functional analysis and approximation
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Functional Analysis and Approximation Proceedings of the Conference held at the Mathematical Research Institute at Oberwolfach, Black Forest,
\.August 9 - 16, 1980
Edited by P.L. Butzer, Aachen B.Sz.-Nagy, Szeged E. Gorlich, Aachen
Birkhauser Verlag Basel · Boston · Stuttgart
e:.
Eberhard L. Stark
RWTH
Aachen
This paper may be considered as a first attempt in writing down the story of the Bernstein polynomials. It is based more on the bibliographical background than on the trace of the mathematical development. The latter, due to the lack of space, is postponed to another occasion. It leads from the original paper (1912) of S.N. BERNSTEIN to the natural caesura as given by the book (1953) of G.G. LORENTZ. Finally, the suprisingly large quantity of contri butions to the subject is indicated by the additional pages of the bibliog- raphy ending in 1955.
In Dutzenden von Blichern liber Approximationstheorie, Numerik, Analysis,
etc. und mehreren hundert Zeitschriftenartikeln wird die mit Recht so ge
riihmte Arbeit (1] von S.N. BERNSTEIN (1880- 1968) mit dem elementaren wahr
scheinlichkeitstheoretischen Beweis des Approximationssatzes von
K. WEIERSTRASS zitiert: entscheidendes Hilfsmittel sind die auf der Bino
mial - (Bernoulli - ) Verteilung beruhenden "Bernstein - Polynome"
B (f;x) := n
Erstaunt wird man jedoch feststellen mlissen, da2 die bibliographischen An
gaben sowohl bezliglich der Zeitschrift selbst als auch bezliglich des Er
scheinungsjahr.es stark variieren. Die Erklarung ist darin zu finden, da2 die
meisten der Autoren diese nur zwei Seiten umfassende Originalarbeit nie in
den Handen gehabt haben! Dies wird klar, wenn man die ungeahnten Schwierig
keiten bei der Beschaffung der Zeitschrift oder einer Kopie der Arbeit in
Betracht zieht. Exemplare zumindest dieses unter zweisprachigem Titel er
schienenen Bandes der
coosutEH r R XAPbKOBCKArO
cKArD 05LUECTBA MATEMAT~YE xrrr, 1913
sroPAA cEPIA, TDMb lb t dort - nur noch in wenigen und
d UdSSR und se s da ... - auaerhalb er ·n a .. rften vorhanden sei .
u Bibliotheken nvermuteten
zu u beschaffen sind BERNSTEINs "Gesammelte Werke.'' 1·ch einfacher zu wesent i . ri..inglich fremdsprachlichen Veroffent-
. d J·edoch die ursp · h n sin ·· [A2]: in 1 ne . . h nur in russischer Ubersetzung - ohne ge-
ERNSTEINs einhe1tl1c . Iichungen B f. d (Die provisorische englische Teilausgab
_ zu in en· e . Wiederholungen . .. w1sse nthalt lediglich die Ubersetzungen der in 3] der Gesamrnelten Werke e .
~ Publikationen - bzgl. der n1cht erfaBten Ar- russischer Sprache abgef aBten . . .. .
. , _ auf die Originalveroffentlichungen verwies ') beiten wird - we lch' Ironie. . [ ] . . en.
. D t · rungen we rd en 1n A 2 w1e auch in den BERNSTEIN Die bibliograph1schen a ie
. .. t "ke ln etc (mi t entsprechendem Werksverzeichnis vgl gewidmeten Jub1laumsar l • . . ' •
fA 61
_ fA 13
)) re in chronologisch vorgenommen: so wird [I ] un ter 1912, dem tat-
sachlichen Erscheinungsjahr des ersten Heftes, No 1, aufgeflihrt, obwohl der
Band J3 dieser zeitschrift redaktionell unter der Jahreszahl 1913 registriert
ist (s. obiges Zitat).
