himmelsmechanik celestial mechanics - tu braunschweig
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Max-Planck-Institut fur KernphysikSaupfercheckweg 169117 Heidelberg
HimmelsmechanikCelestial Mechanics
Sascha Kempf
TU BraunschweigSommersemester 2004
Literatur Text books
• C.D. Murray und S.F. Dermott (1999).Solar System Dynamics(Camebridge UniversityPress, Camebridge)
• J.M.A. Danby (1988).Fundamentals of Celestial Mechanics()Willmann-Bell, Richmond)
• D. Brouwer und G.M. Clemence (1961).Methods of Celectial Mechanics(Academic Press,New York)
• A.E. Roy (1988).Orbital Motion (Adam Hilger, Bristol)
• O. Montenbruck (2001).Grundlagen der Ephemeridenrechnung(Sterne und Weltraum, Hei-delberg)
• A. Guthmann (2000).Einfuhrung in die Himmelsmechanik und Ephemeridenrechnung(Spek-trum, Heidelberg)
• H. Bucerius (1966).Vorlesunguber Himmelsmechanik(BI, Mannheim)
• C. L. Siegel (1956).Vorlesunguber Himmelsmechanik(Springer, Berlin)
• E. Grun, B. Gustafson, S. Dermott und H. Fechtig (Ed.) (2001).Interplanetary Dust(Springer, Heidelberg)
• L.D. Landau und E.M. Lifschitz (1997).Lehrbuch der theoretischen Physik, Bd. 1, Mechanik(Harry Deutsch Verlag)
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1 Der Ursprungder Himmels-mechnik
The origin of theCelestialMechanics
Die Himmelsmechnik ist diealteste wissen-schaftliche Disziplin der Menschen und hatihren Ursprung in astrologischeUberlegun-gen. Die Antike kannte 7 bewegliche Him-melskorper. Da Sonne und Mond das Lebender Menschen unmittelbar beeinflussten, folger-te man fur die weiteren ”Wandelsterne” einewesentlich subtilere Auswirkung.
The celestial mechanics is the oldest naturalscience of humankind and originated from as-trological considerations. The antiquity knewseven celestial bodies performing an apparentmotion on the sky. Since of the great impor-tance of Sun and Moon for the daily life it wasconcluded that the influence of the other ”plan-ets” is more subtle.
408 - 347 v. Chr.: Eudoxus von Cnidusfuhrte erstmals ein mathematisches Modellzur Beschreibung der Planetenbewegung ein(Spharenmodell).
408 - 347 BC:Eudoxus von Cniduswas thefirst who introduced a mathematical model todescribe the orbital motion of the planets.
∼ 290v. Chr.: Aristyllus undTimocharis fer-tigen in Alexandria anhand ihrer Prazisions-messungen den ersten Sternkatalog an.
∼ 290BC: Aristillus andTimocharis preparedthe first star catalogue based on their precise as-tronomical observations.
320 - 250 v. Chr.: Aristarch beschrieb,wie die Entfernung der Sonne durch Beob-achtung von Sonnenfinsternissen, Mondfins-ternissen und der Zeit des Halbmondes be-stimmt werden kann. Er folgerte, das die Sonnegroßer als die Erde sei und schlug deshalb dieSonne als Zentrum vor.
310 - 230 BC:Aristarchus described a methodto determine the distance between Earth andSun based upon solar eclipses, lunar eclipses,and the time of crescent. He concluded that theSun is greater than the Moon. For this reason heproposed the Sun to be at the centre of teh solarsystem.
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276 - 194 v. Chr.:Eratosthenesfuhrte in Alex-andria die Arbeit von Aristyllus und Timocharisfort und stellte einen Katalog mit 700 Sternenauf. Weiterhin bestimmte er den Erdumfang undzeigte, daß Eudoxos’ Sphahremodell die Plane-tenbewegung nicht exakt beschreibt.
276 - 194 BC:Eratosthenes. He calculated theEarth’ circumfence and showed that Eudoxos’model does not describe the planetary motionsexactly.
262 - 190 v. Chr.:Apollonius von Pergafuhr-te das Konzept der Epizyklen zur Eklarung derscheinbaren Planetenbewegung ein.
262 - 190 BC:Apollonius of Perga introducedthe concept of epicycles to explain the apparentmotion of the planets.
190 - 120 v. Chr.:Hipparch war der großteAstronom des Altertums. Er bestimmte als Er-ster die Prazession derAquinoktien mit 1 proJahrhundert. Weiterhin zeigte er, daß die Lageder Erdachse nicht raumstabil ist.
190 - 120 BC:Hipparchus is considered thegreatest astronomical observer of the antiquity.He was the first to measure the precession of theequinoxes of 1 per century. He also showedthat the Earth’s axis is not fixed in space.
85 - 165: Claudius Ptolemaus war der Au-tor des einflußreichsten Buchs des Altertums- des ”Almagest” (die ”Große Zusammenstel-lung”). Das Buch faßte das vollstandige Wissender griechischen Astronomie zusammen undenthielt die Formulierung eines geozentrischenWeltbilds, welches bis zur KopernikanischenWende als das allein richtige angesehen wurde.
85 - 165: Ptolemy was the athour of the mostinfluential book of the antiquity – the ”Al-magest” (the ”Great Treatease”). This bookcompiled the complete knowledge of the greekastronomy and included a geocentric modelwhich was the prevailing view until the Coper-nican revolution.
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2 Das 2-Korper-Problem
TheTwo-Body-Problem
2.1 Bahngleichung Orbital position
Betrachten wir die Bewegung der zweier gra-vitativ wechselwirkender Korperm1 undm2 anden Ortenr1 und r2. Da die potentielle Ener-gieU der beiden Korper nur von ihrem Abstandabhangt, lautet ihre LAGRANGE-Funktion
Let us consider the motion of two gravitation-ally interacting bodiesm1 andm2 located atr1
andr2. Since the potential energy depends onlyupon the separation between the bodies the La-grangian is given by
L =m1
2r2
1 +m2
2r2
2−U(|r1− r2|)
mit U(r) = −Gm1m2r−1 und der Gravitations-konstanteG = 6.67260·10−11Nm2kg−2.
whereU(r) = −Gm1m2r−1 andG = 6.67260·10−11Nm2kg−2 is the gravitational constant.
Legt man den Koordinatenursprung in denSchwerpunkt, d.h.r1m1 + r2m2 = 0, ergibt sich
Choosing the coordinate system to be centred atthe centre of mass, i.e.r1m1 + r2m2 = 0, leadsto
L =m2
r2−U(r). (2.1)
Hier sind r = r1− r2 der Abstandsvektor derbeiden Korper undm= m1m2/m1 + m2 die re-duzierte Masse. Aus der Definition des Koordi-natensystems folgt dann
Here,r = r1− r2 andm = m1m2/m1 + m2 aredenoting the separation vector ofm1 and m2
and their reduced mass, respectively. It followsfrom the definition of the coordinate system that
r1 =m2
m1 +m2r und r2 =− m1
m1 +m2r (2.2)
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Das Problem der relativen Bewegung zweierKorper wurde formal auf das Problem der Be-wegung eines Korpers der Massem in dem Zen-tralfeldU(r) zuruckgefuhrt.
Formally, the problem of the relative motion be-tween two bodies was reduced to treat the mo-tion of a body with the massm within a centralfield U(r).
Zentralfeldprobleme haben die wichtige Eigen-schaft, daß hier der auf das Zentrum bezo-gene DrehimpulsJ erhalten bleibt, weshalbder Bahnvektorr des Teilchens stets in derEbene senkrecht zuJ bleibt. Dies kann manauch folgendermaßen sehen: Bestimmt man ausGl. (2.1) die aufm wirkende Kraft mr = ∂L
∂rund bildet das Vektorprodukt mitr , ergibt sichr × r = 0 und nach Integrationr × r = c. Folg-lich steht der Ortsvektorr stets senkrecht aufdem konstanten Vectorc.
For motions within a central field the spinJmeasured with respect to the field centre is con-served. This implies that themotion is con-strained to the plane perpendicular toJ . Thiscan be seen as follows: Deriving the forcemr =∂L∂r acting onm via Eq. (2.1) and taking the vec-tor product withr one yieldsr × r = 0. Inte-grating this expression givesr × r = c. Thus,the position vectorr is always perpendicular tothe constant vectorc.
Es ist folglich ausreichend, die Bewegung ei-nes Teilchens in der Ebene zu betrachten. NachEinfhrung von Polarkoordinatenr, θ bezogenauf das Feldzentrum (dem sogenannten Bary-zentrum) lautet die LAGRANGE-Funktion
Thus, it is sufficient to consider the motion ofa particle within a 2D plane. After introduc-ing polar coordinates with the respect to thefield centre (the so-called barycentre) the Lan-grangian writes as
L =m2
(r2 + r2θ2)+
µmr
,
wobeiµ = G(m1 +m2). L enthalt θ nicht in ex-pliziter Form -θ ist einezyklischeKoordinate.Das bedeuted, daß fur den zugehorigen Impulspθ das Bewegungsintegral
with µ= G(m1 +m2). SinceL does not dependuponθ explicitly, θ is a so-calledcyclic coordi-nate. This means that the corresponding generalmomentumpθ
pθ =∂L
∂θ= mr2θ (2.3)
c
r(t)dA
r(t+dt)
drFigure 2.1: Zusammenhang zwischen dem Drehimpulserhalts und derKonstanz der FlachengeschwindigkeitA.
Relationship between the conservation of the orbital spin and theconservation of the areal velocityA.
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e p E
Kreis 0 a < 0 circleEllipse 0. . .1 a(1−e2) < 0 ellipseParabel 1 2q 0 parabolaHyperbel > 1 a(e2−1) > 0 hyperbola
Table 2.1: Parameter der Kegelschnitte. Parameters of the conics.
existiert. Hieraus folgt nun unmittelbar derKEPLERsche Flachensatz:
is a constant of motion. This finding immedi-ately implies KEPLER’s second law:
pθ = mr2θ = 2m1dt
(12r · r dθ
)= 2mA = const. (2.4)
Der AusdruckdA = 12r · r dθ ist die Sektor-
flache, welche vom Radiusvektor innerhalb desZeitintervalls dt uberstrichen wird. Folglichgilt: Der Radiusvektor eines Massenpunktesuberstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flachen.
Here, the expressiondA= 12r · r dθ is the sector
area swept out by the radius vector in a timedt. Hence:equal areas are swept out in equaltimes.
