guias 1 a 10 de calculo iii exactas 15 junio 2014

7/17/2019 Guias 1 a 10 de Calculo III Exactas 15 Junio 2014

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Universidad de ChileFacultad de Ciencias

Guıa 1Calculo en varias variables. Semestre Primavera 2014Prof.: Eduardo Friedman

1. Para x = (x1, x2,...,xn) ∈ Rn, sea x∞ := max1≤i≤n

|xi|

. Demuestre:

(a) ∞ es una norma sobre Rn.

(b) ∞ es equivalente a 2.

2. Para p ≥ 1 y x = (x1, x2,...,xn) ∈ Rn definamos x p :=

ni=1 |xi| p

1

p

.

Demuestre que lim p→∞

x p

=

x∞

.

Sugerencia . Divida x por el escalar x∞ y despues calcule el lımite.

3. Demuestre directamente (con y δ ) que las siguientes funciones son continuas:

(a) f : Rn → R, f (x) := 7 x2.

(b) f : Rn ×Rn → Rn, f (x, y) := x + y para x, y ∈ Rn.

(c) f : (0, ∞) × (0, ∞) → R, f (x, y) := x/y.

4. Determine si las siguientes funciones son continuas. Para su bienestar mental,trate de NO usar y δ .

(a) f : R2 → R, f (x, y) := cos(xy) + esin(x).

(b) f : R× (R− {0}) → R, f (x, y) := x/y.

(c) f : R3 → R, f (x,y,z ) := z1+x2+z4y2

.

5. Determine si los siguientes subconjuntos B ⊂ R2 son abiertos, cerrados, acota-dos y/o compactos.

(a) B :=

(x, y) ∈ R2 x > 2y

.

(b) B :=

(x, y) ∈ R2

x ≥ 2y

.

(c) B :=

(x, y) ∈ R2

3y ≥ x > 2y

.(d) B :=

(x, y) ∈ R2

x2 + y2 < 3, x > 2y

.

(e) B :=

(x, y) ∈ R2 x4 + y4 < 3, x > 2y

.

(f) B :=

(x, y) ∈ R2 − 1

3 < cos(xy4) < 1

2

.

(g) B :=

(x, y) ∈ R2 y2 ≤ 3, x2 ≤ |y|.



6. Sea A1, A2, A3, ..., An,... una sucesion infinita de elementos de R3. Escribire-mos las coordenadas de An = (xn, yn, z n).

(a) De una definicion de limn→∞ An = B sin mencionar explıcitamente lascoordenadas de An.

(b) Demuestre que su definicion es equivalente a la convergencia de cada unade las sucesiones de coordenadas xn, yn, z n a ....... (termine el ejercicio).

(c) Sea K ⊂ R3 un conjunto cerrado. Suponga que An ∈ K para todo n ∈ N

y que limn→∞ An = B. Demuestre que B ∈ K .

7. Sea C ([0, 1]) es espacio vectorial de las funciones continuas del intervalo [0, 1] aR. Para f ∈ C ([0, 1]), definamos

f 1 := 10

|f (x)| dx, f 2 := 1

0|f (x)|2 dx, f ∞ := sup

x∈[0,1]

|f (x)|.

(a) Demuestre que acabamos de definir tres normas sobre C ([0, 1]).

(b) Demuestre, para todo f ∈ C ([0, 1]) que se cumple

f 1 ≤ f ∞, f 2 ≤ f ∞.

(c) *Demuestre que las tres normas NO son equivalentes entre sı.1

1 Una estrella * denota un problema gourmet que podrıa hacerle ver estrellitas.





1. Haga un esbozo de los siguientes subconjuntos de R3. Indique en cada caso sise trata de la grafica de una funcion f : R2 → R.

(a)

(x,y,z ) ∈ R3 x2 + y2 + z 2 = 4

.

(b)

(x,y, 3x − 4y) ∈ R3 x, y ∈ R

.

(c)

(x,y,

x2 + y2) ∈ R3

x, y ∈ R

.

2. Sea f : (a, b) → R diferenciable en el punto P , donde P pertenece al intervaloabierto (a, b). Usando la definicion de diferenciabilidad dada en clase, demuestreque f es continua en P .

3. Use diferenciales para calcular un valor aproximado de f (x0 + h) para las fun-ciones dadas. Compare con el valor que da su calculadora y calcule

f (x0 + h) − f (x0) − f (x0)h

h .

Se dan diversos valores de h para cada x0 y f (probar todos).

(a) f (x) = x2

, x0 = 3, h = 1, 1/10, 1/100, 1/10000.(b) f (x) = x2, x0 = 0, h = 1, 1/10, 1/100, 1/10000.

(c) f (x) = sen(x), x0 = π/2, h = 1, 1/10, 1/100, 1/10000.

(d) f (x) = sen(x2), x0 = 0, h = 1, 1/10, 1/100, 1/10000.

(e) f (x) = cos(x2), x0 = 0, h = 1, 1/10, 1/100.

(f) f (x) = exp(x), x0 = 0, h = 1, 1/10, 1/100.

(g) f (x) = arctan(x), x0 = 1, h = 1, 1/10.

4. Use diferenciales para estimar los siguientes valores. De una estimacion razona-ble del error y explique su estimacion.

(a) 1.0111

(b) log(1, 003)

(c) √

4, 0001

(d) 1

2, 0035

5. Sean f : R → R y g : R → R ambas funciones diferenciables (en todo puntode su dominio R). Usando la definicion de diferenciabilidad dada en clase,demuestre que la composicion f ◦ g es diferenciable.



6. Suponga que f : R → R tiene una derivada continua f (x) para todo x ∈ R.Fijemos un punto x0 ∈ R. Sea

L1(h) := a + bh

una funcion afın arbitraria (aquı a y b son numeros reales fijos) y sea

L(h) := f (x0) + f (x0)h.

(a) Demuestre que si a = f (x0), entonces existe δ > 0 tal que

h ∈ (−δ, δ ) =⇒ |f (x0 + h) − f (x0) − L(h)| < |f (x0 + h) − f (x0) − L1(h)|.

(b) Demuestre (usando el Teorema del Valor Medio de Calculo I) que si a =f (x0), pero b

= f (x0), entonces existe δ > 0 tal que

h ∈ (−δ, δ ) =⇒ |∆(h) − L(h)| ≤ |∆(h) − L1(h)|.

