This work has been digitalized and published in 2013 by Verlag Zeitschrift für Naturforschung in cooperation with the Max Planck Society for the Advancement of Science under a Creative Commons Attribution4.0 International License.

Dieses Werk wurde im Jahr 2013 vom Verlag Zeitschrift für Naturforschungin Zusammenarbeit mit der Max-Planck-Gesellschaft zur Förderung derWissenschaften e.V. digitalisiert und unter folgender Lizenz veröffentlicht:Creative Commons Namensnennung 4.0 Lizenz.

F(A) = /. • G 1 als Lösung der Säkulargleichung; bei n gleichen Eigenwerten

A . F A D I N I

Lehrstuhl für Technische Mechanik der Technischen Hochschule Stuttgart

( Z . N a t u r f o r s c h g . 2 1 a , 4 8 1 — 4 8 5 [ 1 9 6 6 ] ; e i n g e g a n g e n a m 26 . F e b r u a r 1966)

Satz: Es sei G - 1 eine reelle, symmetrische, nicht-singuläre und positiv definite Matrix. Dann ist für eine beliebige Ordnung n und für n gleiche, reelle und posi-tive Eigenwerte

A = A 1 = A 2 = . . . = A n (1) die Matrix

F ( X ) = X - G ~ l (2)

reell, symmetrisch, nichtsingulär und positiv definit und sie erfüllt die Säkulargleichung 1

det(F —A-G _ 1 ) = 0 . (3)

Zur Realität, Symmetrie, Nichtsingularität und positiven Definitheit von F(A)

Die Realität von F(A) ist durch die Realität von X und G _ 1 gesichert. Ebenso folgt sofort aus der Defini-tion des Produktes einer Matrix mit einem Skalar3

die Symmetrie, Nichtsingularität und positive Definit-heit von F(A). Weiterhin geht aus den Sätzen der Ma-trizenrechnung die Realität, Symmetrie, Nichtsingulari-tät und positive Definitheit von G hervor 4.

F (A) als Lösung der Säkulargleichung

Auf mannigfache Art läßt sich F(A) als Lösung der Säkulargleichung nachweisen. Wir bringen hier drei kurze Beweise:

1. Wegen der Gleichheit der Eigenwerte (1) können wir mit (2) in die Säkulargleichung (3) eingehen und erhalten:

de t (A-G - 1 — A - G - 1 ) =det 0 = 0 . (4) Wir bekommen also eine Nullmatrix O, deren Deter-minante wegen den Nullelementen selbst Null ist. Da-mit erfüllt F (2) die Säkulargleichung.

2. Nach einem Satz der Matrizenrechnung 5 läßt sich das Problem der Berechnung der Matrix F aus der Säkulargleichung auf die Matrizengleichungen

1 Für den Fall n=2 läßt sich explizit nachweisen, daß F(A) die einzige Lösung der Säkulargleichung (3) ist 2 . Für die Fälle n > 2 läßt sich die Eindeutigkeit von F (A) unter Zugrundelegung der Unabhängigkeit der fik mit i, k=1, 2 , . . . , n in F (A ) voneinander zeigen. In einer weiteren Arbeit soll darauf eingegangen werden.

2 A . F A D I N I , Z . N a t u r f o r s c h g . 2 1 a , 4 2 6 [ 1 9 6 6 ] . 3 R. ZURMÜHL, Matrizen, Springer-Verlag, Berlin 1961, S. 9,

1 3 3 . i Siehe 3, S. 34. 5 F. R. GANTMACHER, Matrizenrechnung, Teil I, VEB Deut-

scher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1958, S. 81. 8 S i e h e 3 , S . 1 7 6 - 1 7 7 . 7 K. STRUBECKER, Höhere Mathematik, Oldenbourg-Verlag,

München 1956, S. 160.

s p ( G - F ) * = 2 X%Jc = n-lk mit £ = l , 2 , . . . , n (5) ;= l

zurückführen. Wir gehen mit (2) in Gl. (5) ein und erhalten:

sp (G • A • G - 1 ) Ä = sp (A • G • G _ 1 ) & = sp (Ä • E)&

= • sp E = • re = rc • (6)

für alle k. (Dabei ist E die Einheitsmatrix und EÄ = E.) Das heißt, F (A) erfüllt die Säkulargleichung.