Die Trajektorie des Korpers erhalt man am ein-fachsten aus den Erhaltungssatzen den Drehim-puls und fur die Energie
The body’s trajectory is obtained at simplest bystarting with the conversation laws for the or-bital spin and for the energy
E = r∂L∂r
+ θ∂L
∂θ−L =
m2
r2 +p2
θ2mr2
− µmr
(2.5)
ausgeht. Aus dem letzten Ausdruck erhalt man The last expression gives
dt =[
2m
(E +
µmr
)−
p2θ
m2r2
]−12
dr (2.6)
und aus Gl. (2.3) folgt nach Einsetzen vondt and using Gl. (2.3), we can write
dθ =pθ
mr2dt =
pθmr2
[2m
(E +
µmr
)−
p2θ
m2r2
]−12
dr (2.7)
und nach Integration and after integration
θ = arccos
[pθr− m2µ
pθ
][2mE+
m4µ2
p2θ
]−12
+const. (2.8)
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Hieraus folgt die Bahngleichung des KEPLER-Problems
From here follows the orbit equation of the KE-PLER problem
r =p
1+ecos(θ−ϖ), (2.9)
wobei where
p =p2
θm2µ
und e=(
1+2E p2
θm3µ2
)12
(2.10)
das sogenanntesemilatus rectumund die Ex-zentritat der Bahn bezeichnen. Die Phaseϖwird als Lange des Perizentrumssowie θ alswahre Langebezeichnet. Der Winkelf = θ−ϖist diewahre Anomalie.
are the so-calledsemilatus rectumand the ec-centricity of the orbit. The phaseϖ andθ arecalled thelongitude of the pericentreand trueanomaly, respectively. The anglef = θ−ϖ isthetrue anomaly.
Gl. (2.9) ist die Gleichung eines Kegelschnittesmit dem Koordinatenursprung im Brennpunkt.Fur E < 0 bewegt sich der Korper auf einer El-lipse, wahrend fur E < 0 die Trajektorie eineHyperbel sowie fur E = 0 eine Parabel ist (sie-he Tab. (2.1)).
Eq. (2.9) is the general equation of a conic withthe origin of the coordinate system in its focus.For E < 0 the body moves in a elliptical orbitwhile for E < 0 a hyperbola results and forE =0 a parabola results (see Tab. (2.1)).
2.2 Die elliptische Bahn The elliptic orbit
Bewegt sich der Korper auf einer Ellipse, souberstreicht sein Ortsvektor wahrend eines Um-laufs die FlacheA = πab, wobei a und b =a√
1−e2 die große bzw. kleine Ellipsenhalb-achse sind. Damit folgt aus dem Flachensatz(2.4) und Gl. (2.10) das dritte KEPLERsche Ge-setz:
The area swept out by the radius vector of abody moving in an elliptic orbit per revolutionis A = πab, wherea andb = a
√1−e2 are the
semimajor axis and the semiminor axis, respec-tively. Hence by Eq. (2.4) and (2.10), it followsKEPLER’s third law:
T2 =4π2
µa3 =
m3µ2π2
2|E|3. (2.11)
Eine wichtige Schlußfolgerung ist, daß die Um-laufzeit T nur von der Energie des Korpersabhangt. Die Energie wiederum ist nur eineFunktion der großen Halbachse
This is an important relationship that shows thatthe orbital period T depends only upon the en-ergy of the body. The energy, on the other hand,is only a function of the semi-major axis
E =−µm2a
. (2.12)
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b1F2
P
p
ae
a(1+e)
f
a(1−e)
a
F
Figure 2.2: Fig. 2.2Der Urspung der elliptischen Bahn befindetsich in einem der beiden BrennpunkteF1 oder F2. Fur jedenbeliebigen Bahnpunkt P ist die Summe der Abstande zu denbeiden Brennpunkten konstant (F1P+F2P = 2a).
The origin of the elliptic orbit is one of the fociF1 or F2.For any point P on the elliptic orbit is the sum of the distances tothe focal points a constant value (F1P+F2P = 2a).
Wirken auf den Korper zusatzlichekonservativeKrafte ein, sobleibt die große Halbachse a sei-ner Bahn erhalten(siehe Beispiel)!
As a consequence, the semi-major axis is pre-served as long as there are onlyconservativeforces acting on the body (see example)!
Der Energieerhalt des Systems bedingt dasE =m(1
2v2− µr ), woraus die Beziehung fur die Ge-
schwindigkeit folgt
From the energy conservation of the system fol-lows thatE = m(1
2v2− µr ), what gives the rela-
tion for the body’s velocity
v2 = µ
(2r− 1
a
). (2.13)
Offensichtlich is die Geschwindigkeit im Peri-zentrum
It is seen that at pericentre,
v2p = v2(a(1−e)) =
µa
(1+e1−e
)(2.14)
am großten und im Apozentrum is greatest, while at apocentre,
v2a = v2(a(1+e)) =
µa
(1−e1+e
)(2.15)
am kleinsten. is least.
Fur die folgenden Anwendungen ist eine wei-tere Bewegungsgroße nutzlich. Pro Umlaufpe-riode T vergroßert sichθ um 2π, weshalb maneine ”mittlere”Winkelgeschwindigkeit – die so-genanntemittlere Bewegungals
For what follows, another quantity is useful tocharacterise the orbital motion. Since the angleθ grows by 2π per orbital period, an ”average”angular velocity – the so-calledmean motion–can be defined as
n =2πT
definieren kann. Daher gilt Thus,
µ= n2a3 undpθm
= h = na2√
1−e2. (2.16)
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2.2.1 Bestimmung derPlanetenmasse
Determination of a planet’s mass
KEPLERs drittes Gesetz erlaubt die Masse ei-nes Planeten aus seinen Orbitalparametern zubestimmen, falls der Planet von einem (kunst-lichen oder naturlichen) Mond umkreist wird.Die Masse des Zentralkorpers seiM mplanet
und die Mondmassemmondsei gegen die Plane-tenmassemplanet vernachlassigbar. Dann folgtaus Eq. (2.11), daß
For any planet that possesses a satellite, eithernatural or artifical, may its mass determinedfrom the satellite’s orbit by means of KEPLER’sthird law. Let the mass of the central objectbeM mplanet, and the satellite’s massmmond
may be neglected compared with the planet’smassmplanet. Then it follows from Eq. (2.11)that
G(M +mplanet)≈GM = n2planeta
3planet und G(mplanet+mmond)≈Gmplanet = n2
monda3mond,
und daher and hence
mplanet≈M
(amond
aplanet
)3(nplanet
nmond
)2
. (2.17)
2.2.2 Baryzentrische Orbits Barycentric orbits
Bisher betrachteten wir die Relativbewegungr = r1 − r2 der Massenm1 und m2, welcheauf ein 1-Korper-Problem zuruckgefuhrt wur-de. Nun sollen die Bahnen der Massenpunktedes 2-Korper-Problems bezogen auf den Mas-senmittelpunkt – dasBaryzentrum– untersuchtwerden. Wir erinnern, daß fur diese Wahl desKoordinatenursprungsr1m1 + r2m2 = 0 gilt.Folglich liegt der Massenmittelpunkt immer aufder Verbindungslinie vonm1 und m2. Offen-sichtlich benotigen beide Korper die gleicheZeit fur einen Umlauf. Daher sind auch ih-re mittleren Bewegungen identisch, obgleich esihre großen Halbachsen nicht sind. Denn ausEq. (2.2) folgt daß
So far we considered only the relative motionof the massesm1 and m2 which correspondswith an 1-body-problem. Now the orbits ofthe 2-body-problem is studied with respect totheir centre of mass, thebarycentre. Recallthat for a centre of mass coordinate systemr1m1+ r2m2 = 0. Therefore, the centre of masslies always on the line connectingm1 andm2.Obviously, each mass needs the same time to or-bit the centre of mass. Consequently, their meanmotions are equal, although there semimajoraxes are not. Since it follows from Eq. (2.2) that
a1 =m2
m1 +m2a und a2 =
m1
m1 +m2a,
10
aber auch but also
h1 =(
m2
m1 +m2
)2
h = na21
√1−e2 und h2 =
(m1
m1 +m2
)2
h = na22
√1−e2.
Folglich sind die Exzentritaten der Bahnenidentisch und somit die Ellipsenahnlich.
Thus, the eccentricities of the orbits are equaland hence the ellipses are similar.
2.2.3 KEPLER-Gleichung KEPLER ’s equation
O
P
Q
ar
RE f
TF
Figure 2.3: Zusammenhang zwischen derwahren Anomalie fund derexzentrischen Anomalie E. Die KEPLER-Ellipse ist voneinem Kreis mit dem Radiusa umschrieben, welcher der großenHalbachse der Ellipse entspricht. Zum Zeitpunktτ des Perizen-trumdurchgangs befand sich der Korper in T, zum Zeitpunktt inP.
Relation between thetrue anomaly f and the eccentricanomaly E. The radiusa of the circumscribed circle is equal to thesemimajor axis of the KEPLER ellipse. At the time of pericentrepassage,τ, the body is at T, while at the timet the body is at P.
Wir wollen nun die Position des Korpers zu ei-ner gegebenen Zeit bestimmen. Die Bahnglei-chung des 2-Korper-Problems (2.9) hangt nichtexplizit von der Zeit ab; wir benotigen dahereinen Ausdruck fur die Zeitabhangigkeit derwahren Anomalief . Nehmen wir an, daß derKorper das Perizentrum zum Zeitpunktτ pas-siert und sich zur Zeitt im Punkt P befindet(siehe Abb. 2.3). Wahrend des Zeitraumst − τhat er dann die FlacheAFTP uberstrichen. Furdas Verhaltnis zwischenAFTP zur Gesamtflacheπab der Ellipse gilt dann aufgrund des drittenKEPLERschen Gesetzes
We now determine the body’s location to agiven time. The obtained equation 2.9 for theorbital position does not depend explicitly fromthe time. Thus, we need to find an expressionfor the time-dependence of the true anomalyf .Let τ be the time of the pericentre passage; andlet P be the body’s position at the timet (seeFig. 2.3). During the periodt− τ, an areaAFTP
has been swept out by the radius vector. Sinceof KEPLER’s third law the ratio ofAFTP and thetotal areaπabof the ellipse is given by
AFTP =πab(t− τ)
T= 1
2abn(t− τ) = 12abM,
wobei M = n(t − τ) die mittlere Anomaliebe-zeichnet.
whereM = n(t− τ) is themean anomaly.
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Die FlacheAFTP wird nun als Anteil an demKreissegmentAOTQ des der Ellipse umschrie-benenexzentrischen Kreisesausgedruckt:
Now we express the areaAFTP as a fraction ofthe sectorAOTQ of the eccentric circle circum-scribed to the ellipse:
AFTP = AFRP+ARTP= AFRP+ba
ARTQ.