Autoren bzgl. des erstmaligen Auftretens der Bernstein - Polynome auf die
im wesentlichen inhal tsgleichen Arbei ten [A I ] bzw. [2], au ch aus dem Jahre
1912, verweisen (letztere wird in [A 2, I , p. 567] unter Nr. 43 zeitlich vor
[A I] unter Nr. 46 eingeordnet). Seiner Dissertation [ 2 ] fiigt BERNSTEIN
selbst die Anmerkung bei: " •.• In addition, I deem it necessary to note that
with the exception of the two Appendices to the four th and fifth chapters
the present k · wor 18 a minimally edited translation of my monograph of the same title , which won the prize of the Belgian Academy, to which it was sent
1 )w.. . ort~1che Wiedergabe d
schl1eBlich also der er Angaben des Titelblattes dieses Bandes (ein- Abweichungen von der heutigen Rechtschreibung).
Sta
in June of 1911." (A2,I,p.12, footnote 2;A3,p.3/4] 2 ) Festzustellen ist
jedoch, daB die Bernstein - Polynome in [A 1] i..iberhaupt nicht auftreten,
sondern gerade im Appendix zu Kapitel V unter der Uberschrift "Expansion
of arbitrary functions in nonnal series" [A2, I, p. 79 - 84; A3, p. 68 - 73];
diesem Problemkreis ist dann auch die ausfi..ihrlichere Darstellung in D ] ge
widmet. AbschlieBend sei darauf hingewiesen, daB die in [I] bzw. [2] mittels
der Bernstein - Polynome gefi.ihrten Beweise des WeierstraB - Satzes erheblich
voneinander abweichen - was aus vielen Zitaten aucb nicht hervorgeht!
Nach diesem Versuch, die "Entstehungsgeschichte" der Bernstein-Polynome
zu rekonstruieren, sollen daran anknlipfend die Anfange ihrer auBerst inter
essanten '~usbreitungsgeschichte'' verfolgt werden. Vor allem beabsichtigt
ist auch, eine, cum grano salis, m6glichst llickenlose Bibliographie der
Bernstein - Polynome bis zum Jahre 1955 einschlieBlich zusammenzustellen.
(DaB zahlreiche, insbesondere russische Publikationen trotz aller Bemlihungen
nicht beschaffbar waren, sondern nur <lurch Referate, Zitate, etc. als
existent nachgewiesen werden konnten, dilrfte in der Natur der Sache liegen.
Allerdings erhebt sich dabei die Frage, worin der Wert von z.B. nach 1945
erschienenen Arbeiten zu sehen ist, die nicht allgemein zuganglich sind ?)
Die Bibliographie nach 1955 (vorerst) abzubrechen, wird durch mehrere
Griinde gerechtfertigt. Das Erscheinen der Monographie "Bernstein Polynomials"
(90] von G.G. LORENTZ (siehe dazu auch den Jubilaumsband [A14]) im Jahre 1953
-undderenAuswirkungenab 1955 - stellt eine nati.irliche Zasur dar. 3) -
2 ) Auf dem Titelblatt zu [Al]: "Memoire couronne par la Classe des sciences,
dans sa seance du 15 decembre 1911." bzw. aus dem Inhaltsverzeichnis" ... , medaille d 'or en 1911." - Die offentliche Verteidigung der Doktor - Dis sertation erfolgte in Har'kov am 19. Mai 1913; siehe den aus diesem An laB von BERNSTEIN gehaltenen Vortrag f.A2, I, p. 209 - 214; A3, p. 109-114] ·
3 > Der erste Satz der Einleitung zu (90, p. vii] "This contribution ~ttempts
to give an exhaustive exposition of main facts about the Bernstein polyn omials and to discuss some of their applications in Analysis.", mag ange sichts der Fillle des heute zu verzeichnenden Materials als zu weitgesteckt erscheinen (so werden z.B. (36],[54],[58],[80] vermiBt); jedoch waren offenkundig die Intentionen dieses so verdienstvollen Buches andere __ - ~uf neuere Entwicklungen, auch abstrakter Art, hinfilhrende - als Vollstandig keit der Literatur.
