÈÎÔ‡˜ Ú˘ıÌÔ‡˜. EÔ̤ӈ˜, Ë EÍ. (4)‰›ÓÂÈ ÙËÓ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË Û ¯ˆÚÈ΋ ÂÚÈÁÚ·Ê‹].

™Â Û˘Ì·Á‹ ÌÔÚÊ‹, Ë EÍ. (3) ÁÚ¿ÊÂÙ·È Ì ¯Ú‹ÛË ‰ÂÈÎÙÒÓ (ÛÂÔÚıÔÁˆÓÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· Û˘ÓÙÂÙ·Á̤ӈÓ) ˆ˜

(5)

ÂÓÒ Û ÁÂÓÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· Û˘ÓÙÂÙ·ÁÌ¤ÓˆÓ ˆ˜

(6)

fiÔ˘ ÙÔ ÌËÙÚÒÔ-ÛÙ‹ÏË ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·-

ÛÌfi ÙˆÓ ÌËÙÚÒˆÓ

¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Î·Ì˘ÏfiÁÚ·ÌÌÔ˘ (ÌË-K·ÚÙÂÛÈ·ÓÔ‡) Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Û˘ÓÙÂ-Ù·Á̤ӈÓ:

x2

x1

rer

<

eÊ

<

e1

<

e2

<

Ê

r = (x12 + x2

2)1/2,

Ê = tan– 1(x2 /x1).

� v3 × 3

v3 × 1

.

(� v ) v3 × 1

a = ∂v

∂ t + (� v ) v ,

a i = ∂vi

∂ t + vj

∂vi

∂xj

,

Dvi

Dt =

∂vi

∂ t + v1

∂vi

∂x1

+ v2 ∂vi

∂x2

+ v3 ∂vi

∂x3

.

26

T¤ÏÔ˜, ÛÙËÓ ·Ï‹ ÌÔÓԉȿÛÙ·ÙË ÂÚ›ÙˆÛË ¤¯Ô˘Ì ÙËÓ ÂÍ‹˜Û¯¤ÛË Ô˘ ‰›ÓÂÈ ÙËÓ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË ÛÙÔÈ¯Â›Ô˘:

(7)

ÙÔÈÎfi˜ fiÚÔ˜ ↑ ↑ fiÚÔ˜ ÂÎ ÌÂÙ·ÊÔÚ¿˜(local term) (convected part of the acceleration)

ÕÛÎËÛË:

¢›ÓÂÙ·È ÙÔ ÂÍ‹˜ ‰›Ô Ù·¯˘Ù‹ÙˆÓ (Û ¯ˆÚÈ΋ ÂÚÈÁÚ·Ê‹, ‰ËÏ.

N· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛıÔ‡Ó: (·) ÙÔ Â‰›Ô ÂÈÙ·¯‡ÓÛˆÓ, Î·È (‚) ÔÈ Ûˆ-Ì·ÙȉȷΤ˜ ÙÚԯȤ˜ x = x (X, t).

[™ËÌ›ˆÛË: ™ˆÌ·Ùȉȷ΋ ÙÚԯȿ (path line) Â›Ó·È Ë ÁÚ·ÌÌ‹ (η-̇ÏË, ÂÓ Á¤ÓÂÈ) Ô˘ ÂÓÒÓÂÈ Ù· ÛËÌ›· ·fi Ù· ÔÔ›· ‰È·‰Ô¯Èο‰È‹Ïı ÙÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ˘ÏÈÎfi ÛËÌ›Ô]

§‡ÛË: (·) EÂȉ‹ vi = x i / (1 + t) Â›Ó·È ∂vi / ∂t = – xi / (1 + t)2 ηÈ

=

11 + t

0 0

0 11 + t

0

0 0 11 + t

v1

v2

v3

=

x1

(1 + t)2

x2

(1 + t)2

x3

(1 + t)2

,

(� v ) v = � v v =

v1 = x1

1 + t , v2 =

x2

1 + t , v3 =

x3

1 + t .

v1 = ∂x1

∂ t

X i - ‰ÂÛÌÂ˘Ì¤Ó·

)

a = DvDt

= ∂v

∂ t + v ∂v

∂x .

� v =

∂vr

∂ r 1

r

∂vr

∂Ê – vÊ

∂vÊ

∂ r 1

r

∂vÊ

∂Ê + vr

.

27

ÔÈ Û˘ÓÈÛÙÒÛ˜ Ù˘ ÂÈÙ·¯‡ÓÛˆ˜ ‰›ÓÔÓÙ·È ˆ˜

Î·È ÔÌÔ›ˆ˜

¶·Ú·Ù‹ÚËÛË: AÓ Î·È Û ‰Â‰Ô̤ÓË ÛÙ·ıÂÚ‹ ı¤ÛË ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘, ËÙ·¯‡ÙËÙ· ‰Â›¯ÓÂÈ Ó· ÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÙ·È (‰ËÏ. ∂vi / ∂t � 0), Ë Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ٷ¯‡ÙËÙ· ÙÔ˘ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ˘ ۈ̷Ùȉ›Ô˘ Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ‹ (‰ËÏ.Dvi / Dt = 0).

(‚) Œ¯Ô˘ÌÂ

OÌÔ›ˆ˜ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ x2 = X2 (1 + t) Î·È x3 = X3 (1 + t).

K·ÙˆÙ¤Úˆ, ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÙ·È Â›Û˘ ¤Ó·˜ ÂÓ·ÏÏ·ÎÙÈÎfi˜ ÙÚfiÔ˜ÂÍ·ÁˆÁ‹˜ Ù˘ ÂÎÊÚ¿Ûˆ˜ Ù˘ ˘ÏÈ΋˜ ·Ú·ÁÒÁÔ˘

fiÔ˘ „ Â›Ó·È Ù·Ó˘ÛÙ‹˜ ÔÔÈ·Û‰‹ÔÙ ٿ͈˜:

H ÙÔÈ΋ ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ (ÙÔÈÎfi˜ Ú˘ıÌfi˜) ∂ ( ) /∂ t ÌÂÙÚÂ›Ù·È ·fi ·-Ú·ÙËÚËÙ‹ ÙÔÔıÂÙË̤ÓÔ (·Î›ÓËÙÔ) ÛÂ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ÛËÌÂ›Ô x (xj ),ÂÓÒ Ë ˘ÏÈ΋ ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ D( ) / Dt ÌÂÙÚÂ›Ù·È ·fi ·Ú·ÙËÚËÙ‹ ÎÈÓÔ‡-ÌÂÓÔ Ì·˙› Ì ÙÔ ˘ÏÈÎfi ÛËÌÂ›Ô X.

D„Dt

= ∂„

∂ t + vj

∂„

∂xj

,

ln x1

X 1

= ln (1 + t) ⇒ x1 = X 1 (1 + t).

X 1

x 1 dx1

x1

= 0

td t

1 + t ⇒ ln x1

X 1

x 1

= ln (1 + t)0

t

⇒

v1 = ∂x1

∂ t

X i - ‰ÂÛÌÂ˘Ì¤Ó·

= x1

1 + t ⇒

Dv2

Dt =

Dv3

Dt = 0 .

a 1 = Dv1

Dt =

∂v1

∂ t + (� v ) v 1 = –

x1

(1 + t)2 +

x1

(1 + t)2 = 0 ,

28

TËÓ ¯ÚÔÓÈ΋ ÛÙÈÁÌ‹ (t + dt) Ô ·Ú·ÙËÚËÙ‹˜ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ ÛË-ÌÂ›Ô ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ (x j + dxj ) Î·È ÌÂÙÚ¿ ÙËÓ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ‰›Ô˘„ ((xj + dxj ), (t + dt)). ¶ÚÔÛÂÁÁ›˙ÔÓÙ·˜ ÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›· ¤ÎÊÚ·ÛË ÌÂ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÛÂÈÚ¿˜ Taylor ¤¯Ô˘ÌÂ

OfiÙÂ Ë ·ÏÏ·Á‹ Ô˘ ·Ú·ÙËÚÂ›Ù·È Â›Ó·È

ÂÓÒ Ë ¤ÎÊÚ·ÛË ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘ ˘ÏÈ΋˜ ·Ú·ÁÒÁÔ˘

ÚÔ·ÙÂÈ Ï¤ÔÓ ÂÌÊ·ÓÒ˜ ·Ú·ÙËÚÒÓÙ·˜ fiÙÈ dxj = vj dt.

D„Dt

= ∂„

∂ t + vj

∂„

∂xj

= ∂„

∂ t d t + ∂„

∂xj

dxj + . . . ,

„ ((xj + dxj), (t + d t)) – „ (xj, t) =

= „ (xj, t) + ∂„ (xj, t)

∂ t d t +

∂„ (xj, t)

∂xj

dxj + . . . .

„ ((xj + dxj), (t + d t)) =

v jdtæ(x, t)

æ((x + dx), (t + dt))

(xj + dxj)

xj

29

30

5. ¢IAºOPE™ BA™IKE™ ENNOIE™

KÏ›ÛË (B·ıÌ›‰·) Ù˘ MÂÙ·ÙÔ›Ûˆ˜ Û TÚÂȘ ¢È·ÛÙ¿ÛÂȘ

EÍÂÙ¿˙ÔÓÙ·È ‰‡Ô ÁÂÈÙÔÓÈο ÛËÌ›· P Î·È Q ÛÙËÓ «·Ú¯È΋» (··-Ú·ÌfiÚʈÙË) Î·È ÙËÓ «ÙÂÏÈ΋» (·Ú·ÌÔÚʈ̤ÓË) ηٿÛÙ·ÛË ÙÔ˘ÛÒÌ·ÙÔ˜.

TfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ:

↓ ÌÂÙ·ÙfiÈÛË

x = X + u (X, t), (1)

dx = dX + u (X + dX, t) – u (X, t) ⇒

dx = dX + dX, (2)

fiÔ˘ Ë ÎÏ›ÛË ÙÔ˘ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÔ‡ ‰›Ô˘ ÌÂÙ·ÙÔ›ÛÂˆÓ (displa-cement gradient) ¤¯ÂÈ ÙËÓ ¤ÎÊÚ·ÛË

� u

u (X)

x

O

X

u (X + dX)

dx

q(t)

Q(t0)

dX

P(t0)p(t)

X = Xie i,

u = uie i.

<<

31

OÈ ŒÓÓÔȘ ÙÔ˘ ŸÁÎÔ˘ EϤÁ¯Ô˘ Î·È ÙÔ˘ ™˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ M¿˙·˜

™ÙÔÓ ¯ÚfiÓÔ t, ‰Â‰Ô̤ÓË Ì¿˙· ÙÔ˘ Ú¢ÛÙÔ‡ ÂÚȤ¯ÂÙ·È ÛÙÔÓfiÁÎÔ ÂϤÁ¯Ô˘. ™ÙÔÓ ¯ÚfiÓÔ t + ¢t, ¤Ó· ÙÌ‹Ì· ÙÔ˘ Ú¢ÛÙÔ‡ ÌÂÙ·ÎÈ-ÓÂ›Ù·È ÂÎÙfi˜ ÙÔ˘ fiÁÎÔ˘ ÂϤÁ¯Ô˘ (ÂÎÚÔ‹) ÂÓÒ ¤Ó· ¿ÏÏÔ ÙÌ‹Ì· ÂÈ-Û¤Ú¯ÂÙ·È ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ fiÁÎÔ˘ ÂϤÁ¯Ô˘ (ÂÈÛÚÔ‹).

Û‡ÓÔÚÔ ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙԘ̿˙·˜ ÛÙÔÓ ¯ÚfiÓÔ

t + ¢t

fiÁÎÔ˜ ÂϤÁ¯Ô˘

(ÛÙ·ıÂÚfi˜ Î·È ·Î›ÓËÙÔ˜ÁÈ· fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ ¯ÚfiÓÔ˘˜)

t t + ¢t

(3)� u =

∂u 1

∂X 1

∂u 1

∂X 2

∂u 1

∂X 3

∂u 2

∂X 1

∂u 2

∂X 2

∂u 2

∂X 3

∂u 3

∂X 1

∂u 3

∂X 2

∂u 3

∂X 3

.

32

6. £EøPHMA METAºOPA™ REYNOLDS(Reynolds transport theorem) [Reynolds 1903, Spielrein 1916]

XÚËÛÈÌfiÙËÙ·: °È· ÙËÓ ‰ÈÂÚ‡ÓËÛË ÙˆÓ ÓfiÌˆÓ ‰È·Ù‹ÚËÛ˘ (Ì¿-˙·˜, ÔÚÌ‹˜, ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜) Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙÔ Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛıÔ‡Ó ÔȯÚÔÓÈÎÔ› Ú˘ıÌÔ› ÌÂÙ·‚ÔÏ‹˜ ÔÏÔÎÏËڈ̿وÓ.

£ÂˆÚÂ›Ù·È Ë ¯ˆÚÈ΋ ÂÚÈÁÚ·Ê‹ Ù˘ ÂÚÈÔ¯‹˜ xa � x � xb, ËÔÔ›· ÂÚȤ¯ÂÈ ¤Ó· ÎÈÓÔ‡ÌÂÓÔ Û‡ÛÙËÌ· Ì¿˙·˜.

OÏÈ΋ ÔÛfiÙËÙ· (.¯. Ì¿˙·) Ô˘ ÛÙÈÁÌÈ·›· ÂÚȤ¯ÂÙ·È ‹ ʤÚÂÙ·È

·fi ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· Ì¿˙·˜: (·Ó¿ ÌÔÓ¿‰· ÂÈÊ·Ó›·˜).

¶.¯. Ë f ÌÔÚ› Ó· ·ÚÈÛÙ¿ ÙËÓ ˘ÎÓfiÙËÙ· ‹ ÙËÓ ÔÚÌ‹.

OÏÈÎfi˜ Ú˘ıÌfi˜ ÌÂÙ·‚ÔÏ‹˜ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤Ó˘ ÔÛfiÙËÙ·˜:

(1)

↑ (ÌÂÙ¿ ÙËÓ ·Ú¤Ï¢ÛË ¯ÚfiÓÔ˘ dt, ÙÔ Û‡ÓÔ-ÚÔ Ô˘ ÂÚÈÎÏ›ÂÈ ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· Ì¿˙·˜ ¤¯ÂÈÌÂÙ·ÎÈÓËı› Û ¿ÏÏË ı¤ÛË) (x′ = x + v dt).

