física descriptiva de white

7/29/2019 Fsica descriptiva de White

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1UNIDADES DE MEDICION

Se ha definido la Fsica como la ramadel conocimiento y la experimentacin quese ocupa del mundo inanimado y sus fe-nmenos. Comptende la mecnica, las pro-piedades de la materia, el calor, el sonido,la luz, la electricidad y el magnetismo, losrayos cat6dicos, los rayos X, la radiactivi-dad, la estructura del tomo, los rayos clJS-micos, la desintegracin atmica y la ener-ga atmica. Se dice que la Fsica es unaciencia exacta, porque usa instrumentos demedida para efectuar experimentos y ob-servaciones precisas. A partir de las medi-ciones realizadas en estos experimentos, sedesarrollan teoras y leyes que luego sonusadas para pronosticar los resultados denuevos experimentos. Si los nuevos resulta-dos experimentales no concuerdan con lateora, entonces sta se modifiCa para queest de acuerdo con ellos, o se desecha yreeInplaza por otra. teora mejor. Aquellosque efectan los experimentos nuevos, sonUamados fsicos experimentales.,y los queformulan las teoras basadas en los experi-mentos, son los fsicos tericos. La natura-lezade la Fsica y sus mtodos objetivosde experimentacin, justifican que se la con-sidere como.una de las ciencias ms exactas.1.1 Unidades fundamentales y derivadas.Ya que la Fsica es una ciencia basada enmedidas exactas, es indispensable que el es-tudiante se familiarice primero con algunos

diferentes distancias, se podra obtener, porejemplo, 20 metros, 5 kilmetros,3 millas;o, al determinar diferentes masas. encon-trar 6 kilogramos, 45 gramos; o, como res-puesta a una medida de diversos intervalosde tiempo, tener 7 horas, 26 segundos, etc.Como consecuencia de algn experimentoo en la lectura de ciertos aparatos, puedenaparecer rpediciones de 10.7 caloraJ, 90 ki-lovatios,6 voltios, etc. En cada caso, launidad es tan necesaria como el nmero,para expresar el valor de la cantidad me-dida.Aunque hay m.uchas unidades diferentesusadas en mecnica, cada una se puedeexpresar en funcin de tres unidades espe-ciales como mximo. Estas tres, llamadasunidades fundamentales, son las unidadesde longitud, masa y tiempo. Todas las de-ms unidades se llaman derivadas, ya que,como veremos despus, siempre puedenexpresarse como combinaciones de las uni-dades fundamentales.

En general, hay dos sistemas de unida-des fundamentales, cuyo uso est muy ex-tendido: a) el sistema mtrico, y b) elsistema ingls. En todo el mundo, las ob-servaciones cientficas se hacen casi siem-pre usando unidades del sistema mtrico.Este sistema emplea el metro patrn, comounidad de longitud; el kilogramo patrn,como unidad de masa, y el segundo; comounidad de tiempo. El si~tema ingls, emplea


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UNIDADES DE MEDICI6NOficina Internacional de Pesas y .Medidas,en Sevres, Francia, cerca de Pars. Mxicoes dueo de un duplicado de este patrn,que se guarda en la Direccin General deNonnas de la Secretara de Economa. Es-tados Unidos tiene tres, y casi todas lasdems naciones del mundo son dueas deuna copia, por lo menos. Cada uno de estos

111centm~tro (cm) = 10milmetros(mm)1000 milmetros (mm) = 1 metro (m)En algunospases, comolos EstadosUn~"dos, usan continuamente la yarda (yd)como unidad de longitud. Por un acta delCongreso de 1866 se estableci legalmenteque la yarda en los Estados Unidos vale

centlmetro81A. hcala en centr tl'Oly pule--.duplicados puede llamarse metro patrn in-ternacional y, actualmente, son el patrnde longitud en los pases de habla espa-ola, as como tambin en Estados Unidosy en Europa. Con estos patrones se com-prueban todas las reglas y cintas mtricas.Cuando se construy el primer metro pa-trn, se trat de que tuviera la longitudde una diezmillonsima parte de la distan-cia que hay entre uno de los polos y elEcuador. La separacin entre las dos mar-cas grabadas en la barra de platino-iridio,cerca de cada extremo, es tomada ahoracomo un metro exacto, aunque las 'medicio-nes ms exactas, 'hechas recientemente, handemostrado que la distancia del polo alEcuador, es aproximadamente igual a10000880 metros patrlm.El metro patrn se divide en cien partesiguales. Cada una de estas partes se llamacentmetro.

1metro = 100 centmetroso abreviado, 1m= 100 cmEl centmetro, a su vez, se divide en diezpartes iguales. Cada una de eStaspartes sellama milmetro (vase la fig. 1A).

3600/3 937 partes de un metro patrn.Como la yarda est dividida en 36 pulga-das (in) :1 metro (m) = 39.37 pulgadas (in)Con doce pulgadas en un pie (ft) :3 pies(ft) = 1 yarda (yd)

1 pie (ft) = 30.48 cm1 pulgada (in) = 2.54 cmLos tamaos de la pulgada y sus frac-ciones comparados con el centmetro y elmilmetro, quedan ilustrados en la fig. lA.Cuando se van a medir distancias gran-des, es comn y conveniente el uso de uni-dades de longitud mayores. Estas unida-des son el kilmetro (km), en el sistemamtrico, y la milla (mi), en el sistema in-gls. Un kilmetro equivale a mil metrosy una milla equivale a cinco mil doscien-tos ochenta pies.1 kilmetro (km) = 1000 metros (m)1milla(mi) ==5280pies (ft)La relacin entre el kilmetro y la millaes: 1 mi = 1.609 km1 km = 0.621 mi

Para otras equivalencias,ver la tabla A.


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12TABLA A. TABLA DE FACTORES DE CONVERSIN DE UNIDADES DE LONGITUD.

FSICA DESCRIPTIVA

km1 kilmetro = 11 metro = 0.00100

m10001

0.01000.025400.304801609.34

1 centmetro = 1.0 X 10-51 pulgada = 2.54 X 10-51 pie = 3.05 X 10-41 milla = 1.60934

1.3 El kilogramo patrn y la libra patrn.La unidad patrn de masa es el kilogramo,una pieza de platino, tambin conservadaen la Oficina Internacional de Pesasy Me-didas, en Sevres, Francia, cerca de Pars.Mxico y los dems pases iberoamericanostienen un duplicado de este kilogramo pa-trn) cada uno. Los Estados Unidos tienendos. El kilogramo se divide en 1 000 partesiguales llamadas gramos.1 kilogramo (kg) = 1 000 gramos (g)Originalmente se bas el kilogramo pa-trn en el gramo, siendo el gramo la masa

Ag. 18. La masa del kilogramopatreSns 2.2 vecelmayor que la masa d. la libra patreSn.

de un ct".ntmetro CbICOde agua pura acuatro grados centgrados de temperatura.La libra patrn es definida "en funcin

cmI

in100,000 39,370100 39.370

1 0.393702.5400 130.480 I 1260,934 63,360

ft3280.833.280830.0328080.08333

15280

mi0.621406.21 X 10-.6.21 X 10-61.58 X 10-51.89 X 10-4

1

llb = 0.4536 kgIlb = 16 oz1lb= 453.6 g1oz= 28.35g1kg= 2.205 lb1 ton corta = 2 000 lb1 ton mt= 1 000 kgEl estudiante deber aprender algunosde los nmeros anteriores, y al mismo tiem-

Ag. 1C. ..'01 de agua.po, familiarizarsecon los nombres de estasunidades.1.4 Relojes histricos. Los instrumentospara la medida del tiempo se remontan his-


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UNIDADES DE MEDICINfueron principalmente relojes de agtia, al-gunos de diseo muy sencillo y otros mscpmplicados. Estos relojes se basaban enel principio muy elemental de que se ne-cesita el mismo tiempo para que fluyancantidades iguales de agua a travs de unapequea abertura. El reloj de arena, quese basa en el mismo principio y usa arenaen vez de agua, es un descendiente del re-loj de agua, y data de la Edad Media.Un reloj de agua, de diseo bastantesencillo, se ilustra en la fig. 1C. Los pe-queos agujeros en los bordes de las aspas(vase el detalle en el diagrama), dejanque el agua fluya de un compartimientoa otro. Esto permite que el cilindro girelentamente, desenrollando las cuerdas delas que est suspendido.El reloj de sol se remonta al astrnomocaldeo Berosus, que vivi en el tiempo deAlejandro el Grande, 300 a.C. En los par-ques pblicos se usan ahora los relojes desol como objetos de adorno. Un relojde sol de diseo comn, como el ilustradoen la fig. 1 D, consta esencialmente de unaaguja llamada saeta, montada en cierto n-gulo sobre una placa circular llamada cua-drante. La saeta se monta en el plano ver-tical norte-sur. El borde de la saeta esparalelo al eje de rotacin de la Tierra, ysirve para proyectar una sombra sobre elcuadrante que est marcado con las horasdel da. Se deben hacer pequeas correc-ciones al tiempo indicado por la sombra,debido al movimiento aparente de prece-sin anual del eje de la Tierra. Estascorrecciones, que llegan a ser ~e varios mi-nutos, generalmente estn marcadas en elcuadrante. Por ejemplo, el cuadrante delreloj de sol de la Universidad de Califor-nia, en los Estados Unidos, tiene las siguien-tes correcciones: .Ene. 10, + 17 mino Jul. 19, + 15 mino

13de un volante. As operan los reljes depared y los relojes de pulsera. Estos. apa-ratos se estudiarn posteriormente en laseccin dedicada a vibraciones y ondas(Cap. 18). Los relojes elctricos que seencuentran frecuentemente en las oficinasson movidos por diminutos motores elc-tricos. La marcha de estos motores est re-gulada por la planta urbana de energa

Flg. 1D. .elol de sol.elctrica que vigila la frecuencia de la co-rriente alterna que abastece a las lineas detransmisin elctrica. El reloj -principalde las centrales de energa, frecuentemen-te, es de pndulo.1.5 El tiempo y el da solar medio. Losastrnomos han considerado siempre tresclases de tiempo: primero, el tiempo side-ral; segundo, el tiempo solar aparente, ytercero, el tiempo solar medio. Este ltimoes el que se usa en la vida diaria. Si colo-camos la saeta de un reloj de sol en el


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14da a otro, debido a varias razones, siendouna de ellas la fonna elptica de la rbitaterrestre. Un da solar aparente del mesde diciembre, es cerca de un minuto mslargo que .un da solar aparente de sep-tiembre. Se comprende fcilmente que esteda solar, aparente no puede servir para re-gular los relojes tan exactos que ahorausamos.La duracin promedio de todos los dassolares aparentes de un ao solar, se llamada solar medio. .Este es un intervalo detiempo satisfactorio para nosotros, ya queI!0 vara y se puede conservar mediante re-lojes regulados. El intervalo de tiempo lla-mado segundo, se define como 1/86400del da solar medio.

111 11 seg==- X - X -- da60 60 24 . ~ - ~ -Hay 365.2421 das solares medios en unao solar; es decir que, con resPecto alSol, la Tierra efecta 365.2421 vueltas so-

bre su eje, mientras completa una revo-lucin en su rbita.Para usos astronmicos se usa una es-cala de. tiempo diferente, llamada tiemposideral. Hay un da sideral ms en el aosolar que el nmero de das solares medios.Un ao solar es igual a 366.2421 das si-deraIes. La razn de que exista este daadicional, es. que al efectuar una vueltacompleta alrededor del Sol, siguiendo surbita, la Tierra ha efectuado realmente366.2421 revoluciones con relacin a lasestrellas fijas. El segundo sideral medidopor un reloj astronmico, ser, en conse-cuencia, ligeramente ms corto qqe un se-

FSICA DESCRIPTIVAgundo marcado por un reloj ordinario quemida el tiempo solar medio.1.6 Unidades del Sistema Mtrico Deci-mal. Casi todos los experimentos cient-ficos en el mundo entero se efectan usan-do unidades del Sistema Mtrico Decimal.En estas unidades, las distancias se midenen milmetros, centmetros, metros o kil-metros. La masa se mide en gramos o kilo-gramos; y el tiempo se mide en segundos,minutos o en horas. En este sistema, laabreviatura CGS significa, centmetro, gra-mo, segundo, y MKS significa metro, kilo-gramo, segundo.El sistema ingls se usa en la vida prc-tica en los Estados Unidos y pases de laComunidad Britnica, y emplea pies, yar-das o millas como unidades de longitud;qnzas, libras o toneladas cortas como uni-dades de peso o fuerza, de las cuales puedecalcularse la masa; y el segundo como uni-dad de tiempo. En estos pases se sigueusando el sistema ingls, con sus comp1ic~das fracciones, porque est fIrmementearraigado en la vida comn y esto hacemuy difcil que se pueda llegar a sustituidocompletamente con el Sistema Mtrico De-cimal; pero actualmente hay un movimien-to muy fuerte de opinin, encaminado alograr este cambio.La principal ventaja del Sistema MtricoDecimal, comparado con el sistema ingls,es que todas las unidades se dividen en d-cimas y centsimas partes. Esto pennite quelas distancias y masas fraccionarias, se ex-presen en fonna decimal. Los decimales,como bien se sabe, son manejados ms f-cilmente en las operaciones aritmticas.