(c) Explique porque con esto ha demostrado que L(h) es la funcion afın quemejor aproxima la funcion

∆(h) := f (x0 + h) − f (x0)

para h en algun intervalo (−δ, δ ), con δ > 0. Explique en que sentidoha demostrado tambien que la recta tangente es la mejor aproximacionmediante una recta a la funcion f (x) para x cerca de x0.

7.∗ Sea f : (a, b) → R una funcion dos veces continuamente diferenciable en todoel intervalo (a, b) y fijemos un punto x0 ∈ (a, b). En este ejercicio escribiremostoda funcion cuadratica L de la forma

L(x) = a + b(x − x0) + c(x − x0)2.

(a) Demuestre que existe una funcion cuadratica L1 con la siguiente propiedad:

Para cualquier cualquier funcion cuadratica L2, existe δ > 0 tal que

|x − x0| < δ =⇒ |f (x) − L1(x)| ≤ |f (x) − L2(x)|.

(b) Demuestre que L1 es unica y de una formula para sus coeficientes a, b y c.

(c) Demuestre que

limh→0

f (x0 + h) − L1(h)

h2 = 0

(d) ¿Puede explicar mejor su estimacion del error cometido en las aproxima-ciones de los ejercicios anterirores?




Guıa 3Calculo en varias variables. Semestre Primavera 2014

Prof.: Eduardo Friedman

1. Si el radio y la altura de un cilindro cambian ligeramente, ¿como estimarıa elcambio en el volumen del cilindro?

2. Sea f : B → Rm diferenciable en x0 y sea α ∈ R. Demuestre que la funcion αf tambien es diferenciable en x0 y calcule d(αf )x0

.

3. Para una funcion g con dominio en un intervalo (a, b) ⊂ R y recorrido en Rm

podemos definir la derivada tal como en calculo en una variable:

Si g : (a, b)

→ Rm diremos que g tiene derivada g(t0) en un punto t0

∈(a, b) ssi el lımite (en Rm)

limt→t0

g(t) − g(t0t − t0

existe y es igual a g (t0).

(a) ¿Por que falla esta definicion si g : R2 → Rm?

(b) Demuestre que g tiene derivada en t0 ssi g es diferenciable en t0 (es decir,dgt0 existe) y que en ese caso la matriz de dgt0 (con respecto a las basesusuales de R y Rn) es igual al vector g(t0).

(c) Si gi(t) ∈ R es la i-esima coordenada de g(t) ∈ Rm, demuestre que g es

diferenciable ssi cada gi es diferenciable. ¿Cual es la i-esima coordenadade g (t)?

4. Encuentre el diferencial de cada una de las siguientes funciones f : B → Rm enel punto x0. Suponga que B es una bola abierta que contiene a x0.

(a) f (x, y) = cos(x + y2), x0 = (π, 0).

(b) f (x, y) = xy2, x0 = (π, 0).

(c) f (x, y) = (cos(x + y2), xy2), x0 = (π, 0).

(d) f (x,y,z ) = (zx + y2 + z, xy2), x0 = (π, 0, π/2).

5. Encuentre la derivada direccional ∂f

∂ u(x0) de las siguientes funciones. De su

valor a 4 decimales.

(a) f (x, y) = cos(x + y2), x0 = (π, 0), u = ( 1√ 2

, − 1√ 2

).

(b) f (x, y) = xy2, x0 = (π, 0), u = (−1, 0).

6. Encuentre la direccion de maximo crecimiento y decrecimiento en el punto x0

de las siguientes funciones.

(a) f (x,y,z ) = xy2z 3, x0 = (1, 2, 3).

(b) f (x, y) = x2 + y2, x0 = (3, 4).





1. Calcule ∂f ∂u

en (u, v) = (2, −12

), si f (u, v) = g

x(u, v), y(u, v), z (u, v)

, donde

x(u, v) = u2 + cos(πv), y(u, v) = u3, z (u, v) = u2 + πv2, g(x,y,z ) = xyz + y.

2. Calcule (lo que informalmente se escribe) ∂u∂s

y ∂u∂t

si

u = x2 + 2xy

−y ln(z ), x = s + t2, y = s

−t2, z = 2t.

¿Que dominio tienen t y s para que su respuesta sea correcta?

3. Deduzca la regla de la cadena usual en una variable de la regla de la cadenapara diferenciales.

4. Dadas dos funciones f, g : (a, b) → R, ambas diferenciables, definamos unanueva funcion H sobre el intervalo (a, b), pero con valores en R2 esta vez,mediante H (t) =

f (t), g(t)

. Definamos A : R2 → R como A(x, y) = xy.

(a) Calcule la matriz de d(A ◦ H )t para t ∈ (a, b).

(b) Concluya que ha demostrado la regla que calcula (f g).5. Si x = r cos(θ), y = r sen(θ), calcule para r = 0,

∂θ

∂x,

∂θ

∂y,

∂r

∂x,

∂r

∂y.

6. Suponga que F : R2 → R es diferenciable y que y = y(x) ∈ R es una funcionde x ∈ R y que satisface F (x, y) = 0 para todo x ∈ R.

(a) Demuestre∂F

∂y

dy

dx + ∂F

∂x = 0.

(b) Supongamos que en un punto (x, y) tenemos ∂F ∂y

= 0. Demuestre que enese punto

dy

dx = −

∂F ∂x∂F ∂y

.

(c) Suponga que x2 + y2 = exp(xy2). Calcule dydx

por diferenciacion implıcita(estilo primer ano de calculo) y por la formula anterior.



7. Suponga que f : R2 → R y que las derivadas parciales ∂f ∂x

y ∂f ∂y

existen y son

continuas. El plano P tangente a la grafica de f en

a,b,f (a, b)

consiste en

los puntos (x,y,z )

∈R3 que satisfacen

z = f (a, b) + (x − a)∂f

∂x(a, b) + (y − b)

∂f

∂y(a, b).

(a) Explique porque es razonable esta definicion del plano tangente.

Sugerencia : Piense en ciertas rectas que este plano debe contener. Puedesuponer que cualquier plano Π en R3 es de la

Π =

(x,y,z ) ∈ R3Ax + By + Cz = D

,

para ciertas constantes A, B,C y D .

