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1 UTA Ing. M.B.A William Teneda

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO

GUIA DEL MODULO

ESTADISTICA

Ing. M.B.A William Fabián Teneda Llerena


CAPITULO I

ESTADIGRAFOS DE POSICION Y

ESTADIGRAFOS DE DISPERSION

I.1 Objetivos

• Diferenciar entre los estadígrafos de posición y los estadígrafos de dispersión.

• Demostrar el interés en la aplicación de los estadígrafos.

• Comprender como se desarrollan y se aplica las medidas de tendencia central

[estadígrafos de posición] y los estadígrafos de dispersión.

I.2 Marco Teórico

I.2.1 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

La distribución de frecuencias es un método para organizar y resumir datos. Con este

método los datos que componen una serie se clasifican y ordenan indicándose el

número de veces que se repite el valor.

ELABORACIÓN DE UNA TABLA DE FRECUENCIAS

Variable Discreta.- es necesario familiarizarse con algunos símbolos.

n = tamaño muestra

N = tamaño población

X i = identificación de cada valor observado

n i = frecuencia absoluta

h i = frecuencia relativa

N i = frecuencia absoluta acumulada

H i = frecuencia relativa acumulada


Y i = indican los valores que toman las variables

y’ i = marca de clase

m = número de valores que toma la variable Yi. También se

considera el número de intervalos o marcas de clase en la variable.

Ejercicio.

Supongamos una población constituida por 200 cajas y se desea examinarlas,

determinándose el número de piezas defectuosas que contiene cada caja. Por

diferentes razones se desea que la investigación no sea exhaustiva, es decir

seleccionar una muestra de tamaño 20, correspondiendo a una investigación

parcial.

N = 200 n = 20

El resultado de esta encuesta, se anota a continuación, siendo X1 la primera

caja examinada y 3 el número de piezas defectuosas encontradas en esa caja.

x1= 3 x6= 3 x11= 3 x16= 2

x2= 2 x7= 1 x12= 3 x17= 4

X3= 0 X8= 1 X13= 4 X18= 2

x4= 2 x9= 0 x14= 4 x19= 4

x5= 3 x10= 1 x15= 3 x20= 2

Variable contínua.- debemos conocer

m = número de intervalos

c = amplitud del ancho del intervalo

Yi ni hi Ni Hi

0 2 0,10 2 0,101 3 0,15 5 0,252 5 0,25 10 0,503 6 0,30 16 0,804 4 0,20 20 1,00

20 1 ---- ----


𝑐𝑐 =𝑋𝑋 𝑚𝑚á𝑥𝑥 − 𝑋𝑋 𝑚𝑚í𝑛𝑛

𝑚𝑚

Histograma, usado para variables continuas. En el eje OX se señalan los extremos de

los intervalos. Se construyen unos rectángulos de base la amplitud del intervalo y de

altura la frecuencia absoluta.

Polígono de frecuencias, se obtiene uniendo los puntos medios de los segmentos

superiores de los rectángulos del diagrama.

Gráfico de sectores, es el resultado de dividir un círculo en sectores circulares de

ángulos proporcionales a las frecuencias absolutas de cada valor de la variable. Para

calcular los grados de cada sector se divide la frecuencia entre el número de datos y

se multiplica por 360.Se utiliza para variable discreta y continua.

1.2.2. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL [ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓN]

Estas medidas tienden a ubicarse en el centro del conjunto.

Proporcionan un valor simple y representativo, que resume un gran volumen de

información.

1. Media Aritmética

2. Mediana

3. Moda

4. Media Geométrica

5. Media Armónica

6. Media Cuadrática

7. Media Cúbica

8. Cuartiles, Deciles y Percentiles

1. Media Artimética


La media aritmética se puede calcular para datos agrupados y no agrupados.

La media aritmética de un conjunto de valores x1 , x2, x3,............xn se obtiene

sumando todos los valores y dividiendo por el número de datos n.

XI= 1,26 X=

X2=1,75 n

Exi

X3= 1,64 x=

X4= 1,45 n

x1+x2+x3+x4+x5

X5= 1,38 x= 1,25+1,75+1,64+1,45+1,38 = 7,47

5 5

= 1,44

Y’1 – y2 ni yi yini Ni

2 – 4 1 3 3 1

4 – 6 3 5 15 4

6 – 8 7 7 49 11

8 – 10 2 9 18 13

10 – 12 4 11 44 17

Eni= 17 Exiyi= 129

X=

nT

Exini

X= 129

17

= 1,58

2. Mediana


De un conjunto ordenado de datos es aquel valor tal que la mitad de los datos

son iguales o inferiores a él y la otra mitad son iguales o superiores.

Si el número de datos es pequeño los ordenamos y cogemos el valor central.

Caso 1: Cuando el número de datos es impar:

Si los valores son 4,6,4,5,7,3,9. Los ordenamos 3,4,4,5,6,7,9, cómo son 7

datos

cogemos el dato que ocupa el lugar 4 que es 5.

Caso 2: Cuando el número de datos es impar:

Si los valores son 4,6,5,7,3,9. Los ordenamos 3,4,5,6,7,9, cómo son 6 datos

cogemos los datos que ocupan el lugar 3 que es 5 y el lugar 4 que es 6. la

mediana es la media de los dos números es este caso 5,5 =(5+6)/2

ejercicios de mediana

Y’1 – y2 ni yi yini Ni

2 – 4 1 3 3 1

4 – 6 3 5 15 4

6 – 8 7 7 49 11

8 – 10 2 9 18 13

10 – 12 4 11 44 17

me = yj-1+c (

Nj

(n/2) – Nj -1

me = 6+2 ( 3.5 +4

11

)

me = 6 + 2 +

11

4.5

me = 6.81

3. Moda

La moda de un conjunto de datos es el dato que tiene mayor frecuencia.

El intervalo modal es el de mayor frecuencia absoluta. Cuando tratamos con

datos agrupados antes de definir la moda, se ha de definir el intervalo modal.


La moda, cuando los datos están agrupados, es un punto que divide al

intervalo modal en dos partes de la forma p y c-p, siendo c la amplitud del

intervalo, que verifiquen

que:

Siendo la frecuencia absoluta del intervalo modal las frecuencias absolutas de

los intervalos anterior y posterior, respectivamente, al intervalo modal.

ejercicios de moda

Y’1 – y2 ni Yi yini Ni

2 – 4 1 3 3 1

4 – 6 3 5 15 4

• 6 – 8 7 7 49 11

8 – 10 2 9 18 13

10 – 12 4 11 44 17

md = yj-1+c (

nj+1+nj-1

(nj+1) )

md = 6+2 ( 2 )

2+8

md = 6 +

5

4

md = 6.8

4. Media Geométrica

Es considerada como una medida de posición simbolizada por Mo y su

resultado al ser calculado debe estar comprendido entre la media armónica y la

aritmética.

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Imagenmarcos2.JPG�

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Imagenmarcos3.JPG�


Sea una distribución de frecuencias (x , n ). La media geométrica, que

denotaremos por G. se define como la raíz N-ésima del producto de los N

valores de la distribución.

Si los datos están agrupados en intervalos, la expresión de la media

geométrica, es la misma, pero utilizando la marca de clase (Xi).

El empleo más frecuente de la media geométrica es el de promediar variables

tales como porcentajes, tasas, números índices. etc., es decir, en los casos en

los que se supone que la variable presenta variaciones acumulativas.

Ventajas e inconvenientes:

- En su cálculo intervienen todos los valores de la distribución.

- Los valores extremos tienen menor influencia que en la media aritmética.

- Es única.

- Su cálculo es más complicado que el de la media aritmética.

Además, cuando la variable toma al menos un x = 0 entonces G se anula, y si

la variable toma valores negativos se pueden presentar una gama de casos

particulares en los que tampoco queda determinada debido al problema de las

raíces de índice par de números negativos.

5. Media Armónica

Se utiliza como una medida de tendencia central para conjunto que consisten

en caja de cambios.

La media armónica, que representaremos por H, se define como sigue:


Es la inversa de la media aritmética de las inversas de los valores de la variable,

responde a la siguiente expresión:

....3

3

21

2

1

1 +++==

∑ xn

xn

xn

n

xn

nH

i

i

Obsérvese que la inversa de la media armónica es la media aritmética de los

inversos de los valores de la variable. No es aconsejable en distribuciones de

variables con valores pequeños. Se suele utilizar para promediar variables tales

como productividades, velocidades, tiempos, rendimientos, cambios, etc.