PREGUNTASY PROBLEMAS1. Cuntos metros equivalen a 25 mi? ~ autom6vil es de 16 ft, 4 in de lar-

(Resp. 40 234. m.) go. Encontrar su longitud en metros. (Resp.4.98 m.)6. Encontrar la altura en metros de unhombre de 5 ft, 10 in de alto.7. Encontrar el nmero de metros cua-4. Encontrar la distancia a la luna en me- dradoS en una milla cuadrad. (Respuesta.tros si es de 239000 mi. 2 589000 m2)

2. Cuntas millas hay en 70 km?~untos metros hay en 5 ft? (Resp.1.52m.)


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UNIDADES DE MEDICI6N8. Cuntos metros cuadrados hay en unacre? Una milla cuadrada contiene 640 acres.9. Un hombre de 75 kg, cuntas libras

pesa? (Resp. 165.4-lb)10. Un carro pesa 4 200 lb. Cul es sumasa equivalente en kilogramos?11. Un cuarto de galn de agua pesa 2lb.Cul es su masa equivalente en gramos?(Resp. 907.2 g.)i2. Cul es el peso en libras que equi-vale a una masa de 45 kg?~ Qu masa en kilogramos equivale a

un peso de 50 lb? (Resp. 22.7 kg )14. Cuntos segundos hay en un da?

1515. Cuntos segundos hay en una sema-na? (Resp. 6()4.800 seg.)~ncontrar el nmero de segundos quehay en 5 hr y 25 mino17. Un avin a retropropulsin tiene unpeso de 100000 lb. Cul es su masa en kg?(Resp. 45 360 kg.)18. Cul es la altura de un hombre enmilmetros si mide 6 ft de alto?19. Encontrar el nmero de milmetrosque hay en una yarda. (Resp. 914 mIn.)~l es la circunferencia en milme-tros de una bola de 6 in de dimetro?


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2RAPIDEZ, VELOCIDADY ACELERACION

2.1 Velocidad. La velocidad se definecomo la rapi~ez de ca~b.i? de posicin. Ya La respuesta es 60 km/ hora hacia el Este.que el cambzo de poszczon de un cuerpo Las unidades son tan importantes como losnmeros y deben ser incluidas en la respuesta.

La Mecnica se define como la rama dela Fsica que se ocupa de estudiar los mo-vimientos y estados de los cuerpos mate-riales. Generalmente se divide en dos par-tes, la primera llamada cinemtica, quedescribe los varios tipos de movimientos, yla segunda, llamada dinmica, trata de lascausas que hacen cambiar los movimientos.La dinmica, a su vez, se divide en dospartes, esttica y cintica.

La esttica estudia los cuerpos en estadode equilibrio, condicin que se logra porfuerzas equilibradas, mientras que la cin-tica estudia los cambios de movimiento pro-ducidos por una o ms fuerzas no equili-bradas. Se presentarn primero los concep-tos elementales de rapidez y velocidad comointroduccin a la cintica.

v~~

....Atys

.-8Flg. 2A. Diagrama de un cuerpo movindose con v~locldad constante.se mide por la distancia recorrida, esta defi-nicin de velocidad puede escribirse as:Vel. media - distan~ recorrida (2a)

tiempoComo una ecuacin algebraica:

Donde v es la velocidad, d es la distanciarecorrida y t el tiempo transcurrido.En la fig. 2A se ilustra el cambio deposicin. Un automvil, viajando con velo-cidad unifonne a lo largo de una lnea rec-ta, pasa por el punto A en cierto instantey por el punto B en otro momento poste-rior. Al sustituir en la ecuacin (2b), ladistancia recorrida ser AB, y el espaciode tiempo entre A y B ser t segundos.

Ejemplo 1. Un hombre necesita 2 horaspara llevar su automvil a una ciudad queest a 120 kilmetros hacia el Este. Cul essu velocidad media?Solucin. La distancia recorrida d = 120kilmetros y el intervalo de tiempo t = 2 ho-ras. Por lo tanto, la velocidad es:

v = 120km = 60 km2horas hora (2c)

Si en el resultado del ejemplo anteriorse reemplaza el tiempo de 1 hora en eldenominador por su equivalencia de 3 600segundos, la velocidad de 6Q km/hora seconvierte enkm kmv=60-=60--hora 3 600 seg

=0.0167 kmseg (2d)


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RAPIDEZ, VELOCIDAD Y ACELERACINv= 60 km 1:::: 60 1000mhora 3 600 seg m= 16.7-segLas tres respuestas dadas, 60 km/hora,0.0167 km/seg y 16.7 m/seg, son exacta-mente iguales, slo que estn expresadasen diferentes unidades.

(2e)

Ejemplo2. Un tren de juguete corre a 10/largo de una va recta a velocidad constantey necesita 8 segundos para recorrer una dis-tancia de 20 Imetros.Encuentre su velocidad.Solucin. Aqu la distancia d.= 20 m y elintervalo de tiempo t = 8 seg, la velocidadser: 20m mv = - = 2.5..:..-8 seg segLa respuesta es 2.5 mjseg. Para cambiar

esta respuesta a centmetros por segundo, launidad 1 metro que est en el numerador, secambia por 100 cm, que es su equivalencia,y el resultado ser:m 100 cm cmv = 2.5- = 2.5- = 250-seg seg seg2.2 Distancia recorrida. Si se conoce lavelocidad de un cuerpo, se puede calcularla distancia recorrida en un tiempo dado.Para estos problemas se modifica la ecua-cin (2b) despejando d. Multiplicando losdos miembros de la ecuacin por t, no sealtera la igualdad.

dtvt=- tSuprimiendolas t delsegundomiembrodela ecuacin,obtenemosvt= d, o sea,

I d = vI I (2f)Ejemplo 3. Si un cuerpo se mueve convelocidad de 45 mjseg, a dnde llegar en2 min?Solucin. Usando la ecuacin (2f), obte-nemos

cm . cmmind=45- X 2mm = 90-seg seg

17Para eliminar las unidades de tiempo en

esta respuesta, debern expresarse tiemposen las mismas unidades. Para ello se puedencambiar los minutos a segundos, como si-gue: cmd = 45- X 120seg = 5400cmsegNtese que los seg del numerador se anu-lan con los seg del denominador, dejando

cm en la respuesta como unidades de lon-gitud. Esto nos ilustra una regla corrienteque se sigue, generalmente, al resolver to-dos los problemas. Las cantidades semejan-tes se expresan en las mismas unidades.Dividiendo los dos miembros de la ecua-cin (2f), por v y suprimiendo las v enel segundo miembro de la ecuacin, nosqueda dt=-v (2g)

Una ecuacin para obtener el tiempo delviaje en funcin de la distancia recorriday de la velocidad.Ejemplo 4. Si un automvil viaja con ve-locidad media de 30 kmjhora, cunto tar-dar en recorrer 175 km? .Solucin. Usando la ecuacin (2g), obte-

nemos d 175kmt = - = .= 5.83horasv 30 km/hora2.3 Vectoriales y escaIares. Casi todos losresultados de las medidas fsicas puedenclasificarse en cantidades vectoriales y es-calares, sin importar la sencillez o comple-jidad de los aparatos con que se tomaronlas lecturas. Las cantidades medibles quetienen magnitud y direccin son llamadasvectoriales. Ejemplo de cantidades vectora-les son desplazamiento, velocidad, acelera-cin y fuerza. Las cantidades mensurablesque tienen magnitud solamente, se llamanescalares. Como ejemplos de cantidades es-calares, estn el volumen, el rea, la den-sidad y la masa.La importancia de esta distincin apa-rentemente trivial, entre cantidades que tie.


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.

nen direcci6n y cantidades que no la tienen,se apreciar al resolver algunos problemas,en que haya que efectuar la adicin de doso ms cantidades semejantes.Con las cantidades escalares no se en-cuentra dificultad, ya que tales cantidadesse suman algebraicamente. Por ejemplo, alsumar dos litros y tres litros, resultan cincolitros. Por otra parte, la :adicin de dosvectores, es ms complicada y requiere unproceso especial llamado composicin devectores, que ser tratado detalladamenteen el Captulo 5.2.4 Rapidez y velocidad. Lostrminosra-pidez y velocidad, se usan con frecuenciacomo sinnimos. 'Hablando estrictamente,la rapidez es una cantidad escalary la ve-locidad una cantidad vectorial. Fue expli-cado, en la secci6nanterior, que las canti-dades vectoriales tienen magnitud y direc-cin, mientras que las escalares slo tienenmagnitud.La rapidez es el trmino aplicado.slo ala magnitud de la velocidad, y no especi-fica la direcci6n del movimiento. Al mo-verse a lo largo de una lnea recj1, losvalores numricos de la rapidez y la velo-cidad, son iguales. Pero si la rapidez a lolargo de una trayectori,!-curva es constante,la velocidad no se considera uniforme, de-bido a que va cambiando de direcci6n.Cuando semueve un cuerp()con rapidezconstante a lo largo de una lnea recta,cuya direcCines definida, se acostumbraa hablar de su velocidad.Al moverse a lolargo de una trayectoria recta o cmva dela cual no se.ha fijado direccin,lo correc~

FfslCA DESCRIPTIVAto es hablar de su rapidez. La rapidez y lavelocidad tienen las dimensiones de longituddividida por tiempo.Ejemplo 5. Convertir 30 millasjh en kil6-metros por hora.Solucin. En la tabla, vemos que 1milla/hde la columna izquierda es (leyendo horizon-talmente .hasta la cuarta columna) igual a1.6093 km/h, por lo tanto, km30 X 1.6093.= 48.279hRedondeando la respuesta a tres cifras sig-nificativas, ser

30~ = 48.3~El nudo es una unidad nutica de rapi-dez,cerca de un 85% mayor que la rapidezexpresada en kilmetros por hora. No escorrecto decir que la rapidez de un barcoes de 10 nudos/hora. Lo correcto es decirque su rapidez es de 10 nudos.2.5 - Aceleracin uniforme. Sielnpre quela rapidez o la velocidad de un cuerpo cam-bian, el movimiento se describe como movi-miento acelerado. La aceleracin se definecomo la rapidez con que cambia la veloci-dad. Un automvil "ganando" velocidad,tiene una aceleraci6n positiva..mientras queotro que va "perdiendo" velocidad, tieneuna aceleraci6n negativa. Un automvil es-tacionado o movindose con velocidad cons-tante, no tiene aceleraci6n.Considrese la fig. 2B que ilustra el mo-vimiento unifonnemente acelerado de un

TABLA 2A. FACTORES DE CONVERSIN DE RAPIDEZ Y VELOCIDADVelocidad m{seg pi/seg km/h mi/h nudos1 m/seg = 1 3.281 3.600 2.24 1.941.pie/seg = 0.30480 1 1.0973 0.6818 0.59211,km/h = 0.27778 0.9113 1 0.6214 0.5396


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La respuesta es cinco metros por segun-do, por segundo,y signicaque la velocidadaumenta 5 m/seg en cada segundode tiem-po.. Inicialmente la velocidad era de 20m/seg. Un aumento de 5 m/seg, significaque despus de un segundo, la velocidadser 25 m/seg; al cabo de dos segundos, esde 30 m/seg; al final de 3 segundos, es de35 m.jseg, y pasados 4 segundos es de 40m/seg (vase la fig 2C). Una aceleracincOnstantees, pues, aquella en que el cam-bio de la velocidad tiene valores iguales en'cada segundo.

