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Probabilidad, Aleatoriedad e Incertidumbre

Capítulo 6

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• Aprender el vocabulario básico utilizado en técnicas de conteo. • Resolver problemas utilizando probabilidad clásica.

Probability, Randomness, and Uncertainty

Sections 6.1-6.4 Classical Probability

Objetivos:



• En su uso cotidiano, la palabra probabilidad se refiere a un evento o circunstancia que se cree que ocurrirá. No obstante, se toma en cuenta también la posibilidad de que no ocurra.

• La probabilidad se usa para cuantificar la incertidumbre.

• Los juegos de azar, como lanzar una moneda, proveen una manera de demostrar algunas de las leyes fundamentales de la probabilidad. • Estadísticamente hablando, estos juegos se llaman experimentos.


Section 6.1 Important Definitions

Probabilidad:



• Un experimento aleatorio se define como cualquier actividad o fenómeno que cumple las siguientes condiciones:

i. Hay un resultado distinto para cada ensayo del experimento.

ii. El resultado del experimento es incierto. iii. El conjunto de todos los distintos resultados del

experimento puede ser especificado y se llama el espacio muestral (sample space).



Experimento Aleatorio:



• Un evento simple es cualquier miembro del espacio muestral (sample space) .

Si lanzaras una sola moneda existen solamente 2 eventos simples {Head, Tail} en el experimento.

• Un evento es una serie de eventos simples.



Eventos:



• El espacio muestral contiene cada resultado posible que podría ocurrir en el experimento.

• Para un experimento de lanzar una moneda el espacio muestral sería:

S = {Head, Tail}.

• El espacio muestral puede ser llamado también conjunto de resultados (outcome set).

• El resultado de un experimento aleatorio debe ser un evento simple.



Espacio muestral (Sample Space):



Experimento 1: Lanza una moneda tres veces y observa el número de “caras”(H)

¿Se han cumplido las tres condiciones de un experimento aleatorio?

i. Habría sólo un resultado por ensayo ya que no es posible obtener exactamente una y exactamente dos “caras” en el mismo ensayo.

ii. El resultado sería incierto antes de lanzar las tres monedas.iii. El espacio muestral puede ser especificado y está compuesto

por 8 eventos simples:S={TTT, TTH, THT, THH, HTT, HTH, HHT, HHH}

El experimento cumple las condiciones de un experimento aleatorio.

Un evento puede ser la obtención de más de una cara, que implica el siguiente conjunto de eventos simples: {THH, HTH, HHT, HHH}.



Ejemplo:



Experimento 2: Tira un dado y observa el número en la superficie superior. ¿Se han cumplido las condiciones de un experimento aleatorio?

i. Se obtendrá solamente un resultadoii. El valor del resultado es desconocido. iii. El espacio muestral puede ser especificado y está compuesto

por eventos simples:S={1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Este experimento cumple las condiciones de un experimento aleatorio.

Un evento puede ser tirar un número par, que estaría representado por un conjunto de eventos simples: {2, 4, 6}.



Ejemplo:

Solución:



Experimento 3: Saca una carta de una baraja bien revuelta que consista en 13 corazones, 13 espadas, 13 diamantes y 13 tréboles y observa el resultado. ¿Se cumplen las tres condiciones de un experimento aleatorio?

i. Se obtendrá sólo un resultado.ii. El resultado es incierto porque la carta será elegida al azar. iii. El espacio muestral consiste en el conjunto de resultados,

S = {corazón, trébol, espada, diamante}.

Este experimento cumple las condiciones de un experimento aleatorio.

Un evento puede ser sacar una espada o un trébol, lo que estaría representado por un conjunto de eventos simples: {espada, trébol}.



Ejemplo:

Solución:



• Alguien que quisiera conocer la probabilidad de obtener una “cara” al lanzar una moneda podría lanzar una moneda varias veces y observar el número de veces que obtuviera una “cara”.

• La probabilidad puede ser calculada como el número de veces que se observaron “caras” dividido por el número de veces que se lanzó la moneda. Esta es la interpretación de frecuencia relativa de la probabilidad.

Ch. 6 Probability, Randomness, and Uncertainty

6.2 Interpreting Probability: Relative Frequency


Section 6.2 Interpreting Probability: Relative Frequency

Frecuencia Relativa:



• Si un experimento es llevado a cabo n veces, en condiciones idénticas, y el evento A aparece k veces, la frecuencia relativa de A es:

• Si la frecuencia relativa se estabiliza conforme n incrementa, entonces se dice que la frecuencia relativa es la probabilidad de A.

