funcion 2do

FE Y ALEGRIA Nº 11 “EDUCANDO EN VALORES PARA LA VIDA”

Álgebra

Í N D I C E

Capítulo Pág.

I. Inecuaciones de primer grado con enunciado......................................................109

II. Sistema de Inecuaciones.....................................................................................113

III. Repaso de Inecuaciones.......................................................................................117

IV. Sistema Cartesiano..............................................................................................121

V. Relaciones...........................................................................................................127

VI. Funciones............................................................................................................131

VII. Repaso.................................................................................................................135

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

a) 15 b) 16 c) 17d) 18 e) 19


Inecuaciones de primer grado con enunciado

Capítulo I

Al igual que en el capítulo de Ecuaciones de primer grado con enunciado, en este capítulo tenemos que interpretar los enunciados y llevarlos a un lenguaje algebraico. Sin embargo tenemos que tener presente las relaciones de orden (>, <,

, ) y las propiedades que vimos en el capítulo anterior.

Problemas para la clase

BLOQUEI

1. Obtener el mayor entero, tal que cinco más siete veces dicho entero sea menor que 40.

8. Cuál es el mayor valor natural que satisface la siguiente inecuación:

6(2x 1) 7(x 3)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. Obtener el mayor entero tal que 11 más tres veces dicho entero sea menor que 32.

9. ¿Cuál es el menor número natural tal que cinco veces el número menos siete sea mayor que 63?

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

3. Hallar el menor par de números naturales consecutivos tales que un quinto del número menor sumado a un sexto del número mayor excede a dos.

10.¿Cuál es el menor número natural tal que seis veces el número más siete sea mayor que 67?

a) 3 y 4 b) 4 y 5 c) 5 y 6d) 6 y 7 e) 7 y 8

4. Hallar el menor par de números naturales consecutivos tales que un tercio del número menor sumado a un cuarto del número mayor excede a dos.

a) 2 y 3 b) 3 y 4 c) 4 y 5d) 5 y 6 e) 7 y 8

5. ¿Cuál es el menor número natural que multiplicado por cinco sea mayor a 30?

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11

6. ¿Cuál es el menor número natural que multiplicado por seis sea mayor a 24?

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

7. Cuál es el mayor valor natural que satisface la siguiente inecuación:

7(x 2) 4(5x 9) 4

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

ÁLGEBRA1

AÑO

a) 9 b) 10 c) 11d) 12

BLOQUEII

e) 13 FE Y ALEGRIA Nº 11 “EDUCANDO EN VALORES PARA LA VIDA”

1. ¿Serán los 2/5 de 3/2 de 40, menor que la mitad del triple de 20?

a) Cierto b) Falso

2. Si al triple de la mitad del cuadrado de cuatro le restamos la tercera parte del cuádruple del cuadrado de seis, ¿resultará positivo o negativo?

a) Positivo b) Negativo

3. En el aula "A", la cantidad de alumnos es la mitad de los 4/3 de 120; mientras que en el aula "B", la cantidad de alumnos es la quinta parte de los 10/3 de 117. ¿En qué salón hay más alumnos?

a) A b) B

4. El triple de la suma de los tres medios de 18 y los cinco cuartos de 12 es menor que 100. ¿Cierto?

a) Cierto b) Falso

5. Si la quinta parte del triple de un número, aumentado en dos es menor que 331, indicar el máximo valor entero que verifica.


a) 49 b) 48 c) 47 a) 29 b) 10 c) 9d) 46 e) 45 d) 8 e) 30

6. Si el triple de la edad de Pedro, disminuido en seis, es menor que el doble, aumentado en 14; y ya pasó su fiesta de 18 años, ¿qué edad tiene?

a) 20 b) 18 c) 19d) 17 e) 31

7. Tres cajas iguales y una pesa de 5 kg pesan menos que 33 kg; y cuatro cajas y una pesa de 1 kg, pesan más que 36 kg. ¿Cuánto pesa una caja?

a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12

8. En la tienda “A”, cuatro panetones cuestan la quinta parte del triple de 40 soles; mientras que en la tienda “B”, nueve panetones tienen un costo de los dos tercios del triple de 27 soles. ¿En qué tienda cuesta más un panetón?

a) A b) B c) igual

9. Un vendedor tiene 180 chocolates y 120 caramelos; en la mañana vende los 5/6 de chocolates y 3/4 de caramelos; de lo que queda, por la tarde vende la quinta parte de los chocolates y la sexta parte de los caramelos.¿Qué vendió más, chocolates o caramelos?

a) chocolates b) caramelos c) iguales

10. Dos amas de casa reciben S/.600 y S/.500 de mensualidad para gastos. La primera debe gastar los 3/10 en alquiler de casa y los 3/5 del saldo en comida; mientras que la segunda debe gastar los 9/25 en alquiler y los 3/4 del saldo en comida. ¿Cuál de ellas gastó más en total?

a) La primera b) La segunda c) Iguales

BLOQUEIII

1. La doceava parte del número de libros que hay en un estante, más siete, es más que 19. ¿Puede haber 150 libros por lo menos en dicho estante?

a) Sí b) No

2. La edad de mi abuelo es tal, que sumada con 23 y dividida por 13, excede a ocho. ¿Cuál es la menor edad que puede tener mi abuelo?

a) 82 años b) 81 c) 80d) 79 e) 78

3. La quinta parte de diez, más el triple de la edad actual de mi profesor de Matemática, excede a 29. Indicar la menor edad que puede tener mi profesor.


