fundamental concepts - memphis€¦ · k ˇ ˇl 7 ˇ ˇl kp qˆp ql 7 p qˆ p q ˜˜˜mn k pq∆ ˆ...
TRANSCRIPT
�
Fundamental Concepts
��� ����������
���������� �������� �������������������������������������������������� ����� ��������������� ������ �������������� � ������� ����� ����������������������� �������� ����� !��������� ����� ��� ���� ���� ���� � � ����������� "������� ��� � ������ � #� ����������� ������ ���� ��� ��� ��������� ������!���������$�� ����������� ���� ��������������������� ��������� �������� ��������������������������� � ������������������� ����� ���� ����������� ���#�� ��������������� ����� �������������� ���� ������������!��������
��������������!��������������������� �#����������� �����������������$��������������������������%���������������������������� ������������������� ��������������!���������������������������������������������������������������� ���� ��� � ������ ������� ��� ��� � ���� �� ������ ������ ��� ��������� ����� ���������� ��� ��� �������������������� ���� ������� �������������������� ���������� ���� ������������� ������
��� � ����� ������� �� ���
������� �� ���� &������ ����'� ��� ��� ���� � ������ �� ������ ������� ��� ��� ���� �� ���� ����$����������������� ������������� �������� � ����������� ����� � ���� �� ���� ������������(�������� �� �� �������������������������������������������������������)��*+������������������������������������������� ��������������&� ���� %�����'�
����� ���� ��������������������������� ����������� ������������� ����������������� � ������� ���� ���������������� ������ ���������� ������*+,�
)�� �*-.�� $� � � �� ���� � ���� ������������ ���� �� � � ����� ����� ������ � ������ ���� ������� �������������
/������� ������ ��������� ������������������ ������*.0��$����������� %���� ����������� ������������������� ������ ����� �����������$� � ��/�������� ��������$�������� �� �������1�����$��� ������%�������������������(�/��2��%����3�����/������
� ������������������ ������������������ �
������������*.4��$���������������������������������� ����������� ����5���� ������ ����� ��������������� ������ ������������*.06������� ����*406��������%����������� ������������� ������*47��)������� �������������������������������������������������������������������������� ������� ������ ��������� ��������������������� �����#������������� ������ ������������ �����)���*-*��8 ��������74*������������������!�������� ���� �����9� ������ �� ��%������ � ���� �� � ��� ��� ���������� �� � ��� ����� � �� �� ���������� ��������� ���������������������������� !�� ��������������� �����������������������������������������������!���$ ��� �����*.0���/���������������������������� ������ �� � � ��� ���������� $������ ��� ��� ������� ���� ������� ��� �*.,�� ������ �������� ��� :������� ���� ����� ��4+�� ��� �� �� �� ��� ;��36�� ����� ��� ��� �#���������2��%����3�����/����7<0�������*.-����������������� ������������ ������������������������������������� ����������������#� ��������� ����������� ������� ������������!����� ���������������������������� �������
�������������������������������������������������������������������������� ������������� ������������� ���������������������������������������������� ������������������������� ����������� ���� ����� ���������� ���� ����� �� ���� ��� ���� ���� ����� ���� ��� ���������� ���� ������������� ������ ������������� ����� � ����������� ���������� ����������� ����������������������� ���� ���� ������������ ����������������#�������� ��������������������=�� ���������� ����%������������������������������������������� ������ � �>���= ? ���@)=��� $��@�� $;"@A�
�>������= ? �� ������������������ ��� �>��������������������������������� �@������������������������������= ? ������%���������������������������������%�����)������������������������������������������������������� ������������������������
$����� ��������������������������������������!���������������� ���:������;��36������������� ��������� ���� �#��������������������������������� ��� ��%��������������������������������������������������� �#���������9��� �������� ������������� ������ ���
��� /����� ������������������ ��������������������� ���� �����
���� /������������������ �#������������������
����� /������������������ ��������� ����������
������������� ���� ���� �� ��� �������������� ��� ��������� �� ��� �#�����������!�������������������� �� � �������������������� �����������B
���������� ����
�� ;����� �<40
7� ;��3 �*0*
,� ;��� ���� �*�0
+� 8�� %�� �*�-
-� A����� �*�<
.� :�3��%�� �*7,
4� ������ �*+0
<� 9 ��%��� �*+�
���������� ����
*� ��� � �*+,
�0� /�� ��� �*+,
��� > �� ����� ��� �*+4
�7� =��� % �*+*
�,� �� �����������% �*-,
�+� ����� �*-,
�-� � �� �� �*--
�.� $� � ��������� ��� �*-.
��� ��������������� �
��������������� �����������������
�� )������������������� ������!������������ �������� ��������������� ������!������������ ��������������������� ��������
7� $���� �#���������������������������������� ������� �������������������������� ����������������������$�������� ��������������������������#����� �������������� �������!������������#���� � ���������������������������� ����������� ������!��������������������������������������������������������������� �#������
,� �@�������� � ����� �������������������� �������������������� ������
+� �@����������������������������������#�������������������)�������������������� �#����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������9��� ������������������������������ ����������� ��������������������� ����������� �����
-� �@����%������ ������������� ������������ �����!������������������ ����������������������������������/��������������������������� ��������� �������� ���������%����������� �#������������������ �������������������������������������������������������������
.� ������� ��� ���� ����� ��� ����@����%������ �������� �#������������������������ ��������� ���
���� ������� �� ���������������� ����
�� )����������������������� �#����������������� ���#����!���������� ����� ���������������������#����!��������� ��� �������#��������������� ���������
7� $������ �������������������� ������ ������� ����������������������������������� ������������ �������
,� )���� ���� ��������������� ����������� ������������������������������������������������������������������������������������������
+� C����� ����� �� �������������� ������������������ ���� ������������ ������������������������������(������������������������� ������������������ �� � ����������������� ���� ������������ ������ �� �������������������������������
-� ���������� �� �������������������������������������� ���������������������%�������������������������������%����� ������������������
��� ���� ��� ������� ���
(��������%���!������B�&C���������������������������������������� ���������� ��� �� �5� ������ ���%���� ��������� ��� �� �� %�D'� $��� � ������ ��� ���� ������� $
���������� ����
�4� /�������� ��������$��� �*-.