446
. _ Polynomen nachempfundenen Verallgetn . Bernstein A .. elne ....
Uber den b gl der ersten nsatze sieh [ Publikationen . o eratoren z . . e 52 J, A Proximat1ons P . 'h Dies wird 1nsbesondere durch d en von p - mehren sic . as rung ] [
9 J]
1 [82 ] [88], [92 , • . lineare Operatoren von H. Bo~_ [73 ' , • m t··r positive
Testfunktionenkri teriu u d s gerade auch die Bernstein - Po1,_ efOrdert, a . J"Oll!e
KOROVKIN (1952/53) g inem v5llig neuen Aspekt ersche· P. P. typ unter e lnen h tern Proto ·· l · h d · . einfac s ] _ Sehl ieBl ich ermog ic t 1e groae Zah als deren auch [80 • ldet
l aBt: vgl. insbesondere A beiten eine sich durchaus bestat·
. datierenden r . l&ende . · das Jahr l 95
5 zu b 1. ten i.iber Bernstein - Polynome und de"' bis in f d" Flut der Ar e •en 1 tion au ie
Extrapo a hf lgenden Jahren. · den nae o Verallgemeinerungen in
. tehe kollllllentarlos das "erstaunliche Rut ,, Zu Beginn dieses Abschn1tts s . ) z ~
S. t ov (Charkow) 4
in "Fortsehritte der Mathematik" Refer at von Prof. D. in z [ l ] 43/1912 (1915) 301 (also auch bier die Einordnung von in <las Jahr 19
12 ):
Funktion, dann geniigen die Polynome "Ist F(x) eine kontinuierliche
n m n-m E = \ F (m) Cm x ( 1-x) ' n l n n
0
/F(x)-E J < £." n
scheinlichkeitsrechnung" nachzulesen, nicht - wie vom Thema her iiblich und zu erwarten - im Abschnitt "Reihen"!)
In einem Lehrbuch erscheinen die Bernstein - Polynome zum ersten Mal er-
staunlicherweise bereits im Jahre 1913, und zwar im zweiten Band von
R. d 'ADHEMA.Rs "Lec;ons sur les Principes d' Analyse" [ 4], e inem von mehreren
seinerzeitigen Lehr- und tibungsbiichern desselben Verfassers (der zu [4] ge- horende erste Band entha··it d · · w · traB-
zu ieser Zeit schon Beweisskizzen zum e1ers Approximationssatz mittels der s1·ngu1a··ren I 1 . o
ntegra e von We1erstra1~, 4)
D D.M.M.SS~ncov (IB 57
- l946); s. BernStetn SN -L Ja Gi·rvsval'd· Obituary: · lncov U 8 h · M ' • · • • · MR 10, 420: pe l at. Nauk_g_, no. i (~)(1947) 191-206 (Russ.). -
- ----------------- Star1~ -------------------- Zel..tigte dann 1925 das Erschei Erf olg nen de~
durchschlagenderen GO.. "Aufgaben und Lehrsatze aus d umso / A G SZE s er "-a POLY - • Q.ll -
A fl age von G. . Aufgaben ( 144 - 146) am Ende des 3
ers ten u · isol 1erte . · Ra- • 111 [I l , p. 66] : drei BERNS TE IN gewidmet ; auf die Or. .
1ys1s, . d dem Satz von lglna1- 12 Abschnitt 510
.. ng,en [ 11, p. 230] verwiesen. Wegen d pitels · . in den Losu er
[I] (1912 !) wi.rd .. glichkeit der BERNSTEINschen Arb · quelle . htlichen Unzugan e1t Ver- schon damals offens1c . hlreiche nicht - russische Autoren (
f lgenden Zeit za eht- weisen in der nun o f diese Quelle; siehe z.B. [12],[18] [23]
. ') zumindest auch au , . licherwe1se ·
. bro dieser Urgeschichte der Bernstein_ Poly- f.. n bleibt im Ra en
Hinzuzu uge . h Polynome" wohl von F. HAUSDORFF [S "ff "S Bernste1nsc e
nome, daB der Begn ' .. t wurde; bei I. CHLODOVSKY [I 3] finden sich ' 243, FuBnote)(l923) geprag . ..
