geometrie diferentiala prima grila
TRANSCRIPT
-
8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila
1/43
Geometrie diferentiala
Multiple ChoiceIdentify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question.
____ 1.S se scrie ecuaiile tangentei ( )t i normalei ( )n la curba 1y x= + n punctul de abscis e
a. ( )
( ) 2: 0
: 2 0
t x ey e
n ex y e
+ =
+ + =
b. ( )
( ) 2: 0
: 2 0
t ex y e
n x ey e
=
+ + =
c. ( )
( ) 2: 0
: 2 0
t x ey e
n ex y e
+ =
=
d. ( )
( )
2: 2 0
: 0
t ex y e
n x ey e
+ + =
+ =
____ 2.S se scrie ecuaiile tangentei ( )t i normalei ( )n la curba:cos
sin
t
t
x e t
y e t
=
=
n punctul ( )1,0A
a. ( )
( )
: 1 0
: 1 0
t x y
n x y
+ =
=
b. ( )
( )
: 1 0
: 1 0
t x y
n x y
=
+ =
c. ( )
( )
: 0
: 1
t x y
n x y
=
+ =
d. ( )( )
: 1 0
: 1 0
t x y
n x y+ + = + =
____ 3.S se scrie ecuaiile tangentei ( )t i normalei ( )n la curba: 3 2 23 9 0 x x y y+ + = n punctul ( )0,3A
a. ( )
( )
: 3 0
: 0
t y
n x
+ =
=
b. ( )
( )
: 0
: 0
t x y
n x y
=
+ =
c. ( )
( )
: 3 0
: 0
t y
n x
=
=
d. ( )
( )
: 0
: 0
t x
n y
=
=
____ 4.S se calculeze segmentul de tangent T, segmentul de normal N, subtangenta PT subnormala PN pentru curba ( ) 3 2 2 3 0C x xy x y + + = n punctul n care curba ( )C taie axa Oy
S-au notat T- punctul de intersecie al curbei ( )b cu axa Ox , N- punctul de intersecie al curbei ( )C
cu axa Ox , P- proiecia punctului pe axa Ox .
-
8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila
2/43
a. 15 2 3
, 15 2, , 217 7
MT MN PT PN = = = =
b. 15 2 315 2, , 21,
7 7MT MN PT PN = = = =
c. 3 15 221, , , 15 2
7 7MT MN PT PN = = = =
d. 3 15 2, 21, 15 2,
7 7MT MN PT PN = = = =
____ 5.Fie curbele ( ) ( )2
1 2: , : 1 .
2
x xC y e C y x= = + + S se calculeze curburile 1K i 2K corespunztoare lu
( )1C i respectiv ( )2C n punctul comun .A
a.( ) 1 2 3
11, 0 ,
2 A K K = =
b.( ) 1 23 3
1 21,1 , ,
2 3 A K K = =
c.( ) 1 2
10,1 ,
2 2
A K K = =
d.( ) 1 2
1 11,0 , K ,
3 2 2A K = =
____ 6.S se determine ecuaia cercului osculator la elips n punctul de intersecie cu semiaxa pozitiv aabsciselor.a. 22 2 4
2
2
a b bx y
a a
+ =
b. 2 22 2
1x y
a b+ =
c. 22 2 42
2
a b bx y
a a
++ + =
d. 2 2 42
2
a b bx y
a a
+ =
____ 7.S se scrie ecuaiile parametrice ale curbei: ( ) 3 3: 3 0C x y axy+ =
-
8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila
3/43
a.
( )3
2
3
3
1
3
1
atx
tC t
aty
t
= +
= +
b.
( )
2
3
3
3
1 3
1
atx
tC tat
yt
=
+ = +
c.
( )2
2
2
3
1
3
1
atx
tC t
aty
t
= +
= +
d.
( )
2
3
2
4
3
1
3
1
atx
tC t
aty
t
= +
= +
____ 8.Fie curba:
( )
( )
3
22
43:
1
tx t
C t
y t
= +
= +
Notm R - raza de curbur n punctul curent pe curb. Atunci:a. 2
34R y= b. 3
24R y= c. 5
44R y=
d.4
54R y= ____ 9.Fie curba:
( )
( )
3
22
43
1
tx t
C
y t
= +
= +
Se tie c raza de curbur este dat de relaia5
44R y= . DacnS este segmentul de normal al curbei
atunci:a. nR S=
b. 2 nR S=
c. 4 nR S= d. 1
nSR
=
____ 10. S se calculeze raza de curbur a curbei ( )C dat prin coordonatele sale polare:
( ) sin ,m
C mn
=
-
8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila
4/43
a.1
1m
mm
Rn
+
=
b.1
1
m
mm
Rm
+=+
c. 11 mm
mR
m
+
+=
d. 1
1
m
mm
Rm
=+
____ 11. S se calculeze elementul de arc pe curba definit n coordonate polare: ( ) sin ,m
C mm
=
a. 1sin
m
ds dm
=
b. 1sin
1
m
nds d
m
+ =
+
c. 1sin
m
ds m d m
=
d. 1sin
m
ds m d m
+
=
____ 12. S se calculeze elementul de arc pe curba: ( ) ( )1 cosC a = + (cardioid)
a.2 sin
2ds a d
=
b.2 cos
2ds a d
=
c. 2
cos2
ads d
=
d. 2
sin2
ads d
=
____ 13. S se calculeze elementul de arc pe curba: ( ) 2
x xe eC y chx
+= = (lnior)
a. ds shx dx= b. ds thx ds= c. ds chx= d. 2 ds sh x dx=
____ 14. Fie curba ( )C definit n coordonate polare de ecuaie: ( ) ( )C = . Notm V - unghiul dintre
tangenta T i raza vectoare OM . Atuncia. 1
tgV
=
b. 1tgV
=
c.tgV
=
-
8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila
5/43
d.tgV
=
____ 15. Fie curba ( )C definit n coordonate polare de ecuaie: ( ) ( )C = . S se scrie ecuaiile tangente
( )t i normalei ( )n la curba ( )C n punctul curent
a.( ) ( )
( ) ( )
:
:
tgt Y y X xtg
tgn Y y X x
tg
=
=
b.( ) ( )
( ) ( )
:
:
tgt Y y X x
tg
tgn Y y X x
tg
+ =
=
+
c.( ) ( )
( ) ( )
2:
:
2
tgt Y y X x
tg
tgn Y y X x
tg
=
=
d. ( ) ( )
( ) ( )
:
1:
t Y y tg X x
n Y y X xtg
=
=
____ 16. S se calculeze unghiul V dintre tangenta Ti raza vectoare OM , unde este un punct oarecareal curbei ( ) kC ae = (spirala logaritmic)
a. tgV k = b.
2
1tgV
k=
c. 1tgV
k=
d. tgV k =
____ 17. S se afle subtangenta PT i subnormala PN ntr-un punct arbitrar situat pe parabola( ) 2y 2C px= .
a. 2 , PT x PN p= = b. 2 , PT y PN p= =
-
8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila
6/43
c. , 2 PT p PN x= = d. , 2 PT p PN y= =
____ 18. S se afle segmentul de tangent T ntr-un punct oarecare al curbei ( ) 1 x t tht
Cy
cht
=
=
a. 12MT =
b. 1MT =
c. 1MT =
d. 12
MT =
____ 19. S se afle tangenta polar T , normala polar N, subtangenta polarPT i subnormala polarPNntr-un punct oarecare al spiralei logaritmice: ( ) , 0kC ae k = >
a. 2 21 11 , 1 , ,T k MN k k PT PN k k k
= + = + = =
b. 2 21 1, , 1 , 1T k MN PT k PN k k k k = = = + = +
c. 2 21 , 1 , ,T k MN k PT PN k k k
= + = + = =
d. 2 2, 1 , 1 ,MT k MN k PT k PN k k
= = + = + =
____ 20. Fie un cerc de raz a . Fie A un punct pe cerc i O punctul diametrar opus luiA . O secant oarecaredus prin O taie cercul n punctul Ci tangenta nA la cerc n punctulB . S se afle locul geometric apunctuluiP astfel nct BP OC= .a.