�<� 8 ������ �*-*
�*� E� �� �*.7
���������� ����
70� :������ �*.,
7�� ���� �*.,
77� 2��%����3 �*.-
� ������������������ ������������������ �
��������������������������������������������������������� ������� ������ �������� ��������������������� ������#������������� ������ ������������ �����9��������%���������%������������� ���� �����F������ ����������%������������������ ������ ����� ���� �������)��� � ��������������%����� �� �������� ������%������������������������� ��B
�� 9���������� ������������������������ �����D
7� )������������������ ������
,� C���������� ������������ ������������ ������������D
+� )��� �� ��������������� �������������
-� �����������������������!��������
.� /���������� �#������������������
4� )������������������ ������
<� 9����������� �� ����� ����������������� ��� ������������D
$����������� ����������������� ������������������������������������������ �������� ������ !�� ����� ��� ������ �� �� ���� �� � ����������=����������� ����� �� ���� � ����������� �� ��� ������� �������������������%���������������������������� �������� ������� ������������%����� ��= ? ���A8(;��=) ����:�G" ��=� $;�=����������� 5���������� ����� ����������� ������������ ��������� ���� ���� �������� ���������
> 5� ����� ������������ ������������������������������ �� ����������� ��� �������������������������$������������������������� ���� ���� ���������������������������� ������������ ��������������������� ������� ������������������ ��3����������������� ������ ������������������ ������� ��������� ���������
������������%������������ ���!����������%��&������������������������������� ��� ����D'��&������������������������ ��������������D'��&��������������������� ���������������D66�����$�� � ����� �� ���������������������� ���� �����������3���)������� ����������������� ��������������������������� �������������: ���������� 5� �������������������������������������� �H�������������������H������������ ����� �� ���H� ��������������������������� ����
$�����5� ����� ������������� �� �������� ������� ��������������������������������������� ������������������� �� ����� � �������������������� ��������� ������ �������$�������� ����� ���������� ���������� ��������%����
�������� )������������������#��� ������ �����,�����������������,� ��������������-00����������������������������������,000������������������� �����������,000��������������$����������������������������������������������� ����������%��(������ ��������� ����������� ����� �� ������������������������������ ���� ��������������������������������������������� ���������� �������: �������������� ����������#� ���� ��������������������������� �������H����I���� �� �������� � ����������H������ ������� � �������������� ������
$����� ��������%����= ? �������������������������#������������ ��9�������������� ���������� ������������%������������������%��������������
��� ��������������� �
��� ���� ������ �� ���������
$���������������������� ���������� ����������������������� ������������������ ��������� �������� �����)����������� ���������������������������������� ������ ����� ���� ���������� ����$�������������������������� ������������������������������C��������������� ��������������������� ��������������������������������� ��� ������ �����������)�� ������ ���� �������������������� ��� ���������������� �����������
:������������������������ ������������ ������� ���� ��������������������������������!��������� ����������H��������� �������������������� ������� ������������������ ����������������������� ������ ������ �� ������������������ �������� ������� ����� ����$�������������������������������������������� ��������� ��������������������� ������� ����� ����������������� ����� ���������� ���
$�� �� �������� ���������������� ����������������������� ������� �������������������������� � �������� ������������������������� ��� ��
����������� ��� �� �������������$������������ �� ����������������������� ����� ��
�������� �� �!"#$#%�#"&
)�������������������������������������������� ���� ������� �B�������� ��������� ������ ����� �������� ����� �������� �������������������� �������������� ����$�������������� ��� ��� ��������������� ��������������� ������������������� ��������������� ����$���� ���� �#� �������J�� ��� ��������������������6�� ��������������� ���� ���� ����� ������������� ��� �#�������������������� ���
�� ������� �������� ����� ��������������� ��������� ������ ����$��������� ������ ������������� ������������ �����$����� ������������ ����� ��� ������������������ ��� ��������������������� ����� ����������� ���� �����������3���������� �� ��������� �����)��� ��� ������ ������ ���� �#� ������ ���������������������� ���� ������������ ����$��� ���������#� �������J�� ��� �������� ����� �����������6��9�� ��������� ��� �� ����������� ���������� ���������� ���# ����������!������������������ ���������� �#�������������� ������ ����� �������� ������6����� ����������� �������������������� ������������������������������� ��������� ������� ���������� ������������������������������ ������������ ����������� ������������������������������)������� ������������ �� ������������������������������ �������
���$#&#���' ��(#�#�#)�� �� ���"$�� #� �$���#*#�'
������ ��� !" � ����"� $���������������� ���������� �������� �������������� ������������������������������������������ ���
� �������K�A���
/ ���5�������� � ��K�
�
�
� �
��� �
=7
������ ��� #" $����� ������������� �������������� ����"� /������������� ����������������� ������������������������������������ ��� ����
� �������� ����K�/��� �� ����
( ������ �����K�
� � ����
� � ����
�
� ������������������ ������������������ �
������ ��� %" &� ����� ���������������� ����"� )���������������� ������������������� ��������������� ����������������
A�� ����� ����K�/��� �� �����
( ������ ����� �K�
��
�
������ ��� '" ������ ���� ����"� )���������������� �������������������������� ������������
E����� ����� ����K�/��� �� �����
( ������ ������K�
���
������ ��� (" )������*��� ��"� )������� ����������� ����� ����������� ��� ����
>������6�� �����K�A�� �� �� ���
A��� �� ���
������ ��� +" ,���"� �������������� ������������ ��������������������� �������������������������������
������ ��� -" ����./�����.����� �"� ����������!��������������� ������������$����������������������������������������������������������� ������������������������������������������
������ ��� 0" )�� ����"� �������������������������������������������� ������( ������ ������� �� ������������������������������������������
������E ������������������������������ ����������� ���������� ������������������������������������� ����������������������� ��� ��� ���������������������� ������������� �����
������ ��� 1" ����������� "� $� ����������� ��� ��������� �� ����� ��� �� ����� ��� �������������)������������������������ ������
������ ��� !2" � ��������3�"� C������� ����� �������������������������������������������� ����(�� ������������������� ����������� ������������@� ������� �������������� ����� ���������������%���� ������� ���������������$�� ������ �����������&�� ���� ��'�
������ ��� !!" 4���"� �� �� �� ������� ��� �� �� ����� ��� ����� ��� ����� %���� �� ������ ��������������������� �������������� �������������������������������� ��
������ ��� !#" 4�������"B C�� ����� ���������� ������������������������������� %�����������������
C� %���� K��� ����@�����������
K����
��� )������������ ������������ ���������������� %����������������������
���� )������������ �������������� ���������������� ����������� ����������� %��������������������
��� ��������������� �
�������� �� ������� ���������� �������������������������� ���� ������� ���� ���������������������������� ����� ����������
������� %���� K��L����L���
�#+� ���
�#+� ��� ������������� �����
C�%��� � K��
∆�
������������� ������������� ������� ���� ������� ���������� ������
C� %���� K� ����
�z �K�����
� �
�zK��
7��� ���M�N
K���� ����� �����������������
�!������ � �����#� ������ %
� �#� ������ % K�L�
7���
������ ��� !%" 5� ���������"� �)�������� ����������� �������������������7������� ������� ��� ��������!���������#� ������ �������� �����������������������������#� ������ ���:�������������������$��� ����������� ����������������������������������� ����$��������������������� ������������������� ���������������������9������ %�����������
dXX
O
S = xP
�
�
�
P
� ������������������ ������������������ �
� �)�� ������ %�K�I��
7��� ���M7N
������ ��� !'" � ��������3���� ������� ����"� � ����� ���������� %���������� ��� ��)��������������� ������
� K��
��
7
7�
FHG
IKJ
� � K��� ��� ��
� K������������ �������
� K�������������������� ���
������ ��� !(" �����.� �� "� ������� ����F����������� ������� �������������� ���� � ��������� �������� �3�������� ����������$�� �������� ����������������������
������ ��� !+" 5�� ������� �����"� ��� ������������������ �� ������������� �������
������ ��� !-" $���� ����� �� �����"� ������ �������� ����� ������� ���� ������������� �� ����������� ����� ����������� � �������� �� �������� �����������
������ ��� !0" 6� �� �����"� )������� �������� �� ���������������������� ������������������ ��� �����
������ ��� !1" � ��� ���"� � ���� � ��� ������ ��� ��� ��������� ��� ������ ��������� ��������������������� ����F�����������������������������������,�
$���� ������������ �������� ���� ����������������� �������������������������� ���� �������������������,�������������������������� �F������� �%��������� ���������������� ����������������!������ �����
�#+� ��� �� ��
������ ��� #2" ��3���� �� ������� 78�������9�� �������� ��:"� $�� � � �� ���� � �������������� ��������������������������������!���������������������������
�� ���� �������������������,����� ����� �������-��$�����������������%���������� ������� ��������$��� ���� ���������������������#������ ��������������������������������� �������� $� ��� ������� �������� ������������� ��������� ���O� � �� ������ $�� � �����������%��������=������� ������ ����
��� ��������������� �
����������������
$�� ���� �������� ���������#� ���������� ���������������������� �� ������� �������������:������������ ��� ��� ������ ��� �� ���� ������������ ����� ����������� �������� ���������������
�����������
/����� ����� ���� ����!����� ������� ��������������� ���P�Q���������� ���������� ����� � ���������� ���3���������������� �������P�Q��/����� ������� ������������������������ ��������� ���������)�������������� %������������ ���P�Q���������������P�Q������#� ������ %������������ ���P�Q����������������P�Q���������+�����!����������� ����� ������� ��������� ���� ��� ���������� ����
�#+� ��� ��� � ������� ������ �� ��������������������������������
�#+� ��, ����������������������� ���������������� � ���
$��� ���� ����������������-������������������������������� �������P�Q�� ������ ������ �������� ����!����� ����������#� ����������P�Q��������� �����P�Q�� ���������������������������P�Q�
=������������������� ������������� ���� ��� ��������� ����������������������P��Q������ ���P��Q�� ��������������������
@�� ��� ������ �� ������� ��� ������������ ���� �� ��� � � ����� �� ������ ��� �� %���������� ���� %���� ����� ���������������� ��� ���
$��������� ���������������������������%������ ���� �� ���!����� ���������������������$���� ����������������� %���������� ����� ������� ���������� �������� ������������ ��������������������.��������������������������������������.�������������������������������.���������������
Q1
q1
q2
{0}
{ }E�
Q2
Incremental Position B
Q1 + �Q1
q1
�q1
Q2 2+ �Q
q2
�q2
Initial Position A
������������������ ������������������ �
�#+� ��-.%/
�� K���������L��
7�����������L��� �� � �� ��
)����� �#��� �
�� K�P��Q��P�Q�L��
7�P��Q��P��Q ���M�N
����� �������������� �������
�� K� P Q∆ � �
�z �P�Q����L��
7� P Q∆ � �
�z �P��Q��� ���M7N
;��������������� ����������� ��������� ���� � ������ ��O��������������������������P�Q�����P�Q� ����������������������� �������� �������������������������!����������������
P��Q K�0 ���M,N
P��Q K�0 ���M+N
)��������������������������������� ����� ������������� ���������� ���� � ���������� �������������)����������������������������� 5����������������������������� ���� ���������������������������� � ������������������� �������
$��#� ������������������������������������������ �������� �������� ��� ������� ���������������� ��������"�� ������������������� ����$���� ���������������������K�M���N���������������� �������������������������������
��K�M�������N� ���M�N
�#+� ��-.�/ �������������
�W
B
�W*
Q
W*
W
W- workW*-complementary work
�Q
A
q
U- strain energyU*-complementary
energy
�U*
�
U*
U
�U
��
��
�
(i) (ii)
�q
�Q
�W
�q
A
B
Q
��
�U
�
A
B
�
��
(i) Incremental work (ii) Incremental strain energy
��� ���������������
$�#� ������������ ������ �� �������������������������� ������������������������������� �����������F������������� ��������� ������ ��!����������
!�K�
!
!
!
�
�
�
L
NMMM
O
QPPP�K�M !��!��!�N
� ���M7N
� �!���!���!��� ���������������������������� �������� ����������$��� %������������� ���������#� ������
C� %�����K� � ! ���
�
z ���M,N
$��� ����� ���������������#� ������
��K�
�
�
�
�
�
�
L
NMMM
O
QPPP�K�M��������N
� ���M+N
� ���"���"����� ���� �������������������������������� ������� ����������$��� %����������� ���������
C� %�����K� � � ���
�
z ���M-N
���#� ��������������������������������� � ������������� �������������������4��
��K�M����������N� ���M.N
�#+� ��0.�/
{ }P
{ }P 1
bz
by
bx
w
u
i
i
u = 0
Su
yo
z
x
y �z
�zx
�x
�y
�xy
�yz
y
y
y
b = f dV
b =
=
x x
y y
z z
f dV
b f dV{ }
� ������������������ ������������������ �
$� ����� ��� �� ��� ��� ��� ������� ������ ��� �� ������ ����� ��� ������ ��� � ��� ��� ��#��������������� ����#� ������������� ��� ����B
��K�P�Q�K�M�����������������N ���M4N
� ���"���"���"�� ��� ������ ����������"���"����� ��� ��� �����$��� ������������������!����� ������������������������� ���������������������������� ������!����� ��������������������B����K�������������������4���
C �����B�� ��K�0H�� ��K�0H�� ��K�0���������!����� ����!�������
��
��
����
�
�
���
���
��
��
��
����
�
R
S
|||
T
|||
U
V
|||
W
|||
�
�
�
� �� ���
�� � ���
�� �� ��
� � �!