4. La edad de uno de mis hermanos, es tal que su doble aumentado en cinco, es menor que 21, y su triple aumentado en siete, es mayor que 25. Calcular la edad de mi hermano.

a) 8 años b) 6 c) 7d) 9 e) 10

5. La cantidad de pelotas que hay en mi casa es tal, que uno más el triple de dicho número, es menos de 46, y uno más su cuádruplo, es más que 53. Si se me extravía una, ¿cuántas pelotas me quedan?

a) 14 b) 15 c) 13d) 8 e) 45

6. Mi abuelo fue un gran profesor de Matemática. Cuando le pregunto su edad, me dice: "El doble de mi edad, aumentado en uno, es menor que 161, mientras que el triple disminuido en dos, es más que 232". ¿Cuál será la edad de mi abuelo dentro de dos años?

a) 78 años b) 79 c) 80d) 81 e) 82

7. El quíntuplo del número de hermanos que tengo, disminuido en uno, es menor que el cuadrado de siete, y siete veces dicho número, aumentado en ocho, excede al cuadrado de ocho. ¿Cuántos hermanos somos en total?

a) 9 b) 8 c) 10d) 49 e) 64

8. La mitad de dos, más el triple de un cierto número, es menor que 43, mientras que la tercera parte del cuádruple de dicho número, disminuido en cuatro, excede a 12. Calcular dicho número.

a) 12 b) 16 c) 14d) 13 e) 43

9. La quinta parte del doble de la edad de mi padre, menos uno es menor que 17, mientras que la quinta parte del triple de la edad de mi padre, aumentado en uno excede a 27. Indicar la edad de mi padre.

a) 43 años b) 45 c) 44d) 42 e) 46

10. El número de libros que tengo es tal que uno más los tres medios de dicha cantidad, no excede a 21 y dos más los cinco cuartos de la cantidad de libros es mayor que 18.

Calcular la cantidad de libros que tengo.

a) 13 b) 12 c) 14d) 25 e) 37


Autoevaluación

1. Rosa y Ana son hermanas. Rosa tiene el triple de la cuarta parte de los cinco tercios de 12 años, mientras que Ana tiene los cuatro quintos de 20. ¿Quién es la mayor?

2. El año pasado, me dieron de propina por mi cumpleaños los dos tercios de doce veces la sexta parte de 42 dólares; y, para este año me han prometido los cuatro quintos de diez veces la mitad de 15 dólares. ¿Me darán más que el año pasado?

3. Hace ocho años, la octava parte de la edad de Pepito era menor que uno, y dentro de diez años, la octava parte será mayor que tres. ¿Cuándo nació si esto ocurrió en 1990?

4. La edad de Judith aumentada en sus 2/3, es menor que 33 1/3; mientras que dicha edad, aumentada en su mitad, excede a 27. ¿Dentro de cuántos años tendrá el doble de su edad actual?

5. La edad de Juan excede a la de Pedro en uno. La quinta parte de la edad que Pedro tendrá dentro de cinco años, será más que tres; y, la sexta parte de la edad que tendrá Juan dentro de cinco años, será menos que tres. Calcule la suma de edades del año antepasado.


Sistema de Inecuaciones

Capítulo II

Un sistema de inecuaciones es un conjunto de dos o más inecuaciones de primer grado.

Para resolver los problemas tendremos en cuenta las definiciones que dimos en el capítulo uno de este bimestre.

1. ¿Cuál es la solución del sistema?

x - 2 5 ..........(a)3 - x 1 ..........(b)

SoluciónUn sistema de inecuaciones, tiene por conjuunto solución a la intersección de los conjuntos solución de cada inecuación.

Así por ejemplo:

x - 2 5 x 5 + 2 x 7

2. Ahora resolvamos el siguiente sistema:

3x 1 2x 5 5x 1

Solución: En este caso, dividimos el ejercicio en dos partes:

Resolviendo la parte (A) tenemos:

-

Solución:

7

+

; 7

3x 2x 5

1 x 6

Por otro lado, de (b) se tiene:

3 - x 1 -x 1 - 3 x2

-

Luego: C.S.=

6

; 6

-

Solución:

2

+

; 2

y de la parte (B), tenemos:

5 1 5x 2x

6 3x

La solución del sistema es la intersección de los dos intervalos es decir:

Luego: C.S.=

2 x

2 +

2;

- 2 7+ Intersectando los resultados anteriores

tenemos:Luego, el conjunto solución del sistema:

x - 2 53 - x 1

es:

ÁLGEBRA1

AÑO


- 2 6 +

C.S.= ; 2 Por lo tanto, la solución pedida es:

C.S. = 2; 6



BLOQUEI

1. Resolver:

x + 2 > 3x - 1 < 5

11.Resolver: x + 3

- 4 < 12

x - 3 + 4 > 1

2

2. Resolver:

x > 1x < 4

12.Resolver:

x + 3 < 2x + 4 < 3x + 5

e indicar la suma de valores enteros que verifique el sistema.

3. Indicar la suma de valores enteros que verifique el sistema.

2x > 45x < 30

4. Resolver:

4x + 7 > 3(x + 2)2x - 3 < x + 1

5. Resolver:

BLOQUEII

1. Resolver el sistema:

x + 1 > -2 ... ()x - 1 < 2 ... ()

a) -1 < x < 1 b) -2 < x < 2c) -3 < x < 3 d) 0 < x < 1e) -1 < x < 0


3x + 5 > 8 ... ()(x + 2)

2(x + 1)

2+

5

2x + 7 < 11 ... ()

x + 1 2(x + 1)

6. Resolver y dar el mayor valor entero de la solución.

x + 2 < 43

x - 2 > 13

7. Resolver:

-x + 4 > -1x + 2 > 5

a) 1 < x < 2 b) -1 < x < 0c) 2 < x < 3 d) -2 < x < -1e) -1 < x < 1


-x + 2 < 5 ... ()x + 7 < 5 ... ()

a) -1 < x < 0 b) -2 < x < -1c) -3 < x < -2 d) -4 < x < -3e) -5 < x < -4

8. Resolver:

9. Resolver:

10.Resolver:

x - 3 4x - 2 1

4 - x 2x - 3 6

x + 4 + 4 > 13

x - 4

3- 2 < 1

a) x < 2 b) x < 1 c) x < -2d) x < -1 e) x < 0



-x +> -4... (-2x 9 < ... (

a) 1 < x < 32 < x < 4c) 2 < x < 73 < x < 5e) 4 < x < 9


2x +< 9 ()

3x + 7 < 10 ... ()

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5



-4x + 1 < 5 ... ()

-3x + 5 < -1 ... ()

a) x > 2 b) x > -1 c) x > 3

d) x > 0 e) x > 4

7. Resolver el sistema:x

x

1 ... ()

BLOQUEIII


-3x + 5 > -7 ... ()-2x - 3 < 5 ... ()

a) -1 < x < 1 b) -2 < x < 2c) -3 < x < 3 d) -4 < x < 4e) -5 < x < 5

2 3 2. Resolver el sistema:x 5 9 x ... () -3x + 2 < 4 ... ()

a) 1 x 2c) 4 x 5

b) 2 x 3d) 5 x

6

-2x + 5 > 2 ... ()

e) 6 x 7

a)

2 x

3

b) 3

x 2

8. Resolver el sistema:2x

x

7 ...