3 . Die Bestimmung von F kann auch auf die C A Y L E Y -

HAMiLTONSche Gleichung 6

( G - F ) n + c „ - i - ( G * F ) n _ 1 + . . . + c 0 - E = O (7) zurückgeführt werden. Dabei berechnen sich die n Ko-effizienten c0 bis cn-1 aus den n Eigenwerten X nach dem Satz von V I E T A 7. Die charakteristische Gleichung lautet:

Xn + c „ - i • + . . . + c0 = 0 . (8) Damit bekommen wir nach Eingehen mit F(A) in Gl. (7) wegen G - F = A E

E- (Xn + cn-i' +. . . + c0) = E - 0 = 0 = 0 , (9) d.h. F(A) ist eine Lösung der Säkulargleichung.

Verwendung von F (A) zur Bereichsabschätzung von Wechselwirkungskonstanten

Bei der Berechnung von Molekülkraftkonstanten tritt das Problem auf, die Kraftkonstantenmatrix F aus der Säkulargleichung zu berechnen8- 2. Die Lösung F (A) stellt einen extremen Fall der Kopplung in der Matrix F der Kraftkonstanten dar 9 ' 1 0 . Wir verwenden F(A) als Modell zur Bereichsabschätzung von Wechselwirkungs-kraftkonstanten. Für Moleküle mit hinreichend starken Kopplungen können wir mit F(A) die Vorzeichen und die Bereiche der Kopplungskonstanten berechnen 2> u . Bei schwach gekoppelten Molekülen kann wenigstens der Absolutbetrag des Bereichs angegeben werden.

Die Lösungsbereiche von f12 der Moleküle CICN und BrCN

Wir schätzen hier die Lösungsbereiche der Wechsel-wirkungskraftkonstanten /12 der beiden Moleküle C I C N

und BrCN der Symmetrie Coov ab, für die durch den Zentrifugaldehnungseffekt hinreichend genaue Ver-

8 E . B . W I L S O N , J . C . DECIUS U. P . C . CROSS, M o l e c u l a r V i b r a -

tions, Verlag McGraw-Hill, New York 1955, S. 6 3 - 6 4 . 9 H. SIEBERT, Anwendungen der Schwingungsspektroskopie in

der Anorganischen Chemie, Springer-Verlag, Berlin 1966, Abschn. I.2.b.

10 Eine qualitative Erläuterung für Molekülschwingungen fin-det sich in dem angegebenen Buch von SIEBERT 9. Eine aus-führliche Begründung kann mit der Theorie der kleinen Schwingungen gegeben werden, worauf noch später einge-gangen werden soll.

11 A. FADINI, Programm der wissenschaftlichen Jahrestagung der Gesellschaft für angewandte Mathematik und Mecha-nik vom 12. bis 16. April 1966 in der Technischen Hoch-schule Darmstadt.

gleichswerte bekannt sind 12. Aus Gl. (2) folgt hier als obere Grenze 13> 8

/i2,max= — A-det_ 1 G •g12 = A-det_ : l G - m c _ 1

(mit mc Masse von C) . (10) Die vollständigen Datensätze der G-Matrix und der A-Werte finden sich in der Literatur2> 14. Von den bei-den Eigenwerten und X2 verwenden wir stets den kleineren. Damit erhalten wir aus Gl. (10) die Lösungs-bereiche :

1 2 W . J . JONES, W . J . ORVILLE-THOMAS U . U . O P I K , J . C h e m .

Soc. 1 9 5 9 , 1625. 13 Siehe 3, S. 37.

0 < / 1 2 ( C l C N ) =/CIC/CN < 2,4 mdyn/Ä , (11) 0 < /12 (BrCN) = / ß r C / C N < 2 , 0 mdyn/Ä . ( 1 2 )

Nach dem Zentrifugaldehnungseffekt erhält man die Werte:

/ C 1 C / C N = 1,33 mdyn/Ä und / ß r C / C N = 0 , 7 mdyn/Ä 12.