( )3
3
cosastroida
sin
x t
y a t
=
=
b.( )
2
32 sin
cisoida lui Dioclessin2
cos
x a
y a
=
=
c. ( )spirala logaritmickae =
d. ( )
( )( )
sincicloida
1 cos
x a t t
y a t
=
=
____ 21. Eliminnd parametrul ntre ecuaiile parametrice ale curbei:
-
8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila
7/43
( ) ( )
2
3
2 sin
sin2
cos
x a
C cisoida lui Dioclesy a
=
=
se obine ecuaia curbei sub form implicit:a. ( )2 2 22 0 y x y ax+ =
b. ( )2 2 22 0 x x y ay+ + = c. ( ) ( )2 2 2 2 2 0x x y a x y+ + = d. ( )2 2 22 0 x x y ay+ =
____ 22. S se scrie ecuaiile parametrice ale strofoidei: ( ) ( )2 2 2 2 0x x y a x y+ + = a.
2
2
2
1
1
atx
tt
aty
t
= +
= +
b. ( )
( )
2
2
2
2
1
1
1
1
a t
x tt
at ty
t
= +
= +
c. ( )
( )
2
2
2
2
1
1
1
1
at tx
tt
a ty
t
= +
=+
d.
( )
( )
2
22
22
1
1
atx
tt
atyt
=
+
= +
____ 23. S se gseasc punctele de intersecie ale curbei ( )C definit parametric de ecuaile:
( )3
2
3
3
x t t C t
y t
=
=
i dreapta :( ) 2 6 0d x y+ + =
a. ( ) ( ) ( )0, 3 , -18, 6 , 2, 2 A B C
b. ( ) ( ) ( )0, 3 , 18, 6 , 2,2 A B C
c. ( ) ( ) ( )0, 3 , -18,6 , 2, 2 A B C d. ( ) ( ) ( )0, 3 , 18, 6 , 2, 2 A B C
____ 24. S se scrie ecuaiie tangentelor duse prin originea ( )0,0O la curba :
( )
2
4 13 4\ ,
4 3 3 2
2 1
tx
tC t
ty
t
+= +
+ =
+
-
8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila
8/43
a.( ) ( )1 2
1: , :t y x t y
x= =
b.( ) ( )1 2
4: , :
9t y x t y x= =
c.( ) ( )1 2
9: , :
4t y x t y x= =
d. ( ) ( )1 249
: , :9
t y x t y x= =
____ 25. S se scrie ecuaia explicit a curbei ( )C definit parametric de ecuaiile:
( )
2
4 13 4\ ,
4 3 3 2
2 1
tx
tC t
ty
t
+= +
+ =
+
a. 7 5 3, \
5 3 5
xy x
x
=
b. 7 5 3, \
5 3 5
xy x
x
+ =
c. 5 7 3, \
5 3 5
xy x
x
=
d. 5 7 3, \
5 3 5
xy x
x
+ =
____ 26. S se scrie ecuaiile tangentelor la curba( ) 3 3 23 0C x y x =
paralele cu prima bisectoare a axelor de coordonate:a. ( ) ( )1 2: , t : 4t y x y x= =
b. ( ) ( )1 2: , t : 4t y x y x= =
c. ( ) ( )1 2: , t : 4t y x y x= = d. ( ) ( )1 2: , t : 4t y x y x= = +
____ 27. S se scrie ecuaiile tangentei ( )t i normalei ( )n n punctul ( )1,1M la curba:
( )
4
2 1
1
2
xx
xC
x
=
a. ( )
( )
: 2 1
: 2 3
t y x
n y x
=
+ =
b. ( )
( )
: 2 1 0
: 2 3 0
t x y
n x y
=
+ =
c. ( )
( )
: 2 3 0
: 2 1 0
t x y
n x y
+ =
=
d. ( )
( )
: 2 1 0
: 2 3 0
t y x
n x y
+ =
=
-
8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila
9/43
____ 28. S se scrie ecuaiile tangentei ( )t i normalei ( )n n punctul 1 ,32
M
la curba:
( )
2
4 13 4: \ ,
4 3 3 2
2 1
tx
tC t
ty
t
=
=
a. ( )
( )
:16 5 0
n :2 32 97 0
t x y
x y
+ =
=
b. ( )
( )
:16 5 0
n :2 32 97 0
t x y
x y
+ =
+ =
c. ( )
( )
:16 5 0
n :2 32 97 0
t x y
x y
=
+ =
d. ( )
( )
: 16 5 0
n :2 32 97 0
t x y
x y
=
+ =
____ 29. S se scrie ecuaia tangentei i normalei n punctul ( )2, 1M la curba: ( )3 2 2
: 3 2 9 0C x x y y x+ + = a. ( )
( )
: 7 13 0
n : 7 9 0
t x y
x y
=
+ =
b. ( )
( )
: 7 13 0
n : 7 9 0
t x y
x y
+ + =
+ =
c. ( )
( )
: 7 13 0
n : 7 9 0
t x y
x y
+ =
=
d. ( )
( )
: 7 9 0
n : 7 13 0
t x y
x y
=
+ =
____ 30. S se gseasc lungimile segmentelor de tangent T, de normal N, subtangentPT subnormalPN ntr-un punct situat pe curba:
( ) , , ,12 2 4
C y tgx x M
=
a. 5 1, 5 , , 2
2 2MT MN PT PN = = = =
b. 5 15 , , , 2
2 2MT MN PT PN = = = =
c. 1 52 , , 5 ,
2 2MT MN PT PN = = = =
d. 5 15 , 2 , ,2 2MT MN PT PN = = = =
____ 31. S se afle lungimile segmentelor de tangent T, subtangentPT , de normal Ni subnormalPN
n punctul 1,12
M
la cicloida ( ) [ )sin
t 0,21 cos
x t t C
y t
=
=
-
8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila
10/43
a. 2
2
1
1
MT
PT
MN
PN
= =
= =
b. 12
1
1
2
1
MT
PT
MN
PN
=
= =
=
c. 12
1
2
1
1
MT
PT
MN
PN
=
= =
=
d. 2
1
2
1
MT
PT
MN
PN
=
=
= =
____ 32. S se afle lungimile segmentelor de tangent T , subtangentPT , normal N, subnormalPN npunctul ( )1,1M lafolium-ul lui Descartes: ( ) 3 3 2 0C x y xy+ =
a. 2, 1, 2, 1MT PT MN PN = = = = b. 1 1
, 1, , 12 2
MT PT MN PN = = = =
c. 1, 2, 1, 2MT PT MN PN = = = = d. 1 1
1, , 1,2 2
MT PT MN PN = = = =
____ 33. S se calculeze lungimea subtangenteiPT la curba exponenial: ( ) , ,bxC y ae x a b= -
constante nenulea. PT b=
b. 1PT
b=
c. 2 PT b= d. 2 PT b=
____ 34. S se gseasc familia de curbe care au subtangenta constanti egal cu 1b
a. 2 , a,b const.bx y ae= b. , a,b const.bx y ate= c. , a,b const.bx y ae= d. ( )1 , a,b const.x y a be= +
-
8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila
11/43
____ 35. S se afle raza de curbur a lniorului: x y acha
= , x
a. R a chx= b. R a shx= c. 2R a sh x=
d.
2
R a ch x=
____ 36. S se afle raza de curbur a cicloidei: ( )( )
( )[ )
sin0,2
1 cos
x a t t C t
y a t
=
=
a.4 sin
2
tR a=
b.4 sin
2
tR a=
c.4 cos
2
tR a=
d.4 cos
2
tR a=
____ 37. S se afle raportul dintre raza de curburR i lungimea segmentului normal Ncorepunztore curbe
( )( )
( )[ )
sin0,2
1 cos
x a t t C t
y a t
=
=
a.1
R
N=
b.2
R
N=
c.2
R
N=
d. 1
2
R
MN=
____ 38. S se afle curburaK i raza de curburR n punctul ( )1, 1M la curba: ( ) 3 3 2 0C x y xy + =
( ) 2,x y
a. 24 2 ,
8K R= =
b. 24 2 ,
8K R= =
c. 2, 4 2
8K R= =
d. 24 2 ,
8
K R= =
____ 39. S se gseasc expresiile curburiiKi razei de curburR n coordonate polare
( ) ( )cos
:sin
xC
y
==
=
-
8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila
12/43
a.
