FACTOREO

¿Qué es factorizar?

Factorizar o Factorear significa "transformar en multiplicación. Partimos de una expresión formada por sumas y/o restas de términos , y llegamos a una expresión equivalente, pero que es una multiplicación

Caso

s d

e

Fact

ori

zaci

ón

Factor común

Factor común en grupos

Trinomio cuadrado perfecto

Cuatrinomio cubo perfecto

Diferencia de cuadrados

Sumas o restas de potencias de igual grado

Trinomio de la Forma ax² + bx + c

Cubo perfecto de un binomio

Este es el primer caso y se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algo en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de los dos).

• Se dice que un polinomio tiene factor común cuando una misma cantidad, ya sea número o letra, se encuentra en todos los términos del polinomio.

• Si en todos los términos de un polinomio figura un factor común, dicho polinomio es igual al producto de ese factor por el polinomio que resulta al dividir cada término por ese factor.

• Para efectuar el factor común hay que tomar en cuenta que este se realiza tanto para los números como para las letras, y con las letras se toma la que tenga el menor exponente de todas.

1er caso: Factor común

Como puede verse el cinco es el común numérico y la “x” la única letra común en este polinomio, como dos es el menor exponente de “x” es este el exponente que se tomara en cuenta, siendo el factor común 5x2.

Nos queda como respuesta:

Ejemplo:

2do caso: Factor común por grupos • Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes, junto

con el de las variables, ( la que tenga mas exponente). Se toma en cuenta aquí que el menor factor común no solo cuenta con un termino, si no con dos

Ejemplo: • Descomponer : x (a + b ) + m ( a + b ) • Estos dos términos tienes como factor común el binomio ( a + b ), por lo

que se pone ( a + b ) como coeficiente de un paréntesis, dentro del cual escribimos los cocientes de dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común ( a + b ), es decir:

• X ( a + b ) m ( a + b ) ( a + b ) ( a + b )

X ( a + b ) + m ( a + b ) = ( a + b ) ( x + m )

= x y =m

Y se tiene:

3er caso: trinomio cuadrado perfecto Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio tal que dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.

36x2 + 12xy2 + y2 + y4Es un trinomio cuadrado perfecto

El primer término es el cuadrado de 6x pues (6x)2 = 36x2; el último es el cuadrado de y2, pues (y2)2 = y4, y el segundo término es el doble producto de las bases de esos cuadrados, es decir de 6x por y2,pues 2 × 6x × y2 = 12xy2

(6x + y2 )2 = (6x + y2).(6x + y2 )36x2 + 12xy2 + y4

En el trinomio cuadrado perfecto los términos cuadrados son siempre positivos,en cambio el término del doble producto puede ser negativo; en este caso debe ser negativo uno de los términos del binomio cuyo cuadrado es el trinomio dado:

(6x - y2 )2 = (6x - y2 ).(6x - y2 )

6x2 - 12xy2 + y2

Las bases son x y 2. Los dos "triple-productos" dan bien (6x2 y 12x).

El resultado de la factorización es "la suma de las bases, elevada al cubo".

x3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3

x 2

3.x2.2 3.x.22

6x2 12x

4to caso: cuadrinomio cubo perfecto

• Cómo Reconocer: Siempre son dos términos que tienen raíz cuadrada, siempre es una resta

• Cómo Factorizar: Abrir dos pares de paréntesis: uno con menos (-) y el otro con más (+). Sacar raíz cuadrada del primero y del segundo. Repetir lo mismo en los dos paréntesis.

• EJEMPLO:

5to caso: Diferencia de cuadrados

Si dividimos a³+b³ por a +b el cociente es a² - ab + b² ; y si dividimos a³ - b³ por a - b el cociente es a² +

ab + b², por lo tanto y por lo tanto tenemos las siguientes identidades:

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

Estos resultados nos permiten factorizar expresiones en las cuales aparece una suma o una diferencia de

cubos.

Ejemplo 1: factorizar 8x³ - 27y³ = (2x)³ - (3y)³

= (2x - 3y)(4x² + 6xy + 9y²)

Ejemplo 2: factorizar64a³ + 1 = (4a)³ + 1

= (2a + 1)(4a² - 2a + 1)

6to caso: La suma o diferencia de dos cubos

Cómo Reconocer: Tiene la forma ax2

+ bx + c

Aspa Simple: Descomponer el primer y tercer término en dos factores, multiplicar en diagonal y sumar sus resultados, si la suma da el segundo término, entonces poner cada fila entre paréntesis.

7mo caso: Trinomio de la Forma ax² + bx + c

EJEMPLO:

10 x2 – 9 x + 2 = (5x – 2) (2x – 1) 5x -2 = -4x 2x -1 = -5x . -9x

Cómo Reconocer: Siempre son 4 términos, todos positivos o intercalados (+ , - , + , - ) y el primer y cuarto término tienen raíz cúbica.

Cómo Factorizar: Sacar raíz cúbica del primero, poner signo positivo, si todos son positivos, signo negativo, si son intercalados, sacar raíz cúbica del cuarto término, asociar entre paréntesis y elevar al cubo.

EJEMPLO:

8vo caso: Cubo perfecto de un binomio