� � �!
� � �!
0
0
0
���M<N
�#+� ��0.%/ �� ������ ����������������� �������� �����
� �x xx
xdx� � �
��
�
� �zx zxzx
zdz� �
��
� � �z zz
zdz� � �
��
��x
� �yz yz
yz
ydy� � �
��
�
� �y
y
yy
dy���
�� �
� �xy
xy
xyx
dx���
�� �
� �yx
yx
yzy
dy���
�� �
�z
z
y
x
A�ydz
A
dy
� �xz xzxz
xdx� � �
��
�
dx
� ���
��zy
zy
zdz�zy
�
��� ��������������� �
��3����/�� �����C����������������������������������������� �� ����
���� ������ ��������������������� ������������H�� �� ��������� ���������� ������������������� � ��� �������������������<������������������������������� ���������� ���������������������������������� ���������������������������������������� �������������������������� ����$��#����������� � ������������� ��������� ������ ������������������������������������� �������� �����5�#�������������������������������� ����������5�#��������������������������5�� �����������������$����������� ��������������������������� ������ ������������������������ ���%����������������� ��������������� �������#��������������� �������������������������������� ������������� ����������#����$��������������������������� ����������������������������� ����������� � ����#���������������� ������������� ������ ����������������������� � ������������ ����������������������������<����� ���������������������������������� ��������������������������������������������������� ������� �������������������������� ������M��������<�����������N��� ������������<������������� ������ � �� ���������������� ������ ��R��������������������#���������������� ��� ��B��� ����������������������� ��� � �������%����������� �K��� ����K�����������K�����$ �� �������� ������ ��������������������� ������������#�!������������ ������������������������ ����������������,����������� ����� $ �� � ���� �������������� ��������������������� ���� ������������������ ���� ����������� ������ �� ������������ ��� ��������� ��� !�������� ��� !����� ������������������������������������������� ������������������������������������ ����������������������)�������������������� ������������� ��������������
����� � K�0������� ���M�N
�#+� ��1.�/ ���������������
�xy
y
dx C
Ax
z
B
�xz
�y
�yx
�yz
�z
�zx
�zy
�xz
dy
�xy
�x
Odz
�xy
� ������������������ ������������������ �
��%$� ���
���� ������� ������� ��������������� �����
� �� ��+ ������!�
∂∂��
���
�� ��+ ������!�
∂
∂
��
���
�� ��+ ������!�
∂∂��
���
� �� ��+ ������!�
∂
∂
��
���
�� ��+ �����!�
∂
∂
��
���
�� ��+ ������!�
∂
∂
��
���
� �� ��+ ������!�
∂∂��
���
�� ��+ ������!�
∂∂��
���
�� ��+ ������!�
∂
∂
��
���
������� �� "�������� ���
����� ������������������
�������� ���� "� �� ����
����������� �����������
� ���"����� ��� ���
������� ���#��� ���
����$�%����&��$�'$()
�#+� ��1.%/ �#+� ��1.*/
z
�yx
�xz
�xy
�yz
y�y
�z
�x
x
�zx
�zy
x
�xz
��
xz
��
x
��
y
��
xy
��
zx
��
yz��
zx
��
zy
��
z
z
y
��� ��������������� �
A����������� ���!����� ����������� ���������� �� ���������:/@�����������������0� �#���#������#$�� ��� ������������������������ �������#��� ����������������K�� ������$������������� ����
)��%�K�M%���%���%�N������������ ��� ������ �������� ����������
�#+� ��2
z
y
x
dz
dx
dy
Z
Y
X
�#+� ���3 *������������� ������� ����
z
dA
C
�x
n = [ , , ]n Tx n ny z
n dAxTy
Tz
n dAy
A
x
Tx �xz
�xy
D
n dAz
yB
� ������������������ ������������������ �
� �
� �
��� � �
�#$ % ��
�#$ % ��
�#� % ��
�
�
�
===
RS|
T|
UV|
W|���M7N
)��!����� �������������� ��#���� �����������
�
�
�
� � �� � �� � �
�� � � � �� � �
�� � �� � � � �
% % % �
% % % �
% % % �
+ + =+ + =+ + =
RS|
T|
UV|
W|���M,N
$������������M�N��M7N�����M,N���������������������������� ��� $��� ���� ��������� �������
����#�4�#�5$�*�&��� ��$��#)��
$� ������������������������������ �����������������������������������������������������
��K�M�������������������������N� ���M�N
� ����������������� ��� ������ �������������������������� ������� ������ ��� ��������� ����������������� ���������������I���������� ���������� ���������������������
����������������� �������� �����������
� K�∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
LNM
OQP
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � � � ���M7N
� ����� ������������������������������ ��������B
�� K�∂∂�
��L�
�
7�
∂∂
FHG
IKJ +
∂∂
FHG
IKJ +
∂∂
FHG
IKJ
L
NMM
O
QPP
�
�
�
�
�
�
7 7 7
�� K�∂∂�
��L�
�
7�
∂∂
FHG
IKJ +
∂∂
FHG
IKJ +
∂∂
FHG
IKJ
L
NMM
O
QPP
�
�
�
�
�
�
7 7 7
�� K�∂∂�
��L�
�
7�
��
FHG
IKJ �
��
FHG
IKJ �
��
FHG
IKJ
L
NMM
O
QPP
�
�
�
�
�
�
� � �
���M,N
��� K�∂∂�
��L�
∂∂�
��L�
∂∂
∂∂
�
�
�
��L�
∂∂
∂∂
�
�
�
��L�
∂∂
∂∂
�
�
�
�
��� K�∂∂�
��L�
∂∂�
��L�
∂∂
∂∂
�
�
�
��L�
∂∂
∂∂
�
�
�
��L�
∂∂
∂∂
�
�
�
�
��� ��������������� �
��� K�∂∂�
��L�
∂∂�
��L�
∂∂
∂∂
�
�
�
��L�
∂∂
∂∂
�
�
�
��L�
∂∂
∂∂
�
�
�
�
�� K�∂∂�
�H�����K�
∂∂�
��L�
∂∂�
�
�� K�∂∂�
�H�����K�
∂∂�
��L�
∂∂�
����M+N
�� K�∂∂�
�H�����K�
∂∂�
��L�
∂∂�
�
������4����#� ��$��#)��
$��������������� ��� ��������������� ��������� ���������������;�� ��9��%�����.4<�#� ���������� ���������%�������������*�&�����������������JJ�������������������������� ����������������� ������������������� ������ ��� �������������������� �'�
)������������������������������������������ ��������������K�&���� �&���������������������������� �� ������������ �����$����������&�������������������������������� ?����6�����������
U
V
||||
W
||||
�#+� ���� ������������������������
����������������� ���
