fem1_loesungen

Finite-Elemente-Methode I - SS 2012 - Losungen 1

Ubung 1: FEM bei Stabwerken

Losung 1.1:

Siehe Mitschrift!

Losung 1.2:

Siehe Mitschrift!

C. Silbermann, H. Wulf, Professur Festkorpermechanik, Technische Universitat Chemnitz


Ubung 2: Formfunktionen fur Stabelemente

Losung 2.1:

Siehe Mitschrift!

Losung 2.2:

a) Unter Nutzung der Ergebnisse von Aufgabe 1.2 ergeben sich die Elementsteifigkeitsmatrizender drei Stabe zu:

Stab I: α = 0◦, sin α = 0, cos α = 1 ⇒[ I

K]

=EA

4l

4 0 −4 00 0 0 0

−4 0 4 00 0 0 0

Stab II: α = 120◦, sin α =√

32

, cos α = −12

⇒[ II

K]

=EA

4l

1 −√3 −1√

3−√3 3

√3 −3

−1√

3 1 −√3√3 −3 −√3 3

Stab III: α = 60◦, sin α =√

32

, cos α = +12

⇒[III

K]

=EA

4l

1√

3 −1 −√3√3 3 −√3 −3

−1 −√3 1√

3−√3 −3

√3 3

Zum Zusammenbau der Gesamtsteifigkeitsmatrix ist ein Schema hilfreich:

U1x U1y U2x U2y U3x U3y

U1x I, III I, III I I III III

U1y I, III I, III I I III III

U2x I I I, II I, II II II

U2y I I I, II I, II II II

U3x III III II II II, III II, III

U3y III III II II II, III II, III

Das gesamte Gleichungssystem unter Berucksichtigung der Randbedingungen U1x = U1y =U2y = 0 und F2x = F3x = 0, F3y = −F lautet dann:

EA

4l

5√

3 −4 0 −1 −√3√3 3 0 0 −√3 −3

−4 0 5 −√3 −1√

30 0 −√3 3

√3 −3

−1 −√3 −1√

3 2 0−√3 −3

√3 −3 0 6

00

U2x

0U3x

U3y

=

F1x

F1x

0F2y

0−F

(1)

Nach dem Streichen der Zeilen und Spalten mit ULa = 0 (L = 1, . . . , 3; a = x, y) verbleibt das



losbare Gleichungssystem:

EA

4l

5 −1√

3−1 2 0√

3 0 6

U2x

U3x

U3y

=

00

−F

(2)

Die Losung kann zum Beispiel mit dem GAUß-Verfahren bestimmt werden, indem das LGS aufeine Stufenform gebracht wird. Es ergibt sich:

U2x =√

36

Fl

EA, U3x =

√3

12Fl

EA, U3y = −3

4Fl

EA. (3)

Die Knotenkrafte werden erhalten, indem man die vormals gestrichenen Zeilen mit den nunbekannten Knotenverschiebungen auswertet.

F1x =EA

4l

(−4U2x − U3x −

√3U3y

)= 0 (4)

F1y =EA

4l

(−√

3U3x − 3U3y

)=

12F (5)

F2y =EA

4l

(−√

3U2x +√

3U3x − 3U3y

)=

12F (6)

Zur Kontrolle der Losung kann das Kraftegleichgewicht herangezogen werden, wobei geltenmuss ∑

K

FK + F e = 0 ⇒∑

K

FKx = 0,∑

K

FKy = F , (7)

was hier erfullt ist.

b) Die Berechnung von Stabkraften (Normalkraften) und zugehorigen Normalspannungen gehortzur Nachbereitung der Losung. Aus dem Verschiebungsfeld folgen sofort die Verzerrungen,woraus uber das Materialverhalten (HOOKEsches Gesetz) die Spannungen bestimmt werdenkonnen1.

Nε = (EA)ε∆lεlε

, σε =Nε

Aε= E

∆lεlε

mit ε = I, . . . , III (8)

Zur Bestimmung der Langenanderung der Stabe ist allerdings noch eine Transformation derKnotenverschiebungen in das elementspezifische, lokale Koordinatensystem ξ, η durchzufuhrenmittels: [

UKξ

UKη

]= [T ]

[UKx

UKy

]

Stab I: α = 0◦, ⇒ ∆lI = U2ξ − U1ξ = U2x

Stab II: α = 120◦, ⇒ ∆lII = U3ξ − U2ξ = (U3x cos α + U3y sin α)− (U2x cosα + U2y sin α)

= −√

3/3Fl/EA

Stab III: α = 60◦, ⇒ ∆lIII = U3ξ − U1ξ = (U3x cos α + U3y sin α)− (U1x cosα + U1y sin α)

= −√

3/3Fl/EA

Somit folgen die Normalspannungen zu:

σI =√

36

F

A, σII = −

√3

3F

A= σIII . (9)

1Die Indexvariable ε steht fur das jeweilige Element und sollte nicht mit dem Verzerrungstensor ε verwechselt werden.



