generalized roundness and negative type

8/6/2019 Generalized Roundness and Negative Type

1/13

1

G e n e r a l i s e d r o u n d n e s s a n d n e g a t i v e t y p e

C . J . L e n n a r d

, A . M . T o n g e

y

a n d A . W e s t o n

1 . I n t r o d u c t i o n .

I n t h i s p a p e r w e e x h i b i t t h e e q u i v a l e n c e o f E n o ' s n o n - l i n e a r n o t i o n o f g e n e r a l i s e d r o u n d -

n e s s a n d t h e c l a s s i c a l e m b e d d i n g n o t i o n o f n e g a t i v e t y p e . T h i s e n a b l e s u s t o d e v e l o p a

r u d i m e n t a r y t h e o r y o f g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s a n d t o g i v e a p p l i c a t i o n s t o t h e L

p

- s p a c e s . I n

p a r t i c u l a r , w e s h o w t h a t f o r p > 2 a n d n 3 , t h e n - d i m e n s i o n a l

p

s p a c e s f a i l t o h a v e

g e n e r a l i z e d r o u n d n e s s q f o r a l l q > 0 .

T h e n o t i o n s o f r o u n d n e s s a n d g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s w e r e i n t r o d u c e d b y E n o i n E 1 ] ,

E 2 ] , a n d E 3 ] t o s t u d y t h e u n i f o r m s t r u c t u r e o f m e t r i c s p a c e s . W e b e g i n b y r e c a l l i n g s o m e

m a t e r i a l f r o m t h e s e p a p e r s . H o w e v e r , w e m a k e s o m e s l i g h t a l t e r a t i o n s t o E n o ' s o r i g i n a l

d e n i t i o n s t o a l l o w e a s i e r e x p o s i t i o n l a t e r .

1 . 1 D e n i t i o n . ( a ) W e s a y t h a t a m e t r i c s p a c e ( X ; d ) h a s r o u n d n e s s q , w r i t t e n q 2 r ( X ; d ) ,

i f w h e n e v e r a

1

; a

2

; b

1

; b

2

a r e i n X w e h a v e

d ( a

1

; a

2

)

q

+ d ( b

1

; b

2

)

q

X

1 i ; j 2

d ( a

i

; b

j

)

q

: ( 1 )

( b ) A p a i r ( a

1

; : : : ; a

n

) , ( b

1

; : : : ; b

n

) o f n - t u p l e s i n a m e t r i c s p a c e i s c a l l e d a d o u b l e - n - s i m p l e x .

S u c h a d o u b l e - n - s i m p l e x w i l l b e d e n o t e d a

i

; b

i

]

n

i = 1

. W e c a l l a p a i r o f p o i n t s ( a

i

; a

j

) o r ( b

i

; b

j

)

a n e d g e , a n d a p a i r o f p o i n t s ( a

i

; b

j

) a c o n n e c t i n g l i n e .

W e s a y t h a t a m e t r i c s p a c e ( X ; d ) h a s g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s q , w r i t t e n q 2 g r ( X ; d ) , i f

R e s e a r c h p a r t i a l l y s u p p o r t e d b y a U . P i t t s b u r g h F A S G r a n t

y

R e s e a r c h p a r t i a l l y s u p p o r t e d b y N S F G r a n t I n t - 9 0 2 3 9 5 1

A M S M a t h e m a t i c s S u b j e c t C l a s s i c a t i o n : 4 6 B , 4 7 H .


2/13


3/13

3

O n e o f o u r m a i n t o o l s i s t h e e x i s t e n c e o f a s t r o n g l i n k b e t w e e n t h e n o t i o n s o f g e n e r a l i s e d

r o u n d n e s s a n d n e g a t i v e t y p e . T h e n o t i o n o f n e g a t i v e t y p e e m e r g e d f r o m i n v e s t i g a t i o n s b y

M e n g e r M e ] , a n d S c h o e n b e r g S 1 ] , S 2 ] i n t o t h e n a t u r e o f i s o m e t r i c e m b e d d i n g s o f m e t r i c

s p a c e s i n t o H i l b e r t s p a c e s .

O u r m a i n r e s u l t , e s t a b l i s h e d i n t h e n e x t s e c t i o n , i s t h e f o l l o w i n g .