Ventajas e inconvenientes:

- En su cálculo intervienen todos los valores de la distribución.

- Su cálculo no tiene sentido cuando algún valor de la variable toma valor

cero.

- Es única.

· Relación entre las medias:

ejercicio de media armónica X1=0,15 M-1 = n = Q 3

X2=0,18 E(/xi) (1/0,15)+(1/0,18)+(1/0,17)

G

X3=0,17 M-1= 0,165

M-1 = n = Q 10

E(/Yi) 0,0614

G

M-1= 162,866


6. Media Cuadrática

La media cuadrática es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados

de los valores dividida entre el número de datos:

Esta media como medida de asociación tiene aplicaciones tanto en ciencias

biológicas como en medicina.

A veces la variable toma valores positivos y negativos, como ocurre, por

ejemplo, en los errores de medida. En tal caso se puede estar interesado en

obtener un promedio que no recoja los efectos del signo. Este problema se

resuelve, mediante la denominada media cuadrática. Consiste en elevar al

cuadrado todas las observaciones (así los signos negativos desaparecen), en

obtener después su media aritmética y en extraer, finalmente, la raíz cuadrada

de dicha media para volver a la unidad de medida original.

ejercicio de media cuadrática

m2 = √ Eyi2*ni = √1020

n 20

= 7,4

7. Media Cúbica

La media cúbica es una medida derivada de la media aritmética y consiste en

obtener el valor del lado que tiene el cubo media de un conjunto de n cubos.

yi ni Yi*ni Yi2*ni

2

4

6

8

10

2

3

5

6

4

4

12

30

48

40

8

48

180

384

400

1020

http://wapedia.mobi/es/Ra%C3%ADz_cuadrada�

http://wapedia.mobi/es/Media�

http://wapedia.mobi/es/Ciencias_biol%C3%B3gicas�

http://wapedia.mobi/es/Ciencias_biol%C3%B3gicas�

http://wapedia.mobi/es/Medicina�

http://wapedia.mobi/es/Errores_de_medida�


ejercicio de media cubica X1= 5 X2=6 m3 = √

X3=10 5

53+63+103+123+73

X4=12 m3= 8,80

X5=7

8. Cuartiles, Deciles y Percentiles

Los cuartiles son los tres valores de la variable que dividen a un conjunto de

datos Ordenados en cuatro partes iguales.

Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75%

de los datos. Q2 coincide con la mediana.

Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes

iguales. Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%... y al

90% de los datos. D5 coincide con la mediana.

Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes

iguales. Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al

99% de los datos. P50 coincide con la mediana.

I.2.3 ESTADIGRAFOS DE DISPERSION

Se llaman medidas de dispersión aquellas que permiten retratar la distancia de los

valores de la variable a un cierto valor central, o que permiten identificar la

concentración de los datos en un cierto sector del recorrido de la variable. Se trata

de coeficiente para variables cuantitativas.

1. Varianza

2. Desviación Típica

3. Desviación Media


1. Varianza

Varianza: Es la media de los cuadrados de las desviaciones de los datos

respecto a la media.

2. Desviación Típica

Desviación Típica: Es la raíz cuadrada de la varianza. Se calcula aplicando

esta fórmula.

3. Desviación Media

Desviación media de un conjunto de datos es la media aritmética de los valores

absolutos de las desviaciones respecto a la media.


I.3 Términos y Conceptos claves

Variable.- una variable es una cantidad sujeta a variación existen 2 tipos de variables;

las cuantitativas y cualitativas.

Dentro de las variables cuantitativas podemos distinguir las variables discretas y las

variables continuas.

a) Variables Discretas .- valores enteros

b) Variables Continuas.- valores fraccionables

Tablas Y Graficas.- la presencia de datos en una investigación se las puede

representar de varias formas que pueden ser: textuales, cuadros o tablas y gráficas.

I.4 Preguntas y Problemas i. Las notas de una estudiante han sido 85, 76, 93, 82 y 96. Calcular los

estadígrafos de posición y de dispersión. ii. Un conjunto de números contiene 6 seises, 7 sietes, 8 ochos, 9 nueves y 10

dieces. Calcular los estadígrafos de posición y de dispersión. iii. Tres profesores de economía dieron notas medias en sus cursos, con 32, 25 y

17 estudiantes de 79, 74 y 82 puntos, respectivamente. Hallar la puntuación

media de los tres cursos.

I.5 Bibliografía Complementaria

• Robert Pagano. Estadística Para Las Ciencias Del Comportamiento 7 Edición.

Editorial – Thomson. Impreso En Litograf Nueva Época. Enero 2006, México Df

• Estadística De Gilbert. Editorial – Interamericana Impreso En México 1980.

Primera Edición

• Estadística De Schaum. Segunda Edición. Editorial – Mcgraw – Hill.

• Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers. Probabilidad Y

Estadística. Editorial: 2007 Pearson Education De Mexico

• Jack R. Benjamin. Probabilidad Y Estadistica. Editorial: 1981

Mcgraw–Hill Latinoamericana Editores S.A De C.V.

• Probabilidad Y Estadistica. William Navidi. Editorial: Mcgraw –

Hill/Interamericana Editores S.A De C.V. Edicon 2006.


• Probabilidad Y Estadistica. Autor: J. Susan Milton Y Jesse C. Arnold. Editorial:

Mcgraw – Hill/Interamericana Editores S.A De C.V. Octava Ediciòn.

• Ronald E.; Raymond H. Probabilidad Y Estadística Para Ingeniería Y Ciencias.

Editorial: Pearson Educación “Printed In México”. Año: Octava Edición 2007.

• Ciro Matìnez Bencardino. Estadística Básica, Probabilidad Y Estadística.

Editorial: Ecoe Ediciones. Quinta Edición ,Agosto De 1990


CAPITULO II

REGRESION Y CORRELACION

2.1Objetivos

• Emplear adecuadamente los diferentes tipos de regresiones.

• Dominar la utilización de las regresiones.

2.2Marco Teórico

REGRESIONES

La regresión es una técnica estadística utilizada para simular la relación existente

entre dos o más variables. Por lo tanto se puede emplear para construir un modelo

que permita predecir el comportamiento de una variable dada.

La regresión es muy utilizada para interpretar situaciones reales, pero comúnmente se

hace de mala forma, por lo cual es necesario realizar una selección adecuada de las

variables que van a construir las ecuaciones de la regresión, ya que tomar variables

que no tengan relación en la práctica, nos arrojará un modelo carente de sentido, es

decir ilógico.

Según sea la dispersión de los datos (nube de puntos) en el plano cartesiano, pueden

darse alguna de las siguientes relaciones, Lineal, Logarítmica, Exponencial,

Cuadrática, entre otras.

Regresión Lineal El objetivo de la técnica de regresión es establecer la relación estadística que existe

entre la variable dependiente (Y) y una o más variables independientes (X1, X2,… Xn).

Para poder realizar esto, se postula una relación funcional entre las variables. Que en

la práctica es la relación lineal:

ŷ= b0 + b1x1 +… bnxn

donde los coeficientes b0 y b1, … bn, son los parámetros que definen la variación

promedio de y, para cada valor de x..

http://www.monografias.com/trabajos15/estadistica/estadistica.shtml�

http://www.monografias.com/trabajos5/selpe/selpe.shtml�

http://www.monografias.com/trabajos13/sumato/sumato.shtml#SOLUCION�


El análisis de regresión se utiliza para fines de predicción. Y el análisis de correlación

se utiliza para medir la fuerza de la asociación entre las variables cuantitativas.

- El parámetro b0, conocido como la “ordenada en el origen,” nos indica cuánto es Y

cuando X = 0. El parámetro b1, conocido como la “pendiente,” nos indica cuánto

aumenta Y por cada aumento en X.

- La técnica consiste en obtener estimaciones de estos coeficientes a partir de una

muestra de observaciones sobre las variables Y y X.

REGRESIÓN POLINOMIAL

En situaciones donde la relación funcional entre la respuesta Y y la variable independiente x no se puede aproximar de manera adecuada mediante una relación lineal, es, algunas veces, posible obtener un ajuste razonable considerando una relación polinomial. Es decir, podemos ajustar el conjunto de datos a una relación funcional de la forma:

Y = Bo + Box + B2x2 + Brxr + e

Donde B0, B1,…, Br son coeficientes de regresión que tienen que estimarse. Si los datos constan de los n pares (.xi, Yi), i= 1,…..,n, entonces los estimadores de mínimos cuadrados de, B0,.....,Br— llamémoslos BO,..., Br— son aquellos valores que minimizan

Para determinar estos valores, obtenemos las derivadas parciales de la suma de cuadrados anterior, respecto a BO,... Br, y luego, igualamos a cero con el objetivo de determinar los valores minimizantes. Al hacer esto y reordenando después las ecuaciones resultantes, obtenemos que los estimadores de mínimos cuadrados, BO,BI,…Br satisfacen el conjunto de r + 1 ecuaciones lineales, llamadas ecuaciones normales.


