広義積分

微分積分・同演習 B – p.1/12

広義積分[例]定積分

∫

1

0

1√xdxを考える。これを次のように計算する

のはそのままでは定義に反する：∫

1

0

1√xdx =

[

2√

x]1

0= 2

理由 を定義する為の 和は発散し得る：

AAAAAAAAAA

AAAAAAAAAAAA

AAAAAAA

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

1x

微分積分・同演習 B – p.2/12

広義積分[例]定積分

∫

1

0

1√xdxを考える。これを次のように計算する

のはそのままでは定義に反する：∫

1

0

1√xdx =

[

2√

x]1

0= 2

[理由]

∫

1

0

1√xdxを定義する為の Riemann和は発散し得る：

n−1∑

k=0

1

n

1√

k/n

=1

n∞ +

1√n

n−1∑

k=1

1√k

= +∞AAAAAAAAAA

AAAAAAAAAAAA

AAAAAAAA

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

1 n-1n n

1x

微分積分・同演習 B – p.2/12

広義積分[例２]同様に定積分

∫

+∞

1

1

x2dxを次のように計算するのはそ

のままでは定義に反する：∫

+∞

1

1

x2dx =

[

−1

x

]+∞

1

= 1

理由 の定義の 和はやはり発散する：

AAAAAA

AAAAAAAAAA

AAAAAA

AAAAAAAAAAAA

1x2

微分積分・同演習 B – p.3/12

広義積分[例２]同様に定積分

∫

+∞

1

1

x2dxを次のように計算するのはそ

のままでは定義に反する：∫

+∞

1

1

x2dx =

[

−1

x

]+∞

1

= 1

[理由]

∫

+∞

1

1

x2dxの定義の Riemann和はやはり発散する：

m−2∑

k=0

1

n

1(

k+n

n

)2+ ∞ · 1

(

n+m−1

n

)2

= +∞

AAAAAA

AAAAAAAAAA

AAAAAA

1 n-1n nAAAAAAAAAAAA

1x2

微分積分・同演習 B – p.3/12

広義積分[定義]

• 区間 (a, b] (又は [a, b))で連続な関数 f(x)について

limε→+0

∫

b

a+ε

f(x)dx(

又は limε→+0

∫

b−ε

a

f(x)dx)

が存在するとき、

f(x)の [a, b]での広義積分とよび∫

b

a

f(x)dxと書く。

区間 又は で連続な関数 について

又は が存在するとき、 の 又は での広義積分とよび

又は と書く。

微分積分・同演習 B – p.4/12

広義積分[定義]

• 区間 (a, b] (又は [a, b))で連続な関数 f(x)について

limε→+0

∫

b

a+ε

f(x)dx(

又は limε→+0

∫

b−ε

a

f(x)dx)

が存在するとき、

f(x)の [a, b]での広義積分とよび∫

b

a

f(x)dxと書く。

• 区間 [a,+∞) (又は (−∞, b])で連続な関数 f(x)について

limR→+∞

∫

R

a

f(x)dx(

又は limR→−∞

∫

b

R

f(x)dx)

が存在するとき、f(x)の [a,+∞) (又は (−∞, b] )での広義積分とよび∫

+∞

a

f(x)dx (又は∫

b

−∞

f(x)dx )と書く。

微分積分・同演習 B – p.4/12

広義積分[練習問題]

次の広義積分を (存在するならば)計算せよ

•∫

1

0

1√xdx

微分積分・同演習 B – p.5/12

広義積分[練習問題]

次の広義積分を (存在するならば)計算せよ

•∫

1

0

1√xdx

•∫

+∞

1

1

x2dx

微分積分・同演習 B – p.5/12

広義積分[練習問題]

次の広義積分を (存在するならば)計算せよ

•∫

1

0

1√xdx

•∫

+∞

1

1

x2dx

•∫

1

−1

1

xdx

微分積分・同演習 B – p.5/12

広義積分[練習問題]

次の広義積分を (存在するならば)計算せよ

•∫

1

0

1√xdx

•∫

+∞

1

1

x2dx

•∫

1

−1

1

xdx

•∫

+∞

−∞

xdx

微分積分・同演習 B – p.5/12

広義積分[解答例]