P· . "((I l] wird nicht erwahnt); "polynomes de M.S. Bernstein
· 1 " auf mals "Bernstein polynomia s •
. in [23] treten erst-
h zahlr,eichen Parallelentwicklungen, Wiederent- auch in diesem Zeitraum sc on deckungen,etc.) chronologisch zu verfolgen, ist an dieser Stelle aus Platz-
grilnden _ noch _ nicht moglich. Zusatzlich wird das Vorhaben dadurch erschwert,
daa vie le Arbeiten - noch - nicht zuganglich sind; und se lb st deren teilweise
verfilgbaren Referate enthalten widersprilchliche Wertungen.
Von Interess,e ware auch zu ergrlinden, warum zahlreiche Bucher und tiber
sichtsartikel (bis 1955), die den WeierstraB-Approx~mationssatz in aller Aus
filhrlichkeit behandeln, die Bernstein - Polynome ilbergehen ? ( ! )
. Der Verfasser dankt allen, die mitgeholfen haben, diese Bibliographie w7n1gstens auf den hier vorgelegten Stand zu bringen. Stellvertretend gilt ein bes~nderes Wort des Dankes Prof. J. Musielak, Poznan, filr die entsprecren d7n Kopien aus dem Buch ( 10]: flir lange Zeit erschien es hoffnungslos, auch nur ~:n Exemplar dieses Bandes ausfindig zu machen. Das Literaturverzeichnis wird .huckden und F:hler :nthalten. Der Verfasser bittet alle am Thema Interessierten, 1 n arauf h1nzuwe1sen d . hm Q . ( insbesond u~ 1 uellen zu und Belege von fehlenden Arbe1ten
ere auch der mit * k . ge ennze1chneten)zuganglich zu machen.
AbschlieBend sei vennerkt , daB diese Arbeit aus AnlaB von BERNSTEINs lOO. Geburtsta d · g, er im Jahre 1980 b ' 1959) e enso wie der von L. FEJER ( 1880 - und F. RIESZ ( 1880 - 1956) f . so · · · ge eiert werden konnte, niedergescJ..rieben wurde: .
se1 s1e -neben J .L.B. J. 1 Cooper d d · 'd et
tst - auch dem Entdecker , em ieser Tagungsband als ganzes gew1 ID
der Bernstein - Polynome mi tzugedacht.
t; 1
d soweit dies maglich war, die ent-
Angaben wur en, l)ell bibliograpbiscben dabei bedeuten (wie Ublich und in zeit-
d Referate binzugefugt;
FdM
Zbl
MR
RZM
h .. ber die For s - Jahrbuc u .. -thematik und ihre Grenzgebiete; Zentral]?!att fur Ma -Mathematical !eviews; • - . ~ 1 Ma.temat1ka. Referativny1 !urna • --
Z · hriften sind . Abkurzungen der eitsc D1e .f · br1 ten
die in den MR gebrauchlichen bzw. _
ihr Erscheinen eingestellt haben _ falls die entsprechenden Ze1tsc
jenen angeglichen. . . . d
B die 80
gekennze1chnete Publ1kat1on dem Verfa _ Ein Stern soll andeuten, a s
. . (O .• al Kopie "Gesammelte Werke", etc.) zur Verfu- ser in ke1ner Form rigin ' '
.h E . t nz ist (also) lediglich durch Referate oder Zitate gung stand: 1 re xis e
nachgewiesen.