Meinen Hochschullehrern Prof. GOUBEAU, Prof. SLIBAR und Prof. BECHER danke ich herzlich für ihr Interesse und ihre Un-terstützung.

14 A . FADINI, Z. Angew. Math. Mech., Sonderheft der Tagung Ges. Angew. Math. Mech., Wien 1965, im Druck.

Messung der Geschwindigkeit elektrisch leitfähiger Medien

H . B U R K H A R D T u n d G . S C H N E L L

Institut für Plasmaforschung der Technischen Hochschule Stuttgart

( Z . N a t u r f o r s c h g . 2 1 a , 4 8 5 — 4 8 7 [ 1 9 6 6 ] ; e i n g e g a n g e n a m 2 3 . F e b r u a r 1 9 6 6 )

Aus den MAXWELL-Gleichungen resultiert, daß ein strömendes, elektrisch leitfähiges Medium mit einem Magnetfeld in Wechselwirkung tritt. Diese Wechselwir-kung führt zu einer Verschleppung des Feldes. Die Größe der Verschleppung ist sowohl ein Maß für die Geschwindigkeit als auch für die Leitfähigkeit des Me-diums. Bei bekannter Leitfähigkeit kann also die Ge-schwindigkeit direkt gemessen werden 2.

Von der Vielfalt der möglichen geometrischen Meß-anordnungen werden hier zwei untersucht, die den An-forderungen der Praxis besonders entsprechen: 1. Eine ebene Anordnung, die beispielsweise für die

Messung an MHD-Plasma-Kanälen rechteckigen Querschnitts geeignet ist (Abb. 1).

2. Eine zylindersymmetrische Anordnung, die die Aus-messung von Plasmastrahlen runden Querschnitts ermöglicht (Abb. 2) .

Ms-Scheibe

V////////77?7?77777ih x

> <

-o a

—E42

Abb. 1. Prinzipskizze der ebenen Anordnung. I Erregerspule, II und III Empfängerspulen, E 42 Ferritkern, Fm wirksamer

Querschnitt (Ms-Scheibendicke mal Mittelschenkelbreite).

Abb. 2. Prinzipskizze der zylindersymmetrischen Anordnung. I, II, III wie Abb. 1. Q Objektradius.

1. Näherungslösungen

Es werden zwei theoretische Abschätzungen angege-ben, die für Meßfrequenzen gelten, bei denen der Skin-Effekt zu vernachlässigen ist (/ <C 100 Hz).

1.1. Ebene Meßanordnung 3

Die magnetische Induktion B der Spule I erzeugt über dem Mittelschenkel des Kerns im Medium einen Flächenstrom gemäß folgender Beziehung

J = o v B Fm . (1) F m ist der wirksame Querschnitt des Mediums (vgl. Abb. 1). Das von J erzeugte Sekundärmagnetfeld er-zeugt die Meßspannung

<2

>

Dabei sind w\ und wn die entsprechenden Spulenwin-dungszahlen; / ist die Frequenz, L die Induktivität und / 0 der Erregerstrom von Spule I ; Fi und Fs sind die Querschnitte des linken und des mitttleren Kernschen-kels. RM ist die magnetische R.EYNOLDS-Zahl

Rm = o j u v l , (3) mit der Permeabilität /x, der elektrischen Leitfähig-keit ö, der Geschwindigkeit v und einer charakteristi-schen Länge l des strömenden Mediums.

Der Faktor i ist eine Anpassungsgröße, die dadurch entsteht, daß für die Rechnung der volle Betrag des

1 A . E. FUHS, Am. Inst. Aeron. Astronaut. J. 2, 667 [1964] . 2 L. P. POBEREZHSKII, Soviet Phys. —Tech. Phys. 8, 1092 [1964].

3 H . BURKHARDT U . G . SCHNELL, B e r i c h t 1 — 2 4 [ 1 9 6 5 ] ; I n s t i t u t

für Hochtemperaturforschung der Tedin. Hochschule Stutt-gart.