=�

l imdt → 0

1d t

x a′

x b′

f (x ′ , t + d t) dx ′ – xa

xb

f (x, t) d t

DDt

x a

x b

f (x, t) dx =�

x a

x b

f (x, t) dx

x

ÂÈÛÂÚ¯fiÌÂÓËÚÔ‹ Úv

ÂÍÂÚ¯fiÌÂÓËÚÔ‹ Úv

xa xb

Ì¿˙· � xb Údx (·Ó¿ ÌÔÓ¿‰· ÂÈÊ·Ó›·˜)

xa

33

EÎÌÂÙ·ÏÏ¢fiÌÂÓÔÈ ÙÒÚ· ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ˘ÏÈ΋˜ ·Ú·ÁÒÁÔ˘ (ηÈÂÂȉ‹ ÔÈ ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜ x Î·È t Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ˜ ÛÙËÓ ¯ˆÚÈ΋ ÂÚÈ-ÁÚ·Ê‹) ¤¯Ô˘ÌÂ

(2)

M ÂÓ·ÏÏ·ÎÙÈÎfi ÙÚfiÔ, Ô Ú˘ıÌfi˜ ÌÂÙ·‚ÔÏ‹˜ Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÛÙËÓ(1) ÌÔÚ› Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛı› ˆ˜ ÂÍ‹˜:

↓ ·ÏÏ·Á‹ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹˜

↑ I·Îˆ‚È·Ó‹ ÙÔ˘ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌÔ‡

DDt

x a

x b

f (x, t) dx = DDt

X a

X b

f [x (X , t)] ñ ∂x

∂X dX =

↑‰È·ÊÔÚ¿ ÙˆÓÚ˘ıÌÒÓ Ù˘ ÂÈ-ÛÂÚ¯fiÌÂÓ˘ ηÈÂÍÂÚ¯fiÌÂÓ˘ÚÔ‹˜ [(ÂÎÚÔ‹) -(ÂÈÛÚÔ‹)]

↑Ú˘ıÌfi˜ ÌÂÙ·‚Ô-Ï‹˜ ÂÓÙfi˜ Ù˘ÂÚÈÔ¯‹˜ Ô˘ÛÙÈÁÌÈ·›· ηٷ-Ï·Ì‚¿ÓÂÈ ÙÔ ıÂ-ˆÚÔ‡ÌÂÓÔ Û‡-ÛÙËÌ· Ì¿˙·˜

= x a

x b ∂ f

∂ t dx + [f (x, t) ñ v (x, t)]

x = x a

x = x b

.

= x a

x b

∂ f

∂ t + ∂ (v ñ f )

∂x dx =

= x a

x b

∂ f

∂ t + v ∂ f

∂x + f ∂v

∂x dx =

= x a

x b

∂ f

∂ t + v ∂ f

∂x + f ñ ∂v 1

∂x dx =

= x a

x b

DfDt

dx + f D (dx)Dt

=

DDt

x a

x b

f (x, t) ñ dx = x a

x b DDt

(f ñ dx) =

34

[™ËÌ›ˆÛË: ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ù˘ ˘ÏÈ΋˜ ÂÚÈÁÚ·Ê‹˜ ÙÔ Û‡ÓÔÚÔÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Ì¿˙·˜ Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘, Î·È ÂÔ̤-Óˆ˜, Ë ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ¯ÚfiÓÔ ÌÔÚ› Ó· ÌÂÙ·ÊÂÚı›ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·ÙÔ˜]

(3)

fiÔ˘ ÁÈ· ÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÈÛfiÙËÙ· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ıËΠÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·ÁÈ· ÙËÓ ˘ÏÈ΋ ·Ú¿ÁˆÁÔ Û ¯ˆÚÈ΋ ÂÚÈÁÚ·Ê‹ Î·È ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ

(4)

M ‚¿ÛË Ù· ·ÓˆÙ¤Úˆ, Ô Ú˘ıÌfi˜ Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÛÙËÓ (1) ‰›ÓÂÙ·È·fi ÙËÓ ¤ÎÊÚ·ÛË ÛÙËÓ EÍ. (2).

H ÏÂÎÙÈ΋ ‰È·Ù‡ˆÛË ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Reynolds ¤¯ÂÈ ˆ˜ ÂÍ‹˜:

£ÂÒÚËÌ· Reynolds Û 3 ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ:

. n

S

V

=

Ú˘ıÌfi˜ ·ÏÏ·Á‹˜ Ù˘ÔÛfiÙËÙ·˜ Ô˘ ÛÙÈÁÌÈ·›·

ÂÚȤ¯ÂÙ·È ÂÓÙfi˜ÙÔ˘ fiÁÎÔ˘ ÂϤÁ¯Ô˘

+ ‰È·ÊÔÚ¿ ÙˆÓ Ú˘ıÌÒÓÙ˘ ÔÛfiÙËÙ·˜ ηٿÙËÓ ÂÎÚÔ‹ Î·È ÂÈÛÚÔ‹

.

Ú˘ıÌfi˜ ·ÏÏ·Á‹˜ ÌÈ·˜

Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤Ó˘ ÔÛfiÙËÙ·˜ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Ì¿˙·˜

=

DDt

∂x

∂X = ∂

∂X Dx

Dt = ∂v

∂X = ∂v

∂x ∂x

∂X .

= X a

X b

∂ f

∂ t + v ∂ f

∂x + f ∂v

∂x ∂x

∂X dX ,

= X a

X b

∂x

∂X ñ D

Dt f [x (X , t)] + f [x (X , t)] ñ D

Dt ∂x

∂X dX =

35

↑ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜Green - Gauss

H ÙÂÏÂ˘Ù·›· Û¯¤ÛË ÁÚ¿ÊÂÙ·È ˆ˜

↑ fiÁÎÔ˜ ÂϤÁ¯Ô˘

ηıfiÛÔÓ ÈÛ¯‡ÂÈ

↑

™ËÌ›ˆÛË: £ÂÒÚËÌ· ·ÔÎϛۈ˜ ÙˆÓ Green-Gauss

°È· ÙËÓ ÁÚ·Ê‹ ÙÔ˘ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô˘ ·ÔÙÂϤÛÌ·ÙÔ˜ (£ÂÒÚËÌ·Reynolds Û 3 ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ), ÔÈ Ú¿ÍÂȘ ·Ó·Ï˘ÙÈο ¤¯Ô˘Ó ˆ˜ ÂÍ‹˜:

= V

∂ f

∂ t + vj

∂ f

∂xj

+ f ∂vj

∂xj

dV.

DfDt

. . . = V

∂ f

∂ t dV +

S

f vj n j dS = V

∂ f

∂ t +

∂ (fvj)

∂xj

dV =

S

(fvj) n j dS = V

∂ (fvj)

∂xj

dV.

S

vj n j dS = V

∂vj

∂xj

dV,

vj ∂ ( )

∂xj

D ( )Dt

= ∂ ( )

∂ t + (� ( ) ñ v ) .

. . . = V

DfDt

+ f d iv v dV

DDt

V

f dV = V

∂ f

∂ t dV +

S

f vj n j dS = V

DfDt

+ f ∂vj

∂xj

dV.

36

7. NOMOI ¢IATHPH™H™ ◊ NOMOI I™OZY°IOY ™E MONO¢IA™TATH ¢IATY¶ø™H

7.1. ¢È·Ù‹ÚËÛË Ù˘ M¿˙·˜

™Ù· Ï·›ÛÈ· Ù˘ N¢ÙÒÓÂÈ·˜ (ÎÏ·ÛÛÈ΋˜) M˯·ÓÈ΋˜, Ë Ì¿˙· Ô‡-Ù ηٷÛÙÚ¤ÊÂÙ·È Ô‡Ù ·Ú¿ÁÂÙ·È. °È· Ó· ÂÚÈÁÚ·Ê› Ì ̷ıËÌ·ÙÈ-ÎÔ‡˜ fiÚÔ˘˜ Ô ÓfiÌÔ˜ ·˘Ùfi˜, ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙȘ ÔÛfiÙËÙ˜

Ú (x, t) : Ë ˘ÎÓfiÙËÙ· Ì¿˙·˜ (mass density) ÛÙËÓ ı¤ÛË x Î·È ÛÙÔÓ¯ÚfiÓÔ t Û ¯ˆÚÈ΋ ÂÚÈÁÚ·Ê‹.

Ú0 (X) : Ë ˘ÎÓfiÙËÙ· Ì¿˙·˜ ÛÙËÓ Î·Ù¿ÛÙ·ÛË ·Ó·ÊÔÚ¿˜ (referenceconfiguration) ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜, ‰ËÏ. Û ¯ÚfiÓÔ t0 = 0.

O ÓfiÌÔ˜ ‰È·ÙËÚ‹Ûˆ˜ ‰È·Ù˘ÒÓÂÙ·È ÙfiÙ ˆ˜ ÂÍ‹˜

(1)

(·ÏÏ·Á‹ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹˜ x = x (X, t))

(2)Ú 0 (X ) = Ú (x, t) ñ ∂x (X , t)

∂X .

X ( x a , t )

X ( x b , t )

Ú (x, t) ñ ∂x (X , t)

∂X dX =

X ( x a , t )

X ( x b , t )

Ú 0 (X ) dX ⇒

x a

x b

Ú (x, t) dx = X ( x a , t )

X ( x b , t )

Ú 0 (X ) dX ⇒

x

xa xb

37

™ËÌ›ˆÛË: H Û¯¤ÛË (2) ‰Â›¯ÓÂÈ fiÙÈ Ë ˘ÎÓfiÙËÙ· ÙÔ˘ ˘ÏÈÎÔ‡ ÛÂÌÈ· ηٿÛÙ·ÛË Î·ıÔÚ›˙ÂÈ Î·È ÙȘ ˘ÎÓfiÙËÙ˜ Û ¿ÏϘ (ÂfiÌÂÓ˜)ηٷÛÙ¿ÛÂȘ.

O ÓfiÌÔ˜ ‰È·ÙËÚ‹Ûˆ˜ ‰È·Ù˘ÒÓÂÙ·È Â›Û˘ ÂÓ·ÏÏ·ÎÙÈο (Î·È ÛÂÈÔ Â‡¯ÚËÛÙË ÌÔÚÊ‹) ˆ˜ ÂÍ‹˜

(3)

Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ô Ú˘ıÌfi˜ ÌÂÙ·‚ÔÏ‹˜ Ù˘ Ì¿˙·˜ ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ÙˆÓ ÛˆÌ·Ùȉ›ˆÓ ÌˉÂÓ›˙ÂÙ·È ÛÂ Ù˘¯·›· ÂÚÈÔ¯‹ xa � x � xb.

K·ÙfiÈÓ, Ë ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Reynolds ÛÙËÓ EÍ. (3)‰›ÓÂÈ ÙËÓ ¤ÎÊÚ·ÛË

(4)

Ë ÔÔ›· Û ÙÔÈ΋ ‹ ‰È·ÊÔÚÈ΋ ÌÔÚÊ‹ (local or differential form)ÁÚ¿ÊÂÙ·È ˆ˜

(Â͛ۈÛË Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜) (5)

‹ ÂÓ·ÏÏ·ÎÙÈο ›Û˘ ˆ˜

(6)

™ËÌÂÈÒÓÂÙ·È fiÙÈ Ë ÌÂÙ¿‚·ÛË ·fi ÙËÓ (4) ÛÙËÓ (5), ·ÓˆÙ¤Úˆ,ÈÛ¯‡ÂÈ Î·ıfiÛÔÓ ÔÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Ú Î·È v ˘ÔÙ›ıÂÓÙ·È Û˘Ó¯›˜ Î·È ÙԉȿÛÙËÌ· ÔÏÔÎÏËÚÒÛˆ˜ ÂÏ‹ÊıË ˆ˜ Ù˘¯·›Ô.

¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ, Ë ÌÂÙ¿‚·ÛË ·˘Ù‹ ‚·Û›˙ÂÙ·È ÛÙÔ ÂÍ‹˜ £ÂÒÚËÌ·.

£ÂÒÚËÌ·: E¿Ó f (x) Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· [c, d] ηÈ

ÁÈ· fiÏ· Ù· a Î·È b Ô˘ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· [c, d],

‰ËÏ. ÁÈ· c � a � b � d, ÙfiÙ f (x) = 0 ÁÈ· οı x ÛÙÔ [c, d].

Afi‰ÂÈÍË: («‰È¿ Ù˘ ÂȘ ¿ÙÔÔÓ ··ÁˆÁ‹˜»). ŒÛÙˆ fiÙÈ ÙÔ ıÂÒ-ÚËÌ· Â›Ó·È ÂÛÊ·Ï̤ÓÔ ⇒ ∃ x0�(c, d) ¤ÙÛÈ ÒÛÙ f (x0) � 0, ηÈ

a

b

f (x) dx = 0

DÚDt

+ Ú ∂v

∂x = 0 .

∂Ú

∂ t + ∂ (Úv)

∂x = 0 ,

x a

x b

∂Ú

∂ t + ∂ (Úv)

∂x dx = 0 ,

DDt

x a

x b

Ú (x, t) dx = 0 ,

38

¤ÛÙˆ f (x0) � 0 (Ë ÂÚ›ÙˆÛË f (x0) � 0 ·Ó·Ï‡ÂÙ·È ·Ó·ÏfiÁˆ˜) ⇒(·fi ÙËÓ Û˘Ó¤¯ÂÈ· Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘) ∃ ‰ � 0 ¤ÙÛÈ ÒÛÙ f (x) � 0ÁÈ· fiÏ· Ù· x ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· (x0 – ‰, x0 + ‰) ⇒ ı¤ÙÔÓÙ·˜ a = x0 – ‰

Î·È b = x0 + ‰, ¤¯Ô˘Ì ηıfiÛÔÓ ¤¯ÂÈ ˘ÔÙÂı› fiÙÈ

f (x) � 0 ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· [a, b]. B‚·›ˆ˜, ÙÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·

‚Ú›ÛÎÂÙ·È Û ·ÓÙ›ıÂÛË Ì ÙÔ ‰Â‰Ô̤ÓÔ fiÙÈ

(™ËÌ›ˆÛË: TÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ f (c) = f (d) = 0 ÔÊ›ÏÂÙ·È ÛÙËÓ Û˘Ó¤-¯ÂÈ· Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ f).

¶·Ú·Ù‹ÚËÛË:

H EÍ. (6) ÁÚ¿ÊÂÙ·È ˆ˜

Ë ÔÔ›· ‰Â›¯ÓÂÈ fiÙÈ Â¿Ó ¤ÌÚÔÛıÂÓ ÙÔ˘ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ˘ ۈ̷Ùȉ›Ô˘˘¿Ú¯ÂÈ ‡ÎÓˆÛË ÙˆÓ ÛˆÌ·Ùȉ›ˆÓ (‰ËÏ. ·‡ÍËÛË Ù˘ ˘ÎÓfiÙËÙ·˜ÏfiÁˆ Ù˘ Û˘ÛÛˆÚ‡Ûˆ˜ ÙÔ˘˜) ÙfiÙÂ Â›Ó·È Ê˘ÛÈÎfi Ó· ·Ó·Ì¤ÓÂÙ·ÈÌ›ˆÛË Ù˘ Ù·¯‡ÙËÙ·˜ Û ۯ¤ÛË Ì ÙËÓ Î·Ù¿ÛÙ·ÛË fiÈÛıÂÓ ÙÔ˘ÛˆÌ·Ùȉ›Ô˘ fiÔ˘ Ù· ۈ̷ٛ‰È· Â›Ó·È ·Ú·ÈˆÌ¤Ó· ηÈ, ÂÔ̤ӈ˜, ÎÈ-ÓÔ‡ÓÙ·È Ì ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚ˜ Ù·¯‡ÙËÙ˜. ø˜ Ê˘ÛÈÎfi ·Ó¿ÏÔÁÔ ÌÔÚ› Ó·ÛÎÂÊı› ηÓ›˜ ÌÈ· ÔÌ‹ ·˘ÙÔÎÈÓ‹ÙˆÓ (Ù· ·˘ÙÔΛÓËÙ· ·›˙Ô˘Ó ÙÔÓÚfiÏÔ ÙˆÓ ˘ÏÈÎÒÓ ÛˆÌ·Ùȉ›ˆÓ).

