funciones de una variable real

:f X Y

, , , , , , , , , , 0 0 1 1 2 4 1 1 2 4 f

2, / f x y y x x

f

x VARIABLE INDEPENDIENTE O VARIABLE LIBREy VARIABLE DEPENDIENTE

Sean X y Y dos subconjuntos de los Números Reales. Una función f es una relación donde a todos los elementos de X se le asocia uno y sólo un elemento de Y. Es decir:

DEFINICIÓN

Ejemplo. 2 4

1 1

0 01

2

1

:f X Y DOMINIO

Dom f X

• Raíces pares de números negativos.

Restricciones:

El dominio natural 2( )f x x

Ejemplo s

Dom f

( ) 2 1f x x Dom f

3 2

( )1

xf x

x 1Dom f

• División entre cero.

2

DOMINIO

( ) 4f x x 4 0x 4x 4,Dom f

3 2

( )1

xf x

x

2, 1 ,

3Dom f

3 2

01

x

x

3 2

( ) 41

xf x x

x 4 0x

3 20

1

x

x 4,Dom f

21( )

2 3

x xf x

x 1,1Dom f

2 3( )

1 2

x xf x

x 2,3 3,Dom f

3

:f X Y RANGOrg f Y

( ) 2 1f x x

EjemplosDespejamos x

12 1

2

yy x x rg f

2( )f x x 2y x x y rg 0,f

3 2

( )1

xf x

x

3 2

1 3 21

xy x y x

x 3 2xy y x

3 2xy x y

2

3

yx

y rg 3f

4

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REAL

Conjunto de puntos, representados en el plano cartesiano, correspondiente a los pares ordenados de la función.

UTILIDAD

1. DETERMINAR EL RANGO DE UNA RELACIÓN.

Rango

Dominio

y

x

5

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REALUTILIDAD

2. Determinar si un lugar geométrico es función o no.

Para toda función, “cualquier recta vertical deberá cortar a su gráfica en sólo un punto”.

y

x

1y

2y

1x

NO FUNCIÓN

6


3. DETERMINAR SI UNA FUNCIÓN ES INYECTIVA O NO

y

x

“Toda recta horizontal deberá cortar a su gráfica en sólo un punto”

INYECTIVA

y

x

NO INYECTIVA

7

x y


4. DETERMINAR SI UNA FUNCIÓN ES SOBREYECTIVA O NO rg f Y:f X Y

5. Determinar si la función es Biyectiva. Ejercicio 1( ) 2 1 ;f x x x

Graficar punto a punto

3 7

2 5

1 3

0 1

1 1

2 3

3 5

x yTabla de valores

8

x y

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REAL

Ejercicio 2 2( ;)f x x x

93

42

11

00

11

42

93

yxTabla de valores

9

CLASES DE FUNCIONES

FUNCIÓN ESTRICTAMENTE CRECIENTE

2 1x x 2 1f x f x

2x1x

2f x

1f x

10

CLASES DE FUNCIONES

FUNCIÓN CRECIENTE

2 1 2 1x x f x f x

11

CLASES DE FUNCIONES

FUNCIÓN ESTRICTAMENTE DECRECIENTE

2 1x x 2 1f x f x

12

CLASES DE FUNCIONES

FUNCIÓN MONÓTONA

.

Una función es Monótona en un intervalo si y sólo si es estrictamente creciente o estrictamente decreciente en ese intervalo

Defina FUNCIÓN DECRECIENTE

Ejercicio

13

Gráfica simétrica al eje

CLASES DE FUNCIONES.