(b) Demuestre que P es una traslacion de la grafica de la funcion lineal

(h1, h2) → df (a,b)(h1, h2).(c) Demuestre que el plano P es perpendicular a la gradiente ∇g(a,b,c), donde

g(x,y,z ) := f (x, y) − z, c := f (a, b).

8. De la ecuacion del plano tangente a la grafica de las siguientes funciones f :R2 → R en el punto

a,b,f (a, b)

, para el punto (a, b) dado. Tambien de la

ecuacion numericamente a 6 decimales.

(a) f (x, y) = (x + y)3ey en (a, b) = (−12

, 14

).

(b) f (x, y) = x sin(x − y)3

en (a, b) = ( 1√ 2

, π4

).

9. Suponga que B y C son subconjuntos abiertos de Rn y que f : B → C esdiferenciable en todo punto de B y que g : C → B es diferenciable en todopunto de C . Suponga ademas que se trata de funciones inversas la una de laotra (es decir, g

f (x)

= x para todo x ∈ B y f

g(y)

= y para todo y ∈ C ).

(a) Demuestre que para todo x ∈ B la funcion lineal df x : Rn → Rn esinvertible y que si y = f (x), entonces dgy = df −1

x .

(b) Demuestre que det(Jacf ) = 0, donde Jacf es la matriz Jacobiana de f .

(c) (Coordenadas polares) Sea

C = R2

− {(x, 0)

|x

≤0

}, B = (r, θ)

∈R

2 r > 0, θ

∈(

−π, π)

y f (r, θ) =

r cos(θ), r sen(θ)

. Encuentre det(Jacf ).

(d) Haga el ejercicio analogo al anterior para coordenadas cilındricas y paracoordenada esfericas.

10. Sea f : Rn → R diferenciable en x ∈ Rn, y sea v ∈ Rn. Definamos, aunque vno fuera unitario,

∂f

∂ v =

∂f

∂ v(x) := lim

t→0

f (x + tv) − f (x)

t ,

donde t ∈ R y t → 0. Demuestre que este lımite existe y que es igual a df x(v).



11. * Sea f : R2 → R definida por

f (x, y) = x2y

x2 + y2

si (x, y)

= 0, f (0, 0) = 0.

(a) Demuestre que f es continua en (0, 0). Sugerencia : Use coordenadas po-lares.

(b) Demuestre, calculando directamente de la definicion del ejercicio 10, que

para todo v ∈ R2 existe la derivada direccional ∂f

∂ v(0, 0).

(c) Demuestre que f NO es diferenciable en (0, 0).

Sugerencia : Si df (0,0) existiera, esto le permitirıa calcular ∂f

∂ v(0, 0) como

funcion lineal de v.




Guıa 5Calculo en varias variables Semestre Primavera 2014


1. Si γ es una coordenada en Rn (en algun sistema de coordenadas), denotaremospor eγ = eγ (P ) el vector unitario que apunta en la direccion de maximo cre-cimiento de γ en el punto P ∈ Rn. Por ejemplo, si r es la coordenada radialen R2, una de las dos coordenadas polares, tenemos er =

cos(θ), sen(θ)

y

eθ =− sen(θ), cos(θ)

, como vimos en clase. Un sistema de coordenadas se

dice ortogonal si todos sus correspondientes vectores son perpendiculares.

(a) Calcule er, eθ y ez para las coordenadas cilındricas sobre R3. Demuestre

que es un sistema ortogonal.(b) Calcule eρ, eθ y eϕ para las coordenadas esfericas sobre R3. Demuestre que

es un sistema ortogonal. ¿Que significa esto en terminos de geografıa decolegio?

(c) Calcule el gradiente ∇f en terminos de er, eθ y ez, donde f (P ) = f (r,θ,z )depende de las coordenadas cilındricas de P ∈ R3.

(d) Calcule el gradiente ∇f en terminos de eρ, eθ y eϕ, donde f (P ) = f (ρ,θ,ϕ)depende de las coordenadas esfericas de P ∈ R3.

2. Calcule las derivadas parciales de segundo orden para las siguientes funciones

f : B → R.(a) f (x, y) = xy2(1 − x − y), (B = R2).

(b) f (x, y) = log(1 + x2 + y2) − x0

2t

1 + t4dt, (B = R

2).

(c) f (x, y) = xyex+2y (B = R2).

(d) f (x, y) = ln x ln y (B = {(x, y) ∈ R2| x, y > 0}).

(e) f (x, y) = g(x)h(y) (B = R2), donde g, h : R → R son dos vecescontinuamente diferenciables.

3. Calcule el polinomio de Taylor hasta segundo orden de las siguientes funcionesf : R2 → R.

(a) f (x, y) = (x2 − y2)ex+y2, en torno a (1, 2). Uselo para estimarf (1, 1; 1, 9) − f (1, 2).

NOTA. Cuando hay coma decimal, el “;” lo uso para separar coordenadas.

(b) f (x, y) = x2−y2, en torno a (1, 2). Estime el error al usarlo para aproximarf (1, 1; 1, 9) − f (1, 2).

(c) f (x, y) = x2 − y2, en torno a (0, 0).

(d) f (x, y) = ecos(x2−y2), en torno a (0, 0).



4. Encuentre los puntos crıticos de las siguientes funciones de f : B → R. Deter-mine si son maximos o mınimos locales, o si son puntos silla.

(a) f (x, y) = xy

2

(1 − x − y), (B =R2

).(b) f (x, y) = log(1 + x2 + y2) −

x0

2t

1 + t4dt, (B = R

2).

(c) f (x, y) = xyex+2y (B = R2).

(d) f (x, y) = ln x ln y (B = {(x, y) ∈ R2| x, y > 0}).

(e) f (x, y) = g(x)h(y) (B = R2), donde g, h : R → R son dos vecescontinuamente diferenciables.

(f) f (x, y) = x2 + 4xy − y2 − 8x − 6y + π (B = R2).

5. Suponga que f : R2

→ R tiene derivadas hasta orden tres (inclusive) y todas

son continuas. Suponga que en la bola Bδ(x0) todas las derivadas de ordentres tienen valor absoluto menor que algun numero real C . Encuentre una cotapara el error cometido al aproximar f (x0 + h) por su polinomio de Taylor desegundo orden, si h2 < δ .

NOTA. Su respuesta debe C K h32, donde K es una constante explıcita que nodepende de f ni de x0.