H EÍ. (5) ηÏÂ›Ù·È Â͛ۈÛË Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ (continuity equation). °È·ÙËÓ ÂÍ·ÁˆÁ‹ Ù˘, ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÙˆÓ Ú¢ÛÙÒÓ, ˘ÔÙ›ıÂÙ·È fiÙȉÂÓ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ËÁ¤˜ (sources) ‹ ·ÒÏÂȘ (sinks) ÙÔ˘ Ú¢ÛÙÔ‡ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ ıˆÚÔ‡ÌÂÓÔ˘ fiÁÎÔ˘ ÂϤÁ¯Ô˘. AÚÁfiÙÂÚ· ı· ‰ÈÂÚ¢ÓËıÂ›Î·È ·˘Ù‹ Ë ÂÚ›ÙˆÛË.

™ÙËÓ ÁÂÓÈ΋ ÙÚÈ-‰È¿ÛÙ·ÙË ÂÚ›ÙˆÛË, Ë Â͛ۈÛË Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ ÁÚ¿-ÊÂÙ·È (Û ۯ¤ÛË Ì ÔÚıÔÁÒÓÈÔ K·ÚÙÂÛÈ·Ófi Û‡ÛÙËÌ· ·Ó·ÊÔÚ¿˜)

(7)∂Ú

∂ t +

∂ (Úvi)

∂xi

= 0 ,

1Ú

DÚDt

= – ∂v

∂x ,

a

b

f (x) dx = 0 .

a

b

f (x) dx � 0

39

‹ ÂÓ·ÏÏ·ÎÙÈο

(8)

fiÔ˘ Ú = Ú (x1, x2, x3, t) Î·È vi = vi (x1, x2, x3, t), ÂÓÒ i = 1, 2, 3.

™Â ÁÂÓÈÎfi (Î·Ì˘ÏfiÁÚ·ÌÌÔ) Û‡ÛÙËÌ· Û˘ÓÙÂÙ·ÁÌ¤ÓˆÓ ¤¯Ô˘ÌÂ

(9)

‹ ÂÓ·ÏÏ·ÎÙÈο

(10)

YÂÓı‡ÌÈÛË: TÂÏÂÛÙ‹˜ ·ÔÎϛۈ˜ (divergence)

OÚÈÛÌfi˜:

TÂÏÂÛÙ‹˜ ·ÔÎϛۈ˜ Û K·ÚÙÂÛÈ·Ófi Û‡ÛÙËÌ·:

d iv v (P ) =�

l imV → 0

S

n ñ v dS

V .

P

dSV

S

n

v

DÚDt

+ Ú � ñ v = 0 .

∂Ú

∂ t + � ñ (Úv ) = 0 ,

DÚDt

+ Ú ∂vi

∂xi

= 0 ,

40

TÂÏÂÛÙ‹˜ ·ÔÎϛۈ˜ Û ۇÛÙËÌ· ΢ÏÈÓ‰ÚÈÎÒÓ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤ӈÓ:

(Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ r, Ê, z).

AÎÔÏÔ‡ıˆ˜, ı· ÂÍ·¯ı› ¤Ó· ¿ÏÏÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ô˘ ı· ¯ÚËÛÈÌÔ-ÔÈËı› ηÙfiÈÓ ÁÈ· ÙËÓ ‰È·Ù‡ˆÛË ÙˆÓ NfiÌˆÓ IÛÔ˙˘Á›Ô˘ Ù˘OÚÌ‹˜ Î·È Ù˘ EÓ¤ÚÁÂÈ·˜. £· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËı› Ë EÍ. (5), ‰ËÏ. fiÙÈ

(5)

Î·È ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÌÂÙ·ÊÔÚ¿˜ ÙÔ˘ Reynolds, ‰ËÏ. fiÙÈ

(11)

fiÔ˘ Ú = Ú (x, t) Î·È f = f (x, t).¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ, ‚¿ÛÂÈ Ù˘ EÍ. (11) ÁÚ¿ÊÔ˘ÌÂ

(12)

fiÔ˘ Ú Ë ˘ÎÓfiÙËÙ· Î·È f Ù˘¯·›· Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË.T¤ÏÔ˜, ÛÙËÓ ÁÂÓÈ΋ ÙÚÈ-‰È¿ÛÙ·ÙË ÂÚ›ÙˆÛË ı· ¤¯Ô˘ÌÂ:

(13)= V ( x i )

Ú (xi , t) ñ Df (xi , t)

Dt dV (xi).

DDt

V ( x i )

Ú (xi , t) ñ f (x i , t) dV (xi) =

DDt

x a

x b

Ú f dx = x a

x b

Ú DfDt

dx,

DDt

x a

x b

Ú f dx = x a

x b

∂ (Ú f)

∂ t + ∂ (Ú f v)

∂x dx ⇒

( 5)

DDt

x a

x b

f (x, t) dx = x a

x b

∂ f

∂ t + ∂ (fv)

∂x dx,

∂Ú

∂ t + ∂ (Úv)

∂x = 0 ,

� ñ v = 1r

∂ (r vr)

∂ r + 1

r

∂vÊ

∂Ê +

∂vz

∂z

� ñ v � d iv v = ∂v1

∂x1

+ ∂v2

∂x2

+ ∂v3

∂x3

� ∂vi

∂xi

.

41

ÕÛÎËÛË 1:

T· ˘ÏÈο ÛËÌ›· (ۈ̷ٛ‰È·) ÂÓfi˜ Ú¢ÛÙÔ‡ ÎÈÓÔ‡ÓÙ·È Ì ‰›ÔÙ·¯˘Ù‹ÙˆÓ vi = x i / (1 + t). N· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛı› Ë ˘ÎÓfiÙËÙ· ˆ˜Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘.

§‡ÛË: Afi ÙËÓ Â͛ۈÛË Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ ¤¯Ô˘ÌÂ

↓ ۇ̂·ÛË ·ıÚÔ›Ûˆ˜

fiÔ˘ A Ë ÛÙ·ıÂÚ¿ ÔÏÔÎÏËÚÒÛˆ˜.E¿Ó Ú = Ú0 ÁÈ· t = 0, ÙfiÙ A = ln Ú0 Î·È ÂÔ̤ӈ˜

ÕÛÎËÛË 2:

¢›ÓÂÙ·È ÙÔ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ Â‰›Ô Ù·¯˘Ù‹ÙˆÓ Î·È ˘ÎÓfiÙËÙ·˜ ÂÓfi˜Ú¢ÛÙÔ‡ v1 = x1 / (1 + t), v2 = v3 = 0, Ú = Ú0 / (1 + t), fiÔ˘ Ú0 ÛÙ·-ıÂÚ¿.

(·) N· ÂÏÂÁ¯ı› ηٿ fiÛÔ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë Â͛ۈÛË Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜.(‚) N· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛı› Ë ÔÏÈ΋ Ì¿˙· Î·È Ô Ú˘ıÌfi˜ ·ÏÏ·Á‹˜ Ù˘

Ì¿˙·˜ ÂÓÙfi˜ fiÁÎÔ˘ ÂϤÁ¯Ô˘ Ì ‰È·ÙÔÌ‹ A Î·È ÛËÌ›· ÂÈÛ-ÚÔ‹˜ Î·È ÂÎÚÔ‹˜ x1 = 1 Î·È x1 = 3, ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜.

(Á) N· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛı› Ë ‰È·ÊÔÚ¿ (ÂÎÚÔ‹˜) - (ÂÈÛÚÔ‹˜) ÛÙÔÓÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ fiÁÎÔ ÂϤÁ¯Ô˘.

v

Ú = Ú 0

(1 + t)3 .

DÚÚ

= – 3 Dt1 + t

⇒ ln Ú = – 3 ln (1 + t) + A ,

= – 3 Ú1 + t

⇒(ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛË)

DÚDt

= – Ú ∂vi

∂xi

⇒ DÚDt

= – Ú 11 + t

+ 11 + t

+ 11 + t

=

42

§‡ÛË:

ÔfiÙ ‰È·ÈÛÙÒÓÂÙ·È fiÙÈ Ë Â͛ۈÛË Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ ÈηÓÔÔÈ›ٷÈ.

(‚) H ÔÏÈ΋ Ì¿˙· ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ fiÁÎÔ˘ ÂϤÁ¯Ô˘ ÛÙÔÓ ¯ÚfiÓÔ t ›ӷÈ

ÂÓÒ Ô Ú˘ıÌfi˜ ÌÂÙ·‚ÔÏ‹˜ Ù˘ ›ӷÈ

‰ËÏ. Ë Ì¿˙· ÌÂÈÒÓÂÙ·È.

(Á) ¶ÚÔÊ·ÓÒ˜, ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ Ô‡Ù ÂÈÛÚÔ‹ Ô‡Ù ÂÎÚÔ‹ Ú¢ÛÙÔ‡·fi ÙȘ Ï¢ÚÈΤ˜ ÂÈÊ¿ÓÂȘ ÙÔ˘ fiÁÎÔ˘ ÂϤÁ¯Ô˘, ·Ú¿ ÌfiÓÔÓÛÙȘ ‰È·ÙÔ̤˜ ÙˆÓ ı¤ÛÂˆÓ x1 = 1 Î·È x1 = 3. EÔ̤ӈ˜

ÂÈÛÚÔ‹:

ÂÎÚÔ‹:

ÂÓÒ Ë ‰È·ÊÔÚ¿ ÙÔ˘˜ (ÂÎÚÔ‹) – (ÂÈÛÚÔ‹) = –

Û˘ÌʈÓ› Ì ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· (‚).

MÂÚÈΤ˜ ‚·ÛÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ Ù˘ M˯·ÓÈ΋˜ ÙˆÓ P¢ÛÙÒÓ:

°Ú·ÌÌ‹ ÚÔ‹˜ (streamline) ÛÙÔÓ ¯ÚfiÓÔ t Â›Ó·È ÌÈ· η̇ÏË Ô˘¤¯ÂÈ ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ·, Û οı ÛËÌÂ›Ô Ù˘, Ë ÂÊ·ÙÔ̤ÓË ÁÚ·ÌÌ‹ Ó·

2 Ú 0 A

(1 + t)2 ,

(Ú Av)x 1 = 3 = 3 Ú 0 A

(1 + t)2 ,

(Ú Av)x 1 = 1 = Ú 0 A

(1 + t)2 ,

∂m

∂ t = –

2 AÚ 0

(1 + t)2 ,

m (t) = V

Ú (x, t) dV = x 1 = 1

x 1 = 3Ú 0

1 + t A dx1 =

A Ú 0

1 + t (2 ) =

2 AÚ 0

1 + t ,

= – Ú 0

(1 + t)2 +

x1

(1 + t) (0 ) +

Ú 0

(1 + t)2 = 0 ,

(· ) DÚDt

+ Ú d iv v = ∂Ú

∂ t + v1

∂Ú

∂x1

+ Ú ∂Ú

∂x1

=

43

¤¯ÂÈ ÙËÓ ‰È‡ı˘ÓÛË ÙÔ˘ ‰È·Ó‡ÛÌ·ÙÔ˜ Ù˘ Ù·¯‡ÙËÙ·˜ ÙÔ˘ ۈ̷Ùȉ›-Ô˘ Ô˘ ηٷϷ̂¿ÓÂÈ ÂΛÓË ÙËÓ ÛÙÈÁÌ‹ ÙÔ ‰Â‰Ô̤ÓÔ ÛËÌ›Ô.

E¿Ó x = x (s) Â›Ó·È Ë ·Ú·ÌÂÙÚÈ΋ Â͛ۈÛË Ù˘ ÁÚ·ÌÌ‹˜ ÚÔ‹˜ÛÙÔÓ ¯ÚfiÓÔ t0 Ë ÔÔ›· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ‰Â‰Ô̤ÓÔ ÛËÌÂ›Ô x0, ÙfiÙÂı· ÈÛ¯‡ÂÈ

ÕÛÎËÛË 3:

¢›ÓÂÙ·È ÙÔ Â‰›Ô Ù·¯˘Ù‹ÙˆÓ v1 = x1 / (1 + t), v2 = x2, v3 = 0. N·ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛı› Ë ÁÚ·ÌÌ‹ ÚÔ‹˜, ÛÙÔÓ ¯ÚfiÓÔ t0, Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fiÙÔ ÛËÌÂ›Ô (a1, a2, a3).

§‡ÛË: Œ¯Ô˘ÌÂ

OÌÔ›ˆ˜,

(™ËÌ›ˆÛË: OÈ ÁÚ·Ì̤˜ ÚÔ‹˜ ‰ÂÓ ‰È·ÛÙ·˘ÚÒÓÔÓÙ·È ÔÙ¤).

™ˆÌ·Ùȉȷ΋ ÙÚԯȿ ‹ ÁÚ·ÌÌ‹ (pathline) Â›Ó·È Ë ÁÚ·ÌÌ‹ Ô˘ ÂÓÒ-ÓÂÈ ÙȘ ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ÂÓfi˜ ۈ̷Ùȉ›Ô˘. H ۈ̷Ùȉȷ΋ ÙÚԯȿ

ÂÓÒ x3 = a 3 .

dx2

ds = x2 ⇒

a2

x 2 dx2

x2

= 0

s

ds ⇒ x2 = a 2 exp (s),

⇒ ln x1 – ln a 1 = s1 + t0

⇒ x1 = a 1 exp s1 + t0

.

dx1

ds =

x1

1 + t0

⇒ a1

x 1 dx1

x1

= 11 + t0

0

s

ds ⇒

dxds

= v (x , t0),

x (0 ) = x 0

� .

v

44

ÂÓfi˜ ۈ̷Ùȉ›Ô˘ (˘ÏÈÎÔ‡ ÛËÌ›Ԣ) Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙËÓ ı¤ÛË X ÛÙÔÓ¯ÚfiÓÔ t0 ÌÔÚ› Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛı› ·fi ÙÔ Â‰›Ô Ù·¯˘Ù‹ÙˆÓ v (x, t)ˆ˜ ÂÍ‹˜:

ÕÛÎËÛË 4:

¢›ÓÂÙ·È ÙÔ Â‰›Ô Ù·¯˘Ù‹ÙˆÓ v1 = x1 / (1 + t), v2 = x2, v3 = 0. N·ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛı› Ë ÛˆÌ·Ùȉȷ΋ ÙÚԯȿ ÙÔ˘ ۈ̷Ùȉ›Ô˘ Ô˘ ‚ÚÈÛÎfiÙ·ÓÛÙËÓ ı¤ÛË (X1, X2, X3) ÛÙÔÓ ¯ÚfiÓÔ t0.