Losung 2.3:

Siehe Mitschrift!

Losung 2.4:

a) Beim 3-Knoten-Stabelement sind die Knotenverschiebungen U1x, U2x und U3x vorhanden. So-mit kann ein quadratischer Verschiebungsansatz mit drei Freiwerten

u(x) = a0 + a1 x + a2 x2

realisiert werden. Dieser ist in der Weise umzuformen, dass die Ansatzfreiwerte aus den Kno-tenverschiebungen berechnet werden konnen. Fur die Verschiebungen in den Knoten gilt

u(x = 0) = a0 = U1x

u(x = 12 l) = a0 + 1

2 l a1 + 14 l2 a2 = U2x

u(x = l) = a0 + l a1 + l2 a2 = U3x

so dass

a0 = U1x , a1 =−3U1x + 4U2x − U3x

l, a2 =

2U1x − 4U2x + 2U3x

l2

folgen.

b) Einsetzen und Umordnen nach den Knotenverschiebungen liefert den Verschiebungsansatz

u(x) = U1x

[1− 3

x

l+ 2

(x

l

)2 ]

︸︷︷︸G1(x)

+ U2x

[4

x

l− 4

(x

l

)2 ]

︸︷︷︸G2(x)

+ U3x

[− x

l+ 2

(x

l

)2 ]

︸︷︷︸G3(x)

mit den FormfunktionenG1(x) = 1− 3 x

l + 2(

xl

)2

G2(x) = 4 xl − 4

(xl

)2

G3(x) = −xl + 2

(xl

)2.

c) Die Formfunktionen haben parabolische Gestalt und weisen die typische Eigenschaft auf, dasssie jeweils in genau einem Knoten den Wert 1 annehmen und an allen anderen 0.



Ubung 3: TURNER-Dreieckelement

Losung 3.1:

Siehe Mitschrift!

Losung 3.2:

Die vier Knoten haben folgende Koordinaten (xK , yK): 1© (0, 0), 2© (l, 0), 3© (l, l) und 4© (0, l). DieFlachen der beiden Dreieckelemente sind AI = AII = l2/2 und die Dicke betragt jeweils s.Element I enthalt die Knoten 1©, 2©, 3© (globale Knotennummern), die in diesem Sonderfall mitden lokalen Knotennummern ubereinstimmen. Damit ergibt sich fur die Matrix [B]:

[ I

B]

=1

2AI

y2 − y3 0 x3 − x2

0 x3 − x2 y2 − y3

y3 − y1 0 x1 − x3

0 x1 − x3 y1 − y3

y1 − y2 0 x2 − x1

0 x2 − x1 y1 − y2

=1l

−1 0 00 0 −11 0 −10 −1 10 0 10 1 0

Element II enthalt die Knoten 1©, 3©, 4© (globale Knotennummern), die den lokalen Knotennum-mern 1,2,3 zuzuordnen sind. Damit ergibt sich fur die Matrix [B]:

[ II

B]

=1

2AII

y3 − y4 0 x4 − x3

0 x4 − x3 y3 − y4

y4 − y1 0 x1 − x4

0 x1 − x4 y4 − y1

y1 − y3 0 x3 − x1

0 x3 − x1 y1 − y3

=1l

0 0 −10 −1 01 0 00 0 1

−1 0 10 1 −1

Anstatt die Elementsteifigkeitsmatrizen zu bestimmen, daraus die Gesamtsteifigkeitsmatrix aufzu-bauen und dann die

”uberflussigen“ Zeilen und Spalten zu streichen, wird hier gleich die Gesamt-

steifigkeitsmatrix betrachtet:

U1x U1y U2x U2y U3x U3y U4x U4y

U1x I, II I, II I I I, II I, II II II

U1y I, II I, II I I I, II I, II II II

U2x I I I I I I 0 0

U2y I I I I I I 0 0

U3x I, II I, II I I I, II I, II II II

U3y I, II I, II I I I, II I, II II II

U4x II II 0 0 II II II II

U4y II II 0 0 II II II II

Aufgrund der Verschiebungsrandbedingungen U1x = U1y = U2y = U4x = 0 konnen die 1., 2., 4.und 7. Zeile und Spalte gestrichen werden. Deshalb brauchen nur die eingerahmten Eintrage derGesamtsteifigkeitsmatrix berechnet werden2.