1 . 3 T h e o r e m . F o r 2 < p 1 , i f L

p

( ; ; ) i s a t l e a s t t h r e e d i m e n s i o n a l t h e n i t f a i l s t o

h a v e g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s q f o r a n y q > 0 .

P r i o r t o c o n n e c t i n g w i t h n e g a t i v e t y p e w e g i v e d i r e c t c o m p u t a t i o n s o f t h e r o u n d n e s s o f

i n n i t e d i m e n s i o n a l L

p

( ) ' s f o r t h e c a s e p > 2 . I t i s k n o w n f r o m E n o E 3 ] t h a t , f o r a

n o r m e d s p a c e ( X ; k k ) ,

( i ) q 2 r ( X ; k k ) i f a n d o n l y i f k x + y k

q

+ k x y k

q

2 ( k x k

q

+ k y k

q

) f o r a l l x ; y 2 X , a n d

( i i ) q 2 r ( X ; k k ) i m p l i e s q

1

2 r ( X ; k k ) f o r a l l q

1

s u c h t h a t 1 q

1

q .

I n d e e d , ( i i ) f o l l o w s e a s i l y u s i n g v e c t o r - v a l u e d i n t e r p o l a t i o n v i a t h e c o m p l e x m e t h o d . ( S e e ,

f o r e x a m p l e , B L , 5 . 1 . 2 ] ) . W e u s e t h e s e f a c t s i n t h e p r o o f o f t h e n e x t t h e o r e m .

1 . 4 P r o p o s i t i o n . F o r 2 p 1 , r ( L

p

0 ; 1 ] ) = 1 ; p

0

] w h e r e

1

p

+

1

p

0

= 1 .

P r o o f . R e c a l l t h i s i n e q u a l i t y o f C l a r k s o n C l ] : f o r a l l x ; y 2 L

p

2

1

p

0

( k x k

p

L

p

+ k y k

p

L

p

)

1

p

k x + y k

p

0

L

p

+ k x y k

p

0

L

p

1

p

0

:

S i n c e p

0

2 p , a n a p p l i c a t i o n o f H o l d e r ' s i n e q u a l i t y g i v e s

k x k

p

0

L

p

+ k y k

p

0

L

p

1

p

0

2

1

p

0

1

p

k x k

p

L

p

+ k y k

p

L

p

1

p

2

1

p

k x + y k

p

0

L

p

+ k x y k

p

0

L

p

1

p

0

:

F i x f ; g 2 L

p

: L e t t i n g x = f + g a n d y = f g w e c a n r e p h r a s e t h i s i n e q u a l i t y t o r e a d

k f + g k

p

0

L

p

+ k f g k

p

0

L

p

2

p

0

p

k 2 f k

p

0

L

p

+ k 2 g k

p

0

L

p

= 2

k f k

p

0

L

p

+ k g k

p

0

L

p

:

S o 1 ; p

0

] r ( L

p

0 ; 1 ] ) : T o s h o w e q u a l i t y c o n s i d e r a n y q s a t i s f y i n g ( i ) a b o v e f o r t h e L

p

- n o r m .

T h e n c h o o s e x =

1

2

( 0 ; 1 = 2 )

+

( 1 = 2 ; 1 )

] a n d y =

1

2

( 0 ; 1 = 2 )

( 1 = 2 ; 1 )

] . N o t e t h a t x + y =

( 0 ; 1 = 2 )

a n d x y =

( 1 = 2 ; 1 )

: T h u s (

1

2

)

q = p

2 (

1

2

)

q

a n d s o q p

0

. }


4/13


5/13

5

o f r e a l n u m b e r s

1

; : : : ;

n

w i t h

n

P

j = 1

j

= 0 , w e h a v e

X

1 i ; j n

d ( x

i

; x

j

)

q

i

j

0 : ( 3 )

I n o r d e r t o c o n n e c t g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s w i t h n e g a t i v e t y p e w e s h a l l b e g i n b y r e f o r m u -

l a t i n g i t .