()

3

2c)

3

2

x 3

2

2

3d)

2

3

x 2

3

3 2

e)

2 x 1

2x 13 17 x ... ()

a) 5 < x < 9 b) 4 < x < 7c) 6 < x < 10 d) 6 < x < 9e) 1 < x < 10


-6x + 4 < 1 ... ()

4x - 5 < 3 ... ()

3. Cuántos números enteros satisfacen el sistema de inecuaciones:

-3x + 4 < -2 ... ()-2x + 6 > -4 ... ()

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4. Cuántos números enteros satisfacen el sistema de inecuaciones:

1

a)2

x 2

1

b)3

x 3 -2x + 1 < -2 ... ()

-2x + 3 > -2 ... ()

c) 1 x 11

x 3

d) 1 x 3

2

e) 2 2

10.Resolver el sistema:

-3x + 4 < 2 ... ()-2x + 1 > -2 ... ()

5. Cuántos números enteros impares verifican el sistema de inecuaciones:

-2x + 1 2x - 3 ... ()2x - 9 -x + 9 ... ()

a) 1 b) 2 c) 3

1a)

2 x 22

b)3


x 3

2d) 4

e)

5

6. C

uántos números enteros pares verifican el sistema de

2 x

5 3 x

1 inecuaciones:

c) 5 2 d)3 -3x + 2 2x - 3 ... ()

e) 2 x

1

2

3x - 5 x + 9 ... ()

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


Autoevaluación

1. Dar el intervalo que cumple:

2(x - 4) + 3(x - 5)

23(x - 2) + 2(x - 1)

2


x + 3

4+

x - 1 +

2 x + 3 36

2x - 1 +

3x - 1 xa) 2 x

5d) 6 x 8

b) 2 xe) 7 x 9

c) 2 x 8

a) x

5 8

b) x 27

c)11

x 13

9

2. Resolver:

5(x + 1) + 3 < 4(x + 3) + 57(x - 2) + 1 > 9(x - 6) + 1

d) x = 1

e)

5. Resolver:

x 1

a) x > 9 b) x < 9 c) x > 20 d) x < 20 e) x > 10

3x - 1 + 4x - 5 > 82x - 1 + 3x - 2 x + 9

3. Resolver:

2x + 3 + 4x + 5

685x + 2x + x < 7x + 1

a) x 2d) 2 x 3

b) x 5e) x

c) 2 x 3

a) x = 12

b)

x 12

c) x < 12

d) x > 1 e) x < 1

a) x < 4 b) x 4 c) x > 4d) x 4 e) x < 2

a) S/.60; 30 b) 59; 28 c) 58; 29d) 57; 26 e) 56; 28

a) 61 y 62 b) 63 y 64 c) 62 y 63d) 60 y 61 e) 65 y 66

a) x 3 b) x -3 c) x 3d) x 6 e) x 9


Repaso de Inecuaciones

Capítulo III


Bloque I

1. Resolver:

a) x

5

8x

8

b) x

5

8e) x

9

c) x 8

5x 2 32

d)5

8. Resolver:

5

2(x - 3)2 (x - 2)2 + (x + 2)2

2. Resolver:

a) x

5b) x

6c) x

5

x 1

x 3 6 5 6

3 2 d) x

51e) x

6

6 51

a) x < 24 b) x < 12 c) x 12 d) x 24 e) x > 36

3. Resolver:

3x 2x -1 3

9. Patricio tiene menos de 90 soles para repartirlos entre sus dos hijos: Daniela y Beto. Si a Daniela le toca el doble de lo que le toca a Beto, ¿cuáles son las máximas cantidades enteras en soles que pueden recibir Daniela y Beto?

2 3

a) x > -4 b) x < -4 c) x < -2 d) x -4 e) x > 6

4. Resolver:3(x + 2) + 5(x - 3) < 6(x - 1) + x

a) x < 4 b) x < 3 c) x < -3 d) x -3 e) x > 3

10.¿Cuáles son los dos menores números enteros consecutivos cuya suma sea mayor que 127?

5. Resolver:7(x - 1) + 3(x - 2) 2(x + 3) + 5 Bloque II

1. Resolver: 3x - 2 2x + 6

6. Resolver: (x + 2)(x + 3) < (x

+ 2)2

a) [8;

d) [8;16

b) [3; 6]

c)

e) x IR

; 8

ÁLGEBRA1

AÑO

a) x > 30 b) x 0 c) x 30d) x IR e) x 30


a) x < -2 b) x > -2 c) x < 2d) x > 2 e) x < 1

2. Resolver: x

x

x

31

7. Resolver:

x(3x - 4) <

6x2 - 52

2 3 5

33



-3x + 5 > -7 .........(1)-2x - 3 < 5 ...........(2)

9. Resolver:

; 4

(x - 4)2 > x(x + 12)

4

; 4

; 4

a) b) c)a) -1 < x < 1 b) -2 < x < 2c) -3 < x < 3 d) -4 < x < 4e) -5 < x < 5

5

d) ;4

5

5 5 5

e) IR

4. Resolver:

3x - 5 > 4 .......... (1)2x - 6 < 4 .......... (2)

10.Resolver:

2x 6 3x

44

a) 3 < x < 5 b) 2 < x < 6c) 1 < x < 6 d) -3 < x < 5e) -5 < x < 3

a) ; 2

d) 2; 4

b) ; 2e) 2;

c) 2;

5. Resolver:

3(x - 2) > -21 ......... (1)7x - 15 < 27 ........... (2)

