4. GUIAS PARA EL TRABAJO CON LOS ESTUDIANTES.

AREA: MATEMÁTICAS GRADO: Noveno FECHA:

NOMBRE DEL(A) DOCENTE:

NOMBRE DEL(A) ESTUDIANTE:

TEMA: LÍNEA RECTA

ELABORADO POR:, Jorge Didier Obando M.

PROPÓSITO: Implementar una estrategia didáctica para la enseñanza-aprendizaje de la función

lineal modelando situaciones problema a través de las TIC en el grado noveno de la Institución Educativa Luis Eduardo Arias Reinel en el municipio de Barbosa - Antioquia.

COMPETENCIAS: Razonamiento, Resolución de problemas y Comunicación.

COMPONENTES: Numérico-Variacional, Geométrico-Métrico

GEOMETRIA ANALÍTICA

RESEÑA HISTÓRICA: RENÉ DESCARTES

Fue un filósofo, matemático y físico francés, considerado como el padre de la geometría analítica y de la filosofía moderna, así como uno de los nombres más destacado de la revolución científica. Nació en La Haye (Turaine; Francia) el 31 de Marzo de 1.596 y murió en Estocolmo (Suecia) el 11 de Febrero de 1.650 a causa de una afección pulmonar. Simplifico la notación algebraica y crea la geometría analítica, fundamental en disciplinas como la economía, ya que de ahí surgen los ejes cartesianos 𝒙 e 𝒚. CONCEPTUALIZACIÓN: LA LÍNEA RECTA Y LAS FORMAS DE SU ECUACIÓN La línea recta se puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en una única dirección. Vista en un plano, una recta puede ser horizontal, vertical u oblicua (inclinada a la izquierda o a la derecha). Analíticamente, una recta se puede representar por una ecuación de primer grado con dos variables (la variable 𝒙 y la variable 𝒚), recíprocamente. Una recta que determinada completamente si se conocen dos condiciones, por ejemplo, dos de sus puntos o un punto y su pendiente. Cada punto (𝒙, 𝒚) que pertenece a una recta se puede representar en un sistema cartesiano de coordenadas, siendo 𝒙 el valor de la abscisa e 𝒚 el valor de la ordenada, así, (𝒙, 𝒚) = (𝑨𝒃𝒔𝒄𝒊𝒔𝒂 , 𝑶𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂).

Ejemplo: El punto (– 𝟑, 𝟓) tiene por abscisa – 𝟑 y por ordenada 𝟓.

Si un punto de coordenadas (𝒙, 𝒚) pertenece a la recta, se dice que dicho satisface su ecuación. Ahora bien,

la pendiente de una recta suele estar representada por la letra 𝒎 y en un sistema de representación rectangular (plano cartesiano) está definida como la diferencia entre las ordenas de dos puntos distintos de la recta, (𝑥1, 𝑦1) y (𝑥2, 𝑦2), dividido por la diferencia entre las abscisas correspondientes de estos puntos. Lo

anterior se describe en la siguiente ecuación:

𝒎 =𝒚𝟐 − 𝒚𝟏

𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

Formas de la ecuación de la recta

Ecuación general:

𝑨 𝒙 + 𝑩 𝒚 + 𝑪 = 𝟎

Donde 𝑨,𝑩 y 𝑪 son números reales cualesquiera.

Ecuación canónica o Ecuación pendiente – intercepto con el eje 𝒚:

𝒚 = 𝒎 𝒙 + 𝒃

Donde 𝒎 es la pendiente y 𝒃 es el valor en el cual la recta corta al eje 𝒚.

Ecuación punto - pendiente

𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎 ( 𝒙 − 𝒙𝟏)

Donde 𝒎 es la pendiente y el punto coordenado (𝒙𝟏, 𝒚𝟏) pertenece a la recta.

Ecuación simétrica 𝒙

𝒂+

𝒚

𝒃= 𝟏

Donde 𝒂 y 𝒃 son los valores en los que la recta corta el eje 𝒙 y el eje 𝒚, respectivamente.

Posición relativa entre rectas

Dos rectas 𝐿1 y 𝐿2 en el plano cartesiano poseen dos posiciones relativas entre ellas, que son paralelas o secantes. En particular se estudiaran las rectas que son paralelas y las rectas secantes que son mutuamente perpendiculares.

Rectas paralelas

Dos rectas 𝑳𝟏 y 𝑳𝟐 serán paralelas sí y solo sí sus pendientes son iguales, es decir,

𝒎𝟏 = 𝒎𝟐

Donde 𝒎𝟏 es la pendiente de la recta 𝑳𝟏 y 𝒎𝟐 es la pendiente de la recta 𝑳𝟐.

Rectas perpendiculares

Dos rectas 𝑳𝟏 y 𝑳𝟐 serán paralelas sí y solo sí se cumple la siguiente relación entre sus pendientes

𝒎𝟐 =−𝟏

𝒎𝟏

Donde 𝒎𝟏 es la pendiente de la recta 𝑳𝟏 y 𝒎𝟐 es la pendiente de la recta 𝑳𝟐.

Ejemplos:

1. La ecuación 𝒚 = 𝟑𝒙 + 𝟓 tiene pendiente 3 y corta el eje 𝒚 en 5, lo cual indica que el punto de

intersección con el eje es (𝟎, 𝟓).

2. Hallar la ecuación canónica de la recta que pasa por el punto (𝟑, 𝟐) y tiene pendiente 𝒎 = – 𝟓.

Para hallar la ecuación canónica de la recta, primero se debe hallar la ecuación punto – pendiente y luego transfórmala a la forma 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃 mediante operaciones algebraicas.

