gmcs097e

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B421) ROULEMENTS : METHODE DE CALCUL (Notations SKF)

ETUDE TECHNOLOGIQUE- MONTAGE- LUBRIFICATION- PROTECTION(cf p*j€sSa4&S

i- DEFINITIONS GENERALES * 1° C h a r g e s t h ë o r i ci u e s ;

Les actions qui p e u v e n t s T e x e r c e rsur un roulement peuvent se décomposer en

- une charge radiale R

- une charge axiale A composantes de 1acharge théorique: T** _ "" ~~ réduite

au £ €; n t r e d ' a p p u i I du roulement (pointd fapplication de F )

Ce centre d'appui .correspo n d o unon avec le centre géométrique ( ou lecentre de gravite) du roulement suivant: letype de ce dernier.

Les charges R et A représentent

JJËJLJ1S: _-J: JL!1 j !±£ -JLUJ: a He ^ e ^ ' a r r e * e s

sont obtenues en écrivant 1 ' e qu i 1 i b r e d e.cet arbre, où elles figurent 1. es "réac lions

d'appui dues aux paliers"

^ 2 Cha^r g - s m aj OTJê s ' our se rapprocher des conditionsj:ee 1 lês^ Ë-! ?EJL£ll L:3-Ji° n > ° n P e u t si ° n le j u g e u t i 1 e ma j o r e r 1 e scharges théoriques grâce aux résultats d'expériences no mb r e us e smenées sur des montages identique s 'ou similaires. En 1 Tabsencede renseignements de cet ordre on peut: prévoir cette majorationà l'avance en projet en utilisant un coef fîc ien t dit t fde service"f s jouant un rôle analogue à celui d'uncoefficient de sécurité :o n p e u t é. c r i r e : 0 9

j _ f£_(R-R, f s et A =A,fs). Ce coefficient

s é c r i t îf = f , . f D » f .f a v c c ^ f : c o e f f i c i e n t de t r^n^mj^^s iôii

^Q[d c / l ynamique )

e f : c o e f f i c i e n t d e f jgjijcjî onnj£meji t

Ô°MD . p r é c i s i o u c h a r g e s ]

0 f : c o e f f i c i e n t de t erapêrj-i t u r e

pour tenir compte par avance de la réduction des capacités

© [JP.BASSET], [1987], INSA de Lyon, tous droits réservés.

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de charge du roulement avec l'élévation de la température defonctionnement, (cf. Abaque polycope pi roulement p, 9

(0 - 145°= £ 0 = 1 , 1 r

(charges dynamiques

* f : coefficient de dureté pourtenir compte par avance de la ré-

duction des capacités de charges d'un roulement exécuté dansun acier ne présentant pas la dureté superficielle souhaitable

(HRC= 60)

DOC: Voir polycope p.91 HRc 60 55 50 45 40 35 30courbe inférieure don- ^ • • < - •nant 1/fh (coefficient fh 1 1,4 2 2,7 3,7 5,6 7,2de KetKo ' 1 > « '

/ NB / Le choix d'un roulement étant défini en fonction de soncomportement dans le temps i1 es t nécessaired'être très pru-dent dans l'emploi des c o e f f i c i e n t s f v è'tjD

IX

Une charge peut être en effet nettement plus grande quesa valeur calculée théorique, mais ceci durant de courts ins-tants. Elle peut donc mettre en danger momentané la ff résis-tance" du roulement (capacité statique) mais être par ailleurssans influence notable sur la durée du roulement si la surchar-ge qu'elle provoque est brève devant la période normale d'uti-lisation ( capacité dynamique).

Par contre les c^pef f icients f 6 et f h sont relatif s à desconditions permanentes si e l l e s s e présentent.

* 3° Notions de durée d fun roulement. :| LJApres un temps de ser-vice plus ou moins long( ou bref) selon les conditions dans les-quelles il est employé, un roulement présente des s ignés d'ina-ptitude à un emploi normal (écaillage des surfaces de roulementdû à la fatigue du métal sous les charges répétées, usure d 1 oùjeu croissant - imprécision du guidage, bruit, voire parfoisgrippage. )

On désigne alors par durée de vie L pour un roulement1e nom b r e d e m i11i o n s de tours qu'il peut faire avant l'appari-tion des signes précédents.