Al ajustar una función polinomial a un conjunto de pares de datos, con

frecuencia es posible determinar el grado necesario del polinomio mediante un estudio del diagrama de dispersión. Que queremos enfatizar que siempre se debe usar el menor grado posible que parezca describir los datos adecuadamente. (Así, por ejemplo, aunque normalmente es posible encontrar un polinomio de grado n que pase por todos los n pares (xi, Yi), i=1,…,n, sería difícil tener mucha confianza en tal ajuste.)

- Resulta muy arriesgado, aún más que en el caso de la regresión lineal, usar un polinomio ajustado para predecir el valor de una respuesta a un nivel de entrada x0

que este lejos de los niveles de entrada xi, i=1,…,n usados para encontrar el polinomio de ajuste. (El polinomio de ajuste puede ser válido sólo en una región alrededor de las xi, i=1,…,n y no incluir a x0).

Regresión Lineal Múltiple

• Muchas aplicaciones del análisis de regresión involucran situaciones donde se

tiene más de una variable de regresión. Un modelo de regresión que contiene más

de un regresor recibe el nombre de modelo de regresión múltiple

• Como ejemplo, supóngase que la vida eficaz de una herramienta de corte depende

de la velocidad de corte y del ángulo de la herramienta. Un modelo de regresión

múltiple que puede describir esta relación es el siguiente

• 𝑦𝑦 = 𝛽𝛽𝑜𝑜 + 𝛽𝛽1𝑥𝑥1 + 𝛽𝛽2𝑥𝑥2 + є


FORMULAS PARA EL CALCULO DE REGRESIONES

1. REGRESION LINEAL: 𝑦𝑦� = 𝑏𝑏0 + 𝑏𝑏1𝑥𝑥

y 𝑦𝑦� = 𝑏𝑏0 + 𝑏𝑏1𝑥𝑥

𝑏𝑏1 =𝑛𝑛∑𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 − (∑𝑥𝑥𝑥𝑥)(∑𝑦𝑦𝑥𝑥)𝑛𝑛∑𝑥𝑥2 𝑥𝑥 − (∑𝑥𝑥𝑥𝑥) 2

𝑏𝑏0 = ∑𝑦𝑦𝑥𝑥𝑛𝑛− 𝑏𝑏1 ∑𝑥𝑥𝑥𝑥

𝑛𝑛

𝑟𝑟2 =𝑏𝑏0 ∑𝑦𝑦𝑥𝑥 + 𝑏𝑏1 ∑𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 −

1𝑛𝑛 (∑𝑦𝑦𝑥𝑥) 2

∑(𝑦𝑦 𝑥𝑥2) − 1𝑛𝑛 (∑𝑦𝑦𝑥𝑥) 2

∑𝑦𝑦𝑥𝑥 = 𝑛𝑛𝑏𝑏0 + 𝑏𝑏1 ∑𝑥𝑥𝑥𝑥

∑𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 = 𝑏𝑏0 ∑𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑏𝑏1 ∑𝑥𝑥𝑥𝑥2 x

2. REGRESION LOGARITMICA: 𝑦𝑦� = 𝑏𝑏0 + 𝑏𝑏1𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥

𝑏𝑏1 = 𝑛𝑛 ∑(𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥𝑥𝑥 )𝑦𝑦𝑥𝑥−(∑ 𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥𝑥𝑥 )(∑𝑦𝑦𝑥𝑥 )𝑛𝑛 ∑ 𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥 2𝑥𝑥−(∑𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥𝑥𝑥 ) 2 y

𝑏𝑏0 =∑𝑦𝑦𝑥𝑥𝑛𝑛

−𝑏𝑏1 ∑ 𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥𝑥𝑥

𝑛𝑛

𝑟𝑟2 =𝑏𝑏0 ∑𝑦𝑦𝑥𝑥+𝑏𝑏1 ∑(𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥𝑥𝑥 )𝑦𝑦𝑥𝑥−1

𝑛𝑛(∑𝑦𝑦𝑥𝑥 ) 2

∑(𝑦𝑦𝑥𝑥2)−1𝑛𝑛(∑𝑦𝑦𝑥𝑥) 2 𝑦𝑦� = 𝑏𝑏0 + 𝑏𝑏1𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥

∑𝑦𝑦𝑥𝑥 = 𝑛𝑛𝑏𝑏0 + 𝑏𝑏1 ∑ 𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥𝑥𝑥

∑(𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥𝑥𝑥)𝑦𝑦𝑥𝑥 = 𝑏𝑏0 ∑ 𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑏𝑏1 ∑ 𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥𝑥𝑥2

x


3. REGRESION EXPONENCIAL: 𝑙𝑙𝑛𝑛𝑦𝑦� = 𝑙𝑙𝑛𝑛𝑏𝑏0 + 𝑏𝑏1𝑥𝑥 y

𝑏𝑏1 = 𝑛𝑛 ∑𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑙𝑙𝑛𝑛𝑦𝑦𝑥𝑥 )−(∑𝑥𝑥𝑥𝑥)(∑𝑙𝑙𝑛𝑛𝑦𝑦𝑥𝑥 )𝑛𝑛 ∑𝑥𝑥2𝑥𝑥−(∑𝑥𝑥𝑥𝑥) 2 𝑦𝑦� = 𝑎𝑎𝑒𝑒𝑏𝑏𝑥𝑥

𝑙𝑙𝑛𝑛𝑏𝑏0 = ∑ 𝑙𝑙𝑛𝑛𝑦𝑦𝑥𝑥𝑛𝑛

− 𝑏𝑏1 ∑𝑥𝑥𝑥𝑥𝑛𝑛

𝑙𝑙𝑛𝑛𝑦𝑦� = 𝑙𝑙𝑛𝑛𝑏𝑏0 + 𝑏𝑏1𝑥𝑥

𝑟𝑟2 =𝑙𝑙𝑛𝑛𝑏𝑏0 ∑ 𝑙𝑙𝑛𝑛𝑦𝑦𝑥𝑥 + 𝑏𝑏1 ∑𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑙𝑙𝑛𝑛𝑦𝑦𝑥𝑥) −

1𝑛𝑛 (∑ 𝑙𝑙𝑛𝑛𝑦𝑦𝑥𝑥) 2

∑(𝑙𝑙𝑛𝑛𝑦𝑦 𝑥𝑥2)− 1𝑛𝑛 (∑ 𝑙𝑙𝑛𝑛𝑦𝑦𝑥𝑥) 2

∑ 𝑙𝑙𝑛𝑛𝑦𝑦𝑥𝑥 = 𝑛𝑛𝑙𝑙𝑛𝑛𝑏𝑏0 + 𝑏𝑏1 ∑𝑥𝑥𝑥𝑥

∑𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑙𝑙𝑛𝑛𝑦𝑦𝑥𝑥) = 𝑙𝑙𝑛𝑛𝑏𝑏0 ∑𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑏𝑏1 ∑𝑥𝑥𝑥𝑥2 x

4. REGRESION POTENCIAL: 𝑙𝑙𝑛𝑛𝑦𝑦� = 𝑙𝑙𝑛𝑛𝑏𝑏0 + 𝑏𝑏1𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥 y

𝑏𝑏1 = 𝑛𝑛 ∑ 𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥𝑥𝑥 (𝑙𝑙𝑛𝑛𝑦𝑦𝑥𝑥 )−(∑𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥𝑥𝑥 )(∑𝑙𝑙𝑛𝑛𝑦𝑦𝑥𝑥 )𝑛𝑛 ∑ 𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥 𝑥𝑥2−(∑ 𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥𝑥𝑥 ) 2 𝑦𝑦� = 𝑎𝑎𝑥𝑥𝑏𝑏

𝑙𝑙𝑛𝑛𝑏𝑏0 = ∑ 𝑙𝑙𝑛𝑛𝑦𝑦𝑥𝑥𝑛𝑛

− 𝑏𝑏1 ∑ 𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥𝑥𝑥𝑛𝑛

𝑙𝑙𝑛𝑛𝑦𝑦� = 𝑙𝑙𝑛𝑛𝑏𝑏0 + 𝑏𝑏1𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥

𝑟𝑟2 =𝑙𝑙𝑛𝑛𝑏𝑏0 ∑ 𝑙𝑙𝑛𝑛𝑦𝑦𝑥𝑥 + 𝑏𝑏1 ∑ 𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑙𝑙𝑛𝑛𝑦𝑦𝑥𝑥) −