[ 1 ]
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IPATOV A F Estimation of the error and ' • • ' S N
functions of two variables by the · ·
(Russ.) . 4 Petrozavodsk. U~en. Zap. Gos. Univ. -' MR Q #A 2681 ; RZM 1958 # 3654 ' oly-ce of the P
. . the convergen rivatives IPATOV, A. F. , Some theorems concern~(; s) Es and of the de
nomials B (f ·x,y) formed from ' n , m ' ) 4 ( 1 95 5) 4 9 - 5 8 ( I 95 7) .
of these polynomials (Russ· · . 4 no. v z Gos Univ. _, -
Petrozavodsk. Ucen. ap. 6ss MR 23 #A 2680; RZM 1958 # 3 .
no.
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Functional Analysis and Approximation Proceedings of the Conference held at the Mathematical Research Institute at Oberwolfach, Black Forest,
\.August 9 - 16, 1980
Edited by P.L. Butzer, Aachen B.Sz.-Nagy, Szeged E. Gorlich, Aachen
Birkhauser Verlag Basel · Boston · Stuttgart
e:.
Eberhard L. Stark
RWTH
Aachen
This paper may be considered as a first attempt in writing down the story of the Bernstein polynomials. It is based more on the bibliographical background than on the trace of the mathematical development. The latter, due to the lack of space, is postponed to another occasion. It leads from the original paper (1912) of S.N. BERNSTEIN to the natural caesura as given by the book (1953) of G.G. LORENTZ. Finally, the suprisingly large quantity of contri butions to the subject is indicated by the additional pages of the bibliog- raphy ending in 1955.
In Dutzenden von Blichern liber Approximationstheorie, Numerik, Analysis,
etc. und mehreren hundert Zeitschriftenartikeln wird die mit Recht so ge
riihmte Arbeit (1] von S.N. BERNSTEIN (1880- 1968) mit dem elementaren wahr
scheinlichkeitstheoretischen Beweis des Approximationssatzes von
K. WEIERSTRASS zitiert: entscheidendes Hilfsmittel sind die auf der Bino
mial - (Bernoulli - ) Verteilung beruhenden "Bernstein - Polynome"
B (f;x) := n
Erstaunt wird man jedoch feststellen mlissen, da2 die bibliographischen An
gaben sowohl bezliglich der Zeitschrift selbst als auch bezliglich des Er
scheinungsjahr.es stark variieren. Die Erklarung ist darin zu finden, da2 die
meisten der Autoren diese nur zwei Seiten umfassende Originalarbeit nie in
den Handen gehabt haben! Dies wird klar, wenn man die ungeahnten Schwierig
keiten bei der Beschaffung der Zeitschrift oder einer Kopie der Arbeit in
Betracht zieht. Exemplare zumindest dieses unter zweisprachigem Titel er
schienenen Bandes der
coosutEH r R XAPbKOBCKArO
cKArD 05LUECTBA MATEMAT~YE xrrr, 1913
sroPAA cEPIA, TDMb lb t dort - nur noch in wenigen und
d UdSSR und se s da ... - auaerhalb er ·n a .. rften vorhanden sei .
u Bibliotheken nvermuteten
zu u beschaffen sind BERNSTEINs "Gesammelte Werke.'' 1·ch einfacher zu wesent i . ri..inglich fremdsprachlichen Veroffent-
. d J·edoch die ursp · h n sin ·· [A2]: in 1 ne . . h nur in russischer Ubersetzung - ohne ge-
ERNSTEINs einhe1tl1c . Iichungen B f. d (Die provisorische englische Teilausgab
_ zu in en· e . Wiederholungen . .. w1sse nthalt lediglich die Ubersetzungen der in 3] der Gesamrnelten Werke e .
~ Publikationen - bzgl. der n1cht erfaBten Ar- russischer Sprache abgef aBten . . .. .
. , _ auf die Originalveroffentlichungen verwies ') beiten wird - we lch' Ironie. . [ ] . . en.
. D t · rungen we rd en 1n A 2 w1e auch in den BERNSTEIN Die bibliograph1schen a ie
. .. t "ke ln etc (mi t entsprechendem Werksverzeichnis vgl gewidmeten Jub1laumsar l • . . ' •
fA 61
_ fA 13
)) re in chronologisch vorgenommen: so wird [I ] un ter 1912, dem tat-
sachlichen Erscheinungsjahr des ersten Heftes, No 1, aufgeflihrt, obwohl der
Band J3 dieser zeitschrift redaktionell unter der Jahreszahl 1913 registriert
ist (s. obiges Zitat).