* 4° Notion de "charge équivalente" P ( ou Pô)

On appelle lf charge équivalente "P" une charge fictive,purement radiale et fixe par rapport à la bague Extérieure tour-nante par rapport à la bague intérieure pour un"roulement", pure-ment axiale pour unel!butëe", constante en d irec tion ; sens et


intensité qui donnerait au rou^emejçt 1 même durée de vieque 1a c h ar g e c omb i n ë e r ëe11e F = R + A

**Po ( ou les mêmes déformations permanentes )

II- EQUATION DE DUREE ET CAPACITES DE BASE I

H 1 ° Durée nominale LUT• N

On a cherche à établir une r e la t ionentre la durée d'un roulement et la chargeéquivalente P qu'il supporte. Pour cefaire on a essayé un très grand nombre deroulements de même type, de mêmes dimen-sions en les faisant tourner sous la mêmecharge, à la même vitesse et dans lesmêmes con di t ions .

Pour chaque charge on a établi undiagramme statistique donnant le nombre deroulements ayant effectué une certainedurée. L'analyse des résultats montre quedifférents échantillons d'un même roule-ment >(mê»e n°) (courbe en, cloche de GAUSS).n'ont pas la même durée.

En fonction des c r itères contradictoires de sécurité et deprix de revient on a défini une durëe"type" pour chaque roule-ment ou DUREE NOMINALE L correspondant à la valeur atteinte ou de-ga s së e par 90 % de 1 e n s e m ble d e s r o u1em e n t s.

(millions de tours) Mtours

Si l'on désigne par Ls la duréeatteinte par S% du lot de roulements etLS/LN=L_ la durée relative de ce même lot, ona la loi de L_ variation suivante:(lg=log )—•—: r : i erexposant de dis-

f K f Ls . e ^ l ^ .lg («.) = ( _ ).lg __ persion,valeurN * expérimentale

6=1,12 valeur moyenneT . . , T T T pour acier suédoisrelation dans laquelle r

l'exposant e dépend du matériau.et (s=%:100) 10

e= - billes

9- touleauxo

l'application de cette loi montre en parti-culier que pour 50 % du lot (s=0,5) ladurée relative vaut 1^= 5,4 c.à.dire quepour la moitié d'un lot de roulement i-dentiques, la durée réelle en cours d'u-tilisation sera plus de cinq fois la va-leur de la durée nominale.

Cette loi se traduit par le graphe ci-contre.De même le quart du lot dure dix fois la valeur de la duréenominale.


* 2° Equation de durée .

Un roulement de même n° essayé sous la charge équivalenteP- donne une durée nominale L ; sous la charge P9 il donne unedurée nominale L; .'....etc ^ sous la charge équivalente P.i j ^ • i **2 T !la durée nominale L%_. .Ni

On constate alors que P et L. sont liées par la relationsuivante dite ëquat:ion de durée;

— ^ , C v p * relation expérimentale(PALMGREN* valable avec un L_JL p I P • 71 >

lubrifiant de viscosité dans laquelle p est; un exposant12 cST à la temp. fonct. variable selon la nature du con-et si la produit 0,5(D+d).N tact entre les éléments roulants

est compris entre 10.000 et et les chemins de roulement.300.000 (0 D,d en mm N en t/ma

On a :

* p =3 pour les rou1em e n ts à b i 11eg (contact210/3= Q 0793684 théorique ponctuel)

j. t * T>)-* v-n • P ^lOfpour les roulements à rouleaux (contactu OU r — àr ^ 4 , * - . ^ . v -—----«---—--«.r r- -~r / ^ t h e o nq u e linéaire)N N/10 *3'3'3.., pour les roulements et butées à aiguil-

Vies ou rouleaux ^=3à4 en réalité)

* 3° Capacité de base dynamique C=P pour L^= 1 millions de tours.