... 28 U 0 aceIracIodu MI Cuando un cuerpo va detenindose, la. . n 8 , I811UR. velocidad inicial es mayor que la velocidadfmal y, por lo tanto, la aceleracin dadapor la ecuacin (2h), es negativa.EjemPlo 7. Al subir Una loma, un auto-mvil disminuye de velocidad desde 60 km/ha 30 km/h en 2 min. Encuntrese la acele-racin.Solucin. Sustituyendo en la ecuacin(2h), obtenemos,

I .; = velofinal - vel. inicial 30 k Ih - 60 km/h kmace eraaon tion a = m = - 15-po 2 min hmino algebraicamente como L"_..~ 1 1 .d d d.. 15k /h4aunces, a ve 0Cl a lsnunuye. m~ cada mIn~ Durante el primer minuto bajaa = :-=-~ . (2h) de 60 km/h a 45 km/h, Y en el segundo mi-t nuto, desciende de 45 kmfh a 30 km/h.Ejemplo 6. Supongamos que en A, de la 2.6 Movimiento a partir del r~.lig. 2B, la velocidad del automvil ~ de Cuando un cuerpo empieza a moverse par-20 m/seg, que en B ha aumentado hasta tiendo del repa;o y sufre una aceleracin

RAPIDEZ, VELOCIDAD- Y ACEI.ERACI6Nautomvil. Debido a que la fuerza constan-temente ejercida por el motor a travs dela transmisin acta sin inteITUpein, elvehculo es acelerado constantemente al mo-verse a lo largo de la lnea AB. .Al pasarpor A, tiene una velocidad relativamentebaja Vo,mientras que, al avanzar en la tra-yectoria hasta el punto B, ya se va movien-~ v ,.~

....A ~8

do ms aprisa y tiene una velocidad V.Lavelocidad inicial es llamada Voy la veloci-dad final, v.Si el tieInpo necesario para ir de A a Bes t segundos, por la definicinarriba men-cion~da, la aceleracin se expresar nor-malmente de la siguiente nlanera.

Vo- --.~~1130 m/seg~~20 m/seg ~25 mI seg

19

~35m/seg

y------~'.~40 miseg

..Fi,. 2(. 11aufo4Mvll del "'''''''0 6.40 m/seg y que necesit cuatro segundos para constante, la velocidad inicial Vo, dada enir desde A hasta B. Qu ar.-eleracintiene? la ecuacin (2h), es cero; es decir, Vo== O,SoltU:wn. Sustituyendo directamente en la entonces la aceleracin a puede obtenerseecuaci6n (2h), obteneIIlOS, por esta ecuacin ms breve.- 40 m/~ - 20 Inl seg - 20mjsega -- - --~.4 seg 4 seg=,,~...aegseg BJ (2i)


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20Despejando la velocidad, toma esta forma

v=at (2j)EjemPlo 8. Un aeroplano que parte delpunto de reposo en un extremo de la pista,adquiere su velocidad de arranque de 100kmjh en 8 seg. Qu aceleracin tiene?Solucin. Aplicando la ecuacin (2i), ob-tenemos, 100kmJh kma= = 12.5-8 seg h segLa respuesta es 12.5 kilmetros por horapor segundo.

2.7 Aceleracin de cada por un plano in-clinado. Puede hacerse con un Dlano incli-nado un estudio de la aceleraci~, y la com-probacin experimental de las frmulasdadas anteriormente. En la fig. 2D se re-presenta una bola rodando por una ranuradesde la parte alta de un largo plano in-clinado. Conforme la bola baja con unarapidez continuamente creciente, se anotasu posicin a cada oscilacin de un metr-nomo o reloj de Pndulo. En el experimento

FSICA DESCRIPTIVArepresentado aqu, el ngulo del plano seha ajustado de manera que la distancia re-corrida en el primer segundo sea de 20 cm.Despus de 2 segundos, habr recorrido unadistancia total que resulta ser de 80 cm. Entres segundos recorre 180 cm, etc. Al ta-bular estas mediciones para los primeroscinco segundos, se obtienen las dos primerascolumnas de la tabla 2B.Para encontrar la velocidad obtenida alfinal de cada segundo, se coloca un cortoriel horizontal, en las posiciones uno, dos,tres, cuatro, etc., sucesivamente. En cadauna de estas posiciones se mide la distanciarecorrida sobre el riel horizontal en un se-gundo, y esto nos da una medida directade la velocidad adquirida en el plano in-clinado. As encontramos que despus deun segundo, la velocidad es de 40 cm/seg;despus de 2 seg; la velocidad es de 80 cm/seg, ete. Estos valores, medidos experimen-talmente, aparecen tabulados en la colum-na 3 de la tabla.Un estudio cuidadoso de las columnasprimera y tercera, demuestran que la velo-

1=0

Flg. 2D. Experimento d. un plano Inclinado, Indicando la. dl.tancla. ..corrida. cada 1egundo poruna bola al descender rodando por el plano.


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21APIDEZ, VELOCIDAD Y ACELERACINTABLA 2B. VALORES CALCULADOS y EXPERIMENTALES DETERMINADOS EN ELEXPERIMENTO DEL PLANO INCLINADO DE LA FIG. 2D.

cidad v es directamente proporcional altiempot. v o: t.Para escribirlo en fonna de ecuacin al-gebraica, se reemplaza el signo de propor-cionalidad por una igualdad y una cons-tante k. v= kt. (2k)El valor de k puede determinarse, delexperimento anterior, en la fonna siguiente.

Divdase cada valor de v, de la terceracolumna, por el valor con-espondiente det, de la primera columna, y se obtendr40 cmjseg2 como resultado comn.Por tanto, k = 40 cmjseg2 yv=40t

Refirindonos a la eco (2j), se ve que laconstante 40 no es otra cosa que la- acele-racin. En otras palabras, es el aumento develocidad en cada segundo. Cada segundoJ

(21)

la bola aumenta su velocidad en 40 cmjseg.Reemplazando este 40 en la ecuacin (21)por a, obtenemos v=atque es la ecuacin (2j).Para encontrar la relacin que da la dis-tancia recorrida a lo largo del plano incli-nado, se observa que d, en la segunda co-lumna, es proporcional al cuadrado de tanotado en la sptima columna.

d o: t2, d = kt2Para encontrar la constante de propor-cionalidad k, cada distancia d, se divideentre el valor con-espondiente de t2,dando20, como lo muestra la columna 6. Ya queesto es justamente la mitad de la acelera-cin, podemos escribir t a como el valorde la constante k, y obtenerI d= t al' I (2m)

PREGUNTAS Y PROBLEMAS1. Definir o explicar brevemente los si-guientes trminos: a) velocidad, b) rapidez,e) aceleracin, d) vector, e) escalar, f) ace-leracin negativa y g) nudo.2. Definir los trminos: a) vector y b) es-

calar, y explicar su diferencia brevemente.Dar un ejemplo de cada uno.3. Explicar brevemente la diferencia quehay entre rapidez y velocidad.4. Hacer un diagrama y explicar breve-mente el experimento del plano inclinad9.

Qu cantidades se miden en este experi-mento y qu relaciones se derivan de l?~n avin vuela 420 mi en 1 hora 20minutos. Encontrar su rapidez media. (Resp.315 mi/h.)6. Un tren hace un viaje de Nueva Yorka Chicago, una distancia de 900 mi, en lahoras. Encontrar su rapidez media.-r--U n vehculo viaja 146 mi en 3 h, 45minutos. Encontrar su rapidez media. (Resp.38.9 mi/h.)

Tiempo Distancia Velocidad I v d t2 iat2t seg dcm v cm/seg at t2O O O - O - O O1 20 40 40 40 20 1 202 80 80 40 80 20 4- 803 180 120 40 120 20 9 1804 320 160 40 160 20 16 3205 500 200 40 200 20 25 500


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228. Un.ban:o viaja a 118 nudos hacia elEste durante 16 h. Cuntas millas ha reco-rrido?~ auto de carreras viaja a 240 mi/hen una pista recta y a nivel. Cul es surapidez equivalente en km/h? (Resp. 386.2km/h. )10. Si un barco tiene una rapidez de 32nudos, 'cul es su rapidez en mi/h?.JJ-:' n barco tiene una rapidez de 26 nu-dos, cul es su rapidez en km/h? (Resp.48.2 km/h.)12. Un aerotransporte 707 jet tiene unarapidez de 600 mi/h, cuntos pies viajaen un segundo?l.3:'i Cunto tardar un avin jet viajandoa 580 mi/h para viajar de San Franciscoa Hawai, una distancia de 2200 mi? (Resp.3.79 h.)14. Cunto tardar un auto a 45 mi/hen viajar una distancia de 3000 mi?~ Cunto tardar un hombre en ca-minar 12 mi si su rapidez media al caminares de 3.2 mi/h? (Resp. 3 h, 45 min).~ avin jet partiendo del reposo en

el extremo de la pista adquiere su velocidadde despegue de 180 mifh en 60 seg. Encon-trar su aceleracin en ft/seg2.~ tren que iba con una rapidez de5 ftfseg recibe una aceleracin constante. Sial final de 2 min tiene una rapidez de 20ft/seg, cul ha sido su aceleracin? (Resp.0.1"25ft/seg2.)

FSICA DESCRIPTIVA18. Un vehculo que parte del reposo, ad-quiere una rapidez de 40 mi/h en 20 seg,cul es su aceleracin en ft/seg2?~rtiendo del reposo en ~ extremo deuna pista, un avin recibe una aceleracinconstante de 3.5 ft/seg2. Encontrar su velo-cidad despus de 8 seg. (ReoSp.28.0 ft/ seg.)20. Un avin de pasajeros, parte del re-poso en el extremo de su pista de arranque y

mantiene una aceleracin constante de 4 ft/seg2,cul ser su rapidez al final de 50 seg?~rtiendo del reposo, un auto de ca-rreras adquiere una rapidez de 90 mi /hr en50 seg. Encontrar, a) la aceleracin y b)la distancia recorrida. (Resp. a) 2.64 ftj'seg2;b) 3 300 ft.)22. Un bote de motor parte del reposo yadquiere una rapidez de 30 mi/h en 10 seg.

Encontrar, a) la aceleracin y b) la distanciarecorrida durante este tiempo.~ un auto, viajando a 60 mi/hr, sele aplican los frenos y se hace quedar en re-poso en 5 seg. Encontrar, a) la aceleraciny b) la distancia recorrida. (Resp. a) -17.6ft/seg2; b) 220 ft.)24. A un tren, que va viajando a 45 mi/h,se le aplican los frenos y se detiene en 1 min,20 seg. Encontrar, a) la aceleracin y b) ladistancia recorrida.25. Se c.aeuna caja de un camin niien-tras ste viaja a 60 mi/h. Si la caja se deslizapor el pavimento y acaba por pararse a ]os8 seg-,cul es, a) la aceleracin y b) la dis.tancia deslizada? (Resp. a) -11 ft/seg2;b) 352 ft.)


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3LEYESDEL MOVIMIENTODE NEWTON

En el captulo anterior se describieronlos movimientos de los cuerpos en funcinde su rapidez, su velocidad y su aceleracin.Las definiciones de esas magnitudes, las le-yes y ecuaciones que las relacionan, se cIa-sican dentro de la parte de la mecnicallamada cinemJ1iCll.En este captulo se vaa estudiar la causa del movimiento. Paraello se req6iere la introduccin de los con-ceptos de masa y de fuerza y su aplicacinen las ecuaciones ya presentadas.Corresponde a lsaac Newton * el mritode haber sido el primero que introdujo sis-temticamente estos conceptos en la mec-nica y formul las leyes que gobiernan el* Isaac Newton (1642-1727), fsico y matem-tico ingls, naci el da de Navidad de 1642. Hizosus estudios en el Colegio de la Trinidad enCambridge, donde en 1665 recibi el ttulo deMaestro en Arte. Poco despus la, peste negralo oblig a retirarse a su vieja casa en Woolsthorpe,donde se desarroll su genio en los aos de 1665 y1666. En este perodo, invent el clculo, descubri la composicin de la luz blanca y concibi la

idea de la gravitacin universal. En los aos si-guientes, public muchos de sus trabajos de pticay desarroll sus ideas sobre la gravitacin, que fue-ron publicadas en 1687 en su libro Principia. A laedad de 50 aos sufri un colapso nervioso y nuncavolvi a hacer trabajos cientficos extensos, perose dedic a la Teologa. Se volvi muy distradoy descuidado de su apariencia personal. Su libroPrinciPia es considerado uno de los ms grandesmonumentos del intelecto humano. Newton esta-blece en l las bases de la mecnica, que han sidosuficientemente amplias para contener todos susfuturos desenvolvimientos, y aplica la mecnica alos movimientos de los cuerpos celestes bajo lasleyes de gravitacin. Fue elegido miembro del Par-lamento: fue presidente de la Real Sociedad Bri-tnica durante 25 aos, en 1705 fue annadocaballero por la Reina Ana. La grandeza de estehombre modesto se ilustra por una frase que dijoen su lecho de muerte: "~i yo he visto ms l~jgsque otros,ha-..ido P..9t