1𝑛𝑛 (∑ 𝑙𝑙𝑛𝑛𝑦𝑦𝑥𝑥) 2

∑(𝑙𝑙𝑛𝑛𝑦𝑦 𝑥𝑥2)− 1𝑛𝑛 (∑ 𝑙𝑙𝑛𝑛𝑦𝑦𝑥𝑥) 2

∑ 𝑙𝑙𝑛𝑛𝑦𝑦𝑥𝑥 = 𝑛𝑛𝑙𝑙𝑛𝑛𝑏𝑏0 + 𝑏𝑏1 ∑ 𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥𝑥𝑥

∑(𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥𝑥𝑥)(𝑙𝑙𝑛𝑛𝑦𝑦𝑥𝑥) = 𝑙𝑙𝑛𝑛𝑏𝑏0 ∑ 𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑏𝑏1 ∑ 𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥𝑥𝑥2

5. REGRESION CUADRATICA: 𝑦𝑦� = 𝑏𝑏0 + 𝑏𝑏1𝑥𝑥 + 𝑏𝑏2𝑥𝑥2

1) ∑𝑦𝑦 = 𝑛𝑛𝑏𝑏0 + 𝑏𝑏1 ∑𝑥𝑥 + 𝑏𝑏2 ∑𝑥𝑥2 2) ∑𝑥𝑥𝑦𝑦 = 𝑏𝑏0 ∑𝑥𝑥 + 𝑏𝑏1 ∑𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏2 ∑𝑥𝑥3 3) ∑𝑥𝑥2𝑦𝑦 = 𝑏𝑏0 ∑𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏1 ∑𝑥𝑥3 + 𝑏𝑏2 ∑𝑥𝑥4

𝑟𝑟2 =𝑏𝑏0 ∑𝑦𝑦 + 𝑏𝑏1 ∑𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑏𝑏2 ∑𝑥𝑥2𝑦𝑦 − 1

𝑛𝑛 (∑𝑦𝑦) 2

∑(𝑦𝑦2)− 1𝑛𝑛 (∑𝑦𝑦) 2


6. REGRESION CUBICA: 𝑦𝑦� = 𝑏𝑏0 + 𝑏𝑏1𝑥𝑥 + 𝑏𝑏2𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏3𝑥𝑥3 1) ∑𝑦𝑦 = 𝑛𝑛𝑏𝑏0 + 𝑏𝑏1 ∑𝑥𝑥 + 𝑏𝑏2 ∑𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏3 ∑𝑥𝑥3 2) ∑𝑥𝑥𝑦𝑦 = 𝑏𝑏0 ∑𝑥𝑥 + 𝑏𝑏1 ∑𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏2 ∑𝑥𝑥3 + 𝑏𝑏3 ∑𝑥𝑥4 3) ∑𝑥𝑥2𝑦𝑦 = 𝑏𝑏0 ∑𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏1 ∑𝑥𝑥3 + 𝑏𝑏2 ∑𝑥𝑥4 + 𝑏𝑏3 ∑𝑥𝑥5 4) ∑𝑥𝑥3𝑦𝑦 = 𝑏𝑏0 ∑𝑥𝑥3 + 𝑏𝑏1 ∑𝑥𝑥4 + 𝑏𝑏2 ∑𝑥𝑥5 + 𝑏𝑏3 ∑𝑥𝑥6

𝑟𝑟2 =𝑏𝑏0 ∑𝑦𝑦 + 𝑏𝑏1 ∑𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑏𝑏2 ∑𝑥𝑥2𝑦𝑦 + 𝑏𝑏3 ∑𝑥𝑥3 𝑦𝑦 − 1

𝑛𝑛 (∑𝑦𝑦) 2

∑(𝑦𝑦2)− 1𝑛𝑛 (∑𝑦𝑦) 2

7. REGRESION MULTIPLE: 1) ∑𝑦𝑦 = 𝑛𝑛𝑏𝑏0 + 𝑏𝑏1 ∑𝑥𝑥1 + 𝑏𝑏2 ∑𝑥𝑥2 2) ∑𝑥𝑥1𝑦𝑦 = 𝑏𝑏0 ∑𝑥𝑥1 + 𝑏𝑏1 ∑𝑥𝑥1

2 + 𝑏𝑏2 ∑𝑥𝑥1𝑥𝑥2 3) ∑𝑥𝑥2𝑦𝑦 = 𝑏𝑏0 ∑𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏1 ∑𝑥𝑥1𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏2 ∑𝑥𝑥2

2

𝑟𝑟2 =𝑏𝑏0 ∑𝑦𝑦 + 𝑏𝑏1 ∑𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑏𝑏2 ∑𝑥𝑥2𝑦𝑦 −

1𝑛𝑛 (∑𝑦𝑦) 2

∑(𝑦𝑦2) − 1𝑛𝑛 (∑𝑦𝑦) 2

2.3Términos y Conceptos claves

• Interpretación de los Coeficientes de Regresión:

Interpretación del intercepto :

Indica el valor promedio de la variable de respuesta Y cuando X es cero. Si se tiene

certeza de que la variable predictoria X no puede asumir el valor 0, entonces la

interpretación no tiene sentido.

Interpretación de la pendiente :

Indica el cambio promedio en la variable de respuesta Y cuando X se incrementa

en una unidad.

• Análisis de Residuales

Un residual es la diferencia entre el valor observado y el valor estimado por

la línea de regresión ,

El residual puede ser considerado como el error aleatorio observado.


2.4 Problemas

Se desea desarrollar un modelo de regresión polinómica para predecir la temperatura ambiente para la calefacción doméstica durante el mes de enero en función del consumo de combustible ambiente.

Observación Temperatura

Ambiente Consumo Mensual De

Petróleo Cantidad De Aislamiento

(Diaria Promedio) Para Calefacción [Galones] En El Ático

[°F] [Pulgadas]

1 40 27,5 3

2 27 36,4 3

3 40 16,4 10

4 73 4,1 6

5 64 9,4 6

6 34 23,1 6

7 9 36,7 6

Regresión Cúbica

X1 Y Y2 X1Y X21Y X3

1Y

27,5 40 1600 1100 30250 831875

36,4 27 729 982,8 35773,92 1302171

16,4 40 1600 656 10758,4 176437,8

4,1 73 5329 299,3 1227,13 5031,233

9,4 64 4096 601,6 5655,04 53157,38

23,1 34 1156 785,4 18142,74 419097,3

36,7 9 81 330,3 12122,01 444877,8

153,6 287 14591 4755,4 113929,24 3232647


X21 X3

1 X41 X5

1 X61

756,25 20796,875 571914,063 15727636,72 432510009,8

1324,96 48228,544 1755519 63900891,66 2325992456

268,96 4410,944 72339,4816 1186367,498 19456426,97

16,81 68,921 282,5761 1158,56201 4750,104241

88,36 830,584 7807,4896 73390,40224 689869,7811

533,61 12326,391 284739,632 6577485,502 151939915,1

1346,89 49430,863 1814112,67 66577935,07 2443410217

4335,84 136093,122 4506714,92 154044865,4 5374003645

Fórmulas

321

bbbbo

=

∑∑∑∑

YXYX

XYY

31

21

Matriz Inversa

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

61

51

41

31

51

41

31

21

41

31

211

31

211

xxxxxxxxxxxxxxxn

=

3232647,12113929,24

4755,4287

53740036454154044865,64506714,91136093,1224154044865,64506714,91136093,1224335,8464506714,91136093,1224335,84153,6

136093,1224335,84153,67

321

bbbbo

07-2,08942E05-1,30796E-0,000225760,00091455-05-1,30796E-80,000830680,01463819-0,060961830,0002257610,01463819-0,266422941,16835825-

0,00091455-60,060961791,16835825-5,80046665

=

321

bbbbo

3232647,12113929,24

4755,4287


7902272251 -0,003591836379108 0,243669352

7294009 -6,27687081670896 97,6351505

====

bbbbo

Ecuación Cúbica

bo X b1 X b2 X b3 Y 23 +++=

Y = -0,0036X3 + 0,2437X2 - 6,2769X+ 97,635

Coeficiente De Determinación Y De Correlación

22

232

2

)(1)(

)(1321

∑∑

∑ ∑ ∑ ∑∑−

−+++=

Yn

Y

Yn

YXbYXbXYbYboR

28246127732555,043672 =R

85438150,904760502 =R

72785720,95118899=R

Gráfica:

0

20

40

60

80

0 10 20 30 40

Consumo De Combustible [Galones]

Tem

pera

tura

Pro

med

io

Diar

ia [°

F]


¿Qué temperatura debería tener el ambiente si el consumo de tuviera 35 galones para el modelo utilizado en el literal anterior?

