ΦΥΣ 111 - Διάλ. 12

Παρουσία συνισταμένης δύναμηςΣε ένα σώμα ασκείται μη μηδενική συνισταμένη δύναμη τότε υπάρχει επιτάχυνση

Εφαρμόζουμε το 2ο νόμο του Newton

!Fx =

!T = m!ax∑ ⇒T = max

!Fy =

!Fg +!n = m!ay =

!0∑ ⇒

!Fg = − !n ⇒ Fg = n

Κάνουμε το διάγραμμα απελευθερωμένου σώματος

Οι δυνάμεις που δρουν είναι:

η τάση Τ

το βάρος Fg

η αντίδραση Ν του δαπέδου

1

ΦΥΣ 111 - Διάλ. 12

Περίπτωση πολλών σωμάτωνΑν πολλά σώματα συνδέονται μεταξύ τους ή εφάπτονται τότε ο νόμος του Newton μπορεί να εφαρμοστεί στο σύστημα σα να είναι ένα σώμα ή σε κάθε σώμα ξεχωριστά

(α) Λαμβάνουμε το σύστημα σαν ένα σώμα

Fx = Mσυστax∑ ⇒ F = m1 + m2( )ax

(β) Μπορούμε να λύσουμε το πρόβλημα εφαρμόζονταςτο νόμο του Newton σε κάθε σώμα ξεχωριστά

⇒F +P21 =m1ax

Στο x-άξονα για m1:

Στο x-άξονα για m2: !P12 =m2

!axΑλλά δράση - αντίδραση

Οπότε F −P12 =m1ax ⇒F −m2ax =m1ax ⇒F = m1 +m2( )ax

2

!F +!P21 =m1

!ax

⇒P12 =m2ax

!P12 = −

!P21

x

y

ΦΥΣ 111 - Διάλ. 12

Παράδειγμα τροχαλίας

Τ1

ΜF

Τ2 Τ3

Τ5

Τ4

Ζητάμε να βρούμε τις τάσεις σε κάθε τμήμα του συστήματος και την δύναμη F για να μην κινηθεί η μάζα M.

Διαγράμματα απελευθερωμένων σωμάτων

Τ2 Τ3

Τ5 Μg

Τ5H τάση στο σχοινί είναι σταθερή:Τ1=Τ3=Τ2

Σύμφωνα με το 2ο νόμο:

�

F = 0⇒ T2 + T3 −T5∑ = 0⇒ 2T2 = T5 ⇒ T2 = T1 = T3 = Mg2

Τ4

Τ1 Τ3Τ2

F = 0⇒T5 − Mg = 0⇒T5 = Mg∑

�

F = T1 = Mg 2

�

F = 0⇒ T4 −T1 −T2 −T3∑ = 0⇒ T4 = 3Mg2

(1) (2) (3)

(3):

(2):

(1):

3

ΦΥΣ 111 - Διάλ. 12

Παράδειγμα ΤάσεωνΤο παιδί της διπλανής εικόνας θέλει να φθάσειένα μήλο στο δέντρο χωρίς να σκαρφαλώσει. Χρησιμοποιεί ένα σχοινί αμελητέας μάζας και μιααβαρή τροχαλία. Τραβάει το σχοινί προς τα κάτωκαι το δυναμόμετρο δείχνει μια δύναμη F=250N.Το βάρος του παιδιού είναι 320Ν ενώ το βάρος της καρέκλας είναι 160Ν. Προσδιορίστε: (α) Τα διαγράμματα ελευθέρου σώματος για το

παιδί και την καρέκλα ξεχωριστά και για τα δύο σαν να αποτελούσαν ένα σύστημα.

(β) Το μέτρο και διεύθυνση της επιτάχυνσης τουσυστήματος.

(γ) Την δύναμη που το παιδί ασκεί στην καρέκλα.

4

ΦΥΣ 111 - Διάλ. 12

Παράδειγμα τάσεωνΤα διαγράμματα ελεύθερου σώματος για την καρέκλα (α), το παιδί (β) και για το σύστημα του παιδιού-καρέκλας (γ).

(α) (β) (γ)

5

ΦΥΣ 111 - Διάλ. 12

Παράδειγμα τάσεων(β) Να βρεθεί το μέτρο και διεύθυνση της επιτάχυνσης του συστήματος

Θεωρούμε ότι το σύστημά μας αποτελείται από τοπαιδί και την καρέκλα.

F = ma ⇒ 2T − 480N = 480N

ga ⇒∑

x

y

Η επιτάχυνση του συστήματος έχει φορά προς τα πάνω.

Προσέξτε ότι 2 σχοινιά στηρίζουν το σύστημακαι η τάση σε κάθε σχοινί είναι Τ=250Νόση δείχνει το δυναμόμετρο. Εφαρμόζουμε το 2ο νόμο του Newton:

⇒ a =

2× 250N − 480N( )g480N

⇒ a = 0.408m / s2

6

ΦΥΣ 111 - Διάλ. 12

Παράδειγμα τάσεων

(γ) Να βρεθεί η δύναμη που ασκεί το παιδί στην καρέκλα

Εφαρμόζουμε το 2ο νόμο του Newton στο σύστημα:

�

F = mπa⇒ T + n −mπg = mπa⇒∑

mπαιδιού

Θεωρούμε ότι το σύστημά μας αποτελείται από το παιδί.

Η δύναμη που ασκεί το παιδί στην καρέκλα είναι ίση καιαντίθετη με την αντίδραση n που δέχεται το παιδί απότην καρέκλα (3ος νόμος του Newton).

⇒ n = 320N − 250N + 320N

g⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

a ⇒ n = 83.3N

7

Επομένως η δύναμη που ασκεί το παιδί στην καρέκλαθα είναι: nπ κ = −83.3N

ΦΥΣ 111 - Διάλ. 12

Μηχανή του AtwoodΟι μόνες δυνάμεις που δρουν είναι η Τάση και το Βάρος

Ποια είναι η Τ?

Θα μπορούσαμε να λύσουμε το πρόβλημα θεωρώντας m1,m2 σαν ένα σύστημα με μάζα Μ=(m1+m2) κινούμενα κάτω από μια δύναμη

Από τη στιγμή που τα σώματα είναι συνδεδεμένα,όλα έχουν την ίδια επιτάχυνση

y

x

Για το m1:

Για το m2:

T = m1 a + g( ) = m1

m2 − m1( )gm1 + m2( ) + g

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

2m1m2

m1 + m2( ) g

a = FM

=m2 − m1( )gm1 + m2( )

F = m2 − m1( )g

a =m2 − m1( )gm1 + m2( ) < g

Fy∑ = m1a ⇒ T − m1g = m1a ⇒ T = m1g + m1a

Fy∑ = −m2a⇒ T − m2g = −m2a⇒ T = m2g − m2a

⇒ m2g − m2a = m1g + m1a ⇒ m2 − m1( )g = m1 + m2( )a

8