Fur den letzten Schritt wurde genutzt, daß zwi-schen Ellipsen und umschrieben Kreisen dieBeziehungRP/RQ = b/a gilt. Nun folgt wei-ter, daß
In the last step we made use of the propertyRP/RQ= b/a of ellipses and eccentric circles.Now
AFTP = AFRP+ba(AOAQ−AORQ) = 1
2r2sin f cosf +ba(1
2a2E− 12a2sinEcosE). (2.18)
Wir benotigen nun noch die Beziehung zwi-schen der wahren Anomalie und dem WinkelE- derexzentrischen Anomalie. Es gilt, daß
Now we need to know the relationship betweenthe true anomalyf and the angleE - the so-calledeccentric anomaly. Since
FR= r cosf = OR−OF= acosE−ae, (2.19)
sowie wiederum aus der BeziehungRP/RQ=b/a
and due to the aformentioned propertyRP/RQ= b/a
r sin f = bsinE = a√
1−e2sinE. (2.20)
Die Summe der Quadrate von Gl. (2.19) und(2.20) ergibt dann
By adding the squares of Eq. (2.19) und (2.20)we have
r = a(1−ecosE), (2.21)
und nach Einsetzen der elliptischen Bahnglei-chung (2.9) erhalt man die gesuchte Beziehungzwischen der wahren und der exzentrischen An-omalie
and after using the definition of the elliptic orbit(2.9) we have the desired relation between thetrue anomaly and the eccentric anomaly
cosf =cosE−e
1−ecosE.
Durch Benutzen der trigonometrischen Bezie-hung fur Doppelwinkel erhalt die Beziehung ih-re endgultige Darstellung
Finally, using the double angle formulae this re-lation can be written as
tanf2
=(
1+e1−e
)1/2
tanE2
. (2.22)
Nach Einsetzen der Beziehung in Gl. (2.18) er-halten wir die sogenannte KEPLER-Gleichung
After substituting the relation into Eq. (2.18) weyield the so-called KEPLER-equation
M = n(t− τ) = E−esinE. (2.23)
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Um die Position des Korpers zur ZeitM = n(t−τ) zu bestimmen, berechnet man aus der KEP-LER-Gleichung (2.23) die entsprechende exzen-trische AnomalieE und bestimmt hiermit denAbstandr mittels Eq. (2.21).
To determine the body’s position at the timeM = n(t− τ) one finds the eccentric anomalyEfrom the KEPLER-equation (2.23) and use thenEq. (2.21) to find the distancer.
2.2.4 Wie l ost man dieKEPLER-Gleichung?
How to solve K EPLER ’sequation?
Die KEPLER-Gleichung ist transzendental,weshalb geschlossene analytische Losungennicht gefunden werden konnen. Es wurden aberzahlreiche iterative und numerische Losungs-verfahren entwickelt. Betrachten wir zuerst deniterativen Ansatz
KEPLER’s equation cannot be solved analyti-cally since this equation is trancendental. How-ever, a large number of iterative and numericalsolutions have been developed. As an examplefor an iterative method we consider the ansatz
Ei+1 = M +esinEi i = 0. . .∞
und dem StartwertE0 = M. Wir nutzen die Win-kelbeziehung
with E0 = M as the first approximation. Usingthe formula
sin(x+y) = sinx cosy+cosx siny
sowie die Taylorreihen and the series expansions
sinx = x− 16
x3 +O(x5) und cosx = 1− 12
x2 +O(x4)
und finden eine Sinus-FOURIERreihe fur E we obtain a FOURIER sine series forE.
E0 = M
E1 = M +esinM
E2 = M +esin(M +esinM)≈M +esinM + 12e2sin(2M)+O(e3)
E3 = M +(e− 18e3)sinM + 1
2e2sin(2M)+ 38e3)sin3M +O(e4)
...
E∞ = M +∞∑
n=1
bn(ne)sin(nM). (2.24)
Die Koeffizientenbn der Sinus-FOURIERreihefur eine ungerade Funktionf (x) haben die Dar-stellung
13
bn =2π
∫ π
0f (x)sin(nx)dx,
weshalb fur f (M) = E(M)−M = esinM folgt
bn =2π
∫ π
0esinE sinnMdM =
2nπ
−esinEcosnM
∣∣∣∣π
0︸ ︷︷ ︸0
−∫ π
0cosnMdM︸ ︷︷ ︸
0
+∫ π
0cosnMdE
,
und nach Ersetzen vonM durch die KEP-LERgleichung
bn =2n
1π
∫ π
0cos(nE−nesinE)dE =
2n
Jn(ne).
Jn(x) ist dien-teBesselfunktion Jn(x) is then-th Bessel function
Jn(x) =∞∑
k=0
(−1)k
k!(n+k)!
(x2
)n+2kn∈ N,
deren ersten Ordnungen lauten: The first couple of orders are
J0(x) = 1− 14
x2 +132
x4 +O(x6),
J1(x) =12
x− 116
x3 +1
384x5 +O(x7),
J2(x) =18
x2− 196
x4 +O(x6),
J3(x) =148
x3− 1786
x5 +O(x7).
Unter Benutzung von Gl. (2.24) findet mannutzliche Reihendarstellungen von weiteren,haufig genutzten Ausdrucken. Im weiteren wer-den einige von ihnen ohne Herleitung angege-ben (diese findet man beispielsweise in Murray& Dermott (1999)):
Using Eq. (2.24) one obtains a number of use-ful series expansions of frequently used expres-sions. Here, we just list some of them withoutany reasoning (the interested reader is referredto Murray & Dermott (1999)):
ra
= 1−ecosM + 12e2(1−cos2M)+ 3
8e3(cosM−cos3M)+O(e4) (2.25)
f −M = 2esinM + 54e2sin2M + 1
4e3(133 sin3M−sinM
)+O(e4) (2.26)
14
1
0E 1E
f(E)
3 E 2
f’(E )
f’(E )
0
E
Figure 2.4: Newton-Raphson-Verfahrenzur numerischen Losung von f (E) = 0.Der verbesserte WertEi+1 ist dann durchden Schnittpunkt der Tangente inf (Ei)mit der Abzisse gegeben. Offensichtlichkonvergiert das Verfahren fur hinreichendgutmutige Funktionen f (E) (wie die KEP-LER-Gleichung) rasch gegen die gesuchteNullstelle.
Newton-Raphson method for solvingf (E) = 0 numerically . The improved solu-tion Ei+1 is given by the point of intersectionof the tangent atf (Ei) with the abscissa.Obviously the method converges rapidly forreasonable functionsf (E) (as the KEPLER
equation).
sin f = sinM +esin2M +e2(98 sin3M− 7
8 sinM)
+e3(43 sin4M− 7
6 sin2M)+O(e4) (2.27)
cosf = cosM +e(cos2M−1)+ 98e2(cos3M−cosM)
+43e3(cos4M−cos2M)+O(e4). (2.28)
Bitte beachten Sie, daß die Fourier-Reihe(2.24) fur e > 0.6627434 divergent ist. Nume-rische Verfahren leiden nicht unter dieser Be-schrankung. Als bekanntestes (und auch ein-fachstes) Beispiel betrachten wir dasNewton-Raphson-Verfahren (siehe Abb. 2.4), welchesdie LosungE∞ als Nullstelle vonf (E) = E−esinE −M = 0 ermittelt. Nach Entwicklungvon f (E) um die StelleEi in eineTaylor-Reihe
Please keep in mind that the Fourier series(2.24) diverges for values ofe > 0.6627434.Numerical methods, however, are not affectedby this limitation. Now we discuss theNewton-Raphsonmethod as the most prominent (and themost simple) example of a numerical solution.Here, we express the solutionE∞ as the rootof f (E) = E−esinE−M = 0. By expandingf (E) into aTaylor series aroundE
f (Ei +δ)≈ f (Ei)+ f ′(Ei)δ+O(δ2) = 0
findet man unter Vernachlassigung von Termender OrdnungO(δ2) das iterative Schema
and by ignoring terms beyond the linear one ob-tains the iterative scheme
Ei +δ = Ei+1 = Ei −f (Ei)f ′(Ei)
i = 1. . .∞. (2.29)
Abb. 2.4 veranschaulicht die geometrische In-terpretation dieser Methode.
Fig. 2.4 depicts the geometrical interpretationof this method.
15
2.2.5 Berechnung von Ort undGeschwindigkeit mittels f-und g-Funktionen
Calculation of position andvelocity by f and g functions
Wir wollen nun eine weitere Darstellung desOrtesr und der Geschwindigkeitv fur die el-liptische Bahn betrachten. Es seienr0 = r(t0)undv0 = v(t0) der Ort und die Geschwindigkeitdes Korpers zum Zeitpunktt0. Dann existierenskalare Funktionenf (t, t0) undg(t, t0), daß
Now we consider a simpler way to calculate theposition and the velocity of an object in Kep-lerian motion. Letr0 = r(t0) andv0 = v(t0) bethe position vector and the velocity vector of theobject at timet0. Then there are scalar functionsf (t, t0) andg(t, t0), so that we can write
rx(t) = f (t, t0)rx0 +g(t, t0)rx0 und ry(t) = f (t, t0)ry0 +g(t, t0)ry0,
und folglich and hence
f (t, t0) =rxry0− ryrx0
rx0ry0− ry0rx0und g(t, t0) =
ryrx0− rxry0
rx0ry0− ry0rx0.
Diese Gleichungen lassen sich unter Nutzungvon cosf = rx/r und sinf = ry/r als Funktio-nen der exzentrischen AnomalieE ausdrucken:
Using cosf = rx/r and sinf = ry/r the equa-tions given above can be expressed as functionsof the eccentric anomalyE
f (t, t0) = ar−10 [cos(E−E0)−1]+1, (2.30)
g(t, t0) = n−1 [sin(E−E0)− (E−E0)]+ t− t0. (2.31)
Der Zusammenhang zwischen der f- und g-Funktion und der Bahngeschwindigkeit ist
The relationship between thef andg functionand the velocity is
vx(t) = f (t, t0)rx0 + g(t, t0)vx0 und vy(t) = f (t, t0)ry0 + g(t, t0)vy0
mit with
f (t, t0) = −a2n(rr0)−1sin(E−E0), (2.32)
g(t, t0) = ar−1 [cos(E−E0)−1]+1. (2.33)
Der große Vorteil derf - und g-Funktionen ist,daß sieunabhangig von der Wahl des Referenz-systemssind.
The major advantage of thef andg function isthat they areindependent of the reference sys-temused to express the vectors.
16
P
fM
FF’
G
xy
r a
Figure 2.5: Das Gyrationszentrum G bewegt sichmit konstanter Geschwindigkeitn auf dem Kreisum den Ellipsenbrennpunkt F. In der Gyrationszen-trumsnaherung rotiert dann der Korper P auf einer2:1-Ellipse um G.
The guiding centre G moves on a circle cen-tred on the focus F of the elliptical orbit. In theguiding centre approximation, the body at P rotateswith constant angular velocityn around G on a 2:1ellipse.