FUNCIÓN PAR

( ) ( )f x f x

y

14


FUNCIÓN PAR

2f x x

f x 2x 2x f x f x

4

22

1

1

xf x

x

4 4

2 22 2

1 1

11

x xf x f x f x

xx

15


FUNCIÓN IMPAR ( ) ( )f x f x

2 8

1 1

0 0

1 1

2 8

x y

gráfica simétrica al origen

16

3f x x


2( ) 1f x x

Determine si es par o imparEjercicio

4( ) 3 2g x x x

4 2( ) 3 4h x x x

17

.TECNICAS DE GRAFICACIÓNDesplazamientos

HORIZONTALES f x a

2f x x 23 y x

A la derecha

x y

3

3,0

04 4,1 12

2,1

15

5,4

41

1,4

4

18

.TECNICAS DE GRAFICACIÓN

Desplazamientos f x a

23 y x

A la izquierdaHORIZONTALES

x y

3 04 12 15 41 4

3,0

4,1 2,1

5,4 1,4

19


VERTICALES f x a Hacia arriba

2f x x

2 2 y x

x y

0 21 32 61 32 6

0,2

1,3

2,6

1,3

1,4

20


Desplazamientos

VERTICALES

f x a Hacia abajo

2 2 y x

x y

0 21 12 21 12 2 0, 2

1, 1

2,2

1, 1

2,2

21


23 2y x

• Desplazada 3 unidades a la derecha

• Desplazada 2 unidades hacia abajo

22


REFLEXIONES

2( )f x x

CON RESPECTO AL EJE x ( )f x

x y

0 01 11 1

0,0

1, 1 1, 1

23

.TECNICAS DE GRAFICACIÓNREFLEXIONES

22 3 y x

• Desplazada 2 unidades a la izquierda

• Desplazada 3 unidades hacia arriba

24


REFLEXIONES

( )f x 23 4x

23 4 f x x

2( ) 3 4f x x

CON RESPECTO AL

EJE y

( )f x

25

.

TECNICAS DE GRAFICACIÓN

Comprensiones y Alargamientos

2y x 22y x

Alargamiento con respecto al eje y( )af x 1a

x y

0 01 21 2

0,0

1, 2 1, 2

26

.



212y x

Comprensión con respecto al eje y( )af x 0 1a

x y

0 01 1

2

2 21 1

2

2 2 0,0

121,

2, 2

121,

2, 2

2y x

27

.



Alargamiento con respecto

al eje x

( )f ax

0 1a y f x

12y f x

Alargada al doble horizontalmente

28

.



Comprensión con respecto

al eje x

( )f ax

1aComprimida a la mitad

horizontalmente

y f x

2y f x

29

.

TECNICAS DE GRAFICACIÓNEjercicio 1

Sea

1

2 12

y f x

Graficar

30

.


Solución

1

Desplazada una unidad a la izquierda

1y f x

31

.


2

Comprimida a la mitad

1

12

y f x

32

.


3

Reflejada con respecto al eje x

1

12

y f x

33

.


4

Desplazada 2 unidades hacia arriba.

1

2 12

y f x

34

.


Ejercicio 2

2 2 1y g x

Graficar

35

.

TECNICAS DE GRAFICACIÓNEjercicio

f x

Graficar

f x

2f x

2 f x

12 f x

2 f x

2 2f x

12 2f x

1

2

3

4

5

6

7

8

36

.FUNCIÓN LINEAL

• Regla de correspondencia

y mx b m PENDIENTEb Intercepto con el eje y

0mRecta Creciente

0mRecta Decreciente

( ) 2 1f x x ( ) 3 1f x xGraficar

• Su gráfica es una recta

37

.FUNCIÓN LINEAL0m

RECTAS HORIZONTALES

( ) 2f xGraficar

y b

FUNCIÓN CONSTANTE

( ) 0f x

38

.

Rectas Verticales

1x

0xGraficar

39

.FUNCIÓN LINEAL

0b

y mx

Rectas que contienen al origen

FUNCIÓN IDENTIDAD f x xGraficar

40

.FUNCIÓN LINEAL• Dos puntos definen una recta.

Recorrido

Elevación1 1 1( , )P x y

2 2 2( , )P x y

2 1y y

2 1x xx

y

2 1

1 12 1

y yy y x x

x x

2 1

2 1

y ym

x x

41

.FUNCIÓN LINEAL• Dos puntos definen una recta.

2 1

1 12 1

y yy y x x

x x

1 0,1P 2 2,7P

Encuentre la ecuación de la recta definida por los puntos

Ejemplo 1

y 3 1y x1. Resp.