Bloque III

1. Resolver:

a) 5 < x < 6 b) -5 < x < 6 4x 1 7x x 7

c) -6 < x < 5 d) -6 < x < -5e) x > 3

3 9

6

2 18

6. Resolver:a) x

5

6

b) x

5

6

c) x

6

5

-6 < 2x - 4 < 2

a) 1 < x < 3 b) -1 < x < 3c) -3 < x < -1 d) -3 < x < 1e) 1 < x < 6

d) x

6

5

2. Resolver:

e) x 7

5

3(x - 4) + 4x < 7x + 2

7. Resolver: a) x > 0 b) x < 0 c) x IR

5 4 3x

12

d) x e) x = 0

2 ;

14

2 ; 14

2 14;

3. Resolver:a) b) 5x - 4(x + 5) < x - 24

3 3

3 3

3

3

IR b) x c) x > 0


14 ; 2

14 ;

2

a) x

d)3 3e)

d) x < 0 e) x = 1

8. Resolver:

9 1

x 4 1

x

4. Resolver:2 5 - 3x 11

3 2a)

2;11

b) [-2; 1]

c)

2; 11

a) 6; 6

b) 6; c) [6; d) 2;

11e) 2;

d) IR

e)

6; 8

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

3

3

3


5. Resolver: x

1

2x

1

8. Resolver: -1 - 3 + 3x < 2

2 43 2

; 3 2

; 5

2

; 5

a) x b) x 7

1

8

c) x 7

18

a)3 52

b)

5c)

3

d)x

187 e)

x 187

d) ; 3

e) ;3

6. Resolver:

2x 6

x

5

9. Resolver:

3x 1

5

4 x 1 x9

x

36

3

4

x 5

x

36

e indicar el mínimo valor que lo verifica.

a)5

b)

36 c)5


x

5

d) 36

7. Resolver: e) 36

x 5

10.Resolver: 3(x - 5) - 4(4 - 3x) 2(7 - x) - 3(x - 5)

10

x 2 a) [3; 5]

b)

3; c) 3; 3

a) 2;b) IR

c)

2; 2

d) 3; e) [3;

d) ; 2e) ; - 2

Eje dedenadas

yII

P(x, y)

IO

Origen de oordenadas

III

x

A

IV


Sistema Cartesiano

Capítulo IV

René Descartes, gran filósofo y matemático francés. Su contribución principa l a las Matemática s fue el descubrimiento de los Sistemas de Coordenadas y su aplicación a los problemas de la Geometría.

Desde entonces, el Álgebra y la Geometría han laborado juntos, para beneficio de ambas. Los sistemas de coordenadas utilizados en este capítulo se conocen con el nombre de Sistemas de Coordenadas Cartesianas en honor a su inventor (la palabra Cartesianas viene de Cartesius, que es la forma latina del nombre de Descartes).

Observa muy bien la cuadrícula y contesta:

¿Cuáles son las coordenadas de Piura, Ica e Iquitos?

¿En qué cuadrante se encuentra cada una de las ciudades señaladas?

Para darle respuesta a cada una de estas preguntas daremos las siguientes definiciones:

Par ordenado: Es un ente matemático que consta de dos elementos e importa el orden en su representación.

(a; b)

René Descartes,

Propiedad

Segunda componente Primera componente

importante filósofoy matemático

Si: (a; b) = (c; d), entonces: a = c y b = d

Ejemplo: Si: (a- 3; b + 5) = (4; -6)entonces: a - 3 = 4 y b + 5 = -6de donde: a = 7 y b = -11

SISTEMA CARTESIANO

Aquí tenemos una cuadrícula con dos ejes numerados, uno vertical y otro horizontal, que se cortan en el punto O. Sobre la cuadrícula está dibujado el mapa del Perú haciendo coincidir el punto O en Lima.

y

Para representar puntos en el plano, se toman dos rectas perpendiculares llamadas ejes de coordenadas. El eje horizontal se llama EJE DE ABSCISAS o EJE DE LAS "X", y el eje vertical se llama EJE DE ORDENADAS o EJE DE LAS "Y". E l p u n t o

d e i n t e r s e c c i ó n d e a m b a s r e c t a s e s e l ORIGEN DE COORDENADAS.

+y Or

Iquitos -x +x

Piura

II

I

Pucallpa

C bscisas

-y

III LimaO

Huancayo

Ica Cusco Arequipa

ÁLGEBRA1

AÑO


Cada

uno

de estos

ejes

se gradúa con

números positivo

s xy números negativos. De este modo, a

cada punto P

del

plan

o le corresponde un pa

r de

números (x, y) que llamamos coordenadas del punto.Las coordena

das de un

punto P(x, y) están dadas por

un par ordenado de

números,IV

el primero "x", denominado abscisa, y el segundo "y" den

ominado ordenada.


La primera coordenada "x" corresponde al eje horizontal y el segundo "y" al eje vertical.

Entonces, en nuestro mapa las coordenadas ...

· de Piura son: ( ; )

· de Ica son: ( ; )

· y de Iquitos son: ( ; ).

Los dos ejes dividen el plano en cuatro cuadrantes:

I : Los puntos del primer cuadrante tienen las "x" y las "y" positivos.

II : Los puntos del segundo cuadrante tienen las "x"

y las "y"

III : Los puntos del tercer cuadrante tienen las "x"

y las "y"

IV : Los puntos del cuarto cuadrante tienen las "x"

y las "y"


BLOQUEI

1. Con respecto al mapa del Perú, indicar las coordenadas de:

a) Pucallpa: ( ; )

b) Cusco : ( ; )

c) Arequipa: ( ; )

2. ¿Cuál es la abscisa de Ica y la ordenada de Huancayo?

E. ( ; )

F. ( ; )

G. ( ; )

H. ( ; )

I. ( ; )

J. ( ; )Ica: Huancayo:

K. ( ; )3. En qué cuadrante se encuentran las siguientes

ciudades:

a) Pucallpa : b) Iquitos : c) Ica : d) Piura :

L. ( ; )

M. ( ; )

N. ( ; )

4. Escribe las coordenadas de los puntos señalados:

D

F BC

EG A

H LI

K MN

J

A. ( ; )

B. ( ; )

C. ( ; )

a) (-1; 1) b) (-1; 0) c) (1; 1)d) (1; -1) e) (2; 2)


5. Calcula "x" e "y" de las siguientes igualdades de pares ordenados:

a) (2x - 1; 8) = (5; y + 5)

b) (y + 2; 6) = (2; x - 1)

c) (x + 7; y) = (10; -2)

d) (4x + 5; 8) = (7; y + 10)

e) (5x - 2; 6) = (4x + 1/2; 5y)

6. Grafica en el sistema cartesiano el punto A(-2; 4) y el punto B(4; -2), a continuación une los puntos "A" y "B" con un segmento. ¿Cuál es la coordenada del punto medio de dicho segmento?