6. * Sea f : R2 → R dada por

f (x, y) := xy(x2 − y2)

x2 + y2 si (x, y) = (0, 0), f (0, 0) := 0.

(a) Demuestre que ∂f

∂x y

∂f

∂y existen para todo (x, y) ∈ R2.

(b) Demuestre que ∂ 2f

∂x∂y(0, 0) y

∂ 2f

∂x∂y(0, 0) existen, pero no son iguales.




Guıa 6Calculo en varias variables Semestre Primavera 2014Prof.: Eduardo Friedman

1. Calcule el valor maximo y mınimo (global) de la funcion dada f : B → R eindique en que punto(s) se asumen estos valores. El dominio B ⊂ R2 se da encada caso.

(a) f (x, y) = xy2(1 − x − y), donde B :=

(x, y) ∈ R2 |x| ≤ 1, |y| ≤ 2

(es

decir, B es un rectangulo cerrado).

(b) f (x, y) = x2y, donde B := (x, y)

∈R2x2 + y2

≤2.

(c) f (x, y) = x2 + 4xy − y2 − 8x − 6y + π, donde B es el el conjunto cerrado yacotado cuyo borde es el triangulo con vertices A := (2; 1), C := (−2;3)y D = (−4; 6).

2. Se desea construir una caja rectangular con tapa, de 1 m3 de volumen, emple-ando un mınimo de material. Calcule las dimensiones de la ca ja.

3. Resuelva el problema anterior si la caja no tiene tapa.

4. La suma de tres nı¿12

meros positivos es 21. Encuentre estos numeros si suproducto es maximo.

5. Encuentre el punto del plano x + 3y + 4z = 8 mas proximo al origen.

6. Se va a construir una caja rectangular cerrada de manera que su volumen seade 60 m3. Los costos del material de la base y de la tapa son respectivamentede $5.000 y $10.000 por m2, en tanto que el de los lados es de $1.000 por m2.Determine la funciı¿ 1

2n de costo C (x, y), donde x e y son los lados de la base

de la caja. ı¿ 12

Para que dimensiones es mınimo el costo de la caja?

7. Escriba el nı¿12

mero 120 como la suma de tres numeros reales positivos demanera que la suma de todos los productos de dos factores sea maxima.

8. Encuentre los valores extremos de la funciı¿12n f (x,y,z ) = x − 2y + 2z si x2 + y2 + z 2 = 1.

9. Encuentre los puntos de la superficie z = 1 + (x − 1)2 + (y − 3)2 mas proximosal origen.

10. Sea f : R3 → R dada por f (x,y,z ) = x4 + 2x cos y + sin z. Demuestre que, enuna vecindad de (0, 0, 0) la ecuacion f (x,y,z ) = 0 define a z como funcion de

las variables x, y. Calcule ∂z

∂x y

∂z

∂y.



11. Si x2yu + xv + w + 1 = 0 y x + y + uvw +1 = 0, pensando x e y como funcionesde u, v y w, encuentre ∂x

∂u y ∂y

∂u en el punto (x,y,u,v,w) = (1, −1, 1, 1, −1).

12. Si f : R2

− {(0, 0)} → R2

− {(0, 0)} esta dada por f (x, y) = (x2

− y2

, 2xy),demuestre que en cada punto (a, b) ∈ R2, (a, b) = (0, 0), la restriccion de f aalguna vecindad de (a, b) tiene funcion inversa. Demuestre que esta funciı¿1

2n

no posee inversa global.

13. Calcule la Jacobiana Jacg(−3, 4) en el punto (−3, 4) de la inversa g de lafunciı¿ 1

2n f del ejercicio anterior, sabiendo que g(−3, 4) = (1, 2).

14. Encuentre la expansion de Taylor de primer orden en torno a (−1, 0) de lainversa g de la funcion definida por f (x, y) = (x3 − 2xy2, x + y), sabiendo queg(−1, 0) = (1, −1).

15. Sea f : R2

→ R

2

dada por

f (x, y) =

ex cos(y), ex sen(y)

.

(a) Demuestre que (0, 0) no pertenece a la imagen de f , pero que es el unicoelemento de R2 con esta propiedad.

(b) Calcule la matriz jacobiana Jacf (x, y) de f .

(c) Demuestre que Jacf (x, y) es invertible para todo (x, y) ∈ R2, y que f tieneuna funcion inversa local en todo punto (defina lo que esto significa antesde demostrarlo).

(d) Sea S := R2

− (0, 0), el plano menos el origen. Demuestre que NO existeuna funcion continua g : S → R2 tal que la composicion g ◦ f sea laidentidad sobre R2.

(e) * Para (x, y) ∈ R2, pongamos z = x +iy ∈ C, donde i :=√ −1. Definamos

la funcion exponencial exp : C → C por la serie

exp(z ) :=∞n=0

z n

n!.

Demuestre que esta serie converge y que

exp(z ) = ex

cos(y) + i sen(y)

.

¿Que le dice esto sobre la funcion inversa (local) del ejercicio c)? ¿Quepodra ser ln(i)? ¿Y ln(−2)?




Guıa 7Calculo en varias variables Semestre Primavera 2014


1. Calcule las siguientes integrales iteradas y despues escrıbalas en el otro orden.

(a) 40

4−x

0 xy dydx

(b) 10

x2−x2

dydx

(c) 2√ 3−1

√ 12−y2

y2/4 x dxdy

(d) π/3

0 sen(x)

0 xdydx

(e)

20

x3

x (x − y) dydx

(f) 1−2

x−x2

ex dydx

2. Calcule las coordenadas del centroide de las siguientes regiones R ⊂ R2.

(a) R es la region limitada por el triangulo con vertices (0, 0), (0, 1) y (1, 1).

(b) R es la region limitada por las graficas de y = x3 e y =√

x, con x ≥ 0.

(c) R es la region limitada por las graficas de y = 2 − x, y =√

x e y = 0.

(d) R es la region del primer cuadrante limitada por las graficas de y = 4−x2,y = 3x e y = 0.

(e) R es el cuarto de disco de radio 1 en el primer cuadrante.

3. Calcule el volumen bajo la superficie z = x + y + 2 y sobre la region R ⊂ R2 enel primer cuadrante limitada por las graficas de y = x2, de x = 0 y de y = 2.

4. Encuentre el area de la region del plano delimitada por la curva que tieneecuacion en coordenadas polares r2 = cos(θ).