2 . 2 T h e o r e m . F o r a m e t r i c s p a c e ( X ; d ) t h e f o l l o w i n g a r e e q u i v a l e n t :

( i ) q 2 g r ( X ; d ) ,

( i i ) F o r a l l n 2 I N , a l l n i t e s e q u e n c e s f x

1

; : : : ; x

n

g X , a n d a l l c o l l e c t i o n s o f w e i g h t s

w

1

; : : : ; w

n

; s

1

; : : : ; s

n

0 t h a t s a t i s f y

n

P

j = 1

w

j

=

n

P

j = 1

s

j

( = 1 i f o n e w i s h e s t o n o r m a l i z e ) , w e

h a v e

X

1 i ; j n

d ( x

i

; x

j

)

q

( w

i

s

i

) ( w

j

s

j

) 0 : ( 4 )

2 . 3 R e m a r k . T h e l e f t h a n d s i d e o f ( 4 ) i s v e r y e a s i l y s e e n t o e q u a l

X

1 i ; j n

w

i

w

j

+ s

i

s

j

] d ( x

i

; x

j

)

q

2

X

1 i ; j n

w

i

s

j

d ( x

i

; x

j

)

q

; ( 5 )

s t r o n g l y h i n t i n g a t g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s .

P r o o f o f 2 . 2 . ( i i ) ) ( i ) . S u p p o s e t h a t ( i i ) h o l d s . C o n s i d e r a g i v e n d o u b l e - m - s i m p l e x

a

i

; b

i

]

m

i = 1

i n t h e m e t r i c s p a c e ( X ; d ) . S e t t i n g n = 2 m c o n s i d e r t h e p o i n t s

x

i

: =

(

a

i

; 1 i m

b

i m

; m + 1 i n

;

a n d t h e w e i g h t s

w

i

: =

(

1 ; 1 i m

0 ; m + 1 i n

; s

i

: =

(

0 ; 1 i m

1 ; m + 1 i n

:

O b v i o u s l y ,

n

P

i = 1

w

i

= m =

n

P

i = 1

s

i

. A p p l y i n g ( i i ) w e s e e t h a t

0

X

1 i ; j n

d ( x

i

; x

j

)

q

( w

i

s

i

) ( w

j

s

j

)

=

X

1 i ; j m

d ( a

i

; a

j

)

q

+

X

m + 1 i ; j n

d ( b

i m

; b

j m

)

q


6/13

6

X

m + 1 i n

1 j m

d ( b

i m

; a

j

)

q

X

1 i m

m + 1 j n

d ( a

i

; b

j m

)

q

=

X

1 i ; j m

d ( a

i

; a

j

)

q

+ d ( b

i

; b

j

)

q

] 2

X

1 i ; j m

d ( a

i

; b

j

)

q

:

I n o t h e r w o r d s w e h a v e s h o w n t h a t

P

1 i < j m

d ( a

i

; a

j

)

q

+ d ( b

i

; b

j

)

q

]

P

1 i ; j m

d ( a

i

; b

j

)

q

;

a n d h e n c e q 2 g r a

i

; b

i

]

m

i = 1

. I t f o l l o w s t h a t X h a s g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s q .

( i ) ) ( i i ) . S u p p o s e t h a t X h a s g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s q . C o n s i d e r a n i t e s e q u e n c e x

1

; : : : ; x

n

i n X . S u p p o s e t h a t N n a n d t h a t l

1

; : : : ; l

n

; m

1

; : : : ; m

n

a r e n o n - n e g a t i v e i n t e g e r s s a t i s f y i n g

n

P

j = 1

l

j

= N =

n

P

j = 1

m

j

.

C o n s t r u c t a d o u b l e - N - s i m p l e x a s f o l l o w s . S e t

a

1

= a

2

= = a

l

1

= x

1

; a

l

1

+ 1

= a

l

1

+ 2

= = a

l

1

+ l

2

= x

2

; a n d s o o n ;

b

1

= b

2

= = b

m

1

= x

1

; b

m

1

+ 1

= b

m

1

+ 2

= = b

m

1

+ m

2

= x

2

; a n d s o o n :

S i n c e X h a s g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s q , i n e q u a l i t y ( 2 ) f o r t h i s d o u b l e - N - s i m p l e x c a n b e m a -

n i p u l a t e d t o g i v e

X

1 i ; j n

d ( x

i

; x

j

)

q

"

l

i

l

j

+ m

i

m

j

N

2

#

2

X

1 i ; j n

d ( x

i

; x

j

)

q

"

l

i

m

j

N

2

#

: ( 6 )