1 2,1P2. 2 2,1Py

Resp.

1y

1 1,2P3. 2 1, 2Py 1x

Resp.

42

.FUNCIÓN CUADRÁTICA

2( )f x ax bx c , , 0a b c a

• La gráfica es una parábola 0a

cóncava hacia arriba

0acóncava hacia abajo

43

2 ba x x c

a

2f x ax bx c

FUNCIÓN CUADRÁTICA

0 2

bx

a

2

bf

a

• El vértice de la parábola tiene coordenadas

FORMA CANÓNICA

2 2 4

2 4

b b acf x a x

a a

2

24

b

a

2

4

b

a

0 0,x y

2

0

4

4

b acy

a

44

2( ) 2 1f x x xGraficar

FUNCIÓN CUADRÁTICAEjemplo

21 7

( ) 24 8

f x x

2 1( ) 2 1

2f x x x

1

16

1

8

1 7,

4 8

V

Vértice

45

FUNCIÓN CUADRÁTICAFORMA FACTORADA 1 2( ) ( ) f x a x x x x

2( ) 3 2f x x x

23

2 3 1

3 1

f x x x

x x

2 1( ) 3 2

3f x x x

Ejemplo

FORMA CANÓNICA

1

36 1

12

2

1 253

6 12f x x

16

25

12

FORMA FACTORADA

Ceros 0f x

12

3

46

2 ; 0( )

2 1 ; 0

x xf x

x xGraficar

2y x1.

2. 2 1 y x

; 0x

; 0x

47

Graficar

1.2 2 3y x x

2 2 1 3 1y x x

21 4y x

2

2

2 3 1

3 1 3

3 3

x x x

f x x x

x x

3y x 2.

23y x 3.

; 1x

; 1 3x

; 3x

48

Graficar

2

2 ; 2

2 ; 2 0

2 ; 0 2

4 ; 2

x

x xf x

x x

x x x

49

graficar1 ; x>0

( ) 0 ; x=0

-1 ; x<0

g xSea 22 ( ) , f x g x x x

Ejercicio

50

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

( )f x x;

;

0x x

0x x

51

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTOEjercicio

Graficar ( ) 1 1f x x

y x desplazada una unidad a la derecha y una unidad hacia arriba

; 1( )

2 ; 1

x xf x

x x

1 1y x ( 1) 1y x

1

52

( )f x

( )f x

0cuando f x( )f x

( ) 0cuando f x( ) f x

212( ) 2 f x x x

212 2 y x x21

2 2 y x x

212 2 y x x

53

f x

0cuando x( )f x

0cuando x( )f x

f x

212 2 y x x 21

2 2 y x x

Nos quedamos con la parte derecha de f, y la reflejamos con respecto al eje y .

54

f x

0cuando x( )f x

0cuando x( )f x

f x

212 2 y x x

212 2 y x x

Nos quedamos con la parte izquierda de f, y la reflejamos con respecto al eje y .

55

Ejercicio 2

Sea

56

Graficar f x

f x

57

Graficar f x f x

58

Graficar f x f x

59

2 4 2 ; 2

4 ; 0 2

4 ; 0

x x x

f x x x

x

Ejercicio 3

Sea Hallar el rango

Solución:

4, 2 0,rg f

60

Ejercicio 4

Graficar

Solución:

( ) 1 ; f x x x x IR

2 1y x

1y

1y

0 11 y x x( 1) y x x

1y2 1 y x

( 1) ( ) y x x

1y

1 ; 1

( ) 2 1 ; 0 1

1 ; 0

x

f x x x

x

61

Ejercicio 4

Graficar 3 1 2 f x x x

13

4 3 y x

2 1 y x

4 3 y x

53

62

OTRAS FUNCIONES ELEMENTALES

Función raíz cuadrada ; 0f x x x

63


HIPERBOLA EQUILATERA 1f x

x

64


2

1f x

x

65


3f x x

66

Funciones con regla de correspondencia definida en intervalos

2 ; 0( )