Autoren bzgl. des erstmaligen Auftretens der Bernstein - Polynome auf die
im wesentlichen inhal tsgleichen Arbei ten [A I ] bzw. [2], au ch aus dem Jahre
1912, verweisen (letztere wird in [A 2, I , p. 567] unter Nr. 43 zeitlich vor
[A I] unter Nr. 46 eingeordnet). Seiner Dissertation [ 2 ] fiigt BERNSTEIN
selbst die Anmerkung bei: " •.• In addition, I deem it necessary to note that
with the exception of the two Appendices to the four th and fifth chapters
the present k · wor 18 a minimally edited translation of my monograph of the same title , which won the prize of the Belgian Academy, to which it was sent
1 )w.. . ort~1che Wiedergabe d
schl1eBlich also der er Angaben des Titelblattes dieses Bandes (ein- Abweichungen von der heutigen Rechtschreibung).
Sta
in June of 1911." (A2,I,p.12, footnote 2;A3,p.3/4] 2 ) Festzustellen ist
jedoch, daB die Bernstein - Polynome in [A 1] i..iberhaupt nicht auftreten,
sondern gerade im Appendix zu Kapitel V unter der Uberschrift "Expansion
of arbitrary functions in nonnal series" [A2, I, p. 79 - 84; A3, p. 68 - 73];
diesem Problemkreis ist dann auch die ausfi..ihrlichere Darstellung in D ] ge
widmet. AbschlieBend sei darauf hingewiesen, daB die in [I] bzw. [2] mittels
der Bernstein - Polynome gefi.ihrten Beweise des WeierstraB - Satzes erheblich
voneinander abweichen - was aus vielen Zitaten aucb nicht hervorgeht!
Nach diesem Versuch, die "Entstehungsgeschichte" der Bernstein-Polynome
zu rekonstruieren, sollen daran anknlipfend die Anfange ihrer auBerst inter
essanten '~usbreitungsgeschichte'' verfolgt werden. Vor allem beabsichtigt
ist auch, eine, cum grano salis, m6glichst llickenlose Bibliographie der
Bernstein - Polynome bis zum Jahre 1955 einschlieBlich zusammenzustellen.
(DaB zahlreiche, insbesondere russische Publikationen trotz aller Bemlihungen
nicht beschaffbar waren, sondern nur <lurch Referate, Zitate, etc. als
existent nachgewiesen werden konnten, dilrfte in der Natur der Sache liegen.
Allerdings erhebt sich dabei die Frage, worin der Wert von z.B. nach 1945
erschienenen Arbeiten zu sehen ist, die nicht allgemein zuganglich sind ?)
Die Bibliographie nach 1955 (vorerst) abzubrechen, wird durch mehrere
Griinde gerechtfertigt. Das Erscheinen der Monographie "Bernstein Polynomials"
(90] von G.G. LORENTZ (siehe dazu auch den Jubilaumsband [A14]) im Jahre 1953
-undderenAuswirkungenab 1955 - stellt eine nati.irliche Zasur dar. 3) -
2 ) Auf dem Titelblatt zu [Al]: "Memoire couronne par la Classe des sciences,
dans sa seance du 15 decembre 1911." bzw. aus dem Inhaltsverzeichnis" ... , medaille d 'or en 1911." - Die offentliche Verteidigung der Doktor - Dis sertation erfolgte in Har'kov am 19. Mai 1913; siehe den aus diesem An laB von BERNSTEIN gehaltenen Vortrag f.A2, I, p. 209 - 214; A3, p. 109-114] ·
3 > Der erste Satz der Einleitung zu (90, p. vii] "This contribution ~ttempts
to give an exhaustive exposition of main facts about the Bernstein polyn omials and to discuss some of their applications in Analysis.", mag ange sichts der Fillle des heute zu verzeichnenden Materials als zu weitgesteckt erscheinen (so werden z.B. (36],[54],[58],[80] vermiBt); jedoch waren offenkundig die Intentionen dieses so verdienstvollen Buches andere __ - ~uf neuere Entwicklungen, auch abstrakter Art, hinfilhrende - als Vollstandig keit der Literatur.