( )
( )
2 2
3/ 22 2
3/ 22 2
2 2
2
2
K
R
+ =
+
+=
+
b.( )
( )
2 2
3/ 22 2
3/ 22 2
2 2
2
2
K
R
+=+
+=
c.
( )
( )
2 2
3/ 22 2
3/ 22 2
2 2
K
R
+ =
+
+=
+
d.( )
( )
2 2
3/ 22 2
3/ 22 2
2 2
2
2
K
R
=+
+=
____ 40. S se gseasc curburaK i raza de curburR n punctul4
M
la curbura
( ) ( ) [ )5sin2 , 0,2C =
a. 12
2K R= =
b. 12 2K R= =
c. 2K R= = d. 1K R= =
____ 41. S se calculeze curbura i raza de curbur a cardioidei: ( ) ( )2 1 cosa = n punctul2
M
=
a. 3 2 4 2,
8 3 K R a
a= =
b. 4 2 3 2,
3 8 K a R
a= =
c. 24,
42
aK R
a
= =
d. 3,
3
aK R
a= =
____ 42. S se calculeze subtangentaPTi subnormalaPN la cicloida:
( )( )
( )
sin:
1 cos
x a t t C
y a t
=
=
-
8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila
13/43
n punctul arbitrar situat pe curb:a.
2 sin , sin2 2
t t PT a tg PN a t = =
b. 22 sin , sin2 2
t t PT a tg PN a t = =
c. 22 sin , 2 sin2 2 2
t t t
PT a tg PN a= = d. 22 sin , 2
2
t PT a t tg PN a tgt = =
____ 43. S se scrie ecuaia tangentei la curba politrop: 0 , 1m n x y m n= + = a.
( )m
Y y X xn
=
b.( )
myY y X x
nx =
c.( )
myY y X x
nx =
d.
( )
my
Y y X xnx =
____ 44. Fie curba ( ) 2: 1 xC y e= + i un punct arbitrar situat pe curb. NotmR , raza de curbur, tS i nS
lungimile segmentelor subtangent, respectiv subnormal corespunztoare punctului . Atuncia. t
n
SR
S=
b. t n R S S =
c. 2t
n
SR
S
=
d. t n R S S = +
____ 45. Fie curba( ) : cos , .
n n
C a n n = Not
m
nS- lungimea segmentului subnormal
polar
iR
- raza
de curbur. Atunci:a. ( )1nS n R= +
b.1
n
RS
n=
+
c. 2nS n R=
d. nnS R=
____ 46. Fie curbura ( ) 2 3: ,C y x px p= + . S se determine punctele singulare ale curbei
a.,0 , ,0
3 3
p pA B
b.,0 , ,0
3 3
p pA B
c.0, , 0,
3 3
p pA B
d.A 0, , 0,
3 3
p pB
-
8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila
14/43
-
8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila
15/43
____ 53. S se discute natura punctelor multiple ale curbei:2 3 , y x px p= + (parametru)
a.dac 0, ,0 i ,0
3 3
p p p A B
, sunt puncte duble.
b.
dac 0, ,0 i ,03 3p p
p A B
< , sunt puncte izolate.
c.dac 0p > , ,0
3
pA
i ,03
pB
, sunt puncte izolate.
d.dac 0p , ,0
3
pA
i ,03
pB
, sunt puncte duble.
____ 54. Fie curba plan ( )C : ( ) 3 2 2 3 2 2, 2 2 0 F x y x xy yx y x y + + + =
S se stabileasc punctele singulare ale curbei.a. ( )0,0O , punct izolat.
b.( )1,1A , punct dublu.
c. ( )1, 1B , punct singular de tip nod.
d. alt variant.
____ 55. S se determine punctele singulare ale curbei ( )C : ( )22 1 y x x= i s se scrie ecuaiile tangentelor n
aceste puncte.a. ( )2, 2A i ( )2, 2B , puncte izolate. n aceste puncte curba nu admite tangent.b. ( )1,0M , punct dublu, dreptele tangente corespunztoare: 1;y x= 1y x= .
c. ( )0,0O , punct dublu, tangentele corespunztoare sunt dreptele de ecuaie: ;y x=
y x= .
d. alt variant. ____ 56. S se determine punctele singulare ale conicei dat pe ecuaia general:
( ) ( ) 211 12 22 13 23 33: , 2 2 2 0C F x y a x a xy a a x a y a= + + + + + =
a. Doar conicele nedegenerate au puncte singulare.b. Doar conicele degenerate admit puncte similare.c. Dac ( )0 0,A x y este un punct dublu al conicei date, exist o singur dreapt tangent
ce trece prin acest punct.d. alt variant.
____ 57. S se precizeze concavitatea i convexitatea arcului de elips:
( )cos
y=bsint
x a t AB
=
[ ]0,t
a. arcul AB este concav pe 0,2
i convex pe ,2
b. arcul AB este concav pe [ ]0,
c. arcul AB este convex pe 0,2
i concav pe ,2
d. alt variant.
-
8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila
16/43
____ 58. S se studieze convexitatea i concavitatea curbei ( )C : a = (spirala luiArhimede).
a. curba ( )C este convex spre pol.
b. curba ( )C este concav spre pol.
c. curba ( )C nu admite concavitate sau convexitate.
d. alt variant. ____ 59. S se determine evolventa cercului de ecuaie:
( )cos
:sin
x a t
y a t
=
=, [ ]0,2t
a.( )C :
( )
( )
cos sin
sin cos
x a t t t
y a t t t
=
= +
b.( )C :
( )
( )
cos sin
sin cos
x a t t t
y a t t t
= +
=
c.( )C :
( )
( )
sin cos
sin cos
x a t t
y a t t t
= +
= +
d.( )C :
( )
( )
cos sin
cos sin
x a t t
y a t t t
=
=
____ 60. S se determine evolvena laniorului de ecuaie:
( ) : x y acha
= 0a
a. ( )
( )
sin
1 cos
x r t t
y r t
=
=
, t
b. cos
sin
x a t
y a t
=
=, t
c. ( )
( )
cos sin
sin cos
x a t t t
y a t t t
= +
=
, t
d. t x t ath
a
ay
tch
a
=
=
, t
____ 61. S se calculeze curbura ntr-un punct oarecare al curbei:
( )C :( )
( )
sin
1 cos
x a t t
y a t
=
=
a. 1 1
2 sin2
tRa
=
b. 12
tach
R=
c. 1 1
4 sin2
tRa
=
-
8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila
17/43
d. 1 1
4 cos2
tRa
=
____ 62. Fie curba de ecuaie:
( )C :x
y ach
a
= , 0a (lniorul)
Notm: 1R
- curbura curbeiinS -segmentul normalcorespunztoare unui punct arbitrar pe curb
Atunci:a. 1
nS
R=
b. 12 nS
R=
c. 1nS const
R=
d. 2nS
R=
____ 63. Fie curba de ecuaie:( )C : kae = , (spirala logaritmic)
Notm: 1R
- curbura curbei inS - segmentul normalcorespunztor unui punct arbitrar pe curb
Atunci:a. 1
nS
R=
b. 12 nS
R=
c. 1nS const
R=
d. 2n
SR
=
____ 64. S se determine curbele plane ale cror curbur este constant.a. elipsele sunt singurele curbe plane avnd curbura constant.b. cercurile sunt singurele curbe plane avnd curbura constant.c. astroida este singura curb plan avnd curbura constant.d. alt variant.
____ 65. S se determine curbele plane ale cror ecuaie intrinsec este:
2 2
1 a
R a b=
+, a const=
a. ( )
( )
sin
1 cos
x a t t
y a t
=
=
b. 2 2 23 3 3 x y a+ =
c. x y ach
a=
d. cos
sin
x a t
y a t
=
=
-
8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila
18/43
____ 66. S se stabileasc ordinl de contact r n vrful ( )0,1V ntre parabola:
( )1C :2
2
xy a
a= +
i lniorul
( )2C :x
y ach
a
=
a. 1r = b. 2r= c. 3r= d. 4r=
____ 67. S se stabileasc ordinl de contact r n punctul ( )2,0A ntre elipsa:
( )1 :C sin
x acost
y b t
=
=
i cercul:2
2 42
20
c bx y
a a
+ =
, 2 2 2c a b=
a. 3r= b. 2r= c. 1r = d. 4r=
____ 68. S se determine cercul osculator ntr-un punct al curbei plane ( )C dat pe ecuaiile sale
parametrice.