Y = -0,0036X3 + 0,2437X2 - 6,2769X+ 97,635

Y= 22,4378184793661 °F

Regresión Cuadrática

X1 Y Y2 X1Y X21Y X2

1 X31 X4

1

27,5 40 1600 1100 30250 756,25 20796,875 571914,063

36,4 27 729 982,8 35773,92 1324,96 48228,544 1755519

16,4 40 1600 656 10758,4 268,96 4410,944 72339,4816

4,1 73 5329 299,3 1227,13 16,81 68,921 282,5761

9,4 64 4096 601,6 5655,04 88,36 830,584 7807,4896

23,1 34 1156 785,4 18142,74 533,61 12326,391 284739,632

36,7 9 81 330,3 12122,01 1346,89 49430,863 1814112,67

153,6 287 14591 4755,4 113929,24 4335,84 136093,122 4506714,92

Formulas

∑∑∑∑∑∑∑∑

41

31

21

31

211

211

xxxxxxxxn

21

bbbo

=

∑∑∑

YXYX

Y

21

1

4506714,92136093,1224335,84136093,1224335,84153,6

4335,84153,67

21

bbbo

=

113929,244755,4

287


Matriz Inversa

Ecuación Cuadrática

boXbXbY ++= 12 2

81,913 2,3958X - 0,0188X 2 +=Y


22

22

2

)(1)(

)(121

∑∑

∑ ∑ ∑ ∑−

−++=

Yn

Y

Yn

YXbXYbYboR

28246645952493,296282 =R

56395020,882895282 =R

71661540,93962507=R

Grafico:

05-1,192E0,00050563-90,003711740,00050563-0,0224841330,18017899-0,003711750,18017899-71,79742071

113929,244755,4

287

=

21

bbbo

564475910,0188209222991347-2,395816317530581,9132665

===

bbbo

0

20

40

60

80

0 10 20 30 40

Consumo De Combustible [Galones]

Tem

pera

tura

Pro

med

io

Diar

ia [°

F]


El conocido urbanista siente que hay una relación entre una segunda variable independiente la cantidad de aislamiento. Establezca la regresión múltiple y analice los datos

Regresión Múltiple

X1 X2 Y X1X2 X1Y X2Y X21 X2

2

27,5 3 40 82,5 1100 120 756,25 9

36,4 3 27 109,2 982,8 81 1324,96 9

16,4 10 40 164 656 400 268,96 100

4,1 6 73 24,6 299,3 438 16,81 36

9,4 6 64 56,4 601,6 384 88,36 36

23,1 6 34 138,6 785,4 204 533,61 36

36,7 6 9 220,2 330,3 54 1346,89 36

153,6 40 287 795,5 4755,4 1681 4335,84 262

Fórmulas

1. ∑∑ ∑ −=+ nboYXbXb 21 21

2. n

YXYX

nXX

XXbnX

Xb ∑∑∑∑ ∑ ∑∑ ∑ −=

−+

− 1

121

21

212

1 2)(

1

3. n

YXYX

nX

Xbn

XXXXb ∑∑∑∑ ∑∑ ∑ ∑ −=

−+

− 2

2

222

2121

21

)(21

1. o7-2872401153,6 bbb =+

2. [ ] [ ] -1542,282,2142857-2965,4171431 =+ bb

3. [ ] [ ] 4133,4285714282,2142857-1 =+ bb


2. 8-1,59744412 0,08515934 -1 =bb

3. 0,498696792 0,40660295 1 =+− bb

-1,098747420,32144361 =b

101,972188-1,888532816-3,41816522

===

bobb

Ecuación Múltiple

Y = bo – b1X1 + b2X2

Y = 101,9721 – 1,8885X1 -3,41816X2


22

221

2

)(1)(

)(121

∑∑

∑ ∑ ∑ ∑−

−++=

Yn

Y

Yn

YXbYXbYboR

28242772,350632 =R

0,981710562 =R

0,99081308=R


2.5 Bibliografía Complementaria




Primera Edición













Editorial: Ecoe Ediciones. Quinta Edición ,Agosto De 1990.

• Estadistica de Inferencia. Héctor Aníbal Saltos.


CAPITULO III

INTRODUCCION A LAS PROBABILIDADES

3.1 Objetivos

• Aplicar las probabilidades en ejercicios prácticos

• Dominar el empleo de la Distribución normal, Binomial y Poisson .

• Explicar y predecir procesos reales que se presentan en la naturaleza y la

tecnología con la ayuda de la estadística para resolver problemas inherentes a

la ingeniería civil y mecánica.

3.2 Marco Teórico

PROBABILIDAD

Probabilidad de un suceso es el número al que tiende la frecuencia relativa

asociada al suceso a medida que el número de veces que se realiza el

experimento crece.

P(X) =

NUMERO DE SUCESO POSIBLES

NUMERO DE EXITOS

TABLA DE CONTINGENCIA El procedimiento Tablas de contingencia crea tablas de clasificación doble y

múltiple y, además, proporciona una serie de pruebas y medidas de asociación

para las tablas de doble clasificación. La estructura de la tabla y el hecho de

que las categorías estén ordenadas o no determinan las pruebas o medidas

que se utilizaban.

Los estadísticos de tablas de contingencia y las medidas de asociación sólo se

calculan para las tablas de doble clasificación. Si especifica una fila, una

columna y un factor de capa (variable de control), el procedimiento Tablas de

contingencia crea un panel de medidas y estadísticos asociados para cada

valor del factor de capa (o una combinación de valores para dos o más

variables de control). Por ejemplo, si sexo es un factor de capa para una tabla

de casado (sí, no) en función de vida (vida emocionante, rutinaria o aburrida),

los resultados para una tabla de doble clasificación para las mujeres se


calculan de forma independiente de los resultados de los hombres y se

imprimen en paneles uno detrás del otro.

ANALISIS COMBINATORIO

Combinación

Los coeficientes binomiales o combinaciones son una serie de números

estudiados en combinatoria que indican el número de formas en que se pueden

extraer subconjuntos a partir de un conjunto dado. Sin embargo, dependiendo

del enfoque que tenga la exposición, se suelen usar otras definiciones

equivalentes.

Ejercicios De Combinación

En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres

alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?

C 335 = 35*34*33

3*2*1

= 6545

A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos.

¿Cuántos saludos se han intercambiado?

C 210 = 10*9

2

= 45

En

Permutación matemáticas, dado un conjunto finito con todos sus elementos diferentes, llamamos

permutación a cada una de las posibles ordenaciones de los elementos de dicho

conjunto.

Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible de sus elementos,

sin repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6 permutaciones para

estos elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".

La noción de permutación suele aparecer en dos contextos:

• Como noción fundamental de combinatoria, centrándonos en el

problema de su recuento.

• En teoría de grupos, al definir nociones de simetría.

http://es.wikipedia.org/wiki/Combinatoria�

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas�

http://es.wikipedia.org/wiki/Combinatoria�

http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_grupos�


Ejercicios De Permutaciones

¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2,

3, 4, 5.?

m = 5 n = 5

P5= 5! = 5*4*2*3*1 = 120

Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se

pueden formar?

m = 9 a = 3 b = 4 c = 2 a + b + c = 9

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

Sí se repiten los elementos.

ESPACIO MUESTRAL Y SUCESOS

Experimentos, espacios muéstrales y sucesos La teoría de las probabilidades trata

formalmente de experimentos y de sus resultados donde el término experimento se

usa en el sentido más general. Se denomina espacio muestral la colección de todos los

posibles resultados de un experimento. Los elementos del conjunto S de este espacio

se denominan puntos muestrales, cada uno de ellos asociado con uno y sólo un

resultado distinto. La precisión para distinguir resultados es cosa de criterio y

dependerá en la práctica de la utilización que se hará del modelo.

Ejemplo. Un experimento consiste en lanzar una moneda y después lanzarla una segunda

vez si sale cara. Si sale cruz en el primer lanzamiento, entonces se lanza un dado una vez.