$�������������!���������� ������� ������������������� ������������� ��������������� ����������������� ���3��9��%6�������)��������� �
� ��K�$�'(��'( ���M�N
� �$�'(�� ���� ��)���%�)�%)���������!��M�N������<���������������������$�'(���������� ������ �� ��%��$������!����������������� ���������� �������� ��������������� !�� ��������������� �������������� ���������������������������9��� ������������� ���������� ��������� �������� �� �� ��������,.��������������������������������������9��%6������������ �������
dy
u
v
dxO
B
A
yB
O A
C
v + dx�y
x�
u + dy�
�
u
y
x
� ������������������ ������������������ �
��� K�/������L�/�7�77�L�/�,�,,�L�/�+�7,�L�/�-�,��L�/�.��7
�77 K�/7�����L�/77�77�L�/7,�,,�L�/7+�7,�L�/7-�,��L�/7.��7
�,, K�/,�����L�/,7�77�L�/,,�,,�L�/,+�7,�L�/,-�,��L�/,.��7 ���M7N
�7, K�/+�����L�/+7�77�L�/+,�,,�L�/++�7,�L�/+-�,��L�/+.��7
�,� K�/-�����L�/-7�77�L�/-,�,,�L�/-+�7,�L�/--�,��L�/-.��7
�7� K�/.�����L�/.7�77�L�/.,�,,�L�/.+�7,�L�/.-�,��L�/..��7
����������� �������
� K�$���� �����K����7��,��+��-��.� ���M,N
$���������������� ���������
��� K���H��77�K��7H��,,�K��,H����K��� ��+H��,��K����,�K��-H���7�K��7��K���. ���M+N
���
��� K���H��77�K��7H��,,�K��,H�7�7,��K�7�,7� �+H�7�,��K�7��,�K��-H�7��7�K�7�7��K��. ���M-N
��� � � �/��� ���� $����������!��������M7N�������� ����������� �#��� ����� ������� �������������� ��������������������� ����
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
��
R
S
||||
T
||||
U
V
||||
W
||||
K�
� � �
� � �
� � �
�� �7 �.
7� 77 7.
.� .7 ..
���
���
��� ��� ���
��� ��� ���
��� ��� ���
���
L
N
MMMMMMMM
O
Q
PPPPPPPP
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
��
��
R
S
||||
T
||||
U
V
||||
W
||||
� P�Q K�M$N�P�Q ���M�N
� �M$N��������������������������� �#������������ �� ��������� ��� ��������������
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
��
��
R
S
||||
T
||||
U
V
||||
W
||||
K�
� � �
� � �
� � �
�� �7 �.
7� 77 7.
.� .7 ..
���
���
��� ��� ���
��� ��� ���
��� ��� ���
���
L
N
MMMMMMMM
O
Q
PPPPPPPP
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
��
R
S
||||
T
||||
U
V
||||
W
||||
$����� ���9��%6��������� ����� ����������� ��������������� ��I�� ���� �������������� ������������������ �������� �������������������������
U
V
||||
W
||||
U
V
||||
W
||||
��� ��������������� �
�� K���
&�I�
� ��
&�I�
� � �
&
�� K���
&�
� ��
&�I�
� � �
&���M�N
�� K�� �
&�I�
� ��
&�I�
� � �
&
� ���������������� ����� ��� ������=�������� ������ ������ B
��� K� ��*
��� K���*
��� K���*
=��� * K�&
7 �� �+ ����M7N
� �������>������6�� ������������� ���
&������?����6����������������������
*�������� ���������������������
� ���M�N������
���L����L����K�� �� �� �
������L����L����� �� ���9��%6������ ���M,N
�������������� �����L��������������������!�������M�N������
� K�#�� ���M+N
� � K�
�
�
�
�
�
�
� �
R
S||
T||
U
V||
W||� M�����������N
�
��� # K��
� � � �� � �� �� ��
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �� � �
� � � � �� �
� � � � � ��
�
�
�
�
�
�
L
N
MMMMMMMM
O
Q
PPPPPPPP
� � �
� � �
� � �
�
�
�
�
�
�
���M-N
U
V
||||
W
||||
� ������������������ ������������������ �
>� ������ �������������� ������������������� ���������%����������5�����������������$�� ������ ������������� ����������� ������ ������� � ����������K�&�������������� ��5�� ���� �����������������������9��%6�������
)����������������������������� ��� ������������������K�∂∂�
�������������������� ���I
����������� ��������$��� �������������
���K�&��H ���K�#��
� �#�+�&���?����6�����������
��, ��������� ������ ��� �6�������
$��� ���������� �� ���������� ����� ��� ������ �������������������������������)������������������������ ������� ���������� �����������������������������������������������7���������������!����� ����!��������M<N��)��������������������� ����� � ��������� ���������� ��� �� ���� � ����� ������������������� �#���������������������� ������������� ���������� �� ����������$�� ����������������������� ���������������������%������������������ ���
)6;�<;5$&�<�=8>���������� ������������������� ����������������� �������� �
$����������� ��������������� ����������������������B
��� @�����������������#� ���������
���� @�������� �������������� ���� �������� ������ ������������������������������� �������%���������� ����� ����$��������������������� ���������������������#������������ ��������������������� ���� ��������������������$���������������� �����������������8 %���� ������������������������������������
������ ������>��������� �������������������������������� %����������������������� ����� ������������� �������������������� ��������������������������������� ���������������������������������������������������� ����� ��������������� %������������,��
$����������� ��������#� �������������
�, K��A������@����������� ���3 �����������������
K�I��� ���M�N
� ���3 ������������������ ������������K�0��9��������������������� �������
��K���L��� ���M7N
� ���������� ����� �����,����������������������������������� ��� %������������$��� ���� ������������� ����� ���� ������������������������� ������� ������������������������
���K��
7��$�� � ������� ���K���K�
�
7� ��
���z
����������������������������������� ��� %�������������������������,��
��� ��������������� �
�,�K�I � ! ���
�z �I� � � ���
��z �I� � �
�
∑ ���M,N
9�������������������������
��K��
7� � ���
��z �I� � ! ���
�z �I� � � ���
�z �I� � ��
∑ ���M+N
)����������/�� �������� ����� ������������������������!�������� %���������������������� %������������������������������
$������������������ �������������� �������������������������� ���������$���� ����� ������������ ��������� ������ ������������ ��� %�
� ��������3�� ������ ������������ ��������3�$��� ������������������������������ ����������������������������'��������� ������� �
� ������������������9 ���� ������������������ ��� ���� ���
)��#����������������������� ��������� ������ ��������� ������
��K��
7
FHG
IKJ%�@
7
)�����������#� ��������������� ����� ������#� ���������������B
��K��
7z ��7���
& -
��� �������� ��K�&-
7�
� �
��
7
7
7LNMM
OQPPz ��
)� �� ���������� �� ���������������� ��������� �������������������� �� ���� %���� #������������������ �������� �����������7������ ���������������������������������� � ��������
A�������������� ����������� ���������� ���������������3 ���C������ ��������� ��������������#������������������������������������������������������������������������ %�=��������������������� ������������������
>���������� � K�0�I��L�����L�#�
K�I��#
�#+� ���� +�����������������
P
A
BD
�� ������������������ ������������������ �
C�������������������B
��� :����� ������������������ ������������ �������9����L�����������������������������
���� C�� �� �� �������� ��� ����� ������� ��� ����9��� �I�� ����� ��� ������� ��� ����������
�)����#�$ ����+' �"�*�#)�
$����������� �������������������������!������
��K���L��� ���M�N
� ���������� ����� ����������� ���������,�������� %����������
$����� ������������ �����������������,�
�#+� ����
� K��
7 7'#
�, K�I��#
� K��
7 7'#�I�
�
7�#���M7N
$�>��������������� ��� ��������������������������,������
� K��
7
�
7�7
77' # ' #
+ ��;@ ���M,N
�!��������M�N�����M7N�� ������������������������������������#�
9�������� ����������������� ������������
D
R
RD
k2
k1
(a) Single spring (b) Springs in parallel with same displacement
��� ��������������� ��
)� �� �������3����� �����
A����������� ������������� ����� �����������������������+�����B
��K���L��,
�#+� ����
� K�&- � �
��
7
7
7
7
0
LNMM
OQPPz ��
�, K�
0
z �����
� � K�&- � �
����
7
7
7
7
0
FHG
IKJ
−L
NMM
O
QPPz ��� ���M�N
�����K���L��,�
M�N����%���������������������
����� ������������������������������� ������������������������������ ����� ����������� �� ����������� ��������������������������������������������������� ������ ����� ����
����/� �����)����������� � ������)� �� �������3�)�����%������������ ������������ ������� %����������������������������������!��������B
��� �!����� ���������B
����� �����,
��� ������ ���M�N
���� ������������� ������������������������������K�0
�#+� ���, ��������������������
O
Q
PPPP
UVW
y
x
q kN/m
�
U0 �
��=U0
�� ������������������ ������������������ �
���� �������������������������������K� � �������������� ������������ ����������������� ������������ ������������������ ������������� ������� ��������������������������� �������
)�������!���� ����� �����������&�0����'������������������� ���������� ������������ �������������������������� �������� ���
��K� � � ��
0
z ���M7N
� ���������������������������� ������� ��� ��������
∂∂�
��K�� ���M,N
=��������������� �����������������������"������ ��������������� �������� ����������������� ������������������������� ��������������������� ��������� �������������� ������� ������������������������������� ������� %�!������
����� ��� ��
z �K�∂∂z �
��
��
� � �K� � ��
�zK�� � ��0z
$ �� ����� ������������ ������� %������
����K� �� � ��
z �L�
�
� ���� ���M+N
�������������!����� ���������������� ��� ������� ������� ������������������������ ���F���������� ������������������������������ ���������
�!��M+N������������ �����������������������5���� ������#� ������ ����:����������� ��������������� �������������� �������� ����� ��������������������������������������
$����������������� ��������#� ������ ������������ �������
�, K�I� � �� � � ��� �
��
+FHGG
IKJJzz ���M-N
�������� ���������������������
EquilibriumReal
CompatibleVirtual
� �� qT
Tds � �� q FT
dv�T
�� � dvv
��� ��������������� ��
���, K�I� � �� �� � � ��� �
��
+FHGG
IKJJzz ���M.N
9����!��.��4�������� �������
��� K�I���, � � ����.��,��K�0� ���M4N
@�������������������������������L��,
$����!����� �������K�0��� �> ���������� ������� ��>��������� ��
�� K�∂∂
=∑ �
�
%
�
�����K�0 ���M<N
&(�������������������������� �������������� ����������������������������������������� �����������������������������������������!����� ������%�������������������� ���������� ��'�$������
∂∂�
��K�0���������������������!����� ����
)�����������������)� �� �������3�� )����������������������������������������������������� �� ��������� ���������������������� ���� ��������������������!����� ���������������%������������������� �������������
)����������� ����������� ���� ����������.��������F����������� ���3���� �������������������������������������������L�������������������L����� � ����������������������������������� �� ���������� ������ ��� ��� �� ��������� ��� ������� ���� ��� �������� ��� ��������� �� ������������������� �� ������ �����������������$������� �������������������� ������������� ���������������������� �������
�� K������L�����I�� ���
K�∂∂
∂∑ �
��
�L�
�
7�
∂∂ ∂
⋅∑∑7�
� �� �
� � �
� ���� ���M�N
�� K����L��
7��7���L������
�� �!����� �������K�0��)�������������������������� ��� ��I�� ���� �������������!��� ��������� ,������������� �� � �� ���� �3 �
�#+� ���- ����������������������� ������������� � ��
Q1 + �Q1
q1
�q1
Q2 2+ �Q
q2
�q2
Initial Position A
Incremental Position B
�� ������������������ ������������������ �
���K��
7�
∂∂ ∂∑∑
7�� �
� �� �
� � ���M7N
�� �� ���7����������������������������������������������#� ������ �������� ���� � ������������� ������������������
���+��
7��7���K�
�
7��7��, M,N
�!�������M,N���������� ����������� � !�� �������������������������������3 ������������� ��������� ������� ���������������
����� ���������������������������������������������������������������� ����������� �����#��������������� ���� �����������)��� � ���������������������������� ���� ������������� ��
�#+� ���0 ������������ ������ �������#��������������������������
�
q
�
q
�
q
(a) Stableequilibrium
(b) Unstableequilibrium
(c) Incipientstability
2
= 0�
2
< 0�
2
> 0�
�#+� ���1
�
�
q2
q2
q1
q1
2> 0
Stable
�
2
< 0�
�
q2
q1
2
= 0
Neutral
�
��� ��������������� ��
�7�� S��� ���������������
�7� K�0 ����������� ���7� ?0 ����������#����
$������� ����� �� ������������4��������<�
����� �� ������� ���������� ���� ������
��K����L��,� ������
� ��������������������������,�������������������������������������*�
�#+� ���2 +�����������������#�������"�������
�����!��� ������� ��������K�0����������������������������������������������"�� � ��� ������������ ������� ��� �������� ����������� � ��������� ��� ������� ��
������������������ ���
)�����������
��� ������������������ ���� �������������������������������������������� ������� ���
��� �7��� ����������� �� ����� ������������������R�� �� ������������� ������������ ������������ ����������������������� ���
)������������� ���������� $�� ������������ ������� ���������� �������
R
S||
T||
R
S||
T||
qeq � = 0; > 0 �2
q
� = +U V
U
2U > 0
�, U, V
V
CompatibleReal
Virtual Equilibrium
�T
�� � dv � �� FT
q dv � �� qT
dsTv
������� ������������������ ����������� �������������������������
��T�K�0��� ������������������
��� T�L��T��K�0 ���M7N
�� ������������������ ������������������ �
����/� ������� �� �������3� �"��� ��@������������3�!�#2�
�$���������������������� ������ ������ �����
�#+� ���3 ,����#����������������
�#+� ���� �� ����������#���� ������������
��� � K���L��,
� K�&- � �
��
7
7
7
7
0
FHG
IKJz ��
�, K�I���
� � K�&- � �
���� �
7
7
7
7
0
FHG
IKJ �z �
����/� ������� �� �������3����� ����� �"���� ���������� ��@A�� �� �������� ��� ��������������3�!�#!�
����������������������������� ������ ��������#� ������ ����������������������
���� ���B
� K���L��, ���M�N
� K��
7z �P�Q��P�Q��� ���M7N
C�%��� � K�&�
�� K�����
�)�%)� �&%��/�
� � K��&
��
70
7z � ���M,N
u1 u2
l, A, E
q
y
P
�
x
��� ��������������� ��
:�� � K���
��
� � K��& ��
��
7
7
0
FHG
IKJz �� ���M+N
�, K�I� � �� �� �
0z
�, K�I� �� ��
0
z ���M-N
�������������!����+�������-������!�����������
� K��& ��
����
7
7
0
FHG
IKJ −
LNMM
OQPPz ���
�������� �����������>����������������� �����������������F�������������� ��������������������%=O�� �������������������77�
�)��������� ������ ���������>����#� ������ �����������������������
�#+� ���� *�,����-�� �
y
PxP
q kN/m
���� ���� ��� � K���L��� ���M�N
� K�&- � �
��
7
7
7
7
0
FHG
IKJz �� ���M7N
�, K�I�����I��� ���M,N
�
� K��
�
�
�
��
��
� FHG
IKJz ��
�������������!����7�������,������!�����������
� K�
0
� 7
7
7
7 7z FHG
IKJ − F
HGIKJ −
LNMM
OQPP
&- � �
��
� ��
���� ���
� ������������������ ������������������ �
���� � ������� � ����������7,����� ����������� ������������������ �������@� �������� �������������������� ������������������7,����
�#+� ���� %�)��#���� ������ �����"��
%�)�.������������������������������ ������
� � � K����I���
K� �� ��7 7+ �I���
K���� �7 � 7
+ FHG
IKJ
LNMM
OQPP
��
��
O
�I���
�� ������������������
������%���
�
7 � 7
+ FHG
IKJ
LNMM
OQPP
��
��
O
K���L��
7
7��
��
FHG
IKJ
�� K���� ��
7
7
+ FHG
IKJ
LNMM
OQPP
��
���I���
� � K��
7
7��
��
FHG
IKJ �� ���M�N
$ �� ���� ������ ���������!������������� �����������������$�
dy
dx
d�
ds
ds
P x
P
�
y
�
P
l
P
(a) (b)
��� ��������������� �
��K��
7
7
0
��
��
FHG
IKJz ��
�������� ���� ���7+������������������� �������������!�����������!����� ��������� ����� �����> �������������3������������������� �������������������� �����
�#+� ����
k 1 1 k 2 2 k 2 2 k 3 3 k 331 2 3
F2
F3
F1
�#+� ���,
�
�
�
� �
7 7 �
, , 7
== −= −
RS|
T|
UV|
W|
�
� �
� �
H
H
H
���M�N
$�!����� ����!��������� B
− + + =− + + =
− + =
RS|
T|
UV|
W|
' '
' '
'
� � 7 7 �
7 7 , , 7
, , ,
0
0
0
� �
� �
�
���M7N
� ����� �������������!�����������!��M7N������
− + − + =− − + − + =
− − + =
RS|
T|
UV|
W|
' � ' � �
' � � ' � �
' � �
� � 7 7 � �
7 7 � , , 7 7
, , 7 ,
0
0
0
� �
� � � �
� �
���M,N
� �
� �
' ' � ' �
' � ' ' � ' �
' � ' �
� 7 � 7 7 �
7 � 7 , 7 , , 7
, 7 , , ,
+ − =− + + − =
− + =
RS|
T|
UV|
W|���M+N
k1 k2 k32 31
q3q2q1
F2 F3F1
���� ���� �������������� ��A��������� 1 �� 2 ����� 3 ���������������������7-�
)�������7���,�������������������������������#������������� ��������7�����,�� B
�� ������������������ ������������������ �
��� �#��� �����������M+N���
� �' ' '
' ' ' '
' '
�
�
�
� 7 7
7 7 , ,
, ,
�
7
,
0
0
+ −− + −
−
L
N
MMM
O
Q
PPP
RS|
T|
UV|
W|�K�
�
7
,
RS|
T|
UV|
W|���M-N
#" ��������������������� �
��K�
7�'���
7 �L��
7�'7�7
7 �L��
7�',�,
7 �I� ����I� 7�7�I� ,�,
K�
7�'���
7 �L��
7�'7��7�I����
7�L��
7�',��,�I��7�
7�I� ����I� 7�7�I� ,�,
�∂∂�
���K�0��
' � ' � �
' � ' � �
' ' � ' �
� � 7 7 � �
� � 7 7 � �
� 7 � 7 7 �
� 0
0
+ − − − =− − − =
+ − =
RS|
T|
UV|
W|
� � � �
� �
� �
���M.N