* ^Capacité de base ,stat_ique : Co

C'est la charge purement r a d i al e p o u r un!troulementf!

p u r em e n t a x i a 1 e : p o u r une butée qui appliquée au repos produitune déformation des éléments roulant s(billes ou rouleaux) égaleà 1 / 1.0 . 000 e de leur diamètre.

car il n'y a aucune charge en dessous de (+m élastiqueslaquelle il n'y aurait pas de déformation j+

permanente.On a toujours déformations ( ~ p-p JLasuiques

- Autres formes de 1 féquation de durée ; commentaires ;1im i tes de v a1i dite.

Il est en général plus commode d'exprimer la durée nomi^-nale L à partir de la v i t e s se d e r o t a t i o n supposée constanteNtTmm du roulement, et aussi de la durée horaire L .

n

On a alors : i

Mtours p.L =60.N.L .10 «L'équation de durée prend alorsi 7^ \— * diverses formes pratiques telles

t/mm heures que :


LN=4)^60.N.LH.1Q-6J so.t P/60.N.L 1(T

6'•t , , * —i . p y #

ou C = P-X^LT7 L _/C\* 106V N L

H-(pJX -6Ô~¥

cf.Tableaux ou ABAQUES donnant

<Killes. (* = 3) °U (S.) . (P= 1° / 3 )

Vp / r o u l e a u x

L ' o r d r e de g randeur d e . L * ( )px ' < •• ' ** »—. - - • • fr» H p 60 Nest donné dans les

documents des fabricants ou dans les polycdpes.DOC.NUM,Roulements pi 86

NBSi dans l'équation de durée pour un rouledent (G connu)on

tire P on a B = . c/^/6Q . N LR . j o'6' *ui m°intre ^ue si N

tend vers 0, théoriquement P augmente indéfiniment. Comme lacharge réellement supportable par le roulement est limitéeon doit à faible vitesse*( N <I0 à 100 t/mn environ?.No selonfonctionneront. ) X

Vérifier également avec la capacité de base à ta-

(* SKF 70 : calcul de Pô) ti(iue Sue ;

. , . k=l condit.norm.de rotât.à coups

P ^ k C o I * , n c u normaux •o avec k^O,^ chocs carac. ou nécessite

* ' d fun guidage rigoureuxk=2 charge régulière,pas de chocs

ou chocs rares

La vitesse minimale au dessous de laquelle le critère decapacité de base statique devientdéterminant est telle que

kCo =cyv /60.NO.L 10~6 qui

c ondu i t à 1 f exprès s i on :

, r p 106 (.billes 6208,^ C*o^ X 6-0".L—Tk " 2000 heures con-r R ditions normales| N o # 2 4 t / m m

caractér. du Roulement "e? " 10000h

No|45 t/mm


La vitesse N est également limitée vers lehaut à la valeur N maxi qui dépend du roule-ment, à cause de l'effet des forces d'inertiecentrifuges sijir les éléments roulants quicréent des charges parasites sur les bagues,croissant rapidement avec la vitesse (mo)2r)

On a: !

NM= ïïtfô si D<30mm et V ÏÏ^TÔ si D*30mm

A est une constante fonction du type de roule-ment^de la 1ub r ifi c a t ion ;

III - CALCUL DE LA CHARGE EQUIVALENTE 4 ™^*^E f P«,L.b 1A1 1CJU b J -p

é Problème posé : Déterminer pour un roulement donné lavaleur de la charge dynamique équivalente P^connaissant les

charges axiales et radiales auxquelles il est soumis, suppo-sées constantes*

On utilise pour ce faire la formule P=X.V.R.+Y.A dans laquelle

.X désigne le c o e f fi ci e nt r a di ja 1 du roulement;Y n n âxiaTT ".V " fl ff de rotation: il permet de tenir comptedu fait que la rotation sous charge tournante par rapport à labague Extérieure est généralement plus défavorable que tournantepar rapport à la bague ÎNtérieure.

