El

form

alis

mo

de L

agra

nge

requ

ire

las

coor

dena

das

de a

mba

s m

asas

en

el s

iste

ma

glob

al

cart

esia

no:

r 1

= R

+ h

1

(67

)

r 2 =

R +

h2 .

(68

) S

u en

ergí

a ci

néti

ca e

s:

E

cin =

� � m

(��

1�� 1 +

�� 2��

2 )

.

(69

)

Par

a la

ene

rgía

pot

enci

al e

fect

uam

os u

na a

prox

imac

ión

que

se c

umpl

e cu

ando

las

dos

mas

as

se m

anti

enen

lej

os d

el c

entr

o de

gra

veda

d, q

ue e

s el

cas

o pa

ra l

os p

lane

tas,

por

eje

mpl

o. E

n lu

gar

de u

tili

zar

r 1 y

r2,

inse

rtam

os r

, obt

enie

ndo

la s

uma

de la

s en

ergí

as p

oten

cial

es d

e am

bas

mas

as:

E

pot =

− 2

���

.

(7

0)

Ent

once

s, e

l lag

rang

iano

asu

me

la s

enci

lla

form

a L

=

m

( r2 (

� ��

+ � ��

sen(�)2 )

+ h

2 ( ��

+ ���

sen(

θ)2 )

+ 2

���

(71)

y la

s ec

uaci

ones

de

Eul

er L

agra

nge,

seg

ún (

34, 3

5) p

ara

las

cinc

o va

riab

les

de L

agra

nge

son:

L

a so

luci

ón n

umér

ica

med

iant

e el

em

pleo

del

cód

igo

Max

ima

da o

rige

n a

los

resu

ltad

os

mos

trad

os e

n la

s F

igs.

2-4

. Res

ulta

obv

io q

ue la

s co

orde

nada

s ce

ntra

les

(θ1,

ϕ1,

r) s

e de

saco

plan

de

aqu

ella

s lo

cale

s de

las

mas

as d

e la

pes

a de

man

o (θ

, ϕ).

Est

as ú

ltim

as m

uest

ran

osci

laci

ones

de

nut

ació

n y

prec

esió

n, v

er F

ig.

2. A

par

tir

de l

a gr

áfic

a de

tra

yect

oria

s de

las

coo

rden

adas

cent

rale

s (F

ig. 3

) pu

ede

obse

rvar

se q

ue θ

1 se

man

tien

e en

su

valo

r in

icia

l de

π/2

, es

deci

r qu

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mov

imie

nto

ocur

re e

n un

pla

no y

no

sufr

e di

stor

sion

es p

or c

ausa

de

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esa

de m

ano.

El

radi

o os

cila

en

tre

un

valo

r m

áxim

o y

la

mit

ad

del

mis

mo,

es

un

a ór

bita

el

ípti

ca.

Cor

resp

ondi

ente

men

te, e

l áng

ulo

azim

utal

ϕ v

aría

par

a di

fere

ntes

vel

ocid

ades

, sie

ndo

más

alt

as

en e

l per

ihel

io, c

omo

es b

ien

sabi

do a

par

tir

del m

ovim

ient

o de

los

plan

etas

.

En

la F

ig. 4

se

repr

esen

tan

gráf

icam

ente

las

órb

itas

del

cen

tro

de m

asa

(azu

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una

de

las

mas

as d

e la

pes

a de

man

o (r

ojo)

. E

l m

ovim

ient

o pl

ano

cent

ral

pued

e ob

serv

arse

com

o su

perp

uest

o co

n un

a os

cila

ción

tri

dim

ensi

onal

de

las

mas

as.

Pue

den

serv

ir c

omo

un m

odel

o se

ncil

lo p

ara

los

cicl

os d

e M

ilan

kovi

tch.

Est

os ú

ltim

os s

on m

uy l

ento

s co

mpa

rado

s co

n un

a ór

bita

, y

aquí

sel

ecio

nam

os l

os v

alor

es d

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s pa

rám

etro

s de

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era

que

las

desv

iaci

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re

spec

to d

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eli

pse

pued

an a

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iars

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cilm

ente

.