2.2.6 Gyrationszentrumsn ahe-rung
Guiding centre approximation
Die Behandlung der KEPLERbahn ist rechtumstandlich. Ist die Exzentrizitat der untersuch-ten Bahn jedoch nur sehr klein, ermoglichtdie Gyrationszentrumsnaherung eine erhebli-che mathematische Vereinfachung des Pro-blems. Diese Naherung ist eng mit der Pto-lemaischen Beschreibung der Planetenbewe-gung durch versetzte Kreise verwandt.
Calculating KEPLER orbits is a circumstantialtask. For the description of slightly eccentric or-bits, however, it is useful to resort to approxima-tions as theguided centre approximationsincethe involved mathematics is much simpler. Theapproximation is closely related to Ptolemy’sdescription of the orbital motion by displacedcircles.
Der Korper bewege sich auf einer schwachex-zentrischen Ellipse mit der großen Halbachseaum den Brennpunkt F. Wir fuhren nun ein Koor-dinatensystem ein, welches auf einer Kreisbahnmit dem Radiusa um F mit einer konstantenWinkelgeschwindigkeit gegeben durch die mitt-lere Bewegungn des Korpers rotiert (siehe Abb.2.5). Den Ursprung dieses Koordinatensystemsbezeichnet man alsGyrationszentrumG. In die-sem System hat der Korper die Koordinaten
Suppose an object moving in a slightly ellipticorbit with the semi-major axisa about the focusF . Now we introduce a reference frame that ro-tates about F in a circle of radiusa with a con-stant angular velocity equal to the object’s meanmotionn (see Fig. 2.5).The origin G of this ref-erence frame is called theguiding centre. Thecoordinates of the body in this reference frameare
x = r cos( f −M)−a≈−aecosM und y = r sin( f −M)≈ 2aesinM,
wobei wir die erste Ordnung der elliptische Ent-wicklung (2.26) fur f −M benutzt haben.
where we used the linear terms of the ellipticexpansion (2.26) forf −M.
17
Hieraus folgt, daß Hence
x2
(ae)2 +y2
(2ae)2 ≈ 1.
Dies bedeutet, daß sich der Korper in die-ser Naherung auf einer Ellipse mit der großenHalbachse 2ae und der kleinen Halbachseaemit der konstanten Winkelgeschwindigkeitnum G bewegt. Die Naherung ist von der Ord-nunge.
This result means that the body moves in anellipse of semi-major axis 2ae and semi-minoraxis ae about G with constant angular velocityn. This approximation is of the ordere.
2.2.7 Die Bahnelemente The orbital elements
Ω
ωI
Bahnebene
Referenzebeneaufsteigender
Knoten
Perizentrum
Apozentrum
Figure 2.6: Zur Definition der Parameter einer 3D-Bahn bezuglich einer Referenzebene. Die Schnittline derBahnebene mit der Referenzebene ist die Knotenlinie,der Winkel I zwischen Referenzebene und Bahnebeneist die Inklination, der Winkel ω zwischen Knotenli-nie und Perizentrum istArgument des Perizentrumsund der WinkelΩ zwischen der Referenzrichtung undder Knotenlinie ist dieLange des aufsteigenden Knotens.
Definition of the parameters of a 3D orbit withrespect to a reference plane. The line of intersectionbetween the reference plane and the orbital plane iscalled line of nodes, the angleI between the referenceplane and the orbital plane is theinclination, the angleω between the line of nodes and the pericentre is theargument of the pericentre, and the angleΩ between thereference line and the line of nodes is thelongitude ofthe ascending node.
Da sich die Planeten nicht in einer gemeinsa-men Ebene bewegen, mussen deren Bahnen imdreidimensionalen Raum bezuglich einer Refe-renzebene beschrieben werden. Hierzu werden6 Bahnelemente benotigt (zur geometrischenDefinition siehe Abb. 2.6); fur eine elliptischeBahn sind dasa, e, I , Ω, ω und der Zeitpunktdes Perizentrumdurchgangsτ.
Since the orbital planes of the planets do not co-incide we have to describe their orbits in spacewith respect to a common reference plane.There are 6 orbital elements needed to specifyan elliptic orbit in space:a, e, I , Ω, ω and thetime of pericentre passageτ (their definitionsare given in Fig. 2.6).
18
Fur den Fall einesheliozentrischenKoordina-tensystems wahlt manublicherweise dieEklip-tik (d.h. die Bahnebene der Erde) als Referenze-bene und denFruhlingspunktals Referenzrich-tung. Die Position des Korpers auf einer ellipti-schen Bahn in dem raumlichen Koordinatensy-stem ist dann
In case of a heliocentric coordinate system oneusually chooses theecliptic (the plane of theEarth’s orbit) as reference plane and the direc-tion of thevernal equinoxas reference line. Thecoordinates of a body moving in an elliptic orbitin the reference system arex
yz
= r
cosΩcos(ω+ f )−sinΩsin(ω+ f )cosIsinΩcos(ω+ f )+cosΩsin(ω+ f )cosI
sin(ω+ f )sinI
. (2.34)
2.3 Bahnst orungen Perturbed orbits
Haufig mochte man den Einfluß von Storkraftenauf die Bahn eines Korpers untersuchen. ImRahmen des 2-Korper-Problems bestimmen derOrt und die Geschwindigkeit des Korpers die6 Bahnelemente eindeutig. Man stelle sich nunvor, daß eine Storkraft kurzeitig auf den Korpereinwirkt, wodurch die Position und Geschwin-digkeit des Korpers etwas verandert wird. Of-fensichtlich wird sich der Korper danach aufeiner neuen Bahn mit neuen, konstanten Bahn-elementen, den sogenanntenoskulierenden Ele-menten(von lateinischoskulare– kussen), be-wegen. Die folgende Ableitung der oskulieren-den Elemente folgt der Arbeit von J. Burns1976,Am. J. Phys.44.
In many applications in solar system dynam-ics additional small forces are acting on a bodymoving in an approximately elliptical orbit.Such forces might be considered as pertuba-tions. Recall that in the framework of the 2-body-problem the 6 orbital elements of an ob-ject are uniquely constrained by its position andvelocity. Now suppose that an perturbing forceis acting shortly on the body causing a smallchange of its velocity and position. Afterwards,the body is moving in a new orbit characterisedby new orbital elements, the so-calledosculat-ing elements(from Latin osculare– to kiss).The deviation of the osculating elements givenhere is based upon the paper by J. Burns 1976,Am. J. Phys.44.
r undθ seien Einheitsvektoren parallel und nor-mal zum Radiusvektorr und z sei der Einheits-vektor senkrecht zur Bahnebene. Weiterhin seidie kleine storende KraftdF = Rr + Tθ + Zz.Die Anderung der reduzierten EnergieC= E/mist dann unter Benutzung von Gl. (2.12)
Let r and θ denote unit vectors parallel andperpendicular to the radius vectorr and z de-notes the unit vector perpendicular to the orbitalplane. Furthermore, letdF = Rr + Tθ + Zz bethe small disturbing force. Using Eq. (2.12) thechange of the reduced energyC = E/m is
C = rdF = rR+ r θT =µ
2a2 a.
19
Die Ausdrucke fur r und θ = f in obigerGleichung findet man durch Differenzieren vonGl. (2.9) und erhalt
The expressions for ˙r andθ = f in the equationabove are obtained by differentiating Eq. (2.9),and thus
a = 2a3/2√
µ(1−e2)(Resin f +T(1+cosf )) . (2.35)
Das bedeutet, daß nur Krafte parallel zur Bah-nebene die große Halbachse verandern konnen.Aus Gl. (2.12) und (2.16) ergibt sich, daß
This implies that only forces acting parallel tothe orbital plane can change the semi-majoraxis. From Eq. (2.12) and (2.16) follows that
e2 = 1+2h2Cµ−2, (2.36)
und deshalb berechnet sich dieAnderung derExzentrizitat
and hence, the rate of change of eccentricity cal-culates as
e=e2−1
2e
(2
hh
+CC
). (2.37)
Die Anderung des reduzierten Drehimpulsesh entspricht dem angelegten Moment, d.h.h = r ×dF = rT z− rNθ. Da der TermrNθ nurdie Richtung vonh verandert, aber dessenLange erhalt, folgt h = rT . Nach Einsetzen dergefundenen Ausdrucke fur h, C, C und a inGl. (2.37) findet man
The rate of change of the reduced angularmomentum equals the applied moment, i.e.h = r ×dF = rT z− rNθ. The rNθ componentonly affects the direction ofh, but not its mag-nitude, what impliesh = rT . After substitut-ing the found expressions forh, C, C anda intoEq. (2.37) one yields
e=(aµ−1(1−e2)
)1/2(Rsin f +T(cosf +cosE)) . (2.38)
Folglich kann auch die Exzentrizitat nur durchKrafte parallel zur Bahnebene verandert wer-den. Wir benotigen nun die Komponenten vonh
Thus, as fora the eccentricity can only bechanged by forces parallel to the orbital plane.We now need the components ofh
hx = +sign(hz)hsinI sinΩ (2.39)
hy = −sign(hz)hsinI cosΩ (2.40)
hz = hcosI (2.41)
sowie vonh and ofh
hx = r(T sinI sinΩ+Nsin(ω+ f )cosΩ+Ncos(ω+ f )cosI sinΩ) (2.42)
hy = r(−T sinI cosΩ+Nsin(ω+ f )sinΩ−Ncos(ω+ f )cosI sinΩ) (2.43)
hz = r(T cosI −Ncos(ω+ f )sinI). (2.44)
20
im Referenzkoordinatensystem(X,Y,Z). DieAbleitung von Gl. (2.39) ist
expressed within the reference coordinate sys-tem(X,Y,Z). Differentiating Eq. (2.39) gives
I =h/h− hz/hz√(h/hz)2−1
und nach Einsetzen der Gln. (2.42 - 2.44) erhaltman die Beziehung fur dieAnderung der Inkli-nation
and after substituting Eqn. (2.42 - 2.44) oneyields the rate of change of the inclination
I =rN cos(ω+ f )
h. (2.45)
Diese Gleichung bedeutet, daß die Inklina-tion nur durch Krafte normal zur Bahne-bene verandert werden kann. Der Quotientvon Gl. (2.42) und (2.43) liefert eine Bezie-hung fur die Lange des aufsteigenden Kno-tensΩ = arctan(−hx/hy). DessenAnderung istdann
This equation implies that the inclination canonly be changed by forces perpendicular to theorbital plane. Dividing Eq. (2.42) by Eq. (2.43)yields an relation for the longitude of the as-cending nodeΩ = arctan(−hx/hy). Its rate ofchange is then
Ω =hxhy−hyhx
h2−h2z
=sinΩhy +cosΩhy
hsinI.