∂∂�
�7�K�0�� '7��7�I�����L�',��,�I��7���I���K� 7
I'7���L��'7�L�',��7�I�',�,�K� 7 ���M4N
���∂∂�
�,�K�0�� ',��,�I��7��I� ,�K�0
I',�7�L�',�,�K� ,��� �#��� ������������
� �' ' '
' ' ' '
' '
�
�
�
� 7 7
7 7 , ,
, ,
�
7
,
�
7
,
0
0
+ −− + −
−
L
N
MMM
O
Q
PPP
RS|
T|
UV|
W|=RS|
T|
UV|
W|���M<N
�!��������M-N�����M<N�� ������$�������������� ����
�������� $����������� ����� ������� �������� �������������� �����������
� K��
7� &�
��
��
0 FHG
IKJz0 ����I�7��
� �� K�� ����
/���������� ���������� �
���� ���� C���������!��� ������ ������������
� K�$��L�$7��L�$,�7 ���M�N
=���������K�0��� �0��K�0�������$��K�0����������K�7����7��K�0������
0 K�$��L�7$7�L�+$,
U
V
||||
W
||||
��� ��������������� ��
��$7 K�I7�$,
��M�N������ � K�$,��I7��L��7�
���� K�I$, �������K���
���
��K�7$,��I��L����������K�
�
7+
0
7
,7z $ �I��L���7����I�7 �I$,�
K�7$,7 �
0
7z ���I�1��L��7�����L�7$,
K�7$,7 �
7
,
FHG
IKJ �L�7$,
�∂
∂�
$,
K�+$,�
7
,
FHG
IKJ �L�7�K�0�
��$, K�I�0�4-H
�� K�I$,�K�0�4-
9�������� ���������� �����������
� K�&���
��
K�7�I0�4-���I��L���
� � K���-���I���
��- ��������4���78� ������
$�;�����I;��3����������� ��������������������A� ��;��������<+7I�*�*������C��� ;��3���<4<I�*0*���� �������������&������������������������� ������������%�������������������
������ � ������������������!�������� �
��
7
7�K�I�
�
2�������� �#������������������������������ ��
���� ������ !������������� ��;�����I;��3������� ��� ��� ��� �#�������� ��������� ���������������������� �������������������$���� �#�������������������������������������� �������������� ���� �����������������
$�;�����I;��3������������;��3������� ���� ������� ����$���������������������;��3������������� � ������������ ������������� ����� ���������� �����;�����I;��3�������%���������� ������������ ����
5���� �� ����
A� - K��
3z ������� �� ��y���� ��������������� ���M�N
�� ������������������ ������������������ �
/������ K� ������� �� ��4��K�I��
7
7��
��
FHG
IKJ �L��000��7� ���M7N
��!�������M�N������
- K� �000�
7
77
0
�
� ���
��− F
HGIKJ
FHG
IKJz �� ���M,N
M,N���#���3��� �������3��-�
)��;�����I;��3�������� �����������������������������������������B
- K��
3z ������� �� ���� ���M+N
�#�*�#5�#)� )( �9� ���9)
;�����I;��3������������������ ��� ���������� �#�����������������������������!�������� ������#��������� ������������������������������!��������
)��������������������������� �#�������������������� ����� ��������������� �������� ������ ���� ��������������������������� �#��������������������������������� #� ������������������������ ��B
�
� � �
� �� � � � �� �� �� �� � � � � !� �� �� � � � �� �� �" #
$
$
$
0
�
0
�
0
�
� � � � � � � �
� � � � � � � �
� � � � � � � �
%
(
% � �
�
%
% ' '
' (% (
� � � � � � � �
� � � � 3 � � �
� � � � � � � �
���M�N
� ����3�������'�� �,%����� �������������� ��� ���������������� ��������� �������)��� � ������ ������������������,%�!�������O������������ ������B�����������'�� �������������������%�������������� �������������
���������������!�����������������������#����������;��36���������������������������������)��� ������ � ��������������������������������������� ��� ��������������������������)�������� �����%��������;����������������� �������;��3��$��������������%�������;�����I;��3������
�� ��������������!����� ����������������������� ������������3��
C������ ��������������!��������M�N���
��� ��������������� ��
� �
� 3
� �
%
% � �
% ' '
=
=
=
RS||
T||
UV||
W||
∑∑∑
�
�
�
H
H
H
���M7N
�
� � �
� � �
� � �
� �
� 3
� �
%
% � �
% ' '
=
=
=
RS||
T||
UV||
W||
∑∑∑
�
�
� H
���M,N
$�������� ���������#� ��������� ��������������3�������'�������� ������������ ���
� ���K�∂∂
+∂∂
+∂∂
FHG
IKJ∑ �
��
�
33
�
��
��
''� � �� � � �K�0 ���M+N
$��������,%�!����������B
∂∂�
��K�0�K�
∂∂�
3��K�
∂∂�
�'���M-N
���3�������'�������������� ������!������������� ���7.������������������ �#��������
����������B
�#+� ���- /���0��*""��1������
u2
u3
u1
u x y( , , )z
X
Z
Y
u( , , ) is the actual function, , etc. are the approximated ones depending upon definition3
x y zu u u1 2
�� ������������������ ������������������ �
5���� �� ����
C�%�������
∂∂
7
7
�
��L�
∂∂
7
7
�
��L�! �������K�0 ���M�N
�����>������6��!��������)��������������������� �#������������� �B
��������K��5������� ���M7N
� ���� ����� ��� ������������������������������������K����7��,������%���5�� �����������������������O������������������������������������� ������������� ���������� �����
$���� ����������������������#� ������
���� K��
77
7 7∂∂
FHG
IKJ +
∂∂
FHG
IKJ −
L
NMM
O
QPPzz �
�
�
�! � � �� � � ����� ���M,N
)��� � �����6���������������
∂∂6
��K�0
$ �� �∂∂6
��K�
��
��
��
FHG
IKJ �
��
��
��
FHG
IKJ �
��
LNMM
OQPPzz �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�! � �
�
�
� � � � � � ������K�0 ���M+N
$�!�������M+N�������%�!���������� �����%���������������� �#������������������ ���������� %�����������5�K�7
(;�∂
∂∂
∂∂∂
LNM
OQP
FHG
IKJ
LNMM
OQPPzz �
7 ��
7
��
M N � � � P Q �L�∂
∂∂
∂∂∂
LNM
OQP
FHG
IKJ�
7 ��
7
��
M N � � � P Q
I� ! � ��
7 �
� � � � M N P Q∂
∂LNM
OQP��������K�0 ���M-N
(;�∂∂
LNM
OQP
∂∂
+∂∂
LNM
OQP
FHG
IKJ
∂∂
−IKJzz z7
��
7
�
7
��
7
�� � 7
P Q � � � � � � � � ��������K�0 ���M.N
(;�∂∂
LNM
OQP
∂∂
+∂∂
LNM
OQP
∂∂
FHG
IKJzz 7
�
7
�
7
�
7
� � �������������P�Q�L zz I �!���������7�����������K�0 ���M4N
(;� M2N�P�Q�I�P Q�K�P0Q ���M<N
� M2N�K�∂∂
LNM
OQP
∂∂
+∂∂
LNM
OQP
∂∂
FHG
IKJzz 7
�
7
�
7
�
7
� � � ����������
P Q�K� zz ! ���������7����������