Para listar los elementos del espacio muestral que proporcione la mayor información,

construimos el diagrama de árbol de la figura 2.1. Las diversas trayectorias a lo largo de

las ramas del árbol dan los distintos puntos muéstrales. Al comenzar con la rama superior

izquierda y movernos a la derecha a lo largo de la primera trayectoria, obtenemos el punto

muestral HH, que indica la posibilidad de que ocurran caras en dos lanzamientos sucesivos

de la moneda. Asimismo, el punto muestral T3 indica la posibilidad.


VALOR ESPERADO O ESPERANZA Si P es la probabilidad de éxito de un suceso en un solo ensayo, el numero

esperado o esperanza de ese suceso en N ensayos, estará dado por el producto

de N y la probabilidad de éxito P.

E = n.p(x)

Ejemplo.

En el lanzamiento 900 veces de dos dados, ¿Cuál es la esperanza de que la suma

de sus caras de un valor menor de 6.?

Probabilidad de éxito de un solo ensayo.

(1,1) (1,2) (2,1) (2,2) (2,3) (3,2) (3,1) (1,3) (4,1) (4,4)

p(x): 10/36 n=900

E=np=900*(10/36)=9000/36= 250

“La esperanza o valor esperado es de que 250 de los 900 lanzamientos, la

suma de sus caras sea menor de 6”

DISTRIBUCION BINOMIAL

Procesos de Bernoulli: Un proceso de Bernoulli es una serie de n experimentos

aleatorios que verifican:

Cada experimento tiene dos resultados posibles, que se llaman éxito y fracaso.

La probabilidad p de éxito es la misma en cada experimento, y esta

probabilidad no se ve afectada por el conocimiento de los resultados anteriores.

La probabilidad q de fracaso viene dada por q = 1 - p.


Ejemplos :

Una moneda lanzada al aire 15 veces. Los dos resultados posibles son cara y

cruz. La probabilidad de cara en un lanzamiento es 1/2

Se pregunta a 200 alumnos de de un Instituto de Enseñanza Secundaria si

estudian Francés. Los dos resultados posibles son sí y no. Si se considera

éxito la respuesta sí, la probabilidad p de éxito indica la proporción de

estudiantes del Instituto que responden sí (estudian francés, pues suponemos

que no mienten).

Tirar un dado de seis caras 10 veces y considerar que el resultado de una

tirada, es que salga un número par o un número impar. Los resultados posibles

en este caso son par e impar.

El espacio muestral, cada uno de los sucesos y la probabilidad de que ocurran,

en un proceso de Bernoulli, aparecen muy nítidamente cuando se construye un

árbol de probabilidades del proceso.

Por ejemplo vamos a construir el árbol de probabilidades de un proceso de

Bernoulli de tres experimentos:

El espacio muestral del proceso está formado por cada uno de los caminos del

árbol de probabilidades. La probabilidad de un camino, por ejemplo, del camino

: EFE es :

Si en un proceso de Bernouilli asignamos el valor 1 al éxito y 0 al fracaso y

consideramos el valor Sj , suma de todos los valores de un resultado concreto

(un camino) con j éxitos ; la probabilidad que corresponde a cada valor de la

variable Sj es :


Ejercicios De Distribución Binomial

La probabilidad de éxito de una determinada vacuna es 0,72. Calcula la

probabilidad de a que una vez administrada a 15 pacientes:

a) Ninguno sufra la enfermedad

b) Todos sufran la enfermedad

c) Dos de ellos contraigan la enfermedad

Solución :

Se trata de una distribución binomial de parámetros B(15, 0'72)

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una

distribución de probabilidad discreta. Expresa la probabilidad de un número k

de eventos ocurriendo en un tiempo fijo si estos eventos ocurren con una tasa

media conocida, y son independientes del tiempo desde el último evento.

La distribución fue descubierta por Siméon-Denis Poisson (1781–1840) que

publicó, junto con su teoría de probabilidad, en 1838 en su trabajo Recherches

http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_probabilidad�

http://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADstica�

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidad�

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica_discreta�

http://es.wikipedia.org/wiki/Simeon_Poisson�

http://es.wikipedia.org/wiki/1838�


sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile

("Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y

civiles"). El trabajo estaba enfocado en ciertas variables aleatorias N que

cuentan, entre otras cosas, un número de ocurrencias discretas (muchas veces

llamadas "arribos") que tienen lugar durante un intervalo de tiempo de duración

determinada. Si el número esperado de ocurrencias en este intervalo es λ,

entonces la probabilidad de que haya exactamente k ocurrencias (siendo k un

entero no negativo, k = 0, 1, 2, ...) es igual a:

dónde

• e es el base del logaritmo natural (e = 2.71828...),

• k! es el factorial de k,

• k es el número de ocurrencias de un evento,

• λ es un número real positivo, equivalente al número esperado de

ocurrencias durante un intervalo dado. Por ejemplo, si los eventos

ocurren de media cada 4 minutos, y se está interesado en el número de

eventos ocurriendo en un intervalo de 10 minutos, se usaría como

modelo una distribución de Poisson con λ = 2.5.

Ejercicios De Distribución De Poisson

1. Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles

son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día

dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?

Solución:

a) x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al

banco en un día cualquiera = 0, 1, 2, 3, ....., etc, etc.

l = 6 cheques sin fondo por día

e = 2.718

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_e�

http://es.wikipedia.org/wiki/Factorial�

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real�

http://es.wikipedia.org/wiki/Minuto�


b)

x= variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco

en dos días consecutivos = 0, 1, 2, 3, ......, etc., etc.

l = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos días

consecutivos

Nota: l siempre debe de estar en función de x siempre o dicho de otra forma,

debe “hablar” de lo mismo que x.

2. En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico

continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine

las probabilidades de identificar a) una imperfección en 3 minutos, b) al menos

dos imperfecciones en 5 minutos, c) cuando más una imperfección en 15

minutos.

Solución:

a) x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata

por cada 3 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc.

l = 0.2 x 3 =0.6 imperfecciones en promedio por cada 3 minutos en la hojalata

b) x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata

por cada 5 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc.

l = 0.2 x 5 =1 imperfección en promedio por cada 5 minutos en la hojalata


=1-(0.367918+0.367918) = 0.26416

c) x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata

por cada 15 minutos = 0, 1, 2, 3, ....., etc., etc.

l = 0.2 x 15 = 3 imperfecciones en promedio por cada 15 minutos en la hojalata

= 0.0498026 + 0.149408 = 0.1992106

.

DISTRIBUCIÓN NORMAL

La distribución normal fue reconocida por primera vez por el francés Abraham

de Moivre (1667-1754). Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

elaboró desarrollos más profundos y formuló la ecuación de la curva; de ahí

que también se la conozca, más comúnmente, como la "campana de Gauss".

La distribución de una variable normal está completamente determinada por

dos parámetros, su media y su desviación estándar, denotadas generalmente

por y .

Al igual que ocurría con un histograma, en el que el área de cada rectángulo es

proporcional al número de datos en el rango de valores correspondiente si, tal y

como se muestra en la Figura 2, en el eje horizontal se levantan

perpendiculares en dos puntos a y b, el área bajo la curva delimitada por esas

líneas indica la probabilidad de que la variable de interés, X, tome un valor

cualquiera en ese intervalo. Puesto que la curva alcanza su mayor altura en

http://www.fisterra.com/mbe/investiga/distr_normal/distr_normal.asp#Figura%202�


torno a la media, mientras que sus "ramas" se extienden asintóticamente hacia

los ejes, cuando una variable siga una distribución normal, será mucho más

probable observar un dato cercano al valor medio que uno que se encuentre

muy alejado de éste.

Propiedades de la distribución normal:

La distribución normal posee ciertas propiedades importantes que conviene

destacar:

1. Tiene una única moda, que coincide con su media y su

mediana.

2. La curva normal es asintótica al eje de abscisas. Por ello,

cualquier valor entre y es teóricamente posible. El

área total bajo la curva es, por tanto, igual a 1.

3. Es simétrica con respecto a su media . Según esto, para

este tipo de variables existe una probabilidad de un 50% de

observar un dato mayor que la media, y un 50% de observar

un dato menor.

4. La distancia entre la línea trazada en la media y el punto de

inflexión de la curva es igual a una desviación típica ( ).

Cuanto mayor sea , más aplanada será la curva de la

densidad.

5. El área bajo la curva comprendido entre los valores situados

aproximadamente a dos desviaciones estándar de la media

es igual a 0.95. En concreto, existe un 95% de posibilidades

de observar un valor comprendido en el intervalo

.