Nach Einsetzen von Gl. (2.9), (2.16), (2.42) und(2.43) erhalt man die endgultige Beziehung furΩ
By substituting the Eqn. (2.9), (2.16), (2.42),and (2.43) one finally obtains the relation forΩ
Ω =rN sin(ω+ f )
hsin f. (2.46)
Zur Herleitung des Ausdrucks fur ω erset-zen wir in der Bahngleichung (2.9)e durchGl. (2.36) undh durch Gl. (2.16) und erhalten
To derive an expression forω we express in theorbit equation (2.9)e by Eq. (2.36) andh byEq. (2.16) and have
h2 = µR(
1+√
1+2Ch2µ−2cos(θ−ω))
mit θ = ω+ f . (2.47)
Die zeitlicheAnderung von Gl. (2.47) aufgrundderaußeren KraftdF ist
The time derivative of Eq. (2.47) due to the ap-plied disturbing forcedF is
ω = 2hhr−1 +C(eµ)−1cos(θ−ω
eµsin(θ−ω)+ θ−
h2e2µ2Ccot(θ−ω)
= e−1√
aµ−1(1−e2)(−Rcosf +T sin f
2+ecosf1+ecosf
)− ΩcosI . (2.48)
21
Die Gleichung fur dieAnderung des Zeitpunktsdes Perizentrumdurchgangs erhalt man durchDifferenzieren der KEPLER-Gleichung (2.23):
Finally, the equation for the rate of change ofthe time of pericentre passage is obtained bydifferentiating KEPLER’s equation (2.23):
τ =[3(τ− t)
√a
µ(1−e2esin f +a2µ−1(1−e2)(
21+ecosf
− cosfe
)]R+[
3(τ− t)√
aµ(1−e2(1+ecosf )+a2µ−1(1−e2)
(sin f (2+ecosf )e(1+ecosf ))
)]T. (2.49)
Beachten Sie, daß auch der Zeitpunkt des Prei-zentrumdurchgangs nur durch Krafte parallelzur Bahnebene beeinflußt werden kann.
Note that also the time of pericentre passagecan only be changed by forces within the orbitalplane.
2.4 Beispiel: SaturnsE-Ring
Example: Saturn’s E ring
Saturns E-Ring (Abb. 2.7) ist das großte Ring-system des Sonnensystems. Die radiale Aus-dehnung des Rings ist zwischen 3 bis 8RS (Sa-turnradius,RS = 60330km), die optische Tiefezeigt ein ausgepragtes Maximum in der Umge-bung der Bahn des EismondesEnceladus. Er-staunlicherweise ist besteht der E-Ring fast aus-schließlich aus 1µm großen Teilchen (Showal-ter, Cuzzi und Larson 1991Icarus 94). DasMaximum der optischen Tiefe in der Naheder Enceladus-Bahn deutet darauf hin, daß die-ser Mond die Quelle des Rings ist. Allerdingsproduzieren Eismonde Staubteilchen mit einerbreiten Massenverteilung, was erstmal im Wi-derspruch zu der beobachteten engen Massen-verteilung steht.
Saturn’s E ring is the largest ring system ofthe solar system. The radial extent of thering is from 3 to 8RS (Saturn’s radius,RS =60330km). The optical depth shows a pro-nounced maximum around the orbit of the icymoon Enceladus. Remarkably, the ring iscomposed mainly of particles with 1µm radii(Showalter, Cuzzi & Larson 1991Icarus 94).The maximum of the optical depth in the vicin-ity of Enceladus’ orbit hints that this moon isthe source of the ring particles. Icy moons,however, are known to produce particles witha broad mass range, what seems to be a contra-diction with the observed narrow mass distribu-tion.
1991 schlugen Horanyi, Burns und Hamilton(Icarus97) einen Mechanismus vor, der zumin-dest einige Aspekte des E-Rings erklaren kann.
In 1991 Horanyi, Burns & Hamilton (Icarus97)proposed a mechanism explaining at least someaspects of the E ring.
22
196 DE PATER ET AL.
FIG. 1. Image of the east ansa of Saturn’s E and G rings, taken August 10, 1995, with the W. M. Keck telescope at a wavelength of 2.26 !m.The image is a sum of 20 individual 1-min exposures, acquired during a period centered around 15 : 06 UT. The figure contains the region 1.4 to5.6 RS radially from the planet center and !1.0 to 1.0 RS vertically from the equatorial plane; tick-marks around the edge are spaced by 0.2 RS toindicate the scale. Our May 23 image is not shown; it is similar although slightly inferior in quality.
(1 Jy " 10!26 W m!2 Hz!1). We ignored the very small color term between looks generally similar although with a lower signal-to-noise ratio andlarger background variations. Both imaging periods were centered nearthe K magnitude and our wavelength of 2.26 !m. Our calibration uncer-
tainty is #4%. Note that measurements in units of Jy are expected to vary 15 : 06 UT. The tip of the A and F rings is visible at the right; imagesaturation results in its substantial vertical thickness. The E ring is thein inverse-square proportion to the Saturn–Earth distance D! ; measure-
mentsofJy/lineararcsecvarywith1/D! ;measurementsofJy/squarearcsec broad band extending leftward from the main rings almost to the edgeof the image. We identify the second bright spot closer to the main ringsare conserved. The distance D! was 9.96 AU on May 23 and 8.78 AU on
August 10. The Saturn–Sun distance changed very little (from 9.64 to 9.61 as the G ring.Figure 2 shows radial profiles from the two images, integrated verticallyAU) between May and August, so this variation can be neglected for our
purposes. The phase angle " was 5.6$ in May and 3.6$ in August. across the rings. The heavy curves are integrations over a projectedvertical thickness of 40,000 km, required to encompass the full verticalTo compare our measurements with previous results, we convert from
units of Jy/arcsec2 to the dimensionless ratio I/F. Here reflected intensity, extent of the E ring. The thin curves present (partial) profiles integratedvertically between the half-power points at the peak of the E ring. ThisI, is expressed relative to F, where #F is the incident solar flux density
at Saturn for the given wavelength. By this definition, I/F " 1 for a technique provides a higher signal-to-noise ratio but at the cost of absolutephotometric accuracy; it also improves the visibility of the G ring relativeperfectly diffusing ‘‘Lambert’’ surface when viewed at normal incidence
and emission angles. We find that solar F " 4.05 % 10!15 W m!2 Hz!1 to the much broader E ring.The heavier profile in each panel shows that the E ring extends outwardat & " 2.26 !m (L. Dones, personal communication 1995, cf. Showalter
et al. 1991). Note that values for I/F are independent of D! and can be to $6 RS , where it blends in with the background level. It has a peaknear 4 RS , very close to the orbit of Enceladus. The full thickness at half-readily compared to other wavelengths because the variations of the solar
spectrum are removed. maximum (FTHM) of the E ring is 8500 # 500 km inside 4 RS , rising to$12,000 # 1500 km near 5 RS . Its full thickness before it fades into theThe integration times for individual images was 30 sec in May and 60
sec in August. To improve sensitivity, we averaged together 20 images image background is $30,000 km, regardless of distance to Saturn. InAugust, the E ring’s peak edge-on I/F " (3.4 # 0.3) % 10!6 (32 # 3 !Jy/from each observing session in May and August separately, resulting in
total integration times of 10 and 20 min, respectively. Since we had shifted arcsec2). When integrated over the ring’s full vertical thickness, peakI/F values for August are 37.5 # 1.1 m (56 # 5 !Jy/linear arcsec orthe telescope pointing for each image to avoid amplification of bad pixels
in the detector, the images had to be aligned carefully before the averaging 17.65 # 0.07 mag/linear arcsec). (Note that I/F is dimensionless, so inte-grated I/F has dimension of length.) The results for May and August arewas performed. First, we rotated the images to a common orientation,
in which Saturn’s north pole points upward and the eastern ring ansa the same to within the uncertainties; we do not detect a significant varia-tion with phase angle.points toward the left. This rotation involved a re-pixellation of the images
but the corresponding reduction in image resolution was negligible. Next, The lighter profiles in Fig. 2 show the G ring with a peak near 2.72RS and an abrupt decrease in brightness outside 2.80 RS . In projection,we inferred the precise pointing geometry of each frame. For most of
the May images, one or more of Saturn’s moons was visible and could it extends radially over '0.15 RS ('9000 km). It decreases only graduallyinward from its peak, as one would expect qualitatively for an edge-onbe used as a pointing reference; for those images not containing moons,
we used background stars whose positions had been measured from the profile of a narrow ring. Its full vertical thickness is $6000 km, which iscomparable to the projected point-response function of the image; as aother images. The tip of the main rings/F ring served as the geometric
reference for all of the August images. Residual pointing uncertainties result, this serves only as a crude upper limit on the G ring’s thickness.Since, in projection, the G ring sits on top of the E ring (see Fig. 2) weare generally smaller than one pixel.
Figure 1 shows the averaged image from August 10; the May image must extrapolate and subtract the E ring’s contribution in order to infer
Figure 2.7: Saturns E-und G-Ring aufgenommenmit dem Keck-Teleskopbei einer Wellenlange von2.26µm (de Pater u. Mit.1996,Icarus121).
Image of Saturn’s Eand G rings, taken withthe Keck telescope at awavelength of 2.26µm (dePater et al. 1996,Icarus121).
Sie betrachteten die Teilchenbewegung inner-halb der Ringebene (d.h.I = 0), und betrachte-ten als Storkrafte das GraviationsmomentJ2 =0.01667 aufgrund der Abflachung des Saturns,den Strahlungsdruck der Sonne sowie die Lor-entzkraft. Da nur die Form der Bahn untersuchtwerden soll, sind zu ihrer Beschreibung 3 osku-lierende Elemente ausreichend: die große Halb-achsea, die Exzentrizitat e und die Lange desPerizentrumsω. Fur schwachexzentrische Bah-nen vereinfachen sich die Gl. (2.35), (2.37) und(2.46) zu
They restricted the motion of the ring parti-cles to the ring plane (i.e.I = 0), and con-sidered only forces due to Saturn’s oblateness(J2 = 0.01667), due to solar radiation pressure,and the Lorentz force as pertubations. Sincewe are only interested in the shape of the or-bits 3 osculating elements are sufficient to de-scribe the evolution of a ring particle orbit: thesemi-major axisa, the eccentrictye, and thelongitude of the pericentreω. For small eccen-tricities, the Eq. (2.35), (2.37) and (2.46) can besimplified as
〈a〉 = 0 (2.50)
〈e〉 = βsinω (2.51)
〈ω〉 =βe
cosω+ γ. (2.52)
Das Symbol〈〉 deutet an, daß die Ausdruckeuber einen Umlauf gemittelt wurden.β ist ei-ne Funktion des spezifischen Drehimpulseshund des Strahlungsdrucks, undγ ist die Prazes-sionsrate des Perizentrums in Abwesenheit desStrahlungsdrucks. Gl. (2.50) besagt, daßa er-halten bleibt (das ist auch nicht weiter verwun-derlich, da alle Krafte konservativ sind).
