INTEGRATIONRules

Trigonometric functionsInverse functions

Al-Rafidain University College

Computer Technology Engineering

Computer and Communication Engineering

Civil Engineering

First Class / Mathematics

Lec.8

Lec.Aqeel M. Jawad

Integration(التكامل)𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓(𝑥)

′ حاصل ضرب الطرفين<<<<

𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥)′ . d𝑥 نكامل الطرفين <<<<<<

𝑦 𝑓(𝑥) =′ d𝑥 تمثل تكامل مشتقة الدالة نفسه y

Engineering Math 2

Integration Rules:

(1) 𝑑𝑦 = y + 𝑐 d𝑥 , = x + 𝑐

(2) 𝑑(𝑦

𝑥) =

𝑦

𝑥+ 𝑐

𝑥𝑛𝑑𝑥 (3) >>>>>>>>>>>>>where n ≠ −1

= xn+1

n+1+ 𝑐

Example(1): 𝑥2 d𝑥= 𝑥3

3+ 𝑐

Example(2): 1

𝑥2d𝑥= 𝑥−2 d𝑥=

𝑥−1

−1+ 𝑐

Engineering Math 3

Example(3): A = X dx= 𝑋1

2 d𝑥= 𝑋

32

3

2

+ 𝑐

➢For n = -1

x−1 dx = ln 𝑥 + 𝑐 ........هذي حالة خاص للقانون

(4) u(x)] ]n 𝑑𝑢 =

[u(x)]n+1

n+1+ c where n ≠ −1

Example(1):

B= (X2+1)4 Xd𝑥……. متوفر وهيغيرمشتقة داخل القوس (2X)

= 1

24(X2+1) 2X d𝑥

= 1

2

(X2+1)5

5+ c

Engineering Math 4

دالة يجب توفر مشتقتها

Example(2):

B = sin3x cos 𝑥 𝑑𝑥 مشتقة داخل القوس متوفر وهي<< (cos𝑥)

B = (𝑠𝑖𝑛 𝑥)4

4+ c

Example(3):

x

x2+5dx

Sol: 1

2

x

x2+5dx = ln (x2 + 5 ) +c

Engineering Math 5

Integration of Trigonometric Functionsتكامل الدوال المثلثية

1)dy

dxsin(u) = cos (u) . u′

(2 cos (u) du = sin (u) + c

(3 sin (u) du = - cos (u) + c

Ex(1): tan (u) 𝑑𝑢 =sin (u)

cos (u)du ... بما ان المشتقه غير كامله والتي هي (cos = − sin)

= −−sin (u)

cos (u)𝑑𝑢 = - ln [cos (u)] + c

Ex(2): cot (u) 𝑑𝑢 =cos (u)

sin (u)𝑑𝑢 ...بما ان المشتقه كامله والتي هي (sin = cos)

= ln [sin (u)] + c Engineering Math 6

Ex(3): sec (u) 𝑑𝑢 = sec(u)sec u +tan (u)

sec u +tan (u)𝑑𝑢

=𝑠𝑒𝑐2 𝑢 +sec u ×tan (u)

sec u +tan (u)𝑑𝑢

Sec(u)+ tan(u) =sec2 u + sec u × tan (u) المشتقه متوفره وهي

= Ln [sec u + tan u ] + c

Ex(4): csc (u) 𝑑𝑢 = csc(𝑢)csc u +cot (u)

cec u +cot (u)𝑑𝑢

=𝑐𝑠𝑐2 𝑢 +csc u ×cot (u)

csc u +cot (u)𝑑𝑢

csc(u)+ cot(u) = − csc2 u + csc u × cot (u) المشتقه غير متوفره كامل وهي

=- −𝑐𝑠𝑐2 𝑢 +csc u ×cot (u)

csc u +cot (u)𝑑𝑢

= - ln csc u + cot (u)Engineering Math 7

−

Integration of Inverse Functionsتكامل الدوال العكسيةEx(1):

d

dxsin−1 u =

1

1−u2𝑑𝑢

1

1−u2𝑑𝑢 = sin−1 u + c

تكامل الدوال الاسية او اللوغارتمية

➢ eu(x) 𝑑𝑢 = eu(x) + c

Example(1):

e3x 𝑑𝑥 (3)بما ان مشتقه غير كامله والتي هي << =

= 1

3 e3x . 3𝑑𝑥 =

1

3𝑒3𝑥 + 𝑐

Engineering Math 8

Example(2):

A = 𝑒𝑠𝑖𝑛𝑥 cos 𝑥𝑑𝑥 لتوفر المشتقه وهي (sin = cos)

A= 𝑒𝑠𝑖𝑛𝑥 +c

Example(3):

B = 𝑒𝑋2𝑥𝑑𝑥 =

1

2 𝑒𝑋

22𝑥𝑑𝑥 =

1

2𝑒𝑋

2+ c

Example(4):

C = 𝑒𝑠𝑖𝑛

−1𝑥

1−𝑥2𝑑𝑥 لتوفر المشتقه وهي = (𝑠𝑖𝑛−1𝑥 =

1

1−𝑥2)

C = 𝑒𝑠𝑖𝑛−1𝑥+ c

Example(5):

D = Ln x

x𝑑𝑥 1(𝑙𝑛𝑥) = (

1

𝑥𝑑𝑥) لتوفر المشتقه وهي (ln 𝑥 =

1

𝑥)

D = (𝑙𝑛𝑥)2

2+ c

Engineering Math 9

Example(6):

E = 1

x Ln x𝑑𝑥 نقسم على <<<<< (x)

E = 1

𝑥

ln 𝑥𝑑𝑥 لتوفر مشتقة المقام يتحقق التكامل

E = ln [ln(x)] + c

Engineering Math 10

H.W

H.W

1) ex

ex+5dx

2) 1

Xdx

3) 2x

x2+5dx

4) 4x3+5

x4+5x+1dx

5) 5x

x2+3dx

6) 5

Xdx

Engineering Math 12

7) cos x

sin x+1dx

8) 𝑑𝑥

x( x+1)

9) e2x

e2x+ln5dx

10) sec2x

tan x+edx

11) e−4xdx

(12(lnx)8+1

xdx

13) ex+1

exdx

14) 12x3

3x4+1dx

1) ex

ex+5dx >>> Sol: ln (ex + 5) + c

2) 1

Xdx >>> sol: ln x +c

3) 2x

x2+5dx >>>> sol: ln (x2 + 5 ) +c

4) dx

x( 𝑥+1)dx >>>> Sol:

x−12

(x12+1)

dx = - ln (x1

2+1) + c

Engineering Math 13

Thank you