Universite Paris Diderot MI3/MA3 – Annee 2009/10Departement de Sciences Exactes L2 Info et Mass

Feuille d’exercices n◦1 :suites numeriques, fonctions continues (revision, approfondissement)

Exercice 1 Rappeler les definitions suivantes :

1. Suite croissante, suite decroissante

2. Suite monotone

3. Suite constante a partir d’un certain rang

4. Suite convergeant vers zero

5. Suite convergeant vers une limite finie l ∈ R

6. Suite convergeant vers +∞, vers −∞

Exercice 2 Que dire des affirmations suivantes ?

1. Si (un)n>0 est croissante et majoree, alors elle converge (sous-entendu : vers une limite finie).

2. Si (un)n>0 est decroissante et positive ou nulle, alors elle convergence vers une limite positive ou nulle.

3. Si (un)n>0 est decroissante et strictement positive, alors elle converge vers une limite strictement positive.

4. Si (un)n>0 et (vn)n>0 sont deux suites convergentes, alors (un + vn)n>0 est une suite convergente.

5. Si (un)n>0 et (vn)n>0 sont deux suites divergentes, alors (un + vn)n>0 est une suite divergente.

Exercice 3 Soit (vn)n>0 une suite positive et tendant vers zero. Que peut-on dire sur la convergence de (un)n>0

dans les situations suivantes :

1. ∀n > 0, |un| 6 vn

2. ∀n > 0, un 6 vn

3. A partir d’un certain rang, on a |un| 6 vn.

Supposons que (vn)n>0 et (wn)n>0 sont deux suites convergentes, et que (un)n>0 est une suite verifiant vn 6

un 6 wn a partir d’un certain rang. Que peut-on dire de (un)n>0 ? Si on rajoute l’hypothese lim vn = limwn ,que peut-on dire maintenant ?

Exercice 4 [suites de nombres complexes] Rappeler la definition d’etre convergente, pour une suite (zn)n>0 avaleurs complexes. Si zn = xn + iyn avec xn, yn ∈ R, montrer que : (zn)n>0 converge si et seulement si (xn)n>0

et (yn)n>0 convergent. En cas de convergence, si on pose z = lim zn, x = lim xn et y = lim yn , alors on az = x + iy.

Exercice 5 Determiner, en la justifiant, la valeur de verite de chacune des assertions suivantes ou l’on noteu = (vn)n>0 une suite numerique :

a) si u converge, u est monotone ;

b) si u est monotone, u converge ;

c) si u est monotone et bornee, u converge ;

d) si u est decroissante et positive, u converge ;

e) si u converge, u est bornee ;

f) si u ne converge pas, u n’est pas bornee ;

g) si u converge, u garde un signe constant a partir d’un certain rang ;

h) si u est non majoree, u tend vers +∞ ;

i) si u est croissante et non majoree, u tend vers +∞ ;

j) si u tend vers +∞, u garde un signe constant a partir d’un certain rang ;

k) si u et v ne convergent pas, u + v ne converge pas ;

l) si u et v tendent vers +∞ ou −∞, u + v ne converge pas ;

m) si u tend vers +∞ (resp. −∞) et v converge, u + v tend vers +∞ (resp. −∞) ;

n) si u converge et v ne converge pas, uv ne converge pas ;

o) si u converge et v tend vers +∞ (resp. −∞), uv tend vers +∞ ou −∞ ;

p) si u converge vers 0, uv converge vers 0.

Exercice 6 [suites geometriques] Rappeler la definition d’une suite geometrique de raison r. Soit (un)n>0 unetelle suite, et soit (Sn)n>1 la suite dont le terme general Sn est la sommation des n premiers termes de la suitegeometrique (un)n>0, soit :

Sn =

n−1∑

k=0

uk , n > 0.

Rappeler la formule exprimant Sn en fonction de u0 , r et n. A quelle condition sur la raison r les suites(un)n>0 ou (Sn)n>1 sont-elles convergentes ?

Exercice 7 [suites de Cauchy ; transformation d’Abel] Soit (an)n>1, (bn)n>1 deux suites, on pose An :=

a1 + · · · + an =∑n

m=1 am ; demontrer l’identite suivante dite transformation d’Abel :

Sn :=

n∑

m=1

ambm =

n∑

m=1

Am(bm − bm+1) + Anbn+1.

Rappeler la definition d’une suite de Cauchy et la relation entre suites convergentes et suites de Cauchy.

Supposons maintenant que la suite An est bornee et la suite bn decroissante et convergente vers zero. Montrerque Sn est une suite de Cauchy et en deduire qu’elle est convergente.

Application n0 1 : Montrer que la suite de terme general (un)n>0 defini par

un =

n∑

k=1

(−1)k

k

est une suite convergente. Montrer aussi que la suite de terme general (vn)n>0 defini par

vn =

n∑

k=1

1

k

est une suite divergente. Indication : etudier v2n+1 − v2n ; montrer que |v2n+1 − v2n | > 12 et conclure grace a la

partie facile du critere de Cauchy.