6. La forma de la campana de Gauss depende de los

parámetros y (Figura 3). La media indica la posición de

la campana, de modo que para diferentes valores de la

gráfica es desplazada a lo largo del eje horizontal. Por otra

parte, la desviación estándar determina el grado de

apuntamiento de la curva. Cuanto mayor sea el valor de ,

más se dispersarán los datos en torno a la media y la curva

será más plana. Un valor pequeño de este parámetro indica,

http://www.fisterra.com/mbe/investiga/distr_normal/distr_normal.asp#Figura%203�


por tanto, una gran probabilidad de obtener datos cercanos al

valor medio de la distribución.

Ejemplo 1:

Utilizando la tabla del área bajo la curva normal, plantearemos algunos problemas que

servirán de modelo.

a.- para Z = 1.5 y Z = -.1.4

Z = 1.5 la tabla da : 0.4332

Z = 1.4 la tabla da : 0.4192

P(-1.4 < Z < 1.5) = 0.4332+0.4192 = 0.8524

P = 85.24%

b.- si se plantea P( Z < 1.5 corresponden al

siguiente gráfico:

0.5000+0.4232 = 0.9332 = 93.32%


c.- otro problema seria P(Z > 1.5) = ?

0.5000-0.4332 = 0.0668 = 6.68%

DISTRIBUCIONES t DE STUDENT

El lector sabe cómo hacer deducciones acerca de la mayoría de la población si

cabe suponer que la distribución muestral de las medias es normal. Sin

embargo, cabe preguntarse qué puede hacerse si se desconoce δ y n es

pequeña, de modo que no puede hacerse esta suposición de normalidad.

Contestaremos a esta pregunta en el presente capítulo. Se encontrará una

familia de distribuciones t(una distinta para cada valor de n), pero no se toma,

porque pronto se descubrirá que, conforme n aumenta, la distribución t

correspondiente se asemeja mucho a la distribución normal, e incluso cuando n

es pequeña, se aplica una distribución tefe la misma manera en que se hace

con una distribución normal.

Se aprenderá cuándo utilizar puntuaciones i y cuándo utilizar puntuaciones z y

cómo emplear puntuaciones t, para una media de la población y para

diferencias en las medias de dos poblaciones. Por último, se descubrirá cómo

tratar puntuaciones apareadas en muestras que no son independientes.

Características De Las Distribuciones t

Las distribuciones t de Student tienen las siguientes características:

1. No hay sólo una distribución t sino una distribución distinta para cada valor

den. Hay una curva normal estándar, y un cuadro de una página puede dar

áreas debajo de esta curva para la mayor parte de los valores de z que nos


interesan. Hay toda una familia de curvas t "estándar". Si se formara un cuadro

para las áreas debajo de la curva t para cada n (equivalente al cuadro para las

áreas debajo de la curva normal estándar), se necesitaría todo un volumen. Los

cuadros t serán muy abreviados.

2. Cada curva t es simétrica a los lados de 0. E-lío significa que la mitad

derecha de la curva t tiene este aspecto

Y la mitad izquierda es una imagen en espejo; la curva entera tendrá este

aspecto:

A causa de lo anterior, la media de toda distribución f es 0.

3. El punto más alto de la curva ocurre cuando t = 0.

4. Al aumentar n, la curva t se acerca cada vez más a la curva normal. Es fácil

advertir lo anterior considerando algunas gráficas superpuestas:

Si n es de 30, o más, la distribución t y la distribución normal estándar están lo

suficientemente cercanas de modo que las áreas abajo de esta última pueden

utilizarse como aproximación a las áreas debajo de la primera. Esta cercanía


de las curvas f y z para valores altos de n es lo que justifica el empleo de la

ecuación s/Vn como aproximación de xδ cuando n es grande y se desconoce

δ

5. Cada distribución t es una distribución de probabilidad; esto es: el área

debajo de toda la curva es una, y la probabilidad de que una puntuación t esté

entre a y b es igual a área debajo de la curva entre las líneas t = a y t = b.

¿CUANDO SE USA UNA DISTRIBUCIÓN t?

La distribución t se usa en las siguientes circunstancias:

a) La población tiene distribución normal y,

b) Se desconoce o- (pero se conoce s o puede calcularse) y

c) n ≤ 30.

Si la población no tiene distribución normal, se cometerá un error. ¿Qué tan

grande es el error? Depende de qué tan lejos esté la población de la

distribución normal. Si es casi normal, el error será pequeño. Si está muy lejos

de ser normal, la distribución t es casi inútil. En la práctica, el problema es que

a menudo se desconoce si la población sigue o no una curva normal.

GRADOS DE LIBERTAD

¿Cómo se usa una distribución t?

Antes de continuar, debemos desviarnos un momento para explicar los grados

de libertad.

Imaginemos tres niños que juegan un juego muy sencillo; a saber: tres cartas

están marcadas, 0, 10 y 20 respectivamente. Se barajan las cartas y cada niño

por turno toma una. Jaime es impulsivo y toma una carta en primer lugar; tiene

10 puntos. María elige en seguida y obtiene 0. Tomás toma la última carta y

debe tener 20 puntos. Sin embargo, si Jaime sacó la carta 0 y María la carta

20, Tomás sacará la carta 10. El punto es que, una vez que dos niños han

elegido su carta, la tercera está fija. Dos de los niños eligieron libremente: hay

dos grados de libertad.


Sin puntuaciones tienen media X, n -1 puede elegirse libremente y la última es

regida; hay n -1 grados de libertad.

Para encontrar un intervalo de confianza o poner a prueba una hipótesis acerca

de la media valiéndose de la distribución f para una muestra de dimensión n, el

número de grado de libertad es n - 1. La letra D se utiliza para denotar el

número de grados de libertad.

D = n - 1

DISTRIBUCION JI CUADRADO En primer lugar, conózcase la letra griega x (ji); no hay equivalente en

castellano, pero fonéticamente corresponde a ji. La veremos únicamente en la

forma x2 y nos referiremos a “distribuciones de ji cuadrada” o “pruebas de ji

cuadrada”.

Se han conocido varias familias de distribuciones de probabilidad; a saber:

distribuciones binomial, normal y. Ahora se conocerá otra familia de

distribuciones de probabilidad; al igual que con las distribuciones t, habrá una

distribución x2 diferente para cada número de grados de libertad. Antes de

conocer a fondo una distribución x2 veamos un problema en el cual se necesita.

Ejemplo 1. Estudios efectuados en 1950 comprobaron que, entre todos los

varones con 30 años de edad, 20 por 100 habían cursado la escuela superior,

50 por 100 tenían certificado de escuela secundaria pero no de escuela

superior, y 30 por 100 no habían llegado a la escuela secundaria. ¿La

distribución de la población actual es semejante? Se efectúa un estudio de 1

000 varones tomados aleatoriamente de quienes hoy tienen 30 años de edad, y

se descubre que 250 se han graduado en colegio superior, 520 en escuela

secundaria y 230 no han terminado la secundaria. Hágase una prueba a nivel

de significación de .01.

H: No hay cambio en la distribución entre 1950 y la actualidad. (Adviértase que

Ho es un supuesto no acerca de la media ola proporción de una población, sino

acerca de la distribución global de una población.)

H1: La población actual (esto es: todos los varones que en la actualidad tienen

30 años de edad) posee distribución distinta que la población en 1950.

Sea O—la letra 0, no el número 0— abreviatura de frecuencia Observada (en

~a actualidad) y E denote frecuencia Esperada. Si no hay cambio en la

distribución entre 1950, y la actualidad, los datos proporcionados pueden


presentarse de la manera siguiente:

Graduados de colegio superior

Graduados de escuela secundaria

No graduados de escuela secundaria

Total de graduados

En 1950, 20 por 100 tenían estudios superiores. En consecuencia, cabía

esperar que en una muestra de 1 000,20 por 100 ó 200 varones fuesen

graduados de colegio superior, 50 por 100 ó500 varones hubiesen terminado la

escuela secundaria, y 30 por 100 ó 300 “no hubiesen terminado la secundaria”.

Adviértase que comenzamos escalando la columna E de modo que la suma

sea igual a la de la columna 0. Es inadecuado expresar la columna O en

números de varones (total 1 000) y la columna E en porcentajes o proporciones

(total 1006 1, respectivamente). Las dos columnas deben sumar el número total

de cifras en la muestra.