The symbol 〈〉 indicates that the expressionswere averaged over one orbital period.β is afunction of the specific angular momentumhand of the radiation pressure.γ is the rate of pre-cession of the pericentre in absence of radiationpressure. Eq. (2.50) implies the conservation ofa (what is no surprise since all perturbing forcesare conservative.)
23
3 Das beschr ankte3-Korper-Problem
The restrictedThree-Body-Problem
3.1 Bewegungsgleichungen Equations of motion
Die Bewegung zweier Korper um ihr Mas-senzentrum wird durch die KEPLERtheorie ge-schlossen dargestellt; fur die gravitativ gebun-dene Bewegung dreier Korper ist dies allge-mein nicht moglich. Dies gelingt nicht einmalfur Probleme, in welchen die Masse des drit-ten Korpers vernachlassigt werden darf und so-mit die Bewegung der beiden anderen Korpervon diesem unbeeinflußt ist. Unter der zusatz-lichen Annahme, daß sich die beiden ”massi-ven” Korperauf Kreisbahnen um ihren Massen-mittelpunktbewegen, wird das Problem hinrei-chend vereinfacht – wir sprechen dann vombe-schrankten Dreikorperproblem.
The KEPLER theory provides a closed solutionfor the motion of two bodies about their com-mon centre of mass. It is impossible to achievesuch a solution for the problem of the gravi-tational interaction of three bodies. In fact, itis even not possible to obtain a closed solutionwhen the third is small enough to neglect its in-fluence onto the motion of the two other masses.To make progress, one often simplifies the prob-lem further by assuming that the two ”massive”bodies move in coplanar, circular orbits abouttheir centre of mass. This is called thecircular,restricted, three-body problem.
Um die Formulierung des Problems zu verein-fachen, definieren wir die Masseneinheit so,daß µ = G(m1 + m2) = µ1 + µ2 = 1 gilt. DieBewegung vonm1 und m2 wird durch dasZweikorperproblem beschrieben; folglich rotie-ren sie mit konstanter Winkelgeschwindigkeitn = a−2/3 um ihren Massenmittelpunkt, wobeia ihr Abstand ist (siehe Kap. 2.2.2).
For the sake of simplicity we chose the massunit such thatµ= G(m1 +m2) = µ1 +µ2 = 1.The motion ofm1 andm2 is given by thetwo-body-problem. Thus, they orbit about theircentre of mass at constant angular velocityn = a−2/3, wherea is the separation of the twobodies (see Sec. 2.2.2).
24
Es ist deshalb nahliegend, die Bewegung derMassem3 in einem um den Massenmittelpunktmit n rotierendensynodischenKoordinatensy-stem (x,y,z) zu untersuchen, in welchem diePositionen der Massenm1 undm2 ortsfest sind.Die x-Achse soll auf der Verbindungslinie vonm1 und m2 liegen. Weiterhin wahlen wir dieLangeneinheit so, daß der Abstand der beidenMassenpunkte eins ist. Die Koordinaten vonm1
und m2 sind dann(−µ2,0,0) sowie (µ1,0,0).Durch diese Wahl folgt auchn = 1.
Thus, it is natural to consider the motion ofm3
within a coordinate system(x,y,z) rotating atnabout the centre of mass. This has the advan-tage that within thesynodiccoordinate systemthe locations ofm1 andm2 are fixed. The direc-tion of the abcissa is chosen to be aligned withthe line connectingm1 andm2. We define thelength unit such that the separation ofm1 andm2 equals 1. Then, the coordinates of the twobodies are(−µ2,0,0) and (µ1,0,0). It furtherfollows thatn = 1.
Die Bewegungsgleichungen fur m3 im inertia-len –siderischen– Koordinatensystem(ξ,η,ζ)lauten
The equations of motion form3 within inertial,siderial coordinates(ξ,η,ζ) are
ξ = µ1ξ1−ξ
r31
+µ2ξ2−ξ
r32
, (3.1)
η = µ1η1−η
r31
+µ2η2−η
r32
, (3.2)
ζ = µ1ζ1−ζ
r31
+µ2ζ2−ζ
r32
, (3.3)
wobei r1 und r2 die Abstande vonm1 und m2
zu m3 sind. Der Zusammenhang zwischen densynodischen und siderischen Koordinaten ist
wherer1 and r2 are the distances betweenm1
andm3, and betweenm2 andm3, respectively.The relation between the siderial and the syn-odic coordinates isξ
ηζ
=
cost −sint 0sint cost 00 0 1
xyz
. (3.4)
Hieraus berechnet man durch zweimaliges Ab-leiten die Beschleunigungen im siderischen Sy-stem und findet nach Einsetzen in die Gl. 3.1-3.3
We obtain the accelerations within the sidericsystem by differentiating this relation twice andfind after inserting them into Eqs. 3.1-3.3
(x−2y−x)cost− (y−2x−y)sint =µ1
x1−x
r31
+µ2x2−x
r32
cost +
µ1
r31
+µ2
r32
y sint
(3.5)
(x−2y−x)sint +(y−2x−y)cost =µ1
x1−x
r31
+µ2x2−x
r32
sint−
µ1
r31
+µ2
r32
y cost
(3.6)
25
z=−
µ1
r31
+µ2
r32
z. (3.7)
Hieraus erhalten wir: We yield
x−2y−x =−
µ1x+µ2
r31
+µ2x−µ1
r32
durch Gl. (3.5)·cost+Gl. (3.6)·sint
y−2x−y =−
µ1
r31
+µ2
r32
y durch Gl. (3.6)·cost−Gl. (3.5)·sint.
Wir drucken abschließend die Beschleunigun-gen als Gradient einer skalaren Funktion (Pseu-dopotential)
If we finally express the accelerations as thegradient of a scalar function (a pseudo poten-tial)
U(x,y,z) =12(x2 +y2)︸ ︷︷ ︸
Zentrifugalpotential
+µ1
r1+
µ2
r2︸ ︷︷ ︸Gravitationspotential
= µ1
(1r1
+r21
2
)+µ2
(1r2
+r22
2
)− 1
2µ1µ2 (3.8)
aus und erhalten die Bewegungsgleichungendes beschrankten Dreikorperproblems:
we obtain the equations of motion of there-stricted, circular three-body-problem
x−2y = ∂xU, (3.9)
y−2x = ∂yU, (3.10)
z= ∂zU. (3.11)
3.1.1 Das Jacobiintegral The Jacobi integral
Aufgrund unserer Voraussetzungen vermagm3
die Bewegung der Massenm1 undm2 nicht be-einflussen. Daher ist offensichtlich weder derEnergieerhalt noch der Drehimpulserhalt gege-ben. Es laßt sich allerdings ein Bewegungsinte-gral finden, welches dem Energieintegralaqui-valent ist. Hierzu multipliziert man Gl. (3.9) mitx, Gl. (3.10) mity und Gl. (3.11) mit ˙z, addiertdie Ergebnisse
Due to our assumption doesm3 not affect themotion ofm1 andm2. Consequently, neither theangular momentum nor the energy is conserved.However, it is possible to find an integral of mo-tion corresponding with an energy integral. Ifwe multiply Eq. (3.9) with ˙x, Eq. (3.10) with ˙y,and Eq. (3.11) with ˙z and add the results we get
xx+ yy+ zz=12
ddt
(x2 + y2 + z2) =12
dv2
dt= ∂xUx+∂yUy+∂zUz=
dUdt
26
−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5−1.5
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
m1
m2
−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5−1.5
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
m1
m2
Figure 3.1: Ausgeschlossene Bereiche(weiß) fur die Bewegung vonm3 umm1
und m2 (µ2 = 0.2) mit CJ = 3.5 (links)undCJ = 4.5 (rechts).
Excluded areas (white) for the motionof m3 aboutm1 and m2 (µ2 = 0.2) forthe casesCJ = 3.5 (left) andCJ = 4.5(right).
und erhalt nach Integration and yield after integration
v2−2U =−CJ. (3.12)
Das JACOBIintegral CJ ist daseinzigeBewe-gungsintegral des beschrankten Dreikorperpro-blems. Folglich kann die Losung dieses Pro-blems nicht in geschlossener analytischer Formangegeben werden. In siderischen Koordinatenlautet das JACOBIintegral
The JACOBI integral CJ is the only integralof the motion of the restricted three-body-problem. Thus, the solution of the problem can-not be given in closed form. In the siderial sys-tem the JACOBI integral writes as
ξ2 + η2 + ζ2−2
(µ1
r1+
µ2
r2
)︸ ︷︷ ︸
E/2
−2h ·n =−CJ, (3.13)
wobein = (0,0,n) undh = r × r der reduzier-te Drehimpulsvektor ist. Da dieser nicht erhal-ten bleibt, ist auch die reduzierte mechanischeEnergieE hier keine Erhaltungsgroße.
wheren = (0,0,n) andh = r × r is the reducedangular momentum vector. Sinceh is not con-served, the reduced mechanical energyE is notconserved as well.
Mittels des JACOBIintegrals kann jedoch unter-sucht werden, in welchen Bereichen die Massem3 prinzipiell angetroffen werden kann. Offen-sichtlich ist dies nur dort moglich, woCJ ≥ 2Uerfullt ist, da anderenfalls die Geschwindigkeitimaginar ist. Fur v = 0 beschreibt Gl. (3.12) fureinen gegeben Wert vonCJ eine Hyperflache– die HILL schen Grenzflache (welche symme-trisch zur x-y-Ebene und zur x-z-Ebene ist) –deren Schnitt mit der Bahnebene dieNullge-schwindigkeitskurvendefinieren.
The JACOBI integral is valuable in gaining in-formation about regions in which the bodym3
can be found. Obviously this is only possiblewhereCJ ≥ 2U , since otherwise the velocitywould be complex. Forv = 0 and a given valuefor CJ Eq. (3.12) describes a hyper surcface,called HILL ’s limiting surface (which is sym-metric to the x-y-plane and to the x-z-plane).The intersections of the HILL surface with theorbital plane defines thezero velocity curves.
27
Die HILL schen Grenzflachen trennen Gebiete,innerhalb deren eine Bewegung vonm3 moglichist, von solchen, wo dies ausgeschlossen ist (sie-he Abb. 3.1). Beispielsweise kann in der rechtenAbbildung die Probemasse niemals den Bereichumm1 verlassen und danachm2 umkreisen.