C o m p a r i n g ( 6 ) w i t h ( 4 ) a n d ( 5 ) , a n d n o t i n g t h a t t h e s e t

8

<

:

1

N

( k

1

; : : : ; k

n

)

N ; k

i

2 I N ; N n ; a n d

n

X

j = 1

k

j

= N

9

=

;

i s a d e n s e s u b s e t o f

8

<

:

( z

1

; : : : ; z

n

)

E a c h z

i

0 a n d

n

X

j = 1

z

j

= 1

9

=

;

;

a n e l e m e n t a r y c o n t i n u i t y a r g u m e n t c o m p l e t e s t h e p r o o f t h a t ( i ) ) ( i i ) . }

> F r o m t h i s r e f o r m u l a t i o n o f g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s w e g e t t h e f o l l o w i n g t h e o r e m .

2 . 4 T h e o r e m . A m e t r i c s p a c e ( X ; d ) h a s q - n e g a t i v e t y p e i f a n d o n l y i f i t h a s g e n e r a l i s e d

r o u n d n e s s q .


7/13

7

P r o o f . S u p p o s e t h a t ( X ; d ) h a s q - n e g a t i v e t y p e . L e t a

i

; b

i

]

n

i = 1

( X ; d ) b e a d o u b l e - n -

s i m p l e x . S e t

x

1

= a

1

; x

3

= a

2

; : : : ; x

2 n 1

= a

n

;

x

2

= b

1

; x

4

= b

2

; : : : ; x

2 n

= b

n

;

a n d s e t

j

: = ( 1 )

j

f o r a l l 1 j 2 n . I t i s c l e a r t h a t w e h a v e

2 n

P

j = 1

j

= 0 . H e n c e , b y o u r

h y p o t h e s i s , w e h a v e

X

1 i ; j 2 n

d ( x

i

; x

j

)

q

i

j

0 : ( 7 )

S u m m i n g o v e r ( i , j ) b o t h o d d , ( i , j ) b o t h e v e n , i e v e n a n d j o d d , a n d i o d d a n d j e v e n , w e

s e e f r o m ( 7 ) t h a t

0

X

1 i ; j 2 n

d ( x

i

; x

j

)

q

i

j

=

X

1 i ; j n

f d ( a

i

; a

j

)

q

+ d ( b

i

; b

j

)

q

2 d ( a

i

; b

j

)

q

g :

I t f o l l o w s t h a t q 2 g r a

i

; b

i

]

n

i = 1

. W e c o n c l u d e t h a t X h a s g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s q .

O n t h e o t h e r h a n d s u p p o s e t h a t X h a s g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s q a n d c o n s i d e r x

1

; : : : ; x

n

i n X a n d r e a l n u m b e r s

1

; : : : ;

n

s a t i s f y i n g

n

P

j = 1

j

= 0 .

I f

j

0 s e t w

j

=

j

a n d s

j

= 0 . I f

j

< 0 s e t w

j

= 0 a n d s

j

=

j

. T h e n

n

P

j = 1

w

j

=

n

P

j = 1

s

j

a n d s o

X

1 i ; j n

d ( x

i

; x

j

)

q

( w

i

s

i

) ( w

j

s

j

) 0

b y T h e o r e m 2 . 2 ( i i ) . A s w

j

s

j

=

j

f o r a l l 1 j n w e c o n c l u d e t h a t X h a s q - n e g a t i v e

t y p e . }

I t i s w e l l - k n o w n t h a t i f a m e t r i c s p a c e h a s q - n e g a t i v e t y p e t h e n i t h a s q

1

- n e g a t i v e t y p e f o r

a l l 0 q

1

q . W e r e f e r t h e r e a d e r t o W e l l s a n d W i l l i a m s W W , p . 1 1 ] . I t f o l l o w s i m m e d i a t e l y

f r o m T h e o r e m 2 . 4 t h a t g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s s h a r e s t h i s i n t e r v a l p r o p e r t y .

2 . 5 C o r o l l a r y . I f a m e t r i c s p a c e h a s g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s q t h e n i t h a s g e n e r a l i s e d

r o u n d n e s s q

1

f o r a l l 0 q

1

q .