Com

o ot

ro e

jem

plo,

res

olve

mos

par

a el

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imie

nto

de u

n cu

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ríg

ido

en r

otac

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en

coo

rden

adas

pol

ares

esf

éric

as, t

al c

omo

se d

escr

ibe

en la

s ec

uaci

ones

(33

-35)

. Est

o co

nduc

e a

las

ecua

cion

es d

e m

ovim

ient

o

Se

obs

erva

qu

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stas

ec

uaci

ones

tr

ansf

orm

an a

un

mov

imie

nto

libr

e en

el

caso

de

I 1

= I

2 , e

s de

cir

que

los

lado

s de

rech

os d

e la

s ec

uaci

ones

se

vuel

ven

igua

les

a ce

ro. U

n tr

ompo

si

mét

rico

rot

a co

n ve

loci

dad

angu

lar

cons

tant

e.

L

as e

cuac

ione

s se

res

olvi

eron

par

a I

1 =

1,

I 2

= 1

.5, I

3 =

2.5

, y

las

solu

cion

es s

e re

pres

enta

n gr

áfic

amen

te e

n la

Fig

. 5. E

l án

gulo

pol

ar θ

de

scri

be

una

nuta

ción

, m

ient

ras

que

ϕ

aum

enta

en

fo

rma

irre

gula

r.

El

mot

ivo

es

el

com

port

amie

nto

osci

lato

rio

del

vect

or

de

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cida

d an

gula

r ω

, cu

yos

com

pone

ntes

se

re

pres

enta

n gr

áfic

amen

te e

n la

Fig

. 6.

El

mód

ulo

de ω

no

es

cons

tant

e, y

ést

e no

es

una

cons

tant

e de

mov

imie

nto.

Fig

ura

1: E

l mod

elo

de la

pes

a de

man

o en

rot

ació

n, c

on c

oord

enad

as.

F

igur

a 2:

Pes

a de

man

o en

rot

ació

n, tr

ayec

tori

as θ

(t)

y ϕ

(t).

Fig

ura

3: M

ovim

ient

o de

l cen

tro

de m

asa,

tray

ecto

rias

θ1(

t),

ϕ1(

t),

r(t)

.

Fig

ura

4: Ó

rbit

a de

l cen

tro

de m

asa

(azu

l) y

una

mas

a de

la p

esa

(roj

o).

Fig

ura

5: C

uerp

o rí

gido

en

rota

ción

, tra

yect

oria

s θ

1(t)

, ϕ

1(t)

en

coor

dena

das

esfé

rica

s.

F

igur

a 6:

Cue

rpo

rígi

do e

n ro

taci

ón, v

eloc

idad

es a

ngul

ares

ω1,

2,3

y m

ódul

o de

ω.

Agr

adec

imie

ntos

.

S

e ag

rade

ce a

l G

obie

rno

Bri

táni

co p

or l

a P

ensi

ón C

ivil

Vit

alic

ia,

y al

equ

ipo

técn

ico

de A

IAS

y o

tros

por

muc

has

disc

usio

nes

inte

resa

ntes

. S

e ag

rade

ce a

Dav

e B

urle

igh,

C

EO

de

Ann

exa

Inc.

, co

mo

anfi

trió

n de

l po

rtal

, pu

blic

ació

n vo

lunt

aria

y m

ante

nim

ient

o de

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y p

rogr

amac

ión

y eq

uipo

de

retr

oali

men

taci

ón.

Se

agra

dece

a A

lex

Hil

l po

r la

s tr

aduc

cion

es y

lec

tura

s en

idi

oma

cast

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no,

y a

Rob

ert

Che

shir

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r la

s le

ctur

as e

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iom

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glés

. R

efer

enci

as b

ibli

ográ

fica

s.

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EC

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The

Sec

ond

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adig

m

Shi

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s po

rtal

es

ww

w.a

ias.

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ww

.upi

tec.

org

y

en

la

secc

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Pub

lica

cion

es, e

publ

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lín

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rep.

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ción

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aste

llan

o po

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Hil

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vans

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cion

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ener

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vans

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199

4).