HILL surfaces are separating regions in whichthe motion ofm3 is possible from such wherem3 is excluded (see Fig. 3.1). As an examplelet us consider the left plot. In this case, a testparticle orbitingm1 cannot leave this region andstart to orbitm2.
3.1.2 Das T ISSERAND-Kriterium The T ISSERAND criterion
Im allgemeinen werden die Bahnelemente ei-nes Kometen wahrend eines dichten Vorbeiflugsan einem Planeten verandert; das entsprechendeJACOBIintegral bleibt jedoch erhalten. Dies er-laubt es, eine Beziehung zwischen den Bahn-elementen eines Kometen vor einem dich-ten Vorbeiflug und nach dem Vorbeiflug zufinden. In der siderischen Darstellung (3.13)des JACOBIintegrals ersetzen wirh · n durchhcosI =
√a(1−e2), wobei I die Inklination
der Kometenbahnebene bezogen auf die Pla-netenbahnebene ist. In großer Entfernung vomstorenden Planeten wird die Kometenbewe-gung um die Sonne durch das Zweikorperpro-blem beschrieben; daher gilt in guter Nahe-rung Gl. (2.13), d.h.ξ2 + η2 + ζ2 = 2/r − 1/aals auch 1/r2 1. Aufgrund vonµ2 1 ver-nachlassigen wir denµ2-Term in Gl. (3.13) underhalten
The orbital elements of a comet after a close ap-proach to a planet will be changed. Its JACOBI
integral, however, will remain unaffected. Thisproperty allows to derive a relation between theorbital elements of a comet before and after aclose encounter. To achieve this, we replaceh ·n in Eq. (3.13) byhcosI =
√a(1−e2), where
I is the inclination of the comet’s orbital planewith respect to the planet’s orbital plane. Themotion of the comet about the sun is describedby the two-body-problem as long as its distancefrom the disturbing planet is large. Thus, before(and after) the encounter we are allowed to useGl. (2.13), i.e. ξ2 + η2 + ζ2 = 2/r − 1/a. Asanother consequence of that, 1/r2 1. Sinceµ2 1 we can furthermore neglect theµ2 termin Eq. (3.13) and have
12a
+√
a(1−e2)cosI ≈ const.
Somit sind die Bahnelemente des Kometennach dem Vorbeiflug naherungsweise mit de-nen vor dem Vorbeiflug durch das TISSERAND-Kriterium
Thus, the orbital elements of the comet beforethe encounter are approximately related to itselements after the encounter by
12a′
+√
a′(1−e′2)cosI ′ =12a
+√
a(1−e2)cosI (3.14)
verknupft. This relation is known as the TISSERANDcrite-rion.
28
3.1.3 Gleichgewichtspunkte Equilibrium points
Wir wollen nun solche Konfigurationen unter-suchen, in welchen die Bewegung der Mas-se m3 im synodischen System stationar ist.Solche Gleichgewichtspunkte werden als LA-GRANGEpunkte bezeichnet. Die Stationaritaterfordert, daß ˙x= y= x= y= 0 ( die Bewegungsei auf die Bahnebene beschrankt). Die Bewe-gungsgleichungen (3.9) und (3.10) lauten dann
We are now studying configurations when themotion ofm3 within the synodic system is sta-tionary. Such equilibrium points are called LA-GRANGIAN points. Stationary motion requiresthat x = y = x = y = 0 (the motion is confinedto the orbital plane). Thus, the equations of mo-tion (3.9) and (3.10) become
∇U = 0, (3.15)
und nach Berechnung der partiellen Ableitun-gen des Potentials
and by evaluating the partial derivatives of thepotential we have
µ1(1− r−31 )(x+µ2)+µ2(1− r−3
2 )(x−µ1) = 0 (3.16)
µ1(1− r−31 )y+µ2(1− r−3
2 )y = 0. (3.17)
Wir untersuchen zuerst die triviale Losung1− r−3
1 = 1− r−32 = 0. Hieraus folgt dann, daß
r1 = r2 = 1. Daher beschreibt diese Losungzwei Gleichgewichtspunkte, welche jeweils mitm1 undm2 eingleichseitigesDreieck bilden. Ih-re Koordinaten erhalt man aus der Definitionvon r1 undr2
At first we consider the trivial solution1− r−3
1 = 1− r−32 = 0, so that r1 = r2 = 1.
Thus, this solution describes two equilibriumpoints each forming aequilateral trianglewithm1 andm2. Using the definitions forr1 andr2
r21 = 1 = (x+µ2)2 +y2 und r2
2 = 1 = (x−µ1)2 +y2, (3.18)
woraus folgt we get the coordinates of the two points
x = 12−µ2 und y =±
√3
2 . (3.19)
Diese LAGRANGEpunkte bezeichnet man alsDreieckspunkte L4 undL5 (ublicherweise nenntman den fuhrenden DreieckspunktL4). Es exi-stieren keine weiteren LAGRANGEpunkte au-ßerhalb der x-Achse.
Those LAGRANGIAN points are known as thetriangular points L4 andL5 (by convention theleading point is denoted byL4). There are noother LAGRANGIAN points off the x-axis.
29
Wir suchen nun mogliche Gleichgewichtspunk-te auf der x-Achse. Hierfur existieren dreimogliche Konfigurationen: zwischenm1 undm2
(L1), rechts vonm2 (L2) und links vonm1 (L3).
We now turn to consider equilibrium points ly-ing on the x-axis. There are three possible con-figurations: betweenm1 andm2 (L1), outside ofm2 (L2), and outside ofm1 (L3).
Im L1 gilt r1 + r2 = 1 und deshalbr1 = x+ µ2
undr2 =−x+µ1. Aus Gl. (3.16) folgt dann dieBeziehung
At theL1 we haver1+ r2 = 1 and thusr1 = x+µ2 and r2 = −x+ µ1. From Gl. (3.16) followsthen the relation
µ2
µ1= 3r3
21− r2− 1
3r32
(1+ r2 + r22)(1− r2)3
,
welche naherungsweise durch which is approximately solved by
r2 = α− 13α2− 1
9α3− 2381α4 +O(α5), α3 =
µ2
3µ1(3.20)
gelost wird.
Im L2 gilt r1− r2 = 1 und deshalbr1 = x+ µ2
und r2 = x− µ1. Aus Gl. (3.16) folgt dann dieBeziehung
At the L2 we haver1− r2 = 1 and thusr1 =x+µ2 andr2 = x−µ1. From Gl. (3.16) followsthen the relation
µ2
µ1= 3r3
21+ r2 + 1
3r32
(1+ r2)2(1− r32)
,
welche naherungsweise durch which is approximately solved by
r2 = α+ 13α2− 1
9α3− 3181α4 +O(α5) (3.21)
gelost wird.
Im L3 gilt r2− r1 = 1 und deshalbr1 =−x−µ2
undr2 =−x+µ1. Aus Gl. (3.16) folgt dann dieBeziehung fur r1
At the L3 we haver2− r1 = 1 and thusr1 =−x−µ2 andr2 =−x+µ1. From Gl. (3.16) fol-lows then the relation forr1
µ2
µ1=
(1− r31)(1+ r1)2
r31(r
21 +3r1 +3)
,
welche naherungsweise durch which is approximately solved by
r2 = 2− 712β+ 7
12β2− 1322320736β
3 +O(β4), β =µ2
µ1(3.22)
gelost wird.
30
−1.5−1.0−0.5 0.0 0.5 1.0 1.5−1.5
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5µ
2 = 0.3
m1
m2
L4
L5
L1
L2
L3
−1.5−1.0−0.5 0.0 0.5 1.0 1.5−1.5
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5µ
2 = 0.1
m1
m2
L4
L5
L1
L2
L3
−1.5−1.0−0.5 0.0 0.5 1.0 1.5−1.5
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5µ
2 = 0.01
m1
m2
L4
L5
L1
L2
L3
−1.5−1.0−0.5 0.0 0.5 1.0 1.5−1.5
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5µ
2 = 0.001
m1
m2
L4
L5
L1
L2
L3
Figure 3.2: Lage der LAGRAN-GEpunkte fur vier verschiedene Wertevon µ2. Die gepunktete Linie markierteinen Kreis mit dem Radius 1 (d.h. mitdem Abstand zwischenm1 und m2)um die Massem1. Die vollen Linienmarkieren Nullgeschwindigkeitskurvenfur einige Werte vonCJ. Beachten Sie,daß fur alle Planeten-Mond-Systemein unserem Sonnensystemµ2 ≤ 0.01(außer fur Pluto-Charon:µ2 = 0.1).
Location of the LAGRANGIAN
points for 4 values ofµ2. The dottedline denotes a circle with the radius 1(i.e. the distance betweenm1 and m2)centred atm1. The solid lines mark zerovelocity curves for some values ofCJ.Please note, that for all planet-moonsystems in our solar systemµ2 ≤ 0.01(except for Pluto-Charon:µ2 = 0.1).
Abbildung 3.2 zeigt die Lage der LAGRAN-GEpunkte fur einige realistische Werte vonµ2.Fur µ2 → 0 nahert sich derL3 dicht dem Ein-heitskreis umm1 an undL1 undL2 werden na-hezuaquidistant bezuglichm2. Diese symmetri-sche Konfiguration ist fur alle Planeten-Mond-Systeme des Sonnensystems gegeben.
In Fig. 3.2 the location of the LAGRANGIAN
points is shown for some realistic values ofµ2.Forµ2 → 0 theL3 is approaching the unit circlecentred on the centre of mass. Furthermore,L1
andL2 become almost equidistant with respectto m2. This symmetric configuration holds forall planet-moon-systems of the solar system.
3.1.4 Stabilit at derLAGRANGEpunkte
Stability of the L AGRANGIAN
points
Wir kennen nun die Lage der Gleichgewichts-punkte; wir wissen jedoch nicht, ob die Bewe-gung vonm3 in einem solchen Punkt dynamischstabil ist. Dies kann man ermitteln, indem mandie Reaktion vonm3 auf kleine Storungen ausder Gleichgewichtslage untersucht. Hierzu li-nearisieren wir die Gl. (3.9) und (3.10) in derUmgebung eines Gleichgewichtspunkts.
We now know the location of the equilibriumpoints. We do not know, however, whether themotion ofm3 situated at such a point is dynam-ically stable. Therefore, one needs to examinehow the test particle reacts on a small displace-ment from its equilibrium configuration. Toachieve this we linearise the Eq. (3.9) and (3.10)in the vicinity of an equilibrium point.