W e r e m a r k t h a t s u c h a s t a t e m e n t d o e s n o t h o l d t r u e f o r r o u n d n e s s i n a g e n e r a l m e t r i c

s p a c e . A n e x a m p l e o f t h i s i s g i v e n i n E 3 , p a g e 2 5 4 ] . I t d o e s h o l d t r u e f o r r o u n d n e s s i n

B a n a c h s p a c e s , h o w e v e r , b y t h e i n t e r p o l a t i o n t e c h n i q u e m e n t i o n e d i n S e c t i o n 1 .


8/13

8

U s i n g C o r o l l a r y 2 . 5 w e c a n g i v e a s h o r t p r o o f o f t h e f o l l o w i n g r e s u l t , k n o w n t o E n o f o r

1 p 2 , t h o u g h n o p r o o f h a s p r e v i o u s l y a p p e a r e d i n t h e l i t e r a t u r e , t o o u r k n o w l e d g e .

( W e r e m a r k t h a t f o r 0 < p < 1 w e a r e u s i n g t h e u s u a l q u a s i n o r m o n L

p

a n d t h e o b v i o u s

e x t e n s i o n o f D e n i t i o n 1 . 1 ( b ) t o t h e a s s o c i a t e d q u a s i m e t r i c ) .

2 . 6 C o r o l l a r y . ( a ) L e t 0 < p 2 . L e t b e a p o s i t i v e m e a s u r e . T h e n g r ( L

p

( ) ) = 0 ; p ] .

( b ) M o r e o v e r , i f ( X ; k k

X

) i s a B a n a c h s p a c e w i t h g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s q , 0 < p q 2 ,

t h e n t h e L e b e s g u e - B o c h n e r s p a c e L

p

( ; X ) h a s g r ( L

p

( ; X ) ) = 0 ; p ] . I n p a r t i c u l a r , t h i s i s

t h e c a s e f o r X = L

q

( ) .

P r o o f . ( a ) W e b e g i n b y s h o w i n g t h a t ( I R ; j j ) h a s g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s 2 , a s s t a t e d i n

E 2 ] . L e t a

i

; b

i

]

n

i = 1

b e a d o u b l e - n - s i m p l e x o f r e a l n u m b e r s . T h e n c l e a r l y

X

1 i < j n

h

( a

i

a

j

)

2

+ ( b

i

b

j

)

2

i

= n

n

X

i = 1

a

2

i

+ b

2

i

n

X

i = 1

a

i

!

2

n

X

i = 1

b

i

!

2

; a n d

X

1 i ; j n

( a

i

b

j

)

2

= n

n

X

i = 1

a

2

i

+ b

2

i

2

n

X

i = 1

a

i

!

0

@

n

X

j = 1

b

j

1

A

:

S o t o p r o v e t h a t ( I R ; j j ) h a s g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s 2 i t i s g o o d e n o u g h t o s h o w

2

n

X

i = 1

a

i

!

0

@

n

X

j = 1

b

j

1

A

n

X

i = 1

a

i

!

2

+

0

@

n

X

j = 1

b

j

1

A

2

;

w h i c h i s t r i v i a l l y t r u e . S i m i l a r l y , i f w e r e p l a c e r e a l b y c o m p l e x s c a l a r s , t h e i m m e d i a t e l y

p r e c e d i n g r e s u l t i s s t i l l t r u e .

B y C o r o l l a r y 2 . 5 w e c a n r e p l a c e 2 b y p f o r a l l 0 < p 2 a n d t h e n i n t e g r a t e t h e s c a l a r

i n e q u a l i t y t o g e t p 2 g r ( L

p

( ) ) .

T o s e e t h a t L

p

( ) d o e s n o t h a v e g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s q f o r a n y q > p s i m p l y c o n s i d e r

t h e d o u b l e - 2 - s i m p l e x a

1

; a

2

; b

1

; b

2

] w h e r e a

1

0 , a

2

1 , b

1

=

( 0 ;

1

2

)

, a n d b

2

=

(

1

2

; 1 )

.

A l t e r n a t i v e l y , n o t e t h a t q 2 g r ( L

p

( ) ) i m p l i e s t h a t q 2 r ( L

p

( ) ) ; a n d s o q p b y E 1 ] .

