folding markov chains: the origamcmc

Folding Markov chains:the origaMCMC

Christian P. RobertUniversite Paris-Dauphine PSL and University of Warwick

[email protected]

Joint on-goin’ work with R. Douc and G. Roberts

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Outline

IntroductionMotivating exampleFolding the Markov chain

ConvergenceImproving the acceptance rateAsymptotic variance

Practicals [under development]

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Introduction

IntroductionMotivating exampleFolding the Markov chain

Convergence


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motivating example

Consider the target

π(x) =1

(1 + x2)π

standard Cauchy distributionBasic Metropolis-Hastings algorithm with uniform proposalzt ∼ U(xt − ε, xt + ε) cannot be geometrically ergodic

[Mengersen and Tweedie (1996)]

−8 −6 −4 −2 0

020

0040

0060

0080

0010

000

x

t

Dynamics of a standard random-walkMetropolis–Hastings algorithm whentargeting a Cauchy distribution, based on104 iterations and a uniform scale of ε = .1.

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new proposal

Metropolis-Hastings alternative:

1. the current value xt of the Markov chain is first inverted intoyt = 1/xt if found outside (−1, 1),

2. then moved by a random walk on (−1, 1) tozt ∼ U(yt − ε, yt + ε), which value is accepted or notaccording to the standard Metropolis-Hastings ratio,

3. and outcome inverted into xt+1 = 1/yt+1 with probability 1/2

simple version of the folding algorithm, with folding set the unitinterval (−1, 1)

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validation

simple version of the folding algorithm, with folding set the unitinterval (−1, 1)

I Cauchy target still stationary for this distribution

I probability 1/2 resulting from Jacobian rather than fromP(|X | < 1) = 1/2

I not-so-simple [but still-manageable] probabilty if chosingfolding interval (−2, 2) and inversion yt = 4/xt

I fundamental reason is that Cauchy is invariant by inversion

I resulting Markov chain is uniformly ergodic

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simulation outcome

−4 −2 0 2 4

020

0040

0060

0080

00

x

t

x

Den

sity

−20 −10 0 10 20

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

Figure : (Left) Folded Markov chain for Cauchy target with same scaleof the random walk. (Right) Empirical distribution of the Markov chainand fit to the Cauchy target

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folding the Markov chain

Consider target π on state space XLet A0,A1, . . . ,AM be a finite partition of the state space andcreate differentiable bijections g1, . . . , gM from A0 to A1, . . . ,AM ,respectively. Set X? = A0 as the folded spaceDefine the distribution

π?(x?) = π(x?) + π(g1x?) |dxg1 (x?)|+ . . .+ π(gMx?) |dxgM (x?)|

on X?

c© π?(·) is a proper density on X?

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unfolding the folded Markov chain

Simulating from π? is equivalent to simulating from π:

LemmaIf x? ∼ π?, then

x =

x? with probability π(x?)/π?(x?)

g1x? with probability π(g1x?) |dxg1 (x?)| /π?(x?)

· · ·gMx? with probability π(gMx?) |dxgM (x?)| /π?(x?)

is distributed from the target π.

c© build MCMC sampler aiming at π?

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Cauchy example validated

For the Cauchy example:

I A0 = (−1, 1), A1 = (−1, 1)c, g1x? = 1/x?

I and

π?(x) = π(x?) + π(g1x?) |dxg1 (x?)|

=1

(1 + x2)π+

1

(1 + 1/x2)π

1

x2

=2

(1 + x2)π

I unfolding by x =

{x? w.p. 1/2

1/x? w.p. 1/2

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Cauchy example validated

For the alternative

I A0 = (−2, 2), A1 = (−2, 2)c, g1x? = 4/x?

I and

π?(x) = π(x?) + π(g1x?) |dxg1 (x?)|

=1

(1 + x2)π+

1

(1 + 4/x2)π

4

x2=

1

(1 + x2)π+

4

(4 + x2)π

I unfolding by x =

{x? w.p. π(x?)/π?(x?)

1/x? w.p. 4π(4/x?)/(x?)2π?(x?)

