Grundlagen der Nachrichtentechnik

III Diskretisierung von Quellensignalen

Prof. Dr.-Ing. Armin Dekorsy

III. Diskretisierung von Quellensignalen

University of BremenInstitute for Telecommunications and High Frequency Techniques

Department of Communications Engineeringwww.ant.uni-bremen.de

Inhalt der Vorlesung0. Einführung (Grundbegriffe, Struktur eines Kommunikationssystems)I. Kontinuierliche Signale und Systeme

1. Fouriertransformation2. Tiefpass-Darstellung von Bandpass-Signalen

Ü3. Eigenschaften von ÜbertragungskanälenII. Analoge ÜbertragungIII. Diskretisierung von Quellensignalen

1. Abtasttheorem2. Pulsamplitudenmodulation3. Pulsdauer- und Pulsphasenmodulation, Pulscodemodulation4. Prinzip des Zeitmultiplex

IV. Digitale Übertragung1 Struktur eines Datenübertragungssystems1. Struktur eines Datenübertragungssystems2. Erste und Zweite Nyquistbedingung3. Rauschangepasstes Empfangsfilter4. Bitfehlerwahrscheinlichkeit5. Digitale lineare Modulationsverfahren (inkl. Offset-PSK, DPSK)

V. Codierung

2

3. Diskretisierung von Quellensignalen

1. Abtasttheorem

2 Pulsamplitudenmodulation2. Pulsamplitudenmodulation

3. Pulsdauer- und Pulsphasenmodulation

4. Pulscodemodulation

5. Prinzip des Zeitmultiplexp p

3

III. Diskretisierung von Quellensignalen Seite 4

III. Diskretisierung von Quellensignalen

Signalklassifikationen

1. Merkmal: zeit- kontinuierlich ←→ diskret

amplituden- kontinuierlich ←→ diskret ”digitales Signal”

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.5

0

0.5

1

t/T0 →

x(t)

→

a) zeit- u. amplitudenkontinuierlich

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t/T0 →

s q(t

) →

b) zeitkontinuierlich, amplitudendiskret

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

kTA /T0 →

s(kT

A)

→

c) zeitdisk. u. ampl.−kont.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

kTA /T0 →

s q(k

TA

) →

d) zeit− u. amplitudendiskret

2. Merkmal: Energiesignal:∞∫

−∞

|x(t)|2dt <∞

Leistungssignal: limT→∞

1T

T/2∫

−T/2

|x(t)|2dt <∞

3. Merkmal: deterministisch ←→ stochastisch

Abtasttheorem Seite 5

1. Das Abtasttheorem

Abgetastetes Signal: Folge gewichteter schmaler Impulse im Abstand T = 1/fA;

Mathematisches Modell fur schmale Impulse → Dirac-Impulse δ0(t)

xT (t) =∞∑

k=−∞

x(kT ) · δ0(t− kT ) = x(t) ·∞∑

k=−∞

δ0(t− kT )

Spektrum von xT (t) → Faltung von X(jω) und F{∑∞

k=−∞ δ0(t− kT )}

∑∞k=−∞ δ0(t−kT ) periodisch → Fourierreihe:

∑∞k=−∞ δ0(t−kT ) =

∑∞ν=−∞ aν ·e

jν2πt/T

Fourier-Koeffizienten: aν = 1T

T/2∫

−T/2

[∑∞

k=−∞ δ0(t− kT )]

· e−jν2πt/Tdt

= 1T

∑∞k=−∞

T/2∫

−T/2

δ0(t− kT ) · e−jν2πt/Tdt = 1T

T/2∫

−T/2

δ0(t)dt =1T

∞∑

k=−∞

δ0(t− kT ) =1

T

∞∑

ν=−∞

ejν2πt/T ← ejν2πt/T ◦−• 2π · δ0(ω − ν2π

T)