5. Calcule

R ex

2+y2 dA, donde R es el disco con centro (0, 0) y radio 2.

6. Calcule R2 e−x2−y2 dA, dando de paso una definicion de integral “impropia”.

7. Deduzca del problema anterior el valor de ∞0 e−x2 dx.

8. Encuentre el centroide del solido limitado superiormente por el cilindro parabolicoy2 + z = 4, inferiormente por el plano y + z = 2 y lateralmente por los planosx = 0 y x = 2.

9. Calcule el volumen de la region definida como el conjunto de (x,y,z ) ∈ R3 talesque x2 + y2 + z 2 ≤ 4, x2 + y2 ≤ 1 y z ≥ 0.

10. Calcule el centroide de la region solida comun a los cilindros x2 + y2 ≤ 1 yx2 + z 2 ≤ 1.





1. Encuentre el volumen dentro de la esfera x2 + y2 + z 2 = 9 y fuera del conoz = 3 −

x2 + y2.

2. Encuentre el volumen del “cono con helado” solido delimitado por la esferax2 + y2 + z 2 = 1 por arriba y por el cono z 2 = x2 + y2 por abajo.

3. Encuentre el centro de masa de los siguientes solidos S con la funcion de den-sidad ρ(x,y,z ) dada.

(a) S es la piramide solida en el primer octante delimitada por los cuatroplanos 6x + 3y + 2z = 6, x = 0, y = 0, z = 0. La densidad de S esρ(x,y,z ) = 4x + 8y.

(b) S es la region sobre el plano z = 0 y bajo el cono z = 9 −

x2 + y2. La

densidad de S es ρ(x,y,z ) =

x2 + y2.

(c) S es el solido contenido en el primer octante de R3 delimitado por elcilindro y = x2 ademas del cilindro z = 1 − x2. La densidad de S esρ(x,y,z ) = 24yz .

(d) S es el solido delimitado por los tres planos z = 0, x = z e y = x, ademas

del cilindro y = x2

. La densidad de S es ρ(x,y,z ) = x + y.(e) S es el solido delimitado por la esfera x2 + y2 + z 2 = 1 por arriba y por el

cono z 2 = x2 + y2 por abajo. La densidad es ρ(x,y,z ) = x2 + y2 + z 2.

4. Encuentre el volumen del elipsoide solido

S =

(x,y,z ) ∈ R3 4x2 + 9y2 + 25z 2 ≤ 9

mediante un cambio de variables que transforme el elipsoide en una bola.

5. Calcule la integral doble

120

1−x

x

x − yx + y

2

dA.

Sugerencia. x = (r − s)/2, y = (r + s)/2.

6. Sea R la region del primer cuadrante del plano comprendida en las cuatrohiperbolas xy = 1, xy = 6, x2 − y2 = 4, x2 − y2 = 9. Calcule

R

x2 + y2

1 + (x2 − y2)2 dA.





1. Calcule la integral de lınea de los siguientes campos vectoriales a lo largo de loscaminos indicados.

i) F(x,y,z ) = (3y, 2x, 4z ), λ(t) = (t,t,t), 0 ≤ t ≤ 1.

ii) F(x,y,z ) = (√

z, −2x,√

y), λ(t) = (t, t2, t4), 0 ≤ t ≤ 1.

iii) F(x,y,z ) = (3x2

−3x, 3z, 1), λ = λ

1 ∪λ2

donde λ1

es el segmento derecta que une los puntos (0, 0, 0) y (1, 1, 0), y λ2 es el segmento de rectaque une los puntos (1, 1, 0) y (1, 1, 1).

iv) F(x,y,z ) = (xy,y, −yz ), λ(t) = (t, t2, t), 0 ≤ t ≤ 1.

v) F(x,y,z ) = (z,x,y), λ(t) = (sin t, cos t, t), 0 ≤ t ≤ 2π.

2. Evalue C

xy dx + (x + y) dy

a lo largo de la curva y = x2 de (−1, 1) a (2, 4).

3. Evalue C

x2 dx − y dy

a lo largo de la curva x = y2 de (4, 2) a (1, −1).

4. Demuestre que los siguientes campos vectoriales no son conservativos:

i) F(x,y,z ) = (z , z , x).ii) F(x,y,z ) = (xy,x2 + 1, z 2).

En cada caso, encuentre un camino cerrado C tal que C

F · dr = 0.

5. ¿Es el campo vectorial

F(x,y,z ) = (y, x + z, −y)

conservativo?



6. Encuentre la funcion potencial para los siguientes campos.

i) F(x,y,z ) = (2x, 3y, 4z ).

ii) F(x,y,z ) = (log x + sec2(x + y), sec2(x + y) + y

y2 + z 2,

z

y2 + z 2).

7. Demuestre que los siguientes campos son conservativos, entonces encuentrefuncion f tal que ∇f = F, y evalue la integral pedida.

i) F(x,y,z ) = (2xy,x2 − z 2, −2yz ),

(1,2,3)(0,0,0)

F · dr.

ii) F(x,y,z ) = (sin y cos x, cos y sin x, 1), (0,1,1)(1,0,0)

F · dr.

ii) F(x,y,z ) = (1

y, 1

z − x

y2,

y

z 2),

(1,2,2)(1,1,1)

F · dr.

8. Un campo de fuerzas radial en el plano esta dado por la ecuacion

F(x, y) = (f (r)x, f (r)y),

donde r :=

x

2

+ y

2

y f :R2

→R

es una funcion continuamente diferenciable.Demuestre que un tal campo de fuerzas es conservativo.

9. Calcule el trabajo realizado por la fuerza F(x, y) = (3y2 + 2, 16x), al mover unapartıcula desde (−1, 0) a (1, 0) siguiendo la parte superior de la elipse dada porla ecuacion b2x2 + y2 = b2. ¿Que valor de b minimiza el trabajo?

10. Considere el campo vectorial F : R2 − {0} → R2 dado por

F(x, y) =

F 1(x, y), F 2(x, y)

:= (

−y

x2 + y2,

x

x2 + y2).

Demuestre que para todo (x, y) ∈ R2 − {0} se verifica la igualdad

∂F 1∂y

= ∂F 2

∂x

sin embargo, F no es un campo conservativo.