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Convergence

Introduction

ConvergenceImproving the acceptance rateAsymptotic variance


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improving the acceptance rate

Define folded transition kernel, K ?(x?, dy?) as

k?(x?, y?) =M∑i=0

π(gix?) |dxgi (x?)|π?(x?)

M∑j=0

k(gix?, gjy

?) |dxgj (y?)|

Kernel considers allpossible images inoriginal space X andbrings them intothe folded space

X(1)k

X?,(1)k

X(1)k+1

X?,(1)k+1

Q Q

H〈K , π〉

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k?(x?, y?) =M∑i=0


M∑j=0

k(gix?, gjy

?) |dxgj (y?)|

Kernel considers allpossible images inoriginal space X andbrings them intothe folded space

X(0)k

X?,(0)k

X(0)k+1

X?,(0)k+1

Q? Q?

H〈Q?KQ, π?〉

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k?(x?, y?) =M∑i=0


M∑j=0

k(gix?, gjy

?) |dxgj (y?)|

Proposition

If α(x , y), resp. α?(x?, y?), is Metropolis–Hasting acceptanceprobability for the original, resp. folded, proposal kernel K then

E[α?(X ?,Y ?)] ≥ E[α(X ,Y )]

when expectations computed under respective stationarydistributions, π?(x?)K ?(x?, y?) and π(x)K (x , y)

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asymptotic variance

Given (X,X ) and (X?,X ?),define the folding mappingϕ : X→ X? and write

Q(x , dx?) = δϕ(x)(dx?)

X(1)k

X?,(1)k

X(1)k+1

X?,(1)k+1

Q Q

H〈K , π〉

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asymptotic variance

Given (X,X ) and (X?,X ?),define the folding mappingϕ : X→ X? and write

Q(x , dx?) = δϕ(x)(dx?)

For π target probability on(X,X ), set

π? = π ◦ ϕ−1

and define kernel Q? on X? ×Xby

π(dx)Q(x , dx?) = π?(dx?)Q?(x?, dx)

X(1)k

X?,(1)k

X(1)k+1

X?,(1)k+1

Q Q

H〈K , π〉

X(0)k

X?,(0)k

X(0)k+1

X?,(0)k+1

Q? Q?

H〈Q?KQ, π?〉

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asymptotic variance

Given (X,X ) and (X?,X ?), define the folding mapping ϕ : X→ X?

and writeQ(x ,dx?) = δϕ(x)(dx?)

set π? = π ◦ ϕ−1 and define kernel Q? on X? ×X by

π(dx)Q(x , dx?) = π?(dx?)Q?(x?, dx)

Lemmafor all (f , g) ∈ L2(π)× L2(π?),

〈f ; Qg〉π = 〈Q?f ; g〉π? where 〈f ; g〉µ = µ(fg)

If K is π-reversible, then, Q?KQ is π?-reversible, since

〈f ; Q?KQg〉π? = 〈Qf ; KQg〉π = 〈KQf ; Qg〉π = 〈Q?KQf ; g〉π?

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comparing two π-reversible Markov chains

Let P0 and P1 be two π-reversible Markov kernels.easy-to-check conditions on P0 and P1 ensuring that for all f insome ”class of functions”,

v(f ,P0) ≥ v(f ,P1)

where we have defined, for a Markov chain (X ()k)k∈N with

π-reversible transition kernel P and initial distribution π,

v(f ,P) := limn→∞

1

nVar

n−1∑k=0

f (Xk) = limn→∞

√nVarπn(f )

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two notions

Definition

1. P1 dominates P0 on the off-diagonal, i.e. P1 � P0, if

∀(x ,A), P1(x ,A \ {x}) ≥ P0(x ,A \ {x}) .

2. P1 dominates P0 in the covariance ordering, i.e. P1 < P0, if

∀f ∈ L2(π), 〈f ; P1f 〉π ≤ 〈f ; P0f 〉π

where 〈f ; g〉π =∫π(dx)f (x)g(x).

TheoremP1 � P0 ⇒ P1 < P0 ⇒ v(f ,P0) ≥ v(f ,P1) ∀f ∈ L2(π) .