.k

An

Relative Frequency of






Fre

cuen

cia

Rel

ativ

a d

e “c

aras

”

Ésta es una gráfica de las primeras 42 veces que se lanza una moneda. La frecuencia relativa después de 42 volados es de 36%. Esto significa que en 42 volados, la moneda cayó en caras 36% de las veces. Es necesario lanzar la moneda más veces para estabilizar el porcentaje.






Fre

cuen

cia

Rel

ativ

a d

e “c

aras

”

Aquí, el número de “volados” comienza en 200. Para el tiro 296, hay 141 caras y 155 cruces que equivalen a una probabilidad de .4764 (o frecuencia relativa) de caras. Aunque esto es ligeramente menor de lo esperado, este porcentaje es razonable considerando la aleatoriedad de lanzar una moneda.






Fre

cuen

cia

Rel

ativ

a d

e “c

aras

”

Resulta claro que de 1350 a 1450 lanzadas el porcentaje converge en algún punto cercano a .5 y se mantiene estable. En la lanzada número 1450, hay 718 caras y 732 cruces lo que es equivalente a una probabilidad de .4952 (o frecuencia relativa) de obtener caras.




0



¿La frecuencia relativa observada en algún momento será .5?

• Ninguna ley matemática ni física requiere que la frecuencia relativa observada llegue a un nivel predeterminado. Sin embargo, si la probabilidad de observar una cara es de 0.5, la frecuencia relativa observada debe acercarse estrechamente después de un gran número de lanzamientos de moneda.

Frecuencia relativa del evento “obtener una cara”

• La frecuencia relativa de obtener una cara parece converger a la frecuencia relativa esperada. Esto se llama regularidad estadística.

718.4952

1450

kA

n

Regularidad Estadística:





• Un ejemplo de probabilidad subjetiva es la predicción del clima.

• El meteorólogo del canal 2 predice que existe un 80% de probabilidad de lluvia, pero el del canal 4 predice una probabilidad de 66%. Por último, en el canal 5 se predice con un 33% de probabilidad que habrá lluvia.

¿Quién es más preciso?

• De hecho, es posible que el cálculo de los tres meteorólogos sean precisos.

¿Cómo es esto posible?


Section 6.3 Interpreting Probability: Subjective Approach

Aproximación Subjetiva:



• Si 80% de los días en los que el meteorólogo del canal 2 predijo un 80% de probabilidad de lluvia de hecho llueve entonces es un meteorólogo muy preciso.

• Si 66% de los días en que el meteorólogo del canal 4 predijo 66% de probabilidad de lluvia lloviera, entonces sería tan preciso como el del canal 2.

• Finalmente, si el meteorólogo del canal 5 predijera un 33% de probabilidad de lluvia y de hecho lloviera un 33% del tiempo que hiciera dicha predicción, este meteorólogo es tan preciso como los de los canales 2 y 4.






• La perspectiva subjetiva se refiere a la probabilidad de un evento como medida del grado de creencia de que un evento ha ocurrido.

• El grado de creencia de alguien en un evento dependerá en sus experiencias de vida.

• La aproximación subjetiva debe permitir diferencias en el grado de creencia entre personas razonables.

• La probabilidad subjetiva es criticada por no ser un criterio universalmente aceptado. Dos personas razonables pueden observar los mismos datos y llegar a conclusiones diferentes acerca del grado de creencia sobre la aparición de un evento.






• La probabilidad puede ser calculada como una simple proporción: el número de eventos simples que componen un evento dividido entre el número de eventos simples en un espacio muestral. La probabilidad de un evento, representado está dado por:

A(A)P

A(A)P

number of simple events in

total number of simple events in the sample space


Section 6.4 Interpreting Probability: Classical Approach

Aproximación clásica:



En el experimento 1 lanzamos una moneda tres veces y el número de caras fue observado. El espacio muestral consistió en 8 eventos simples {TTT, TTH, THT, THH, HTT, HTH, HHT, HHH}. Digamos que A representa el evento de obtener al menos una cara.

¿Cuál es la probabilidad de A?

El evento A consiste en 7 eventos simples, {TTH,THT, THH, HTT, HTH, HHT, HHH}, existen 8 eventos simples igualmente probables en el espacio muestral,

7(A) .

8P


Section 6.4 Interpreting Probability: Classical Approach

Ejemplo:

Solución:





• Calcular la probabilidad condicional de una situación. • Utilizar correctamente la regla de probabilidad apropiada para cada situación.