2Nutzt man auch noch die Symmetrie von [K] aus, kommt man mit noch weniger Rechenaufwand aus.



Dazu sind zuerst die relevanten Elemente der Elementsteifigkeitsmatrizen

[ I

K]

=[ I

B][

E][ I

B]T

sAI

[ II

K]

=[ II

B][

E][ II

B]T

sAII

zu bestimmen, was in ubersichtlicher Weise mit dem FALKschen Schema

[E] [B]T

[B] [B][E] [K]

moglich ist. Hierbei ist die Materialsteifigkeits- oder Elastizitatsmatrix [E] = [Eαβ ] fur Scheiben-tragwerke (ESZ!) gleich

[E] =E

1− ν2

1 ν 0ν 1 00 0 1−ν

2

.

Schließlich ergibt sich das FEM-Gleichungssystem [K][U ] = [F ] unter Berucksichtigung derKraftrandbedingungen F2x = F3x = 0, F3y = F4y = F/2 zu:

Es

2(1− ν2)

3−ν2 − 1−ν

2 ν 0− 1−ν

23−ν2 0 ν

ν 0 3−ν2 − 1−ν

20 ν − 1−ν

23−ν2

U2x

U3x

U3y

U4y

=

12

00FF

Die Losung vereinfacht sich wesentlich, wenn aus Symmetriegrunden (sym. Struktur und sym.Belastung!) U3y = U4y =: uy und U2x = U3x =: ux gesetzt wird. Es ergibt sich

uy =F

Es, ux = −νuy .

Die Querkontraktionszahl ist gerade der erhaltenen Losung entsprechend definiert: ν = −ux/uy.Offensichtlich entspricht die vorliegende Problemstellung einem einachsigen Zugversuch in y-Richtung. Analog folgt fur die Verzerrungen, die in beiden Elementen gleich groß sind:

εxx = −νεyy , εxy = 0 .

Alternativ konnen die Verzerrungen mit den bekannten Knotenverschiebungen elementweise uber[εβ ] = [B]T[ULb] berechnet werden. Daraus ergeben sich die Spannungen mittels [σα] = [Eαβ ][εβ ]

σxx

σyy

σxy

=

E

1− ν2

1 ν 0ν 1 00 0 1−ν

2

−ν

10

εyy =

0Eεyy

0

.

Dasselbe Ergebnis hatte mit den Methoden der Festigkeitslehre bestimmt werden konnen. Auf-grund der exakt abgebildeten Geometrie und der Tatsache, dass der Verschiebungsansatz der Drei-eckelemente konstante Verzerrungs- und Spannungszustande exakt wiedergeben kann, stimmt diemit der FEM erhaltene Naherung mit der exakten Losung uberein.



Ubung 4: Viereckelemente und Isoparametrie

Losung 4.1:

Siehe Mitschrift!

Losung 4.2:

Analog zum FEM-Ansatz u =∑

GK(ξ, η) UK gilt bei Isoparametrie r =∑

GK(ξ, η) rK :

x(ξ, η) =∑

K

GK(ξ, η) xK

y(ξ, η) =∑

K

GK(ξ, η) yK .

Das bedeutet, dass alle Ortsvektoren innerhalb des Elements als Linearkombination aus Formfunk-tionen und Knotenortsvektoren dargestellt werden konnen.

Um nun die obere Kante des 8-Knoten-Vierecks wiederzugeben, sind nur die Knotenorte r3, r7, r4

relevant. Sie liegen alle auf einer Kreisbahn, weswegen sich die Nutzung des Zylinderkoordinaten-systems mit x = R cos ϕ, y = R sin ϕ empfiehlt. Fur die Knotenkoordinaten ergibt sich:

Nr. ϕ x y ξ η

3© 330◦√

3/2R −1/2R +1 +17© 270◦ 0 −R 0 +14© 210◦ −√3/2R −1/2R −1 +1

An der oberen Elementkante ist η immer 1. Somit folgt fur die Koordinatenlinie η = 1:

r(ξ, η = 1) = G3(ξ, 1) r3 + G4(ξ, 1) r4 + G7(ξ, 1) r7

x(ξ, η = 1) = G3(ξ, 1) x3 + G4(ξ, 1) x4 + G7(ξ, 1) x7

y(ξ, η = 1) = G3(ξ, 1) y3 + G4(ξ, 1) y4 + G7(ξ, 1) y7 .