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24 FfsICA DESCRIPTIVA

Flg. 3A. Se p..8de sacar el mantel sin moverola vall lla y los cubiertos.

aquella prl?pie4...ad_4~,ucrpo _que tiende aoponem a-.f..1!~J..gtHer.cambia. de su estad!)d.!.J.P..PoJ~ de movimiento. La masa sedefine como la Jl!:!!!!iJacuantitaJiua-!ltLlain.er.cia.En el sistem--a-mttiC,la masa semide en gramos o kilogramos.Un tercer experimento, que compruebala inercia, y la primera ley de Newton, estreprr.sentado en la fig. 3C. Una Pequeamasa M de 1 000 gramos se suspende porun hilo delgado A, luego se tira hacia aba-jo, mediante otro pedazo B del mismo hilo.Si la fuerza F es de accin lenta y continua,el hilo se romper en A.; mientras que sies un estiramiento brusco, siempre se rom-Per en B. En el primer caso, la tensinsufrida por la cuerda de arriba, es mayory equivale a la fuerza F ms el peso de la

mil carro~carril

31. Se pued.n mover rpldam~;.te los carrilessin conseguir que.. mueva el vehlculo.

abajo lo suficiente para estirar y romper elhilo superior. Lo que permite que se apli-que, por un instante, la fuerza F slo alhilo de abajo, es la inercia de M.Si al carro de la fig. 3B se le hace queempiece a rodar a lo largo de los rieles, laprimera ley de Newton establece que debeseguirse moviendo con la misma velocidad.Por supuesto que la ley desprecia la fric-cin, 'pues nosotros sabemos que si se dejaactuar al rozamiento, ste har Que se de-

A


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26F.~ lb

a-' pie/seo

masa de 1-gJ;am~h-'e-produceuna acelera-cJi11.Jle 1- nn-l-sB&. En el sistema CGS(centmetro, gramo, segundo), las unidadesde la ecuacin (3a), sernldina=lgX l~;

Hay una preferencia creciente entre los.;ientficos y los profesores de fsica, por eluso del kilogramo y el metro en lugar delgramo y el centmetro como unidades demasa y longitud. Conforme al sistemaMKS (metro, kilogramo, segundo), la uni-dad de fuerza es llamada newton en honma Sir Isaac Newton. El newton s~..-tkti'PecOJ!!oJafuerza qu~al apl%carseq,!t1l41?!llade 1 kilogramo, le produce una aceleracinde 1 m/-selt. -- - - - - ~En el sistemaMKS de unidades, la ecua-cin (3a), se convierte en

m1 newton=lkgX 1~~ ses

Ejemplc 2. DeteI'minar qu fuerza cons-tant.e en newtons, aplicada a una masa decuatro kilogramos, produce una aceleracinde 3.8 m/seg2. Despreciar la friccin.'-Solucin. Aplica:I}do la ecuacin de lafuerza, F = ma, obtenemos

m kgmF = 4 kg X 3.8 - = 15.2-seg2 seg2= 15.2 newtonsLa respuesta es una fuerza constante de15.2 newtons.

(3b)

La dina y el newton son uniddes abso-lutas de fuerza. Se obtienen de la ecuacinde la fuerza cuando son usadas las unida-des absolutas de masa y de tiempo, comolo hicimos antes.

:rfSICA DKSORIPTlVA

a-Im.lseg a - Icm./sea

3.3 El sistema de unidades para ingmie-ra. Los ingenieros de los ~ises de hablainglesa.-y de otros pases que importan ma-quinaria producida all, usan con frecuen-cia otro sistema distinto que el mtrico, enel cual se miden las fuerzas en libras.Paraaplicar la Segunda Ley del Movimiento deNewton expresada por la ecuacin de lafuerza F= ma, se necesita introducir una~dad de masa llamada el slMg.Verla fi-gura 3E. Un_~&. se define co_mola ma$aq~&GiIm-de-una--.uer-za-de l-lbrreciblJ...1!.n!1a~ele1:acin de 1 ftl seg2.

llb = 1 slug X 1 ft/seg2. (3c)LaJ1lasD.de..un -cuerpo -en slugs pu'ede

obtenerse diuidiendo _su-peso en-libras.entr.e-~2.Veremos en la Seco4.3 que el nmero 32

se deriva de la aceleracin de los cuerposen cada libre.La diferencia entre la masa y el pesode un objeto se tratar en detalle en la Sec-cin 6.1.Ejemplo 3. Qu fuerza horizontal en li-bras producir una aceleracin de 6 ftjseg2a un pequeo carro que pese 176 libras?Solucin. Aplicando la segunda ley de

Newton, la ecuacin (3a), obtenemos,176 ftF = -slugs X 6-32 seg2ftF = 5.5slugsX6- = 33lbseg2

La respuesta es: Una fuerza constante de33 lbs.

Para ilustrar lo digna de confianza quees siempre la segunda ley de Newton, con-


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LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEW1"ON

de la parte de abajo del carrete. Si se apli-ca una fuerza F, se har que se mueva elcarrete. Para d6nde rodar? Hacia la de-recha, enrollando el hilo, o hacia la izquier-

Flg. 3.. Al tirar" hU. hada la , ,.....dnde ruedael carme,a la del8Cha la Izqulen88?da, desenrollndolo? Se le deja al estudiantecomo problema, para que ejecute este ex~rimento y explique el resultado.3.4 T.ercem.l&Ldel Movimiroto de New-~ De las tres leyes del movimiento deNewton, quiz la tercera es la menos com-prendida. Esto se debe probablemente alhecho de que se usa poco para resolverproblemas, y frecuentemente se aplica enfonna incorrecta. Esta ley establece que,_at;!!ialt~_erzade accin se opone una fuerza!guql y opuesta de reaccin.*El principio de la accin y la reaccinse puede ilustrar mediante un bate de bis-bol pegando a la pelota, fig. 3G. Duranteel impacto, el bate ejerce una fuerza F so-bre la pelota y sta ejerce una fuerza Gigual Y opuesta actuando sobre el bate.La fuerza F que est ejercindose sobrela pelota, le produce a sta una aceleracinhacia la derecha, mientras que la fuerza Gque se ejerce sobre el bate, le produce aste una aceleracin hacia la izquierda. Lapelota se acelera durante el impacto y ad-quiere una gran velocidad, mientras queen ese mismo espacio de tiempo,. el bate seretarda reduciendo su velocidad.Considerando el segundo ejemplo, untrow de madera colgando de una cuerda,* La Tercera Ley de Newton, como se public6en latn en su PrinciPia es: Lex 111. A.ctioni con-trariam semper et eequalem esse reactionem; sifleCQTpOru.mduorum actiones in se mutuo snnperesse eequales et in partes contrarias dirig.

27como se ilustra en la fig. 3H, el peso deltrozo de madera W es la fuerza. con quela Tierra lo atrae hacia abajo, mientrasque la fuena igual J contraria X, es la

f

,~;,

ao.. ,. - la -fueraa Isual ... "Itud , contraria ea dl..cd6n . la'ueraa que elerce la pelota lob.. el bate.fuerza hacia arriba ejercida por el trozo demadera actuando sobre la Tierra.Adems de este par de fuerzas, el trozode madera ejerce una fuerza hacia abajo

G sobre la cuerda, mientras que la cuerdatira hacia arriba con la fuerza de reac-ci6n F. Estas fuerzas pueden causar con-

lF1c

g:~~{?>t::?t~g?j}.ri::>:\':',//:ftj erra' i,~~~g~~:::tJ~;;':;;7::;z:t(:" ,::.FI,. 3H. Tercera le, del movimiento de N.wton. La,fuerzaa exllten oiemp.. por paNO.


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28fusin a muchas personas; pero, para sutranquilidad, debe hacerse notar que el mis-mo Newton tuvo algunas dificultades alaplicar su trcera ley a determinados pro-blemas. La dificultad viene de que muchasveces se intenta la aplicacin de las fuerzasde accin y reaccin al mismo cuerpo, cuan-do realmente se deben aplicar a cuerposdiferentes. Es importante notar que la fuer-za de accin y la fuerza de reaccin de latercera ler de Newton, actan sobre cuerposdiferentes.El estado de un cuerpo, ya est en reposoo en movimiento, depende de las fuerzasque actan Jobre este cuerpo, y no de lasfuerzas ejercidas por l sobre otros cuerpos.Por lo que respecta al cuerpo en estudio,estas ltimas fuerzas no influyen en su mo-vimiento.3.5 El, experilnento del trm y la va. Elexperimento del tren y la va, es otra ilus-tracin de la tercera ley de Newton. Lasruedas motrices del tren, empujan haciaatrs a los rieles con la tuerza B, y stosempujan hacia adelante a las ruedas conla fuerza igual y opuesta F. Estas dos for-man un par de accin y reaccin. El expe-.rimento. del tren y la va se desarroll parademostrar que existen ambas fuerzas.

s.. --Ft---+-f

Fig. 31. Tercera ley de Newton. Al avanzar el tren,los rieles retroceden, .sl estn en libertad de hacerla.

FfsICA DESCRIPTIVAEn la fig. 31, los rieles estn montadosen una gran rueda con Su eje de rotacin

en posicin vertical. Teniendo libertad demoverse los rieles, ambas fuerzas parecenmuy reales. Los rieles se mueven hacia atrsy el tren hacia adelante. Los rieles se mue-ven hacia atrs, porque las ruedas ejercensobre ellos una fuerza B en esa direccin,y el tren se mueve hacia adelante, porquelos rieles ejercen sobre l una fuerza en di-reccin opuesta. Si se corta la fuente deenerga cuando el tren tiene cierta veloci-dad, la fuerza F desaparece (lo mismo quela B) y el tren y los rieles siguen movin-dose con rapidez constante.En la prctica nos encontramos con quelos rieles no slo estn fijos contra el suelo,sino que adems hay cierta resistencia ,defriccin que se opone al movimiento. De-bido a esta friccin, los rieles empujan ha-/cia atrs a las ruedas con una fuerza q,y las ruedas empujan .hacia adelante a 16srieles, con una fuerza igual pero opuesta f.A fin de mantener en movimiento al ~rcncon rapidez constante, se debe proPOrc~onara las ruedas motrices de la locomotora, unafuerza B mnima, pero suficientementegrande para equilibrar la friccin. Las dosfuerzas qUe actan sobre el tren sern, en-tonces, F y b, Y si son iguales y opuestas,tendrn una resultante cero. No habiendofuerza resultante, no habr aceleracin yel tren seguir movindose con velocidadconstante.F debe ser mayor que b para tener unaaceleracin al iniciar el movimiento del tren.

Bajo esas condiciones, por la segunda Leyde Newton, tenemosF-b=ma

PREGUNTAS Y PROBLEMASfuerza = masa X aceleracin

1. Expresar la primera ley del movimien-to de Newton y describir un experimentoque pueda ilustrar esta ley.2. ExpreSar la segunda ley del movimientode Newton. Escribir la ecuacin algebraica

que representa esta ley y sealar el signifi-cado de cada smbolo usado.3. Expresar la tercera ley de Newton. Darun ejemplo, explicado brevemente, en funcinde las fuerzas que intervienen.


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LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEWTON4. Definir o explicar brevemente los si-guientes trminos: a) n.ewton, b) dina, e)

slu~, ~nercia y e) masa.,s:"Una masa de 5 kilogramos recibe unaaceleracin de 3.4 m/seg2. Calcular la fuerza

necesaria a) en newtons y b) en dinas. (Resp.a) 17.0 newtons, b) 1 700 000 dinas.)6. Una masa de 680 gramos recibe unaaceleracin de 43 cmjseg2. Encontrar la fuer-

za a~da a) en dinas y b) en newtons./( Un carro que pesa 4800 lb puede ace-lerarse a .1.8 ftj seg2.Encontrar la fuerza im-pulsora efectiva en libras. (Resp. 270 lb.)8. Una fuerza de 260 lb se aplica a uncarro que pesa 4 000 lb. Encontrar a) lamasa del carro en slugs y b) la aceleracin.9. Un avin de pasajeros que pesa 1000

. toneladas cortas es capaz de acelerarse 2.4(tjseg2. Calcular a) la masa del avin en~lugs y b) la fuerza que desarrolla en libras.(Resp. a) 62 500 slugs, b) 150 000 lb.)10...Un auto de carreras tiene una masade 1600 kg. Qu fuerza le dar una acele-racin de 0.5 mjseg2?~U na fuerza de 12 newtons acta sobreuna masa de 7.8 kg. Encontrar la acelera-cin. (Resp. 1.54 mj seg2.)12. Se deja caer libremente una masa de64 kg bajo la atraccin de la gravedad. En-contI:.arla aceleracin.13. Un tren de 2000 ton (cortas) parte

del reposo y adquiere una rapidez de 60 mi/hen 4 min, 30 seg. Calcular a) la aceleraciny b) la fuerza ejercida en los rieles por lasruedas 'motrices. (Resp. a) 0.326 ftj~g2. b)40 740 lb.)