11. Si ϕ1 y ϕ2 son dos funciones potenciales para un mismo campo vectorial F :R3 → R3, demuestre que estas funciones potenciales difieren por una constante.




Guıa 10 y ultimaCalculo en varias variables Semestre Primavera 2014


1. Aplique el Teorema de Green para evaluar la integral C

(2x + y2) dx + (2xy + 3y) dy

a lo largo de cualquier curva cerrada simple en el plano para la cual el Teoremade Green se cumple.

2. Considere las regiones R1 =

{(x, y)

∈R2

|x2 + y2

≤25

},

R2 = {(x, y) ∈ R2| (x − 2)2 + y2 ≤ 1}, y R3 = {(x, y) ∈ R2| (x + 3)2 + y2 ≤ 1}.Sea Int(Ri) el interior de Ri y pongamos S = R1 −

Int(R2) ∪ Int(R3)

, unaregion compacta de R2. Verifique el Teorema de Green para el campo F : R2 →R2, F(x, y) = (−y, x) integrado a lo largo de la frontera de S .

3. Use el Teorema de Green para evaluar la integral de lınea C

F · dr a lo largode las curvas C indicadas, orientadas contra las agujas del reloj.

(a) F(x, y) = (x − y, y − x), donde C es la frontera del cuadrado acotado porx = 0, x = 1, y = 0, y = 1.

(b) F(x, y) = (y2

−x2, x2 + y2), donde C es la frontera del triangulo acotado

por y = 0, x = 3, y = x.

(c) F(x, y) = (xy,y2), donde C es la frontera de la region encerrada por lasgraficas de la funciones y = x2 e y = x en el primer cuadrante.

(d) F(x, y) = (2xy3, 4x2y2), donde C es la frontera de la region “triangular”en el primer cuadrante encerrada por el eje x, la lınea x = 1 y por lagrafica de la funcion y = x3.

(e) F(x, y) = (y2, x2), donde C es la frontera del triangulo acotado por x =0, x + y = 1, y = 0.

(f) F(x, y) = (6y + x, y + 2x), donde C es el cırculo con ecuacion (x − 2)2 +(y − 3)2 = 4.

4. Calcule C

(y2 − x2)dx + (2xy + 3)dy, donde C es el camino que va recto de

(0, 0) a (√

5, 0), y sigue a lo largo del arco de un cırculo centrado en (0, 0) hasta(1, 2).

5. Sea F : R3 → R3 un campo vectorial y ϕ : R3 → R una funcion escalar,ambas con derivadas parciales de primer y segundo orden, todas definidas ycontinuas. Evalue (cuando tenga sentido) div

rot(F)

, rot

div(ϕ)

, rot

∇(ϕ)

,

y rotdiv(F). Aquı ∇ denota el gradiente, div es la divergencia y rot el rotor.



6. Sea γ una curva cerrada en el plano que encierra una regi on R. ¿Que inter-pretacion geometrica tiene

γ xdy ? Puede suponer que R esta siempre a la

izquierda del camino γ .

7. Calcule el largo de las siguientes curvas.

(a) La helice γ (t) = (cos(t), sen(t), t) para 0 ≤ t ≤ 2π.

(b) La grafica de la parabola y = x2 para x entre 0 y 1.

Regalo de la casa: √

1 + u2 du = 12

u√

1 + u2 + 12 ln(u +

√ 1 + u2) + C .

8. Calcule el area de las siguientes superficies S .

(a) S es la parte de la grafica de z = f (x, y) = 2 − x2 − y2 que se ubica sobreel plano xy.

(b) S es la grafica de z = f (x, y) = x3/2+2√ 2y que se ubica sobre el rectangulo[0, 1] × [1, 2] del plano xy.

(c) S es el medio cilindro S =

(x,y,z ) ∈ R3x2+y2 = 1, x > 0, 0 ≤ z ≤ H

.

9. Calcule el vector normal n a S en un punto (x,y,z ) ∈ S . Aquı S es la graficadel paraboloide z = x2 + y2 y n es el vector unitario que apunta hacia afuera.

10. Calcule primero directamente (sin aplicar teoremas) las siguientes integralesde superficie

S

F · dS. Despues calcule la integral usando el teorema de ladivergencia. La normal n a S es la que apunta hacia afuera.

(a) S es la esfera de radio 3, centrada en el origen, y

para (x,y,z, ) = (0, 0, 0)

F (x,y,z ) = x

x2 + y2 + z 2,

y x2 + y2 + z 2

, z x2 + y2 + z 2

.

(b) S es el cilindro de altura 1 sobre el cırculo unitario, con sus tapas, yF(x,y,z ) = (−y, x + y, z ). Es decir, S = S 1 ∪ S 2 donde

S 1 =

(x,y,z ) ∈ R3x2 + y2 = 1, 0 ≤ z ≤ 1

,

S 2 = (x,y,z )

∈R

3x2 + y2

≤1, z = 1 o z = 0.

11. Evalue las siguientes integrales directamente o usando algun teorema.

(a)

V div(F)dxdydz , donde V = {(x,y,z ) ∈ R3| x2 + y2 + z 2 ≤ 25} y

F(x,y,z ) = (x3, y3 + x, z 3 + y).

(b)

V div(F)dxdydz , donde V es el cubo de lado 1 en el primer octante

con el origen como uno de sus vertices, y

F(x,y,z ) =

(x3 − x2)y, (y3 − 2y2 + y)x, z 2 − 1).



(c)

S F · dS, donde S es la parte de la grafica de z = f (x, y) = 4 − x2 − y2

que se ubica sobre el plano xy, y F(x,y,z ) = (x,y, 0).

SUGERENCIA. Agregue un disco a S para conseguir una superficie ce-

rrada apropiada al teorema de divergencia.(d)

S

F · dS, donde S es la semiesfera

S = {(x,y,z ) ∈ R3| x2+y2+z 2 = 9, z ≥ 0}, F(x,y,z ) = (y,xz, 2z −1).

La semiesfera esta orientada por la normal que en (0, 0, 3) es n = (0, 0, 1).

CUIDADO. S no es una superficie cerrada, pero vea la sugerencia delproblema anterior.

12. Calcule (como pueda)

S rot(F) · dS donde S es la semiesfera

S =

{(x,y,z )

∈R

3

|x2 + y2 + z 2 = 9, z

≥0

}, F(x,y,z ) = (4y,x, 2z ).