Die benotigten Formfunktionen des 8-Knoten-Vierecks lauten:

G3(ξ, η) =14(−1 + ξη + η2 + ξ2 + ξη2 + ξ2η)

G7(ξ, η) =12(1 + η − ξ2 − ξ2η)

G4(ξ, η) =14(−1− ξη + η2 + ξ2 − ξη2 + ξ2η)

Nach dem Einsetzen der Formfunktionen und Knotenkoordinaten bleibt schließlich fur die Koordi-natenlinie η = 1:

x(ξ, η = 1) =√

3/2Rξ

y(ξ, η = 1) = (ξ2/2− 1)R .

Zur Kontrolle kann uberpruft werden, ob die Werte an den Knotenorten (den”Stutzstellen“) exakt

wiedergegeben werden, z.B. x(ξ = 0, η = 1) = 0. Dazwischen stellen die erhaltenen VerlaufeNaherungen an die wirkliche Kreiskontur dar. Aus der Differenz von wirklichem Radius R undapproximiertem Radius

R =√

x(ξ, 1)2 + x(ξ, 1)2 = R

√1− ξ2

4(1− ξ2)



ergibt sich der Fehler bei der Annaherung der Kreislinie mit der Kante des 8-Knoten-Vierecks zu

s = R− R = R

(1−

√1− ξ2

4(1− ξ2)

).

Er ist an den Knotenorten erwartungsgemaß null, wovon sich schnell uberzeugt werden kann. DerVerlauf dazwischen wird aus einer Kurvendiskussion leicht ersichtlich. Aus

ds

dξ

!= 0 ⇒ ξ(ξ2 − 1/2) = 0

und der Kontrolle mit der 2. Ableitung folgt ein Minimum bei ξ = 0 und zwei Maxima an denStellen ξ = ±√2/2. Der maximale Fehler bezogen auf R betragt somit:

smax

R=

s(ξ = ±√2/2)R

= 1−√

154

≈ 0, 03175

Der Verlauf des bezogenen Fehlers s/R uber der lokalen Koordinate ξ ist in folgender Abbildungdargestellt.

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

-1 -0.5 0 0.5 1



Ubung 5: GAUSSpunkt-Integration

Losung 5.1:

Zur weiteren Bearbeitung werden benotigt: die Formfunktionen des 4-Knoten-Viereckelements

G1 =14(1− ξ)(1− η) , G1,ξ = −1

4(1− η) , G1,η = −1

4(1− ξ)

G2 =14(1 + ξ)(1− η) , G2,ξ = +

14(1− η) , G2,η = −1

4(1 + ξ)

G3 =14(1 + ξ)(1 + η) , G3,ξ = +

14(1 + η) , G3,η = +

14(1 + ξ)

G2 =14(1− ξ)(1 + η) , G4,ξ = −1

4(1 + η) , G4,η = +

14(1− ξ)

und deren partielle Ableitungen nach den lokalen Koordinaten3. Analog zum

FEM-Ansatz: u =∑

K

GK(ξ, η) UK

gilt bei Isoparametrie: r =∑

K

GK(ξ, η) rK

x =∑

K

GK(ξ, η) xK

y =∑

K

GK(ξ, η) yK .

Daraus ergeben sich die partiellen Ableitungen der globalen nach den lokalen Koordinaten:

x,ξ =∂x

∂ξ=

∑

K

GK,ξ xK , y,ξ =∂y

∂ξ=

∑

K

GK,ξ yK

x,η =∂x

∂η=

∑

K

GK,η xK , y,η =∂y

∂η=

∑

K

GK,η yK .

Sie werden in der JACOBI-Matrix zusammengefasst:

[J ] =[x,ξ y,ξ

x,η y,η

].

Die Inverse davon enthalt gerade die partiellen Ableitungen der lokalen nach den globalen Koor-dinaten:

[J ] 1 =[ξ,x η,x

ξ,y η,y

].

Die Determinante der JACOBI-Matrix gibt das lokale Verhaltnis von wirklicher Flache dA = dx dyzu projizierter Flache des Standardquadrates dξ dη wieder.

dA = dx dy = det[J ] dξ dη

All dies berucksichtigend kann nun die Losung der Teilaufgaben erfolgen!

3Hierbei wurde die Kurzschreibweise (·),ξ =∂(·)∂ξ

genutzt.


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