D. ( ; )

m.s

.n.m

.

p r


7. En la figura, ubicar el simétrico del punto P(a, b) con respecto a los ejes: x x'; y y'; y con respecto a "O".

y

P(a, b)

3. ¿Encuentras alguna relación entre la altura y la temperatura?

4. Obtén la figura geométrica del triángulo ABC.

y

Bx' O x C

O A xy'

8. Ubica los siguientes puntos, únelos mediante segmentos.Dibujar la figura simétrica de la que construiste con respecto del eje y y'.

y

x' x

a) En una simetría de eje Ox.b) En una simetría de eje Oy.

5. ¿Qué coordenadas tendrá el triángulo simétrico dado en la actividad anterior con respecto al eje Oy?

A' : ( ; )B' : ( ; )C' : ( ; )

6. Calcula "x" e "y" en:

y'

a)

(x 2; 3) (

2; y 3)

9. Representa en unos ejes cartesianos los puntos: A(5; 0), B(6; 6), C(0; 3), D(-4; 0) y E(0; -2).

b) (2x 1 / 3;

5) (1; y 2 5)

10. Del problema anterior, halla el simétrico de cada uno respecto a x x', y y' y "O". c) ( 11x 1 / 4; 0,6) (1 / 4; 2y 0,2)

BLOQUEII

¡Importante ...!

Cuando se tiene una serie de puntos representados en un sistema de coordenadas cartesianas para poder interpretarlos es necesario conocer lo que se mide en cada

El gráfico de puntos corresponde a la altura y temperatura promedio de seis ciudades. Observa y contesta:

E

7. ¿A qué cuadrante pertenecen los puntos encontrados en el problema anterior?

8. Cada punto de este gráfico representa una bolsa de arroz.

yF

ED

A C

Bpeso

a) ¿Qué bolsa es la más pesada?

B b) ¿Qué bolsa es la más barata?

F C AD

temperatura

1. ¿Qué ciudad tiene la temperatura más alta?¿Y cuál la más baja?

A(3; 5) B(0; -2) C(-4; 4)D(-3; 0) E(-1; 7)


2. ¿Qué ciudad se encuentra a mayor altura? ¿Y a menor altura?

9. Del problema anterior:

a) ¿Qué bolsas tienen el mismo precio?b) ¿Qué bolsas pesan igual?

10. Sin dibujarlos, escribe las coordenadas de los puntos simétricos de:

a) 1 b) 2 c) 3 a) (1; 3) b) (1; 4) c) (3; 3)d) 4 e) 5 d) (5; 5) e) (5; 6)

a) 9 b) 10 c) 11 a) 3 b) 5 c) 8e) 12 e) 13 d) 16 e) 24

a) 2 b) 4 c) 6d) 2 000 e) 2 008


BLOQUEIII

7. Si la gráfica de “A x B” es:

1. Calcular "x + y" de: B

6

(2x - 1; 3y + 1) = (7; 10) 54

a) 4 b) 3 c) 7d) 12 e) 1 3

21

2. Calcular “ a2 b2 ” de:

(4a - 1; 7b + 2) = (11; 30)

A 1 2 3 45 6

Señalar un elemento de “A x B”.

3. Hallar "x + y" de:

(3x - 1; x + 1) = (14; 2y - 6)

8. Al unir los puntos (4; 3); (4; 8); (7; 3) y (7; 8) en un sistema cartesiano, resulta una figura geométrica cuyo perímetro es:

4. Hallar "x + y" de:

(5x - 3; 25) = (17; 7y + 4)

a) 9 b) 7 c) 5d) 3 e) 1

5. Cuántos elementos tiene “A x B” si:

A = { x lN / 99 x 101}

B = { x lN / 2 000 x 2 002 }

6. Realizar un diagrama del árbol para hallar “M

x N”, si: M = { x ZZ / 11 x 12 }N = { x ZZ / 20 x 25 }

9. Del problema anterior, hallar su

área. a) 3 b) 5 c)

8d) 15 e) 7,5

10. Graficar “ ( A B ) x (C

D) ” si: A = { x ZZ / 4

x 7 }

B = { x ZZ / 2 x 5 }

C = { x ZZ /10 x

14 } D = { x ZZ

/13 x 16 }

y dar como respuesta el número de elementos del producto cartesiano.

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10


Autoevaluación

1. Ubicar los siguientes puntos:A(-3; -3), B(1; -1), C(-2; 2), D(4; -1)

2. Observa el gráfico y responde:

3. Del problema anterior:

a) ¿Quién sacó la nota más baja con pocas horas de estudio?

Pilar

Rosa Bet

o

b) ¿Quién obtuvo buena nota con pocas horas de estudio?

Teletubienota

4. Graficar el sistema cartesiano y ubicar los puntos: A(1; 2), B(5; 2), C(3; 7). Luego, unir los puntos.

a) ¿Qué se mide en el eje de abscisas?

b) ¿Qué se mide en el eje de ordenadas?

5. Hallar las coordenadas del punto medio en la recta que resulta al unir los puntos (5; 3) con (1; 9).

(5

(3;

2)(1

; 2

)


Relaciones

Capítulo V

INTRODUCCIÓN

En una gran fiesta organizada por la Trilce que fue llevada a cabo en las instalaciones del Jockey Plaza, todos los alumnos del Primer Año tenían un sticker con su nombre pegado en el lado izquierdo de su pecho. En un momento de la fiesta, el anfitrión tomó el micrófono y dijo lo siguiente: "Todos bailarán en pareja, con la condición de que sus nombres empiecen con la misma letra".