La semiesfera esta orientada por la normal que en (0, 0, 3) es n = (0, 0, 1).


S rot(F) · dS, donde S es la parte de la grafica de

z = f (x, y) = 9 − x2 − 9y2 que se ubica sobre el plano xy, y F(x,y,z ) =(2xy,x2 − 2x, x2z 2). La grafica esta orientada por la normal que en (0, 0, 9) esn = (0, 0, 1).


S rot(F) · dS, donde S es la superficie del cubo de lado

2 con (0, 0, 0) y (2, 2, 2) como dos de sus vertices, y F(x,y,z ) = (2−y,xz,xyz ).El cubo esta orientado por la normal que apunta hacia afuera.

15. Calcule ambos lados del teorema de Stokes para las siguientes superficies S ycampos vectoriales F. Senale en cada caso que normal n a S esta tomando.

(a) F = (xy + z, −y, 1) y S es la semiesfera determinada porx2 + y2 + z 2 = 4, z ≤ 0.

(b) F = (xy, −yz, 0) y S esta dada por la parametrizacionx = u, y = u + v, z = v, 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1.

(c) F = (−2y2, z 2, −x2) y S es el cono determinado por

x =

y2 + z 2, y2 + z 2 ≤ 9.

16. Use el teorema de Stokes para evaluar γ

(6x2y2 − 3yz 2) dx + (4x3y − 3xz 2) dy + 6xyz dz,

donde γ es la interseccion del plano con ecuacion z = 2 + x + y y la grafica dela funcion z = x2 + y2. El camino γ esta orientado contra las agujas del relojvisto desde arriba

por ejemplo, desde (0, 0, 10)

.


S F · dS, donde S es la esfera de radio 3, centrada en

(2, −3, 0) y F(x,y,z ) = (3x − yz,z 2 − y2, 2yz + x2). La esfera esta orientadapor la normal que apunta hacia afuera.



CONTROL 1a Calculo III25 de marzo, 2014 Profesor: Eduardo Friedman Ayudante: Camilo Vera

Muestre todos sus calculos en esta hoja o en el dorso. Sea claro y conciso en surazonamiento y senale CLARAMENTE su respuesta final.

NOMBRE:(En MAYUSCULAS y CLARAMENTE escrito)

1. (3 puntos). Sea f la funcion f : R3 → R dada por

f (x,y,z ) = x2 cos

z (y + z )

.

Demuestre que f es continua.

2. (3 puntos). Sea B ⊂ R3 dado por

B :=

(x,y,z ) ∈ R3x > 2yz

.

Determine si B es abierto en R3 y determine si B es acotado. Demuestre su respuesta.



CONTROL 1b Calculo III25 de marzo, 2014 Profesor: Eduardo Friedman Ayudante: Camila Munoz


NOMBRE:(En MAYUSCULAS y CLARAMENTE escrito)

1. (3 puntos). Determine si los siguientes subconjuntos son abiertos, cerrados, aco-tados y/o compactos. Sea B ⊂ R2 dado por

B :=

(x, y) ∈ R2x2 + y2 > 3, x > 2y

.

Determine si B es abierto en R2 y determine si B es acotado. Demuestre su respuesta.

2. (3 puntos). Sea f la funcion f : R2 → R dada por

f (x, y) = x + y.

Demuestre, usando y δ , que f es continua en (0, 0).



CONTROL 2a Calculo III1 de abril, 2014 Profesor: Eduardo Friedman Ayudante: Camilo Vera


NOMBRE:

1. (3 puntos). Use el diferencial para estimar arctan(1.01).NOTA. Como atencion, la casa le recuerda que arctan(x) = 1/(1 + x2).

2. (3 puntos). En el ejercicio anterior, de una estimacion razonable del error deaproximacion y explique por que es razonable.



CONTROL 2b Calculo III1 de abril, 2014 Profesor: Eduardo Friedman Ayudante: Camila Munoz


NOMBRE:

1. (3 puntos). Use el diferencial para estimar cos 1100

+ π2

.

2. (3 puntos). En el ejercicio anterior, de una estimacion razonable del error deaproximacion y explique por que es razonable.




Muestre todos sus calculos en esta hoja o en el dorso. Sea claro y conciso en su

razonamiento y senale CLARAMENTE su respuesta final.

NOMBRE:

1. (3 puntos). Sea

u = x2 + y2, s = x3 − y5, w = xy, z = sen(u3 + s2) − ews−u2.

Encuentre ∂z

∂y

(x,y)=(1,0)

usando la regla de la cadena en varias variables.

NOTA. En su respuesta final deben haber solamente numeros (sin letras), aunque no

necesita evaluarlos con su calculadora.

2. (3 puntos). De la ecuacion del plano tangente en el punto

1, 0, 2) a la grafica dela funcion f : R2 → R, donde

f (x, y) = (x + y)3 + ey.

NOTA. Su respuesta debe tener la forma z = Ax + By + C , donde A, B y C sonnumeros reales que Usted debe calcular.





NOMBRE:

1. (3 puntos). Sea

u = x2y3, s = cos(x3 − y2), w = ln(1+ x2y4), z = u3 +cos(s2) − ws + u2.

Encuentre ∂z

∂y

(x,y)=(1,−1)

usando la regla de la cadena en varias variables.

NOTA. En su respuesta final deben haber solamente numeros (sin letras), aunque nonecesita evaluarlos con su calculadora.

2. (3 puntos). Encuentre la derivada dydx

si y esta determinada como funcion de ximplıcitamente por la ecuacion

xy + sen(x + y) + cos(xy2) = 1 .

NOTA. Puede usar el metodo que quiera para obtener la respuesta.





NOMBRE:

1. (3 puntos). Calcule el polinomio de Taylor en torno a (−1, 0), y hasta segundoorden inclusive, de la funcion f : R2 → R dada por

f (x, y) = sen(πx + y2).

Use su respuesta para estimar f (−1, 01;0, 1).

2. (3 puntos). Encuentre todos los puntos crıticos de

f (x, y) = x + y − 1

xy

con x > 0 e y > 0. Determine, para cada punto crıtico que encontro, si es un mınimolocal, un maximo local o un punto silla.





NOMBRE:

1. (3 puntos). Calcule er, eθ y ez para las coordenadas cilındricas sobre R3. Demuestreque es un sistema ortogonal.