§‡ÛË: Œ¯Ô˘ÌÂ

OÌÔ›ˆ˜,

¶ÚÔÊ·ÓÒ˜ ›Û˘ x3 = X3.

MfiÓÈÌË ÚÔ‹ (steady flow) Û ‰Â‰Ô̤ÓË ÛÙ·ıÂÚ‹ ı¤ÛË x ηÏ›ٷÈ

Ë ÚÔ‹ ÁÈ· ÙËÓ ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ fiÔ˘ „ Â›Ó·È ÔÔÈ·-

‰‹ÔÙ ÂÍ·ÚÙË̤ÓË ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹ (.¯. Ë Ù·¯‡ÙËÙ·). ™Â ÌfiÓÈÌË ÚÔ‹

ÌÔÚ› ¿ÓÙˆ˜ Ó· ¤¯Ô˘Ì ÁÂÓÈÎÒ˜.

(™ËÌ›ˆÛË: ™ÙȘ ÌfiÓÈ̘ ÚÔ¤˜, ÔÈ ÛˆÌ·ÙȉȷΤ˜ ÙÚԯȤ˜ Û˘Ì›-ÙÔ˘Ó Ì ÙȘ ÁÚ·Ì̤˜ ÚÔ‹˜).

D„Dt

� 0 ,

∂„

∂ t

x - ‰ÂÛÌÂ˘Ì¤Óo

= 0

dx2

dt = x2 ⇒

X 2

x 2 dx2

x2

= t 0

t

d t ⇒ x2 = X 2 exp (t – t0).

= ln (1 + t) – ln (1 + t0) ⇒ x1 = X 1 1 + t1 + t0

.

dx1

d t =

x1

1 + t ⇒

X 1

x 1 dx1

x1

= t 0

td t

1 + t ⇒ ln x1 – ln X 1 =

x = x (t) Ë ÛˆÌ·Ùȉȷ΋ ÙÚԯȿ ,

dxdt

= v (x , t),

x (t0) = X .

45

™ÙÚˆÙ‹ ÚÔ‹ (laminar flow) Â›Ó·È ÌÈ· ÂȉÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË ÌfiÓÈÌ˘ÚÔ‹˜ ÛÙËÓ ÔÔ›· ÔÈ Ù·¯‡ÙËÙ˜ fiÏˆÓ ÙˆÓ ÛˆÌ·Ùȉ›ˆÓ Û οıÂÁÚ·ÌÌ‹ ÚÔ‹˜ Â›Ó·È ›‰È˜, ÂÓÒ Ù· ۈ̷ٛ‰È· Û ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ÁÚ·Ì-̤˜ ÚÔ‹˜ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ¤¯Ô˘Ó ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ Ù·¯‡ÙËÙ˜.

7.2. IÛÔ˙‡ÁÈÔ OÚÌ‹˜ (balance of momentum)

™ËÌ›ˆÛË: K·ıÔÏÈΤ˜ ‰˘Ó¿ÌÂȘ ηÏÔ‡ÓÙ·È ÔÈ ‰˘Ó¿ÌÂȘ Ô˘·ÛÎÔ‡ÓÙ·È Û fiÏ· Ù· ÛËÌ›· (ۈ̷ٛ‰È·) ÂÓfi˜ Û˘Ó¯ԇ˜ ̤ÛÔ˘.T˘Èο ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· ηıÔÏÈÎÒÓ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ Â›Ó·È Ë ‚·Ú‡ÙËÙ·, ËÏÂ-ÎÙÚÔÌ·ÁÓËÙÈΤ˜ ‰Ú¿ÛÂȘ, ‰˘Ó¿ÌÂȘ ·ÓÙÈÛÙ¿Ûˆ˜ ÏfiÁˆ ÙÚÈ‚‹˜ ÂÓfi˜Ú¢ÛÙÔ‡ Û ÙÔȯÒÌ·Ù· ·ÁˆÁÔ‡, Ê˘ÁfiÎÂÓÙÚ˜ ‰˘Ó¿ÌÂȘ. ¶.¯.

fz = – Úg ÏfiÁˆ ‚·Ú‡ÙËÙ·˜ (Ô z -¿ÍÔÓ·˜ Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È ıÂÙÈÎfi˜ ÚÔ˜Ù· ¿Óˆ: ↑ z),

fx = – �v ÏfiÁˆ ·ÓÙÈÛÙ¿Ûˆ˜ ÙÚÈ‚‹˜ (fiÔ˘ � Ë ÛÙ·ıÂÚ¿ ·ÓÙ›-ÛÙ·Û˘ (coefficient of drag), v Ë Ù·¯‡ÙËÙ· ÙÔ˘ Ú¢ÛÙÔ‡).

O ÓfiÌÔ˜ ÈÛÔ˙˘Á›Ô˘ (‹ ‰È·ÙËÚ‹Ûˆ˜) Ù˘ ÔÚÌ‹˜ ϤÁÂÈ fiÙÈ Ô ÛÙÈÁ-ÌÈ·›Ô˜ Ú˘ıÌfi˜ ·ÏÏ·Á‹˜ Ù˘ ÁÚ·ÌÌÈ΋˜ ÔÚÌ‹˜ ÂÓfi˜ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Ì¿-

xÙ¿ÛË

xa xb

Ù¿ÛË Û

ηıÔÏÈ΋ ‰‡Ó·ÌË f·Ó¿ ÌÔÓ¿‰· fiÁÎÔ˘

= � xb Ú(x, t) ñ v(x, t)dx

xa

ÔÚÌ‹

ÌÔÓ¿‰· ÂÈÊ.

v1v1

v2v2

v3v3

v1 � v2 � v3

46

˙·˜ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙËÓ Û˘ÓÈÛٷ̤ÓË Â͈ÙÂÚÈ΋ ‰‡Ó·ÌË Ô˘ ‰Ú· ÛÙÔÛ‡ÛÙËÌ· ÛÙËÓ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ¯ÚÔÓÈ΋ ÛÙÈÁÌ‹.

H Ì·ıËÌ·ÙÈ΋ ‰È·Ù‡ˆÛË ÙÔ˘ ÓfiÌÔ˘ ·˘ÙÔ‡ ¤¯ÂÈ ˆ˜ ÂÍ‹˜:

(1)

fiÔ˘ Û (x, t) Â›Ó·È Ë Ù¿ÛË Û ¯ˆÚÈ΋ ÂÚÈÁÚ·Ê‹ Î·È f (x, t) Â›Ó·È ËηıÔÏÈ΋ ‰‡Ó·ÌË ·Ó¿ ÌÔÓ¿‰· fiÁÎÔ˘ (Ì ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ [‰‡Ó·ÌË] [Ì‹-ÎÔ˜]– 3).

¶ÂÚ·ÈÙ¤Úˆ, ÁÚ¿ÊÔÓÙ·˜ ÙÔ ·ÚÈÛÙÂÚfi ̤ÏÔ˜ Ù˘ (1) ˆ˜ ÔÏÔÎÏ‹-ڈ̷ Î·È ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˘ ÂÓfiÙË-Ù·˜

Ë EÍ. (1) Ï·Ì‚¿ÓÂÈ ÙËÓ ÂÍ‹˜ ÌÔÚÊ‹ ( Ô˘ ·ÔÙÂÏ› ÙÔÓ 2Ô ÓfiÌÔÙÔ˘ N‡وӷ)

(Û ÙÔÈ΋ ‹ ‰È·ÊÔÚÈ΋ ÌÔÚÊ‹). (2)

(™ËÌ›ˆÛË: IÛ¯‡ÂÈ ).

H EÍ. (2) Â›Ó·È Ë ÏÂÁfiÌÂÓË Â͛ۈÛË ÎÈÓ‹Ûˆ˜ (equation ofmotion) Û ¯ˆÚÈ΋ ÂÚÈÁÚ·Ê‹.

™Â ˘ÏÈ΋ ÂÚÈÁÚ·Ê‹ ÙÒÚ·, ÂÎÎÈÓԇ̠·fi ÙËÓ EÍ. (1) Î·È ·ÏÏ¿-˙Ô˘Ì ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹ Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ Û¯¤ÛË (·ÂÈÎfiÓÈÛË) x = x (X, t),ÂÓÒ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÌÂ Î·È ÙËÓ Û¯¤ÛË Ú0 (X) = Ú (x, t) ñ [∂x (X, t) / ∂X]Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÈ ÙȘ ˘ÎÓfiÙËÙ˜ ÛÙËÓ ·Ú¯È΋ ı¤ÛË Î·È ÛÙËÓ ıˆÚÔ‡ÌÂ-ÓË ı¤ÛË x ÌÂÙ¿ ·Ú¤Ï¢ÛË ¯ÚfiÓÔ˘ t (·Ú¯‹ ‰È·ÙËÚ‹Ûˆ˜ Ù˘ Ì¿-˙·˜). ŒÙÛÈ, Ë Â͛ۈÛË ÎÈÓ‹Ûˆ˜ ÛÙËÓ ˘ÏÈ΋ ÂÚÈÁÚ·Ê‹ ÁÚ¿ÊÂٷȈ˜

DvDt

= ∂v

∂ t + v ∂v

∂x

∂Û

∂x + f = Ú Dv

Dt

x a

x b

∂Û

∂x + f dx =

x a

x b

Ú (x, t) ñ Dv (x, t)Dt

dx ⇒

DDt

x a

x b

Ú F dx = x a

x b

Ú DFDt

dx,

Û (x, t)x = x a

x = x b

+ x a

x b

f (x, t) dx = DDt

x a

x b

Ú (x, t) ñ v (x, t) dx ,

47

(3)

fiÔ˘ ™ (X, t) � Û [x (X, t), t] Â›Ó·È Ë Ù¿ÛË, F Ë Î·ıÔÏÈ΋ ‰‡Ó·ÌË, ηÈ

v (X, t) ∂x (X, t) / ∂t Ë Ù·¯‡ÙËÙ· ÛÙÔÈ¯Â›Ô˘ Û ˘ÏÈ΋ ÂÚÈÁÚ·Ê‹.

E¿Ó ÂÚ·ÈÙ¤Úˆ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì ¤Ó·Ó ηٷÛÙ·ÙÈÎfi ÓfiÌÔ Ù˘ ÌÔÚ-Ê‹˜ ™ = � (∂U/∂X), fiÔ˘ ∂U/∂X Ë ‚·ıÌ›‰· Ù˘ ÌÂÙ·ÙÔ›Ûˆ˜, ÙfiÙÂË Â͛ۈÛË ÎÈÓ‹Ûˆ˜ Û ˘ÏÈ΋ ÂÚÈÁÚ·Ê‹ Î·È Ì ·Ô˘Û›· ηıÔÏÈ-ÎÒÓ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ (˘Ôı¤ÙÔÓÙ·˜ ‰ËÏ. ÌˉÂÓÈΤ˜ ηıÔÏÈΤ˜ ‰˘Ó¿ÌÂȘ)ÁÚ¿ÊÂÙ·È ˆ˜

(4)

fiÔ˘

(5)

Â›Ó·È Ë Ù·¯‡ÙËÙ· (ÂÓ Á¤ÓÂÈ, ÌË-ÛÙ·ıÂÚ‹) ÎÈÓ‹Ûˆ˜ Ù˘ ‰È·Ù·Ú·¯‹˜.H Ù·¯‡ÙËÙ· ·˘Ù‹ (Ù·¯‡ÙËÙ· ‰È·‰fiÛˆ˜ ·̷ÙÔ˜ – wave velocity)Â›Ó·È ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ·fi ÙËÓ Ù·¯‡ÙËÙ· ÛÙÔÈ¯Â›Ô˘ (particle velocity).

7.3. IÛÔ˙‡ÁÈÔ EÓ¤ÚÁÂÈ·˜ (balance of energy)

O ÓfiÌÔ˜ ÈÛÔ˙˘Á›Ô˘ (‹ ‰È·Ù‹ÚËÛ˘) Ù˘ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ ϤÁÂÈ fiÙÈ ÔÚ˘ıÌfi˜ ÌÂÙ·‚ÔÏ‹˜ ÙÔ˘ ·ıÚÔ›ÛÌ·ÙÔ˜ Ù˘ ÂÛˆÙÂÚÈ΋˜ (.¯. ·Ú·ÌÔÚ-ʈÛȷ΋˜) ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜, Ù˘ ÎÈÓËÙÈ΋˜ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ Î·È Ù˘ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ÏfiÁˆ ‚·Ú‡ÙËÙ·˜ ÂÓfi˜ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Ì¿˙·˜ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔÓ Ú˘ıÌfi ÌÂ-Ù·‚ÔÏ‹˜ Ù˘ ıÂÚÌfiÙËÙ·˜ (·ÔÚÚfiÊËÛË ıÂÚÌfiÙËÙ·˜) Î·È ÙÔÓ Ú˘ıÌfiÌÂÙ·‚ÔÏ‹˜ ÙÔ˘ ¤ÚÁÔ˘ ÙˆÓ Â͈ÙÂÚÈÎÒÓ ‰˘Ó¿ÌˆÓ. O ÓfiÌÔ˜ ·˘Ùfi˜·ÔÙÂÏ› ÙÔÓ 1Ô ÓfiÌÔ Ù˘ £ÂÚÌÔ‰˘Ó·ÌÈ΋˜.

°È· ÙËÓ Ì·ıËÌ·ÙÈ΋ ‰È·Ù‡ˆÛË ÙÔ˘ ÓfiÌÔ˘ ·˘ÙÔ‡, ıˆÚԇ̠¿ÏÈÙËÓ ÂÚÈÔ¯‹ xa � x � xb Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì � (x, t) ÙËÓ ÂÛˆÙÂÚÈ-΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· ·Ó¿ ÌÔÓ¿‰· Ì¿˙·˜. TfiÙÂ Ë ÂÓ¤ÚÁÂÈ· E Ô˘ Â›Ó·È ·Ô-Ù·ÌÈÂ˘Ì¤ÓË ÛÙËÓ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ÂÚÈÔ¯‹ ‰›ÓÂÙ·È ˆ˜

c = 1Ú 0

d�

d ∂U

∂X

1/ 2

,

∂ 2 U

∂X 2 = 1

c 2 ∂ 2 U

∂ t2 ,

=�

∂™

∂X + F = Ú 0

∂v

∂ t ,

48

(1)

H ÎÈÓËÙÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· ›Û˘ ‰›ÓÂÙ·È ˆ˜

(2)

H ÂÓ¤ÚÁÂÈ· ÏfiÁˆ ‚·Ú‡ÙËÙ·˜ (gravitational energy) ÂÍ·Úٿٷȷfi ÙËÓ Î·Ù·ÓÔÌ‹ Ù˘ Ì¿˙·˜ Î·È ÁÚ¿ÊÂÙ·È ˆ˜

(3)

fiÔ˘ Ê Â›Ó·È ÙÔ ‰˘Ó·ÌÈÎfi Ù˘ ‚·Ú‡ÙËÙ·˜ ·Ó¿ ÌÔÓ¿‰· Ì¿˙·˜. ™ÙËÓÛ˘Ó‹ıË ÂÚ›ÙˆÛË ÔÌÔÈÔÌfiÚÊÔ˘ ‰›Ô˘ ‚·Ú‡ÙËÙ·˜, ¤¯Ô˘ÌÂ

(4)

fiÔ˘ g Ë ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË Ù˘ ‚·Ú‡ÙËÙ·˜ Î·È ÙÔ ‡„Ô˜ z ‰Â›¯ÓÂÈ ÙËÓÛÙ¿ıÌË Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÙÔ ÛÒÌ· Û ‰È‡ı˘ÓÛË ·ÓÙ›ıÂÙË ·fi ·˘Ù‹ÓÙÔ˘ ‰›Ô˘ ‚·Ú‡ÙËÙ·˜.