On a V=l pour charge radiale tournante /bague INtérieureV=$05" !f " ff EXtérieureSauf

pour roulements à rotule sur billes pour lesquelles V=là aiguilles V = L1 ^ ^ • _

charge équivalente statique Po=XoR+YoA

—f-"-f— f. . , . I ** WVITALC<*<,'&&• App 11 cations particulier es . U ou pi» 03

X 1°) Roulement s à une rangée ( de billes ou rouleaux )

Dans cesroulements l'effort axial est sansinfluencetant que le rapport _A^reste;^ inférieur ou égal à une certainevaleur e (<aKscrim!nant) VK

On prend alors pour P,>X = 1 et Y = o soit P SB + V R


Par contre si À^ e, la charge axiale a plus dinfluence queVR

la charge radiale et l'on revient à la formule générale (1).

e varie avec le type et les dimensions de roulement(cf CAT, et DOC, NUM. )

De plus?pour les roulements rigides à une rangée de billes

les coefficient s X . Y

et le discriminant e sont fonction du rapport A——— ' " ' - - - - - — —• _ par suitede la modification de l'angle de contact cXbilles /gorges avec la valeur de la charge axiale A.

Si A =o s o( = o angle de contact nominal (charge purementradiale)

2° ) Rouiements à deux rangëej? ._

Pour ces roulements on doit touj ours cons idërer lac h a r g e ax i ale A e t utiliser la formule générale (1)

La.valeur à prendre en compte pour X et Y dépenddu rapport ~R

A I - ~" **• i A 4 •**••"» r . • i

— ^ e) l Si >) 2 p X X Y Y fonction duVR ^ )Y = Y * b l VR^|Y-Y 6 >X î **2 5 Y1 ' Y2 N° du roui.

f f (cf CAT ou DN)

3 ° ) Roulement s à roui eaux c y j. ijid r i qu e s et à aiguilles

Ces roulements ne p eu vent encaisser de c h a r g e a xi aie :

on a donc X = î et Y = 0 c .a dire:

Dans le cas cependant, où est montée une bague épauléerapportée une faible charge axiale est tolérable à la condi-tion de ne pas dépasser 30 % de la charge radiale. Le glisse-ment rouleaux/ épaulement modifie la répartition des pressionsau contact rouleaux/ chemins de roulement et diminue la duréedu roulement. On a alors ^ ,. TT __ ^ _ £ /AN .. _._ 10P = fe.V.R ou fe = f(—) poly DN p * 1 8

axLale^ *"•—~™™ K

La charg^nïSximale peut être calculée selon pi.7

A Actuellement on admet surtout l'influence de la lubrification(SKF I970 p.36/37)


* ^ ° ).. ûtêis (roulements spécialises pour charges axiales)

• 4l - Butées à bi11es ( angle de contact nominal a=90°)

Ces butées à a i g u i 11 e s ou à r o u 1 eaux ne peuvent encaisserde charge radiale.

O n a d o n c X = oY = 1 et P = A > A m : charge axiale mini de fonc-

tionnement ( force centrifuge) voir DNR pi 7.

• ~ Bu t,£ e s A r° JLHJJ-L-sur rPuêaux * Ces butées peuventencaisser une charge radiale à condition que celle-ci ne dé-passe pas 50 % de la charge axiale. (0,55~* =1,82) soit

—-p~< 0,55 ouA V i QO f x = 1> 2 et Y =1

avec v~> 1,82 on a; j°nT T]T F

• 43 - Butées- Roulement^ combinés à aiguilles

On fait le calcul séparé de la butée sous la charge P=A11 ff fl du roulement sous la charge P=VR

•L'ensemble doit satisfaire à l'équation de durée.

* 5 °) Roulements à billes à rouleauxconiques

Pour ces roulements 1 *app1ication d'une char g e r a d i alesur le roulement fait naît r e une Câ,r1ë

e axial e indui te.Ai dont la valeur moyenne est : proportionnelle à la charge

radiale R;; fonction du réglage de jeu

initial: inversement proportionnelleau coefficient axial du roule-ment Y

. Dans des conditions de mojitage correctes on a""_ VR I 'A . =- ~ en moyenne

Le problème qui se pose est alors d e calculer les chargesaxiales supportées par chacun des deux roulements montés enopposi tion (cf montage des roulements-, connaissant les chargesradiales sur chacun d'eux et la charge axiale extérieure éven--tuelle.


Un schéma du montage précisantle mode de couplage des roule-ment s (montage direct ou indirect)et la mise en place des chargesextérieures étant établi, onchoisit un sens positif sur l'axex f x.