( )C :( )
( )
x x t
y y t
=
=
a.
Ecuaia cercului osculator este: ( ) ( )2 2 2 x y r + = , cu
( )
( )
( )( )
2 2
2 2
32 2 2
y x yx
x y x y
x x yy
x y y x
x yr
x y x y
+ =
+
= +
+
=
b.
Ecuaia cercului osculator este: ( ) ( )2 2 2 x y r + = , cu
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
y x yx
x y x y
x x yy
x y y x
x yr
x y x y
+ = +
+=
+=
-
8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila
19/43
c.
Ecuaia cercului osculator este: ( ) ( )2 2 2 x y r + = , cu
( )
( )( )( )
2
12 2 2
2
12 2 2
12 2 2
yx
x y
xy
x y
x yr
x y x y
= +
=
+
+=
d. alt variant.
____ 69. Fie ( )C : ( ) ( )2 2 2 x y r + = ecuaia cercului osculator la curba de ecuaie cartezian: ( )C
( ) y f x= . atunci:
a. ( )
( )
( )
2 2
2 2
2
1
1
1
y yx
y
y yyy
yr
y
+ = +
+ =
+=
b.( )
( )
2 2
2
32 2
1
1
1
y yx
y
yy
y
yr
y
+
= +
= +
+
=
c.
( )( )
2
2
32 2 2
yx
x y x y
yx
x y x y
x yr
x y x y
=
= +
+
=
d. alt variant.
____ 70.S se scrie ecuaia cercului osculator la curba de ecuaie cartezian:
x y ach
a= (lniorul)
-
8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila
20/43
a.
( ) ( )2 2 2 x y r + = cu
2
2
x x x ash ch
a a
x y ach
a
xr ach
a
= +
= +
=
b.
( ) ( )2 2 2 x y r + = cu
2
2
x x ash
a
x y ach
a
xr ach
a
=
= +
=
c.
( ) ( )2 2 2 x y r + = cu
2
2
x x ash
a
x y ach
a
xr ach
a
= +
=
=
d.
( ) ( )2 2 2 x y r + = cu
2 2
x x ash
a
x y ach
a
xr a ch
a
=
= +
=
____ 71. S se afle nfurtoarea familiei de parabole:
( ) :C ( )2
212
xy x
c = +
a. ( ) 21: 2 2Cy x
C = +
b.( )
2
2
1:
2 2
xy
C C = +
c.( ) 2
1:
2 2
Cy x
C =
d.( )
2
2:
2 2
Cx xy
C = +
____ 72. S se afle nfurtoarea familiei de curbe:( ) :C ( ) ( ) ( )
3 2; ; 0 F x y x y =
a. ( ) : 0 D y x =
b. ( )4
:27
D y x =
c. ( ) : 0 D y x+ =
d.( )
4:
27 D y x+ =
____ 73. Fie AB un segment de lungime AB k = (const), care se deplaseaz sprijinindu-se cu captul A pe axaOX i cu captul B pe axa OY. S se afle nfurtoarea familiei de drepte AB .
-
8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila
21/43
a. x y ach
a=
b. 3 3 32 2 2 x y k + =
c. 2 2 23 3 3 x y k + =
d.2
3cossin
x a t y a t
==
, t
____ 74. S se afle nfurtoarea cercurilor de raz r dat, care au centrele pe cercul 2 2 2 x y R+ = .a. 3 3 3
2 2 2 x y k + = b. ( )
( )
sin
1 cos
x a t t
y a t
=
=
c. x y ach
a=
d. alt variant.
____ 75. S se afle nfurtoarea familiei de drepte 2p y mx m= + n care m este parametrul variabil.a. 2
2
xy
p=
b. 2 2 x py= c. 2 2 y px= d. 2 2 2 x y p+ =
____ 76. S se calculeze ecuaia desfuratei curbei plane dat de ecuaiile sale parametrice:
( )( )
( ):
x x t C
y y t
=
=
a.( )
2
2
2
1
:1
y X x yy
yY y
y
+=
+ = +
b.
( )
2
2
1
:1
y X x y
y
yY y
y
+= +
+ =
c.
( )
2
2
1
:
1
yX x
y
yY yy
+=
+ = +
d.
( )
2
2
1
:1
yX x
y
yY y
y
+= +
+ =
____ 77. S se afle desfurata elipsei:
-
8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila
22/43
( )cos
: ,sin
x x t C t
y b t
=
=
a. 3
3
cos
sin
x a t
y b t
=
=
b. 23
3
cos
sin
c
x ta
cy t
b
= =
c. ( )
( )
sin
1 cos
x a t t
y b t
=
=
d. 2 22 2
1x y
a b+ =
____ 78. S se afle desfurata parabolei:( ) :C 2 2 y px=
a.
( )
32 4
27 y x p= b.
( )32 8
27 y x p=
c.( )
32 8
27 y x p= +
d.( )
32 8 027
y x p+ =
____ 79. S se scrie ecuaiile parametrice ale evolventei curbei plane de ecuaie:
( )( )
( ):
x x sC
y y s
=
=
unde s este arcul pe curb.a.( )
( )
( ):
x x x k s
y y y k s
= +
= +
k= const
b.( )
( )
( ):
x x x k s
y y y k s
=
=
k= const
c.( )
( )
( ):
x x x k s
y y y k s
=
= +
k = const
d.( )
( )
( ):
x x x k s
y y y k s
= +
=
k= const
____ 80. S se scrie ecuaiile parametrice ale evolventei curbei de ecuaie:
( )( )
( ):
x x t C
y y t
=
=
a.( )
( )
( )
sin cos:
cos sin
x a t k at t
y a t k at t
=
= +
k = const
-
8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila
23/43
b.( )
( )
( )
cos sin: const
sin cos
X a t k at t k
Y a t k at t
= =
= +
c.( )
( )
( )
sin cos: const
cos sin
X a t k at t k
Y a t k at t
= + =
=
d. ( ) ( )( )
cos sin: constsin cos
X a t k at t kY a t k at t
= + ==
____ 81. Se consider curba plan:
( ) :2
x t shtcht C
y cht
=
=
S se scrie ecuaiile parametrice ale ecuaiei.a.
( )2
3 2:
2 4
x cht shtcht
y cht ch t
=
=
b.( )
2
2:
4 2
x t shtcht
y cht ch t
=
= +
c.( )
2
3:
4 2
x t chtsht
y cht ch t
=
=
d.( )
24 2:
x sht sh t
y t shtcht
=
= +
____ 82. S se scrie ecuaiile parametrice ale elocventei curbei plane de ecuaii parametrice:
2
x t shtcht
y cht
=
=
a.( )
( )
( )
1:
1
x t k sht
y cht k tht
= +
= +
b.( )
( )1: 1
x t k tht
k y sht
sht
=
=
c.
( )( )
( )
1
: 1
x t k cht
k y sht
cht
= +
= +
d.
( )( )1
: 1
x t k tht
k y cht
cht
= +
= +
____ 83. Fie curba:
( ) :C 2 2 2 2
2 2
0
0
x y z r
x y rx
+ + =
+ =
atunci ecuaiile parametrice ale curbei date sunt:a. 2cos
sincos ,
sin
x r t
y r t
z r t
=
= =
[ ]0,2t
-
8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila
24/43
b.
[ ]
2sin
sincos , 0,2
cos
x r t
y r t t
z r t
=
= =
c.