[Peskun (1973) and Tierney (1998)]

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induced kernel

Given a proposition kernel K and the target distribution π, writeH〈K , π〉 the Metropolis-Hastings kernel defined by:

H〈K , π〉(x ,A \ {x}) =

∫K (x , dy)α(x , y)IA\{x}(y)

where α(x , y) = 1 ∧ r(x , y)

r(x , y) = dµdν (x , y)

µ(dxdy) = π(dy)K (y , dx)

ν(dxdy) = π(dx)K (x ,dy)

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two approximate expectations

1. Let {X (1)k } a Markov chain of transition kernel H〈K , π〉. The

Rao-Blackwellised approximation is defined by

π(1)n (h) =

1

n

n∑k=1

QQ?h(X(1)k ) (1)

2. Let {X ?,(0)k } a Markov chain of transition kernel H〈Q?KQ, π?〉

and consider the Rao-Blackwellised approximation

π(0)n (h) =

1

n

n∑k=1

Q?h(X?,(0)k ) (2)

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comparison

TheoremFor h real-valued measurable function on (X,X ) such thatπh2 <∞ and

I {X (1)k , k ∈ N} Markov chain with kernel H〈K , π〉 starting

from π

I {X ?,(0)k , k ∈ N} Markov chain with kernel H〈Q?KQ, π?〉

starting from π?

Then,limn→∞

nVar(π(0)n (h)) ≤ lim

n→∞nVar(π

(1)n (h))

with π(0)n (h) and π

(1)n (h) defined in (2) and (1)

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Practicals

Introduction

Convergence


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folding set

Unless target distribution simple enough for informed choice,natural choice for A0 is HPD region

Hα = {x ∈ X; π(x) ≥ α}

as

I π? [and hence π] lower bounded on Hα

I resulting Hα compact

I some transition kernels produce uniform ergodic chains

I partition of X into A0,Ac0 with natural stereoscopic projection

[provided A0 star-convex]

g1(x?) =%2

|x?|2x?

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practical implementation

While Hα usually unavailable, approximations can be found frompreliminary MCMC runs when π(x) or unnormalised version of itcan be computed

I preliminary run produces simulations with [relative] values ofπ, π(x1), . . . , π(xN)

I derivation of higher density values [and potential clustering]

I choice of an HPD approximation as ball and g1 as naturalprojection

I reevaluation of the folding set after further simulations

note: black box compatibility with MCMC code

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Cauchy illustration

I preliminary run producessimulations with values ofπ(x)

I derivation of higher densityvalues and clustering

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−1.5 −1.0 −0.5 0.0

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

xπ(

x)

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Cauchy illustration



I choice of an HPDapproximation as ball and g1as natural projection

I potential reevaluation of thefolding set after furthersimulations

xD

ensi

ty

−0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

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Cauchy illustration



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1.0 1.5 2.0 2.5

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x

π(x)

22 / 25

Cauchy illustration





x

Den

sity

0.8 1.0 1.2 1.4 1.6

01

23

4

22 / 25

Cauchy illustration





x

Den

sity

1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

02

46

810

qMC version using sobol(1e5,3)

22 / 25

Gaussian sugarloaf

Targetπ(x) ∝ ϕ(x ;µ,Σ)× exp{−α/||x − x0||2}

23 / 25

Gaussian sugarloaf




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Gaussian sugarloaf






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sity

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sity

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Gaussian sugarloaf






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0 20 40 60

−10

010

2030

40

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keep folding: the origaMCMC

When A0 shows too much variability of π?, it can be folded again:the procedure can be iterated or a more elaborated partition canbe constructed by clustering

I cost of unfolding possibly a deterent

I over-concentration not an issue with projected proposal

I plus other proposals may be included

I possible connection with Wang-Landau flat histogramalgorithm, although Jacobian may prevent flatness (andbecome a liability)

[Jacob & Ryder, 2014]

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further questions

1. Folding increases the acceptance probabilities and improve theasymptotic covariance. What about achieving geometricergodicity?

2. Folding is only possible if folding and unfolding the Markovchains is not costly. What about a computing time criterion?

3. Domination results are obtained with the kernel induced onthe folded space [black box]. What about selecting moreappropriate [black/white box] folded kernels?

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folding markov chains: the origamcmc

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