2914. Se aplica una fuerza de 25 newtons auna masa de 8 kg. Encontrar a) la acelera-cin, b) la distancia recorrida en 18 seg ye) la velocidad al final de 12 seg.

. j- iV'Se' apli~ ~~f';;;a de"4.2newtonsaluna masa de 20 kg. Encontrar: a) la acele- IJ racin, b) la distancia viajada en 15 seg y \:e) la velocidad adquirida al final de 24 seg. I(Resp. a) 2.1 mjseg2, .b) 236 m, e) 50.4 me- J

! tros por seg.), - ... ..--- -l~rtiendo del reposo en el extremo deuna pista de arranque, un avin de 3200 ton(cortas) adquiere su velocidad de despeguede 150 mijh en 70 seg. Encontrar: a) la

aceleracin, b) el empuje de los motores ye) la distancia recorrida hasta el despegue.17. Un carro de 4 000 lb parte del re-poso y adquiere una rapidez de 60 mi/h en10 seg. Encontrar: a) la aceleracin, b) lafuerza aplicada y e) la distancia recorrida.(Resp. a) 8.8 ft/seg2, b) 1100 lb, e) 440 ft.)18. Una locomotora que pesa. 500 ton$

(cortas) -parte del reposo y adquiere una ra-pidez de 45 mijhr en 16 seg. Encontrar:a) la aceleracin, b) la fuerza y e) la dis-tancia recorrida./

7'Una fuer: de 250-:ewtons, aplicada a una masa, le produce una aceleracin de I\ 6.25 mjseg2. E.ncontrar: a) la masa, b) la 'vel~idad al final~e 8 seg y e) la distancia Irecorrida en 6 seg. (Resp. a) 40 kg, b) 50 J_metrosjseg,e) 112.5m.-:l- -- - I----~na masa de 500 kg sufre una acele-racin de 4.8 mlseg2 durante 12 seg. Encon-trar: a) la fuerJ:a aplicada, b) la velocidadobtenida y e) la distancia recorrida.


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4CAlDA DE CUERPOS,PROYECTILESY LEYDE LA GRAVITACIONDE NEWTON

Todos los cuerpos, grandes o pequeos,caen con la misma aceleracin, si despre-ciamos el rozamiento. Esta ley de la cadade los cuerpos, es una paradoja fsica por-que contradice la conclusinque, en gene-ral, obtiene a prioricualquier persona. Estono debe sorprendemos, ya que hace 'siglosd gran filsofo Aristteles (384-322 Ia.C)*enseaba que loscuerpospesadoscaan pro-porcionalmente ms aprisa que los cuerposligeros.Necesit la humanidad cerca de 2000aos para que apareciera alguien que re-futara las enseanzas cientficas de Arist-teles. En el ao' 1590, Galileo t se puso apensar en el problema de los cuerpos que*Arist6teles (384--322 a. C.), famoso fil6sofo grie-go, 16gico, moralista, pensador poltico, bi6logo yfundador de la crtica literaria. En su juventud fuediscpulo y colaborador de Plat6n. Aunque actual-mente se sabe que casi todas las enseanzas yprincipios fsicos de Arist6teles fueron err6neas, sucontribuci6n en otros campos del conocimiento, lohan colocado muy alto entre los hombres de laantigua Grecia.t Galileo Galilei (1564-1642), matemtico, as-trnomo y fsico experimental italiano. A la edadde 24 aos, Galileo escribi6 un tratado sobre elcentro de gravedad de los s6lidos. Esto lo Uev6 alao siguiente al puesto de profesor de matemticasen la Universidad de Pisa. Habindose enterado deque un holands, pulidor de lentes, haba obser-vado que el uso de dos lentes juntas haca quelos objetos distantes parecieran estar cerca, Gali-leo construye;. el primer telescopio. Mayores y mAspotentes telescopios, le permitieron observar porprimera vez las montaas de la Luna, los satlitesms grandes de Jpiter y las manchas del Sol. Es-tando en Pisa, Galileo efectu6 muchos experim,en-tos y demostraciones pblicas de los principio. queforman la base de la Menica y 1aa leyes de loa~dIes y de la cafda de ')M CUerpol.

caan y encontr una contradiccin apa-rente con las enseanzas de Aristteles. Sedice que en sus pruebas dej caer variosobjetos desde diferentes niveles de la torreinclinada d Pisa; determin la duracinde la cada y midi las velocidades quealcanzaban.Se cuenta. que, en una ocasin, Galileohaba reunido una gran multitud cerca dela torre inclinada, donde subi por las es-caleras hasta el campanario y desde unaventana abierta, lanz dos piedras, unagrande y otra pequea. E.stos dos cuerposcayeron juntos y pegaron en la tierra enel mismo momento, marcando el final de

una vieja hiptesis y el nacimiento de unanueva era de la ciencia.Sea o no verdadero este episodio particu-lar, la importancia de los muchos experi-mentos autnticos de Galileo, no consiste

slo en el hecho de que demostraron elerror del razonamiento aristotlico, sino enque presentaron al mundo un mtodo cien:o:tfico nuevo y ms digno de confianza, elmtodo experimental.4.1 Gravitacin. El principio de que to-dos los cuerpos caen con la misma acelera-cin, puede demostrarse de varias maneras.Una de ellas es la ilustrada en la fig. 4A,donde dos esferas de acero, una grande yotra pequea, se sostienen en un trozo demadera a 4 u 8 metros encima del suelo.Cuando el trozo de madera es desplazado,tirando de la cuerda, las dos esferas caenjuntas, y negan al suelo al mismo tiempo.


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31A>ADB CUERPOS, PROYECTILES Y LEY DB LA. ..d=o -.. ':;:0.. '0.30 ,

1.5m 1.22 T IT '/2seg

3m 2.76 ! IT '4seg

4.5 m

4.9 TI! 1seg

pluma oneda

41. U.. plUIIICI una lIIOft8cIaaen con IgualfII. 4A. Todoslos cuerposti... caen1 nf8por la acelerad'n en el vado, II8Ian luntas -lo.atraed," do la Tierra,caen4.9 m en el primer...undo.Cayendo desde una altura de 4.9 metros,tardarn un segundo exactamente en llegaral suelo. Los crculos sombreados de la fi-gura, indican las posiciones de los dos cuer-pos despus de cada cuarto de segundo.Si las bolas de este experimento son re-emplazadas por dos esferas de igual tama-o, una de acero y otra de madera, las doscaern juntas y llegarn al suelo tambina la vez. En este caso, la esfera de aceropesa 15 veces ms que la de madera. (Lamasa especfica del acero, es 7.6 g/ cms;la masa especfica de la madera es 0.5g/cm3. )Generalmente se presenta ya el problemadel rozamiento del aire al hacer este ltimoexperimento; si se observa con mucho cui-dado, se ver que la esfera de madera seatrasa siempre un poquito respecto a laesfera de acero. Este atraso, debido al ro-zamiento del aire, aumenta al caer de ma-yor altura, y es ms pronunciado an, cuan.

do se usan objetos ms ligeros, una pluma,o una hoja de rbol, cayendo con la esferade acero. Debido a su gran superficie, ~pluma o la hoja caen revoloteando haciala. tirra, detenidas por la gran cantidadde aire que deben ~pujar hacia los ladospara abrirse camino.En la ausencia de aire, las pluma.C)cae-rn tambin con la misma aceleracin quela esfera de acero. En la ligo 4B se muestraun experimento para demostrarlo. Un tubocilndrico grande contiene una moneda yuna pluma, y mediante un tubo de hulese conecta a una bomba de vaco.. Si se in-vierte el tubo de vidrio. despus de hacer elvaco, la pluma y la moneda caen juntos.Cuando se admite de nuevo aire dentrodel cilindro, la pluma volver a caer revo-loteando lentamente hasta el fondo. En au-sencia del rozamiento del aire, todos loscuerpos caen con la misma aceleracin.En el resto de este capitul~, al tratar dela caida de los cuerpos,se despreciard


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32rozamiento del aire. Las ecuadones que sepresenten y usen en los problemas, sernnicamente, por tanto, aproximadas. En l~mayora de los casos reales, los resultadoscalculados estn tan cercanos a los obteni-dos experimentalmente, que las correccio-nes debidas al rozamiento slo es necesariohacerlas cuando las distancias y las veloci-dades sean grandes.4.2 Cada libre. Se pueden hacer muchosexperimentos de laboratorio para demostrarlas leyes de la cada libre de los cuefPOs.Uno de stos, es el experimento del planoinclinado, descrito en el Captulo 2. Si sehace que el ngulo que forma el plano conla horizontal aumente, la aceleracin dela esfera que baja por el plano ir aumen-tando t~bin. Las velocidades y las dis-tancias recorridas, aumentarn en las pro-porciones correspondientes indicando que

d=O .8 t=o . y=O4.9m . 1 seg 9.S'm!segt19.5m . 2 seg 19.5 m/seg+43.9 m ", 3 seg 29.2 m/seg\7S.0 m- . 4 seg 39.0 m/8eg\121.6m 5 seg 48.S m/seg

FSICA DESCRIPTIVAtodas las ecuaciones agrupadas al. final delCaptulo 2, son vlidas en general. Esto escierto tambin para el ngulo lmite de 90Q.,cuando el plano inclinado queda completa-mente vertical y la esfera de acero cae librebajo la plena accin de la atraccin de lagravedad.Como se indica en la fig. 4C, la distan-cia a que cae un cuerpo es de 4.9 metros,en el primer segundo; 4 veces esa distan-cia, o sea 19.6 m, en dos segundos; nueveveces ms, o sea 44.1 m, en tres segundos,etctera. Si ponemos estas distancias en laecuacin (2m), se encuentra la aceleracinconstante con un valor como de 980 cmpor segundo cuadrado.4.3 La aceleracin producida por la gra-vedad. Los experimentos efectuados enmuchos puntos de la superficie terrestre, ha-cen ver que la aceleracin producida porla gravedad no es la misma en todas par-tes, y est sujeta a ligeras variaciones. Estasvariaciones deben -tomarse en consideracinaunque son pequeas y no influyen en lamayora de los problemas prcticos.Los valores de la aceleracin producidapor la gravedad, quedan, en general, entreun mnimo de 978.04 cmjseg2 (32.09 ftjseg~) en el Ecuador, hasta un mximo de983.21 cmjseg2 (32.26 ftjseg2) en los po-los terrestres. Al referimos aqu al ecuadory a los polos, estamos generalizando, puesni en todos los puntos del Ecuador tiene elvalor que se indica arriba, ni en todos lospuntos de una latitud determinada tienela aceleracin de la gravedad el mismo va-lor. Las irregularidades de la estructura dela Tierra, producen diferencias pequease irregulares.El Comit Internacional de Pesas y Me-didas ha adoptado como, valor normal,980.665 cmjseg2 (32.174 ftjseg2); pero,para usos prcticos se aC'ostumbra usar, ennmeros redondos, 980 cmjseg2 (32 ftj


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CADA DE CUERPOS, PROYECTILES Y LEY DE LAg= 980 cm/seg2, g = 9.80m/seg2o g= 32 ft/seg2y la ecuacin(2j) queda

(4a)mientras que la ecuacin (2m)

Id tgl,1Ejemplo 1. Un 'muchacho parado encimade un puente, suelta una piedra hacia elagua del ro. Observando su reloj nota quela piedra necesit 3 seg para caer.Calcular: a) la velocidad de la piedra alllegar al 'agua, y b) la altura del puente.Solucin. Para encontrar su velocidad, con-viene usar la ecua,cin (4a) y sustituir lascantidades conocidas, g ,= 980 cm/seg2 y t =3 seg.

queda(4b)

cm cmv = 980- X 3seg = 2940-seg2 seg

Para encontrar la altura, se usa la eco (4b)Y se sustituyen las mismas cantidades comosigue: 1 cmd = - X 980- X 9 seg2= 4410cm2 seg2Las respuestas ~on: a) la piedra llega alagua con una velocidad de 2 940 cmj'seg, yb) la altura del puente es de 4 410 cm.4.4 Lanzamiento vertical hacia arriba.Cuando se lanza verticalmente hacia arri-ba un objeto, su velocidad disminuye rpi-damente -hasta que, en cierto punto, quedamomentneamente en reposo y despus caeotra vez hacia la tierra, adquiriendo de nue-vo la misma velocidad con que fue lanzadohacia arriba en el momento que llega devuelta al suelo. Experimentalmente, se de-muestra que el tiempo necesario para subirhasta el pun~o.-l!!s alto de su trayectoria,es igual al ~iempo que tarda en caer desdeall hasta el suelo. Esto implica que los mo-vimientos I!acia arIJ~~~on justamente igua-

2 seg 6 seg

7 seg

vo=39>20 mi seg 8 seg

Fig. 4D. El movimiento de subida es Igual al de ba-jada si se desprecia el rozamiento del aire. Unapiedra lanzada hacia arriba, vuelve al suelo con lamisma velocidad.les a los movimientos hacia abajo, peroen sentido inverso, y que el tiempo y velo-cidad en cualquier punto de la trayectoriaestn dados por las mismas ecuaciones de'la cada libre, ecuaciones (4a) y (4b).En la fig. 4D se muestra una partculaproyectada hacia arriba, con una velocidadinicial de 3 920 cm/seg. Se encuentra que,despus de cada segundo, la velocidad haciaarriba, o al subir, es la misma que la velo-cidad hacia abajo, o al regresar al mismonivel.