2. (3 puntos). Encuentre todos los puntos crıticos de

f (x, y) = 4x2 − xy + y2

y determine para cada punto crıtico si es un mınimo local, un maximo local o unpunto silla.



CONTROL 5a Calculo III13 de mayo, 2014 Profesor: Eduardo Friedman Ayudante: Camilo Vera


NOMBRE:

1. (3 puntos). Encuentre el valor maximo de x2 + xy + y2 + yz + z 2 sobre la esferax2 + y2 + z 2 = 1.

2. (3 puntos). Suponga que g es la funcion inversa de

f (x, y) =

4x cos(xy) + 1, sen(x + y2)

en una vecindad de (1, 0) = f (0, 0). Calcule el determinante de la matriz jacobianade g en (1, 0).



CONTROL 5b Calculo III13 de mayo, 2014 Profesor: Eduardo Friedman Ayudante: Camila Munoz


NOMBRE:

1. (3 puntos). Encuentre el valor mınimo de xy + yz + zx + x + y + z sobre la esferax2 + y2 + z 2 = 1.

2. (3 puntos). Suponga que

x + y + 2z + sen(y) + sen(x + z ) = 0

y2x + 3y cos(x) + xez + sen(z ) = 0

definen a z y x como funcion de y cerca de (x,y,z ) = (0, 0, 0). Calcule dz

dy en y = 0.



CONTROL 6a Calculo III20 de mayo, 2014 Profesor: Eduardo Friedman Ayudante: Camilo Vera


NOMBRE:

1 (3 puntos). Escriba 10

1x2

(x + y2) dy dx

en el otro orden. NO LO CALCULE, pero muestre el procedimiento que utilizo parainvertir el orden.

2 (3 puntos). Calcule el volumen bajo la superficie z = x + y + 2 y sobre la regionR ⊂ R2 en el primer cuadrante limitada por las graficas de y = x2, de x = 0 y dey = 2.



CONTROL 6b Calculo III20 de mayo, 2014 Profesor: Eduardo Friedman Ayudante: Camila Munoz


NOMBRE:

1. (3 puntos) Escriba 10

√ yy2

(x − y) dxdy

en el otro orden. NO LO CALCULE, pero muestre el procedimiento que utilizo parainvertir el orden.

2. (3 puntos) Calcule el volumen de la region definida como el conjunto de (x,y,z ) ∈R3 tales que x2 + y2 + z 2 ≤ 4, x2 + y2 ≤ 1 y z ≥ 0.



CONTROL 7a Calculo III13 de junio, 2014 Profesor: Eduardo Friedman Ayudante: Camilo Vera


NOMBRE:

1. (3 puntos) Demuestre que el campos vectorial F(x,y,z ) = (zy,zx,xy + y) no esconservativo en R3.

2. (3 puntos) Sea F el campo vectorial F : R2 − {(0, 0)} → R2 dado por

F(x, y) =

F 1(x, y), F 2(x, y)

:= −y

x2 + y2,

x

x2 + y2

.

Demuestre que F no es conservativo en R2 − {(0, 0)}.



CONTROL 7b Calculo III12 de junio, 2014 Profesor: Eduardo Friedman Ayudante: Camila Munoz


NOMBRE:

1. (3 puntos) Calcule la integral de lınea γ

F · dr del campo vectorial

F(x,y,z ) = (3x − y, 2y, 4z 2) a lo largo del camino γ (t) = (t, 1, t2), 0 ≤ t ≤ 2.

2. (3 puntos) Sea F(x,y,z ) = (2xy,x2 − z 2, −2yz ), y sea γ el camino de (−1, 0, 0)a (0, 1, π) dado por γ (t) = (− cos(t), sen(t), 2t) para 0 ≤ t ≤ π/2. Calcule (usandocualquier metodo que quiera)

γ

F · dr.




PRUEBA 1Calculo en varias variables 10 de abril, 2014 Prof.: Eduardo Friedman

1. SeaB :=

(x, y) ∈ R

2 y2 ≤ 3, x2 ≥ y

.

(a) ¿Es B un conjunto cerrado en R2?

(b) ¿Es B un conjunto acotado?

(c) ¿Es B un conjunto compacto?

En cada caso demuestre su respuesta.

2. Use el diferencial para estimar tan(π4

+ 1100

). De una estimacion del errorcometido y justifique su estimacion.

3. Sea f : R3 → R dada por

f (x,y,z ) = y − sen(x) +

1 + x + 2y cos(z )3 + sen(y − 7z ).

(a) De una aproximacion del tipo

f (x,y,z ) − f (0, 0, 0) ≈ Ax + By + Cz

que sea buena cuando (x,y,z ) este cerca de (0, 0, 0). Aquı A, B y C sonconstantes numericas que Usted debe encontrar.

(b) Explique el sentido preciso en que su aproximacion es buena.

4. Sea f : R2 → R una funcion diferenciable en el punto P = (0, 0). Demuestreque f es continua en P .




PRUEBA 2Calculo en varias variables 26 de mayo, 2014 Prof.: Eduardo Friedman

1. Calcule ∂u

∂s en el punto (s, t) = (1, −1) si

u = x20 + 2xy − y ln(z ), x = s + t2, y = s − t2, z = 2t + 3s.

2. Sea B el triangulo con vertices (0, 0), (0, 3) y (6, 0), y sea f : B → R dada por

f (x, y) = 2x + 4y − x2 − y2.

(a) Encuentre los puntos crıticos de f en el interior del triangulo y determinesu naturaleza (maximo local, mınimo local o punto silla).

(b) Determine el valor maximo de f en B. Recuerde que B incluye interior yfrontera.

3. Escriba en el otro orden la integral doble

4/3−2

(8−2y)/3

y24xdxdy.

NOTA. Por favor, NO calcule el valor de la integral (0 puntos por calcularla).

4. Calcule las coordenadas (x, y) del centroide de la parte del disco unitario que

NO incluye el III cuadrante. Es decir, el centroide de la region del plano

R :=

(x, y) ∈ R2x2 + y2 ≤ 1, x ≥ 0 o y ≥ 0

.

guias 1 a 10 de calculo iii exactas 15 junio 2014

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escalar x

x2 y2 r3 x

demuestreque f

cumplef1 f

funcion f

r diferenciable

rn rn rn

calculefx0 h fx0 f x0hh