•∫

1

0

1√xdx = lim

ε→+0

∫

1

ε

1√xdx = lim

ε→+0

[

2√

x]1

ε= 2

よってこの広義積分は存在しない。

微分積分・同演習 B – p.6/12

広義積分[解答例]

•∫

1

0

1√xdx = lim

ε→+0

∫

1

ε

1√xdx = lim

ε→+0

[

2√

x]1

ε= 2

•∫

+∞

1

1

x2dx = lim

R→+∞

∫

R

1

1

x2dx = lim

R→+∞

[

−1

x

]R

1

= 1

よってこの広義積分は存在しない。

微分積分・同演習 B – p.6/12

広義積分[解答例]

•∫

1

0

1√xdx = lim

ε→+0

∫

1

ε

1√xdx = lim

ε→+0

[

2√

x]1

ε= 2

•∫

+∞

1

1

x2dx = lim

R→+∞

∫

R

1

1

x2dx = lim

R→+∞

[

−1

x

]R

1

= 1

•∫

1

−1

1

xdx = lim

ε1→+0

∫

−ε1

−1

1

xdx + lim

ε2→+0

∫

1

ε2

1

xdx

= limε1→+0

[log |x|]−ε1

−1+ lim

ε2→+0[log x]1

ε2= −∞ + ∞

よってこの広義積分は存在しない。

微分積分・同演習 B – p.6/12

広義積分[解答例続き]

•∫

+∞

−∞

xdx = limR1→−∞

∫

0

R1

xdx + limR2→+∞

∫

R2

0

xdx

= limR1→−∞

[

1

2x2

]0

R1

+ limR2→+∞

[

1

2x2

]R1

0

= −∞ + ∞

よってこの広義積分は存在しない。

微分積分・同演習 B – p.7/12

広義積分

微分積分・同演習 B – p.8/12

広義積分[定理]

• 区間 (a, b] (又は [a, b))で連続な関数 f(x)と g(x)について 0 ≤ f(x) ≤ g(x)が成り立ち∫

b

a

g(x)dxが存在するならば∫

b

a

f(x)dxも存在する。

区間 又は で連続な関数 とについて が成り立ち

又は が存在するならば

又は も存在する。

微分積分・同演習 B – p.9/12

広義積分[定理]

• 区間 (a, b] (又は [a, b))で連続な関数 f(x)と g(x)について 0 ≤ f(x) ≤ g(x)が成り立ち∫

b

a

g(x)dxが存在するならば∫

b

a

f(x)dxも存在する。

• 区間 [a,+∞) (又は (−∞, b])で連続な関数 f(x)と g(x)

について 0 ≤ f(x) ≤ g(x)が成り立ち∫

+∞

a

g(x)dx (又は∫

b

−∞

g(x)dx )が存在するならば∫

+∞

a

f(x)dx (又は∫

b

−∞

f(x)dx )も存在する。

微分積分・同演習 B – p.9/12

広義積分[練習問題]

1. (a, b]で定義された関数 0 ≤ f(x)について、ある α < 1

と 0 < M について (x − a)αf(x) < M が成り立つならば∫

b

a

f(x)dx

が存在することを証明せよ。

2. 0 < aに対し [a,+∞)で定義された関数 0 ≤ f(x)について、ある 1 < αと 0 < M について xαf(x) < M が成り立つならば ∫

+∞

a

f(x)dx

が存在することを証明せよ。微分積分・同演習 B – p.10/12

広義積分[解答例]

1. 仮定より (a, b]で 0 ≤ f(x) < M(x − a)−α が成り立つので

∫

b

a

M(x − a)−αdx =M

1 − α(b − a)1−α < +∞

から定理より∫

b

a

f(x)dxも存在する。

2. 仮定より [a,+∞)で 0 ≤ f(x) < Mx−α が成り立つので∫

+∞

a

Mx−αdx = − M

1 − αa1−α < +∞

から定理より∫

+∞

a

f(x)dxも存在する。

微分積分・同演習 B – p.11/12

宿題

問題集144ページ、 145ページ、149ページ、 (例題と演習A)

微分積分・同演習 B – p.12/12