Ejemplo 2. Selanza una bola verticalmen-te hacia arriba con una velocidad inicial de3920 cm/seg. Despreciando la friccin, en-

34 FfslCA DESCRIPTIVA


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contrar: a) el tiempo necesario para llegara lo ms alto de su vuelo y b) la altura mxi-ma alcanzada.Solucin. Ya que el tiempo de subida esigual al tiempo de bajada, podemos aplicarla ecuaci6n (4a) para cada libre. Sustitu-yendo directamente en la ecuacin v= el)obwnemos

cm QIl3920- = 980- X,seg seg2Despejando t en la ecuaci6ny eliminandolas unidades repetidas) encontramos

4)

3920~t = seg = 4 seg980~seg2

b) Aplicando la ecuaci6n (4b), obtenemos,por sustitucin directa, lo siguiente:cmd= i X 980- X (4seg)' = 7840cmseg2

4.5 Proyectiles. Todos los objetos lanza-dos al aire, siguen una trayectoria de fonnaparablica, pero slo cuando el rozamientodel aire es insignificante. En los casos reales,el rozamiento se puede considerar despre-ciable slo para cuerpos que se muevenlentamente y son de densidad elevada, ~o..mo piedras grandes, trozos de metal o es-feras slidas. Los proyectiles a gran veloci-dad, son frenados continuamente por elaire y ello los hace caer. ms pronto apar..tanda su trayectoria de la parbola, segnse ilustra en la figura 4E.La infonnacin que interesa obtener delestudio de un proyectil, es su altura mxi..maJ su alcance y su tiempo de vuelo.

I~""'" parbolaI ,I ,, ,I "I "alcance

Fil. 41. Lo. proyectile . tienden a .eguir trayectorias,o"""lcos. El alm al frenados los hace caer antes de'alcance calculado.

La alturam4xima, se define como lama..vor altura verticalsobre el .sueloque alcan..za el proyectil. El alcance se define comola distancia h.orizontaldesde el punto delanzamiento hasta el punto donde el pro..yedil regresa de nuevo al mismo nivel. El.tiempo de vuelo se define como el tiempoque necesitael proyectil para llegarnueva..mente al nivel desde el que fue lanzado.Experimentalmente se demuestra que estostres factores dependen de .dos cosas: pri-mero, de la velocidad inicial dada al pro-.yectil, y segundo, de su ngulo de lanza..miento. Este ltimo siempre se mide a par"tir de la horizontal y se le llama ngulo deelevacin.En la ligo4F semuestran las trayectoriasdt varios proyectiles a los que se ha dadola misma velocidad inicial, pero diferent~ngulos de elevacin.La elevaci6nmximase obtiene cuando el lanzamiento es verticalhacia arriba y el mximo alcance cuandoel ngulo de elevacin es de 45o. Estose puede probar experimentalmente conun pequeo chorro de agua lanzado por untubo flexibleprovistode una boquilla. Cadagota de agua representa un proyectil.Para proyectiles con gran velocidad, elngulo de elevacin debe ser un poco ma-yor de 45o debidoal rozamientodel aire.Para objetos que se mueven lentamente,como balas, martillos, jabalinas, o saltado-res de longitud, en competencias atlticas,el ngulode 45o dar el mximoalcance.Si v es la velocidad del proyectil y 8 esel ngulo de elevacin, la elevacin mxi-ma, el alcance y el tiempo de vuelo sernobtenidos por las ecuaciones que contiene. la Tabla 4A.

En la fig. 4F las distancias horizontaly vertical fueron calculadas para proyectilesque tuvieran una velocidad inicial de 24m/seg. Para distintas velocidades iniciales,las trayectorias de los proyectiles tendrnexactamente la misma forma que se ilustraen la figura, pero las distanciastendrn va-loresdiferentes.Si se.lanza un objeto con una velocidadv, subir a su mxima altura en el mismo


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CAioA DE CUERPOS, PROYECTILES Y LEY DE LA. . . 35

60.9

Fi8. 4.. Formal de 101 trayedoal de obletol laMados a ~If ntel ngulol de .Ievacin. Lal elc~las Ion para el COlO.Ipecial d. una velocidad inicial de 24 m/leg.TABLA 4A. FRMULASPARAPROYECTILES cando ambos lados de tia ecuacin por g, seobtiene

tiempo que necesita para caer desde esaaltura hasta el suelo, despreciando la resis-tencia del aire. Como es de esperarse porla observacin de la fig. 4F, el objeto lle-gar al suelo con la misma velocidad conque fue lanzado.Ejemplo 3. En los Juegos Olmpicos de1948, efectuados en Londres, el lanzamientodel disco de 16 libras fue ganado por WilburThompson de los Estados Unidos, con unadistancia de 17.12 m. Suponiendo un ngulode elevacin de 45 para el lanzamiento,

calcular la velocidad inicial.

V2= gdSustituyendolas cantidadesconocidas,ob-tenemos

m m2v2 = 9.8~ x-f7.12 m = 168-seg2 seg2Extrayendo la raz cuadrada en ambosmiembros, obtenemos finalmente

v = 13.0~seg4.6 Experimento del cazador y d mono.Un cazador apunta y dispara una flechahacia un mono que est aniba de un r-bol. En el instante que la flecha sale delarco, el mono se deja caer de la rama enque estaba sentado. Los dos se encontrarnen medio del aire, cualquiera que sea lavelocidad de la flecha. Si se pudiera elimi-nar la gravedad, la flecha viajara en latrayectoria recta AM y el mono se queda-ra en M y sera encontrado por la flecha,como se ilustra en la fig. 4G. Actuando lagravedad, la flecha sigue la trayectoria ABCy el mono cae desde M hasta C. Durantecada fraccin de segundo, indicada por

Angulo de Altura Alcance Tiempo deelevo 6 mxima h d vuelo t0 O O O30 v2/8g 0.866v2 I g vlg45 2v2/8g v2/g 1.41vjg60 3V2/8g 0.866v2 Ig 1.73u/g90 4V21.8g O 2vlg

36 FSICA DESCRIPTIVA


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Fig. 40. El experimento del cazador y el mono.. de todas maneras se encuentran en C. Amayor velocidad del proyectil, ms corta

ser la distancia MC.*4.7 Ley de la Gravitacin Universal, deNewton. Todos hemos odo el relato delepisodio en que cay una manzana sobreel joven lsaac Newton, cuando estaba sen~tado a la sombra de un manzano. Este in~cidente puso a pensar a Newton en la cadade los cuerpos y le llev, a la edad de 23aos, al descubrimiento de la ley de la gra~vitacin univers"al.Con frecuencia se ha cometido la equi~vocacin de decir que Newton descubrila gravedad. Lo que Newton descubri,

* El experimento del mono y el cazador puedeefectuarse lanzando una pequea esfera de maderaa travs de un tubo de unos 30 cm de largo. Elmono se representar por otra esfera que se dejarlibre en ~l punto M mediante el uso de un pe-queo electroimn. Un par de alambres delgadosde cobre completarn el circuito elctrico, cruzadospor enfrente de la boca del tubo en A. Cuandopasa el proyectil por este punto, se interrumpe elcircuito y queda libre M. El cuerpo M se puedehacer de hierro, hueco o macizo y de cualquieraforma, o bien, pede ser un pequeo mono dejuguete, con un pedazo de hierro cosido en laparte superior de la cabeza para que sea atradopor el electroimn.

fue la ley de la gravitacin universal. Cual-quier par de cuerpos se atraen entre s conuna fuerza directamente proporcional alproducto de sus masas e inversamente pro-porcional al cuadrado de la distancia quelos separa. Escrito con smbolos algebraicos,

Como lo ilustra la fig. 4H, F es la fuerzade atraccin m1 y m2 son las dos masas, yd es la distancia que las separa. La masa

vdFig. 4H. Atracci6n gravitacional entre u~ cuerpo d.

masa lnt y otro masa mo.m1 atrae a la masa :m"2con una fuerza Fhacia la izquierda, y la masa m2 atra~ am1 con una fuerza igual F, hacia la dere~chao Para obtener una ecuacin, a partirde estos smbole I no se necesita nada ms

CADADE CUERPOS, PROYECTILES Y LEY DE LA. . . 37


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6373 km

luna tierra7.32 x 10221Cg 5.97 x 1024Kg

/"

Fig. 41. La atraed6n gravitacional mantiene a la Luna en IU 6rblta en tomo de la Tierra yolaTierra en su 6rblta alrededor del Sol.que reemplazar la proporcin por uri signo Solucin. 'Por sustitucin directa en la ecua-de igualdad e insertar una constante en cin (4c) obtenemos,cualquiera de los lados de la igualdad.

(4c)Experimentalmente se demuestra que si

F se mide en newtons, m1 y m2 en kilo-gramos y d en metros, la constante newto-niana de la gravitacin G, tiene el valorG ~ 0.0000000000666 k nl:! 2.g scg

o en notacin abreviada, segn el Apndi-ce VII, mSG= 6.66 X 10-H kgseg2Si se mide F en libras, rTlty m2 en slugs yti en pies,G 341 . .O-R ft'T= . . . X 1 l b 41 seg

EjemPlo 4. Dos locomotoras, con masade 60000 kg cada una, estn una alIado dela otra, con sus centros a una distancia de 3metros. Calcular la fuerza de atraccin gravi-taclonal que hay entre ellas.

(4d)

(4e)

F = 6.66 X 10-11'60000 X 60000-= 0.00266 newtons

Esta fuerza de 0.00266 newtons es ex-tremadamente pequea y sera difcil dedescubrir y, ms an, de medirse.Si consideramos ahora la atraccin quehay entre un cuerpo muy grande como laTierra y otro objeto como nuestro propiocuerpo, la fuerza resulta ser bastante gran-de y fcil de medir, ya que es nuestro pro-pio peso. Esta es la fuerza que nos man-tiene en contacto con la Tierra.Si damos un paso ms adelante, la fuer-za de atraccin gravitacional es la que man-tiene a la Luna girando en su rbita entorno de la Tierra, y a la Tierra en su r-bita alrededor del Sol. Estas fuerzas tienennlagnitudes de millones de millones


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38~Expresar la Ley de la Gravitacin Uni-versal, de Newton. Escribir la ecuacin alge-br~ca que representa esta ley. Dibujar undiagrama y sealar en l los diversos facto-res contenidos en la ecuacin.3. Explicar cuidadosamente el experimen-to del cazador y el mono, usando un dibujopara explicarlo.4. Explicar por qu caen con la mismaaceleracin una piedra de 5 kg y una piedrade .20 kg. (Nota: Usar la Segunda Ley delMovimiento de Newton y la Ley de la Gra-

vitacym Universal.)~ Una piedra pequea se deja caer desdeun puente y llega al agua a los 4.8 seg. En-contrar la altura del puente en metros. (Resp.112.9 ID.)~ Se cae una maceta del pretil de unaventana y llega al suelo a los 3.2 seg. Encon-trar la altura del pretil, en metros.7. Se tira una piedra desde un puente a280 ft sobre el agua. a) Cunto tardar encaer? y b) con qu velocidad llegar alagua? (Resp. a) 4.18 seg; b) 133.8 ftjseg.)8. Una pelota, lanzada verticalmente ha-cia arriba, llega a una altura mxima de460 ft. a) Cunto tiempo estar en el aire?

b) Con qu velocidad llegar a la tierra?9. Una flecha, disparada verticalmentehacia arriba, alcanza una altura de 520 ft.Encontrar: a) el tiempo total de vuelo yb) la velocidad con que llega a la tierra.(Resp. a) 11.4 seg; b) 182.4 ftjseg.)10. Una flecha es disparada verticalmentearriba con una velocidad inicial de 34.3 me-trosjseg. Encontrar: a) la altura mximaalcanzada, y b) el tiempo total de vuelo.