2 1 ; 0

x xf x

x x

2

3 2 ; 1

( ) 1 ; 2 1

; 2

x x

f x x x

x x

0

12 2

xx

21

123 2

xxx

(0)f ( 1)f

(2)f(4)f

( 2)f

Ejemplo 1

Ejemplo 2

67

Ejercicio

2

2 2

4 2 2

2 2

x x

f x x x

x x

Graficar

2y x

2 4y x

2y x

68

Ejercicio

Graficar3

; <-1

-1 ; 1

; -1 <1

2( 2)

( )

x x

f x x x

x x

69

Ejercicio Sea la gráfica

Hallar la Regla de Correspondencia

2, 0

2 2 1 , 0 2

3 , 2

x x

f x x x

x x

70

Funciones con regla de correspondencia definida en intervalos

2 ; 1( )

1 3 ; 1

x xf x

x x

1 1x x

1 1x

11

31 22

xxx

Ejemplo 3

71

OPERACIONES

2( ) 1; f x x x

2( ) 2 3 2; g x x x x

f g x

( ) ( )f x g x 2 1x 22 3 2x x

23 3 1x x

Ejemplo 1

( ) ( )f x g x( ) ( )f x g x

( )

( )

f x

g x

Ejercicio

72

OPERACIONES

Ejemplo 2

2 01 ;( )

03 1 ;

xxf x

xx

2 02 3 2 ;( )

02 3 ;

xx xg x

xx

2 2 32 3 2

0

xx x

f

g

23 1 1

0

x x

0

f g

2

2

02 3 ;

02 2 ;

xxf g x

xx x

3 1x 22 3 2x x 2 1x 2 3x

73

OPERACIONES

Ejemplo 3

2 1; 0( )

2 1; 0

x xf x

x x

22 3 2; 2( )

3 ; 2

x x xg x

x x

22 1 1

0

x x

2 32 3 2

2

xx x

f

g

f g

0 2

22 1 2 3 2x x x 2 21 2 3 2x x x 2 1 3x x

74

OPERACIONES

Ejercicio

2 1 ; 1

1 ; 1

x xf x

x x

1 ; 0

1 ; 0

x xg x

x x

( . )( )f g xHallar

3 2

2

2

1 ; 1

1 ; 1 0

1 ; 0

x x x x

f g x x x

x x

Resp.

75

( )f g

FUNCIÓN COMPUESTA

fx ( )y f xg

y g f x

( )g f x

f g

gx ( )y g xf

y f g x

( )f g x

x

x( )g f

76

FUNCIÓN COMPUESTAEjemplo 1( ) 2 1;f x x x Sean

2( ) 3 2;g x x x x y

( )g f xHallar:

fx 2 1y x g y g f x

23 2f f

2 1x 23 2x x

2

2

2

2

3 2 1 2 1 2

3 4 4 1 2 1 2

12 12 3 2 1 2

12 14 6

x x

x x x

x x x

x x

( )g f x ( )g f x 2 1

f

g x

g evaluada en f

77

FUNCIÓN COMPUESTAEjemplo 2( ) 2 1;f x x x Sean

2( ) 3 2;g x x x x y

( )f g xHallar:

2

2

( ) 2(3 2) 1

( ) 6 2 3

f g x x x

f g x x x

( )f g x ( )f g x f evaluada en g

2 ( ) 1g x

78

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

0g

0g

2

22

2 ; 1

1 ; 1

x x

f g x x x

2

22

2

2 ; 1

1 ; 1

2 1 1 ; 1 1

x x

f g x x x

x x

Ejemplo 3 2 ; 0

( )2 1 ; 0

x xf x

x x

Sea y

2 1 ; 1( )

2 ; 1

x xg x

x x

Hallar f g x

Solución:

f g x f g x2 ; 0

2 1 ; 0

g g

g g

Graficamos g

79


0g

0g

2

22

2 ; 1

1 ; 1

x x

f g x x x

2

22

2

2 ; 1

0 ; 1

1 ; 1

2 1 1 ; 1 1

x x

xf g x

x x

x x

Ejemplo 3 2 ; 0

( )2 1 ; 0

x xf x

x x

Sea y

2 1 ; 1( )