-b)Les charges sont supposées êtreappliqué es à 1 f arbre qui constituedonc ainsi le sys terne isolé dont onétudie l'équilibre *

—^ "~ les-c)0n désigne par ; R. et_R?charges radiales supportées respec-tivement ]bar les roulement s (I ) &(It)

Elles sont donc appliquées à l'arbre en I et I? centres d'ap-pui d"ê ces r o u l e m e n t s . ^ '

->-; A. et A« les efforts axiaux exercés par les roulements ( I) et

(II) respectivement, sur l'arpre * (charges axiales d'^ d f équilibre )

i A la charge axiale extérieure éventuelle.

; A. et_Â. les charges axiales indui tes par les roulements1 2 sur l'arbre sous l'effet des charges radiales R

et R~ • On a donc :

A = VR A VR ^es cnarêes axiales induitesiï -JY — et 12 - 2 y 2 s ont to> u jo u r s dirigées du coté

1 2 oppos e a u "somme t"du roulement(intersection 0 de l'axe x'x avec les axes de rotation deséléments roulants : sommet des cônes de roulement pour un typeà rouleaux coniques) Elles sont donc: dirigées vers l'intérieurdu montage dans un montage "direct".

: dirigées vers l'ext&rieurdu montage dans un montage"indirectV leur sens est donc parfai-tement défini.

® * e r Principe : L 'arbre étant positionné axialement, ilest en équilibre selon l'axe x'x. Par conséquent lasomme algébrique des efforts axiaux exercés sur cet arbreest constamment nulle.

On a donc la relation : -i , . ., _(1) T + T+T- 0 ( gne algébrique

l 1 2 J défini par rapportau sens + surx'x)


•2ëme Principe suivant son sens la résultante fictive.

(2) p Â+Ai +A. décharge le roulement pour lequel ellemi 2 provoquerait une séparation des bagues

(p étant censé être appliquée a 1 arbre donc à la bague int4~rieure qui lui est solidaire.)

Ce roulement ne fournit plus alors que sa propre chargeaxiale induite A.; celle-ci est nécessaire à son fonctionne-ment et doit être encaissée par 1'arbre.

1 ère règle ; la charge axiale exercée par le roulement"déchargé"sur l'arbre coïncide avec sa charge axiale induite.

Dans ces conditions l'autre roulement encaisse alorslfeffort axial résultant sur l'arbre de manière à satisfaireà la condition d'équilibre (1) d'où le vocable de roulement

"chargé"

2ëme règle; La charge axiale exercée par le roulementrrchargéfrsur l'arbre équilibre la charge axiale extérieure etla charge axiale induite due au roulement déchargé.

Exemple : (voir figure ; schéma de montage direct)

* 1° cas: La résultante fictive p=A+A. +A. =+A+A. ~A. > 0 ~~ x l X2 "l X 2

e s t ' p o s i t i v e d i r i g é e vers l a d r o i t e .

Le r o u l e m e n t (I) est alorj^"dj|£hargë t f et pour ce rou lemen tA s A . as + A . )

1 i, V

Le roulement (II) est alors"chargé" et on a :

condition(l) :+A+A. +A =0 d'où /A_ =-A-A. orA+A.>A. ( *)Xl ) 2 Xl Wv^l X2KA > A \ (*) ;v;

v \ _2_\ \ A \± 2° cas ; La résultante fictive p IÊi

est négative.

••—^p=A+A. +A. =A+A. ~A. <0(dirigé vers la gauche)ij i2 i 12

Le roulement déchargé est le (II)£j)our ce roulement :A23ff Ai =ÂiX2 2

L e roulement c h a r g ë e s t l e ( I ) e t o n a :

condition (1):+A+A.~A. =0 d'où A =A. -A.> o d'après p(o)I 12 l i2

»»Ôr:À. <A. -A(valeurs arithm.) îhK- "A|>A. \ A > A. \ ()<)i 1 i2 / 1 i2 ij y i i^

(%} Ce résultat est général et peut être vérifié quel que soitle montage (direct ou indirect) et le sens de la charge axialeextérieure A.


CONCLUSION; La charge axiale exercée(ou supportée) par leroulement "charge11 est toujours supérieure à sa charge axialeinduite qui n'intervient donc pas dans soticalcul.