!

~aae-JJ-isb6l' qu S batea~recto hacia arriba, es atrapada: 8 seg des-pus por el receptor. Encontrar: a) la alturamxima alcanzada, y b) la velocidad inicial'hacia arriba. (Resp. a) 78.4 m; b) 39.2 me-trosjseg.) --/12. Una jabalina es lanzada con un n-gulo de elevacin de 45 a una distanciarcord de 280 ft. Encontrar: a) la velocidad

inici~ y b) la altura mxima alcanzada.18'. Una "bala" es lanzada con un ngulo

,FISICA DESCRIPTIVAde 21.5m. Encontrar: a) la velocidad inicial,y b) el tiempo de vuelo. (Resp. a) 14.5 me-trosjseg.; b) 2.09 seg.)14. Se lanza una flecha verticalmente ha-cia arriba con una velocidad inicial de 96

ftj seg. Dos segundos despus se lanza otraflecha hacia arriba con la misma velocidad.A qu altura se cruzarn las dos flechas?(Nota: Haga una grfica con la altura en eleje vertical y el tiempo en segundos en ejehorizontal. )15. Se lanza una piedra con velocidad de80 ftj seg a un ngulo de elevacin de 30.Encontrar: a) la mxima altura alcanzada;b) el alcance, .ye) el tiempo de vuelo. (Resp.a) 25 ft; b) 173.2 ft; e) 2.5 seg.) .16. En las Oiimpadas de 1956, el lanza-miento del martillo de 16 libras fue ganado

por Harold Connolly, de los Estados Unidosde Norteamrica, con un lanzamiento de207.3 ft. Suponiendo un ngulo de elevacinde 45 al lanzarlo, calcular: a) la alturamxima alcanzada; b) la velocidad inicial,y e) el tiempo de vuelo.yf. En las Olimpadas de 1960, el lanza-mi~nto de jabalina fue ganado por VktorTsibulenko, de Rusia, con un lanzamiento de277.7 ft. Suponiendo un ngulo de elevacin

de 45 al lanzarla, calcular: a) la mximaaltura alcanzada; b) la velocidad inicial, ye) el tiempo de vuelo. (Resp. a) 69.4 ft;b) 94.2 ftjseg; e) 4.16 seg.)18. En las Olimpadas de 1960, el lanza-miento de bala de 16 lb fue ganado porWil1iam Nieder, de los Estados Unidos deNorteamtica, con un lanzamiento a 64.6 ft.Suponiendo un ngulo de lanzamiento de45, encontrar: a) la mxima altura alcan-

zada; b) la velocidad inicial, y e) el tiempode vuelo.~ Una bola de bisbol lanzada con unngulo de elevacin de 60, llega a una al-tura de 200 ft. Encontrar: a) la velocidadinicial; b) el alcance, y e) el tiempo de vue-lo. (Resp. a) 130 ftjseg; b) 458 ft; c) 7.05segundos.)20. Una granada, disparada con un ngu-lo de elevacin de 30, est 10 seg en el

aire. Encontrar: a) la velocidad inicial enmjseg b) la altura mxima alcanzada en


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5FUERZAS, VECTO~Sy CENTRO DE GRAVEDAD

Todos sabemos que, al pesamos, estamosmidiendo la fuerza que ejercemos haciaabajo sobre la plataforma de la balanza, yque esta fuerza hace que los mecanismosde la balanza indiquen nuestro peso. Cuan-to mayor es la fuerza hacia abajo, mayor esel peso indicado por la balanza (vase laligo 5A). No nos interesa aqu el mecanis-

La fig. SB ilustra las fuerzas gravitacio-nales que siempre actan en la direccinde una lnea que une al cuerpo con el cen-tro de la Tierra y que, por lo tanto, esperpendicular a la superficieterrestre en ellugar donde est el cuerpo.

t'19. 58. El peso .. debe a la atraed6n gravltaclonalFIl. 5A. El"10 el una fuerza hada abalo. Lanena, acta en la dlreecl6nde la Ifnea que une el obletoatrae todos 101obietos hacia su centro. con el centro de la nerra.

mo de las palancas, pesas o resortes quetiene adentro la balanza, sino ms bien lafuerza hacia abajo que nosotros llamamosel peso.El peso, como 10 explicamos en el cap-tulo anterior, se debe a la atraccin gra-vitacional de la Tierra sobre todos los cuer-pos.

El tnnino fuerza no se limita slo a lospesos, sino a la accin de cualquier cuerposobre otro. Por ejemplo, al arrastrar un au-tom,ril como se indica en la fig. SC, actandos fuerzas: 1) una fuerza hacia abajo, de-bida a la gravedad, y 2) una fuerza hori-zontal, debida a la traccin ejercida sobrela cuerda o cadena con que se arrastra el

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40(o)

FisICA DESCRIPTIVA

Flg. 5'C. Dos 'uen:as Ind. ependlen"s, aduando sobre un mismo oblet o.man 900 entre s, el bal se mueve en ladireccin sealada por la flecha punteada.Se puede encontrar la tuerza resultante porcomposicinde vectores. Esta resultante, alocupar el lugar de las dos fuerzas origina-les, produce el mismo movimiento.Cuando se determina esta resultante porcomposicin de vectores, se encuentra quetiene una magnitud de 472 newtons y unadireccin que forma un ngulo de 320 conla fuerza de 400 newtons.Para ilustrar los mtodos comunes que

se usan para la composici6n de dos fuerzas,obsrvense las ilustraciones de la fig SE,donde dos fuerzas de 30 newtons y 50 new-tons, respectivamente, se aplican a un cuer-po en un mismo punto B, comn para lasdos fuerzas. La direccin relativa de la fuer-za de 30 newtons, vara en cada uno delos tres casos. Hay dos mtodos grficos ge-nerales para obtener la resultante: primero,el mtodo del paralelogramo segundo, elmtodo del tringulo.El mtodo del paralelogramo para com-posicin de vectores, se ilustra en la fig. 5F.Consideremos el diagrama (a). Pririlero sedibuja -una lnea horizontal, DA, que re-cin de vectores. Consideremos el diagra- presente a la fuerza de 50 newtons. La lon-

ma de la fig. 5D que ilustra un ba~l pe- gitud de la lnea se hace de 5 cm parasado, que est siendo arrastrado sobre el representar la magnitud de la fuerza, y lasuelo mediante dos cuerdas. Sometindolo punta de flecha se coloca en el extremo de-a dos tracciones continuas, de 400 y 250 recho para sealar su sentido. En formanewtons, ejercidas en direcciones Que for- semejante, se traza la lnea DB, de 3 cm de30 newtons

vehculo. Esta ltima fuerza es producidapor algn objeto o mquina ajena al auto-mvil..Al empujar una cortadora qe csped,tambin hay dos fuerzas: 1) la fuerza ha-cia abajo, debida a la gravedad, y 2) unafuerza inclinada, F, debida a la presin quela persona que va moviendo la cortadorade csped ejerce.Independientemente de la direccin enque pueda actuar la fuerza, su magnitudpuede expresarse en dinas, newtons o libras.5.1 Las fuerzas se componen vectoriaI-mente. Ya que las fuerzas tienen magnitudy direccin, son cantidades vectoriales, y porello se someten a las reglas de la composi-

~o~v~\,0f---~ l'Je~

. 4'"Ol'JoS'Fig. SD. Dos 'uen:as aduando en dist intas direccionesequivalen a una sola fuen:a aduando en una dlr eccl6nIntermedia.

~tons8

~50 newtons

\ 30 newt~ns8 50 newfons50 newtons

FUERZAS. VECTORES y CENTRO DE GRAVEDAD 41


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8~7>~aofZ~~ A ~ ~(el) (b) (e)

Flg. 5'. M6todode. para'elogramopara eomponerv.d......largo, con la direccin y sentidos asignadosrepresentando a la fuerza de 30 newtons.Del extremo del vector qu~ representala fuerza de 50 newtons, se traza una lneapunteada, paralela. al vector de 30 newtons;y del extremo de este ltimo vector, otra

.lnea punteada paralela al de 50 newtons.Se traza la resultante, R, partiendo del ori-gen O llegando al punto P, donde se inter-ceptan las dos lneas punteadas. Usando lamisma escala para medir la resultante R,se puede encontrar directamente que vale35 newtons y el ngulo (J,que forma con lahorizontal, puede obtenerse con un trans-portador, y ver que vale 36. En otras pa-

se deriva directamente del mtodo delparalelogramo que acabamos de describir.Slo se necesita dbujar la mitad del para..lelogramo.Por ejemplo, en el diagrama (a) sedibu.ja a escalael vector de 50 newtons y luego,en la punta de l~ flecha del vector de 50newtons, seinida el vectorde 30newtons,yse dibuja en su verdadera direccin y gen..tido y con la misma escala. Finalmenw, setraza la resultante empezando en el origen~O, Yterminando. en el punto P, que es lapunta de la flecha del segundo vedar. Estemtodo del tringulo es preferible al delparalelogramo slo por su brevedad.

p~ 50A R/1ao ~ 500FIl. 50. M6tod. del trl6nlul. para componervedore..

labras, la longitud de R da la.magnitud dela fuerza resultante,.y la direccin de Rda la direccin de la fuerza.

Esta fuerza resultante produce exacta-mente el mismo efecto y equivale a las dosfuerzas originales cuando se aplica al ob-jeto. Hay que sealar que, cuando las fuer-zastienen elmismosentidoo sentidosopues-tos, la resultante es igual a la suma o di-ferencia aritmtica respectivamente. Por lotanto, la magnitud de R puede tener cual-quier valor .entre la diferencia aritmtica,20 newtons, y la suma aritmtica, 80 new-tons; dependiendo solamente de las direc-ciones relativas de las fuerzas originales.El .mtodo del tringulo, para composi-cin de vectoresque se ilustra en la fig. 5G,

5.2. Polgono de fuerzas. CUaildoactansimultneamente tres o ms fuerzas sobreun cuerpo, se puede encontrar una fuerzanica resultante que, al actuar sobre elcuerpo, produzca el mismo efecto. Para en-contrar esta fuerza resultante, se usa fre-cuentemente el mtodo del pollgonopara lacomposicinde vectores. En principio, stese deriva del mtodo del tringulo, y con-siste en colocar el origen de cada vectoren la punta del vector anterior, y continuarde esta manera hasta que se hayan agrega-do todos los vectores.En la fig. 5H se da una ilustracin delmtodo del polgono, aplicada a tinco fuer-zas. El diagrama de la izquierda muestralas fuerzas que actan sobre el cuerpo enel

42(o)

J'fSICA DESCRIPTIVA(b)


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70 newtons

80 newtons

40 newtons

diagrama en el espacio

o

f e

A 80 8diagrama vectorlal

FIl, 5N. Compo.lcl,"'flea . cincofuerza. para encontrar.u Ntultante("","o .. polleono).punto P, mientras que el diagrama de vec-tores de la derecha, indica la composicinde vectores y la fuerza resultante, R. Setraza el vector AB de 8 cm de largo, par-tiendo del origenA y paralelo al vector de80 newtons del diagrama (a). En seguidase dibuja el vector BC de 7 cm.de largo.yparalelo al vector de 70 newtons. Este esseguido sucesivamentepor los vectoresCD,DE y EF, respectivamente.Habiendo agre-gado los cinco vectores, puede encontrarsela resultante R, uniendo el origen, A, conla ltima punta de flecha, F.Si el dibujo se hizo a escala, la longitudde R dar la magnitud de la fuerza resul-tante, y la medida del ngulo () dar- ladireccin en la cual acta.5.3 Condiciones de equilibrio. Cuandohay una o ms fuerzas actuando sobre un-cuerpo que est en reposo y la resultante

Ag. 51. Un libro sOb.. la a, eat en equilibrio.

de ellos no es nula, el cuerpo se pondren movimiento. En esascondicionesse diceque hay una fuerza no equilibrada actuan-do sobre l y esta fuerza es la nica que senecesita para determinar la aceleraci6n. Encambio, si la composici6n de los vectoresresulta igual a cero, el cuerpo estar enequilibrio, y seguir en reposo.Si se invierteed~ afirmacin. podemos decir que cual-

T

o

[w

FIe. aJ. Una lmpara coleada del techo est, en eq....IIbrlo.

quier objeto que se conservaen reposo,esten equilibrio, y la resultante de todas lasfuerzas que actan sobre l es cero.Si el cuerpo est en equilibrio bajo laaccin de dos fuerzas nicamente, vemosque debern ser iguales en magnitud yopuestas en sentido. Un libro puesto sobreuna ~esa o una lmPara colg~ldo del te-

FUERZAS, VECTORES y CENTRO DE GRAVEDAD 43


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cho, son dos buenos ejemplosde equilibriobajo la accin de dos fuerzas (vanse lasfigs. 51 Y5J).Las dos fuerzas que actan sobre el li-bro, son: W, fuerza hacia abajo debida ala Tierra, llamada peso,y F, el sostnhaciaarriba producido por la mesa. Ya que ellibro est en equilibrio, la fuerza F es igualen magnitud al peso W. En el caso de lalmpara, la fuerza hacia abajo, o peso, estequilibrada por la tensin hacia arriba pro-ducida por la cuerda. Aqu, tambin, lasfuerzas son iguales en magnitud y tienensentidos opuestos.Un cuerPOque se mueve Cdn-velocidadconstante, est en equilibrio, ya que al nohaber fuerzas en desequilibrio,no hay ace-leracin.En el juego con una cuerda, cuan-

+L10lXJO n.wton.