[ ]2sin cos
cos , 0, 2
sin
x r t t
y r t t
z r t
=
= =
d. alt rspuns ____ 84. Eliminnd parametrul t ntre ecuaiile curbei:
( ) :C 2cos
sincos
sin
x r t
y r t
z r t
=
= =
s se scrie ecuaiile curbei ( )C sub form implicit.
a. 2 2 2 2
2 2 2
0
0
x y z r
x y z rx
+ =
+ + =
b. 2 2 2 2
2 2
0
0
x y z r
x y rx
+ + =
+ =
c. 2 2
2 2
0
0
x y ry
x y rz
+ =
+ =
d. 2 2 2
2 2 2
0
0
x y z rx
x y z rz
+ + =
+ + =
____ 85. Curba ( )C definit prin ecuaiile parametrice:cos
sin
x r
y r
z k
=
= =
este o:
a. elips n spaiu.b. elice circular.c. elice conic.d. alt curb din spaiu.
____ 86. S se elimine parametrul t ntre ecuaiile curbei:
( ) :C cos
sin
x r t
y r t
z kt
=
= =
, [ ]0,2t
i s se obin ecuaiile implicite ale curbei.a.
( )
2 2 2 2 0
: 0
x y z r
z y xtg k
+ + =
=
b.
( )
2 2 2 0
:0
x y z rx
z y tg
k
+ + =
=
c.( )
2 2 2 0
:0
x y z rz
y y arctg
kx
+ + =
=
-
8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila
25/43
d. alt rspuns ____ 87. S se scrie ecuaiile parametrice ale curbei definit implicit prin:
( ) :C
2 2 2
2 20
x y z
a b
y z barctg
x
+ =
=
a.
[ ]
sin
cos , 0, 2
x at t
y at t t
z bt
=
= =
b.
[ ]2sincos
cos , 0, 2
x a t
y a t t
z bt
=
= =
c.
[ ]
cos
sin , 0, 2
x at t
y at t t
z bt
=
= =
d. alt rspuns ____ 88. Curba definit parametric de ecuaiile:
( ) :C [ ]cos
sin , 0, 2
x at t
y at t t
z bt
=
= =
reprezint:a. o elips n spaiu.b. o elice circular.c. o elice conic.d. alt curb n spaiu.
____ 89. Fie curba de ecuaii parametrice:( ) :C { }
2
1 1, , , \ 1
1 1 1
t t x y z t
t t t
+= = =
+
i planul ( )P de ecuaie:
( )P : 2 4 2 3 0 x y z + + =
atunci:a. curba neap planul n punctul 11, , 3
2A
b. planul este tangent la curb n punctul ( )1, 0, 2M
c. curba este coninut n plan.
d. tangenta la curb n punctul curent are direcia normal a planului. ____ 90. S se afle elementul de arc al elicei circulare:
( ) :C [ ]cos
sin , 0, 2
x a t
y a t t
z kt
=
= =
a. 2 2ds a k dt =
-
8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila
26/43
b. 1ds dt
k=
c.2 2
dtds
a k=
+
d. 2 2ds a k dt = +
____ 91. S se afle lungimea arcului de curb:
( ) :B cos
sin ,
x a t
y a t
z kt
=
= =
0,2
k
a.( )
2 2
2ABl a k
= +
b.( )
2 2
ABl a k= +
c.( )
2 22AB
l a k= +
d. alt rspuns.
____ 92. Fie elicea circular:( ) :C ( ) ( ) ( )2cos 2sin 5r t i t j t k = + +
S se calculeze lungimea arcului ( )B situat pe curba ( )C unde A i B corespund bijectiv valorilor0t= i respectiv 1t = .
a.( )
5AB
l =
b.( )
4AB
l =
c.( )
3AB
l =
d.( )
2 5AB
l =
____ 93. S se calculeze elementul de arc pe curba:
( ) :C 2sin
sin cos
cos
x a t
y a t t
z a t
=
= =
a. cosds a t dt =
b. 21 cosds a tdt = + c. sinds a t dt =
d. 21 sinds a tdt = +
____ 94. S se afle punctele de intersecie dintre curba
( ) :C 2
2 3, x t t = + + 2
2 3 1, y t t = + + 2
3 2, z t t = + + t i planul ( )P de ecuaie:( )P : 6 0 x y z + + =
a. ( ) ( )2,0,4 , 3,1,2A B
b. ( )2,0,4A
c. ( ) ( )3,1,2 , 1,0,2B C
d. ( )1,0,2C
-
8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila
27/43
____ 95. S se determine parametrul astfel nct curba:
( ) :C 1
,x tt
= + 1 ,2
y tt
= + 13 ,3
z tt
= + ( )0t
s fie tangent la planul:( )P : ( )2 3 2 2 0 x y z + =
a. 27
=
b. 72
=
c. 71,
2
d. 1=
____ 96. S se afle poziia planului ( )P de ecuaie:
( )P : 7 4 6 22 0 x y z + + + =
fa de curba:
( ) :C 1
,x t t= + 1 1
7 ,2y t t
=
13 3z t t= +
a. Curba este inclus n plan.b. Curba neap planul n punct de parametru 1t= .c. Curba este tangent la plan.d. Planul taie curba n dou puncte.
____ 97. Fie elicea circular:( ) :C cos , sin , x a t y a t z bt = = =
S se scrie ecuaiile tangentei la curba ( )C n punctul curent.
a.( )
cos sin:
sin cos
X a t Y a t Z bt t
a t a t b
= =
b. ( ) cos sin:sin cos 0
X a t Y a t Z bt ta t a t + + += =
c.( )
cos sin:
cos sin
X a t Y a t Z bt t
a t a t b
= =
d.( )
cos sin:
cos cos
X a t Y a t Z bt t
a t a t b
+ + += =
____ 98. S se scrie ecuaia planului normal la elicea circular:( ) :C cos , sin , x a t y a t z bt = = =
n punctul curent pe curb.a. ( ) ( ) ( )sin cos cos sin 0a t X a t a t Y b t b Z bt + + =
b. ( ) ( ) ( )sin cos cos sin 0a t X a t a t Y b t b Z bt + + =
c. sin cos 0a tX a tY bZ + + = d. cos sin 0a tX a tY bZ =
____ 99. S se scrie ecuaiile tangentei la curba:
( ) :C 2
2
2 0
2 0
x az
y bz
=
=
a.( ):
2
X x Y y Z z t
b a z
= =
-
8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila
28/43
b.( ):
X x Y y Z z t
a b ab
= =
c.( ):
2
X x Y y Z z t
a b z
= =
d.( ):
2
X x Y y Z z t
a b ab
= =
____ 100. S se determine cosinuii directori ai tangentei ( )t la curba ( )C de ecuaie:
( ) :C cos , sin , x a t y a t z bt = = = , t
a.2 2
cos ,b
a b =
+
2 2
coscos ,
a t
a b =
+
2 2
sincos
a t
a b =
+
b.2 2
coscos ,
a t
a b =
+
2 2
sincos ,
a t
a b
=
+
2 2cos
b
a b =
+
c.2 2
sincos ,
a t
a b
=
+
2 2cos ,
b
a b =
+
2 2
coscos
a t
a b =
+
d.2 2
sincos ,
a t
a b
=
+
2 2
coscos ,
a t
a b
=
+
2 2
cosb
a b
=
+
____ 101. S se gseasc o reprezentare raional a curbei definit implicit de ecuaiile:2 2 2 2 0
0
x y z
x y z
+ + =
+ + =
a. ( ) 22 2 2
22 1 1, , z ,
1 1 1
t tt t x y t
t t t t t t
++ = = =
+ + + + + +
b. ( ) 22 2 2
22 1 1, , z ,
1 1 1
t tt t x y t
t t t t t t
++ += = =
+ + + + + +
c. ( )22 2 2
21 2 1, , z ,
1 1 1
t tt t x y t
t t t t t t
+ += = =
+ + + + + +
d. ( ) 2
2 2 2
2 2 1 1
, , z ,1 1 1
t t t t
x y t t t t t t t
+ +
= = = + + + + + + ____ 102. Curba n spaiu:
( ) :C 3 3 33 2 4 , 4 3 2 , 2 4 3 x t t y t t z t t = + + = + + = + + , t
este situat ntrun plan ( )P de ecuaie:
a. 10 8 27 0 x y z + = b. 10 8 27 0 x y z + + = c. 10 8 27 0 x y z + = d. 10 8 27 0 x y z + =
____ 103. Curba ( )C de ecuaie:
( ):C 3 2 3 2 21 , , 5 2 3,x t y t t z t t = + = + = + + t este:
a. situat n planul: 8 10 3 0 x y z + = b. tangenta la planul: 3 2 1 0 x y z + + = c. situat n planul: 3 2 0 x y z + = d. tiat de planul: 3 2 0 x y z + = n dou puncte.