2 ; 1

x xg x

x x

Hallar f g x

Solución:

f g x f g x2 ; 0

2 1 ; 0

g g

g g

Graficamos g

80


1f

1f

22 ; 1x x

g f x

2

22

2

2 ; 1

1 ;0 1

2 1 1 ; 0

x x

g f x x x

x x

2 ; 0( )

2 1 ; 0

x xf x

x x

Sea y

2 1 ; 1( )

2 ; 1

x xg x

x x

Hallar g f x

Solución: g f x g f x2 1 ; 1

2 ; 1

f f

f f

Graficamos f

Ejemplo 4

81


0g

0g

2 1 ; 0

1 1 ; 0

xf g x

x x

1 ; 0

; 0

xf g x

x x

1 ; 0( )

2 1 ; 0

x xf x

x x

Sea y2 ; 0

( )1 ; 0

xg x

x x

Hallar f g x

Solución: f g x f g x1 ; 0

2 1 ; 0

g g

g g

Graficamos g

Ejemplo 5

82

12

2 ; 1

2 ; 0

xg f x

x

12

12

2 ; 1 0

2 ;

2 ; 0 1

x x

g f x x x

x x

12

12

2 ; 1

2 ; 0

1 2 1 ;

1 1 ; 0 1

x

xg f x

x x

x x

0f

0f

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES1 ; 0

( )2 1 ; 0

x xf x

x x

Sea y2 ; 0

( )1 ; 0

xg x

x x

Hallar g f x

Solución: g f x g f x2 ; 0

1 ; 0

f

f f

Graficamos f

Ejemplo 6

83

FUNCIÓN INVERSA

y

1. Cambiar “x” por “y” y

“y” por “x”

2. Despejar

Ejemplo 1 ( ) 2 1f x x

2 1x y

2 1

1

21

2 2

y x

xy

xy

( ) 2 1f x x

1 1( )

2 2

xf x

y x

1, 1 , 0,1 , 1,3 ,f

1, 1

0,1

1,3

1, 1

1,0

3,1

1 1, 1 , 1,0 , 3,1 ,f

84

FUNCIÓN INVERSAEjemplo 2

2( )f x x ; 0x

1.2x y ; 0y

y x2.

2( )f x x

1( )f x x

85


2( )f x x ; 0x

1.2x y ; 0y

y x2.

2( )f x x

y x

1( )f x x

86

FUNCIÓN INVERSAEjemplo 3 21

( ) 2 ; 02

f x x x

2

2

2 4

2 4

2 4

x y

y x

y x

212; 0

2x y y

1.

2.

21( ) 2

2f x x

0, 2

2,0|

1( ) 2 4; 2f x x x

87


Primero:

1y x ; 0x

0,1

0,1

2

1 ; 0

1

1

x y y

x y

y x

21y x

Segundo:

2 1y x ; 0x

0,1

1,0

1 12 2

2 1

1 2

x y

x y

y x

1 12 2y x

21y x

1 ; 0( )

2 1 ; 0

x xf x

x x

21

1 12 2

1 ; 1( )

; 1

x xf x

x x

88


Primero: 2 4y x ; 2x

2,0

0, 2

2

2

2

4; 2

4 ; 2

4 ; 2

4; 2

x y y

x y y

x y y

y x y

1 4 ; 0f x x

2 4 ; 2( )

(2 4) ; 2

x xf x

x x

Segundo:(2 4)y x ; 2x

(2 4); 2

2 4; 2

2 4; 2

12; 2

2

x y y

x y y

y x y

y x y

14 ; 0

12 ; 0

2

x xf

x x

1 12; 0

2f x x

89

FUNCIÓN INVERSA

Ejemplo 2( ) 2 1;f x x x IR Sea

1 ( )f f x

1 1( ) ;

2

xf x x IR

1( )f xf 1

2 12

x

1 1x x

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funciones de una variable real

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