flexion simple en vigas

8/18/2019 Flexion Simple en Vigas

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FLEXIÓN SIMPLE EN VIGAS

Introducción

En este capitulo estudiaremos las acciones internas (fuerzas y/o momentos)que tienden a producir flexiones en un elemento mecánico. El MétodoGeneral (de las secciones planas) nos ayudará en la definición de las fuerzas

internas en cualquier sección de un elemento

Z

SÓLIDO ENEQUILIBRIO

X

Y

M Y

MX

MZ

NXY

NXX

NXZ

Sección de interés(Cara X positiva)

- Eje X Normal a la sección- Ejes Y, Z, En el plano de la sección.- Generalmente, el origen O coincidecon el centroide del área de lasección transversal.


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Fuerzas Internas:

Nxx Fuerza Axial (produce alargamientoso contracciones del elemento).Nxy, Nxz Fuerzas Cortantes (Producen deslizamientosde una sección respectode otra)Mx Momento Torsor (Produce giro de una sección respecto de otra).My, Mz Momentos Flectores (Producen la FLEXIÓN (curvatura) del elemento).My Produce Flexión en el plano XZ

Mz Produce Flexión en el plano XY

En términos generales FLEXIÓN Cambios de Curvatura

1

1

2

2

Eje

Configuración inicial

2

2

1

1Eje

M

Configuración deformada


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Definición. Elementos esbeltos: aquellos cuya longitud es mucho mayor que

cualquiera de sus dimensiones transversales.

ab

LL aL b

b5La5L

Al menos

Definición. Vigas: Elementos estructurales cargados transversalmente. En el casode Flexión Simple, las cargas se suponen actuando en un plano de simetría.

simétrica

Plano desimetría

Por comodidad el elemento se identifica por su diagrama de ejes y cargas.


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Si las cargas no están aplicadas en el Plano de Simetría (o si no existe dichoplano) se presenta el caso de Flexión Compuesta.

Z

Seccióntransversalno simétrica

(Centroide)

Y

Cargas fuera delPlano de Simetría

En el caso de elementos sometidos a Flexión Simple, pueden presentarse variosEstados de Carga:

y

zx

Mz Mz

MOMENTOFLECTOR

– Flexión Pura

MOMENTO FLECTOR

FUERZA

CORTANTE

– Cortante y Flexión


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Hipótesis en el Problema de la Flexión

La hipótesis fundamental en la Teoría de la Flexión Elástica es la Hipótesis delas Secciones Planas (Bernouilli)

“Todos los planos que son perpendiculares al eje longitudinal, permanecenplanos y perpendiculares al eje deformado cuando el elemento es sometido aflexión”

A' B'

C' D'

E' F'

FIBRAS COMPRIMIDAS

EJE DEFORMADO FIBRAS EXTENDIDAS

Mz Mz

Estado Deformado A B

C D

E F xEJE RECTILÍNEO

Estado Inicial

Los planos AC y BD pueden rotar uno respecto del otro, pero se conservan

planos y perpendiculares al eje longitudinal deformado.Debido a que las deformaciones unitarias se relacionan con las deformacionestotales (cambios de longitud), la Hipótesis de las Secciones Planas implica quela deformación unitaria longitudinal x varía linealmente con la posición de lafibra observada, desde un valor extremo negativo (en CD) hasta un valorextremo positivo (en AB) (para el momento indicado Mz).


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A B

C D

E F x

y > 0

y < 0 EJE

Mz Mz

–

+

C1

C2

1

y

x máx(en compresión)

x máx (en tracción)2

2

2

1

1

CC:

Lineal

Variación

Diagrama de DeformacionesUnitarias

Definiciones. Las fibras para las cuales la deformación unitaria longitudinalx es nula, se sitúan en una superficie denominada Superficie Neutra.

La intersección de la Superficie Neutra con el plano vertical de simetría, sedenominaEje Neutro (Longitudinal).

La intersección de la Superficie Neutra con una Sección Transversal, sedenominaEje Neutro de la Sección.


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Elemento antes dela Flexión

y

z

x

Mz Mz

SuperficieNeutra

Elemento en Flexión

Eje Neutrode la SecciónTransversal

Eje Neutro Longitudinal

Notas- Si el material es de comportamiento elástico – lineal, la hipótesis de lasSecciones Rectas, implica también que los únicos esfuerzos producidos porel Momento Flector Mz son Esfuerzos Normales x (longitudinales) deVariaciónLineal.

–

+

1

2

2

2

1

1

CC

C1

C2

2

–

+

1

Tracción C

ompre

sión

Variación lineal(x = Ex)

Hooke


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Debido al efecto de la deformación transversal o lateral (Efecto Poisson) lasdeformaciones unitarias en direcciones Y, Z son:

(aceptando material elástico – lineal – isotrópico).

Incluyendo el efecto de la Deformación Transversal, la Superficie Neutra no esuna superficie cilíndrica, sino una superficie con varias curvaturas.