TfiÙÂ, Ô ÓfiÌÔ˜ ‰È·ÙËÚ‹Ûˆ˜ Ù˘ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ ÁÚ¿ÊÂÙ·È ˆ˜

(5)

fiÔ˘ Â›Ó·È ÔÈ Ú˘ıÌÔ› ÌÂÙ·‚ÔÏ‹˜ Ù˘ ıÂÚÌÈ΋˜ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜Q Î·È ÙÔ˘ ¤ÚÁÔ˘ ÙˆÓ Â͈ÙÂÚÈÎÒÓ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ W. ™ËÌÂÈÒÓÂÙ·È fiÙÈ

ηıfiÛÔÓ ÔÈ ÂÓ¤ÚÁÂȘ Q Î·È W ›ӷȷÓÙÈÎÂÈÌÂÓÈΤ˜ ÔÛfiÙËÙ˜ (‰ËÏ. «Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜» ÔÛfiÙËÙ˜) Ô˘‰ÂÓ ÂËÚ¿˙ÔÓÙ·È ÌÂ Î·Ó¤Ó·Ó ÙÚfiÔ ·fi ÙȘ ÎÈÓ‹ÛÂȘ ÂÓfi˜ ·Ú·-ÙËÚËÙ‹.

™ËÌÂÈÒÓÂÙ·È Â›Û˘ fiÙÈ, fiˆ˜ ı· Ê·Ó› Î·È ·fi ÙȘ ÂÎÊÚ¿ÛÂÈ˜ÙˆÓ ÔÈ ÔÛfiÙËÙ˜ ·˘Ù¤˜ ÂÍ·ÚÙÒÓÙ·È ÌfiÓÔÓ ·fi ÙȘ«·ÎÚ·›Â˜» ÙÈ̤˜ Ô˘ Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ó ÔÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ «ÚÔ‹˜» (ıÂÚÌÈ΋ÚÔ‹ Î·È Ù¿ÛË) Î·È Ë Ù·¯‡ÙËÙ· ÛÙÔ Û‡ÓÔÚÔ Ù˘ ıˆÚÔ‡ÌÂÓ˘ Â-ÚÈÔ¯‹˜.

Q Î·È W,

Q � ∂Q / ∂ t Î·È W � ∂W / ∂ t

Q Î·È W

DDt

(E + K + G) = Q + W,

G = x a

x b

Ú gz dx,

G = x a

x b

Ú Ê(x) dx,

K = 12

x a

x b

Ú v2 dx.

E = x a

x b

Ú � dx.

49

™ËÌ›ˆÛË: OÈ Green Î·È Rivlin (1964) ¤‰ÂÈÍ·Ó fiÙÈ ÔÈ ·Ú¯¤˜ ‰È·-ÙËÚ‹Ûˆ˜ Ù˘ ÔÚÌ‹˜ Î·È ÛÙÚÔÊÔÚÌ‹˜ ÂÍ¿ÁÔÓÙ·È ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹ ‰È·-ÙËÚ‹Ûˆ˜ Ù˘ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ Ì ÙËÓ ··›ÙËÛË ÙÔ˘ ·Ó·ÏÏÔÈÒÙÔ˘ Û ÌÂ-Ù·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌÔ‡˜ Û˘ÓÙÂÙ·ÁÌ¤ÓˆÓ (observer transformations). TÔ‡ÙÔÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ë ·Ú¯‹ ‰È·ÙËÚ‹Ûˆ˜ Ù˘ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ Â›Ó·È Ë Ï¤ÔÓ ÁÂ-ÓÈ΋ ·Ú¯‹ ‰È·ÙËÚ‹Ûˆ˜.

¶ÂÚ·ÈÙ¤Úˆ, Ô Ú˘ıÌfi˜ ÌÔÚ› Ó· ÂÎÊÚ·Ûı› ̤ۈ Ù˘ ıÂÚÌÈ-΋˜ ÚÔ‹˜ q (x, t) ˆ˜

(6)

H ıÂÚÌÈ΋ ÚÔ‹ ¤¯ÂÈ ÌÔÓ¿‰Â˜ [q] = [ÈÛ¯‡˜] [Ì‹ÎÔ˜].ø˜ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· (Û‡ÓËı˜ ÛÙËÓ Ú¿ÍË), Ô ÓfiÌÔ˜ ÙÔ˘ Fourier (η-

Ù·ÛÙ·ÙÈÎfi˜ ÓfiÌÔ˜ - constitutive law) ÚԂϤÂÈ ÁÈ· ÙËÓ ıÂÚÌÈ΋ÚÔ‹ ÙËÓ Û¯¤ÛË

q = – k (∂T / ∂x),

fiÔ˘ k Ë ıÂÚÌÈ΋ ·ÁˆÁÈÌfiÙËÙ· (thermal conductivity) Î·È T = T (x, t)Ë ıÂÚÌÔÎÚ·Û›· ÛÙËÓ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ı¤ÛË Î·È ÛÙÔÓ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ¯ÚfiÓÔ.

E›Û˘, ÔÈ Ù¿ÛÂȘ, Ô˘ ÛÙËÓ ÁÂÓÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË ÂÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·ÈÛÙËÓ ıˆÚÔ‡ÌÂÓË Ì¿˙·, ÚÔÛ‰›‰Ô˘Ó ÛÙÔ Û‡ÛÙËÌ· Ì˯·ÓÈÎfi ¤ÚÁÔ.O Ú˘ıÌfi˜ ÌÂÙ·‚ÔÏ‹˜ ÙÔ˘ ¤ÚÁÔ˘ ·˘ÙÔ‡ Â›Ó·È Ë ÏÂÁfiÌÂÓË Ì˯·ÓÈ΋ÈÛ¯‡˜ (mechanical power)

(7)

AÓÙÈηıÈÛÙÒÓÙ·˜ ϤÔÓ ÛÙËÓ EÍ. (5) fiϘ ÙȘ ÔÛfiÙËÙ˜ Ô˘¤¯Ô˘Ó ÔÚÈÛı› ÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜ ¤¯Ô˘ÌÂ

� x a

x b ∂ (Ûv)

∂x dx +

x a

x b

f v dx.

W = – Û (xa, t) ñ v (xa, t) + Û (xb, t) ñ v (xb, t) + x a

x b

f v dx �

W

Q = – x a

x b ∂q

∂x dx.

Q

50

(8)

H ·ÓˆÙ¤Úˆ Â͛ۈÛË ÌÔÚ› Ó· ·ÏÔÔÈËı› Ì ÙËÓ ¯Ú‹ÛË ÙˆÓÂÍÈÛÒÛÂˆÓ Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜ Î·È ÎÈÓ‹Ûˆ˜, ‰ËÏ. ÙˆÓ ·ÎÔÏÔ‡ıˆÓ ÂÍÈÛÒÛÂ-ˆÓ

£· ıˆڋÛÔ˘Ì ÙÒÚ· ‰‡Ô ÛËÌ·ÓÙÈΤ˜ ÂȉÈΤ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ Ù˘EÍ. (8):

(·) K·ı·Ú¿ Ì˯·ÓÈÎfi Û‡ÛÙËÌ·:

(9)

fiÔ˘, ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹, � (Ë ÂÛˆÙÂÚÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· ·Ó¿ ÌÔÓ¿‰·Ì¿˙·˜) Â›Ó·È ÌfiÓÔÓ ·Ú·ÌÔÚʈÛȷ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·.

(‚) K·ı·Ú¿ ıÂÚÌÈÎfi Û‡ÛÙËÌ·:

(10)

fiÔ˘, ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹, � (Ë ÂÛˆÙÂÚÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· ·Ó¿ ÌÔÓ¿‰·Ì¿˙·˜) Â›Ó·È ÂÓ¤ÚÁÂÈ· Ô˘ ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ÌfiÓÔÓ ·fi ÙËÓ ıÂÚÌÔÎÚ·Û›·ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜.

E¿Ó ÂÚ·ÈÙ¤Úˆ ˘ÔÙÂı› fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ Ô ÓfiÌÔ˜ Fourierq = – k (∂T / ∂x) Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÈ ÙËÓ ıÂÚÌÈ΋ ÚÔ‹ Ì ÙËÓ ıÂÚÌÔÎÚ·Û›·,ÙfiÙÂ Ë EÍ. (10) ‰›ÓÂÈ

Ú D�

Dt = – ∂q

∂x ,

Ú D�

Dt = Û ∂v

∂x ,

DÚDt

+ Ú ∂v

∂x = 0 , Ú Dv

Dt = ∂Û

∂x + f .

= – ∂q

∂x + fv + v ∂Û

∂x + Û ∂v

∂x .

+ Ú DÊDt

+ Ê DÚDt

+ ÊÚ ∂v

∂x =

+ 12

Ú Dv2

Dt + v

2

2 DÚ

Dt + v

2

2 Ú ∂v

∂x +

Ú D�

Dt + � DÚ

Dt + � Ú ∂v

∂x +

51

(11)

E›Û˘ Â¿Ó ÙÂı› � = cT, fiÔ˘ c Ë ÂȉÈ΋ ıÂÚÌfiÙËÙ·, Î·È Â¿ÓÂÈϤÔÓ ·ÌÂÏËıÔ‡Ó fiÚÔÈ «ÂÎ ÌÂÙ·ÊÔÚ¿˜» ÛÙËÓ ˘ÏÈ΋ ·Ú¿ÁˆÁÔ,ÙfiÙÂ Ë EÍ. (11) ‰›ÓÂÈ ÙËÓ ·ÎfiÏÔ˘ıË ‰È·ÊÔÚÈ΋ Â͛ۈÛË

‹ (12)

fiÔ˘ Î Â›Ó·È Ë ÛÙ·ıÂÚ¿ ıÂÚÌÈ΋˜ ‰È·¯‡Ûˆ˜ (thermal diffusivity)Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ Î = k / Úc.

™ËÌÂÈÒÛÂȘ:

(1) H ÂȉÈ΋ ıÂÚÌfiÙËÙ· c Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ¿ ÙÔ˘ ˘ÏÈÎÔ‡ Î·È ÈÛÔ‡Ù·È ÌÂÙÔ ÔÛfi Ù˘ ıÂÚÌfiÙËÙ·˜ Ô˘ ··ÈÙÂ›Ù·È ÁÈ· ÙËÓ ·Ó‡„ˆÛË Ù˘ıÂÚÌÔÎÚ·Û›·˜ Ì¿˙·˜ 1 gr ÙÔ˘ ˘ÏÈÎÔ‡ ηٿ 1 ÆC.H ÂȉÈ΋ ıÂÚÌfiÙËÙ· ¤¯ÂÈ ÌÔÓ¿‰Â˜

[c] = [ÂÓ¤ÚÁÂÈ·] [ÆC]– 1 [Ì¿˙·]– 1.

(2) O ÓfiÌÔ˜ ÙÔ˘ Fourier ¤¯ÂÈ Â·Ú΋ ÂÈÚ·Ì·ÙÈ΋ ÂȂ‚·›ˆÛË.

(3) H ıÂÚÌÈ΋ ·ÁˆÁÈÌfiÙËÙ· ¤¯ÂÈ ÌÔÓ¿‰Â˜

[k] = [ÈÛ¯‡˜] [Ì‹ÎÔ˜]– 1 [ÆC]– 1.

(4) H ÛÙ·ıÂÚ¿ ıÂÚÌÈ΋˜ ‰È·¯‡Ûˆ˜ ¤¯ÂÈ ÌÔÓ¿‰Â˜

[Î] = [Ì‹ÎÔ˜]2 [¯ÚfiÓÔ˜]– 1.

(5) TÔ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ Û¯‹Ì· ‰Â›¯ÓÂÈ ÙËÓ ÊÔÚ¿ Ù˘ ıÂÚÌÈ΋˜ ÚÔ‹˜ fiÙ·ÓT2 � T1

ıÂÚÌÈ΋ ÚÔ‹

T2 T1

– gradT = –∂T

∂x

∂ 2 T

∂x2 = 1

Î ∂T

∂ t ,Úc ∂T

∂ t = k ∂ 2 T

∂x2

Ú D�

Dt = k ∂ 2 T

∂x2 .

52

8. TE§EIA ◊ I¢EATA PEY™TA – E•I™ø™H BERNOULLI

T¤ÏÂÈ· ÌË-ÛÙÚÔ‚ÈÏÈ˙fiÌÂÓ· Ú¢ÛÙ¿ (perfect inviscid fluids) ÔÓÔ-Ì¿˙ÔÓÙ·È ÂΛӷ Ù· Ú¢ÛÙ¿ ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ Ù· ÛÙÔȯ›· ‰ÂÓ ÛÙÚÔ‚ÈÏ›-˙ÔÓÙ·È. A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ù· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ Ú¢ÛÙÔ‡ ˘fiÎÂÈÓÙ·È Ìfi-ÓÔÓ Û ‰˘Ó¿ÌÂȘ ȤÛˆ˜ Î·È ‚·Ú‡ÙËÙ·˜ Î·È fi¯È Û ‰È·ÙÌËÙÈΤ˜‰˘Ó¿ÌÂȘ.

H ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë Ì·ıËÌ·ÙÈ΋ ¤ÎÊÚ·ÛË ÁÚ¿ÊÂÙ·È ˆ˜

(1)

fiÔ˘ Â›Ó·È Ô Ú˘ıÌfi˜ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹˜, Î·È vi ÙÔ

‰È¿Ó˘ÛÌ· Ù·¯˘Ù‹ÙˆÓ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘ Ú¢ÛÙÔ‡.ŒÙÛÈ, Ù· Ù¤ÏÂÈ· ÌË-ÛÙÚÔ‚ÈÏÈ˙fiÌÂÓ· Ú¢ÛÙ¿ ¤¯Ô˘Ó ÌˉÂÓÈÎfi

Ú˘ıÌfi ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹˜ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘˜.

T¤ÏÂÈ· ·Û˘Ì›ÂÛÙ· Ú¢ÛÙ¿ (perfect incompressible fluids) ÔÓÔ-Ì¿˙ÔÓÙ·È Ù· Ú¢ÛÙ¿ Ô˘ Â›Ó·È ·Û˘Ì›ÂÛÙ· (.¯. ‡‰ˆÚ, ˘‰Ú¿Ú-Á˘ÚÔ˜).

H ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë Ì·ıËÌ·ÙÈ΋ ¤ÎÊÚ·ÛË ÁÚ¿ÊÂÙ·È ˆ˜

(2)

fiÔ˘ Ú � Ú(x, t) Â›Ó·È Ë ˘ÎÓfiÙËÙ· ÙÔ˘ Ú¢ÛÙÔ‡.ŒÙÛÈ, Ù· Ù¤ÏÂÈ· ·Û˘Ì›ÂÛÙ· Ú¢ÛÙ¿ ¤¯Ô˘Ó ÌˉÂÓÈÎfi Ú˘ıÌfi ÌÂÙ·-

‚ÔÏ‹˜ Ù˘ ˘ÎÓfiÙËÙ¿˜ ÙÔ˘˜.¶ÂÚ·ÈÙ¤Úˆ, Ë EÍ. (2) ÛÂ Û˘Ó‰˘·ÛÌfi Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË ‰È·ÙËÚ‹ÛÂ-

ˆ˜ Ù˘ Ì¿˙·˜ (ÂÍÈÛÒÛÂȘ Û˘Ó¤¯ÂÈ·˜) DÚ / Dt + Ú (∂vi /∂xi) = 0 ‰›ÓÂÈ

(3)

OÈ ÂÍÈÛÒÛÂȘ (1) Î·È (3) ÁÈ· Ù· Ù¤ÏÂÈ· Ú¢ÛÙ¿ ÁÚ¿ÊÔÓÙ·È ‰È·-Ó˘ÛÌ·ÙÈο ˆ˜

∂vi

∂xi

= 0 .

DÚDt

= 0 ,

Wi j =�

12

∂vj

∂xi

– ∂vi

∂xj

Wi j = 0 ‹ ∂vj

∂xi

– ∂vi

∂xj

= 0 ,

53

� × v = 0, (4)

� ñ v = 0. (5)

™ËÌ›ˆÛË 1: O Ú˘ıÌfi˜ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹˜ Wi j ÚÔ·ÙÂÈ ˆ˜ ÙÌ‹Ì·Ù˘ Îϛۈ˜ (‚·ıÌ›‰·˜) ÙÔ˘ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÔ‡ ‰›Ô˘ Ù˘ Ù·¯‡ÙËÙ·˜.¶ÈÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ ¤¯Ô˘ÌÂ

fiÔ˘

(7)

ÌÂ

(8)

(9)

‹

=

∂v1

∂x1

12

∂v1

∂x2

+ ∂v2

∂x1

12

∂v1

∂x3

+ ∂v3

∂x1

12

∂v1

∂x2

+ ∂v2

∂x1

∂v2

∂x2

12

∂v2

∂x3

+ ∂v3

∂x2

12

∂v1

∂x3

+ ∂v3

∂x1

12

∂v2

∂x3

+ ∂v3

∂x2

∂v3

∂x3

,

[D ] = [Di j ] =

Wi j = 12

∂vj

∂xi

– ∂vi

∂xj

,

Di j = 12

∂vj

∂xi

+ ∂vi

∂xj

,

↑ Ù·Ó˘ÛÙ‹˜ Ú˘ıÌÔ‡ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹˜

(spin)

Ù·Ó˘ÛÙ‹˜ Ú˘ıÌÔ‡ ↑·Ú·ÌÔÚÊÒÛˆ˜

(rate of deformation)

� v = D + W = Di j + Wi j ,

(6)� v = ∂vj

∂xi

=

∂v1 / ∂x1 ∂v1 / ∂x2 ∂v1 / ∂x3

∂v2 / ∂x1 ∂v2 / ∂x2 ∂v2 / ∂x3

∂v3 / ∂x1 ∂v3 / ∂x2 ∂v3 / ∂x3

,

54

¶·Ú·ÙËÚԇ̠٤ÏÔ˜ fiÙÈ ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ È‰ÈfiÙËÙ˜

Di j = Dj i (Û˘ÌÌÂÙÚ›· ÁÈ· ÙÔÓ Ú˘ıÌfi ·Ú·ÌÔÚÊÒÛˆ˜), (10)

Wi j = – Wj i (·ÓÙÈ-Û˘ÌÌÂÙÚ›· ÁÈ· ÙÔÓ Ú˘ıÌfi ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹˜). (11)

™ËÌ›ˆÛË 2: ™Â ¤Ó· ·Û˘Ì›ÂÛÙÔ Ú¢ÛÙfi, Ë ˘ÎÓfiÙËÙ· ÌÔÚ›ӷ ÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÙ·È ¯ˆÚÈο (·ÓÔÌÔÈfiÌÔÚÊË ˘ÎÓfiÙËÙ·). ¶.¯. ·ÏÌ˘Úfi‡‰ˆÚ Ì ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ Û˘ÁÎÂÓÙÚÒÛÂȘ ¿Ï·ÙÔ˜ ηٿ ÙÔ ‚¿ıÔ˜.

¶ÂÚ·ÈÙ¤Úˆ, ı· ÂÍ·¯ı› Ë Â͛ۈÛË Bernoulli Ë ÔÔ›· ÂÎÊÚ¿˙ÂÈÙÔÓ Û˘Û¯ÂÙÈÛÌfi ÙˆÓ ‰È·ÊfiÚˆÓ fiÚˆÓ Ù˘ ÔÏÈ΋˜ ȤÛˆ˜.

EÎÎÈÓԇ̠·fi ÙËÓ Û˘Óı‹ÎË ÌË-ÛÙÚÔ‚ÈÏfiÙËÙ·˜ (EÍ. (1)) Î·È ·-Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Â¿Ó ÂÈÛ·¯ı› Ì›· Ó¤· Û˘Ó¿ÚÙËÛË º � º(x, t) Ô˘ η-ÏÂ›Ù·È ‰˘Ó·ÌÈÎfi Ù˘ Ù·¯‡ÙËÙ·˜ (velocity potential) ̤ۈ Ù˘ Û¯¤-Ûˆ˜

(12)

‰ËÏ·‰‹

ÙfiÙÂ Ë EÍ. (1) ÈηÓÔÔÈÂ›Ù·È ·˘ÙÔÌ¿Ùˆ˜.M ÙÔÓ ÙÚfiÔ ·˘Ùfi, Ë EÍ. (12) ·ÔÙÂÏ› ÙËÓ ÈηӋ Î·È ·Ó·Áη›·

Û˘Óı‹ÎË ÁÈ· Ó· Â›Ó·È Ë ÚÔ‹ ·ÛÙÚfi‚ÈÏË.

v1 = – ∂º

∂x1

, v2 = – ∂º

∂x2

, v3 = – ∂º

∂x3

,

vi = – ∂º

∂xi

,

=

0 12

∂v1

∂x2

– ∂v2

∂x1

12

∂v1

∂x3

– ∂v3

∂x1

– 12

∂v1

∂x2

– ∂v2

∂x1

0 12

∂v2

∂x3

– ∂v3

∂x2

– 12

∂v1

∂x3

– ∂v3

∂x1

– 12

∂v2

∂x3

– ∂v3

∂x2

0

.

[W ] = [Wi j ] =

55

™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÙÒÚ· ·ÛÙÚfi‚ÈÏÔ˘ Î·È ·Û˘ÌȤÛÙÔ˘ Ú¢ÛÙÔ‡, ËEÍ. (12) Û˘Ó‰˘¿˙ÂÙ·È Ì ÙËÓ EÍ. (3) Î·È ‰›ÓÔ˘Ó ÙËÓ ÏÂÁfiÌÂÓË ÂÍ›-ÛˆÛË Laplace.

(13)

‹ ÛÂ Û‡ÛÙËÌ· Oxyz

(14)

¶·Ú·Ù‹ÚËÛË: EÓÒ ÙÔ ·Ú¯ÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ ‹Ù·Ó ÌË-ÁÚ·Ì-ÌÈÎfi (*), Ì ÙȘ ˘Ôı¤ÛÂȘ Ù˘ ÌË-ÛÙÚÔ‚ÈÏfiÙËÙ·˜ Î·È Ù˘ ·Û˘ÌÈÂ-ÛÙfiÙËÙ·˜ ¤¯Ô˘Ì ԉËÁËı› Û ÁÚ·ÌÌÈ΋ (**) ‰È·ÊÔÚÈ΋ Â͛ۈÛË.

(*) ¶.¯. ÔÈ ÌË-ÁÚ·ÌÌÈÎÔ› fiÚÔÈ ÛÙÔ ·Ú¯ÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fiÙËÓ Û¯¤ÛË Dv / Dt = ∂v / ∂t + v (∂v / ∂x).

(**) ŒÓ·˜ ‰È·ÊÔÚÈÎfi˜ ÙÂÏÂÛÙ‹˜ L ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ fiÙ·Ó L (Ê + „) = L (Ê) + L („) Î·È L (aÊ) = aL (Ê).

¶·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù·: L = d2/ dx2 ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ ‰È·ÊÔÚÈÎfi˜ ÙÂÏÂÛÙ‹˜,

L = (d / dx)2 ÌË-ÁÚ·ÌÌÈÎfi˜ ‰È·ÊÔÚÈÎfi˜ ÙÂÏÂÛÙ‹˜.

E›Û˘, ÛÙ· ȉ·ٿ ·ÛÙÚfi‚ÈÏ· Ú¢ÛÙ¿ ·ÌÂÏÔ‡ÓÙ·È ‰È·ÙÌËÙÈΤ˜Ù¿ÛÂȘ ÏfiÁˆ ÙÚÈ‚ÒÓ. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ Î·È Ì ÙËÓ ÂÈϤÔÓ˘fiıÂÛË Ù˘ ·Û˘ÌÈÂÛÙfiÙËÙ·˜ ˘Ê›ÛÙ·Ù·È Ë ÂÍ‹˜ Û¯¤ÛË ÌÂٷ͇ Ù¿-Ûˆ˜ Î·È È¤Ûˆ˜.

Û11 = – p, Û22 = – p, Û33 = – p, (15)

‹ Ûi j = – p‰i j , fiÔ˘ ‰i j Â›Ó·È ÙÔ ‰¤ÏÙ· Kronecker.

x3

x1

x2

0

Û33

Û22

�2 º = 0 ‹ ∂ 2 º

∂x2 + ∂ 2 º

∂y2 + ∂ 2 º

∂z2 = 0 .

∂ 2 º

∂xi ∂xi

= 0 ‹ ∂ 2 º

∂x12

+ ∂ 2 º

∂x22

+ ∂ 2 º

∂x32

= 0

56

OÈ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÎÈÓ‹Ûˆ˜ Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ó ÙfiÙ ÙËÓ ÌÔÚÊ‹

(16)

ÂÓÒ fiÙ·Ó ÔÈ Î·ıÔÏÈΤ˜ ‰˘Ó¿ÌÂȘ ·Ú¿ÁÔÓÙ·È ·fi ‰˘Ó·ÌÈÎfi (fiˆ˜ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÙÔ˘ ‰›Ô˘ ‚·Ú‡ÙËÙ·˜) ÙfiÙÂ

(17)

fiÔ˘ h Â›Ó·È Ë ·Ó‡„ˆÛË Â¿Óˆ ·fi ÙÔ Â›Â‰Ô ·Ó·ÊÔÚ¿˜. ¶.¯.ÁÈ· ¿ÍÔÓ· x3 ‰È¢ı˘ÓfiÌÂÓÔ ÚÔ˜ Ù· ¿ӈ (‰ËÏ. ·ÓÙ›ıÂÙ· Ì ÙËÓ‚·Ú‡ÙËÙ·) ÙÔ ‰˘Ó·ÌÈÎfi ‚·Ú‡ÙËÙ·˜ Â›Ó·È ø = Úgx3 Î·È ÂÔ̤ӈ˜,f1 = 0, f2 = 0, f3 = – Úg.

OÈ EÍ. (16) Î·È (17) ‰›ÓÔ˘Ó

(18)

¶ÂÚ·ÈÙ¤Úˆ, Ë ·ÓÙÈηٿÛÙ·ÛË Ù˘ (12) ÛÙËÓ (18) ‰›ÓÂÈ

(19)

O ‰Â‡ÙÂÚÔ˜ fiÚÔ˜ ÙÔ˘ ÚÒÙÔ˘ ̤ÏÔ˘˜ Ù˘ EÍ. (19) ÁÚ¿ÊÂÙ·È ÌÂÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Ù˘ EÍ. (12) ˆ˜

(20)

ÂÓÒ ÛËÌÂÈÒÓÂÙ·È fiÙÈ

(21)

YÔı¤ÙÔÓÙ·˜ ÂÈϤÔÓ fiÙÈ Ú = ÛÙ·ı., ‰ËÏ. ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ ÙÔ˘ x(ÂÚ›ÙˆÛË ÔÌÔÁÂÓÔ‡˜ Ú¢ÛÙÔ‡), Û˘Ó‰˘¿˙ÔÓÙ·˜ ÙȘ EÍ. (19) - (21)Î·È ÂÓ·ÏÏ¿ÛÛÔÓÙ·˜ ÙËÓ ÛÂÈÚ¿ Ù˘ ‰È·ÊÔÚ›Ûˆ˜ ¤¯Ô˘ÌÂ

(22)∂∂xi

– ∂º

∂ t + v

2

2 + p

Ú + gh = 0 .

vj vj = v12 + v2

2 + v32 = v2.

∂º

∂xj

∂ 2 º

∂xi ∂xj

= ∂∂xi

12

∂º

∂xj

∂º

∂xj

= ∂∂xi

vj vj

2 ,

– ∂∂ t

∂º

∂xi

+ ∂º

∂xj

∂ 2 º

∂xi ∂xj

= – 1Ú

∂p

∂xi

– g ∂h

∂xi

.

Ú ∂vi

∂ t + vj

∂vi

∂xj

= – Úg ∂h

∂xi

– ∂p

∂xi

.

f i = – ∂ø

∂xi

= – Úg ∂h

∂xi

,

Ú ∂vi

∂ t + vj

∂vi

∂xj

= – ∂p

∂xi

+ f i ,

57

H ·ÓˆÙ¤Úˆ Â͛ۈÛË ‰Â›¯ÓÂÈ fiÙÈ Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ì¤Û· ÛÙËÓ ·Ú¤Ó-ıÂÛË Â›Ó·È ·ÌÂÙ¿‚ÏËÙË Û οı ‰È‡ı˘ÓÛË, ¿Ú· ÙÔ Ôχ Â›Ó·È Ì›·Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘, ‰ËÏ.

(23)

fiÔ˘ F (t) Â›Ó·È ¿ÁÓˆÛÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘.E¿Ó fï˜ Ë ÚÔ‹ Â›Ó·È ÌfiÓÈÌË (‰ËÏ. Ë ÂÈÎfiÓ· ÙˆÓ ÚÔ˚ÎÒÓ ÁÚ·Ì-

ÌÒÓ ‰ÂÓ ·ÏÏ¿˙ÂÈ), Ë EÍ. (23) Ô‰ËÁ› ÛÙËÓ ÏÂÁfiÌÂÓË Â͛ۈÛËBernoulli, Ë ÔÔ›· ÁÚ¿ÊÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜

(24)

™ËÌ›ˆÛË 3: H ÛÙ·ıÂÚ¿ ÛÙËÓ EÍ. (24) Û˘Ó‹ıˆ˜ ÚÔ·ÙÂÈ ÛÙËÓÚ¿ÍË ·fi Û˘Óı‹Î˜ Ô˘ ˘Ê›ÛÙ·ÓÙ·È ÁÈ· ÙËÓ Ù·¯‡ÙËÙ· Î·È ÙËÓ ›Â-ÛË Û «·ÔÌ·ÎÚ˘Ṳ̂Ó˜» ÂÚÈÔ¯¤˜ ÙÔ˘ Ú¢ÛÙÔ‡.