Ahora digamos que existen en la fiesta dos conjuntos, el de los hombres o conjunto "H", y el de las mujeres o conjunto "M", es decir:

H = {Ariel, Manuel, Luis, Jorge, Rafael}

M = {Josefa, Ariana, Micaela, Rosa, Lara}

Entre ellos se ha establecido, por medio de la fiesta una relación de modo que a cada hombre le corresponde una mujer cuyo nombre tenga a misma letra inicial.

Gráficamente:

H M

Definición: Una relación "R", del conjunto "A" al conjunto "B" es un subconjunto del producto cartesiano A x B.

Notación: R: A

B Ejemplo:

Sean los conjuntos: A = {1; 3; 5} y B = {2; 4}

A x B = {(1; 2), (1; 4), (3; 2), (3; 4), (5; 2), (5; 4)}

Algunas relaciones de "A" en "B"

son: R1 = {(1; 2), (3; 2)}

R2 = {(3; 4), (5; 2), (5; 4), (1; 2)}

R3 = {(1; 2), (5; 4), (3; 2)}...

Se puede tener muchas otras relaciones.

Ahora grafiquemos "R3" empleando el diagrama sagital y el diagrama cartesiano.

Ariel · Manuel · Luis · Rafael ·

· Josefa· Ariana

· Micaela· Rosa

Diagrama sagital:

Jorge · · Lara A B

1 23

Las parejas señaladas por flechas pueden también ser representadas por pares ordenados, tema que ya vimos la semana pasada. Ahora, veamos algunas definiciones.

PRODUCTOCARTESIANO

Dados dos conjuntos A y B, se llama producto cartesiano de A y B, denotado por A x B, al conjunto de todos los pares ordenados (a, b) donde: aA y bB.

A x B = {(a; b) / aA y bB}

5

Diagrama cartesiano:

B

432

1

4

; 4)

Ejemplo:

A = {3; 5; 7} y B = {a, b}

A x B = {(3; a), (3; b), (5; a), (5; b), (7; a), (7; b)}

ÁLGEBRA1

AÑO


B x A = {( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ;)} 1 2 3 4 5 6

A



BLOQUEI

* Dados los siguientes conjuntos, hallar los productos cartesianos correspondientes graficándolos además mediante el diagrama sagital y cartesiano.

1. A = {x/x lN 1 < x < 4} B = {x/x lN 3 x

5}

2. C = {x/x lN 11 < x < 15} D = {x/x lN 1x

2}

3. E = {x/"x" es una vocal}F = {x/x ZZ -1 < x < 2}

4. G = {x/x ZZ -1 x1} H

= {x/x lN 2 < x < 4}

5. I = {x/x ZZ -2 < x4} J

= {x/x ZZ -1 x < 0}

6. M = {x/"x" es día de la semana} S = {x/xZZ 7 < x < 10}

7. T = {x/"x" es par 2 x < 10}K = {x/"x" es impar 6 < x 11}

Dados los siguientes productos catesianos, escribir los conjuntos que lo originaron:

8. A x D = {( 2 ; 2), ( 2 ; -3), ( 2 ; -5), ( 3 ; 2),

( 3 ; -3), ( 3 ; -5)}

9. E x H = {(-1; a), (-1; m), (-1/2: a), (-1/2;

m), ( 11 ; a), ( 11 ; m)}

10. P x J = {( 7 ; 1/2), (1/7; - 2 ), ( 7 ; - 2 ), (1/7; 1/2)}

2. A = {x/x lN 1 x2} B

= {y/y lN 1 y2}

Regla de correspondencia: y = 2x

3. A = {x/x lN 0 < x < 3} B = {y/y lN 0 < y

3}Regla de correspondencia: y = 2x

4. A = {y/y lN 1 y < 3} B = {x/x lN 0 < x 2}Regla de correspondencia: y = 2x

5. A = {y lN / "y" es impar 7 y < 12} B = {x lN / "x" es par 5 < x < 11} Regla de correspondencia: x + y = 15

6. A = {1; 2; 3; 4}B = {2; 5; 6}Regla de correspondencia: x + y < 9

7. A = {10; 2}B = {11; 13; 15}Regla de correspondencia: x + y < 23

8. A = {-3; -4; 2; 0}B = {-1; -3}Regla de correspondencia: xy > 0

9. A = {- 2 ; 7; 3 }

B = {1; 2 ; 3 ; -4}Regla de corespondencia: xy < 0

1 1 110.A = {

3 ;

2 ;

4 }

BLOQUEII

Dados los conjuntos "A" y "B", hallar la relación "R" de "A" en "B" cuya regla de correspondencia se indica:

1. A = {1; 2}B = {1; 2}

Regla de correspondencia: y = 2x


B = {1; 2

; 1

}3 4

Regla de correspondencia: x - y = 0


Autoevaluación

1. Completar:

El “A x B” cuyos elementos son los (a, b) tal que las primeras componentes “a” pertenecen al conjunto y las segundas componentes “b” pertenecen al conjunto .

2. Completar:

A la condición que nos da al seleccionar los pares ordenados que conforman una relación, se le conoce también con el nombre de:

4. Dado el siguiente producto cartesiano, halla los conjuntos que lo originaron:

M x T = {(5; 2 ), (-7; 2 ), (5; -3), (1; -3), (-7; r),

(1; 2 ), (-7; -3), (1; r), (5; r)}

5. Hallar la relación "R" de "A" en "B",si:

A = {x lN / "x" es par; x [2; 7[ }

B = {y lN / "y" es impar; y [2; 8] }

Regla de correspondencia: y = x + 1

3. Dados los siguientes conjuntos, halla el producto cartesiano correspondiente y grafícalo mediante el diagrama sagital:

V = {y/y lN, y = x + 2 1 < x

4}

C = {y/y lN, y = 2x 6 < x

10}


El concepto de Función es una de las ideas fun- damentales en la Matemática. Casi cualquier estudio que se refiera a la aplicación de la Matemática a problemas prácticos o que requiera el análisis de datos, emplea este concepto matemático.

Como ejemplo diremos que las compañías de electricidad tienen como unidad la medida para facturar sus recibos el kilowatt-hora (kwh), el cual nos indica cuánto se ha consumido de electricidad en casa. Si el kwh cuesta dos soles y en nuestro recibo de luz el pago que tenemos que

GENERALIDADES

Sean los conjuntos:A ={1; 2; 3; 4}B = {u, d, t, c}

Y la relación "R" de "A" en "B", definida por: "a cada número le corresponde la primera letra de su nombre".