446
. _ Polynomen nachempfundenen Verallgetn . Bernstein A .. elne ....
Uber den b gl der ersten nsatze sieh [ Publikationen . o eratoren z . . e 52 J, A Proximat1ons P . 'h Dies wird 1nsbesondere durch d en von p - mehren sic . as rung ] [
9 J]
1 [82 ] [88], [92 , • . lineare Operatoren von H. Bo~_ [73 ' , • m t··r positive
Testfunktionenkri teriu u d s gerade auch die Bernstein - Po1,_ efOrdert, a . J"Oll!e
KOROVKIN (1952/53) g inem v5llig neuen Aspekt ersche· P. P. typ unter e lnen h tern Proto ·· l · h d · . einfac s ] _ Sehl ieBl ich ermog ic t 1e groae Zah als deren auch [80 • ldet
l aBt: vgl. insbesondere A beiten eine sich durchaus bestat·
. datierenden r . l&ende . · das Jahr l 95
5 zu b 1. ten i.iber Bernstein - Polynome und de"' bis in f d" Flut der Ar e •en 1 tion au ie
Extrapo a hf lgenden Jahren. · den nae o Verallgemeinerungen in
. tehe kollllllentarlos das "erstaunliche Rut ,, Zu Beginn dieses Abschn1tts s . ) z ~
S. t ov (Charkow) 4
in "Fortsehritte der Mathematik" Refer at von Prof. D. in z [ l ] 43/1912 (1915) 301 (also auch bier die Einordnung von in <las Jahr 19
12 ):
Funktion, dann geniigen die Polynome "Ist F(x) eine kontinuierliche
n m n-m E = \ F (m) Cm x ( 1-x) ' n l n n
0
/F(x)-E J < £." n
scheinlichkeitsrechnung" nachzulesen, nicht - wie vom Thema her iiblich und zu erwarten - im Abschnitt "Reihen"!)
In einem Lehrbuch erscheinen die Bernstein - Polynome zum ersten Mal er-
staunlicherweise bereits im Jahre 1913, und zwar im zweiten Band von
R. d 'ADHEMA.Rs "Lec;ons sur les Principes d' Analyse" [ 4], e inem von mehreren
seinerzeitigen Lehr- und tibungsbiichern desselben Verfassers (der zu [4] ge- horende erste Band entha··it d · · w · traB-
zu ieser Zeit schon Beweisskizzen zum e1ers Approximationssatz mittels der s1·ngu1a··ren I 1 . o
ntegra e von We1erstra1~, 4)
D D.M.M.SS~ncov (IB 57
- l946); s. BernStetn SN -L Ja Gi·rvsval'd· Obituary: · lncov U 8 h · M ' • · • • · MR 10, 420: pe l at. Nauk_g_, no. i (~)(1947) 191-206 (Russ.). -
- ----------------- Star1~ -------------------- Zel..tigte dann 1925 das Erschei Erf olg nen de~
durchschlagenderen GO.. "Aufgaben und Lehrsatze aus d umso / A G SZE s er "-a POLY - • Q.ll -
A fl age von G. . Aufgaben ( 144 - 146) am Ende des 3
ers ten u · isol 1erte . · Ra- • 111 [I l , p. 66] : drei BERNS TE IN gewidmet ; auf die Or. .