TÂÏÈο, Ë ·ÓˆÙ¤Úˆ Â͛ۈÛË ÁÚ¿ÊÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜ ÁÈ· ÙËÓ ÏÂÁfiÌÂÓËÔÏÈ΋ ›ÂÛË ¶

(25)

Ë ÔÔ›· ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ fiÙÈ: «Ë ÔÏÈ΋ ›ÂÛË Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ‹ Û οı ÛËÌ›ÔÂÓfi˜ ÔÌÔÁÂÓÔ‡˜ Ú¢ÛÙÔ‡».

OÈ ÂÈ̤ÚÔ˘˜ fiÚÔÈ ÛÙËÓ EÍ. (25) ›ӷÈ

™ËÌ›ˆÛË 4: H EÍ. (25) ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· οı ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ Ú¢ÛÙÔ‡,Â›Ó·È ‰ËÏ. Ì›· Â͛ۈÛË Â‰›Ô˘. A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ Ì¤ÁÂıÔ˜ Ù˘ÛÙ·ıÂÚ¿˜ ÛÙÔ ‰ÂÍÈfi ̤ÏÔ˜ Ù˘ (25) Â›Ó·È ÙÔ ›‰ÈÔ ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙÂÁÚ·ÌÌ‹ ÚÔ‹˜.

ÕÛÎËÛË 1:

¢›ÓÂÙ·È Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË ‰˘Ó·ÌÈÎÔ‡ Ù·¯‡ÙËÙ·˜ ÂÓfi˜ Ú¢ÛÙÔ‡ º =x3 – 3xy2.

ÛÙ·ÙÈ΋ ›ÂÛË,

Áˆ‰·ÈÙÈ΋ ›ÂÛË,

‰˘Ó·ÌÈ΋ ›ÂÛË.

p :

Úgh :

12

Úv2 :

¶ =�

p + Úgh + 12

Úv2 = ÛÙ·ı. ,

v2

2 + p

Ú + gh = ÛÙ·ı .

– ∂º

∂ t + v

2

2 + p

Ú + gh = F (t),

58

(·) N· ‰Âȯı› fiÙÈ Ë º ÈηÓÔÔÈ› ÙËÓ Â͛ۈÛË Laplace.(‚) N· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛı› ÙÔ ·ÛÙÚfi‚ÈÏÔ Â‰›Ô Ù·¯˘Ù‹ÙˆÓ ÙˆÓ ÛÙÔÈ-

¯Â›ˆÓ ÙÔ˘ Ú¢ÛÙÔ‡.(Á) N· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛı› Ë Î·Ù·ÓÔÌ‹ Ù˘ ȤÛˆ˜ ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË

·Û˘Ì›ÂÛÙÔ˘ ÔÌÔÁÂÓÔ‡˜ Ú¢ÛÙÔ‡, Â¿Ó ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô (0, 0, 0)ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ p = p0 Î·È ø = Úgh.

(‰) E¿Ó ÙÔ Â›Â‰Ô y = 0 Â›Ó·È ¤Ó· ÛÙ·ıÂÚfi Û‡ÓÔÚÔ (.¯. ÛÙÂ-ÚÂfi ‰¿Â‰Ô), Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛı› Ë ÂÊ·ÙÔÌÂÓÈ΋ Û˘ÓÈÛÙÒÛ·Ù˘ Ù·¯‡ÙËÙ·˜ ÛÙÔ Û‡ÓÔÚÔ ·˘Ùfi.

§‡ÛË: (·) E›Ó·È

ÔfiÙÂ Ú¿ÁÌ·ÙÈ

(‚) Afi ÙËÓ Û¯¤ÛË vi = – (∂º / ∂xi), ¤¯Ô˘ÌÂ

(Á) Afi ÙËÓ Â͛ۈÛË Bernoulli fiÔ˘ C ÛÙ·-

ıÂÚ¿, ¤¯Ô˘Ì ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô (0, 0, 0), v1 = 0, v2 = 0, p = p0 Î·È ø = 0.ŒÙÛÈ C = p0 / Ú Î·È

p = p 0 – Ú2

(v12 + v2

2) – Úgh ‹

12

v2 + pÚ

+ gh = C,

v1 = – ∂º

∂x = – 3 x2 + 3 y2, v2 = – ∂º

∂y = 6 xy, v2 = 0 .

∂ 2 º

∂x2 + ∂ 2 º

∂y2 + ∂ 2 º

∂z2 = 6 x – 6 x = 0 .

∂ 2 º

∂x2 = 6 x, ∂ 2 º

∂y2 = – 6 x, ∂ 2 º

∂z2 = 0 ,

x2(y)

x3(z)

x1(x)0

59

(‰) ™ÙÔ Â›Â‰Ô y = 0 Â›Ó·È v1 = – 3x2 Î·È v2 = 0. A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈfiÙÈ ÙÔ Ú¢ÛÙfi «ÔÏÈÛı·›ÓÂÈ» ηٿ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ÛÙÂÚÂÔ‡ Û˘ÓfiÚÔ˘.

ÕÛÎËÛË 2:

E¿Ó ˘ÔÙÂı› ÌfiÓÈÌË ÚÔ‹ ÙÔ˘ Ú¢ÛÙÔ‡, Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛı› Ë Ù·-¯‡ÙËÙ· ÂÎÚÔ‹˜ Ù˘ ÊϤ‚·˜ ÙÔ˘ Ú¢ÛÙÔ‡ (liquid jet) ˆ˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛËÙÔ˘ h.

§‡ÛË: ™ËÌÂ›Ô A ÛÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·: p = p·ÙÌ. , v = 0, z = h.Afi ÙËÓ Â͛ۈÛË Bernoulli ¤¯Ô˘Ì ÙfiÙÂ

™ËÌÂ›Ô B ÂÎÚÔ‹˜: z = 0, p = p·ÙÌ. .EÔ̤ӈ˜

Î·È ÙÂÏÈο

H ·ÓˆÙ¤Úˆ Û¯¤ÛË Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ‹ ˆ˜ Ù‡Ô˜ ÙÔ˘ Torricelli.

v = (2 gh )1/ 2.

12

v2 + p ·Ù Ì .

Ú =

p ·Ù Ì .

Ú + gh ,

12

v2 + pÚ

+ gz = p ·Ù Ì .

Ú + gh .

z

B

A

h

p = p 0 – Ú2

[g (y2 – x2)2 + 36 x2 y2 ] – Úgh .

60

9. £EøPHMATA KELVIN KAI HELMHOLTZ °IA THNKINH™H PEY™TøN

K·ÏÂ›Ù·È Î˘ÎÏÔÊÔÚ›· (circulation) ÙÔ ÂÍ‹˜ ÔÏÔÎϋڈ̷ (ÔÚÈÛÌfi˜)

(1)

fiÔ˘ dx Â›Ó·È ÙÔ ‰È¿Ó˘ÛÌ· Ì‹ÎÔ˘˜ dx Ô˘ Â›Ó·È ÂÊ·ÙfiÌÂÓÔ Û ο-ı ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ÎÏÂÈÛÙ‹˜ ÁÚ·ÌÌ‹˜ C, v Â›Ó·È ÙÔ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi ‰›ÔÙ·¯‡ÙËÙ·˜, ÂÓÒ ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Ë Î˘ÏÔÊÔÚ›· Â›Ó·È Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ùfi-ÛÔ ÙÔ˘ ‰›Ô˘ Ù·¯‡ÙËÙ·˜ fiÛÔ Î·È Ù˘ η̇Ï˘ C.

M ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Stokes, Â¿Ó Ë Î·Ì‡ÏË C ÂÚÈ-ÎÏ›ÂÈ ÌÈ· ·ÏÒ˜-Û˘ÓÂÎÙÈ΋ ÂÚÈÔ¯‹, ÙÔ ÂÈη̇ÏÈÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ÌÂÙ·ÙÚ¤ÂÙ·È Û ÂÈÊ·ÓÂÈ·Îfi ˆ˜

I (C) =�

C

v ñ dx = C

vi dxi ,

C

n

>

S

C2

C1

vdx

CdS

n

>

ÁÚ·ÌÌ‹ Ú¢ÛÙÔ‡C = C1 + (– C2)

ΛÓËÛË ÙÂÚ˘Á›Ô˘

61

(2)

fiÔ˘ S Â›Ó·È Î¿ı ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÛÙÔ Ú¢ÛÙfi Ô˘ ÂÚÈÎÏ›ÂÙ·È ·fi ÙËÓη̇ÏË C, Î·È (ÌÂ Û˘ÓÈÛÙÒÛ˜ ni) Â›Ó·È ÙÔ ÌÔÓ·‰È·›Ô οıÂÙÔÚÔ˜ Ù· ¤Íˆ ‰È¿Ó˘ÛÌ· Û οı ÛËÌÂ›Ô Ù˘ S. H ÔÛfiÙËÙ· curl vÂ›Ó·È Ë ÛÙÚÔ‚ÈÏfiÙËÙ· ÙÔ˘ ‰›Ô˘ Ù·¯‡ÙËÙ·˜ Î·È ‰›ÓÂÙ·È ˆ˜

O ÓfiÌÔ˜ ÌÂÙ·‚ÔÏ‹˜ Ù˘ ΢ÎÏÔÊÔÚ›·˜ Ì ÙÔÓ ¯ÚfiÓÔ, fiÙ·Ó Ë Î·-̇ÏË C Â›Ó·È Ì›· ÁÚ·ÌÌ‹ Ú¢ÛÙÔ‡ (‰ËÏ. ÁÚ·ÌÌ‹ Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘ÓÙ· ›‰È· ¿ÓÙ· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ Ú¢ÛÙÔ‡ ηıÒ˜ ·ÏÏ¿˙ÂÈ Ô ¯ÚfiÓÔ˜), ‰›-ÓÂÙ·È ·fi ÙÔ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ ıÂÒÚËÌ·.

£ÂÒÚËÌ· Kelvin

E¿Ó ÙÔ Ú¢ÛÙfi Â›Ó·È ¯ˆÚ›˜ ÙÚÈ‚¤˜ (‰ËÏ. ‰ÂÓ ·Ó·Ù‡ÛÛÔÓÙ·È ‰È·-ÙÌËÙÈΤ˜ Ù¿ÛÂȘ ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘) Î·È ÔÈ Î·ıÔÏÈΤ˜ ‰˘Ó¿ÌÂȘ ›-Ó·È Û˘ÓÙËÚËÙÈΤ˜ (‰ËÏ. ÚÔ¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ‰˘Ó·ÌÈÎfi, .¯. ÙÔ ‰˘Ó·ÌÈ-Îfi Ù˘ ‚·Ú‡ÙËÙ·˜), ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ

Afi‰ÂÈÍË: Afi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· Reynolds ¤¯Ô˘ÌÂ

(3)

EÂȉ‹ ÙÒÚ· ÈÛ¯‡ÂÈ D (dxi) / Dt = dvi Î·È ÂÂȉ‹

·fi ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÎÈÓ‹Ûˆ˜, ¤¯Ô˘ÌÂ

Dvi

Dt = 1

Ú f i – ∂p

∂xi

DDt

C

vi dxi = C

DDt

(vi dxi) = C

Dvi

Dt dxi + vi

D(dxi)

Dt .

DIDt

= – C

dpÚ

.

� × v = ∂vz

∂y –

∂vy

∂z i +

∂vx

∂z –

∂vz

∂x j +

∂vy

∂zx –

∂vx

∂y k .

n

I (C) = S

n ñ (� × v ) dS = S

(curl v ) i n i dS,

62

(4)

fiÔ˘ ÌÔÚ› Ó· ·Ú·ÙËÚ‹ÛÂÈ Î·Ó›˜ ÛÙÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô ̤ÏÔ˜ fiÙÈ Ô‰Â‡ÙÂÚÔ˜ fiÚÔ˜ ÌˉÂÓ›˙ÂÙ·È ÁÈ· Û˘ÓÙËÚËÙÈÎfi ‰›Ô f i Î·È fiÙÈ Ô ÙÚ›-ÙÔ˜ fiÚÔ˜ ›Û˘ ÌˉÂÓ›˙ÂÙ·È ÂÂȉ‹ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË v Â›Ó·È ÌÔÓfiÙÈÌËÎ·È Ë Î·Ì‡ÏË C Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙ‹.

ñ ¶ÂÚ·ÈÙ¤Úˆ, ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· Kelvin ÂÍ¿ÁÂÙ·È ˆ˜ ÂȉÈ΋ ÂÚ›-ÙˆÛË ÙÔ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ ıÂÒÚËÌ·.

£ÂÒÚËÌ· Helmholtz

E¿Ó ÂÈϤÔÓ ÙˆÓ Û˘ÓıËÎÒÓ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Kelvin ˘ÔÙÂıÂ›Î·È fiÙÈ Ë ˘ÎÓfiÙËÙ· ÙÔ˘ Ú¢ÛÙÔ‡ Ú Â›Ó·È ÌÔÓ·‰È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ù˘·ÛÎÔ‡ÌÂÓ˘ ȤÛˆ˜ p (ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ‰ËÏ. ÌfiÓÔ ·fi ÙËÓ ›ÂÛË – ¤Ó·Ù¤ÙÔÈÔ Ú¢ÛÙfi ηÏÂ›Ù·È ‚·ÚÔÙÚÔÈÎfi – barotropic), ÙfiÙ DI /Dt = 0.

[™ËÌ›ˆÛË: °È· ‚·ÚÔÙÚÔÈÎfi Ú¢ÛÙfi ÈÛ¯‡ÂÈ p = p (Ú) ηÈÚ = Ú (p). ¶.¯. p = ‚ÚÁ, fiÔ˘ ‚ Î·È Á Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ¤˜].

Afi‰ÂÈÍË: MÔÚ› Ó· ·Ú·ÙËÚ‹ÛÂÈ Î·Ó›˜ ·Ì¤Ûˆ˜ fiÙÈ ÙÔ ·Óˆ-

Ù¤Úˆ ıÂÒÚËÌ· ÈÛ¯‡ÂÈ Î·ıfiÛÔÓ ÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ ÌˉÂÓ›˙Â-

Ù·È ÏfiÁˆ ÙÔ˘ fi,ÙÈ Ë ÚÔ˜ ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Û˘Ó¿ÚÙËÛË Â›Ó·È ÌÔÓfiÙÈÌËÎ·È Ë Î·Ì‡ÏË C Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙ‹.