Application n0 2 : Montrer que la suite de terme general (un)n>1 defini par

un =n

∑

k=1

cos(kθ)

kα

est une suite convergente, lorsque α > 0 et θ /∈ 2πZ. [Indication : on pourra montrer que, lorsque θ /∈ 2πZ, alors∑n

m=0 cos(mθ) = cos(nθ/2) sin((n+1)θ/2)sin(θ/2) est borne.]

Exercice 8 [le nombre e] On considere les deux suites de nombres reels (un)n>1 et (vn)n>1 definies par :

un = 1 +1

1!+ · · · + 1

n!, vn = un +

1

n · n!.

Montrer que :

1. la suite (un)n>0 est croissante ;

2. la suite (vn)n>0 est decroissante ;

3. pour tout n > 1, un 6 vn ;

4. limn→+∞(vn − un) = 0.

En deduire que les suites (un)n>0 et (vn)n>0 sont convergentes et de meme limite. Cette limite est le nombrereel e.

Complements.

1. On se propose de montrer que e /∈ Q. Pour cela montrer qu’on peut ecrire un = an

n! avec an entier et endeduire l’inegalite, valable pour tout n > 1 :

an < e n! < an +1

n.

Supposer que e = pq ∈ Q et en deduire une contradiction en choisissant n = q dans l’inegalite precedente.

2. Montrer qu’on a egalement limn→+∞

(

1 + 1n

)n= e. [Indication : l’exercice est plus facile si l’on suppose

connue la fonction logarithme.]

Exercice 9 [moyenne de Cesaro] Soit (un)n>1 une suite de nombres reels, et soit (vn)n>1 la suite des moyennesde Cesaro, definie par :

vn =1

n

n∑

k=1

uk , n > 1.

1. Montrer que si limun = 0, alors lim vn = 0.

2. En deduire que si limun = l, alors lim vn = l.

3. Application : Soit (xn)n>1une suite dont les termes sont tous strictement positifs. On suppose que la suite

de terme general yn = xn+1

xn

est convergente, de limite l > 0. Montrer que la suite (zn)n>1 definie parzn = n

√xn est convergente, de limite l.

4. Donner un exemple de suite (xn)n>1 telle que lim n

√xn = l mais la limite de xn+1

xn

n’existe pas.

5. Application. Determiner la limite de la suite de terme general :(

2nn

)

1n .

Exercice 10 [comparaison somme-integrale] Soit f : [1, +∞[→ R une fonction positive, decroissante et continue.On pose

n > 1, un =

n∑

k=1

f(k) −∫ n

1

f(x) dx.

1. Faire un schema representant le graphe de f , et y situer la valeur de un en terme d’aire.

2. Montrer que la suite (un)n>1 est decroissante et minoree, donc convergente.

3. Appliquer la methode de comparaison a une fonction bien choisie pour montrer que la suite (xn)n>1 determe general defini par

xn =n

∑

k=1

1

k,

est une suite divergente. [On pourra comparer avec la preuve de la divergence donnee dans l’exercice 7.]

4. Prouver les encadrements :

∫ n+1

1

f(t) dt 6∑

16k6n

f(k) 6 f(1) +

∫ n

1

f(t) dt.

En deduire la limite de la suite de terme general :

1√n

∑

16k6n

1√k

.

Exercice 11 On definit la fonction fn : [0, 1] → R par fn(x) = xn + x2 + x − 1.

a) Montrer que fn(x) est une fonction continue et strictement croissante (c’est-a-dire que x < y entraınef(x) < f(y) ; en deduire qu’il existe un unique nombre reel xn ∈ [0, 1] tel que fn(xn) = 0. [Indication : pourl’existence, on utilisera le theoreme des valeurs intermediaires.]

b) Montrer que pour x ∈ [0, 1] fixe, la suite fn(x) est decroissante, c’est-a-dire fn(x) > fn+1(x). En deduireque xn est croissante et convergente (on appellera ℓ la limite).

c) Verifier que fn(3/4) > 0 donc xn < 3/4 et donc limn→∞ xnn = 0. Conclure que ℓ2 + ℓ − 1 = 0 et ainsi que

ℓ est egal a :−1 +

√5

2.

Exercice 12 Soit f : [0, 1] → [0, 1] continue. On se propose de montrer que f possede un point fixe, c’est-a-direun lment x0 ∈ [0, 1] tel que f(x0) = x0.

Posons g(x) = f(x) − x. Montrer que g est continue, que g(0) > 0 et g(1) 6 0 et conclure qu’il existex0 ∈ [0, 1] tel que g(x0) = 0 ou encore f(x0) = x0. Interpreter graphiquement ce resultat.

Exercice 13 a) Soient a1 < a2 < . . . < an des reels deux a deux distincts ; combien de zeros possede la fonction

f(x) =

n∑

i=1

1

x − ai?

Indication : on etudiera le sens de variation, la continuite sur chaque intervalle ]ai, ai+1[ et on pourra appliquerle theoreme des valeurs intermediaires.