Superficie Neutra(sin deformación transversal)

(Superficie CILÍNDRICA)

Superficie Neutra(incluyendo deformación transversal)

(Superficie ANTICLÁSTICA)


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Considerando el efecto de la deformación transversal, las seccionestransversales tambiénse deforman.

Sección Inicial Sección

Deformada

En los primeros estudios del problema dela flexión, se acepta, sin errores mayores,que la Superficie Neutra sólo tienecurvatura en el Plano coordenado XY,

permaneciendo recta en la dirección Z.

Variación de las Fuerzas Internas

Fuerzas Internas

Consideremos un elemento sometido a cargas aplicadas en el Plano de

Simetría.

1

1x

y

z

y


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En una sección genérica, 1-1, se desarrollan fuerzas internas que garantizan

el equilibrio y representan la interacción con la porción idealmentesuprimida (Método de Secciones).

N

M

V V

N

M

Fuerzas deInteracción

Generalmente, V, N y M son variables de una sección transversal a otra:V = V(x); N = N(x); M = M(x)

Definición. Las representaciones gráficas de las funciones que describen lavariación de las fuerzas internas, se denominan Diagramas de FuerzasInternas.N = N(x) Diagrama de Fuerza Normal (Axial)V = V(x) Diagrama de Fuerza CortanteM = M(x) Diagrama de Momento Flector


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Nota. En algunos sistemas (elementos) estructurales será convenientegraficar las variaciones de las Fuerzas Internas usando otras variables

(coordenadaspolares)N Fuerza TangencialV Fuerza RadialM Momento Flector

N = N()M = M()

¼ circunferencia

Convenio de Signos

Es conveniente respetar el convenio de signos usado en el estudio del EstadoGeneral de Esfuerzos (Matriz de Esfuerzos).


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a) ELEMENTO DIFERENCIAL

x

M

N

V

N V

M

C ARA IZQUIERDA

DEL ELEMENTO

C ARA DERECHA DEL ELEMENTO

FUERZAS INTERNAS POSITIVAS


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b) SECCIÓN TRANSVERSAL

N

M

V V

N

M

FUERZAS INTERNAS POSITIVAS

Las ecuaciones que describen la variación de las fuerzas internas (N, V, M),generalmente se determinan por aplicación reiterada de las ecuaciones delequilibrio estático (una vez para cada tramo típico en el elemento o sistemaestudiado).


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Así, para una viga apoyada simplemente con una carga concentrada.

W

a b

A B Ca + b = L

Por equilibrio (global) se determinan las reacciones externas (SistemasIsostáticos externos).

W

A B C L

bW A

L

aWR

C

R A R C

Tramo AB (0 x a)

Lb

W

N = 0 V = – Wb/L

xLb

W

Ax

V

M

N Equilibrio


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Tramo BC (0 x b)

N = 0 V = Wa/L

xLa

W

C

LaW

x

V

M

N Equilibrio

Diagramas

B

+

W

W

A C

–

L

a

L

bW

+

La

FUERZA CORTANTE

MOMENTO FLECTOR

(Nótese que en cada tramo se escoge una dirección y un origen para medir lasdistancias)


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Para una viga con carga uniformemente distribuida, graficar la variación delas fuerzas internas.

W: carga repartidauniforme

A B

L

2L

A B

(Diagrama de cargassimétrico)

Reacciones:

2L

Un sólo tramo típico (0 x L)

2L

W

Ax

V

N

MW


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Diagramas

Mmáx = 8L

W2

W

2L

2L

W

+

–

+Fuerza Cortante (Antisimétrico)

Momento Flector (Simétrico)

Nótese que Mmáx ocurre en la sección donde la fuerza cortante es nula.


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Notas)

La sustitución de cargas distribuidas por su resultante es significativa únicamentepara el diagrama de Cuerpo Libre sobre el cual actúa las fuerzas distribuidas.Durante la determinación de las fuerzas internas (y en el desarrollo de losrespectivos diagramas) no puede reemplazarse una carga distribuida por suresultante y continuar con los cálculos. Así, para una viga con carga linealmentecreciente:

W0

B

L

A

Un solo tramo típico

W

N Ax

M

V


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Semejanza:

W0

L

W

x

xLWW0

Las fuerzas internas son:

Diagramas

2L

0 +

FuerzaCortante

Parábola de 2do grado

Momento FlectorParábola de 3er grado

–


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Un elemento en flexión pura está en Estado de Flexión Positiva cuandoorienta su “ConcavidadhaciaArriba”.

Inicial

M

Deformado

Mx

y

Si orienta su concavidad hacia abajo, se define al elemento en Estado deFlexión Negativa

M M

Inicial

x

y

De acuerdo al signo de la flexión, se reconocerán Zonas en Tracción y Zonasen Compresión:


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FIBRAS EN TRACCIÓN

M M

FIBRAS EN COMPRESIÓN Eje Neutro LongitudinalFLEXI NPOSITIVA

FIBRAS EN COMPRESIÓN

M M

FIBRAS EN TRACCIÓN

Eje Neutro Longitudinal

FLEXI NNEGATIVA

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