K&~ =s-~..tO'-. nlWlon.Flg. 5K. La 'en,16n de la cuerda e. de 10 000 new-ton..

do dos grupos opuestos tiran con fuerzasiguales, pero opuestas, de los extremos dela misma, existe una condicin de equili-brio. Como se ilustra en la fig. 5K, la fuer-za F de 10 000 newtons que ~ta paratirar el nudo K hacia la derecha, F, estequilibrada por una fuerza igual, pero con-traria., F de 10 000 newtons, tirando haciala izquierda.

w

((o)

Si las dos fuerzas se hacen desiguales,deja de existir el equilibrio, y el nudo Ksemover en el sentido de la fuerza mayor.Debe notarse que, en el casodel equilibrio,la tensin de la cuerda es de 10000 new-tons, y no de 20 000 newtons.Esta aparenteparadoja puede explicarse fcilmente; su-poniendo que un equipo amarra su extremode la cuerda a un poste, el otro equipo ti-rando con sus 10000 newtonsmantiene lamisma condicin de equilibrio que antes,y al hacerlo, la tensin de la cuerda es de10000 newtons. Puede ser eliminado unequipo y considerar que nada ms seencar~ga de sostener la cuerda de la que esttirando el otro equipo.5.4 Equilibrio de tres fuerzas. Cuandoun cuerpo est en equilibrio como conse-cuencia de la accin de tres fuerzas, laresultante de esas tres fuerzas debe ser cero.En otras palabras, para estar en equilibrio,el polgono de fuerzas debe quedar cerrado.Este polgono tendr solamente tres lados sinada ms tenemos tres fuerzas y, por lotanto, ser un tringulo.. Considrese el fa-rol suspendido de dos postes ilustrado enla figura 5L.Las tres fuerzas que actan en el puntocomn, O, son: W, el PeSOde la lmparade 50 newtons, actuando verticalmente ha-cia abajo; Fl, el tirn de una cuerda a 45 .hacia arriba, por la izquierd~, y F2, el t1.rnde la otra cuerda a 30 hacia arriba por

F.

w

50 newtons

W(e)

Flg. 5L La 16mpara que cuella de da, cuerda., ..16 en equilibrio.


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44la derecha. En el diagrama (b) se' i lustrael polgono de fuerzas donde vectorialmen-te, .... ....

W+F~+Fl=O (5a)Al construir este diagrama, se aplican lascondiciones de equilibrio para determinarla magnitud de las fuerzas F 1 Y F2. Elprocedimiento grfico es el siguiente: pri-mero se dibuja verticalmente hacia abajo

un vector de 5 unidades de longitud pararepresentar a W, el peso del farol. En elextremo B del vector se traza una linea pun-teada BC paralela a la cuerda que ejercela fuerza F2. Desde el punto A, se trazaotra lnea, AD, paralela a la cuerda queejerce la fuerza F1.. En el punto E, dondese cortan estas dos lneas, se determinan losvectores F1 y F~ Y se colocan las puntasde las flechas en las direcciones apropiadas.Al medir las lineas continuas 4E y BE, re-sultan tener'4.48 y 3.66 unidades d lon-gitud y, por lo tanto, representan las fuerzasFl = 4.48 newtons y F2 = 3.66 newtonsrespectivamente.5.5 Descomposicin de una fuerza en suscomponentes. Muchos de los problemas defuerzas que se presentan en Mecnica, sonresueltos muy fcilmente por el mtodo delas componentes. Para aplicar este mtodoa problemas tpicos, primero se necesita queveamos cmo se puede descomponer unvector en dos componentes. Considreseuna fuerza conocida F, formando un n-

ye A

xo 8F19. 5M. Descomposlcl6nd. un vedor en dos compo-nente. perpendlcula.....

FSICA DESCRIPTIVAgulo de 8 grados con el eje horizomal x,como se indica en la fig. 5M.Bajando lineas perpendiculares desde elpunto A a los ejes x y )', se obtienen lasfuerzas componentes F


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,FUERZAS, VECTORES y CENTRO DE ORAVEDAD

A 100mw(o)

45

8

we -;

\Q\\

FIg. 5N. Descomposicin de un vedor en do. componente..(b)

zas dibujado a la derecha y el plano incli-,nado de la izquierda, son tringulos seme-jantes (los lados de uno son perpendicula-res a los lados correspondientes del otro).Por lo tanto, podemos usar las proporcioneselementales de la geometra para los ladoscorrespondientes de tringulos semejantes.Podemos, entonces, escribir'

FIe BCFIe : W=BC : AB, o W= ABPara calcular Fz, debemos conocer la lon-

gitud del lado AB. Ya que el tringuloARC es rectngulo, el cuadrado de la hi-potenusa ser igual a la suma de los cua-drados de los catetos. Elevando al cuadradolos catetos, sumando esos cuadrados y sa-cando la raz cuadrada, obtenemos 104.4.Introduciendo los valores conocidos en laecuacin anterior, obtenemos como resul-tado.FIe 30 400 X 30400= 104.4 o sea: FIe= 104.4

= 115newtonsPor una proporcin semejante, puedecalcularse la componente F1Iy encontrar quevale 383 newtons.

5.6 El bote de vela. Un problema queintriga a muchas personas, principalmentea aquellas que tienen ms o menos contactocon los botes de vela, es la posibilidad de

bordada o a bordada, es otra ilustracin dela descomposicin de una fuerza en suscomponentes rectangulares.Como se ven en la fig. 50, el viento vie-ne del Este y el bote va hacia el Nordeste.Cuando se colocan corr(Ctamente las velas,

F

viento

Fig. 50. Un bote navegando hacia el viento. Elemplode la d..compo.lcin de una fuerza, F, en dos com-ponentes perpendiculares, P y B.

el viento presiona oblicuamente en la vela,yes desviado de.tal manera que ejerce unafuerza F, perpendicular a la superficie dela vela. Descomponiendo esta fuerza en doscomponentes rectangulares, una paralela yla otra perpendicular al bote, se encuen-tra la fuerza B que produce el movimientodel bote.La otra componente, P, tiene poco, efectoen el bote, ya que es perpendiclar a su

movimiento. Es una fuerza intil que tien-

46 FislCA DESORlPTIVA2T1 = 5(14 - (1),6 211= 70 - 5rl


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pados con una quilla suficientemente pro-funda para evitar que vuelquen o seanem-pujados lateralmente. Aumentando el n-gulo formado por la vela con la direccindel viento, la fuerza F aumentar; pero lacomponente que hace avanzar el barco sermenor. Si al bote ~ le da una direccinms opuesta al viento, sin cambiar la posi-ci6n relativa de la vela, la componente tilB, tambin disminuir. Elms rpido avan-ce en contra del viento, se obtiene cuandoel viento y la quilla forman un ngulo de45o y las velasse colocande manera queel timn vaya paralelo a la quilla.5.7 Centr()demasa. El ~entrode masade cualquierobjeto o sistemade objetos,8$ un punto tal que si se pasa cualquie.r

p----------"" $P. El ~ntro de mota de dos obleto. ..t6 enalgOn punto d. lo I(nea que une s,,. cenfros.plano por l, los momentos de masade unoy otro lado del plano son iguales.Conside-re, por ejemplo, las dos esferas de masa m~y ma ilustradas en la fig. 5P. El centro demasa P queda en la lnea que une los cen-tros de los dos cuerpos y en una posicintal que

(5b)Para un plano vertical que pase por P,perpendicular al plano de la pgina, nhrles el momento de masa de m\ y n12r: esel momento de masa de m2.EjemPlo 1. Encontrar el centro de masade dos cuerpos, mI = 2g, Yma = 5g, sepa-rados una distancia de 14 cm.Solucin. Ya que la distancia r\ + Ta=14cm, obtenemos

1'2= 14 - TI (5e)Sustituyendo todas las cantidades conocidasen la ecuacin (5b), obtenemos

que nos da7r1= 70, rl = 10

Sustituyendo el valor de 11en la ecuaci6n(5c), encontramos12 = 4cmEl centro de masa de todos los cuerposde .forma regular, como los ilustrados enla fig. 5Q, est en su centro geomtrico.Un plano que pase a travs del centro de...le. 50. C.ntrosd. malad. obl.tol d. formaNgulor.

cualquiera de estas figuras, dividir al cuer-po en dos partes iguales.5.8 Rotaci6n en tomo al centro de masa.En la fig. 5R se ven dos masas, mI y m2,sostenidas en los extremos de una varilladelgada y girando unifonnemente alrede-dor de un eje que pasa por su centro dem. , C ..-:-, -- - -1- m"",. ... it ~ .1" --- --~. -"~--. -- - -- ------------

Al. SR. Rotocl6n uniforme d. dos cuerpot en toMOaIU c.ntro de mCllo.masa. Si se coloca el eje en cualquier otropunto (por ejemplo, a la mitad de la dis-tancia entre las dos masas) el experimen-tador sentir una fuerza no equilibrada queacta spbre su mano, tendiendo a produ-cir un bailoteo.

FUERZAS, VBOroRES y CENTRO DE GRAVEDAD 47


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"" 5S. It c;entrod. 8ravedad de un cuerpo.u.,.""clldo, queda directamented.balo del pun" de .u..,.n.l6n.

Si el sistema de dos cuerpos se lanzagirando al aire, se observar que lo hacealrededor de su centro de masa, mientrasque ste sigue la trayectoria parablica delos proyectiles. La rotacin es unifonne al..rededor de este punto, porque las fuerzascentrfugas tienen magnitudes igu~es y sen..tidos opuestos. Teniendo sentidos opuestos,no ejercen ninguna fuena resultante sobreel eje.5.9 Centro de gravftlad. El centro demtlSQde los dos cuerpos de la Hg. 5P, esel punto nico en torno al cual pueden

equilibrarse los dos cuerpos ba10 la atrae..ci6n gravitacional de la Tierra. Ms an,una fuerza nica, hacia arriba, aplicadaen P, igual en magnitud al peso de losdos cuerpos, mantendr a stos en equili-brio; el sistema no tiende a moverse enninguna direcci6n ni tiende a girar.El centro de masa es, por ello, un puntoen el que se puede considerar concentradotodo el peso. Por esta razn, es frecuente-mente llamado &entrode gravedad.El centro de gravedad de un cuerpo su-perficial de forma regular o irregular, dematerial uniforme o no unorme en sudensidad, puede encontrarse suspendindo-lo de un punto y luego de otro, como seindica en I~ fig. SS. En cada suspensinde un punto P cercano a la pcreria, elcuerpo colgar con su ~entr.ode gravedadprecisamente debajo del punto de suspen-si6n. La..C)neas trazadas a lo largo del hilode la plomada en cada suspensin, se cru-zarn en un punto comn, que es el centrode gravedad.Si se coloca un eje en e

física descriptiva de white

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