____ 104. S se gseasc parametrul real astfel nct curba:( ) :C 3 2 3 2 3, , 1 3 2 ,x t t y t t z t t t t = + = + = + + + t
-
8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila
29/43
s fie plani s se scrie ecuaia planului care o conine:a. 1= i 3 2 1 0 x y z + = b. 1 i 3 2 1 0x y z = + + = c. 1 i 3 2 1 0x y z = + = d. 1 i 3 2 1 0x y z = + =
____ 105. S se scrie ecuaiile tangentei i a planului normal la curba:( ) :C cos , sin , ,t t tx e t y e t z e= = = t
n punctul ( )0 1,0,1M
a.( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 0 1: , : 1 1 1 0 1 1 0
1 1 1n
X Y Z t P X Y Z
= = + + =
b.( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 0 1: , : -1 1 1 0 0 1 0
1 1 0n
X Y Z t P X Y Z
= = + + =
c.( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
1 0 1 1: , : e 1 0 2 1 0
2n
X Y Z t P X Y e Z
e e e e
= = + + =
d.( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 0 1: , : 0 1 0 1 1 1 0
0 0 1n
X Y Z t P X Y Z
= = + =
____ 106. S se scrie ecuaiile tangentei i a planului normal n punctul ( )0 1,1, 1M la curba:
( ) :C 2 2 22 3 6
2 3 0
x y z
x y z
+ + =
+ + =
a.( ) ( )
1 1 1: , : 2 1 0
2 1 0
X Y Z t n X y
+= = + =
b.( ) ( )
1 1 1: , : 2 1 0
2 1 0
X Y Z t n X y
+= = =
c.( ) ( )
1 1 1: , : 2 2 1 0
2 1 1
X Y Z t n X y
+= = + =
d.( ) ( )
1 1 1: , : 2 1 0
2 1 0
X Y Z t n X y
+= = + + =
____ 107. S se determine punctele de pe curba: ( ) :C ( )2ln , 2 , , 0x t y t z t t = = = > , n care planele normale sunt
paralele cu dreapta: ( )D : 4 0, x y y z + = = .
a. ( )1,0,2M
b. ( )1,0,2M
c. ( )0,2,1M
d. ( )2,0,1M
____ 108. S se scrie ecuaiile tangentei i planului normal la curba:( ) :C ( )2ln , 2 , , 0x t y t z t t = = = >
n punctul( )0 0,2,1M
.
a.( ) ( )
2 1: i : 2 6 0
1 2 1
X Y Z t n X Y Z
= = + + =
b.( ) ( )
2 1: i : 2 1 0
0 2 1
X Y Z t n Y Z
= = + =
c.( ) ( )
2 1: i : 2 2 2 0
1 2 1
X Y Z t n X Y Z
= = + + =
-
8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila
30/43
d.( ) ( )
2 1: i : 2 2 6 0
1 2 2
X Y Z t n X Y Z
= = + + =
____ 109. S se determine curba descris de interseciile tangentelor la curba:( ) :C ( )2 3, , ,x t y t z t t = = =
cu planul xOy .
a. 2340
y x
z
= =
b. 230
y x
z
=
=
c.
2
2
3
2
0
ty
ty
z
=
=
=
d. 2
3
2
3
0
ty
ty
z
=
=
=
____ 110. Planul normal la curba: ( ) :C ( )cos ,sin sin ,cos sinr a t t t =
, n punctul curent, trece printr-o dreapt
fin de ecuaie:a. 0
sin cos 0
x
y z
=
+ =
b. sin sin cos cos 0
cos cos sin sin 0
x t y t z t
x t y t z t
=
+ =
c. 0
sin cos 0
y
x z
=
=
d. 0
cos sin 0
x
y z
=
=
____ 111. Fie curba de ecuaii:
( ) :C 2 2
2 2
4 0
4 0
x z
x y
+ =
+ =
atunci, ecuaia tangentei ( )t i ecuaia planului normal ( )nP n punctul ( )0 3,1,1M sunt respectiv:a.
( ) ( )3 1 1
: , : 3 3 1 013 3
X Y Z t n X Y Z
= = + =
b.( ) ( )
3 1 1: , : 3 3 1 0
13 3
X Y Z t n X Y Z
= = + =
c.( ) ( )
3 1 1: , : 3 3 3 0
1 3 3
X Y Z t n X Y Z
= = + + =
-
8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila
31/43
d.( ) ( )
3 1 1: , : 3 3 3 0
1 3 3
X Y Z t n X Y Z
= = + =
____ 112. Tangentele la curba ( ) :C ( ) ( )sin cos , sin cos , t x a t t y a t t z be= + = + = intersecteaz planul xOy dup:
a.o elips de ecuaie:
2 2
2 21
0
x y
a b
z
+ =
=
b.o hiperbol de ecuaie:
2 2
2 21
0
x y
a b
z
=
=
c.elips de ecuaie:
2 2
2 21
4 4
0
x y
a b
z
+ =
=
d. un cerc de ecuaie:2 2 24
0
x y a
z
+ =
=
____ 113. S se scrie ecuaia planului osculator la curba( )
:C 2 21, 2, 2 x t y t t z t = + = + + = n planul curent
( ), , x y z .
a. ( ) : 3 0o P x y z =
b. ( ) : 3 0o P x y z + =
c. ( ) : 3 0o P x y z + =
d. ( ) : 3 0o P x y z + + + =
____ 114. S se parametreze ecuaia implicit a curbei ( ) :C ( )2
2 1 2 0
3 0
z x
x y z
+ =
+ =
a. ( ) 2 2: 1, 2, 2C x t y t t z t = = + =
b. ( )2 2
: 1, 2, 2C x t y t t z t = + = + + = c.
( )2 21
: , 1, 12 4 4
t t tC x y t z
= = + + =
d.( )
2 21: , 1, 1
2 4 4
t t tC x y t z
+= = + = +
____ 115. S se scrie ecuaia planului osculator ( )oP la curba de ecuaie:
( ) :C cos , sin , x a t y a t z bt = = = (elicea circular)
n punctul curent.a. ( ) : sin cos 0o P b tX b tY aZ abt + + =
b. ( ) : - sin cos 0o P b tX b tY aZ abt + + + =
c. ( ) : sin cos 0o P b tX b tY aZ abt + = d. ( ) : sin cos 0o P b tX b tY aZ abt + =
____ 116. S se determine ecuaia planului osculator n punctul ( )0,0,0O la elicea conic:
( ) :C cos , sin , x t t y t t z at = = =
a. ( ) : aX 0oP Z =
b. ( ) : X 0o P aZ =
-
8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila
32/43
c. ( ) : X 0oP Z =
d.( )
1: X+ 0
aoP Z =
____ 117. S se determine ecuaiile normalei principale ( )pN la curba:
( ):C cos , sin , x a t y a t z bt = = = (elicea circular)
n punctul ( )C corespunztor valorii2
t
= .
a. ( ) 22
:0 0
p
X X a Z bN
ab a
+ = =
+
b. ( ) 22
:0 0
p
X Y a Z bN
ab a
= =
+
c.
( ) 2 22:p
Z b X Y a
Na b a b
= =
+
d. alt variant.____ 118. Fie curba ( ) :C ( ) ( )cos ln , sin ln ,x t a t y t a t z bt = = = , atunci binormala ( )nB ntr-un punct ( ) ( ), ,x y z C
are ecuaiile:
( )nB :( ) ( )cos ln sin lnX t a t Y t a t Z bt
B C
= = , unde:
a.( ) ( )
( ) ( )
( )2
sin ln cos ln
cos ln sin ln
1
ab A a a t a t
t
abB a a t a a t
t
aC a
t
= +
=
= +
b.( ) ( )
( ) ( )
( )2
sin ln cos ln
cos ln sin ln
1
ab A a a t a t
t
abB a a t a a t
t
aC a
t
=
= +
= +
c.( ) ( )
( ) ( )
( )2
cos ln sin ln
cos ln sin ln
1
ab A a a t a a t
t
ab B a t a a t
t
abC a
t
=
= +
= +
d.