( b ) T h i s i s v e r y s i m i l a r t o p a r t ( a ) . }

2 . 7 R e m a r k . E n o i n E 1 ] a l s o i n t e g r a t e s a s c a l a r i n e q u a l i t y t o p r o v e t h a t f o r 1 p 2 ,

L

p

0 ; 1 ] h a s r o u n d n e s s p . H e d e r i v e s h i s s c a l a r i n e q u a l i t y b y u s i n g e l e m e n t a r y c a l c u l u s .


9/13

9

A n o t h e r a p p l i c a t i o n o f T h e o r e m 2 . 4 i s a n i n d i r e c t p r o o f o f T h e o r e m 1 . 3 i n t h e s p e c i a l

c a s e t h a t L

p

( ) i s i n n i t e d i m e n s i o n a l . S i n c e w e a r e a s s u m i n g p > 2 , s u c h s p a c e s d o n o t

h a v e q - n e g a t i v e t y p e f o r a n y q > 0 ( s e e , f o r e x a m p l e , W W , p . 3 6 ] ) ; a n d T h e o r e m 1 . 3 f o l l o w s .

T h e g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s o f

( n )

p

i n t h e c a s e p > 2 c a n a l s o b e s e t t l e d u s i n g T h e o r e m

2 . 4 i n c o n j u n c t i o n w i t h e x i s t i n g t h e o r y . T o b e g i n w i t h i t i s w e l l - k n o w n t h a t L

1

c o n t a i n s

a l i n e a r i s o m e t r i c c o p y o f e v e r y t w o d i m e n s i o n a l n o r m e d s p a c e . T h i s r e s u l t w a s o b t a i n e d

i n d e p e n d e n t l y b y s e v e r a l a u t h o r s i n t h e e a r l y s i x t i e s ; a n d i n p a r t i c u l a r w a s p r o v e n b y H e r z

H ] . ( A l s o s e e , f o r e x a m p l e , Y o s t Y ] f o r a s h o r t p r o o f . Y ] a l s o c o n t a i n s f u r t h e r r e f e r e n c e s . )

S o , r e c a l l i n g t h a t L

1

h a s g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s o n e , w e s e e t h a t f o r e v e r y t w o - d i m e n s i o n a l

n o r m e d s p a c e X , g r ( X ) 0 ; 1 ] . S u c h n e e d n o t b e t r u e f o r h i g h e r ( n i t e ) d i m e n s i o n s .

T w o i m p o r t a n t t h e o r e m s c o m e i n t o p l a y . O n e i s d u e t o B r e t a g n o l l e , D a c u n h a - C a s t e l l e , a n d

K r i v i n e B D K ] ( a n d m a y a l s o b e f o u n d i n , f o r e x a m p l e , W W , p . 2 3 ] ) . T h e o t h e r i s d u e t o

D o r D ] , M i s i e w i c z M i ] , a n d K o l d o b s k y K ] .

T h e o r e m ( B D K ] ) . I f a n i t e d i m e n s i o n a l n o r m e d s p a c e X h a s q - n e g a t i v e t y p e f o r s o m e

0 < q 2 , t h e n t h e r e i s a l i n e a r i s o m e t r y f r o m X i n t o s o m e L

q

- s p a c e .

T h e o r e m ( D ] , M i ] , K ] ) . F o r 2 < p 1 a n d n 3 ,

( n )

p

i s n o t l i n e a r l y i s o m e t r i c t o a

s u b s p a c e o f a n y L

q

- s p a c e w i t h 0 < q 2 .

T h e o r e m 2 . 4 a n d t h e a b o v e t w o r e s u l t s i m p l y o u r n a l r e s u l t .

2 . 8 T h e o r e m . F o r 2 < p 1 a n d n 3 ,

( n )

p

f a i l s t o h a v e g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s q f o r

a n y q > 0 .

O f c o u r s e T h e o r e m 2 . 8 i s e q u i v a l e n t t o T h e o r e m 1 . 3 .

O p e n Q u e s t i o n . W h a t i s t h e ( m a x i m a l ) g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s o f t h e S c h a t t e n c l a s s C

p

( o r m o r e g e n e r a l l y , a n y n o n - c o m m u t a t i v e L

p

- s p a c e ) , f o r 1 p 2 ?