Gráficamente:

efectuar es de 80 soles, entonces, ¿cuántos kwh consumimos de electricidad en casa?

Con una regla de tres simple obtenemos el resultado:

A

1.Conjunto

2.

De

3

4.

RB.u.d

Conjunto.t

de.C

1 kwh ________ S/.2 x =

x kwh ________ S/.80

80 . 1 = 40

kwh2

partida

llegada

Ahora nos preguntamos, ¿y si hubieramos consumido 30 kwh; cuánto pagaríamos?. La respuesta es de S/.60. Es decir, que entre lo que pagamos y lo que consumimos existe una relación: si consumo más electricidad, pago más; y si consumimos menos, pagamos menos.

También podemos decir que el pago que efectuamos depende de la electricidad que consumimos, o el pago está en FUNCIÓN de la electricidad que consumimos.

Este ejemplo es uno de los muchos que existen cuando hablamos de FUNCIÓN. Los siguientes ejemplos aclaran esta idea:

· El área de un círculo depende o está en función de la longitud de su radio.

· Las cuentas mensuales de agua y electricidad están en función de la cantidad de agua o electricidad que se utilice.

· El costo de enviar una correspondencia depende del peso de la carta.

Como ya sabemos lo que es una Relación, diremos que una Función en Matemática también es una Relación.

Una función es un tipo especial de relación pero no toda relación puede ser una función.

Daremos unas nociones previas antes de dar la definición de FUNCIÓN.


R = {(1; u), (2; d), (3; t), (4; c)}

Observamos que a cada elemento de "A" le corresponde un único elementos de "B". A este tipo de relaciones se les llama funciones y se denota por:

f: A B ó A f

B Se lee:

función "f" de "A" en "B"

De donde: f = {(1; u), (2; d), (3; t), (4; c)}

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN

Dados dos conjuntos no vacíos "A" y "B" se llama función de "A" en "B" a aquel conjunto de pares ordenados (x, y) tales que a cada elemento xA le debe corresponder un único elemento en el conjunto "B" es decir, yB.

El DOMINIO D(f) de una función es el conjunto de las

primeras componentes de los pares ordenados de dicha

función.

El RANGO R(f) de una función es el conjunto de las

segundas componentes de los pares ordenados de dicha

función.

Ejemplo: Sea la siguiente función:

f = {(2; 5), (3; 6), (4; 7), (8; -3), (-1; -5)}

El dominio será: Df = {2; 3; 4; 8; -1}

El rango será:Rf = {5; 6; 7; -3; -5}

1

3


REGLA DE CORRESPONDENCIA

Es la relación que existe entre los elementos del dominio y los del rango.

Sea f: A B, si y = f(x)

x variable independiente

y variable dependiente

Ejemplo: fA B

5 4

4 16

2 25

f(5) = 52; f(4) = 42; f(2) =

22

f(x) = x2

D(f) = {5; 4; 2}R(f) = {25; 16; 4}


BLOQUEIB

* ¿Cuáles de los siguientes gráficos no representa una 4

función? ¿Por qué? 3

A B6. 2

1

M1.

2

N

0 1 2 3 4A

B

4

A B3

1 a2 b

2. cd

4

e

7. 2

1

0 1

B

2 3 4A

A B 43

1 a

3.2

bc

8. 2

1

0 1 2 3 4A

9. En los ejemplos anteriores, proporciona el dominio y

A B rango en los casos en que la relación sea FUNCIÓN.

1 mn

4. 2p

3 q

* ¿Cuáles de los siguientes gráficos representan una función? ¿Por qué?

B

43


* Dadas las siguientes funciones: f: lN lN, dar diez elementos del D(f) y diez elementos del R(f).

10. y = x + 4

11. y = 3x - 1

12. y = x2

BLOQUEII

1. Calcular el valor de “m” para que la siguiente relación

5. 2

1

01 2 3 4

A

sea una función.

R = {(8; 4),(5; 9), (7; 5m+7),(7; 13+3m)}

a) -5 b) 6 c) 5d) 4 e) 1

a) 5 b) 4 c) -5d) -4 e) 0


a) 0 b) 1 c) 2 a) 5 b) -1 c) 3d) 3 e) 4 d) 2 e) 8

2. Hallar el dominio y rango de la siguiente

función: F = {(5; 3), (2m + 3; 1), (6;

3m - 1), (6; 8)}

Indicar la suma de los valores encontrados.

a) 22 b) 32 c) 18d) 28 e) 45

3. Calcular "F(-1)" sabiendo que:

F(x) = 2x2+ 3

BLOQUEIII

1. Hallar el valor de “a - b” si la siguiente relación es una función real:

R = {(3; -7), (2; a+b), (5; 7), (2; 3-a), (2; 2)}

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

2. La siguiente es la gráfica de una función. Determinar las coordenadas de “P”, “Q” y “S” dando la suma de las abscisas más la suma de sus ordenadas.

y

¿Cuáles de los siguientes gráficos no corresponden a una función?

4. y

x

P

-3

-5 Q

5

x

S -2

5. y

x

a) 0 b) - 4 c) 4d) 5 e) - 5

3. Si sabemos que la regla de correspondencia de la función ”f” es: f(x) = x2 + 4x + 2, calcular el valor de:

f(0) f(1)

f(1) f(2)

6. y

x

9

a) 131

d) 3

13

b) 9

e) 0

1

c)9

7. y

x

4. Dada la función:

f(x) = 2x2 + 3

calcular la ordenada de uno de sus puntos cuya abscisa

es -1.

