Charalampos  (Babis)  E.  Tsourakakis                ctsourak@math.cmu.edu  

                         RSA  2011                        24th    May  ‘11  RSA    '11   1  

Alan  Frieze                CMU  

RSA    '11   2  

RSA    '11   3  

Internet  Map  [lumeta.com]  

Food  Web  [Martinez  ’91]  

Protein  Interactions  [genomebiology.com]  

Friendship  Network  [Moody  ’01]  

 Modelling  “real-­‐world”  networks  has  attracted  a  lot  of  attention.    Common  characteristics  include:    Skewed  degree  distributions  (e.g.,  power  laws).    Large  Clustering  Coefficients      Small  diameter  

  A  popular  model  for  modelling  real-­‐world  planar  graphs    are  Random  Apollonian  Networks.  

RSA    '11   4  

RSA    '11   5  

Apollonius  (262-­‐190  BC)  

Construct  circles  that  are    tangent  to    three  given  circles  οn  the  plane.    

RSA    '11   6  

                 Apollonian  Gasket  

RSA    '11   7  

Higher  Dimensional  (3d)  Apollonian  Packing.  From  now  on,  we  shall  discuss  the  2d  case.  

  Dual  version  of  Apollonian  Packing  

RSA    '11   8  

  Start  with  a  triangle.    Until  the  network  reaches  the  desired  size  

  Pick  a  face  F  uniformly  at  random,  insert  a  new  vertex  in  it  and  connect  it  with  the  three  vertices  of  F  

RSA    '11   9  

     

RSA    '11   10  

     

RSA    '11   11  

RSA    '11   12  

Depth  of  a  face  (recursively):  Let  α  be  the  initial  face,  then  depth(α)=1.  For  a  face  β  created  by  picking  face  γ  depth(β)=depth(γ)+1.  

                                                                                                     e.g.,  

RSA    '11   13  

     

RSA    '11   14  

RSA    '11   15  

RSA    '11   16  

RSA    '11   17  

RSA    '11   18  

RSA    '11   19  

RSA    '11   20  

Broutin   Devroye  

Large  Deviations  for  the  Weighted    Height  of  an  Extended  Class  of  Trees.  Algorithmica  2006  

  This  cannot  be  used  though  to  get  a  lower  bound:  

RSA    '11   21  

Diameter=2,  Depth  arbitrarily  large  

     

RSA    '11   22  

     

RSA    '11   23  

     

RSA    '11   24  

  Using  the  recurrence  and  simple  algebraic  manipulation:  

     

RSA    '11   25  

Supervertex    A  

RSA    '11   26  

     

RSA    '11   27  

     

RSA    '11   28  

     

RSA    '11   29  

     

RSA    '11   30  

     

RSA    '11   31  

Chung   Lu   Vu  

Mihail   Papadimitriou  

RSA    '11   32  

S1   S2   S3  

….   ….  

….  

Star  forest  consisting  of  edges  between  S1  and  S3-­‐S’3    where  S’3  is  the  subset  of  vertices  of  S3  with  two  or  more    neighbors  in  S1.  

     

RSA    '11   33  

….   ….  

….  

     

RSA    '11   34  

     

RSA    '11   35  

  Diameter  [Constant]    Smallest  Separator:  the  Lipton-­‐Tarjan  theorem  assures  the  existence  of  a  good  separator.  Any  smaller?  

  Robustness  and  Vulnerability:  Random  and  malicious  deletion  of  vertices,  does  the  network  remain  connected?    

RSA    '11   36  

RSA    '11   37  

Alexis  Darasse  

                   Thanks  a  lot!  

RSA    '11   38