1ys1s, . d dem Satz von lglna1- 12 Abschnitt 510
.. ng,en [ 11, p. 230] verwiesen. Wegen d pitels · . in den Losu er
[I] (1912 !) wi.rd .. glichkeit der BERNSTEINschen Arb · quelle . htlichen Unzugan e1t Ver- schon damals offens1c . hlreiche nicht - russische Autoren (
f lgenden Zeit za eht- weisen in der nun o f diese Quelle; siehe z.B. [12],[18] [23]
. ') zumindest auch au , . licherwe1se ·
. bro dieser Urgeschichte der Bernstein_ Poly- f.. n bleibt im Ra en
Hinzuzu uge . h Polynome" wohl von F. HAUSDORFF [S "ff "S Bernste1nsc e
nome, daB der Begn ' .. t wurde; bei I. CHLODOVSKY [I 3] finden sich ' 243, FuBnote)(l923) geprag . ..
P· . "((I l] wird nicht erwahnt); "polynomes de M.S. Bernstein
· 1 " auf mals "Bernstein polynomia s •
. in [23] treten erst-
h zahlr,eichen Parallelentwicklungen, Wiederent- auch in diesem Zeitraum sc on deckungen,etc.) chronologisch zu verfolgen, ist an dieser Stelle aus Platz-
grilnden _ noch _ nicht moglich. Zusatzlich wird das Vorhaben dadurch erschwert,
daa vie le Arbeiten - noch - nicht zuganglich sind; und se lb st deren teilweise
verfilgbaren Referate enthalten widersprilchliche Wertungen.
Von Interess,e ware auch zu ergrlinden, warum zahlreiche Bucher und tiber
sichtsartikel (bis 1955), die den WeierstraB-Approx~mationssatz in aller Aus
filhrlichkeit behandeln, die Bernstein - Polynome ilbergehen ? ( ! )
. Der Verfasser dankt allen, die mitgeholfen haben, diese Bibliographie w7n1gstens auf den hier vorgelegten Stand zu bringen. Stellvertretend gilt ein bes~nderes Wort des Dankes Prof. J. Musielak, Poznan, filr die entsprecren d7n Kopien aus dem Buch ( 10]: flir lange Zeit erschien es hoffnungslos, auch nur ~:n Exemplar dieses Bandes ausfindig zu machen. Das Literaturverzeichnis wird .huckden und F:hler :nthalten. Der Verfasser bittet alle am Thema Interessierten, 1 n arauf h1nzuwe1sen d . hm Q . ( insbesond u~ 1 uellen zu und Belege von fehlenden Arbe1ten
ere auch der mit * k . ge ennze1chneten)zuganglich zu machen.
AbschlieBend sei vennerkt , daB diese Arbeit aus AnlaB von BERNSTEINs lOO. Geburtsta d · g, er im Jahre 1980 b ' 1959) e enso wie der von L. FEJER ( 1880 - und F. RIESZ ( 1880 - 1956) f . so · · · ge eiert werden konnte, niedergescJ..rieben wurde: .
se1 s1e -neben J .L.B. J. 1 Cooper d d · 'd et
tst - auch dem Entdecker , em ieser Tagungsband als ganzes gew1 ID
der Bernstein - Polynome mi tzugedacht.
t; 1
d soweit dies maglich war, die ent-
Angaben wur en, l)ell bibliograpbiscben dabei bedeuten (wie Ublich und in zeit-
d Referate binzugefugt;
FdM
Zbl
MR
RZM
h .. ber die For s - Jahrbuc u .. -thematik und ihre Grenzgebiete; Zentral]?!att fur Ma -Mathematical !eviews; • - . ~ 1 Ma.temat1ka. Referativny1 !urna • --
Z · hriften sind . Abkurzungen der eitsc D1e .f · br1 ten
die in den MR gebrauchlichen bzw. _
ihr Erscheinen eingestellt haben _ falls die entsprechenden Ze1tsc
jenen angeglichen. . . . d
B die 80
gekennze1chnete Publ1kat1on dem Verfa _ Ein Stern soll andeuten, a s
. . (O .• al Kopie "Gesammelte Werke", etc.) zur Verfu- ser in ke1ner Form rigin ' '
.h E . t nz ist (also) lediglich durch Referate oder Zitate gung stand: 1 re xis e
nachgewiesen.
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