8/17/2019 hhvp

1/3T

  r    ầ  n

 M   i  n   h N

   h  ự    t

Hình học vi phân 

Đạo hàm hàm ngược của hàm Hyperbolic:

CÔNG THỨC CẦN NHỚ

cosh2 t

     sinh2 t

     1

  sinhx      coshx,    coshx       sinhx.

  tanh x      1

cosh2 x

,   cothx    

  1

sinh2 x

.

Đặt  y      sinh    1 x      x      sinh y

  sinh    1 x

 

    y

   x

  

  1

x   y

 

  

1

  sinh y     

1

cosh y  

1   

1      sinh2 y

  

1   

1      x2

y     cosh

 

  1 x      x

     cosh y

  cosh 

  1 x 

    y

   x

  

  1

x   y

 

  

1

  cosh y     

1

sinh y  

1   

cosh2 y      1

  

1   

x2   1

.

Đạo hàm hàm ngược của hàm lượng giác:

CÔNG THỨC CẦN NHỚ

cos2 x

     sin2 x

     1

  sinx      cosx,    cosx      sinx,

  tanx      1

cos2 x,

   cotx      1

sin2 x

,

1      tan2 x   

  1

cos2 x.

y     arcsinx      x      sin y

  arcsinx      y    x     1

x   y

 

  

1

  sin y     

1

cos y  

1   

1      sin2 y

  

1   

1      x2.

y     arccosx      x      cosy

  arccosx      y    x     1

x   y

 

  

1

  cos y     

1

sin y   

1   

1      cos2 y   

1   

1      x2.

y     arctanx      x      tan y

  arctanx      y    x     1

x   y

 

  

1

  tan y     

1

1

cos2

y

  

1

1      tan2 y

  

1

1      x2.

1

8/17/2019 hhvp

2/3T

  r    ầ  n

 M   i  n   h N

   h  ự    t

Hình học vi phân 

Định lý 1.1: Công thức (11) chương 6

Nếu  F       0 thì độ cong Gauss  K  được tính theo hệ số của dạng cơ bản thứ nhất bằng công thức 

K    

  1

2   

  EG

   

 

Gu

   

EG

 

  u

  

 

E v

   

EG

 

  v

 

Chứng minh.   Khi  F       0, theo định nghĩa độ cong, ta có

K   

  LN     M 2

EG  (1.1)

Mặt khác, ta cũng có:

L    σ  

uu   N   

det 

  σ 

uuσ

uσ

v

 

 σ

u    σ

v 

M     σ  

uv   N   

det

 

  σ 

uvσ

uσ

v

 

 σ

u    σ

v 

N     σ  

vv   N   

det 

  σ 

vvσ

uσ

v

 

 σ

u    σ

v 

mà 

 

 

σ

u    σ

v

 

 

   

   

  EG    F 2

  

   

EG

nên

L  

det 

  σ 

uuσ

uσ

v

 

   

EG(1.2)

M   

det 

  σ 

uvσ

uσ

v

 

   

EG(1.3)

N   

det 

  σ 

vvσ

uσ

v

 

   

EG(1.4)

Chú ý: (Một cách biểu diễn tường minh của  L,M,N )

L  

xuu   yuu   zuuxu  y

u  z

u

xv   yv   zv

   

EG

M   

xuv

  yuv

  zuv

xu  y

u  z

u

xv   yv   zv

   

EG

N   

xvv

  yvv

  zvv

xu   yu   zuxv  y

v  z

v

   

EG

Áp dụng trực tiếp nhân ma trận, ta sẽ thu được kết quả sau đây nhe...

Tính chất của định thức với ma trận  A,B:A

 

B

  

A

   B

2

8/17/2019 hhvp

3/3T

  r    ầ  n

 M   i  n   h N

   h  ự    t

Hình học vi phân 

Thế (1.2), (1.3) và (1.4) vào (1.1), ta được:

K    EG2

  

 

 

 

σ 

uuσ

uσ

v

 

 

 

 

 

 

 

  σ 

vvσ

uσ

u

 

 

 

  

 

 

 

  σ 

uvσ

uσ

v

 

 

 

2

  

σuuσvv   σuuσu   σuuσvσuσvv   σuσu   σuσvσvσvv

  σvσv  σ

vσv

  

σuvσuv   σuvσu   σuvσvσuσuv   σuσu   σuσvσvσuv

  σvσu  σ

vσv

  

σuuσvv   σuuσu   σuuσvσuσvv   E    0

σvσvv   0   G

  

σuvσuv   σuvσu   σuvσvσuσuv   E    0

σvσuv   0   G

(Do  F       0)

 σuuσvv   

  σuvσuv  

E    0

0   G

  

0   σuuσu   σuuσvσuσvv

  E    0

σvσvv   0   G

  

0   σuvσu   σuvσvσuvσu

  E    0

σuvσv   0   G

  

E vv

2  

Guu

2  

  EG  

0  E 

u

2  

E 

v

2

  

G

u

2   E    0

G

v

2  0   G

  

0  E 

v

2

G

u

2

E 

v

2   E    0

G

u

2  0   G

  

 

   2E  vv

     2G  uu

4

 

   EG

  

  GE uG

u    EE 

uG

v    G

   E 

v 

2  E 

   G

u 

2

4

  

   2EG    E  vv

    G  

uu     G

u   E 

uG

    EG

u     E 

v   E 

vG

    EG

v 

4

   K 

  

    2EG    E  vv

    G  

uu     G

u   E 

uG

    EG

u     E 

v   E 

vG

    EG

v 

4   EG     2

  

1

2

   

  EG

   

 

Gu

   

EG

 

  u

  

 

E v

   

EG

 

  v

 

.  

Xong rồi!!! Chú thích:

 

 

 

σ 

uuσ

uσ

v

 

 

  

 

 

 

  σ 

vvσ

uσ

u

 

 

   

xuu

  yuu

  zuu

xu   yu   zuxv  y

v  z

v

 

xvv

  xu  x

v

yvv   yu   yvzvv

  zu  z

v

  

σuuσvv

  σuuσu  σ

uuσv

σuσvv   σuσu   σuσvσvσvv

  σvσv  σ

vσv

Tương tự trường hợp còn lại  

Bài 1.  Cho hình chóp  S.ABCD

3