W e r e m a r k t h a t C

p

h a s g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s 0 f o r p > 2 , s i n c e i t s s u b s p a c e

p

h a s


10/13

1 0

g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s 0 . W e f u r t h e r r e m a r k t h a t t h e \ i n t e g r a t i o n o f a p o i n t w i s e i n e q u a l i t y "

p r o o f s t r a t e g y o f C o r o l l a r y 2 . 6 d o e s n o t w o r k f o r C

p

, 1 p 2 .

A c k n o w l e d g m e n t s . T h e a u t h o r s w o u l d l i k e t o t h a n k P e r E n o f o r i l l u m i n a t i n g c o n v e r -

s a t i o n s a n d l e c t u r e s o n g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s , a n d a l s o M i g u e l L a c r u z f o r h e l p f u l c o m m e n t s .

R e f e r e n c e s .

A 1 ] I . A h a r o n i , U n i f o r m e m b e d d i n g s o f B a n a c h s p a c e s , I s r a e l J . M a t h . 2 7 ( 1 9 7 7 ) , 1 7 4 - 1 7 9 .

A 2 ] I . A h a r o n i , E v e r y s e p a r a b l e m e t r i c s p a c e i s L i p s c h i t z e q u i v a l e n t t o a s u b s e t o f c

0

, I s r a e l

J . M a t h . 1 9 ( 1 9 7 4 ) , p p . 2 8 4 - 2 9 1 .

A M M ] I . A h a r o n i , B . M a u r e y a n d B . S . M i t j a g i n , U n i f o r m e m b e d d i n g s o f m e t r i c s p a c e s

a n d o f B a n a c h s p a c e s i n t o H i l b e r t s p a c e s , I s r a e l J . M a t h . 5 2 ( 1 9 8 5 ) , 2 5 1 - 2 6 5 .

B ] Y . B e n y a m i n i , T h e U n i f o r m C l a s s i c a t i o n o f B a n a c h S p a c e s , F u n c t i o n a l A n a l y s i s S e m -

i n a r 1 9 8 4 - 1 9 8 5 , T e x a s L o n g h o r n N o t e s . B a n a c h S p a c e B u l l e t i n B o a r d : b e n y a m i n i u -

n i f r m . a t x

B L ] J . B e r g h a n d J . L o f s t r o m , I n t e r p o l a t i o n S p a c e s . A n I n t r o d u c t i o n , G r u n d l e h r e n d e r

M a t h e m a t i s c h e n W i s s e n s c h a f t e n 2 2 3 , S p r i n g e r - V e r l a g , B e r l i n 1 9 7 6 .

B D K ] J . B r e t a g n o l l e , D . D a c u n h a - C a s t e l l e , J . K r i v i n e , L o i s s t a b l e s e t e s p a c e s L

p

, A n n .

I n s t . H . P o i n c a r e , S e c t . B ( 3 ) I I ( 1 9 6 6 ) , p p . 2 3 1 - 2 5 9 .

C h a ] F . C h a a t i t , O n u n i f o r m h o m o m o r p h i s m s o f t h e u n i t s p h e r e s o f c e r t a i n B a n a c h l a t t i c e s ,

P a c i c J . M a t h . 1 6 8 ( 1 9 9 5 ) , p p . 1 1 - 3 1 .

C h o ] G . C h o q u e t , L e c t u r e s i n A n a l y s i s , V o l u m e I I I , W . A . B e n j a m i n I n c . , 1 9 6 9 .

C l ] J . A . C l a r k s o n , U n i f o r m l y c o n v e x s p a c e s , T r a n s . A m e r . M a t h . S o c . 4 0 ( 1 9 3 6 ) , p p .

3 9 6 - 4 1 4 .

D ] L . E . D o r , P o t e n t i a l s a n d i s o m e t r i c e m b e d d i n g s i n L

1

, I s r a e l J . M a t h . 2 4 ( 1 9 7 6 ) , p p .

2 6 0 - 2 6 8 .


11/13

1 1

E 1 ] P . E n o , O n t h e n o n - e x i s t e n c e o f u n i f o r m h o m e o m o r p h i s m s b e t w e e n L

p

- s p a c e s , A r k .

M a t h . 8 ( 1 1 ) ( 1 9 6 9 ) , p p . 1 0 3 - 1 0 5 .