Abtasttheorem Seite 6

∑∞k=−∞ δ0(t− kT ) = 1

T

∑∞ν=−∞ ejν2πt/T ◦−• 2π

T

∑∞ν=−∞ δ0(ω − ν 2π

T)

Damit Spektrum eines abgetasteten Signals:

XT (jω) =1

2πX(jω) ∗

2π

T

∞∑

ν=−∞

δ0(ω − ν2π

T)

=1

T

∞∑

ν=−∞

X(j(ω − ν2π

T))

Periodische Fortsetzung der

Spektren des kontinuierlichen

Signals,

Abstand fA = 1/T

Abtasttheorem Seite 7

Fallunterscheidung: fA > 2 · fmax → uberlappungsfreie Spektren

fA < 2 · fmax → spektrale Uberlappungen ”Aliasing”

Im ersten Falle: Das Originalspektrum kann durch Tiefpass-Filterung eindeutig wiederge-

wonnen werden. (TP-Grenzfrequenz: fA/2)

Abtasttheorem: Ein auf die Frequenz fmax bandbegrenztes kontinuierliches Signal

kann nach Abtastung mit einer Abtastfrequenz fA > 2 ·fmax durch Tiefpass-Filterung

eindeutig wieder rekonstruiert werden.

Rekonstruktion des analogen Signals

Rekonstruktion des analogen Signals x(t) aus durch TP-FilterungFrequenzbereich:

Zeitbereich: Multiplikation mit rect(ω/2πfA)T Faltung mit sin(πt/T)/ (πt/T) im Zeitbereich

Ein bandbegrenztes analoges Signal x(t) kann aus seinen Abtastwerten x(kT) durch Interpolation g g g ( ) ( ) pmit sin(x)/x-Impulsen si(πt/T) perfekt rekonstruiert werden (si-Interpolationsbeziehung).

8

Pulsamplitudenmodulation Seite 9

2. Pulsamplitudenmodulation (PAM)

Ansatz: Anstelle von si-Funktionen werdenRechteckimpulse verwendet ⇒ Faltung von

x(t) = vT (t) ∗ rect

(

t

∆T

)

=∑

k

v(kT )δ0(t− kT ) ∗ rect

(

t

∆T

)

=∑

k

v(kT )rect

(

t

∆T

)

rect(

t∆T

)

◦−−−• ∆Tsin(ω∆T/2)ω∆T/2

V∆T (jω) =∆TT

sin(ω∆T/2)ω∆T/2

·∞∑

ν=−∞V(

j(

ω − ν 2πT

))

0 2 4 6 8 10

−0.5

0

0.5

1

∆ T/T

t/T →

v ∆ T(t

) →

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5−0.5

0

0.5

1

1.5PSfrag repla ements V T(j2�f)!�T!0

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5−0.5

0

0.5

1

1.5PSfrag repla ements V T(j2�f)!�T = T=4

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5−0.5

0

0.5

1

1.5PSfrag repla ements V T(j2�f)!�T = T=2

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5−0.5

0

0.5

1

1.5PSfrag repla ements V T(j2�f)! f �T!�T = T

⇒ PAM: zeitbegrenzte Impulse ⇒ unendliche Bandbreite (ineffiziente Spektraleigenschaft)

Pulsdauer- und Pulsphasenmodulation Seite 10

3. Pulsdauer- und Pulsphasenmodulation (PDM/PPM)Idee: Feste Pulsamplituden und Umsetzen des Abtastwerts x(kT ) in Pulsdauer bzw. Zeit-versatz gegenber einem Referenztakt

Referenz-takt

v(t)

vmax

−vmax

xPDM(t)

xPPM(t)

t

t

t

t

T

T

2T

2T

3T

3T

4T

4T

5T

5T

6T

6T

∆T (k)

∆τ(k)

PDM:

∆T (k) =T

2

(

1 +v(kT )

vmax

)

PPM:

∆τ (k) =T

2

(

1 +v(kT )

vmax

)