Sections 6.5-6.11 Basic Probability Rules

Objetivos:



• Existen varias ideas contrapuestas que buscan definir la interpretación de la probabilidad. De hecho, existe un conflicto fundamental entre las nociones de regularidad estadística y grado de creencia.

• La teoría de la probabilidad no requiere la interpretación de probabilidades, tal como en geometría la interpretación de puntos, líneas y planos es irrelevante.

• Por fortuna, la probabilidad debe obedecer ciertas leyes sin importar cómo está definida.


Section 6.5 What is Probability?

¿Qué es probabilidad?:




6.6 Some Laws of Probability

Ley de Probabilidad 1Una probabilidad de cero significa que el evento no puede ocurrir.

Ley de Probabilidad 2Una probabilidad de uno significa que el evento tiene que pasar.

Ley de Probabilidad 3Todas las probabilidades deben situarse entre cero y uno exclusivamente.

Ley de Probabilidad 4La suma de probabilidades de todos los eventos simples es uno.


Section 6.6 Some Laws of Probability

Leyes de Probabilidad:



• La mayoría de las veces en las que se trabaja con muestras se tratan de deducir los parámetros poblacionales de éstas. • El proceso de emitir juicios sobre los parámetros poblacionales se llama inferencia estadística. • No existe garantía de que la muestra represente de manera precisa a la población debido a que es aleatoria. • Si una muestra no es representativa, entonces usar la media muestral como un estimado de la media poblacional resulta impreciso. • La probabilidad se utiliza para evaluar la calidad de nuestras inferencias. • Todas las conclusiones estadísticas deben incluir cierto grado de incertidumbre. • La probabilidad es la base de la inferencia estadística porque es utilizada para estimar la confiabilidad de inferencias muestrales.


Section 6.7 What’s the Connection Between Probability and

Statistics?

Probabilidad y Estadística:




6.8 Probability and Business

• El concepto de probabilidad tiene muchos usos en los negocios. Cuando un gerente se pregunta si bajar un precio de subasta en 5% aumentará la probabilidad de ganarla, está pensando en probabilidad.

• La probabilidad también se utiliza como un criterio para diseñar y evaluar la confiabilidad de un producto, evaluar seguros, gestionar proyectos, entre otras cosas.

• Un actuario es un tipo especial de estadístico que asiste en el desarrollo de modelos de seguros que cuantifican la incertidumbre y ayudan a tomar decisiones de negocios.


Section 6.8 Probability and Business

Probabilidad y Negocios:



• Un evento compuesto es un evento que se define al combinar dos o más eventos.


Section 6.9 Other Probability Rules

Eventos compuestos (compound event):



• Supongan que el director de marketing de Sports Illustrated creía que cualquier persona con un ingreso mayor a $50,000 y/o suscrito a más de una revista de deportes podría potencialmente ser un buen prospecto para una campaña publicitaria directa por correo.

• Así, los eventos:A = {ingreso annual es mayor a $50,000} y

B = {está suscrito a más de una revista de deportes}.

• Hay diversos tipos de eventos compuestos. Para ilustrar estos conceptos, considere los eventos A y B.



Eventos compuestos (compound event)



• La unión de los eventos A y B es el conjunto de todos los resultados incluidos en A o B o ambos y se representa por . A B

• Nota que la unión incluye todos los puntos en ambios A y/o B.



Unión:



• La intersección de los eventos A y B es la serie de resultados que están incluídos tanto en A como en B.

• El símbolo de la intersección es:• Nota que la intersección incluye sólo puntos tanto en A como en B.



Intersección:

.



A

• El complemento de un evento A es la serie de todos los resultados posibles que no son A.

• El complemento de una serie estaría escrito Ac. • Nota que el complemento de A incluye todos los puntos que no son A.• Para el evento A = {ingreso anual es mayor que $50,000}, el complemento de A sería:

Ac = {ingreso anual es menor o igual a $50,000}.

El complemento de A es lo que está indicado.



Complemento:



• Dos puntos son mutuamente excluyentes si no tienen puntos en común

A B

•También se les llama conjuntos inconexo (disjointedness). La figura anterior representa dos eventos inconexos.

• Las relaciones entre conuntos complementos, uniones e intersecciones dan pie a un número importante de leyes de probabilidad.



Mutuamente excluyentes:



Ley de probabilidad 5

c c A (A ) 1 (A)P P The probability of is given by

Considera el evento A = {ingreso anual es mayor a $50,000}. Supón que la probabilidad de A es .08.