Ahora debe hacerse una decisión de elección: ¿qué debe utilizarse como

requisito para aceptar o rechazar HΣ(O—E) describe la diferencia entre las dos

distribuciones? Pero Σ (0 — E) = Σ0—ΣE = n — n=0. 0, como se muestra en la

columna O—E que sigue, 50+20-70 = 0.

Graduados de escuela

superior

Graduados de secundaria

No graduados de secundaria

Total de graduados

¿Recuerda que al explicar medidas de variabilidad consideramos Σ(x−x)n

pero

resultó que∑(X—𝑋𝑋) siempre es igual a 0? Después ensayamos Σ(x-𝑋𝑋)2 y por

último Σ(x−𝑋𝑋)2

n la varianza.

En consecuencia, en este caso podemos advertir si Σ(0-E)2 manifiesta la

diferencia entre las dos distribuciones. Σ(0-E)2 = O únicamente si hay ajuste

O E

250 200

520 500

230 300

1000 100

O E O-E (O

− E)2

(O − E)2/E

250 200 50 2500 12.5

520 500 20 400 8

230 200 -70 4900 16.3

1000 1000 0 7800 29.6


perfecto entre las frecuencias observada y esperada, y puede ser muy grande

si no concuerdan.

En lugar de limitarnos a usar Σ(0-E)2 empleamos Σ(0-E)2/E. El motivo de lo

anterior es que una partida grande en la columna (0-E) 2es más perturbadora si

proviene de una categoría con frecuencia esperada o calculada pequeña que si

la frecuencia esperada es grande, de manera que en el primer caso presenta

mayor ponderación. Una anotación de 2500 en la columna (0-E)2 se convierte

en 12.5 si la frecuencia esperada E es 200, pero será sólo 5.0 si la frecuencia

esperada es 500, y 2.5 si la frecuencia esperada o calculada en la categoría es

1 000.

Ahora definiremos x2ρ:

x2ρ = Σ (0−E)2E

3.3 Término y Conceptos claves

Definición: El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento

estadístico se llama espacio muestral y se representa con el símbolo S.

HIPOTESIS ESTADÍSTICAS

Al intentar alcanzar una decisión, es útil hacer hipótesis (o conjeturas) sobre la

población implicada. Tales hipótesis, que pueden ser o no ciertas, se llaman

hipótesis estadísticas. Son, en general, enunciados acerca de las

distribuciones de probabilidad de las poblaciones.

Hipótesis nula

En muchos casos formulamos una hipótesis estadística con el único

propósito de rechazarla o invalidarla. Así, si queremos decidir si una moneda

está trucada, formulamos la hipótesis de que la moneda es buena (o sea, p =

0.5, donde p es la probabilidad de cara). Análogamente, si deseamos

decidir si un procedimiento es mejor que otro, formulamos la hipótesis de que

no hay diferencia entre ellos (o sea, que cualquier diferencia observada se debe


simplemente a fluctuaciones en el muestreo de la misma población). Tales

hipótesis se suelen llamar hipótesis nula y se denotan Ho

Hipótesis alternativa

Toda hipótesis que difiera de una dada se llamará una hipótesis alternativa.

Por ejemplo, si una hipótesis es p = 0.5, hipótesis alternativas podrían ser p =

0.7, p ≠ 0.5 o p > 0.5. Una hipótesis alternativa a la hipótesis nula se

denotará por H1.

ERRORES DE TIPO I Y DE TIPO II

Si rechazamos una hipótesis cuando debiera ser aceptada, diremos que se ha

cometido un error Tipo I.

Por otra parte, si aceptamos una hipótesis que debiera ser rechazada, diremos

que se ha cometido un error de Tipo II. En ambos casos, se ha producido un

juicio erróneo.

Para que las reglas de decisión (o contrastes de hipótesis) sean buenas, deben

diseñarse de modo que minimicen los errores de la decisión. Y no es una

cuestión sencilla, porque para cualquier tamaño de la muestra, un intento de

disminuir un tipo de error suele ir acompañado de un crecimiento del otro tipo.

En la práctica, un tipo de error puede ser más grave que el otro, y débil alcanzarse

un compromiso que disminuya el error más grave. La única forma de disminuir

ambos al la vez es aumentar el tamaño de la muestra, que no siempre es

posible.

Tipos de errores

Definición.- El rechazo de la hipótesis nula cuando es verdadero se llama error

de tipo 1

Definición.-No rechazarla hipótesis nula cuando es falsa se llama error de tipo

2


¿Cómo sabremos si está cometiendo un error de tipo I o de tipo II?

Examinar la lógica de la influencia estadística.

¿Cómo saber si hemos rechazado o no una hipótesis nula equivocadamente?

Coleccionar muestras y extraemos inferencias de las mismas única y

exclusivamente.

¿No hay manera entonces de saber qué experimentos proporcionan resultados adecuados y cuáles no?

La respuesta es si. Si tuviéramos que repetir el experimento y obtener

resultados parecidos tendríamos mayor confianza de no estar cometiendo un

error de tipo I

3.4 Preguntas y Problemas Claves

1. Defina cada uno de los conceptos de la sección "términos importantes".

2. Supongamos que se cumplen los supuestos fundamentales de la prueba t.

¿Cuáles son las características de la distribución muestral de t?

3. Explique lo que significa grados de libertad. Proponga un ejemplo.

4. ¿Cuáles son los supuestos fundamentales para el uso apropiado de la prueba

t?

5. Analice las semejanzas y las diferencias entre las pruebas z y t.

6. Explique brevemente por qué la prueba z es más poderosa que la prueba t.


7. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es más correcta desde el punto de vista

técnico? 1) Tenemos el 95% de confianza de que la media de la población se

encuentra en el intervalo 80-90, o bien,

8. 2) tenemos el 95% de confianza de que el intervalo 80-90 contiene la media de

la población. Explique.

9. Explique por qué gl = N - 1 cuando se utiliza la prueba t con una sola muestra.

10. Si el coeficiente de correlación de una muestra tiene un valor diferente de cero

(por ejemplo, r = 0.45), esto significa automáticamente que la correlación en la

población también es diferente de cero. ¿Es correcta esta afirmación?

Explique.

11. Con el mismo conjunto de datos muéstrales, ¿el intervalo de confianza de 99%

para la media poblacional es mayor o menor que el intervalo de confianza de

95% ? ¿Le parece a usted lógico? Explique.

12. Un conjunto muestral de 30 datos tiene una media de 82 y una desviación

estándar de 12. ¿Podemos rechazar la hipótesis de que se trata de una

muestra aleatoria, extraída de una población normal con µ = 85? Utilice α =

0.012colas Para tomar su decisión, otra

13. ¿Es razonable considerar una muestra con N = 22, __X obt = 42 y s = 9 como una

muestra aleatoria extraída de una población normal con µ =38? Utilice α =

0.05 1 cola para tomar su decisión. Suponga que __X obt está en la dirección

correcta, otra

14. En cada una de las siguientes muestras aleatorias, determine los intervalos de

confianza de 95 y el 99% para la media poblacional:

i. __X obt = 25, s = 6, N = 15

ii. __X obt = 120, s = 8, N = 30


iii. __X obt = 30.6, s = 5.5, N = 24

iv. Vuelva a resolver la parte a con N = 30. ¿Qué ocurre con el

intervalo de confianza cuando N crece? Otra

15. Supongamos que se desconoce la desviación estándar poblacional del

problema 21 del capítulo 12, página 291. Utilice de nuevo α = 0.052 Colas, ¿Qué

podría concluir con respecto a la técnica de la estudiante? Explique la

diferencia entre la conclusión del problema 21 y la de este problema, clínica,

salud.

16. si una variable aleatoria tiene distribución normal estándar, calcula la

probabilidad de que tome un valor:

(a) menor que 1.50; (b) mayor que 2.16;

(c) mayor que -1.175;

17. escriba el valor de z si la probabilidad de que una variable aleatoria de

distribución normal estándar tome un valor:

(a) menor que z es 0.9911; (b) mayor que z es 0.1093;

(c) mayor que z es 0.6443; (d) menor que z es 0.0217

e) entre –z y z es 0.9298

18. una variable aleatoria tiene una distribución normal con µ= 62.4hallar su

desviación estándar si la probabilidad de que tome un valor mayor que 79.2 es

verifica que

z0.005=2.575

z0.025=1.96

3.5 Bibliografía Complementaria





Primera Edición













Editorial: Ecoe Ediciones. Quinta Edición ,Agosto De 1990.

• Estadistica de Inferencia. Héctor Aníbal Saltos.

guia del modulo estadisticade... · 1 uta ing. m.b.a william teneda . universidad tÉcnica de...

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