PPM wieder aktuell durch UWB-Technik

Aufbau eines digitalen Systems Seite 11

3. PDM/PPM

Aufbau eines digitalen Systems zur Verarbeitung analoger Signale:

≡PAM

Zeitdiskreten PAM-Signalen werden amplituden-diskrete Werte zugewiesen. ⇒ Puls-Code-

Modulation (PCM)

Puls-Code-Modulation Seite 12

4. Puls-Code-Modulation (PCM)Blockschaltbild zur PCM-Erzeugung:

v(t)1

ℓ

TT/ℓ

PCMPAMAnalog-Digital-Umsetzer

S&HQuanti-sierung

Codierer

Schie

bere

g.

seriellesPCM-Signal

Lineare, symmetrische und begrenzte Quantisierungskennlinien:

Prinzip: Quantisierung des Amplitudenbereichsder Breite Amax = 2 in 2ℓ Stufen (ℓ BitDualcode) der Quantisierungsstufenbreite

Q = 22ℓ−1

= 12ℓ

Lineare Quantisierung - Quantisierungsfehler Seite 13

Lineare Quantisierung - Quantisierungsfehler

Def.: Quantisierungsfehler e(k) = v(kT )− vQ(kT ) mit−Q/2 ≤ e(kT ) ≤ Q/2

Q = 2−(ℓ−1)

Annahme: e(kT ) wird als gleichverteilter, mittelwertfreier Zufallsprozeß modelliert

(stat. unabhangig von v(kT )) ⇒ Quantisierungsrauschen

PE(e) =1Qrect

(

eQ

)

PE(e)

e−Q

2Q2

Leistung des Quantisierungsrauschens:

σ2Q = E

{

|e2(kT )|2}

=

∞∫

−∞

PE(e)e2de =

1

Q

∞∫

−∞

e2de =Q2

12

Lineare Quantisierung - Quantisierungsfehler Seite 14

Lineare Quantisierung

S/N-Verhaltnis in Abhangigkeit von der Quantisierungstiefe ℓ

Annahme: sinusformiges Nutzsignal mit Leistung σ2V = 1/2

σ2Q =

Q2

12=

2−2l

3

(S/N) =σ2V

σ2Q

=12Q2

12

=3

2· 22ℓ

(S/N)dB = 10 lg

(

3

2· 22ℓ

)

= 1, 77 + 2ℓ · 10lg2

= 1, 77 + 6 · ℓ ≈ 6 · ℓ (ℓ groß)

⇒ pro Bit ca. 6 dB Gewinn im Signal-zu-Rausch-Verhaltnis

ℓ/bit 6 8 10 12 14 16

(S/N) dB 37,8 49,8 61,8 73,8 85,8 97,8

Lineare Quantisierung - Quantisierungsfehler Seite 15

Nichtlineare Quantisierung

Codierungsvorschrift entsprechend der 13-Segment-Kennlinie

V = Vorzeichenbit x = beliebiges Binarzeichen

0,1 = log. Null, Eins - = vernachlassigte Stellen

Segment Berei h lineare ni htlineareDualdarstellung Dualdarstellung0 0 � jvj < 2�7 V, 0000000xxxx V,000xxxx0 2�7 � jvj < 2�6 V, 0000001xxxx V,001xxxx1 2�6 � jvj < 2�5 V, 000001xxxx- V,010xxxx2 2�5 � jvj < 2�4 V, 00001xxxx-- V,011xxxx3 2�4 � jvj < 2�3 V, 0001xxxx--- V,100xxxx4 2�3 � jvj < 2�2 V, 001xxxx---- V,101xxxx5 2�2 � jvj < 2�1 V, 01xxxx----- V,110xxxx6 2�1 � jvj < 20 V, 1xxxx------ V,111xxxx