8. Calcular "f(-3)" si: f(x) = 2x2 - 1 + x

a) 12 b) 14 c) 20d) 5 e) 1

9. Evaluar: f(x) = 7x2 - x + 1; cuando: x = -2

a) 28 b) -31 c) 30d) 31 e) -30

10. Evaluar: f(x) = 7x2 + 3 - 5x; para: x = 1


5. Hallar la regla de correspondencia de la función:

f(x) = ax + b

cuya gráfica pasa por los puntos (-1; 3) y (2; 0)

a) y = -x + 2 b) y = -x - 2

c) y = x + 2 d) y = 2x + 1e) y = x - 2

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


6. Hallar la regla de correspondencia de la función:

f(x) = ax + b

cuya gráfica pasa por los puntos (2; 3) y (3; 0)

a) y = -3x + 9 b) y = 3x + 9c) y = -3x - 9 d) y = x - 9e) y = x + 9

7. Cuál o cuáles de las gráficas siguientes representa una función:

a) II, III y IV b) I y V c) II, III y Vd) I, II y III e) Todas

8. Hallar “a” para que el conjunto de pares ordenados sea una función:

F = {(2; 3), (-1; -3), (2; a+5)}

a) 2 b) -2 c) 1d) 3 e) 4

9. Dados los conjuntos: A = {1; 3; 5; 7} y B = {0; 2; 4},

y y una de las siguientes relaciones no es una función de “A” en “B”.

I.

y

III.

x II.

y

xIV.

a) {(1; 2), (3; 2), (5; 2), (7; 2)}x b) {(1; 0), (3; 2), (5; 0), (3; 4), (7; 4)}

c) {(2; 3), (4; 5), (0; 7)}d) {(3; 0), (1; 2), (5; 2)}e) {(0; 3), (2; 3), (4; 7)}

10. Sean los pares ordenados:

xf = {(2; 3), (3; 6), (4; 8), (7; -2)}

hallar:

y f(3) f(4) 1f(2) f(7)

V. x

Autoevaluación

* Indicar cuál de los siguientes gráficos es función.

Justificar su respuesta.* ¿Cuál de los siguientes gráficos no

corresponde a una función?. Justificar su respuesta.

1. 4.

f yM N1 a

b x

2 c3 d

5.2. y

fP S

a x1

b 2

c


3. Evaluar: f(2) + f(-1) + f(-3), si: f(x) = 3x - 5


Repaso

Capítulo VII


BLOQUEI

Resolver las siguientes inecuaciones hallando su conjunto solución:

1. x 3 x 1 3

8. El punto P(2; b) pertenece a la función cuadrática :

f(x) = 2x2 + 5x - 1.

Calcular "b"

a) 15 b) 13 c) 112 2

d) 17 e) 19

2. x 4 2 >

x3

3. 3x 1 3 < x

9. En el siguiente plano cartesiano,

y

T(-2; 9) ab

P(7; 6)

2-x

g d xh c

¿Cuál de los siguientes gráficos representa una función?

B

S(-6; -2)

f

eQ(2; -5)

43

4.2

1

0 1 2 3

A

-y

calcular "a + h + f + d"

a) 6 b) 11 c) 13d) 7 e) -8

B43

5.2

1

0 1

2 3

A

10.En el plano cartesiano mostrado se tiene un cuadrado ABCD. Luego de establecer las coordenadas de "A", "B", "C" y "D", calcular la suma de sus abscisas más la suma de sus ordenadas.

y

A( ; )

Resolver:

88

D( ; ) 8 8

B( ; )x

6. Un número natural es tal, que la cuarta parte del númeronatural anterior, es menor que 10; además, la cuarta parte del número natural siguiente es más que 10. ¿Cuál será la octava parte de dicho número?

a) 6 b) 8 c)

5d) 10 e) 4

7. Hace tres años la quinta parte de mi edad era menor que cinco; y dentro de cuatro años; la quinta parte de mi edad será mayor que seis. Calcular la edad que tendré dentro de seis años.

ÁLGEBRA1

AÑO

a) 30 años b) 28 c) 33d) 34 e) 29


C( ; )

a) -1 b) -8 c) 0d) 8 e) 16

11.Resolver:

4x 13x 220 x

4

3

a) x > -10 b) x < -10 c) x > 10d) x < 10 e) x < 20

2 3 4


12.Resolver:

3x 1 4x 1 5x 1

6. Encontrar el conjunto de valores de "x", que satisfacen a la siguiente desigualdad:

a) x

19

24

d) x 0

19b) x

24

e) x 0

19c) x

24

5x - 1 < 6x + 7

a) x > -4 b) x < 4 c) x < -7 d) x > -8 e) x < -8

7. Dados los conjuntos "P" y "Q", hallar el dominio de la función:

BLOQUEII

1. Cuántos números enteros y positivos menores que cinco, satisfacen a la siguiente inecuación:

1 x 1 x

f: P Q; definida por: f(x) = x

P = {x ZZ / -7 x 0}

8. ¿Cuál de las siguientes gráficas no representa una FUNCIÓN?

3 1 35 y

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

a)2. Para cuántos valores enteros de "x" menores de siete,

x

se cumple que en la siguiente fracción, el numerador es mayor que el denominador:

y5x 5x 7

a) 4 b) 3 c) 5 b)d) 2 e) 6 x

3. Cuántos números enteros permiten que en la fracción:

3x 1 y

5x 7el numerador sea menor que el denominador, si x [2; 7]

c)x

a) 1 b) 3 c) 5d) 4 e) 2

y4. ¿Cuántos valores de "x" enteros no negativos hacen que

x 2 en la siguiente fracción: 7x 1

, el denominador sea

menor que el numerador? d)x

a) 0 b) 3 c) 1d) 2 e) 4

y5. El triple de la cantidad de manzanas disminuido en uno

que compró Fernando, es menor que dicha cantidad de manzanas aumentada en tres. ¿Cuántas manzanascompró Fernando? e)

x

a) 2 b) 1 c) 3


d) 4 e) 5


9. ¿Cuál es la característica principal de la función Identidad?

10.Resolver:

1 (x 2) 1

a) En cada par ordenado, las abscisas y ordenadas son iguales.

a)3

(x 3) 24

b) En cada par ordenado las abscisas y ordenadas son

2 (x 1) 3

distintas.c) Todas las abscisas son iguales.d) Todas las ordenadas son iguales.e) La suma de abscisas más ordenadas en

cada punto son iguales.

b)

5

(x 2) 64

funcion 2do

Documents

x 27c11 x

sistema de inecuaciones113iii

sistema cartesiano121v

vida lgebra n d i

repaso135 inecuaciones

cuntos nmeros enteros

cuntos nmeros enteros

suma de valores enteros