¶·Ú·Ù‹ÚËÛË: ™Â ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ Ú¢ÛÙÒÓ, Ë ˘ÎÓfiÙËÙ·Ú ‰ÂÓ ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ÌfiÓÔÓ ·fi ÙËÓ ›ÂÛË p ·ÏÏ¿ Î·È ·fi ÙËÓ ı¤ÛËÙÔ˘ ˘’ fi„ÈÓ ÛËÌ›Ԣ (.¯. ÂÚ›ÙˆÛË ÛÙÚˆÙ‹˜ ÚÔ‹˜) Î·È ÙËÓ ıÂÚ-ÌÔÎÚ·Û›·.

™˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù· ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ Helmholtz:

EÂȉ‹ I = ÛÙ·ı., Â¿Ó Ë Î˘ÎÏÔÊÔÚ›· ÌˉÂÓ›˙ÂÙ·È ÁÈ· οÔÈ· ¯ÚÔ-ÓÈ΋ ÛÙÈÁÌ‹ ı· Ú¤ÂÈ Ó· ÌˉÂÓ›˙ÂÙ·È Î·È ÁÈ· fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ ÂfiÌÂ-

C

dpÚ (p )

= – C

1Ú

dp + C

f i

Ú dxi +

C

dv2,

DIDt

= C

1Ú

f i – ∂p

∂xi

dxi + vi dvi =

63

ÓÔ˘˜ ¯ÚfiÓÔ˘˜. A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ, ÏfiÁˆ Ù˘ EÍ. (2), Â¿Ó Ì›· ÚÔ‹‹Ù·Ó ·Ú¯Èο ·ÛÙÚfi‚ÈÏË ı· ·Ú·Ì›ÓÂÈ Î·È Û ÂfiÌÂÓÔ˘˜ ¯ÚfiÓÔ˘˜·ÛÙÚfi‚ÈÏË.

°ÂÓÈο ›Û˘, Û ¤Ó· ‚·ÚÔÙÚÔÈÎfi Î·È ¯ˆÚ›˜ ÙÚÈ‚¤˜ Ú¢ÛÙfi, ÔÚ˘ıÌfi˜ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹˜ (spin – ÛÙÚÔ‚ÈÏÈÛÌfi˜) ·Ú·Ì¤ÓÂÈ ÛÙ·ıÂÚfi˜Ì ÙÔÓ ¯ÚfiÓÔ.

T· ·ÓˆÙ¤Úˆ ¤¯Ô˘Ó ȉȷ›ÙÂÚË ÛËÌ·Û›· ÛÙËÓ £ÂˆÚ›· OÚÈ·ÎÔ‡™ÙÚÒÌ·ÙÔ˜ (boundary layer theory) fiÔ˘ Á›ÓÂÙ·È ‰È·¯ˆÚÈÛÌfi˜ Ù˘ÚÔ‹˜ Û ÂÚÈÔ¯¤˜ ·ÛÙÚfi‚ÈÏ˘ Î·È ÈÍÒ‰Ô˘˜ ÚÔ‹˜.

64

10. ¢IA¢O™H AKOY™TIKøN KYMATøN ™E PEY™TA

H ‰È¿‰ÔÛË ·ÎÔ˘ÛÙÈÎÒÓ Î˘Ì¿ÙˆÓ (‰È¿‰ÔÛË ÙÔ˘ ‹¯Ô˘) ÌÔÚ› Ó·ÚÔÛÂÁÁÈÛı› ıˆÚÒÓÙ·˜ ÙËÓ ‰È¿‰ÔÛË ·ÂÈÚÔÛÙÒÓ ‰È·Ù·Ú·¯ÒÓ ÛÂÛ˘ÌÈÂÛÙ¿ Ú¢ÛÙ¿ ¯ˆÚ›˜ ÈÍ҉˜ (¯ˆÚ›˜ ÙÚÈ‚¤˜ - inviscid fluids).ŒÙÛÈ, ÛÙËÓ ÂÓfiÙËÙ· ·˘Ù‹ ·›ÚÂÙ·È Ë ˘fiıÂÛË Ù˘ ·Û˘ÌÈÂÛÙfiÙËÙ·˜:DÚ / Dt � 0.

°È· Ú¢ÛÙfi ¯ˆÚ›˜ ÈÍ҉˜ Î·È ·ÌÂÏÒÓÙ·˜ ηıÔÏÈΤ˜ ‰˘Ó¿ÌÂȘ(‚·Ú‡ÙËÙ·), ÔÈ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÎÈÓ‹Ûˆ˜ (Ô˘ ÚÔ¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ÙËÓAÚ¯‹ ¢È·ÙËÚ‹Ûˆ˜ Ù˘ OÚÌ‹˜) ÁÚ¿ÊÔÓÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜

(1)

YÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ Ú¢ÛÙfi ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ·Ú¯Èο Û ËÚÂÌ›· ÌÂ

(2)

K·ÙfiÈÓ, ÙÔ Ú¢ÛÙfi ‰È·Ù·Ú¿ÛÛÂÙ·È ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ӷ ¤¯Ô˘ÌÂ

(3)

E¿Ó ÔÈ EÍ. (3) ·ÓÙÈηٷÛÙ·ıÔ‡Ó ÛÙËÓ (1) ¤¯Ô˘ÌÂ

(4)

£· ıˆڋÛÔ˘Ì ÂÚ·ÈÙ¤Úˆ ·ÂÈÚÔÛÙ¤˜ ‰È·Ù·Ú·¯¤˜ (‰ËÏ. ÌÈÎÚ‹·Ú·ÌfiÚʈÛË ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘ Ú¢ÛÙÔ‡ Á‡Úˆ ·fi ÙËÓ ı¤ÛËËÚÂÌ›·˜). ŒÙÛÈ ÌÔÚԇ̠ӷ ·ÌÂÏ‹ÛÔ˘Ì ÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜

Î·È ÛÙËÓ EÍ. (4), Ì ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÙËÓ ÁÚ·ÌÌÈÎÔÔÈË̤ÓË

Û¯¤ÛË

(5)∂ vi

∂ t = – 1

Ú 0

∂ p

∂xi

.

( Ú /Ú 0)

vj ( ∂ vi / ∂xj )

∂ vi

∂ t + vj

∂ vi

∂xj

= – 1

Ú 0 1 + ÚÚ 0

∂ p

∂xi

.

vi = vi (x , t), Ú = Ú 0 + Ú (x , t), p = p 0 + p (x , t).

vi = 0 , Ú = Ú 0, p = p 0 (ÁÈ· t = 0 ).

∂vi

∂ t + vj

∂vi

∂xj

= – 1Ú

∂p

∂xi

.

65

OÌÔ›ˆ˜, ıˆÚÒÓÙ·˜ ÙËÓ ¢È·Ù‹ÚËÛË Ù˘ M¿˙·˜ Ï·Ì‚¿ÓÔ˘ÌÂ

(6)

·fi ÙËÓ ÔÔ›· ÂÍ¿ÁÂÙ·È Ë ·ÎfiÏÔ˘ıË ÁÚ·ÌÌÈÎÔÔÈË̤ÓË Â͛ۈÛË

(7)

AÎÔÏÔ‡ıˆ˜, ‰È·ÊÔÚ›˙ÔÓÙ·˜ ÙËÓ EÍ. (5) ˆ˜ ÚÔ˜ xi Î·È ÙËÓ EÍ.(7) ˆ˜ ÚÔ˜ t, Î·È ··Ï›ÊÔÓÙ·˜ ÙÔÓ fiÚÔ ÌÂÙ·Í‡ÙˆÓ ‰‡Ô Û¯¤ÛÂˆÓ Ï·Ì‚¿ÓÔ˘ÌÂ

(8)

fiÔ˘

™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÙÒÚ· ‚·ÚÔÙÚÔÈÎÔ‡ Ú¢ÛÙÔ‡ (fiÔ˘ Ë ›ÂÛËÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ÌfiÓÔÓ ·fi ÙËÓ ˘ÎÓfiÙËÙ·) ÌÔÚ› Ó· ÁÚ·Ê› p = p (Ú)Î·È Ì ·Ó¿Ù˘ÍË Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ p (Ú) Û ÛÂÈÚ¿ Taylor ˆ˜ ÚÔ˜ÙËÓ ÙÈÌ‹ Ù˘ ȤÛˆ˜ ÛÙËÓ ı¤ÛË ËÚÂÌ›·˜, ¤¯Ô˘ÌÂ

(9)

AÌÂÏÒÓÙ·˜ fiÚÔ˘˜ ·ÓˆÙ¤Ú·˜ ٿ͈˜ (ÛÂ Û˘Ó¤ÂÈ· Ì ÙȘ ÚÔË-ÁÔ‡ÌÂÓ˜ ÁÚ·ÌÌÈÎÔÔÈ‹ÛÂȘ) ¤¯Ô˘ÌÂ

(10)

fiÔ˘

(11)

ŒÙÛÈ, Û˘Ó‰˘¿˙ÔÓÙ·˜ ÙȘ EÍ. (8) Î·È (10) Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì ÙȘ ÂÍ‹˜‰‡Ô Î˘Ì·ÙÈΤ˜ ÂÍÈÛÒÛÂȘ Ô˘ ‰È¤Ô˘Ó ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ·ÂÈÚÔÛÙÒӉȷٷڷ¯ÒÓ Û ‚·ÚÔÙÚÔÈο Û˘ÌÈÂÛÙ¿ Ú¢ÛÙ¿

c 0 = dpdÚ

Ú0

1/ 2

.

p = c 02 Ú ,

p = p 0 + dpdÚ

Ú0

ñ (Ú – Ú 0) + . . . .

�2 ( ) � ∂ 2 ( )

∂xi ∂xi

= ∂ 2 ( )

∂x12

+ ∂ 2 ( )

∂x22

+ ∂ 2 ( )

∂x32

.

∂ 2 p

∂xi ∂xi

= ∂ 2 Ú

∂ t2 ‹ � 2 p = ∂ 2 Ú

∂ t2 ,

(∂ 2 vi / ∂xi ∂ t)

∂ vi

∂xi

= – 1Ú 0

∂ Ú

∂ t .

∂ Ú

∂ t + vi

∂ Ú

∂xi

+ Ú 0 1 + ÚÚ 0

∂ vi

∂xi

= 0 ,

66

(12)

(13)

§‡ÛË D’ Alembert Ù˘ Î˘Ì·ÙÈ΋˜ ÂÍÈÛÒÛˆ˜

£ÂˆÚԇ̠ÙËÓ Â͛ۈÛË

(14)

EÈÛ¿ÁÔÓÙ·È ÔÈ Ó¤Â˜ ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ˜ ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜ (Í, Ë) ˆ˜

(14·, ‚)

ÂÓÒ ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ

(15·, ‚)

¶ÂÚ·ÈÙ¤Úˆ ¤¯Ô˘ÌÂ

(16)

ÂÓÒ Ë EÍ. (16) Ì ‰È·ÊfiÚÈÛË Î·È Î·ÓfiÓ· ·Ï˘Û›‰·˜ Á›ÓÂÙ·È

(17)

OÌÔ›ˆ˜

(18)

Afi ÙȘ EÍ. (12), (17) Î·È (18) Ï·Ì‚¿ÓÔ˘ÌÂ

(19)

Ë ÔÔ›· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î·ÓÔÓÈ΋ ÌÔÚÊ‹ Î·È ÌÔÚ› Ó· ‰ÒÛÂÈ ÙËÓ ÁÂÓÈ-΋ χÛË Ì ‰‡Ô ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÔÏÔÎÏËÚÒÛÂȘ

˙ ËÍ = 0 ‹ ∂˙

∂Ë ∂Í = 0 ,

˙ t t = c 2 (˙ ËË – 2 ˙ ËÍ + ˙ Í Í).

˙ x x = (˙ Ë + ˙ Í)x = (˙ Ë + ˙ Í)Ë Ë x + (˙ Ë + ˙ Í)Í Íx = ˙ ËË + 2 ˙ ËÍ + ˙ Í Í .

˙ x = ˙ Ë Ë x + ˙ Í Íx = ˙ Ë + ˙ Í ,

∂Ë

∂x � Ë x = 1 , ∂Í

∂x � Íx = 1 .

Í = x – c t, Ë = x + c t,

∂ 2 ˙

∂x2 = 1

c 2 ∂ 2 ˙

∂ t2 .

�2 Ú = 1

c 02 ∂ 2 Ú

∂ t2 .

�2 p = 1

c 02 ∂ 2 p

∂ t2 ,

67

OfiÙ ÙÂÏÈο Ë Ï‡ÛË (χÛË D’ Alembert) ÁÚ¿ÊÂÙ·È ˆ˜

(20)

OÈ ·˘ı·›ÚÂÙ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÌÔÚ› Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛıÔ‡Ó Ì¤ÛˆÙˆÓ ·Ú¯ÈÎÒÓ Û˘ÓıËÎÒÓ. ¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È fiÙÈ

(21)

fiÔ˘

(22·, ‚)

ct

x

n = ÛÙ·ı.

Í = Û

Ù·ı.

ϤÁÌ· ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈÎÒÓ ÁÚ·ÌÌÒÓÁÈ· ÙËÓ EÍ. (14)

˙ (x, t = 0 ) = f (x), ∂˙ (x, t = 0 )

∂ t = g (x).

˙ (x, t) = 12

[f (x + c t) + f (x – ct)] + 12 c

x – ct

x + ct

g (s) ds,

˙ = Ê (Ë ) + „ (Í) ‹ ˙ = Ê (x + c t) + „ (x – c t).

˙ = F (Ë ) dË

Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ê(Ë)

+ „ (Í)

·˘ı·›ÚÂÙËÛ˘Ó¿ÚÙËÛË

.

EÍ. (19 ) ÔÏÔÎÏ. ˆ˜ ÚÔ˜ Í ∂˙

∂Ë = F (Ë )

·˘ı·›ÚÂÙËÛ˘Ó¿ÚÙËÛË

ÔÏÔÎÏ. ˆ˜ ÚÔ˜ Ë

68

¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ·: N· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛı› Ë Ï‡ÛË Ù˘ Î˘Ì·ÙÈ΋˜ ÂÍÈÛÒÛˆ˜ÛÙÔ Â‰›Ô – � � x � � ÁÈ· ÙȘ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ ·Ú¯ÈΤ˜ Û˘Óı‹Î˜

fiÔ˘ H (x) Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË Heaviside.H χÛË D’ Alembert ‰›ÓÂÈ

Ì ÙËÓ ·ÎfiÏÔ˘ıË Û¯ËÌ·ÙÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ Î˘Ì·ÙÈ΋˜ ‰È·‰fiÛˆ˜

˙

x

x

x

x

x

t = 0

t = a/2c

t = a/c

t = 3a/2c

t = 2a/c

˙ (x, t) = 12

[H(x – c t + a) – H(x – c t – a) + H(x + c t + a) – H(x + c t – a)]

g (x) = 0 ,

f (x) = H (x + a) – H (x – a) = � 1 ÁÈ· x � a

0 ÁÈ· x � a ,

69