31
Der Gleichgewichtspunkt habe die Koordinaten(x0,y0) und die kleine Storung sei(X,Y). Dannfolgt nach Entwicklung des Potentials in eineTAYLORreihe und nach Vernachlassigung allernichtlinearen Terme
The equilibrium point may have the coordi-nates(x0,y0) and the small displacement maydenoted by(X,Y). If we expand the potentialinto a TAYLOR series and neglect all non-linearterms, we have
x0−2y0︸ ︷︷ ︸0 wg. Gl. (3.15)
+ X−2Y = ∂xU ≈ ∂xU |0︸ ︷︷ ︸0 wg. Gl. (3.15)
+X∂x∂xU |0 +Y∂y∂xU |0 = XUxx+YUxy,
y0 +2x0︸ ︷︷ ︸0 wg. Gl. (3.15)
+Y +2X = ∂yU ≈ ∂yU |0︸ ︷︷ ︸0 wg. Gl. (3.15)
+Y∂y∂yU |0 +X∂x∂yU |0 = YUyy+XUyx,
wobei wir die symbolische Schreibweise∂i∂ jU |0 = Ui j benutzt haben. Dieses Differen-tialgleichungssystem zweiter Ordnung fur dieStorungen formulieren wir nun in ein Systemerster Ordnung um
where we used the symbolic notation∂i∂ jU |0 = Ui j . Now we transform this systemof second-order differential equations into asystem of first-order differential equations by
XYXY
=
0 0 1 00 0 0 1
Uxx Uxy 0 2Uxy Uyy −2 0
XYXY
, (3.23)
oder in MatrixschreibweiseX = A · X. Umdas Differentialgleichungssystem zu entkop-peln, definieren wir nun eine MatrixB, de-ren Spalten durch die Eigenvektoren vonA ge-bildet werden, und vereinbaren weiterhin, daßZ = BX. Dann laßt sich leicht zeigen, daß gilt
or by writing the equations in matrix formX = A ·X. To decouple the system of differ-ential equations we define a matrixB whosecolumns are the eigenvectors ofA. If we definethatZ = BX it can be easily shown that
Z = BAB−1Z =
λ1 0 0 00 λ2 0 00 0 λ3 00 0 0 λ4
Z, (3.24)
wobei λ1 . . .λ4 die Eigenwerte vonA sind.Gl. (3.24) ist ein System entkoppelter Diffe-rentialgleichungen der FormZi = λiZi , derenLosung elementar ist:
whereλ1 . . .λ4 are the eigenvalues ofA. Wenow have a system of uncoupled differentialequations of the typeZi = λiZi which are solvedby
Zi = cieλit i = 1. . .4. (3.25)
Die Koeffizienten ci mussen aus den An-fangsbedingungen bestimmt werden. Aufgrundvon Z = BX ist dann der Losungsvektor vonGl. (3.23)
The coefficientsci have to be determined fromthe initial values. Since ofZ = BX the solutionof Eq. (3.23) is
32
X = B−1
c1eλ1t
...c1eλ4t
. (3.26)
Jede Komponente des Losungsvektors ist so-mit eine Linearkombination der Komponentenvon Z, d.h. von der FormXi =
∑di exp(λit).
Die Eigenwerte sind im allgemeinen komplexλi = j i + iki . Die rein imaginaren Anteile derEigenwerte beschreiben Oszillationen um denGleichgewichtspunkt, wahrend die realen An-teile der Eigenwerte zum exponentielle Wach-sen oder Dampfen der Storungen fuhrt. Hatfolglich wenigstens ein Eigenwert einen po-sitiven Realteil, so wird der entsprechendeExponentialterm unbegrenzt wachsen und derGleichgewichtspunkt ist instabil.Zur Bestim-mung der Stabilitat ist es deshalb ausreichend,die Eigenwerte von Gl. (3.23) zu untersuchen.
Each component of the solution is a linear com-bination of the components ofZ, i.e. of theform Xi =
∑di exp(λit). The eigenvalues can
be complexλi = j i + iki . The imaginary partof the eigenvalue results in oscillations aboutthe equilibrium point, while the real part of theeigenvalue causes either an exponential growthor an exponential damping of the pertubation.Thus, if there is an eigenvalue with a posi-tive real part then the corresponding term willgrow exponentially, and the equilibrium pointis unstable. Therefore,to determine the stabil-ity it is sufficient to examine the eigenvalues ofGl. (3.23).
Die Eigenwerte vonA sind die Losungen dercharakteristischen Gleichung|A−λE|= 0:
The eigenvalues ofA are the solutions of thecharacteristic equation|A−λE|= 0:
λ4 +(4−Uxx−Uyy)λ2 +UxxUyy−U2xy = 0.
Dieses Polynom vierten Grades ist zugleich ei-ne quadratische Gleichung fur λ2, deren Losun-gen lauten
This is a quartic equation, but is also a quadraticequation inλ2. Hence,
λ2a = 1
2(Uxx+Uyy−4)− 12
(Uxx+Uyy−4)2−4(UxxUyy−U2
xy) 1
2 ,
λ2b = 1
2(Uxx+Uyy−4)+ 12
(Uxx+Uyy−4)2−4(UxxUyy−U2
xy) 1
2 . (3.27)
Daher sind die Eigenwerte des Problems vonder allgemeinen Form(+λa,−λa,+λb,−λb).Dieses Ergebnis verscharft das obige Sta-bilit atskriterium, da zu einem Eigenwertλi = ja + ika mit ja < 0 immer ein zweiterEigenwert λ j =− ja− ika existiert. Dahererfordert Stabilitat, daß alle Eigenwerte reinimaginar sind.
Thus, the eigenvalues of our problem are ofthe general form(+λa,−λa,+λb,−λb). Thisfinding leads to a even stronger stability cri-terion as the previous one, since an eigen-value λi = ja + ika with ja < 0 will alwaysbe matched by a second eigenvalue withλ j =− ja− ika. Thus,stability requires that alleigenvalues are purely imaginary.
33
Wir nutzen nun die allgemeine Eigenschaft ei-nes Polynoms, das daß Produkt seiner Wurzelndem konstanten Glied entspricht:
We now make use of the property of polynomi-als that the product of its roots equals its con-stant term. Hence,
λ1λ2λ3λ4 = λ2aλ2
b = UxxUyy−U2xy.
Fur rein imaginare Eigenwerte muß dannλ2a < 0
und λ2b < 0 erfullt sein, woraus wir eine not-
wendige (aber nicht hinreichende) Bedingungfur die Stabilitat erhalten
If the eigenvalues are purely imaginary we haveλ2
a < 0 andλ2b < 0 From this follows a necessary
(but not sufficient) condition for stability.
UxxUyy > U2xy. (3.28)
Man kann leicht zeigen, daß diese Bedingungfur diekolinearenPunkteL1, L2 undL3 fur kei-nen Wert vonµ2 erfullt wird. Die kolinearenLAGRANGEpunkte sind instabil.
It can be easily shown that in the colinear casethis condition is never fulfilled regardless of thevalue ofµ2. The colinearLAGRANGIAN pointsare unstable.
Wir untersuchen nun die Stabilitat der bei-den Dreieckspunkte L4 und L5. Fur diese sindUxx = 3
4, Uyy = 94 und Uxy =±3
4(1−2µ2) undGl. (3.27) lautet nun
We now examine the stability of the twotrian-gular points L4 and L5. In this caseUxx = 3
4,Uyy = 9
4, and Uxy =±34(1−2µ2). Eq. (3.27)
then becomes
λa,b = 2−12
−1±1−27µ2(1−µ2)
12
12. (3.29)
λa und λb sind nur dann gleichzeitig rein ima-ginar, falls 0≤ 1−27µ2(1−µ2)≤ 1. Daher lau-tet die Satbilitatsbedingung fur L4 und L5 (imSinne der hier genutztenlinearen Analyse), daß
λa andλb are only simultaneously purely imag-inary if 0 ≤ 1− 27µ2(1− µ2) ≤ 1. Thus, thestability condition forL4 andL5 (in the sense ofthe appliedlinear analysis) is
µ2 ≤ 0.0385. (3.30)
Wir betrachten abschließend die Bewegung desTestteilchens in der Umgebung eines Dreiecks-punkts. Die Losung von Gl. (3.23) fur den sta-bilen Fall ist
Finally, we turn our attention to the motion ofthe test particle in the vicinity of a triangularpoint. The stable solution of Eq. (3.23) is givenby
X(t) = 2a1cos|λa|t +2a2cos|λb|t−2b1sin|λa|t−2b2sin|λb|t,Y(t) = 2c1cos|λa|t +2c2cos|λb|t−2d1sin|λa|t−2d2sin|λb|t. (3.31)
Im stabilen Fall istµ2 1, und daher sind nundie Eigenwerte Gl. (3.29) in guter Naherung
In the stable caseµ2 1 and hence, the eigen-values are in a good approximation given by
λa ≈−1+ 27
4 µ2 1
2 und λb ≈−27
4 µ2 1
2 . (3.32)
34
Die Gl. (3.31) beschreiben dieUberlagerungvon zwei Oszillationen um den Gleichge-wichstpunkt: eine Oszillation mit der Periode2π/|λa| ≈ 2π (d.h. nahezu mit der Rotationspe-riode vonm2 um m1) und eine Oszillation mitder Periode 2π/|λb| 2π, die sogenannteLi-bration.
Eq. (3.31) describes the superposition of two os-cillations about the equilibrium point: one os-cillation with the period 2π/|λa| ≈ 2π (i.e. closeto the orbital period ofm2 w.r.t. m2), and oneoscillation with the period 2π/|λb| 2π, calledlibration.
3.1.5 Kaulquappen- undHufeisenorbits
Tadepole and Horseshoe orbits
(a) L4 −[0.0065, 0.0065]
−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5−1.5
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
m1
m2
L4
v0: (0., 0.)
(b) L4 −[0.008, 0.008]
−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5−1.5
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
m1
m2
L4
v0: (0., 0.)
9.6.
2004
libr
atio
n.pr
o 1.
0 (c
) S. K
empf
, 200
4
Figure 3.3: Beispiele fur quasi-periodische Kaulquappenorbits um denL4 fur µ2 = 10−3.
Examples for quasi-periodic tade-pole orbits about theL4 for µ2 = 10−3.The orbits were followed for 15revolutions ofm2 aboutm1.
(a) L4 −(1.4757261, 0.)
−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5−1.5
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
m1
m2
L4
L5
v0: (0., −0.06118)
(b) L4 −(1.5264961, 0.)
−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5−1.5
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
m1
m2
L4
L5
v0: (0., −0.04032)
9.6.
2004
libr
atio
n.pr
o 1.
0 (c
) S. K
empf
, 200
4
Figure 3.4: Beispiele fur quasi-periodische Hufeisenorbits um denL4
fur µ2 = 9.5387510−4. Es wurden 35Orbits vonm2 um m1 verfolgt (Taylor1981,A&A 103).
Examples for quasi-periodichorseshoe orbits about theL4 forµ2 = 9.5387510−4. The orbits werefollowed for 35 revolutions ofm2 aboutm1 (Taylor 1981,A&A 103).
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