¿Cuál es la probabilidad de observar a alguien cuyo ingreso es menor o igual a $50,000?

P(ingreso annual es menor o igual a $50,000)

c(A )

1 A

1 .08

.92.

P

P



Ejemplo:

Solución:



Unión de Eventos Mutuamente Excluyentes

Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes, entonces

(A B) (A) (B).P P P

A B

Ley de probabilidad 6:





La Regla de Adición (Addition Rule)

Para dos eventos A y B,

(A B) (A) (B) (A B)P P P P



Ley de probabilidad 7:



• La probabilidad de que un evento ocurra, dado que otro evento ha ocurrido o es seguro que ocurrirá, se conoce como probabilidad condicional.

• Considera la pregunta sobre si fumar daña a aquellos que están impuestos de manera indirecta al humo del cigarro. • Supón que 3 por ciento de las mujeres que no fuman mueren de cancer. Sin embargo, si una mujer que no fuma está casada con un fumador, la probabilidad de morir de cancer es de .08. Ésta es una probabilidad condicional porque el espacio muestral está siendo limitado por una condición– en este caso limitado a las esposas de hombres fumadores.


Section 6.10 Conditional Probability

Probabilidad Condicional:

Ejemplo:



• La probabilidad condicional de A, dado que B ha ocurrido es

(A B)(A | B) .

(B)

PP

P

• Los eventos A y B se pueden invertir en la regla anterior para calcular .(B | A)P

• La notación se lee como la “probabilidad de A dado B”. La línea vertical en una declaración de probabilidad siempre significará “dado”.

(A | B)P


Section 6.10 Conditional Probability

Ley de Probabilidad 8:



• La independencia es un concepto de extrema importancia en el análisis estadístico.

• La independencia describe un tipo especial de relación entre dos eventos.

• Se dice que dos eventos son independientes si el conocimiento de un evento no provee información sobre la ocurrencia del otro evento.

• Si dos eventos no son independientes, son dependientes.

• Dos eventos, A y B, son independientes si y sólo si

(A | B) (A) (B | A) (B)P P P P or


Section 6.11 Independence

Independencia:



Regla de Multiplicación para Eventos Independientes

Si dos eventos, A y B, son independientes, entonces

Si n eventos, A1,A2,…,An, son independientes, entonces

(A B) (A) (B).P P P

1 2 1 2(A A ... A ) (A ) (A ) ... (A ).n nP P P P


Section 6.11 Independence

Ley de Probabilidad 9:





• Aprender las 5 reglas básicas de conteo• Diferenciar entre permutación y combinación.


Section 6.12a Basic Counting Rules

Objetivos:





• E1 es un evento con n1 posibles resultados y E2 es un evento con n2 posibles resultados. El número de maneras que los eventos pueden ocurrir en secuencia es n1 . n2.

• Este principio puede ser utilizado para cualquier número de eventos que ocurran en secuencia.


Section 6.12 Counting

Regla Fundamental de Conteo:





Una proovedora local ofrece bolígrafos de tres diferentes manufactureras. Los bolígrafos de cada una viene en rojo, azul, negro o verde y punta fina o mediana para cada color. ¿cuántos tipos diferentes de bolígrafos tiene la tienda?



Ejemplo:

Solución:

3 4 2 24

number of color of ink types of tips different pens

manufacturers

Utilizando la regla fundamental de conteo:





• El producto es un tipo especial de producto llamado factorial.

• Supón que n es un número entero positivo. Entonces,

• Nota: 0! = 1 por definición.• n! se lee “n factorial”.• Con esta notación,



n Factorial:

5 4 3 2 1

! 1 2 ... 3 2 1.n n n n

5! 5 4 3 2 1 120.





• Una permutación es un orden o arreglo específico de objetos en una serie. Existen n! permutaciones de n objetos únicos.

• El número de permutaciones de n objetos únicos tomados k a la vez es:

• También podrías encontrar la notación

• Si dados n objectos, con n1 similar, n2 similar, …, nk similar, entonces el número de permutaciones distinguibles de todos los objetos n es



Permutación:

!

.!

nk

nP

n k

, .n kP P n ror

1 2 3

!.

! ! !... !k

n

n n n n





• Una combinación es una colección de objetos donde el orden no tiene importancia.

• El número de combinaciones de n objetos únicos tomados de k a la vez es:

• Es importante recordar que las permutaciones se utilizan cuando el orden es importante y las combinaciones cuando el orden no es importante.



Combinación:

!

.! !

nk

nC

n k k

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