E 2 ] P . E n o , O n a p r o b l e m o f S m i r n o v , A r k . M a t h . 8 ( 1 2 ) ( 1 9 6 9 ) , p p . 1 0 7 - 1 0 9 .

E 3 ] P . E n o , U n i f o r m s t r u c t u r e s a n d s q u a r e r o o t s i n t o p o l o g i c a l g r o u p s , I I , I s r a e l J . M a t h ,

8 ( 1 9 7 0 ) , p p . 2 5 3 - 2 7 2 .

F K ] T . F a c k a n d H . K o s a k i , G e n e r a l i z e d s - n u m b e r s o f - m e a s u r a b l e o p e r a t o r s , P a c i c J .

M a t h . 1 2 3 ( 1 9 8 6 ) , p p . 2 6 9 - 3 0 0 .

G L ] S . G u e r r e a n d M . L e v y , E s p a c e s

p

d a n s s o u s - e s p a c e s d e L

1

, T r a n s . A m e r . M a t h . S o c .

2 7 9 ( 1 9 8 3 ) , p p . 6 1 1 - 6 1 6 .

H M ] S . H e i n r i c h a n d P . M a n k i e w i c z , A p p l i c a t i o n s o f u l t r a p o w e r s t o t h e u n i f o r m a n d L i p s -

c h i t z c l a s s i c a t i o n o f B a n a c h s p a c e s , S t u d i a M a t h . 7 3 ( 1 9 8 2 ) , p p . 2 2 5 - 2 5 1 .

H ] C . S . H e r z , A c l a s s o f n e g a t i v e d e n i t e f u n c t i o n s , P r o c . A m e r . M a t h . S o c . 1 4 ( 1 9 6 3 ) ,

p p . 6 7 0 - 6 7 6 .

K ] A . K o l d o b s k y , G e n e r a l i s e d L e v y r e p r e s e n t a t i o n o f n o r m s a n d i s o m e t r i c e m b e d d i n g s i n t o

L

p

- s p a c e s , A n n . I n s t . H . P o i n c a r e , 2 8 ( 1 9 9 2 ) , p p . 3 3 5 - 3 5 3 .

L ] J . L i n d e n s t r a u s s , O n n o n l i n e a r p r o j e c t i o n s i n B a n a c h s p a c e s , M i c h . M a t h . J . , 1 1 ( 1 9 6 4 ) ,

p p . 2 6 3 - 2 8 7 .

M c ] C . A . M c C a r t h y , c

p

, I s r a e l J . M a t h . 5 ( 1 9 6 7 ) , p p . 2 4 9 - 2 7 1 .

M e ] K . M e n g e r , D i e M e t r i k d e s H i l b e r t - R a u m e s , A k a d . W i s s . W i e n A b h . M a t h . - N a t u r .

K 1 . 6 5 ( 1 9 2 8 ) , p p . 1 5 9 - 1 6 0 .

M i ] J . M i s i e w i c z , P o s i t i v e d e n i t e f u n c t i o n s o n

( n )

1

, S t a t i s t . a n d P r o b . L e t t e r s 8 ( 1 9 8 9 ) ,

p p . 2 5 5 - 2 6 0 .

R i ] M . R i b e , O n u n i f o r m l y h o m e o m o r p h i c n o r m e d s p a c e s , A r k . M a t h . 1 4 ( 1 9 7 6 ) p p . 2 3 7 -

2 4 4 .


12/13


13/13

1 3

C h r i s L e n n a r d ,

D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s ,

U n i v e r s i t y o f P i t t s b u r g h ,

P i t t s b u r g h , P A 1 5 2 6 0 , U . S . A . .

e - m a i l : l e n n a r d + @ p i t t . e d u

A n d r e w T o n g e ,

D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s a n d C o m p u t e r S c i e n c e ,

K e n t S t a t e U n i v e r s i t y ,

K e n t , O h i o 4 4 2 4 2 , U . S . A . .

e - m a i l : t o n g e @ m c s . k e n t . e d u

T o n y W e s t o n ,

D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s a n d A p p l i e d M a t h e m a t i c s ,

U n i v e r s i t y o f P r e t o r i a ,

0 0 0 2 P r e t o r i a ,

S o u t h A f r i c a .

e - m a i l : t w e s t o n @ s c i n e t . u p . a c . z a

generalized roundness and negative type

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