( ) ( )
( ) ( )
( )2
sin ln cos ln
cos ln sin ln
1
ab A a t t a t
tab
B t a t a t t
abC a
t
= +
=
= +
____ 119. S se afle versorii triedrului lui Frenet ntr-un punct oarecare al curbei:( ) :C cos , sin , x a y a z b = = = (elicea circular)
-
8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila
33/43
-
8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila
34/43
b. 1 1d nb
ds R T = +
c. 1dbn
ds T=
d. 1 1d nb
ds R T
= +
____ 122. S se calculeze curbura elicei circulare:( )C : cos , sin , ,x a t y a t z bt t = = =
n punctul curent pe curb.a. 2
2 2
1 a
R a b=
+
b. 22 2
1 b
R a b=
+
c.2 2
1 a
R a b=
+
d.2 2
1 b
R a b= +
____ 123. S se calculeze torsiunea elicei circulare:( )C : cos , sin , ,x a t y a t z bt t = = =
a. 22 2
1 a
T a b=
+
b. 22 2
1 b
T a b=
+
c.2 2
1 a
T a b=
+
d.2 2
1 b
T a b=
+
____ 124. S se afle raportul dintre curbura i torsiunea curbei:( )C : cos , sin , ,x a t y a t z bt t = = =
a.2
Tab
R=
b. T bR a
=
c. T aR b
=
d. 12
T
R ab=
____ 125. S se afle curbura curbei:( )C : ( ) ( )cos ln , sin ln , x t a t y t a t z bt = = =
n punctul curent pe curb.a.
( )
2
2 2
1 1
1
a a
R a b t
+=
+ +
b. 2
2
1 1
1
b a a
R a
+ +=
+
-
8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila
35/43
c.2
1
1
t
R ab a a=
+ +
d. 2
2
1 1
1
a at
R b a a
+=
+ +
____ 126. S se afle torsiunea curbei:( )C : ( ) ( )cos ln , sin ln , x t a t y t a t z bt = = = n punctul curent pe curb.a.
2 2
1
1
abt
T a b=
+ +
b.2 2
1
1
bt
T a b=
+ +
c.2
1
1
abt
T a=
+
d. 2 21 1 a bt
T ab
+ +=
____ 127. O curb pentru care raportul dintre razele de curburi de torsiune este constant este o:a. elice.b. elips.c. cerc.d. dreapt.
____ 128. Unghiul V pe care l face binormala la curba:( )C : ( ) ( )cos ln , sin ln , x t a t y t a t z bt = = =
cu axa Oz ntre punctul curent este:a.
2V
=
b. 0V =
c. 2 2cos 1aV
a b=
+ +
d. 22 2
1cos
1
aV
a b
+=
+ +
____ 129. Normala principal la curba ( )C : ( ) ( )cos ln , sin ln ,x t a t y t a t z bt = = = , t
n punctul curent este:a. paralel cu planul xOz.b. perpendicular pe planul xOy .c. paralel cu planul xOy .d. face cu planul xOz un unghi de msur
6
____ 130. Parametrii directori ai normalei la planul osculator ( )oP n punctul ( )1A t= la curba
( )C : ( ) ( )cos ln , sin ln , x t a t y t a t z bt = = = sunt:
a. ( )2 2 2, , 1 A ab B a b C a b= = = + b. ( )2 2 2, , 1 A ab B ab C a a= = = + c. ( )2 2 2, , 1 A ab B ab C a b= = = +
-
8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila
36/43
d. ( )2 2 2, , 1A a b B a b C a a= = = +
____ 131. S se calculeze torsiunea curbei:
( )C :2
1 1, ,
1 1 1
t t x y z
t t t
+= = =
+
a. 52 2
2 4
1 1
1
t
T t t
+= + +
b. 72 4
2 4
1 1
1
t
T t t
+=
+ +
c. 10
T=
d. 32 2
2 4
1 1
1
t
T t t
+=
+ +
____ 132. Fie curba n spaiu:( )C : ( ) ( )22 ln , 0r t ti t j t k t = + + >
S se calculeze versorul tangentei , n punctul ( )2,1,0P i ecuaia tangentei la curb n acest punct.
a.( )
2 2 1 2 1 i :
3 3 3 2 2 1
X Y Z i j k T
= + + = =
b.( )
2 12 2j k i :
2 2 1
X Y Z i T
= + + = =
c.( )
1 2 1j k i :
2 2 1 2
X Y Z i T
= + + = =
d.( )
2 2 1 2 1j k i :
3 3 3 2 2 1
X Y Z i T
= + = =
____ 133. S se scrie ecuaia planului osculator n punctul ( )2,1,0P la curba:
( )C : ( ) ( ) ( )22 ln , 0r t t i t j t k t = + + >
a. 2 2 3 0 X Y Z = b. 2 2 3 0 X Y Z = c. 2 2 3 0 X Y Z + + = d. 2 2 3 0 X Y Y =
____ 134. S se scrie ecuaia binormalei la curba:( )C : ( ) ( ) ( ) ( )22 ln , 0r t t i t j t k t = + + >
n punctul ( )2,1,0P .
a. 2 12 0 1
X Y Z = =
b. 2 12 1 2
X Y Z = =
c. 2 12 1 2
X Y Z = =
d. 2 12 1 0
X Y Z = =
____ 135. Curba lui Viviani, definit implicit de ecuaiile:
-
8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila
37/43
( )
=+
=++
0
0
22
2222
rxyx
rzyxC
admite reprezentarea parametric:a.
[ ]
cos
sin cos , 0, 2
sin
x r t
y r t t t
z r t
=
=
=
b.[ ]
2cos
sin cos , 0, 2
sin
x r t
y r t t t
z r t
=
= =
c.[ ]2
sin cos
sin , 0,2
cos
x r t t
y r t t
z r t
=
= =
d.[ ]
2sin
sin cos , 0, 2
sin
x r t
y r t t t
z r t
=
= =
____ 136. Curba definit parametric prin ecuaiile:
( )
=
==
kz
ry
rx
C sin
cos
reprezinta o:a. spiral logaritmicb. elice conicac. elice circulard. cerc n spaiu.
____ 137. Proiectia curbei:
( )
=+
=++
0
0
22
2222
rxyx
rzyxC
pe planulx0y este:a. o curba plan;b. segmentulAB cu A(r,0,0) i B(0,-r,0);c. un punct M(r,0,0);d. cercul 222 ryx =+ .
____ 138. Proiecia curbei:
( )
cos
sin
x r
C y r
z k
=
= =
pe planulxOy este:a.( )
=
=+
0
0222
z
ryxC
b. un segment de dreapt;c. cercul: ( )
=
=+
0
0222
z
ryxC ;
d. alta variant.
-
8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila
38/43
____ 139. Elementul de arc pe elicea conic:
( )
=
=
=
btz
taty
tatx
C sin
cos
este:
a. dtbtads 222 += b.
dta
btds
2
22 +=
c. dttbads 22+= d. dtbtads 222 ++=
____ 140. Reprezentarea elicei conice:
( )
=
=
=
btz
taty
tatx
C sin
cos
sub forma unei ecuaii implicit
este:
a.
( )
2 2 2
2 2 20
x y z
a b bCy
z barctgx
+ =
=
b.
( )
=
=+
y
xarctgz
zb
y
a
x
C
122
2
2
2
c. ( )
=
=+
byz
bzayx 022222
d.
( )
=
=+
y
xbarctgz
a
z
a
y
b
x
C
12
2
2
2
2
2
____ 141. Elementul de arc pe curba:
( ) [ ]
cos
: sin , 0,2
x a
C y a t
z k
=
= =
este:a. ;22 dkads =
b. ;1 2 dkads += c. ;22 dkads += d.
;11 2 dka
ds +=
____ 142. S se determine lungimea arcului de curba ABpentru
-
8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila
39/43
( )
cos
: sin
x a
C y a
z k
=
= =
unde puncteleA siB corespund valorilor ,0= respectiv = .a.
2 22AB
l a k= +
b.