CAS LIMITES

0 La résultante p = A + Ai +Ai =0 traduit directement l'équilibrede 1 'arbre donc A -Ai ,et A Ai . Les deux roulements sont

donc"déchargés" Ils travaillent sous leur propre charge induite.

* II n'existe pas de charge axiale extérieure; A=Q on a donc

P =Ai1+Ai^*Dfautre part la condition d féquilibre de l'arbre

s'écrit:. A.+ ^o^O donc A^-A^ correspond à la plus grande desdeux charges axiales induites. Les deux roulements fonctionnentsous une charge axjiale égale et opposée dont l'intensité estcelle de la plus girande des deux charges axiales induites»

L'un des roulements es t "déchargé11 ( ce lui qui fournit la plusgrande des charges axiales induites') .L ' autre- est "chargé" caril supporte une folrce axiale supérieure à celle qui lui eststrictement nécessaire pour : fonctionner.

d) charge ëqûiva1ente P.

* Pour le roulement "chargé" on calcule P avec XVR+YA ou VRselon la valeur du rapport A_.__>^.(cf § 1 )

VR <* Pour le roulement déchargé on peut constater que l'on a

toujours Ai « JLxVR 2Y e

En conséquence le-roulement "déchargé" est automatiquementcalculé avec une charge équivalente P = VR,

IV - CALCUL D'UN ROULEMENT SOUS CHARGE ET VITESSE VARIABLES

- Méthode de M.LAGRUE

Considérons un roulement donné, de c .pa .itj| de base dynamique Cfonctionnant sous la charge combinée F.-R.+A. à la vitesse cons-

I T Ttante N. durant une fraction U. du temps total d'utilisation:

zu -W\ Eti T , " Eui-rJÉf;^-!^Zui- w" ~^~= T - ' avec T= Zti

°^ ./ ,^t , ys- —J*

- - - . . . . .... . , ' . .. .. .. " . T"


* a) Pour chaque utilisation i on peut calculer

- les charges radiales et axiale Ri et Ai extérieures

(R1 > A1 ? R2' A2j ' Rn; An }

d'où le choix de Xi et Yi Cselon f _ 1 .j

— La charge équivalente Pi = XiaV.Ri + Yi.Atv

- La durée horaire L . du roulement s'il fonctionnait constam-ment dans les conditions d'utilisation i : soit

O) C/Pi = V60-Ni-LHÎ 10~6'(ou L [Pi] niv- £ï Hl~60.NixlO--6 (1)

• b) Pour l'ensemble des utilisations I929j..9n

Appelons L la durée statistique horaire du roulement souscharge svariables

Pour 1 * ut i1i s a t ion i on a -nombre d'heures de fonctionnement

Vui-fraction de la durée utilisée

LH*UiLHi

En sommant les fractions de durée on a évidemment 1/ ^/ L H X U i \ ! LH* U i \ ^ T l i

d l ' •' etM—! " 1SLH- *<%r } d 'oî i û 1Hi V Hi ' H LHi 1 -, Ui v Ov

"-ŒB L V T •» ) \ * /LH Lhi

la loi de durée

- _i u i i / r r-i- ^J u . - ^ / i x * T l / ^ v z y

s T ou H= ' Hi

jg 2- Charge équivalente moyenne ; Pmoy.

Appelons Pmoy. la charge équivalente f ict^Lye /) qui donneraientr. . Tau roulement la

Nmoy. la vitesse de rotation fictivex . ^ Ty ^meme durée L._que l'application successive des conditions réellesR.;A,;N. .U.)

On aura par définition: >€>/ TZ"1

|-|--yt={/60.Nmoy.LH.10 (3)

d'ou avec ( 1 ) :


75

/"" S I

C/Pi Pmoy. f /frO.Ni.L. . IX)'6 ., .Pmoy.f* Ni.L__.__ = , , / = ' J/" H! . d'où ( •'• )= HiC/pmoy. Pi \/ 6Q Nmoy.L^lO*6 Pl Nmoy.LH

soit encore :