Sustituimos los datos en la ecuación 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎 ( 𝒙 − 𝒙𝟏), con lo cual se obtiene

𝒚 − 𝟑 = − 𝟓(𝒙 − 𝟐)

Luego se aplica la propiedad distributiva en lado derecho de la ecuación y finalmente se despeja la variable 𝒚 para obtener:

𝒚 = − 𝟓𝒙 + 𝟏

Actividad N°1

Construcción de un plano cartesiano. Materiales

Lamina de Icopor de 30cm x 30cm. Hoja de papel de 28cm x 28cm.

Tijeras Regla o escuadra. Lápiz o bolígrafo Pegante Chiches de colores o alfileres Hilo o lana Metodología

Conformar equipos de 4 estudiantes. Cada equipo deberá construir el plano cartesiano con los siguientes pasos: Recortar una hoja de papel que mida 28 cm de largo por 28 cm de ancho. Dividir la hoja de papel en una cuadricula de a 1centímetro utilizando la regla y el lápiz. Trazar un eje vetical y un eje horizontal por la mitad de la hoja (Ejes coordenados). Pegar la hoja de papel sobre la lámina de Icopor. Los chinches (o alfileres) servirán para ubicar puntos coordenados en el plano, y el hilo (o lana) servirá para unir putos de plano y representar una línea recta, para ello se necesitará amarrar un extremo del hilo a un chinche (punto coordenado) y el otro extremo del hilo a otro chinche (punto coordenado). 1. Ubique los puntos (1,4) y (-3,-4) con alfileres en el plano cartesiano y únalos con hilo.

a. ¿Cual es el punto donde la recta corta el eje x? b. ¿Cuál es el punto donde la recta corta el eje y? c. ¿Cuánto vale la pendiente de la recta? d. Escriba la ecuación canónica de la recta

2. Arme otra recta (sin desarmar la recta del paso 1) en el plano cartesiano que posea una pendiente 𝑚 = −1/2 y pasa por el punto (0, 21/2).

a. ¿Cuál es el punto donde la recta corta el eje x?

b. Si la abscisa de un punto de la recta vale −6 ¿cuál es su ordenada?

3. A partir de las rectas armadas en el plano cartesiano. a. ¿Son las rectas paralelas o perpendiculares? Justifique. b. Si se cortan ¿cuál es el punto de intersección?

Actividad N°2

Trabaja tus competencias:

1. Determina cuáles de las siguientes rectas tienen las mismas pendientes

Ecuación general Forma canónica: 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃 Pendiente

𝑦 + 𝑥 − 12 = 0

3𝑥 + 4𝑦 + 1 = 0

2𝑦 − 4𝑥 − 1 = 0

𝑦 + 𝑥 − 16 = 0

3𝑥 + 4𝑦 − 4 = 0

2𝑦 − 4𝑦 + 3 = 0

2. Halla la ecuación punto - pendiente de la recta que:

a. Pasa por los puntos (1,4) y (6,2) b. Pasa por los puntos (0,3) y (1,0) c. Tiene pendiente 𝑚 = 3 y punto (−3,2) d. Tiene pendiente 𝑚 = −1 y punto (5,10) e. Tiene pendiente 𝑚 = 5 y punto (−3,6) f. Es paralela a la recta 𝑦 = − 5𝑥 − 4 y pasa por el punto (−5, −4) g. Es perpendicular a la recta 𝑦 + 2𝑥 − 1 = 0 y pasa por el punto (1, −1)

Aplicaciones de la línea recta

Importante: Para resolver este tipo de problemas donde nos piden hallar el valor por unidad consumida y la cuota fija usaremos la ecuación canónica, donde la pendiente de la recta (𝒎) es siempre el valor por unidad consumida y (𝒃) la cuota fija.

3. Una fábrica gasta $ 850 por helado elaborado, si tienen un costo fijo de $240 por día, ¿Cuánto gastará si se producen 55, 100, 320 helados? .El criterio de formación de la ecuación es: 𝑦 = 850 𝑥 + 240

4. El pasaje de transporte en un integrado metro es de $ 2100, la relación que vincula el número de viajes

integrados con el dinero gastado en pasajes es 𝑦 = 2100𝑥

a. Si un usuario realiza 12 viajes ¿Cuánto debe pagar? b. Si un usuario compra 15 pasajes y paga con un billete de $50.000. ¿Cuánto le devuelven?

5. Una empresa de gas tiene una cuota fija por el servicio, además cobra cierto valor por metro cúbico consumido. Si por 21 m3 cobran $ 24.000, y por 35 m3 $40.800. Encontremos el valor de metro cúbico.

6. El valor total del servicio de una empresa de celulares está dado por la ecuación general −264𝑥 + 2𝑦 – 152 = 0 donde 𝒙 representa el número de minutos de una llamada e 𝒚 representa el valor total del

servicio. Encontremos el valor del minuto y la cuota fija.

7. La ecuación 𝐿 = 1,53 𝑡 − 6,7 es utilizada para determinar el crecimiento de un feto normal de más de doce semanas de gestación, donde 𝐿 es la longitud en cm del feto y 𝑡 el tiempo en semanas

a. Calcula la edad de un feto cuya longitud es 18 cm b. Calcula la longitud de un feto de 14 semanas

8. Por el alquiler de un auto se cobra una cuota fija de $ 20.000 y adicionalmente $3.500 por kilómetro recorrido. Escribe la ecuación canónica de la recta que representa esta situación. ¿Cuánto debe pagar por hacer un recorrido de 350 km? Si se paga un valor de $492.500, ¿Cuántos km recorrí?