10

0

00

00

1

1

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

0.5−0.5−1−1 0.25−0.25

v Q

v

Segmente

Differentielle Puls-Code-Modulation (DPCM)Idee: Quantisierung eines Differenzwertes d(k) zwischen Signalwert v(kT) und einem geschätzten SignalwertIdee: Quantisierung eines Differenzwertes d(k) zwischen Signalwert v(kT) und einem geschätzten Signalwert

zum Zeitpunkt kTVorteil: Differenzwert << Signalwert Quantisierung mit weniger Bit möglich

Frage: Ermittlung des Schätzwerts Prädiktor = Schätzwert-Filter, sagt aus bisherigem Signalverlaufvorher, welches der wahrscheinlichste nächste Abtast-wert sein wird (Extrapolation)

Vorwärtsprädiktion: Emittlung des Schätzwerts aus vergangen Signalwerten v(lT) mit l<k, undanschließender Quantisierung des berechneten Differenzwertes

Rückwärtsprädiktion: Ermittlung des Schätzwerts aus vergangenen, quantisierten Differenzwertend(lT) mit l<k; (besseres Rauschverhalten alsd(lT) mit l<k; (besseres Rauschverhalten alsVorwärtsprädiktion)

Differentielle Puls-Code-Modulation: Übertragung eines DifferenzwertesEmpfänger

Sender

Rückwärtsprädiktion

D/A-Umsetzer: Umsetzung des dis-kreten Werts auf Rechteckt-Signal

16

üc ä tsp äd t o

Delta-ModulationFunktion: Sonderform der DPCM mit 1-Bit QuantisierungIdee: Ist die Veränderung des Signals dv/dt gegenüber der Abtastfrequenz fA=1/T gering Prädiktion kann dem Signalverlauf schnell folgen

Differenzwert ist klein 1 Bit ausreichend DPCM erfordert hohe Abtastfrequenz

Prädiktor: Verzögerung um einen TaktVorteile

Problem: kann sich schnell änderndem Signal nicht v(kT) nicht folgen (Steigungsüberlastung) oder schwingt bei ruhigem Vorteile

Geringer RealisierungsaufwandWegen hoher Abtastfrequenz wird Quantisierungsrauschen auf großen Frequenzbereich verteilt Geringer Rauschanteil im Nutzband

LösungenErhöhung der Abtastfrequenz Erhöhung der Bitrate über Kanal

Signal über (Granulares Rauschen)

Erhöhung der Abtastfrequenz Erhöhung der Bitrate über KanalAdaptive PCM: Anpassung der Stufenhöhe 2-l+1, d.h. Anpassung an l

17

Puls-Code-Modulation Seite 18

5. PCM Zeitmultiplex

TDMA : Time Division Multiple Access

Schema eines Zeitmultiplexsystems

v1(t)

v2(t)

vN (t)

v1(t)

v2(t)

vN (t)TP

TP

TP

A/D P/S S/P D/A

8 bit

8 bit

8 bit

8 bit

SynchronisationSynchronisationkTA

kTA

kTA

DigitalerKanal

Rahmenaufbau eines PCM 30-Systems

10 2 15 16 17 18 30 31

15 Fernsprechkanale15 Fernsprechkanale

8 bit Rahmensynchronisations-8 bit Vermittlungs-

(8 bit pro Abtastwert)(8 bit pro Abtastwert)

InformationInformation

PCM-Hierarchie Seite 19

Hierarchie des PCM-Systems im Fernsprechbereich

Sprachkanale Bitrate Ebene Entfernung

PCM30 30 2 Mbit/s EVSt.

PCM120 120 8,4 Mbit/s EVSt.KVSt. 15 km

PCM480 480 34 Mbit/s KVSt.HVSt 45 km

PCM1920 1920 140 Mbit/s HVSt.ZVSt 150 km

PCM7680 7680 565 Mbit/s ZVSt. >150 km

(EVST, KVSt, HVSt, ZVSt = End-, Knoten-, Haupt-, Zentralvermittlungsstellen)