P P i . N i . L p . = P P moy. N m o y . L = LHi .fl^A/, 6Vri i tl TT . * ^ C *

U 1

P. * Ni.Ui- PPmoyen.Nmoy.L x ~ .i H -LH.

En sommant pour l fensemble des utilisations

p yC^ u£Z(PP.,Ni.Ui)= Pmoy.Nmoy.L .Z(—7 )>= 1 d faprès (2)=PPmoy.Nmoy. (4)1 H JL n . /

t_ LJ

Or la vitesse moyenne est telle que Nmoy.=N-U +N«.U«+•t =

Z ( N i . U i ) ( 5 )T i r o n s P m o y . de ( 4 ) , o n o b t i e n t l a

Jormule^ d i t e de F I S C H E R q u i s K é c r i t :

p *p/r ( p i p . N i . u i )Pmoy^\/r7¥rnnn^^Tout se passe donc au point de vue de la durée comme si

le roulement fonctionnait constamment sous la charge équiva-lente moyenne constante Pmoy. à la vitesse de rotation moyenneconstante Nmoy. = Z(NiUi)

CAS PARTICULIER. Si pour chaque utilisation i les chargesradiales Ri et axiajj^ Ai sont p r op o r t ionneIles, ce qui estfréquent (boites de vitesses, réducteurs) le rapport ( A)

est toujours constant et par conséquent les coefficienu sX et Y sont indépendants de î-/^pn peut donc écrire:

A ^ 'Pi= XVRi +YAi avec (rr )i= A ceci donne Ai=VRi.X et

— — V K

P i = V R i ( X + À Y ) . En p o r t a n t dans la f o r m u l e de F i s c h e r i lv i e n t ; r, /~~~P~ '

Pmoy. = (X+ A Y), V. \p/ Z(Rir.Ni .Ui)V Z(Ni.Ui)

D *. / n P/ F (RiP .Ni Ui) n . , .Pesant f Rmoy. = \ / YÏWl Ui") e t n aboutlt a $« [

\ ^__ _^ ~Pmoy= X^Rmoy + YAmoy.^J

I—fà^ïi-r *™y *$:%?» '(•pn peut alors mettre en facteur communX et Y dans le calculde Rmoy. et de Amoy.


76

X 3° Généralisation de la formule de FISCHER

Dans la formule de FISCHER on peut remplacer le produitNixUi par le nombre de toursTlâ effectues

on a en effet f 'en multipliant :.Wz(Pip, Ni.UirL ,60)H*et Bs-par L x60 \ / Or ui-LH représente

V £(NivUi*LH.60) le nombre d'heures effec-tuées sous l'utilisation i

à la vitesse Ni »_ donc^li » N i . U i . L x 60

^ ,._ Hjb i~ »r» P i! iZCP.*4l4. ) où £ Tti r eprésen te le nombre tota lP r e n e z focy — \ / i / K

y £ ni tde tou r s e f f e c t u é s : L.

En pas san t à des i n t e rva l l e s i n f i n i tés imaux ?tî •*• o on a:^2,i ft dn et Pi = P ( n ) d ' o ù avec la somme in tégra le ^

~—— > ^ 27 niss-f dn = L

Pm<)y. Q rw*dn^ En général il est plus commode^

d ' introduire 1 'angle de rotation o(« 2"7T«n qui est proportionnelsi le mouvement et Inapplication des charges sont përipdique'sde période CET) la formule de FISCHER devient;

_ _

Pmoy = h T P (a) * da /

\WJo /_L

INTERPRETATION GRAPHIQUE ;

Elevons cette dernière expression à lapuissance p il vient :

, f r (H) pp1 1 P(a), day = MJ

O

On reconnaît la formule dite de la moyenne,mai s appliquée àla puissance p de la charge P , graphiquement cela si-gnifie l'équivalence des aire s (<$) «= (^l\ dans le système descoordonnées o( , eu TL et PP

35B1 En pratique le résultat est quasi identique dans les mêmes^conditions avec l fexposant 3 ou av e c 1 T e xp osa n t 10

3/7-t(!7rn 3On se contente fréquemment de Pmoy . =X/y YJ P(a) da — ~~

A/32. &' Pfo) *u Pfa) £$f //'ï)<£a/remer>t var/a&k G*/**.

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/ /ay. ^/îsVg.^P».P«+%)* {(&»+'$/© [JP.BASSET], [1987], INSA de Lyon, tous droits réservés.

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