2 2
AB
l a k= +
c. 2ABl ak=
d.
2 2
2AB
la k
=
+
____ 143. Eliminnd parametrul t intre ecuaiile parametrice reprezentnd curba:
( )
+=
++=
+=
2
2
1
2
2
tz
tty
tx
C obtinem ecuaiile implicite ale curbei:
a.( )
( )
=
=+
03
0212
zyx
zxC
b.( )
( )
=+
=+
03
02122
zyx
xzC
c.( )
( )
=
=+
0
0122
zyx
yzxC
d.( )
( )
=+
=+
03
0212
zyx
zyxC
____ 144. Fie curba de ecuaii parametric:
( )
=
++=
+=
2
2
2
2
1
tz
tty
tx
C
atunci ecuaia planului osculator ntr-un punct arbitrar situat pe curba (C) este:a. ( ) 022 =+ tzyxt b. ( ) 021 =++ tzyttx c. 03 =+ zyx d. 032 =+ tzyx
____ 145. Planul normal la curba de ecuaii parametrice:
( )
=
++=
+=
2
2
2
2
1
tz
tty
tx
C
dus prin punctul Mde parametru arbitrartsi situat pe curba (C) este:a. ( ) ( )( ) ( ) 0212 =++ zZtyYtxX b. ( ) ( ) ( ) 022 =+ zZyYtxX c. ( ) 012 =+++ tZYX d. 012 =+ tZtYX
____ 146. Fie curba de ecuaii parametrice:
-
8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila
40/43
( )( )
=
=
=
btz
taty
tatx
C )lnsin(
lncos
Atunci binormala in punctul curent are ecuatia:a.
[ ] [ ] ( )tata
btZ
tataat
ab
tatY
taabtaabt
ab
tatX
21)lncos()lncos(
)lncos(
)lncos()lnsin(
)lnsin(
+
=
=
b.
[ ] [ ] ( )21
)lnsin()lncos(
)lnsin(
)lncos()lnsin(
)lncos(
at
btZ
taataat
ab
tatY
tataabt
ab
tatX
+
=
+
=
c.[ ] [ ] ( )22)lnsin()lncos(
ln
)lncos()lnsin(
ln
ta
btZ
taabttaabtab
taY
taabttaabtab
tatX
+
=
=
d.
[ ] [ ] ( )21)lnsin()lncos(
)lncos(
)lncos()lnsin(
)lnsin(
at
a
btZ
taabtaabt
ab
tatY
taabtaabt
ab
tatX
+
+=
+
+=
+
+
____ 147. Fie curba (C) de ecuaii parametrice:
( )cos
: sinx a
C y a
z b
=
=
=
Atunci versorii triedrului lui Frenet in punctulA de parametru =0 sunt:a.
( ) ( )2222
,,ba
kajbbiAn
ba
kbjaA
+
+==
+
=
b.( ) ( )
2222,,
ba
jajbb
ba
kbjaAniA
+
+=
+
+==
c.( ) ( ) ib
ba
kajbAn
ba
kbjaA
=
+
+=
+
+= ,,
2222
d. ( ) ( ) ibba
jbjaAn
ba
jbiaA
=
+
+=
+
= ,,
2222
____ 148. Fie curba de ecuaii parametrice:
( )
=
=
=
2
2
1
1
tz
ty
tx
C
Atunci:
a. ( )C este o curba planb. curbura curbei este
23
54
2
)1243(
121
++
+=
tt
t
R
c. torsiunea curbei este( )254
2
1243
541
++
+=
tt
t
T
d. =2Td constant, unde d este distanta de la originea axelor de coordonate la planulosculator ntr-un punct M(t) ( )C
-
8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila
41/43
____ 149. Fie:
( ) 0,ln2
2
>
=
=
=
t
tz
ty
tx
C ecuatia unei elice cilindrice. Atunci:
a. T=Rb.
.T
constR
=
c. 4T=Rd.
1=T
R
____ 150. S se scrie ecuaia planului rectificat in punctul 2(1, 1, )3
M situat pe curba.
( )
=
=
=
3
2
3
2
:
tz
ty
tx
C
a. 0334 =+ ZYX b.
0)3
2(3)1()1(3 =+ ZYX
c.0)
3
2(3)1(2)1(4 =+ ZYX
d. 0322 =+ ZYX
____ 151. Fie ( ) ( ) ( ) ( ) ,4sin2cos2: ktjtitrC
++= o curba definita prin ecuatia sa vectoriali0
4M t
=
un punct
pe aceasta curb. Atunci ecuaiile tangentei si planului normal sunt respectiv:a. 2 2
42 2
X Y Z = =
i 2 2 4 4 0 X Y Z + =
b. 2 2
42 2
X Y Z = =
i 2 2 4 4 0 X Y Z + + =
c. 2 2
1 1 2
X Y Z = = i 2 2 0 X Y Z + + =
d.3 1 4
42 2
ZX Y
= =
i 2 2 4 2 0 X Y Z + =
____ 152. S se gaseasc vectorii de poziie de pe curba:( ) ( )ktjti
trC
12
1: 2 ++= n care tangenta la curb este perpendicular pe dreapta:
( )
=++
=+
08
023
zx
yxd
a. exist doi vectori de poziie kjir
+=1 si kjir
22 ++= b. exist un singur vector de pozitie kjir
=
-
8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila
42/43
c. exist trei vectori de pozitie kr
=1 , jir
= 22 , kir
23 =
d. exist un singur vector de pozitie kjir
++=
____ 153. S se afle raza de curbur n punctul curent situat pe curba:
( )
sin
: 1 cos
4sin2
x t t
C y t
tz
=
= =
a. 1
1 sin cos2 2
Rt t
=
+
b.
tR
2sin41
1
+=
c.
2
4
1 sin2
Rt
=
+
d.2
2
1 sin2
Rt
=
+
____ 154. S se scrie prima form fundamental pentru suprafaa definit de ecuaiile:
( ) ( ) 2u,v
x u
y v
z uv
=
= =
:
a. 2 2 2 2 2(1 ) 2 (1 )ds u du uvdudv v dv= + + + + b. 2 2 2 2 2(1 ) 2 (1 )ds v du uvdudv u dv= + + + +
c. 2 2 2 2 2(1 ) 2 (1 )ds v du uvdudv u dv= + + d. 2 2 2 2 2(1 ) 2 (1 )ds u du uvdudv v dv= + +
____ 155. S se scrie prima form fundamental pentru suprafaa definit implicit de ecuaia:( ) 3: x y z + =
a.2 2 2
4 4 4
1 2 11 1
9 9 9ds dx dxdy dy
x z y
= + + + +
b.2 2 2
4 4 4
1 2 11 1
9 9 9ds dx dxdy dy
x z y
= + +
c.2 2 2
4 4 4
1 2 11 1
9 9 9ds dx dxdy dy
z z z
= + + + +
d. 2 2 24 2 2 4
1 2 11 1
9 9 9ds dx dxdy dy
z x y z
= + + +
____ 156. S se scrie a doua form fundamental pentru suprafaa definit parametric de ecuaiile:
( ) 2cos
( ) : sin ,
x u v
y u v u v
z u v
=
= = +
-
8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila
43/43
a. ( )1
2 2 22 1 2n d r u dudv
= +
b. ( ) ( )1
2 2 2 2 222 1 2 1 2n d r u dudv v u dv
= + +
c. ( ) ( )1 1
2 2 2 2 22 22 1 2 1 2n d r u dudv u u dv
= + +
d.
( ) ( )
1 12 2 2 2 22 2
2 1 2 1 2n d r u dudv u u dv
= + + +
____ 157. Fie suprafaa definit parametric de ecuaiile:
( ) 2cos
( ) : sin ,
x u v
y u v u v
z u v
=
= = +
Atunci ecuaiile planului tangent i a normalei n punctul ( )0 1,M u v = = , sunt, respectiva. 1 1
0 i1 1 1
x y z x y z
+ ++ + = = =
b. 1 10 i
1 1 1
x y z x y z
+ + + = = =
c. 1 1i 1 1 1 x y z x y z +
+ + = = =
d. 1 10 i
1 1 1
x y z x y z
+ + + + = = =